Rinforzo a flessione Esempi numerici - ordineingegnerinapoli.it · 2 • Il rinforzo a flessione è necessario per elementi strutturali soggetti a momento flettente di calcolo maggiore

1

Rinforzo a flessioneEsempi numerici

2

• Il rinforzo a flessione è necessario per elementistrutturali soggetti a momento flettente di calcolomaggiore della corrispondente resistenza

• Il rinforzo a flessione mediante materiali compositiè eseguito mediante applicazione di uno o piùlamine ovvero uno o più strati di tessuto al lemboteso dell’elemento da rinforzare

Rinforzo a flessione

3

La rottura a flessione si ha per:

• Raggiungimento della massima deformazione plastica nel calcestruzzo compresso, εcu

• raggiungimento di una deformazione massima nel rinforzo in FRP, εfd, calcolata come:

fufd a f,max

f

min ,εε η εγ

⎧ ⎫= ⎨ ⎬

⎩ ⎭

− ηa : fattore di conversione ambientale (per varie condizioni di esposizione e vari sistemi in FRP)

− εfu : deformazione ultima del rinforzo

− γf : coefficienti parziali per materiali e prodotti

− εf,max : deformazione massima per delaminazione

Rinforzo a flessione:Calcolo del Momento Resistente

4

Rinforzo a flessione:Deformazione massima nel rinforzo

0.950.750.85

Carbonio/EpossidicaVetro/Epossidica

Aramidica/Epossidica

Esposizione interna

0.850.650.75



Esposizione esterna (ponti colonne parcheggi)

0.850.500.70



Ambiente aggressivo (centrali chimiche e centrali di trattamento delle acque)

ηaTipo di fibra/resinaCondizione di esposizione

− ηa : fattore di conversione ambientale (per varie condizioni di esposizione e vari sistemi in FRP)

5


1.501.20Lamine e tessuti FRP

APPLICAZIONE TIPO BAPPLICAZIONE TIPO AMATERIALE/PRODOTTO

Applicazione tipo A: sistemidi rinforzo prefabbricati in condizioni di controllo diqualità ordinario, applicazione di tessuti a mano con elevato controllodi qualità

Applicazione tipo B: applicazione ditessuti a mano in condizione diqualità ordinario, applicazione diqualsiasi sistema di rinforzo in condizioni di difficoltà ambientaleo operativa

− γf : coefficienti parziali per materiali e prodotti

6


− εf,max : deformazione massima per delaminazione intermedia (Modalità 2)

fddf,max cr

f

fkE

ε = ⋅

- kcr : coefficiente pari a 3- Ef : Modulo Elastico FRP - ffdd : tensione di progetto nel rinforzo

f Fkfdd

ffd c

21 EftΓ

γ γ=

⋅

7

Rinforzo a flessione:Tensione di progetto nel rinforzo

− ffdd : tensione di progetto nel rinforzo

ΓFd : Valore di progetto energiaspecifica di frattura b ck ctm0.03Fk k f fΓ = ⋅ ⋅ ⋅

[forze in N , lunghezze in mm]

fck : Valore caratteristico resistenza a compressione calcestruzzo

fctm : Valore medio resistenza a trazione del calcestruzzoγc : coefficiente parziale del calcestruzzo (fornito da Normativa vigente)

f Fkfdd

ffd c

21 EftΓ

γ γ=

⋅

8

Rinforzo a flessione:Tensione di progetto nel rinforzo

kb : Fattore di tipo geometrico

f

fb

f

2 1 0 33

1400

bbbk per .b b

−= ≥ ≥

+

se bf/b<0.33 nella formula si usa bf/b = 0.33b : larghezza della trave

bf : larghezza rinforzo

b ck ctm0.03Fk k f fΓ = ⋅ ⋅ ⋅

[lunghezze in mm]

9


x = ξ d

εfd

d

dh

b

d

Af

t

As1

As2

εs2 σs2

εy,dσs1σf

2

1

M

εcu σc

1

2

ε0

εc0

f

bf

εs >εyd

εco

εcu

εo εfd

εs2 x =ξ d σs2

σc

fyd

σf

Αs2

Αs1

d h

b Af

bf

Zona 1: Rottura per raggiungimento deformazione elastica limite diprogetto nelle fibre

Zona 2: Rottura per schiacciamento del calcestruzzo con acciaio tesosnervato

10


x = ξ d

εfd

d

dh

b

d

Af

t

As1

As2

εs2

εy,d

2

1

εcu

1

2

ε0

εc0

f

bf

εs >εyd

εco

εcu

εo εfd

εs2 x =ξ d

Αs2

Αs1

d h

b Af

bf

Zona 1:

• FRP:f fdε ε=

c fd o cu( )

( )x

h xε ε ε ε= + ⋅ ≤

−

2s2 fd o( )

( )x dh x

ε ε ε −= + ⋅

−

s1 fd o

d x( )( h x )

ε ε ε −= + ⋅

−

• Cls lembo compresso:

• Acciaio compresso:

• Acciaio teso:

E’ superfluo verificare l’entità della deformazione dell’acciaio teso:

I valori usuali della deformazione limite delle fibre εfd, e del calcestruzzo, εcusono tali da escludere in genere l’attingimento della deformazione limite dell’acciaio

11


x = ξ d

εfd

d

dh

b

d

Af

t

As1

As2

εs2

εy,d

2

1

εcu

1

2

ε0

εc0

f

bf

εs >εyd

εco

εcu

εo εfd

εs2 x =ξ d

Αs2

Αs1

d h

b Af

bf

Zona 2:

• FRP:

• Cls lembo compresso:

• Acciaio compresso:

• Acciaio teso:

( )cuf 0 fdh x

xεε ε ε= ⋅ − − ≤

c cuε ε=

s1 cu

d xx

ε ε −= ⋅

2s2 cu

x dx

ε ε −= ⋅

Non viene raggiunta la deformazione limite nelle fibre

12


x = ξ d

εfd

d

dh

b

d

Af

t

As1

As2

εs2 σs2

εy,dσs1σf

2

1

M

εcu σc

1

2

ε0

εc0

f

bf

εs >εyd

εco

εcu

εo εfd

εs2 x =ξ d σs2

σc

fyd

σf

Αs2

Αs1

d h

b Af

bf

In entrambe le zone il momento resistente Mu e x si calcolano:

u cd s2 s2 2 f f 1M b x f ( d x) A ( d d ) A dψ λ σ σ= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅ − + ⋅ ⋅

Eq. equilibrio rotazione intorno all’asse baricentrico armatura tesa

Eq. equilibrio alla traslazione lungo l’asse della trave

cd s2 s2 s1 yd f f0 b x f A A f Aψ σ σ= ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅ − ⋅

13

• I coefficienti adimensionali ψ e λ rappresentano, rispettivamente, l’intensità del risultante degli sforzi di compressione e la distanza di quest’ultimo dall’estremo lembo compresso, rapportati nell’ordine a b⋅x⋅fcd ed a x.

• Nelle zone 1 e 2 l’entità della deformazione esibita dalle barre d’acciaio in trazione è sempre superiore a quella di progetto, εyd

Le tensioni di lavoro dell’acciaio sono sempre pari a fyd

• Per evitare che allo stato limite ultimo l’acciaio teso sia in campo elastico, il coefficiente adimensionale ξ=x/d non deve eccedere il valore limite ξlim


culim

cu yd

εξε ε

=+

14

Rinforzo a flessione: Calcolo delle Sollecitazioni

5,00 5,00

8,00

204

5010 40

IMPERMEABILIZZAZIONEMASSETTO

INTONACO

Carichi Permanenti

kN/m1.9TOT

kN/m0.15Impermeabilizzazione

kN/m0.15Intonaco

kN/m0.38Massetto

kN/m0.35Pignatte

kN/m0.5Soletta

kN/m0.4Travetto

Sovraccarichi AccidentalikN/m0.25Copertura non praticabile

1.5*Sovraccarichi Accidentali2.70 kNm 0.37kN/m1.4*Carichi Permanenti

15

Rinforzo a Flessione: Condizioni di carico

Msd = 7.4 kNm

16

Rinforzo a Flessione

Calcestruzzo:Rck = 20 Mpafcd = 11.0 Mpa

Dati: Sezione non rinforzata

Acciaio:fyk = 440 MpaEs = 210 Gpafyd = 374 Mpaεyd = 0.00182Geometria:

b = 500 mmh = 200 mmd = 30 mm

As1 = 1Φ10 =79 mm2

As2 = 2Φ10 =157 mm2

4016

0

100

500



cd s1 s1 s2 s20 b x f A Aψ σ σ= ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅

u cd s1 s1 1 s2 s2 2 9 7M b x f ( d x) A ( x d ) A ( d d ) . kNmψ λ σ σ= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅ − + ⋅ ⋅ − =

24 6x . mm=

17

Rinforzo a flessione: Calcolo delle Sollecitazioni

5,00 5,00

8,00

205

5010 40

PAVIMENTOMASSETTO

INTONACO

kN/m0.30Pavimento

Carichi Permanenti

kN/m2.2TOT

kN/m0.15Impermeabilizzazione

kN/m0.15Intonaco

kN/m0.38Massetto

kN/m0.35Pignatte

kN/m0.5Soletta

kN/m0.4Travetto

Sovraccarichi AccidentalikN/m1.0Copertura non praticabile

1.5*Sovraccarichi Accidentali3.1 kN/m 1.5kN/m1.4*Carichi Permanenti Msd = 11.1 kNm

18

4016

0

100

500

50

Rinforzo a Flessione: Calcolo del Momento Ultimo

19


Calcolo di kb

b = 100 mmbf = 50 mm

bf / b = 0.5f

bf

2 = 1.15 > 1

1400

OK

bbk b

−=

+

Calcolo di ΓFd

fck = 0.83 Rck = 16.60 Mpafctm = flessione = 0.27 x (Rck )^(2/3) = 2.0 Mpaγc = 1.6

b ck ctm0.03 0.2Fk k f fΓ = ⋅ ⋅ ⋅ =

20

Calcolo di ffdd

kc = 3γRd = flessione = 1.00Ef = 170000 Mpatf = spessore totale rinforzo = 1 x 1.4 = 1.4 mmΓFd = 0.20

f Fkfdd

ffd c

21 434Ef MPatΓ

γ γ= =

⋅


21


Calcolo di εfd

fua

f

0.0144εηγ

=

fufd a f,max

f

min , 0.0026εε η εγ

⎧ ⎫= =⎨ ⎬

⎩ ⎭

ηa = 0.95εfu = 0.018γf = 1.2 (Applic. Tipo A)

fddf,max cr

f

0 0026fk .E

ε = ⋅ =kcr = 3ffdd = 434 MpaEf = 170000 Mpa

22

Calcolo del Momento Ultimo

Regione di rottura: 1Rottura per raggiungimento deformazione elastica limite di progetto nelle fibrex = profondità asse neutro = 29.7 mmξ = x/h = 0.149ψ = 0.6745λ = 0.3765σs2 = 374 Mpaσf = 434 Mpa

Mu = 14.9 kN m


23

Rinforzo a Flessione: Travetto Solaio

Mu = 14.90 kN m

Mu = 9.70 kN m Sezione originale:

Sezione rinforzata:

L’utilizzo del rinforzo ha apportato un incremento in termini di capacità di resistenza a flessione pari al 53% dellacapacità originaria

24

4016

0

100

500

50

Rinforzo a Flessione (2): Calcolo del Momento Ultimo

25


Calcolo di kb

b = 100 mmbf = 50 mm

bf / b = 0.5f

bf

2 = 1.15 > 1

1400

OK

bbk b

−=

+

Calcolo di ΓFd


b ck ctm0.03 0.2Fk k f fΓ = ⋅ ⋅ ⋅ =

26

Calcolo di ffdd


f Fkfdd

ffd c

21 1467Ef MPatΓ

γ γ= =

⋅


27


Calcolo di εfd

fua

f

0.0166εηγ

=

fufd a f,max

f


⎧ ⎫= =⎨ ⎬

⎩ ⎭

ηa = 0.95εfu = 0.021γf = Applic. Tipo A= 1.2

fddf,max cr

f

0 0063fk .E


28


Regione di rottura: 1Rottura per raggiungimento deformazione elastica limite di progetto nelle fibrex = profondità asse neutro = 26.35 mmξ = x/h = 0.1317ψ = 0.6228λ = 0.3681σs2 = 374 Mpaσf = 1467 Mpa

Mu = 11.7 kN m


29

Rinforzo a Flessione (2): Travetto Solaio

Mu = 11.70 kN m


Sezione rinforzata:


30

Rinforzo a Flessione: Trave

500

300

2Ø16

4Ø16



cd s2 s20 b x f Aψ σ= ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅

u cd s2 s2 2 132 00M b x f ( d x) A ( d d ) . kNmψ λ σ= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅ − =

Calcestruzzo:Rck = 20 Mpafcd = 11.0 Mpa

Acciaio:fyk = 440 MpaEs = 210 Gpafyd = 374 Mpaεyd = 0.00182

Geometria:b = 300 mmh = 500 mmd = 30 mm

As1 = 2Φ16 =402 mm2

As2 = 4Φ16 =804 mm2

89 40b . mm=

Msd = 123.08 kNm

31

Rinforzo a Flessione: Esempi NumericiTrave

Msd = 184.9 kNm

500

300

2Ø16

4Ø16

2 strati

32

Calcolo di kb

b = 300 mmbf = 300 mm

bf / b = 1.0f

bf

2 = 0.76 < 1

140

[ ]

0

1

bbk b

−=

+

Calcolo di ΓFd


b ck ctm0.03 0.17Fk k f fΓ = ⋅ ⋅ ⋅ =


33

Calcolo di ffdd


f Fkfdd

ffd c

21 893Ef MPatΓ

γ γ= =

⋅


34

Calcolo di εfd

fua

f

0.0090εηγ

=

fufd a f,max

f


⎧ ⎫= =⎨ ⎬

⎩ ⎭

ηa = 0.95εfu = 0.011γf = 1.2 ( Applic. Tipo A)

fddf,max cr

f

0 0023fk .E



35


Regione di rottura: 1Rottura per raggiungimento deformazione elastica limite di progetto nelle fibrex = profondità asse neutro = 181 mmξ = x/h = 0.3616ψ = 0.8095λ = 0.4160σs2 = 374 Mpaσf = 893 Mpa

Mu = 197.8 kN m


36

Mu = 197.8 kN m


Sezione rinforzata:



37

Rinforzo a TaglioEsempi numerici

38

Rinforzo a TaglioCalcolo resistenza a taglio sezione in c.a.:

{ }Rd,max cd wdrd min V ;V +V =127kNV =

53wdV kN=74cdV kN=

Resistenza biella compressadi calcestruzzo:

Somma contributo calcestruzzo piùcontributo armatura a taglio

,max 0,30Rd cd wV f b d= ⋅ ⋅ ⋅( )0,90 sin coswd sw ywd

dV A fs

α α= ⋅ ⋅ ⋅ +

0,60cd ctd wV f b d δ= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

,max 373RdV kN=

39

Rinforzo a Taglio: Trave tipo U-Jacket50

0300

300

40

Rinforzo a TaglioCalcolo resistenza a taglio sezione in c.a.:

{ }Rd Rd,ct Rd,s Rd,f Rd,maxmin ,V V V V V= + +

contributo del calcestruzzo

contributo dell’armatura trasversale di acciaio, “da valutarsi in accordo con i Codici e la Letteratura Tecnica più recente”

contributo del rinforzo di FRP

resistenza della biella compressa di calcestruzzo, “da valutarsi in accordo con i Codici e la Letteratura Tecnica più recente”.

Rd,ctV

Rd,sV

Rd,fV

Rd,maxV

41

fRd,f fed f

Rd f

1 0,9 2 (cot cot ) wV d f tp

θ βγ

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅

γRd coefficiente parziale per modello di resistenza pari a 1,20 (CNR Punto 3.4.1 Tabella 3.3)d altezza utile della sezionehw larghezza della membratura resistente a tagliotf spessore del rinforzo di FRPβ angolo di inclinazione delle fibre rispetto all’asse dell’elementoθ angolo di inclinazione delle fessure da taglio rispetto all’asse dell’elemento

(in mancanza di determinazione più accurata, si può assumere θ= 45°)wf larghezza delle striscepf passo delle strisce

I valori di wf e di pf devono essere misurati ortogonalmente alla direzione delle fibre e, nel caso di strisce poste in adiacenza o di fogli, il rapporto è pari ad 1,0.

Rinforzo a Taglio: Rinforzo Continuo tipo U-Jacket

42

Rinforzo a Taglio: Rinforzo Continuo tipo U-Jacket

[tensione di progetto del rinforzo]{ }fed fdd

w

e sin113 min 0,9 ;

f fd h

l β⎡ ⎤⋅= ⋅ − ⋅⎢ ⎥⋅⎣ ⎦

f Fkfdd

ff,d c

21 Eft

Γγ γ

⋅ ⋅= ⋅

⋅

b ck ctm0.03Fk k f fΓ = ⋅ ⋅ ⋅

f w

sin( )min{0,9 ; }sin

b b d h θ βθ+

= = ⋅ ⋅nel caso di rinforzi continui, essendo hw l’altezza dell’anima della trave.

f fe

ctm

[lunghezze in ]2E tl mm

f⋅

=⋅

Punto 4.3.3.3: “Nel caso di disposizione ad U ed in avvolgimento, gli spigoli della sezione dell’elemento da rinforzare a contatto con il materiale composito devono essere arrotondati, in modo da evitare il tranciamento del rinforzo. Il raggio di curvatura,dell’arrotondamento deve essere non minore di 20 mm.”

43

Calcolo di kb

bf = b = min(423;300)=300f

bf

2 =0.76<1

1400

1][

bbk b

−=

+

Calcolo di ΓFd


b ck ctm0.03 0.17Fk k f fΓ = ⋅ ⋅ ⋅ =

Rinforzo a Taglio

44

Calcolo di ffdd

kc = 3γRd = Taglio = 1.20

γfd = (Applic. Tipo A) = 1.20Ef = 390000 Mpatf = spessore totale rinforzo = 1 x 0.329 = 0.329 mmΓFk = 0.17

f Fkfdd

ffd c

21 421Ef MPatΓ

γ γ= =

⋅

Rinforzo a Taglio

45

f fe

ctm

1852E tl mm

f⋅

= =⋅

f Fkfdd

ff,d c

21 421Ef MPat

Γγ γ

⋅ ⋅= ⋅ =

⋅

{ }e

fed fddw

sin11 3373 min 0,9 ;

lf f MPad hβ⎡ ⎤⋅

= ⋅ − ⋅ =⎢ ⎥⋅⎣ ⎦

{ }Rd min 373;205 205V kN= =

Rinforzo a Taglio

Rd,ct 74V kN=

{ }Rd Rd,ct Rd,s Rd,f Rd,maxmin ,V V V V V= + +

Rds 53V kN= Rd,max 373V kN=Rd,f 78V kN=

fRd,f fed f

Rd f

1 0,9 2 (cot cot ) 78wV d f t kNp

θ βγ

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ =

46

Vrd= 205 kN m

Vrd = 127 kN m Sezione originale:

Sezione rinforzata:

L’utilizzo del rinforzo ha apportato un incremento in termini di capacità di resistenza a taglio pari al 62% dellacapacità originaria

Rinforzo a Taglio

Tale valore è superiore a quello consentito dalla norma che prevede un valore di incremento massimo di resistenza pari al 60% di quello della sezione non rinforzata.

Documents

Rinforzo a flessione Esempi numerici - ordineingegnerinapoli.it · 2 • Il rinforzo a flessione è necessario per elementi strutturali soggetti a momento flettente di calcolo maggiore