Richiami di fondamenti di automatica e concetti fondamentali di …cse.lab.imtlucca.it/~bemporad/teaching/cpsp/slides/2009/... · 2010-02-23 · A. Bemporad Controllo di Processo

/72©2009byA.Bemporad ControllodiProcessoeSist.Prod.‐A.Bemporad‐A.a.2008/09

Richiamidifondamentidiautomaticaeconcettifondamentalidicontrollodigitale

1


SistemilinearitempocontinuoRappresentazionespaziodistato

CasoSISO(singoloingressosingolauscita)

2


SistemilinearitempocontinuoEquazionidifferenzialidiordinenconingresso

equivalealsistemalinearediordinen

3


Sistemilinearitempocontinuo

Nelcasodieq.differenzialidiordinen:

4


Sistemilinearitempodiscreto

Rappresentazionespaziodistato

5


SistemilinearitempodiscretoSoluzione:

selamatriceAèdiagonalizzabile:

Rispostamodale:similealcasotempocontinuo

Rappresentazionidistatoalgebr.equivalenti:similealcasot.continuo

6


SistemilinearitempodiscretoEquazionialledifferenzediordinenconingresso

equivalealsistemalinearediordinen

7


SistemilinearitempodiscretoFunzioneditrasferimento

Nelcasodieq.differenzialidiordinen:

Poliezeri:similealcasotempocontinuo8


Analisineldiscreto‐Campionamentoesatto

1

y(t),y(k) u(t),u(k)‐ ‐

9


Campionamentoesatto

10


Campionamentoesatto

InMatlab:sys=ss(A,B,C,D);sysd=c2d(sys,T);

[Ab,Bb,Cb,Db]=ssdata(sysd);

11


Stabilitàdeisistemilineari

12


Linearizzazione

13


Raggiungibilità:motivazione

A,B Cu(k) x(k) y(k)

K

v(k)

Controlloconretroazionedellostato

14


Raggiungibilità

Soluzione:

Definizione

15


Raggiungibilità

16


Raggiungibilità

TEOREMA

17


Controllabilità

Definizione

18


Controllabilità

19


Posizionamentodeipolimedianteretroazionedellostato

20



A,B Cu(k) x(k) y(k)

K

v(k)

Soluzioneconretroazionedellostato

Problema:progettareundispositivoche,connessoalsistemadacontrollare,rendaasintoticamentestabileilsistemacomplessivorisultante.

Sesonodisponibililemisuredituttolostatodelsistema,possiamogenerarel’ingressodicontrollomoltiplicandolemisuredellostatoperunguadagnostaticoK=[k1k2...kn]:

21



A,B Cu(k) x(k) y(k)

K

v(k)

TEOREMA

22


Assegnazionedegliautovalori

In MATLAB: K=-acker(A,B,P); K=-place(A,B,P);

FormuladiAckermann:

doveP=[λ1λ2...λn]sonoipolidesideratiadanellochiuso

23


Pole‐placement:esempio

In MATLAB:

» A=[ 0 -1/4 ; -3 1 ];

» B=[ 1 ; -1/2 ];

» K=-place(A,B,[ 1/2 1/4 ])

K =

-0.0909 0.3182

o=autovaloriadanelloapertox=autovaloriadanellochiuso

24


Osservabilitàestimadellostato

25


Motivazione

A,B Cu(k) x(k) y(k)

?x(k)ˆ

26


Osservabilità

27


Osservabilità

28


OsservabilitàTEOREMA

29


Osservatore(stimatoreasintotico

dellostato)

30


Stimatoreasintoticodellostato

A,B Cu(k) x(k) y(k)

Soluzione#1:

A,Bx(k)ˆ

31



A,B Cu(k) x(k) y(k)

A,Bx(k)ˆ

32



A,B Cu(k) x(k) y(k)

A,Bx(k)ˆ

33


StimatoreasintoticodellostatoSoluzione#2:

A,B Cu(k) x(k) y(k)

A,[B L]x(k)ˆ

+

Cy(k)ˆ ‐

34



TEOREMA

A,B Cu(k) x(k) y(k)

A,[B L]x(k)ˆ

+

Cy(k)ˆ ‐

35


StimatoreasintoticodellostatoEsempio MATLAB:

» sys=tf([1 0],[1 2 1]);

» sysd=c2d(sys,.1);

» [A,B,C,D]=ssdata(ss(sysd));

» L=place(A',C',[.5 .7])’;

» eig(A-L*C)

ans =

0.7000 0.5000

36


StimatoreasintoticodellostatoSegue esempio MATLAB:

x=[-1;1];xhat=[0;0];

XX=x;XXhat=xhat;T=40;

UU=.1*ones(1,T);

for k=0:T-1, u=UU(k+1); y=C*x+D*u; yhat=C*xhat+D*u; x=A*x+B*u; xhat=A*xhat+B*u+L*(y-yhat); XX=[XX,x]; XXhat=[XXhat,xhat];end

subplot(211)plot(0:T,[XX(1,:);XXhat(1,:)]);gridtitle('x_1')

0 5 10 15 20 25 30 35 40‐10

0

10

20

30

40

x1(k)ˆ

x1(k)

37


Compensatoredinamico

38


Ipotesi:sistemacompl.raggiungibileecompl.osservabile

Compensatoredinamico

N.B.:nondipendedau(k),equindidaK!

y(A,B,C)

uv

K

++

Stimatorex̂

39


Sistemacomplessivoadanellochiuso

40


Sistemacomplessivoadanellochiuso

LAFUNZIONEDITRASFERIMENTOADANELLOCHIUSOÈRIMASTAIDENTICAALCASOSTATE‐FEEDBACK!!!

41


PrincipiodiseparazionePRINCIPIODISEPARAZIONE:

42


Sceltadellostimatore

LasceltadiLinfluisceduranteiltransitorio!

43


Sceltadellostimatore

44


CompensatoreDinamicoCompensatoredinamico

y(A,B,C)

u

vK+ + Stimatore

x̂

45


EsempioMATLAB

K=1;beta=.3;alpha=1;

G=tf(K,[1 beta alpha 0]);

ts=0.5;

Gd=c2d(G,ts);sysd=ss(Gd);[A,B,C,D]=ssdata(sysd);

% Controllorepolicontinuo=[-1, -0.5+0.6*j, -0.5-0.6*j];polidiscreto=exp(ts*policontinuo);K=-place(A,B,polidiscreto);

% Osservatorepolicontinuo=[-10, -9, -8];polidiscreto=exp(ts*policontinuo);L=place(A',C',polidiscreto)';

%u=K*xhat+vbigA=[A,B*K;L*C,A+B*K-L*C];bigB=[B;B];bigC=[C,zeros(1,3)];bigD=0;

T=20;

clsys=ss(bigA,bigB,bigC,bigD,ts);x0=[1 1 1]'; xhat0=[0 0 0]'; initial(clsys, [x0;xhat0],T);pause

t=(0:ts:T)';v=ones(size(t));lsim(clsys,v);

46


Time (sec.)0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

Time (sec.)0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

0.5

1

1.5

2

2.5

3

Rispostadacondizioneiniziale

(v(k)´0)

Rispostaalgradino

(v(k)´1)

47

EsempioMATLAB


ControllorePIDdigitale

48


PID‐Parametridibase

49


AzionePID

StrutturadibasedelPID

K p+

rPROC E S S O

‐

+

PID

AzioneP

AzionePI

AzionePD

yu

50


PIDindustriale

51


PIDdigitale

52


PIDdigitale

53


ControlloOttimoLineareQuadratico(LQR)

54


ProblemaLQR:Introduzione•Problemadellasceltadeipoliadanellochiuso:doveposizionarli?

•Obiettivi:

•Renderelostatox(k)“piccolo”(perregolarloversol’origine)•Utilizzareuningressou(k)“piccolo”(pereconomizzarel’usodegliattuatori)

Ingeneralesonoobiettivicontrastanti!

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

‐1

‐0.5

0

0.5

1

statex(t)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

‐10

‐8

‐6

‐4

‐2

0

2

inputu(t)

•LQR:Tecnicachepermettedipiazzareipoliada.c.inmaniera“ottima”

55


ControlloOttimoLQ•Controlloottimo(suorizzontetemporalefinitoT):

56


ControlloOttimoLQ

57


ControlloOttimoLQ

58


Controlloottimo:soluzione

59



60



61


PrincipiodiBellman

RichardBellman(1920‐1984)

statoottimox*(t)

0 t1 T

0

0

0 Tt1

x*(t1)

ingressoottimou*(t)

62


PrincipiodiBellman

‐1 ‐0.8 ‐0.6 ‐0.4 ‐0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1‐1.5

‐1

‐0.5

0

0.5

1

1.5

traiettorieottime

63


Programmazionedinamica

64


SoluzioneLQmedianteprogr.dinamica

65


SoluzioneLQmedianteprogramm.dinamica

66


IterazionidiRiccati

JacopoFrancescoRiccati(1676‐1754)

67


LQR(orizzonteinfinito)

68


LQR(orizzonteinfinito)

69


LQR‐Pesosull’uscita

70


LQR:Esempio

71


LQR:Esempio

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20‐0.5

0

0.5

1outputy(k)

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20‐1

‐0.5

0

0.5

1inputu(k)

ρ=0.1

ρ=10

ρ=1000

72

Documents

Richiami di fondamenti di automatica e concetti fondamentali di …cse.lab.imtlucca.it/~bemporad/teaching/cpsp/slides/2009/... · 2010-02-23 · A. Bemporad Controllo di Processo