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gestion financiera
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2015
UNIVERSIDAD DE CÓRDOBA
Francisco Guerra, Tania Mercado & Carlos
Rangel
14/05/2015
Riesgo, Rendimiento & Portafolio de Inversión
1
RIESGO, RENDIMIENTO & PORTAFOLIO DE
INVERSIÓN
Francisco Guerra Gonzales
Tania Mercado Guzmán
Carlos Rangel Berrocal
Álvaro Gómez
Universidad de Córdoba
Facultas de Ingenierías
Ingeniería Industrial
Gestión Financiera
Montería – Córdoba
2015
2
CONTENIDO
INTRODUCCIÓN ........................................................................................................................ 5
OBJETIVOS ................................................................................................................................. 6
OBJETIVO GENERAL ............................................................................................................ 6
OBJETIVOS ESPECÍFICOS .................................................................................................... 6
JUSTIFICACIÓN ......................................................................................................................... 7
1. RIESGO Y RENDIMIENTO .................................................................................................... 8
1.1 RIESGO .............................................................................................................................. 8
1.2 RENDIMIENTO ................................................................................................................. 8
2. RIESGO Y RENDIMIENTO DE UN ACTIVO INDIVIDUAL .............................................. 9
2.1 MEDICIÓN DEL RIESGO ................................................................................................. 9
2.1.1 DESVIACIÓN ESTÁNDAR ....................................................................................... 9
2.1.2 VARIANZA ............................................................................................................... 10
2.1.3 COEFICIENTE DE VARIACIÓN ............................................................................ 10
2.2 TIPOS DE RENDIMIENTO ............................................................................................. 10
2.2.1 RENDIMIENTO PROMEDIO .................................................................................. 10
2.2.2 RENDIMIENTO COMPUESTO ............................................................................... 11
2.2.3 RENDIMIENTO BLUME ......................................................................................... 11
3. RIESGO Y RENDIMIENTO DE UN PORTAFOLIO DE INVERSIONES ......................... 11
3.1 PORTAFOLIO DE INVERSIONES ................................................................................ 12
3.2 TIPOS DE CARTERAS O PORTAFOLIOS DE INVERSIÓN, SEGÚN EL RIESGO .. 12
3.3 ESTRUCTURA DE UN PORTAFOLIO DE INVERSIONES ........................................ 12
3.4 RENDIMIENTO DE UN PORTAFOLIO ........................................................................ 13
3.5 MEDICIÓN DE LA VARIABILIDAD ............................................................................ 13
3.5.1 COVARIANZA Y CORRELACIÓN ........................................................................ 13
3.5.2 COEFICIENTE DE CORRELACIÓN ...................................................................... 14
3.5.3 VARIANZA Y DESVIACIÓN ESTÁNDAR DE UN PORTAFOLIO ..................... 15
3.6 RIESGO SISTEMÁTICO Y NO SISTEMÁTICO ........................................................... 15
3.6.1 DIVERSIFICACIÓN ................................................................................................. 16
3.6.2. COEFICIENTE BETA .............................................................................................. 16
4. MODELO DE MARKOWITZ ................................................................................................ 17
3
5. RAZONES DEL VALOR DE MERCADO ............................................................................ 18
5.1. RAZÓN PRECIO A UTILIDAD ..................................................................................... 18
5.2. ANÁLISIS DE LAS RAZONES DE MERCADO (APLICACIÓN A LAS EMPRESAS)
................................................................................................................................................. 19
6. SOLUCIÓN DE UN MODELO DE CARTERA .................................................................... 20
6.1 SELECCIÓN DEL PORTAFOLIO DE INVERSIONES ................................................. 20
6.2. APLICACIÓN DEL MODELO DE MARKOVITS. ....................................................... 26
6.2.1. Análisis de sensibilidad para los coeficientes de la función objetivo........................ 31
6.2.2. Análisis de sensibilidad de los precios sombra y lado derecho de las restricciones.. 32
CONCLUSIONES ...................................................................................................................... 34
REFERENCIAS .......................................................................................................................... 35
4
Tabla de figuras
Figura 1. Extremos del coeficiente de correlación ........................................................ 15
Figura 2. Varianza de un portafolio ............................................................................... 16
Figura 3. Rendimiento de las acciones. ......................................................................... 20
Figura 4. Rendimiento de las acciones. ......................................................................... 21
Figura 5. Rendimiento de las acciones. ......................................................................... 22
Figura 6. Grafica rendimiento vs tiempo (en meses) de ISAGEN. ................................. 22
Figura 7. Medidas de tendencia central de ISAGEN. .................................................... 23
Figura 8. Grafica rendimiento vs tiempo (en meses) de BANCOLOMBIA..................... 23
Figura 9. Medidas de tendencia central de BANCOLOMBIA. ...................................... 23
Figura 10. Grafica rendimiento vs tiempo (en meses) de ÉXITO ................................... 24
Figura 11. Medidas de tendencia central de ÉXITO. .................................................... 24
Figura 12. Grafica rendimiento vs tiempo (en meses) de FABRICATO. ....................... 25
Figura 13. Medidas de tendencia central de FABRICATO. ......................................... 25
Figura 14. Grafica rendimiento vs tiempo (en meses) de ETB. ..................................... 25
Figura 15. Medidas de tendencia central de ETB. ........................................................ 26
Figura 16. Grafica rendimiento vs tiempo (en meses) de CEMEARGOS. ..................... 26
Figura 17. Medidas de tendencia central de CEMEARGOS. ....................................... 26
Figura 18. Datos de rendimientos de Blume. .................................................................. 27
Figura 19. Gráfica de los datos de rendimientos de Blume. .......................................... 27
Figura 20. Matriz de covarianzas. ................................................................................. 28
Figura 21. Introducción del modelo en el software winqsb. .......................................... 29
Figura 22. Resultados del modelo arrojados por el software winqsb. ......................... 30
Figura 23. Solución del modelo e intervalos de sensibilidad de los coeficientes de las
variables. ........................................................................................................................ 31
Figura 24. Precios sombra de las restricciones e intervalos de sensibilidad de las
mismas. ........................................................................................................................... 31
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5
INTRODUCCIÓN
Al momento de realizar una inversión, todo inversionista ya sea natural o jurídico, en
primera instancia se practica una serie de interrogantes relacionados con la viabilidad de
esta, ¿Es buena?, ¿Será rentable? ¿Habrá otra mejor y no lo sé? Entre otras. Pero dar
respuesta a estas preguntas significa más que pensar que “toda inversión tiene un costo
de oportunidad del capital y que este depende del riesgo del proyecto”, implica hay que
estudiar el problema del Rendimiento y del Riesgo que esto conlleva.
Por lo general, el riesgo y el rendimiento son factores fijos en toda decisión financiera y
está en manos del analista la forma de analizar el riesgo y el rendimiento, dependiendo
de si se está analizando un solo activo o un portafolio de activos.
Examinar el problema del riesgo es tomar a consideración su definición, características,
el vínculo existente entre riesgo – rendimiento y sobre todo como puede el analista
financiero enfrentarse ante este en la realidad.
En el siguiente trabajo, a lo largo de todos los capítulos se describe brevemente la forma
de evaluar el riesgo y el rendimiento tanto de un activo individual como el de un
portafolio de activos, se mostrará un análisis del concepto de riesgo en las inversiones
de renta variable que de manera resumida se expone como la variabilidad de sus
rendimientos futuros, usualmente medido con la desviación estándar, su clasificación, el
concepto de rendimiento, las medidas de riesgo y rendimiento, conceptos básicos de
diversificación, ya que, este expresa la posibilidad de reducirlo mediante carteras
diversificadas, pues, los inversionistas precavidos no apuestan todo a una sola carta:
reducen sus riesgos diversificando, la beta como medida estándar del riesgo, también se
presenta las principales teorías que relacionan riesgo y rendimiento en una economía
competitiva( modelo de valuación de activos de capital, modelo de Harry Markowitz,
modelo de Bloomer, etc ) además de un ejemplo aplicativo de empresas inscritas en la
Bolsa de Valores de Colombia.
Finalmente, luego de la solución del modelo de cartera, se analiza el riesgo y el
rendimiento del portafolio de inversiones con la solución dada por el modelo.
6
OBJETIVOS
OBJETIVO GENERAL
Estudiar, analizar y comparar el riesgo y el rendimiento en la toma de decisiones
de inversión, en base a una serie de variables consideradas en el mercado de
valores, con el fin de tomar decisiones óptimas que generen mayores beneficios
y minimicen los riesgos.
OBJETIVOS ESPECÍFICOS
Conocer la base teórica y los fundamentos de riesgo y rendimiento
Identificar las medidas de riesgo y rendimiento (varianza y desviación estándar)
y a beta como medida estándar de riesgo
Identificar las calificadoras de riesgo y examinar las razones de mercado como
parte da las razones financieras
Estudiar y analizar los diferentes tipos de rendimiento.
Conocer que es la diversificación y su importancia al momento de reducir el
riesgo para el inversionista.
Aplicar y solucionar un modelo de análisis de cartera de inversiones (Modelo de
Markowitz).
7
JUSTIFICACIÓN
Toda decisión financiera implica ciertas características de riesgo y rendimiento, en
especial las decisiones de inversión, en las que al inversionista o empresario se le
presentan una gran cantidad de alternativas, las cuales debe evaluar detalladamente a fin
de que pueda tomar la decisión de inversión que más se ajuste a sus necesidades, y
cumpla con uno de los objetivos básicos de los inversionistas o gerentes financieros que
consiste en la búsqueda de maximización de la riqueza, o maximización del
rendimiento.
Esto obliga a empresarios e inversionistas a destinar recursos sólo a aquellos proyectos
que ofrecen el mayor beneficio, es decir, el mayor rendimiento.
Sin embargo, ésta variable no es la única que interviene al hacer decisiones de
inversión, ya que el hecho de que el rendimiento que le ofrece un proyecto es un
rendimiento estimado, es decir, que se espera que ocurra a futuro, introduce el elemento
incertidumbre o riesgo. Por riesgo entendemos la posibilidad de que el rendimiento
esperado por la implementación de un proyecto no se materialice, es decir, no se realice
o, en caso de que se realice, no sea igual al que se espera (menor)
Enlazando las dos ideas anteriores, el objetivo que el inversionista o gerente de finanzas
tiene para la empresa es crear una cartera eficiente, que maximice el rendimiento para
un nivel de riesgo determinado o minimice el riesgo para un nivel de rendimiento
específico. Al proceso de medición del riesgo y rendimiento asociados a los proyectos
de inversión, se le denomina valuación.
La adecuada evaluación del riesgo y el rendimiento de las decisiones financieras puede
aumentar o disminuir el precio de las acciones de una compañía porque se toma la
decisión correcta u óptima.
Por tal motivo es primordial estudiar el problema de riesgo y la relación riesgo-
rendimiento al tiempo de invertir, ya que ambos son muy importantes.
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1. RIESGO Y RENDIMIENTO
En las decisiones más importantes de una empresa se toman en cuenta dos factores
clave: el riesgo y el rendimiento. Cada decisión financiera implica ciertas características
de riesgo y rendimiento, y la evaluación adecuada de tales características puede
aumentar o disminuir el precio de las acciones de una compañía. Los analistas usan
diferentes métodos para evaluar el riesgo, dependiendo de si están analizando solo un
activo específico o un portafolio (es decir, un conjunto de activos). [1]
1.1 RIESGO
Medida de la incertidumbre en torno al rendimiento que ganará una inversión o, en un
sentido más formal, el grado de variación de los rendimientos relacionados con un
activo específico. [1]
Las inversiones cuyos rendimientos son más inciertos se consideran generalmente más
riesgosas. Así por ejemplo, un bono gubernamental de $1,000 que garantiza a su
tenedor $5 de interés después de 30 días no tiene ningún riesgo porque no existe ningún
grado de variación relacionada con el rendimiento. Pero, una inversión de $1,000 en
acciones comunes de una empresa, cuyo valor durante los mismos 30 días puede
aumentar o disminuir en un intervalo amplio, es muy riesgosa debido al alto grado de
variación de su rendimiento.
1.2 RENDIMIENTO
Ingreso recibido en una inversión más cualquier cambio en el precio de mercado;
generalmente se expresa como porcentaje del precio inicial de mercado de la inversión.
En otras palabras, el rendimiento es simplemente cualquier pago en efectivo que se
recibe como resultado de una propiedad (inversión), más el cambio en el precio de
mercado, dividido entre el precio inicial. Por ejemplo, comprar en $100 un valor que
pagará $7 en efectivo y valdrá $106 un año después. El rendimiento sería ($7 +
$6)/$100 = 13%. Así, el rendimiento llega de dos fuentes: el ingreso más cualquier
apreciación en el precio (o pérdida en el precio). [2]
El rendimiento para acciones ordinarias viene dado por la siguiente expresión:
Donde; R es el rendimiento real (esperado) cuando t se refiere a un periodo específico
en el pasado (futuro); Dt es el dividendo en efectivo al final del periodo t; Pt es el precio
de la acción en el periodo t; y Pt-1 es el precio de la acción en el periodo t − 1.
9
2. RIESGO Y RENDIMIENTO DE UN ACTIVO INDIVIDUAL
De manera sorprendente, el concepto de riesgo se modifica cuando cambia el enfoque
del riesgo de un activo individual aislado al riesgo de un portafolio de activos. Pero, los
diferentes métodos estadísticos utilizados para cuantificar el riesgo de un activo
individual pueden ser aplicados al análisis de riesgo y rendimiento de los portafolios.
2.1 MEDICIÓN DEL RIESGO
El riesgo de un activo se puede medir cuantitativamente usando datos estadísticos. La
medida estadística más común usada para describir el riesgo de una inversión es su
desviación estándar y su coeficiente de variación. A continuación se describirá el uso de
estos estadísticos detalladamente.
2.1.1 DESVIACIÓN ESTÁNDAR
Es el indicador estadístico más común del riesgo de un activo; La desviación estándar σ,
mide la dispersión del rendimiento de una inversión alrededor del rendimiento esperado.
El rendimiento esperado, es el rendimiento promedio que se espera que produzca una
inversión con el tiempo, y viene dado por la expresión:
Donde; Ri es el rendimiento para la i-ésima posibilidad, Pi es la probabilidad de que se
obtenga ese rendimiento y n es el número total de posibilidades. Además, cuando se
conocen todos los resultados Ri, y se supone que sus probabilidades relacionadas son
iguales, el rendimiento esperado simplemente se calcula mediante un promedio
aritmético (Rendimiento promedio).
La fórmula para calcular la desviación estándar de rendimientos es:
En general, Cuanto mayor sea la desviación estándar de los rendimientos, mayor será su
variabilidad, y mayor será el riesgo de la inversión.
Por otra parte, rara vez se conocen el intervalo completo de los resultados posibles de
las inversiones y sus probabilidades. En estos casos, los analistas usan datos históricos
para calcular la desviación estándar. La fórmula que se aplica en esta situación es:
10
2.1.2 VARIANZA
El cuadrado de la desviación estándar, σ2, se conoce como la varianza de la
distribución. Operacionalmente, primero calculamos la varianza de una distribución, o
el promedio ponderado de los cuadrados de las desviaciones de las posibles ocurrencias
con respeto al valor medio de la distribución, con las probabilidades de ocurrencia como
las ponderaciones o pesos. Luego, la raíz cuadrada de esta cifra nos da la desviación
estándar. [2]
2.1.3 COEFICIENTE DE VARIACIÓN
El coeficiente de variación, CV, es una medida de dispersión relativa que resulta útil
para comparar los riesgos de los activos con diferentes rendimientos esperados. Viene
dado por la siguiente expresión:
Un coeficiente de variación muy alto significa que una inversión tiene mayor volatilidad
en relación con su rendimiento esperado, es decir, entre mayor sea el CV, mayor será el
riesgo relativo de la inversión. Como los inversionistas prefieren los rendimientos más
altos y el menor riesgo, intuitivamente cabe esperar que opten por inversiones con un
bajo coeficiente de variación. [1]
2.2 TIPOS DE RENDIMIENTO
2.2.1 RENDIMIENTO PROMEDIO
El rendimiento promedio es una estimación del rendimiento que un inversionista podría
haber realizado en un periodo en particular. Es una medida singular que describe los
rendimientos históricos del mercado de acciones. Como su nombre lo indica es el
promedio de los rendimientos históricos: se suman todos los valores y se divide entre el
número total de datos. [3]
11
2.2.2 RENDIMIENTO COMPUESTO
El rendimiento compuesto es una alternativa al rendimiento promedio que consiste en
calcular el promedio geométrico de los rendimientos.
En otras palabras, se calcula el rendimiento del periodo 1 al periodo T por medio de la
capitalización de los rendimientos por periodo, y luego se eleva el resultado a la
potencia 1/T. [4]
2.2.3 RENDIMIENTO BLUME
El rendimiento Blume es un pronóstico del rendimiento que supera las dificultades que
resultan al utilizar el promedio aritmético (es probablemente demasiado alto en periodos
más prolongados) o el geométrico (es probablemente demasiado en bajo en periodos
más cortos). Su cálculo consiste en una sencilla fórmula que combina los promedios
aritmético y geométrico. [3]
Suponiendo que se calculan ambos rendimientos para N periodos y se desea obtener un
pronóstico del rendimiento a T periodos, R(T), donde T es menor que N, se tiene que:
3. RIESGO Y RENDIMIENTO DE UN PORTAFOLIO DE INVERSIONES
El riesgo de cualquier inversión individual no se considera de manera independiente de
otros activos, debido a que hay considerar las nuevas inversiones analizando el efecto
sobre el riesgo y el rendimiento del portafolio de activos del inversionista. La meta del
gerente financiero es crear un portafolio eficiente, es decir, uno que proporcione el
rendimiento máximo para un nivel de riesgo determinado.
El rendimiento de un portafolio es un promedio ponderado de los rendimientos de los
activos individuales con los cuales se integra. Su fórmula es:
Donde; Wj es la proporción, o peso, de los fondos totales invertidos en el valor j; E[Rj]
es el rendimiento esperado del valor j; y m es el número total de valores diferentes en el
portafolio.
12
3.1 PORTAFOLIO DE INVERSIONES
Como definición de portafolio de inversión podemos decir que está formado por un
conjunto de instrumentos (activos financieros) tanto de renta fija como de renta
variable, lo cual permite minimizar la exposición al riesgo.
3.2 TIPOS DE CARTERAS O PORTAFOLIOS DE INVERSIÓN, SEGÚN EL
RIESGO
Los tipos o clases de cartera según el nivel de riesgo se clasifican en:
Portafolio de inversión moderado: Inversiones menos riesgosas.
Portafolio de inversión agresivo: El riesgo de las inversiones es mayor.
Portafolio de inversión conservador: El portafolio no acepta riesgo alguno en
las inversiones.
Cabe señalar que las crisis financieras, que algunos analistas califican como
coyunturales, han puesto a prueba los modelos de selección de cartera; quizás los
modelos matemáticos planteados para este fin sean los correctos, pero sin duda ante una
mayor sofisticación de la crisis, amerita que se desarrollen nuevos modelos de selección
de portafolios, o en todo caso los tomadores de riesgo deben optimizar el uso de estas
herramientas de gestión financiera, de tal forma que, aparte de buscar beneficios, lo cual
es natural en todo inversionista, no desequilibren los mercados financieros globales.
Los inversionistas deben calificar y clasificar su portafolio, cuya rentabilidad, por cierto,
debe superar sus expectativas de ganancias, y si éstas no son las que realmente espera,
tendrá que iniciar un proceso de reestructuración, donde va a contrastar dos variables
básicas o relevantes: riesgo y rendimiento, un proceso para estructurar un portafolio es
el siguiente:
3.3 ESTRUCTURA DE UN PORTAFOLIO DE INVERSIONES
Establecer una política de inversión. Consiste en determinar los objetivos del
inversionista y la cantidad de riqueza que está dispuesto a invertir.
Analizar los valores. Esta fase implica hacer un análisis de valores
identificados previamente. Hay varios métodos para el análisis de valores, pero
los más importantes y mayormente usados son el análisis técnico y el
fundamental.
Construir la cartera. En esta etapa se construye la cartera, que implica la
identificación de acciones específicas en las cuales invertir, así como la
determinación de cuánto invertir en cada una, las cuestiones de selectividad y
diversificación deben ser tratadas por los inversionistas.
Revisar la cartera. Esta etapa se refiere a la repetición periódica de los tres
pasos anteriores. Con el tiempo, el inversionista puede cambiar los objetivos de
la inversión, lo que a su vez haría que la cartera actual fuera menos que óptima.
13
Evaluar el desempeño de la cartera. Esta etapa consiste en determinar
periódicamente el rendimiento ganado por la cartera y el riesgo que corre el
inversionista.
Los inversionistas rara vez colocan toda su riqueza en un solo bien o inversión. Más
bien, conforman un portafolio o cartera de inversiones. Por eso, necesitamos extender
nuestro análisis de riesgo y rendimiento para incluir portafolio. [2]
3.4 RENDIMIENTO DE UN PORTAFOLIO
El rendimiento esperado de un portafolio es simplemente un promedio ponderado de los
rendimientos esperados de los valores o acciones que constituyen ese portafolio. Las
ponderaciones o los pesos son iguales a la proporción de los fondos totales invertidos en
cada valor (los pesos deben sumar 100%). La fórmula general para el rendimiento
esperado de un portafolio, b, es la siguiente:
Donde Wj es la proporción, o peso, de los fondos totales invertidos en el valor j; bj es el
rendimiento esperado del valor j; y m es el número total de valores diferentes en el
portafolio.
3.5 MEDICIÓN DE LA VARIABILIDAD
3.5.1 COVARIANZA Y CORRELACIÓN
Aunque el rendimiento esperado del portafolio es directo, la desviación estándar del
portafolio no es simplemente el promedio ponderado de las desviaciones estándar de los
valores individuales. Tomar un promedio ponderado de las desviaciones estándar sería
ignorar la relación, o covarianza, entre los rendimientos sobre los valores. Esta
covarianza, sin embargo, no afecta el rendimiento esperado del portafolio.
La covarianza es una medida estadística del grado en el que dos variables (como
rendimientos sobre valores) se mueven juntas. La covarianza entre los rendimientos Ri
y Rj se define como sigue:
Cuando la covarianza se estima a partir de datos históricos, se emplea la siguiente
formula:
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Donde; Ri,t y Rj,t son los rendimientos Ri y Rj en el tiempo t, respectivamente, y T es
el número de periodos.
Es intuitivo que si dos acciones se mueven juntas, sus rendimientos tenderán a estar por
arriba o abajo al mismo tiempo, y la covarianza será positiva. Si las acciones se mueven
en direcciones opuestas, una tenderá a estar por arriba del promedio cuando la otra esté
debajo, y la covarianza será negativa. Si bien el signo de la covarianza es fácil de
interpretar, su magnitud no lo es. Será mayor si las acciones son más volátiles (y por lo
tanto tienen más grandes desviaciones en sus rendimientos esperados), y será mayor
entre más cerca se muevan las acciones una en relación con la otra. A fin de controlar la
volatilidad de cada acción, y cuantificar la intensidad de la relación entre ellos, se
calcula la correlación entre dos rendimientos accionarios, definida como la covarianza
de los rendimientos dividida entre la desviación estándar de cada uno, así:
La correlación mide la forma en que se mueven los rendimientos uno en relación con
otro: su valor está entre +1 (siempre se mueven juntos) y -1 (siempre se mueven en
sentidos opuestos). Los riesgos independientes carecen de esta tendencia a moverse
juntos y tienen una correlación igual acero. [4]
3.5.2 COEFICIENTE DE CORRELACIÓN
El grado de correlación se mide por el coeficiente de correlación, que varía desde +1, en
el caso de las series perfectamente correlacionadas de manera positiva, hasta -1 en el
caso de las series perfectamente correlacionadas de manera negativa. La figura 1
representa estos dos extremos para las series M y N. Las series perfectamente
correlacionadas de manera positiva se mueven juntas de manera precisa sin excepción;
las series perfectamente correlacionadas de manera negativa avanzan en direcciones
exactamente opuestas. [1]
Figura 1. Extremos del coeficiente de correlación
15
3.5.3 VARIANZA Y DESVIACIÓN ESTÁNDAR DE UN PORTAFOLIO
La desviación estándar de una distribución de probabilidad de los rendimientos posibles
de un portafolio, σp, es:
Donde; m es el número de valores diferentes en el portafolio, Wj es la proporción de los
fondos totales invertidos en el valor j, Wk es la proporción de los fondos totales
invertidos en el valor k, y σj,k es la covarianza entre los rendimientos posibles para los
valores j y k.
Como se había dicho anteriormente, la varianza es igual al cuadrado de la desviación
estándar.
Para encontrar la varianza de un portafolio de N acciones, se debe sumar las entradas de
una matriz como la que se observa en la figura 1. Las celdas diagonales contienen los
términos de la varianza (Wj2 σj2) y el resto de celdas contiene los términos de la
covarianza (Wj Wk Cov(Rj,Rk)).
Figura 2. Varianza de un portafolio
3.6 RIESGO SISTEMÁTICO Y NO SISTEMÁTICO
El riesgo total de un portafolio está compuesto por el riesgo sistemático y por el riesgo
no sistemático, conceptualmente se puede decir que el riesgo total de un portafolio es
igual al riesgo sistemático más el riesgo no sistemático.
16
El riesgo sistemático, es la variabilidad del rendimiento sobre acciones o portafolio
asociada con cambios en el rendimiento del mercado como un todo. Este, se debe a
factores de riesgo que afectan al mercado global, como los cambios en la economía del
país, la reforma a la ley fiscal del Congreso o un cambio en la situación de energía
mundial. Éstos son los riesgos que afectan a los valores en conjunto y, en consecuencia,
no pueden diversificarse hacia otro lado. En otras palabras, incluso un inversionista que
tiene un portafolio bien diversificado estará expuesto a este tipo de riesgo. [2]
El riesgo no sistemático, es la variabilidad del rendimiento sobre acciones o portafolios
no explicada por los movimientos del mercado en general. Se puede evitar mediante la
diversificación. Además, es un riesgo único para una compañía o industria en particular;
es independiente de los factores económicos, políticos y otros que afectan a todos los
valores de manera sistemática. Una huelga fuera de control puede afectar sólo a una
compañía; un nuevo competidor tal vez comience a producir esencialmente el mismo
producto, o un avance tecnológico quizá convierta en obsoleto un producto existente.
[2]
3.6.1 DIVERSIFICACIÓN
El promedio de riesgos independientes en una cartera grande se llama diversificación
El principio de diversificación se utiliza de manera rutinaria en la industria de seguros.
Además, de los seguros contra robo, muchas otras formas (vida, gastos médicos,
automóvil, etc.) se basan en el hecho de que el número de reclamaciones es
relativamente predecible en una cartera grande. Aun en el caso de seguros contra
terremotos, las aseguradoras logran cierta diversificación con la venta de pólizas en
regiones geográficas distintas, o con la combinación de diferentes tipos de pólizas. La
diversificación se utiliza para reducir el riesgo en muchos otros ámbitos. Por ejemplo,
muchos sistemas se diseñan con redundancia para disminuir el riesgo de que fallen: Es
frecuente que las empresas agreguen redundancia a las partes críticas del proceso de
manufactura, la NASA coloca más de una antena en sus sondas espaciales, los
automóviles tienen llanta de refacción, etcétera. [4]
3.6.2. COEFICIENTE BETA
El coeficiente beta, b, es una medida relativa del riesgo no diversificable. Es un índice
del grado de movimiento del rendimiento de un activo en respuesta a un cambio en el
rendimiento del mercado. Los rendimientos históricos de un activo sirven para calcular
el coeficiente beta del activo. El rendimiento del mercado es el rendimiento sobre el
portafolio de mercado de todos los valores que se cotizan en la bolsa.
Para calcular el coeficiente beta de un activo se usan los datos históricos del
rendimiento del activo, para ello se grafican las coordenadas de los rendimientos del
mercado y los rendimientos del activo en diversos momentos en el tiempo, el eje
horizontal (x) se mide los rendimientos históricos del mercado y el eje vertical (y) mide
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los rendimientos históricos del activo individual; La pendiente de la línea ajustada (línea
característica) es el coeficiente beta del activo.
El coeficiente beta del mercado es igual a 1.0. Todos los demás coeficientes beta se
comparan con este valor. Los coeficientes beta de los activos pueden ser positivos o
negativos, aunque los coeficientes beta positivos son la norma. El grado de sensibilidad
del activo por el mercado es igual a su coeficiente beta por cada punto porcentual del
cambio en el rendimiento del portafolio de mercado.
De otra manera, un estadístico para calcular el coeficiente beta de un activo es:
Donde; Cov(i,m) es la covarianza entre los rendimientos de la acción y los rendimientos
del mercado, mientras que σm2 es la varianza de los rendimientos del mercado.
Para el cálculo del coeficiente beta de un portafolio, se tiene la siguiente expresión:
Donde; Wj es la proporción del valor del activo j en el portafolio y bj es el coeficiente
beta del activo j. El coeficiente beta de un portafolio indica el grado de sensibilidad del
rendimiento del portafolio a los cambios en el rendimiento del mercado. Por ejemplo,
cuando el rendimiento del mercado aumenta un 10%, un portafolio con un coeficiente
beta de 0.75 experimentará un aumento del 7.5% en su rendimiento (0.75*10%).
4. MODELO DE MARKOWITZ
Este modelo resulta ser un modelo de programación cuadrática. En su formulación, se
puede considerar que xi es la proporción de la cartera que está invertida en la acción i.
Este modelo es adecuado y uno de los más utilizados para ayudar a seleccionar títulos y
portafolios de renta variable.
Para explicar la formulación del modelo de manera sencilla, supóngase que se desea
invertir en un portafolio de 2 acciones, para este caso el modelo de cartera adopta la
siguiente forma:
Donde;
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σ12 = Varianza poblacional de los rendimientos de la acción i, i=1, 2.
σ12 = Covarianza de los rendimientos de las acciones 1 y 2.
Ri= Rendimiento esperado de la acción i, i=1, 2.
b= Límite inferior del rendimiento esperado de la cartera.
Si= Límite superior de la inversión en la acción i, i=1, 2.
El modelo de Markowitz, básicamente puede expresarse en la siguiente forma: un
inversionista tiene P dólares para invertir en un conjunto de n acciones y desea saber
cuánto le conviene invertir en cada acción. La serie de valores que elija se conoce como
la cartera del inversionista. El inversionista tiene objetivos antagónicos: desea una
cartera que le brinde al mismo tiempo un jugoso rendimiento esperado y que implique
poco riesgo. Estas metas son antagónicas porque, en el mundo real, lo más frecuente es
que las carteras con un gran rendimiento esperado impliquen también un elevado riesgo.
[5]
5. RAZONES DEL VALOR DE MERCADO
Estos indicadores ofrecen a la administración una percepción de lo que los
inversionistas piensan del desempeño pasado de la compañía y de los prospectos
futuros. Los principales son la razón precio a utilidad y la razón precio de mercado a
precio en libros.
5.1. RAZÓN PRECIO A UTILIDAD
La razón precio a utilidad, también conocida como valor de los beneficios o PER (del
inglés Price Earnings Ratio), es un indicador que muestra cuánto están dispuestos a
pagar los inversionistas por una acción en relación con cada peso reportado en
utilidades. Se calcula de la siguiente forma:
La Utilidad por acción (UPA) se calcula dividiendo la utilidad neta registrada en un
periodo entre el número de acciones ordinarias en circulación:
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Generalmente, esta relación es alta para empresas con atractivas perspectivas de
crecimiento y baja para empresas percibidas como de alto riesgo. Si la razón de la
compañía está por debajo del estándar o promedio del sector, se piensa que dicha
compañía es más riesgosa o que sus perspectivas de crecimiento son menos
prometedoras. Es una razón altamente cuestionada puesto que las utilidades utilizadas
para su cálculo puede ser susceptibles de manipulación, es decir, no son el reflejo de
altos desempeños, sino de maniobras contables.
5.2. ANÁLISIS DE LAS RAZONES DE MERCADO (APLICACIÓN A LAS
EMPRESAS)
En éste caso, si se quiere tener una explicación más clara sobre qué tan bien se
desarrollan las empresas en cuanto al riesgo y rendimiento, según los inversionistas del
mercado, se determinaran sus razones de mercado. Para esto, se han obtenido los datos
necesarios de la Bolsa de Valores de Colombia al mes de Junio de 2014 y se han
resumido en la siguiente tabla:
EMPRESA Precio de
Mercado
por
Acción
Común
($)
Utilidad
Neta ($)
Capital en
Acciones
Comunes ($)
Número de
Acciones
Ordinarias en
Circulación
(Unidades)
Utilidad
por
accion
($)
ISAGEN
BANCOLOMBIA 500,00 1.331.315,73 254.852.292.000 509.704.584 1.410,22
ÉXITO 10,00 458.865,40 4.482.401.510 448.240.151 1,03
FABRICATO 4,00 -28.907,46 36.807.393.588 9.201.848.397 -3,14
ETB
CEMEARGOS 6,00 291.815,12 7.291.487.310 1.215.247.885 214,85
Figura 3. Datos para las Razones de Mercado
En importante mencionar que los espacios en blanco indican datos que no se pudieron
obtener debido a la confidencialidad de las compañías en cuestión.
Posteriormente, se procede a calcular la Razón Precio a Utilidad y la Razón para todas
las acciones. Los resultados se muestran a continuación:
20
EMPRESA
UPA
Valor en Libros
por Acción
Común
Razón Precio
a Utilidad
ISAGEN
BANCOLOMBIA 0,0026119360 500,00 0,3545546085
ÉXITO 0,0010237044 10,00 9,7560975610
FABRICATO -0,000003141 4,00 -1,273885353
ETB
CEMEARGOS 0,0002401281 6,00 0,0279264603
Figura 4. Razones de Mercado
De acuerdo a la Razón Precio a Utilidad los inversionistas están dispuestos a pagar más
por cada acción de Éxito, lo cual indica que los inversionistas tienen un mayor grado de
confianza por el desempeño futuro de empresa.
Además, se puede decir que para las empresas de Bancolombia, Éxito y Cemento Argos
los inversionistas esperan bajos rendimientos de la acción, en relación con su utilidad, lo
que las hace menos atractivas, y se muestran mucho menos rentables para Fabricato la
cual mostro valores negativos.
6. SOLUCIÓN DE UN MODELO DE CARTERA
6.1 SELECCIÓN DEL PORTAFOLIO DE INVERSIONES
Para la aplicación del modelo de Markowitz se ha escogido un portafolio de inversiones
compuesto por 6 acciones, con el objetivo de determinar qué proporción de un capital P
se debe invertir en cada acción, las cuales corresponden a las siguientes empresas:
ISAGEN
BANCOLOMBIA
ÉXITO
FABRICATO
ETB
CEMENTO ARGOS
21
Los rendimientos de cada acción se obtuvieron de la página web de la Bolsa de Valores
de Colombia, desde el mes de marzo de 2013 hasta el mes de febrero de 2015. Los datos
correspondientes para cada acción son:
Figura 5. Rendimiento de las acciones.
Ahora bien, para cada una de las empresas en cuestión se obtuvieron los siguientes
datos utilizando las cifras mostradas en la tabla anterior:
ISAGEN:
ISAGEN BCOLOMBIA ÉXITO FABRICATO ETB CEMEARGOS
-0,01930502 0,00348432 -0,06196703 -0,72222222 -0,01900238 -0,03333333
0 0,04166667 -0,09333333 -0,4 -0,03874092 -0,06321839
0,03149606 -0,08333333 0,03475936 -0,16666667 0,04785894 -0,04294479
-0,01717557 -0,04 0,03359173 0,2 -0,03125 0,02307692
0,05631068 0,01515152 -0,026875 0 -0,01240695 0,0839599
0,12683824 -0,01567164 0,02697495 -0,04166667 -0,02763819 0,05895954
-0,04730832 0,0197119 0,02001251 -0,11304348 0,00775194 0,09170306
0,03424658 -0,02973978 -0,02820356 0,42156863 -0,00512821 -0,001
0,03145695 -0,06896552 -0,02397476 -0,17241379 0,00515464 -0,06606607
0,04333868 -0,01975309 -0,03038138 0,00833333 0,12051282 0,05037513
-0,09538462 -0,07640638 -0,11666667 0,15702479 -0,0389016 -0,15
0,00680272 0,09545455 -0,04830189 -0,14285714 -0,07142857 0,10444178
0,09121622 0,11784232 0,17684377 0,33333333 0,12820513 0,09565217
-0,02012384 -0,01262064 -0,00606469 0,0875 0,00681818 0,07142857
-0,09320695 -0,03759398 0,03389831 -0,13793103 0,00225734 0
0,08013937 0,03671875 0,03606557 0,2 0,02477477 0,09444444
0,04677419 0,066315 -0,04113924 0 0,11428571 -0,06937394
-0,1155624 0,04240283 0,07788779 0 0,12031558 0,02727273
-0,04181185 -0,06169492 -0,09246785 -0,06666667 -0,02288732 -0,04424779
-0,01454545 0,01878613 -0,02091768 -0,17261905 -0,02702703 -0,02777778
0,06826568 -0,0212766 -0,07994487 -0,1294964 -0,02407407 -0,09142857
0,02417962 0,00144928 0,09363296 -0,07438017 -0,03795066 0,06918239
-0,02698145 -0,0065123 -0,14383562 -0,03571429 -0,11242604 -0,09803922
0,01213172 -0,08667152 -0,012 -0,06481481 0,08666667 -0,02608696
-0,15
-0,1
-0,05
0
0,05
0,1
0,15
0 10 20 30
ISAGEN
ISAGEN
22
Figura 6. Grafica rendimiento vs tiempo (en meses) de ISAGEN.
Como se puede apreciar el rendimiento de ISAGEN es bastante variable, se nota que es
bastante susceptible a los movimientos bursátiles, sin embargo se ve un patrón algo
estable de subida y bajada y la media de sus rendimientos es positiva como se muestra
en la tabla siguiente
Figura 7. Medidas de tendencia central de ISAGEN.
Media Geométrica=0,005009411
BANCOLOMBIA
Figura 8. Grafica rendimiento vs tiempo (en meses) de BANCOLOMBIA.
BANCOLOMBIA también muestra movimientos de subida y bajada, aunque a
diferencia de la empresa anterior las crestas y valles se muestra más pronunciado y
desde la mitad hasta el final del periodo de estudio hay un notable declive en los valores
de las crestas posterior a un alza sin precedentes.
Figura 9. Medidas de tendencia central de BANCOLOMBIA.
ISAGEN
Media 0,008252472
Desviación estándar(volatilidad) 0,059188524
Varianza 0,003503281
Valor esperado 0,008252472
Coef. de variación (Riesgo) 7,172217909
Medidas
-0,1
-0,05
0
0,05
0,1
0,15
0 10 20 30
BCOLOMBIA
BCOLOMBIA
BCOLOMBIA
Media -0,004219019
Desviación estándar(volatilidad) 0,053924783
Varianza 0,002907882
Valor esperado 0,000330092
Coef. de variación (Riesgo) -12,78135736
Medidas
23
Media Geométrica=-0,005602017
EXITO
Figura 10. Grafica rendimiento vs tiempo (en meses) de ÉXITO.
Los altibajos de dibujados por ÉXITO siguen cierto patrón aceptable después de superar
el punto medio del periodo de estudio, sin embargo el valor esperado arrojado de los
rendimientos está por debajo de 0.
Figura 11. Medidas de tendencia central de ÉXITO.
Media Geométrica=-0,014628387
FABRICATO
-0,2
-0,1
0
0,1
0,2
0 5 10 15 20 25 30
ÉXITO
ÉXITO
ÉXITO
Media -0,012183609
Desviación estándar(volatilidad) 0,07160005
Varianza 0,005126567
Valor esperado -0,012183609
Coef. de variación (Riesgo) -5,876752299
Medidas
24
Figura 12. Grafica rendimiento vs tiempo (en meses) de FABRICATO.
Tras un comienzo con un rendimiento por los suelos, FABRICATO logró superar su
déficit aunque al final los valores no superan el 0.
Figura 13. Medidas de tendencia central de FABRICATO.
Media Geométrica=-0,078579501
ETB
Figura 14. Grafica rendimiento vs tiempo (en meses) de ETB.
Los números de ETB resemblan los de ISAGEN, pero debido a que ETB tiene un par de
crestas por debajo de 0 a pesar de mostrar crecimientos exuberantes en otras ocasiones
queda en segundo lugar a la hora de hablar de valor esperado.
-1
-0,5
0
0,5
0 10 20 30
FABRICATO
FABRICATO
FABRICATO
Media -0,043030512
Desviación estándar(volatilidad) 0,229541318
Varianza 0,052689217
Valor esperado -0,043030512
Coef. de variación (Riesgo) -5,334384941
Medidas
-0,15
-0,1
-0,05
0
0,05
0,1
0,15
0 5 10 15 20 25 30
ETB
ETB
25
Figura 15. Medidas de tendencia central de ETB.
Media Geométrica=0,006258237
CEMEARGOS
Figura 16. Grafica rendimiento vs tiempo (en meses) de CEMEARGOS.
El comportamiento de los rendimientos de CEMEARGOS es bastante interesante con
dos valles que se posicionan por arriba de 0, este y otros factores hacen que tenga al
final un valor esperado positivo.
Figura 17. Medidas de tendencia central de CEMEARGOS.
Media Geométrica=-0,000185581
Finalmente, en cuanto a los rendimientos de Blume se tiene lo siguiente:
ETB
Media 0,008155824
Desviación estándar(volatilidad) 0,063849643
Varianza 0,004076777
Valor esperado 0,008155824
Coef. de variación (Riesgo) 7,828717195
Medidas
-0,2
-0,15
-0,1
-0,05
0
0,05
0,1
0,15
0 10 20 30
CEMEARGOS
CEMEARGOS
CEMEARGOS
Media 0,002374159
Desviación estándar(volatilidad) 0,072678672
Varianza 0,005282189
Valor esperado 0,002374159
Coef. de variación (Riesgo) 30,61239051
Medidas
26
Figura 18. Datos de rendimientos de Blume.
Figura 19. Gráfica de los datos de rendimientos de Blume.
6.2. APLICACIÓN DEL MODELO DE MARKOVITS.
En la aplicación del modelo de markovits encontraremos el portafolio optimo de
inversion que permita el inversionista decidir en cuales empresas debe invertir y cual es
el porcentaje de inversion en cada una de ellas teniendo en cuenta aspectos pertinentes
como el minimo rendimiento esperado del inversionista, gutos y/o preferencias del
mismo y un estudio anterior del comportamiento de los rendimientos de las empresas.
Para este problema las empresas antes estudiadas
(ISAGEN,BANCOLOMBIA,ÉXITO,FABRICATO,ETB,CEMENTO ARGOS) se
usaran para la aplicación del modelo de markovits.
A continuacion se mostrara la matriz de covarianza de los rendimientos de los
inversionistas las cuales se usaran para el planteamiento del problema.
ISAGEN BCOLOMBIA ÉXITO FABRICATO ETB CEMEARGOS
2 0,00811147 -0,00427915 -0,0122899 -0,04457612 0,00807332 0,00226287
6 0,00754746 -0,00451967 -0,01271508 -0,05075855 0,00774331 0,00181769
24 0,00500941 -0,00560202 -0,01462839 -0,0785795 0,00625824 -0,00018558
PRONOSTICOS CON EL MODELO DE BLUMEMESES
-0,1
-0,08
-0,06
-0,04
-0,02
0
0,02
Series1
Series2
Series3
27
Figura 20. Matriz de covarianzas.
En el modelo general de markovits es:
Sea:
Xi= fracción del activo de la compañía i en la cartera
Ri = rendimiento del activo de la compañía i en la cartera
X1: Porcentaje de inversión para la empresa ISAGEN en la cartera
X2: Porcentaje de inversión para la empresa BANCOLOMBIA en la cartera
X3: Porcentaje de inversión para la empresa ÉXITO en la cartera
X4: Porcentaje de inversión para la empresa FABRICATO en la cartera
X5: Porcentaje de inversión para la empresa ETB en la cartera
X6: Porcentaje de inversión para la empresa CEMENTO ARGOS
R1: Rendimiento de blume mensual de la acción ISAGEN en la cartera.
R2: Rendimiento de blume mensual de la acción BANCOLOMBIA en la cartera.
R3: Rendimiento de blume mensual de la acción ÉXITO en la cartera.
R4: Rendimiento de blume mensual d la acción FABRICATO en la cartera.
R5: Rendimiento de blume mensual del acción ETB en la cartera
R6: Rendimiento mensual del acción CEMENTO ARGOS
En la cartera
Min z =0,0063446191 X12 + 0,00278672 X2
2 + 0,00491296 X3
2 + 0,05049383 X4
2 +
0,00390691X56 + 0,0050621 X
26 + 0,001347372X1X2 + 0,001848375X1X3 +
0,00483948X1X4 + 0,008360991X1X5 + 0,002495095X1X6 + 0,002337288X2X3 +
0,001200107X2X4 + 0,001123773X2X5 + 0,00373918X2X6 + 0,010637343X3X4 +
0,004694794X3X5 + 0,006615798X3X6 + 0,007020479X4X5 + 0,008360991X4X6 +
0,001877893X5X6
s.a
0,00500941X1 - 0,00560202 X2 - 0,01462839X3 - 0,0785795 X4 + 0,00625824X5-
0,00018558X6 ≥ 0,003
28
X1 + X2 + X3 + X4 + X5 + X6 = 1
X1 ≤ 0,45
X2 ≤ 0,10
X3 ≤ 0,10
X4 ≤ 0,10
X5 ≤ 0,45
X6 ≤ 0,10
X1 , X2 , X3 , X4 , X5 , X6 ≥ 0
Las restricciones obedecen a los siguientes criterios
Restricción 1: el inversionista acepta como mínimo un rendimiento promedio de 0.003.
Restricción 2: la suma de todos los porcentajes debe ser igual a uno es una restricción
básica y obligatoria para el modelo.
Restricciones de preferencias y gustos del inversionista las cuales corresponden a que el
está dispuesto a invertir hasta un 45% en las empresas que tienen rendimientos positivos
y hasta un 10 % a las empresas con rendimientos negativos.
Restricción de no negatividad obligatoria para el modelo
Observemos la introducción del modelo en el software winqsb para posteriormente
resolverlo. Notemos que en el software se introduce la matriz de covarianza de los
rendimientos (observar figura 19) y las restricciones propuestas anteriormente.
Figura 21. Introducción del modelo en el software winqsb.
29
A continuación mostramos los resultados generales del modelo:
Figura 22. Resultados del modelo arrojados por el software winqsb.
30
Figura 23. Solución del modelo e intervalos de sensibilidad de los coeficientes de las
variables.
Figura 24. Precios sombra de las restricciones e intervalos de sensibilidad de las
mismas.
En los resultados del anterior modelo podemos observar y analizar los resultados
obtenidos a continuación:
Vamos a observar las variables de decisión y los porcentajes a invertir en cada uno de
ellas.
X1: Corresponde a la empresa ISAGEN a la cual se le debe invertir un 45% de la
cartera
X2: Corresponde a la empresa BANCOLOMBIA a la cual se le debe invertir un 10%
de la cartera.
X3: Corresponde a la empresa EXITO a la cual se le debe invertir un 4,1455% de la
cartera.
X4: Corresponde a la empresa FABRICATO a la cual NO se le debe invertir.
X5: Corresponde a la empresa ETB a la cual se le debe invertir un 30,8545% de la
cartera.
31
X6: Corresponde a la empresa CEMENTO ARGOS a la cual se le debe invertir un
10% de la cartera.
Para resumir se recomienda al inversionista realizar los porcentajes de inversión
anteriormente mencionados (ISAGEN=45%, BANCOLOMBIA=10%;
ÉXITO=4,1455%; ETB=30,8545% y CEMENTO ARGOS=10%) y no realizar
ningún tipo de inversión en la empresa FABRICATO para así obtener un mínimo
riesgo de 0,002508.
6.2.1. Análisis de sensibilidad para los coeficientes de la función objetivo
Primero haremos el análisis de sensibilidad para los coeficientes de las variables de la
función objetivo en la cual se observan (ver figura 21) los intervalos en los cuales se
pueden presentar cambios sin ningún problema y en los cuales podemos obtener nuevos
valores para los porcentajes y la función objetivo con la gran ventaja de que estos
siguen siendo valores óptimos que garantizan el mínimo riesgo posible en esos casos.
En particular para este problema las variaciones de los coeficientes de la función
objetivo representan un cambio en los rendimientos mensuales de las acciones los
cuales suelen suceder por mucho tipo de problemas presentes en su variabilidad con
respecto al tiempo.
En la variable X1 correspondiente a la empresa ISAGEN se pueden hacer cambios
permisibles entre valores cada vez más pequeños que llamaremos “-M” hasta un valor
de 0,000140 es decir entre [-M, 0.00140].
En la variable X2 correspondiente a la empresa BANCOLOMBIA se pueden hacer
cambios permisibles entre valores cada vez más pequeños que llamaremos “-M” hasta
un valor de 0,002593 es decir entre [-M, 0.002593]
En la variable X3 correspondiente a la empresa EXITO se pueden hacer cambios
permisibles entre -0,002338 y 0,002260.
En la variable X4 correspondiente a la empresa FABRICATO se pueden hacer cambios
permisibles entre -0,009178 y valores cada vez más grandes es decir “M” como
resultado se mueve en el intervalo [-0.009178, M].
En la variable X5 correspondiente a la empresa ETB se pueden hacer cambios
permisibles entre -0,000149 y valores cada vez más grandes es decir “M” como
resultado se mueve en el intervalo [-0.000149, M].
En la variable X6 correspondiente a la empresa CEMENTO ARGOS se pueden hacer
cambios permisibles entre valores cada vez más pequeños que llamaremos “-M” hasta
un valor de 0,001806 es decir entre [-M, 0.001806].
32
6.2.2. Análisis de sensibilidad de los precios sombra y lado derecho de las
restricciones.
En lo que tiene que ver con las restricciones hay dos aspectos para realizar análisis de
sensibilidad una tiene que ver con los precios sombra y la otra con cambios permisibles
en el lado derecho de las restricciones (ver figura 22).
En los precios sombras observamos el de la restricción que tiene que ver con el mínimo
rendimiento aceptado por el inversionista (b=0.003) el cual tiene un precio sombra de
0,109776 lo que equivaldría aproximadamente a un 10,98% y que significa que si
aumentamos en un 1 % el rendimiento mínimo planeado en esa restricción el nivel de
riesgo aumentaría en un 10,98 %.
Los otros precios sombra tiene que ver con las preferencias de inversión del
inversionista el cual programo invertir como mínimo un 45 % en la empresa ISAGEN,
dicha restricción tiene un precio sombra de 0,000140 es decir un 0,0140 % que es un
porcentaje muy pequeño pero se debe interpretar como si el inversionista aumenta en un
1% su inversión en ISAGEN el riesgo aumentaría en un 0,0140 %. Así mismo seria el
análisis para la inversión programada en CEMENTO ARGOS que corresponde a
mínimo un 10 % y tiene un precio sombra de 0,001806 aproximadamente un 0,1806%
el cual significa que si aumentamos en un 1 % la preferencia de inversión en esta
empresa el riesgo aumenta mínimamente un 0,1806% y para finalizar la restricción de
preferencia de inversión en BANCOLOMBIA tiene un precio sombra de 0,002593
correspondiente a un 0,2593 % y significa que si aumentamos en un 1% el valor
asignado del 10 % a esta restricción aumentaríamos el riesgo mínimamente en un
0,2593 %.
A las demás restricciones que presentan un precio sombra de cero se consideran
inactivas.
El análisis de sensibilidad para los lados derechos de las restricciones corresponden al
rango de variación en que se pueden modificar el lado derecho de las mismas sin
cambiar la variables de decisión del problema pero si los porcentajes a invertir en cada
una de ellas así como se detalla a continuación.
Para la restricción del mínimo rendimiento aceptado se pueden hacer cambios de ese
valor entre [0.001777; 0.003866] y no se afectaran las empresas en las cuales se debe
invertir pero si su porcentaje de inversión.
En la restricción de inversión de la empresa ISAGEN se puede realizar una inversión
entre [0,299549; 0,590791] y no se afectaran las empresas en las cuales se debe invertir
pero si su porcentaje de inversión. Así mismo para ETB el intervalo es [0,308545; M],
para CEMENTO ARGOS es [0; 0.0169316], para BANCOLOMBIA es [0;
0,158609], para ÉXITO es [0.041455; M] y finalmente para FABRICATO es [0; M].
Donde cabe recordar que la expresión “M” corresponde a un número cada vez más
grande y los anteriores intervalos antes mostrados valga la redundancia significan los
rangos en los cuales se pueden hacer modificaciones del lado derecho de las
33
restricciones sin que se modifiquen las empresas en las cuales se debe invertir pero si su
porcentaje.
34
CONCLUSIONES
Desde el principio de éste trabajo, se acotó la importancia de que el inversor tenga en
cuenta una serie de factores que de manera directa o indirecta están ligados al único
objetivo de la actividad que es obtener un buen rendimiento. A lo largo de su
contenido, se estudió y se analizó los procedimientos para evaluar y medir el riesgo y el
rendimiento tanto de un solo activo como el de un portafolio de inversiones.
Manejar los conceptos de riesgo, rendimiento y su relación es fundamental a la hora de
elegir una opción de cartera, tales conceptos fueron expuestos con anterioridad y de
acuerdo a esto se puede concluir lo siguiente: Los principios básicos de la selección de
portafolios logran resumirse en la aseveración sensata de que los inversionistas tratan de
aumentar el rendimiento esperado de sus carteras y disminuir la desviación estándar del
rendimiento.
Para los portafolios de inversiones, se utilizaron medidas del rendimiento e indicadores
estadísticos como medidas del riesgo. Como el rendimiento promedio, el rendimiento
compuesto y el rendimiento Blume; el promedio indica lo que realmente se ganó por
año en promedio, anualmente compuesto, el rendimiento compuesto indica lo que se
ganó en un año típico y el rendimiento Blume es una combinación de estos dos.
Un portafolio que proyecte el rendimiento esperado más alto dada cierta desviación
estándar, o la desviación estándar más baja dado cierto rendimiento esperado, se puede
discriminar como un portafolio eficiente.
Para determinar qué portafolios son eficientes, un financista debe ser capaz de expresar,
el rendimiento esperado y la desviación estándar de cada acción, así como el grado de
correlación entre cada acción.
Además del análisis anterior, se utilizó una herramienta de programación lineal, se
puede diseñar un algoritmo que le permita al financista a la hora de invertir elegir la
mejor opción de inversión en una cartera, minimizando el riesgo y buscando el mayor
rendimiento posible; porque permite determinar qué porcentaje del capital disponible
invertir en cada activo del portafolio de inversiones.
Por último, cabe resaltar que el riesgo no sistemático de los activos se ve disminuido
por la diversificación, esto se pudo observar al comparar el riesgo del portafolio de
inversiones evaluado con el riesgo de cada activo individual, por lo que se recomienda
tener esto en cuenta a la hora de armar un portafolio eficiente y que nos ayude a
maximizar el rendimiento (obviamente teniendo en cuenta el riesgo)
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REFERENCIAS
[1] L. J. Gitman and C. J. Zutter, Principios de Administración Financiera, 12th ed., Ed.
Pearson Educación, México, 2012.
[2] J. C. Van Horne and J. M. Wachowicz, Jr., Fundamentos de Administración
Financiera, 13th ed., Ed. Pearson Educación, México, 2010.
[3] S. A. Ross, R. W. Westerfield and J. F. Jaffe, Finanzas Corporativas, 8th ed., E.d
McGraw-Hill Educación, México, 2009.
[4] J. Berk and P. DeMarzo, Finanzas Corporativas, 1st Ed., ed., Ed. Pearson
Educación, México, 2008.
[5] G. D. Eppen, F. J. Gould, C. P. Schmidt, J. H. Moore, and L. R. Weatherford,
Investigación de Operaciones en la Ciencia Administrativa, 5th ed., Ed. Prentice-Hall,
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