Riesgo y Rentabilidad

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Riesgo y Rentabilidad

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Certeza, Riesgo e Incertidumbre

Existen tres posibles situaciones cuando un individuo debe tomar una decisión:Certeza: El resultado real de una decisión es igual al esperado.Riesgo: Se sabe cuáles son los eventos futuros. Se conoce la dimensión de los mismos Se conocen las probabilidades de ocurrencia.Incertidumbre: Se sabe cuáles son los eventos futuros.Puede o no conocerse la dimensión de los mismos. No se conoce con anticipación las probabilidades de ocurrencia.

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Representantes del riesgo

Existen dos representantes del riesgo en finanzas:

Varianza o desviación standard, que es la variabilidad de los futuros rendimientos de una inversión en torno a su valor esperado.

2 ó

Coeficiente Beta, que representa el riesgo de un activo con respecto al mercado.

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Riesgo y rentabilidad de proyectos individuales

Riesgo Estadística

Rentabilidad

Media E(x) = r(t) . p(t)

Varianza 2(x) = (r(t) - E(x))2 . p(t)

Coeficiente de variación = (x)/E(x)

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Cálculo del rendimiento esperado de un negocio, su varianza y dispersión

Ejemplo:

Supongamos que se está evaluando un negocio y no se sabe realmente cuáles serán los futuros rendimientos, pero por la experiencia del pasado en otros negocios similares, se puede tener una idea acerca de cuales pueden ser las probabilidades de ocurrencia de los futuros rendimientos.

Después de realizar un estudio cuidadoso, aparecen tres posibles resultados: el producto es un éxito, es normal o es un fracaso. Se tienen tasas de rendimientos anuales asociadas a su probabilidad de ocurrencia.

Datos:

Escenario Rendimientor

ProbabilidadP(r)

Éxito 20% 30%

Normal 15% 60%

Fracaso -10% 10%

Rendimiento esperado = E(r)= r1.P(r1)+r2.P(r2)+r3.P(r3)

R( r) = 0,20 x 0,30 + 0,15 x 0,60 + (-0,10) x 0,10 = 0,14 ó14%

El rendimiento esperado del negocio es del 14% anual y es la media de todos los rendimientos posibles ponderada por su probabilidad de ocurrencia.

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La varianza y la desviación estándar

Para el cálculo de la varianza (σ2) y la desviación estándar (σ) debemos seguir los siguientes pasos:

1.Se calcula primero el valor esperado E(x).2.Cálculo de la desviación de cada posible rendimiento respecto del valor esperado.3.Calculamos el cuadrado de cada desviación.4.Multiplicamos cada una de las desviaciones cuadradas por su probabilidad de ocurrencia.5.Sumamos las desviaciones cuadradas: el valor obtenido es la varianza de los posibles rendimientos respecto de su valor esperado.6.Obtenemos el desvío estándar calculando la raíz cuadrada de la varianza.

Cuadro completo del cálculo de rendimiento esperado y dispersión:

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Significa que se espera un rendimiento promedio del 14% con un desvío en más o en menos un 8,3%.

Escenario P(r) r P(r) .r (r-E(r))^2 (r-E(r))^2. P(r)

Éxito 0,30 20,0% 6,0% 0,360% 0,108%

Normal 0,60 15,0% 9,0% 0,010% 0,006%

Fracaso 0,10 -10,0% -1,0% 5,760% 0,576%

E( r) = 14% Varianza 0,690%

Desviación8,307%

2ii

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Coeficiente de variación:

5933,014,0

0831,0

media

desvioCV

El CV es una medida de la dispersión relativa de las rentabilidades de un proyecto. Mide los riesgos de un proyecto cuando lo comparamos con otros, cuánto mayor será el CV mayor será el riesgo del proyecto.

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Teoría del portafolio

• Las fórmulas anteriores son genéricas para calcular el rendimiento esperado y el riesgo de un activo individual.

• La mayoría de los inversionistas no invierten en un solo activo, sino que mantienen una cartera de inversiones que incluyen acciones de diferentes compañías, bonos, propiedades, monedas, etc. Una compañía hace lo mismo cuando invierte en diferentes negocios.


• Se entiende por portafolio a una combinación de activos financieros y la teoría del portafolio trata acerca de la óptima solución de dichas combinaciones.

• Por lo tanto, a los inversionistas les interesa más el riesgo de su portafolio que el riesgo de cada activo en forma individual.

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•La teoría del portafolio fue una de las contribuciones científicas más importantes a las finanzas. Hizo su aparición con Harry Markowitz (premio Nobel en el año 1990) en el año 1952 y fue perfeccionada por Sharpe, Treynor y otros.


• Una nueva inversión no se analiza por sus características individuales sino por su aporte a las relaciones de riesgo y rendimiento de las inversiones de una empresa tomadas en su conjunto.

• Según el grado de correlación de un activo con los demás que componen el portafolio, el activo será más o menos riesgoso.

• Opera en este caso las propiedades de la diversificación.

Espacio rendimiento riesgo

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Coeficiente de correlación (A,B)

Mide la relación que existe entre dos variables. Para nuestro caso mide la relación entre dos activos financieros. Nos da una idea de la dependencia lineal que tienen los rendimientos de dos activos.

(A,B) = CovAB / A .B

El valor del coeficiente de correlación siempre se encuentra entre los límites de -1 y +1.

-1 < (A,B) < 1

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Coeficiente de correlación

• Un coeficiente de correlación de +1, indica que un aumento en el rendimiento de un valor siempre está acompañado por un aumento proporcional en el rendimiento de otro valor y, en forma similar para las reducciones.

• Un coeficiente de correlación de –1, indica que un incremento en el rendimiento de un valor siempre está asociado con una reducción proporcional en el rendimiento del otro valor y viceversa.

• Un coeficiente de correlación cero, indica ausencia de correlación, de manera que los rendimientos de cada valor varían en forma independiente uno del otro.

Coeficiente de correlación

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Cuando menor sea la correlación entre los rendimientos de los activos, mayor serán los beneficios que se obtienen de la diversificación.

La diversificación reduce el riesgo cuando el coeficiente de correlación es menor que 1. El mejor resultado se obtiene cuando los activos financieros están correlacionados negativamente.

Cuando hay una correlación negativa perfecta hay siempre una estrategia de cartera que eliminará completamente el riesgo único.

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Ejemplo del cálculo de la correlación

rA rB

Depresión -20% 5%

Recesión 10% 20%

Normal 30% -12%

Prosperidad 50% 9%

Antes del cálculo de la correlación es necesario calcular la Covarianza. Supongamos una cartera conformada por dos acciones A y B, considerando distintos estados de la economía y la misma probabilidad de que sucedan, el cuadro de las posibles rentabilidades es el siguiente:

El rendimiento promedio de A es del 17,50% y el de B es del 5,50%Los desvíos son del 25,86% y del 11,50% respectivamente.

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Ejemplo del cálculo de la covarianza y correlación

Covarianza entre las rentabilidades del activo A y el B. Al ser negativa

disminuye el riesgo.

1 2

Probabilidad rA – E(rA) rB – E(rB) (1x2)*prob

0,25 -37,50% -0,50% 0,0469%

0,25 -7,50% 14,50% -0,2719%

0,25 12,50% -17,50% -0,5469%

0,25 32,50% 3,50% 0,2844%

-0,4875%

Coef de correlación =

1639,0.

cov

BA

AB

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Rendimiento esperado de un portafolio

Rendimiento esperado de un portafolio con 2 activos:

Proporciones en cada activo

E(rp) = WAE(rA) + WB E(rB)

Rendimientos medios del activo A y el B

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Riesgo del portafolio- Cálculo de la varianza

σp2 = WA

2σA2 + WB

2σB2 + 2 WA WB (A,B) σA σB

El riesgo del portafolio se expresa a través del desvío estándar:

σp = raíz cuadrada de la varianza

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Ejemplo de rendimiento y riesgo de un portafolio

Supongamos que se ha repartido una inversión entre dos activos: el 20% del dinero en el activo A (cuyos precios son menos estables),y el 80% restante en el activo B (cuyos rendimientos son más estables). Los rendimientos esperados para el próximo año y los desvíos estándar son los siguientes:

Activo Proporciónen la cartera

Rendimiento esperado

Desviación estándar

A 20% 21% 40%

B 80% 15% 20%

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Si se invierte el 20 % del dinero en el activo A y el restante 80 % en el activo B, el rendimiento esperado sería igual a los rendimientos de los dos activos ponderados por el porcentaje invertido en cada uno:

E(r) = (0,20 x 21 %) + (0,80 x 15 %) = 16,2 %

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El riesgo del portafolio si consideramos una correlación del 0,5 es:

σ 2 = 0,202 x 402+0,802 x 202+2 x 0,20 x 0,80 x 0,50 x 40 x 20

=64 + 256 +128 = 44825

El riesgo del portafolio lo expresamos a través de la desviación estándar, que es la raíz cuadrada de la varianza y está expresado en la misma unidad de medida que el rendimiento esperado:

σ = 21,16 %


El riesgo del portafolio si consideramos una correlación de 1 se realiza con una fórmula más simplificada y es:

σ = 0,20 x 40 + 0,80 x 20 = 24%

En este caso el riesgo es máximo ya que están positiva y perfectamente correlacionados, no disminuye el riesgo aunque se diversifique.

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El riesgo del portafolio si consideramos una correlación de -1 será:

σ 2= 0,202 x 402+ 0,802 x 202 + 2 x 0,20 x 0,80 x (-1) x 40 x 20

σ = 8%

Se reduce el riesgo ya que los rendimientos se mueven en forma opuesta, pero para que el riesgo sea nulo debería encontrarse las proporciones

adecuadas para cada activo.

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Podemos concluir que el riesgo del portafolio depende de:

La proporción o peso relativo (w) de cada activo.La dispersión de (σ) cada activo.La correlación entre los rendimientos de los activos

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La frontera de eficiencia

No todas las combinaciones entre rendimiento y riesgo son iguales; haycombinaciones mejores que otras. Las mejores combinaciones forman lo que se conoce como una cartera o portafolio “eficiente”

Hay un rendimiento y riesgo asociado a cada portafolio posible.

El conjunto de todos los portafolios que es posible formar se llama conjunto de oportunidades.

Dentro de este conjunto, hay un subconjunto de portafolios para cada nivel de riesgo que maximizan el rendimiento y para cada nivel de rendimiento que minimizan el riesgo.

Este subconjunto forma el conjunto de portafolios eficientes y se denomina frontera de eficiencia.

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La frontera de eficienciaEn principio existen infinitas carteras que se pueden formar con “n” acciones. Calculando el rendimiento promedio y la varianza de todas esas carteras tendríamos un gráfico como el siguiente:

El área dentro de la figura, que se llama conjunto factible, nos muestra las infinitas combinaciones de carteras que se pueden formar con las “n” acciones consideradas.

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La frontera de eficiencia

• La curva AC está formada por portafolios que no están dominados por ningún otro, contienen el máximo rendimiento deseado para su nivel de riesgo.

• Si se desea aumentar la rentabilidad esperada y reducir el riesgo, se estará interesado únicamente en aquellas carteras que se encuentren sobre la curva que va desde A hasta C. Harry Markowitz las llamó Carteras Eficientes.

• A partir de aquí, la elección de la cartera dependerá del grado de aversión al riesgo del inversionista.

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Riesgo específico y riesgo sistemático

Específico, propio o diversificable: peligros especiales de cada empresa. (estacionalidad, moda, dependencia climática, etc.)RiesgoTotal

De mercado, sistemático o no diversificable: peligros de la

economía que afectan a todas las empresas (tipo de cambio, inflación, riesgo país, etc.)

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Riesgo específico y riesgo sistemático

Mercado Ünico

Cantidad de títulos

Riesgo de la cartera

A medida que aumentamos el número de títulos disminuye el riesgo específico y queda al riesgo de mercado

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Riesgo específico y riesgo sistemáticoComo el rendimiento que se obtiene de una

inversión está ligado con su riesgo, un riesgo que puede ser eliminado no genera recompensas de ningún tipo.

Entonces el único riesgo que genera recompensas es el sistemático o no diversificable, o sea el que subsiste aún en un portafolio bien diversificado.

Prima de Riesgo

La recompensa que promete el riesgo sistemático o no diversificable (es decir: la prima de riesgo que se asocia con el riesgo de mercado) puede expresarse como la diferencia entre rm, la tasa de rendimiento del mercado accionario en su conjunto y la rf, la tasa libre de riesgos de la economía, es decir:

Prima de riesgo de Mercado = rm - rf

• En lo que a riesgo se refiere, lo único relevante al realizar la evaluación individual sería el aporte de riesgo no diversificable con el que la acción contribuye al riesgo total de un portafolio.

• El retorno de una acción en particular se justificaría solo por la porción del riesgo sistemático (o no diversificable) que posee.

El coeficiente

• De acuerdo a lo planteado anteriormente, la prima de riesgo esperada de una acción está directamente vinculada con la volatilidad de los rendimientos que muestre esa acción, en relación con los rendimientos que ofrece el mercado en su conjunto.

Llamando beta a esa medida de volatilidad, entonces:

Prima de riesgo de la acción=

= . Prima de riesgo del mercado

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El coeficiente

• Si se quiere conocer la contribución de un activo individual al riesgo de una cartera bien diversificada, no sirve de nada saber cuál es su riesgo por separado.

• En realidad se necesita medir el riesgo de mercado, es decir, la sensibilidad de los cambios en el rendimiento del activo respecto a los cambios en el rendimiento del mercado. Dicha sensibilidad se representa con la Beta de dicho activo.

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El coeficiente • BETA > 1: acción de elevada volatilidad, varía más que el mercado

Ejemplo: una acción con una beta del 1,5 significa que históricamente ha oscilado un 50% más que el mercado, tanto en subidas como en bajadas: si el mercado ha subido un 10%, esta acción ha subido un 15%, y si el mercado ha bajado un 10%, esta acción lo ha hecho en un 15%.

• BETA = 1: acción con la misma volatilidad que el mercado.

Ejemplo: si el mercado ha subido un 10%, esta acción ha subido otro 10%, y si el mercado ha bajado un 10%, esta acción ha bajado lo mismo.

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El coeficiente

• BETA < 1: acción de poca volatilidad, varía menos que el mercado

Ejemplo: una acción con una beta del 0,3 significa que dicha acción ha oscilado históricamente un 30% de lo que lo ha hecho el mercado: si el mercado ha subido un 10%, esta acción ha subido un 3%, y si el mercado ha bajado un 10%, esta acción ha bajado un 3%.

• BETA < 0: es una situación poco habitual pero que se puede presentar; significa que la acción varía en sentido contrario a lo que lo hace el mercado: si el mercado sube la acción baja y viceversa.

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El coeficiente

•Los valores de pueden pronosticarse mediante la utilización de una serie cronológica de las tasas de rendimiento del título considerado en un período previo dado.Con los datos obtenidos la Beta se calcula con la siguiente fórmula:

Beta de la acción K = Covarianza de la acción K con el mercado Varianza del mercado

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El coeficiente

Rendimiento de la acción

rendimiento del mercado

beta = 1

beta = 0,5

beta = 2

10%

5%

10%

20%

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El coeficiente

La beta de una cartera de activos es el promedio ponderado de las betas individuales.

Beta de la cartera = Beta de A x proporción de A + Beta de B por proporción de B +

…

Activos financieros libre de riesgo (rf ) tienen =0

El mercado (rm) tiene =1

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Teoría del mercado de capitales

La teoría de Markowits sobre la elección de portafolios óptimos está elaborado a partir de activos riesgosos. No existe en él un activo “libre de riesgo”. El riesgo es cuantificado por la varianza.

La teoría del mercado de capitales y el modelo de fijación de precios de capital –CAPM- intenta dar una explicación de cómo se fijan los precios de los activos financieros. El riesgo es cuantificado por el coeficiente beta.

Teoría del mercado de capitales

El CAPM es una pieza central de las finanzas modernas que realiza predicciones acerca de la relación entre el riesgo y el rendimiento esperado.

Basado en el trabajo original sobre la teoría del portafolio de Harry Markowitz, fue desarrollado por William Sharpe, John Lintner y Jack Treynor en 1965-66.

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Recta del mercado de valores (SML :Security Market Line )

La SML tiene en cuenta la correlación entre la variación en los rendimientos del portafolio o activo individual con respecto a la variación en los rendimientos del mercado.

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Modelo de fijación de precios de capital (CAPM: The Capital Asset Pricing Model)

La ecuación del mercado de valores es la base del CAPM desarrollado por William Sharpe:

Comenzado con supuestos simplificadores paraun mundo hipotético de inversores, se transformó en un modelo muy utilizado por los analistas en:•Fijación de precios de activos y valuación de acciones.•Determinación de tasas de descuento para nuevas inversiones de capital (cálculo del valor actual neto).•En mercados de capitales no desarrollados se le aplican ajustes correctivos.

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Rendimiento esperado según el CAPM

R(k) = Rf + (Rm – Rf ). (km)/2m

tasa libre Precio Cantidad de riesgode riesgo del riesgo

Cantidad de riesgo = beta

R(k) = Rf + (Rm – Rf ).

R(k) = rendimiento esperado de un activo o un portafolio.Rm = rendimiento esperado del mercado.Rf = tasa libre de riesgo(km) = covarianza entre K y M.2m = varianza del mercado

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Resumiendo:

La diferencia entre la rentabilidad de mercado y el tipo de interés libre de riesgo se conoce como prima de riesgo de mercado. (Rm – Rf)

Según el modelo de equilibrio de activos financieros (CAPM), en un mercado competitivo la prima de riesgo varia en proporción directa a

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El rendimiento esperado (R(k)) de un activo K está determinado por:

1. El rendimiento libre de riesgo (que compensa el valor tiempo del dinero) Rf.

2. El premio por el riesgo de mercado (que debería compensar el riesgo sistemático) (Rm – Rf)

3. El beta del título (que representa la medida del riesgo sistemático presente en un título determinado.

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