Riga…&

Compasso

Riga e compasso erano gli unici strumenti a

disposizione dei geometri antichi. Ma la riga e il compasso, in geometria, hanno caratteristiche molto particolari...

Partiamo dalla retta. Euclide, nei Libro Primo dei suoi celeberrimi “Elementi”, dà queste definizioni:

1 — Un punto è ciò che è privo di parti.2 — Una linea è una lunghezza senza

larghezza.3 — Le estremità di una linea sono

punti.4 — Una retta è una linea che giace

ugualmente rispetto ai punti su di essa.

Seguono due postulati (affermazioni che vengono considerate vere senza venire dimostrate):

1 — È possibile condurre una linea retta

da un qualsiasi punto ad ogni altro punto.

2 — È possibile prolungare illimitatamente in linea retta una retta finita.

Tutto questo è abbastanza intuitivo: dati due punti qualsiasi, essi possono essere congiunti con un segmento rettilineo; e si può anche proseguire il disegno prolungando a piacimento il segmento oltre i punti dati.

Nelle costruzioni geometriche capita di dover riportare (o, più esattamente, “applicare”) la lunghezza di un segmento a un altro segmento. E qui viene fuori un problema non da poco, in quanto la riga NON è graduata. “Misurare” un segmento con un righello e poi riportare quella misura da un’altra parte non è certo un sistema esatto, e infatti non viene mai preso in considerazione da Euclide. Allora come si fa?

Visto che con la riga il “trasporto” di una lunghezza non si può fare, non rimane altro strumento disponibile che il compasso... allora vediamo per Euclide cos’è un cerchio (o circonferenza).

Definizioni:15 — Dicesi cerchio una figura piana

delimitata da un'unica linea tale che tutti i segmenti che terminano su di essa a partire da un medesimo punto fra quelli interni alla figura, siano uguali fra loro.

16 — Quel punto si chiama centro del cerchio.Postulato:3 — È possibile descrivere un cerchio con

qualsiasi centro e qualsiasi raggio.

Il compasso è proprio lo strumento necessario per tracciare questa figura chiamata cerchio: dato un centro e uno dei punti sulla sua circonferenza, è in grado di tracciare tutti gli altri punti alla stessa distanza dal centro.

Allora visto che il compasso è in grado di determinare tutti i punti equidistanti da un punto dato (centro), non è che lo si potrebbe usare anche per “trasportare” una lunghezza, come mostro qui sotto?

La risposta è... Nì. Nel senso che questa è una pratica usata continuamente, ma non è giustificata direttamente dai postulati di Euclide; quindi in teoria... è un’operazione vietata.

Dobbiamo immaginare che il compasso di Euclide abbia la particolarità di richiudersi automaticamente appena viene allontanato dal foglio: proprio come nell’animazione più sopra, quella dove mostravo il disegno della

circonferenza.

Ora è ovvio che Euclide non si poteva arenare di fronte a questa difficoltà, infatti dedica le prime

tre proposizioni del Libro Primo dei suoi Elementi proprio al

superamento di quest’ostacolo.

Nella prima proposizione mostra come si costruisce un triangolo equilatero su un segmento dato (equilatero è quel triangolo che ha i tre lati uguali):

Come si vede dall’animazione, vengono tracciati due archi di cerchio, entrambi di raggio pari al segmento dato; ogni volta il compasso viene richiuso e riaperto: ecco che NON stiamo commettendo l’infrazione di tenere il compasso aperto fra il disegno di un arco e l’altro.

Ecco dimostrato che una lunghezza può essere trasportata in modo esatto, da un punto a un altro del foglio, senza trasgredire alle “regole” di Euclide.

 Il fatto che questa operazione sia

fattibile basandosi su definizioni e

postulati già presenti è il motivo per cui Euclide non ha avuto bisogno di

aggiungere, fra i suoi postulati, qualcosa che affermasse la possibilità di

trasportare una lunghezza.

E uclide

Possiamo usare il procedimento dichiarato “vietato” come scorciatoia per semplificarci il lavoro, ma solo dopo aver dimostrato la fattibilità di questa operazione con i metodi “prescritti”.

Jolene Incontra

da