Upload
firman-friedrich-william-iv
View
224
Download
13
Embed Size (px)
DESCRIPTION
Ringkasan teori matekbis untuk mahasiswa feui
Citation preview
CATATAN KULIAH Pertemuan I: Pengenalan Matematika Ekonomi dan
Bisnis A. Sifat-sifat Matematika Ekonomi 1. Perbedaan Matematika vs. Nonmamatematika Ekonomi
Keuntungan pendekatan matematika dalam ilmu ekonomi ◦ Ketepatan (Precise), Keringkasan (concise) ◦ Memaksa pernyataan asumsi-asumsi dengan jelas ◦ Menarik kesimpulan / dalil dari asumsi yang digunakan
melalui Penalaran Deduksi ◦ Memungkinkan pembahasan kasus n-variabel
Matematika sebagai Bahasa dari Logika ◦ Memudahkan proses logika (deduksi/induksi) ◦ Dengan matematika dapat memperluas Logika deduksi ◦ Mampu mengambil esensi dari realitas dengan alat
matematika Kekurangan : Terlalu kaku dan terlalu menyederhanakan realitas
dengan teori. (Realitas Teori) 2. Perbedaan Matematika Ekonomi vs. Ekonometrik
Deduksi vs. induksi ◦ Deduksi: dari umum ke spesifik Matematika Ekonomi ◦ Induksi: dari spesifik ke umum Ekonometrik
Kekurangan deduksi: ◦ Tergantung ketepatan asumsi awalnya
Kekurangan induksi: ◦ Kebenaran dari hasil akhirnya berupa probabilitas
Paradoks Hume: ◦ Bukan deduksi atau induksi yang menuju Kebenaran ◦ Maka gunakan keduanya: masing-masing digunakan
bersama untuk saling mengkoreksi satu dengan yang lain. B. Model-model Ekonomi 1. Unsur-unsur dalam Model Matematis
Variabel, Konstanta, Parameter dan Koefisien Persamaan identitas, kondisi ekuilibrium dan persamaan
perilaku. Contoh:
π ≡ TR – TC (identitas atau definisi) Qd = Qs (Kondisi ekuilibrium) Y = 6 + b X0 (Persamaan perilaku) Y: variabel endogen diperoleh dari dalam X0: variabel eksogen diperoleh dari luar 6: Konstanta b: Parameter dan koefisien dari variabel eksogen X0
B. Sistem Bilangan Real
Bilangan real digambarkan dengan garis bilangan yang mengandung bilangan +, -, dan 0, serta bersifat kontinu. Disimbolkan dengan R, dan terdiri dari: ◦ Bilangan Rasional
Pecahan: dapat dinyatakan sebagai pembagian dua bilangan bulat
Bilangan Bulat: bilangan yang utuh ◦ Bilangan Irasional
Bilangan yang tidak dapat dinyatakan sebagai pembagian dua bilangan bulat, contohnya akar 2, pi.
Perkembangan sistem bilangan dimulai dari yang paling sederhana yaitu bilangan Asli sampai ke bilangan Imajiner, merupakan perkembangan dari pemikiran peradaban manusia itu sendiri. Sketsanya di bawah ini:
Bil Kompleks (C)
Bil. Nyata (R) Bil. Imaginer
Bil. Rasional (Q) Bil. Irasional (Q’), cont: 2
Bil. Bulat (−) 0 Bil. Bulat (+)
Bil. Asli (N)
Bil. Bulat (Z)
Bil. Cacah
Bil. Pecahan
C. Konsep Himpunan
Definisi Himpunan: Kumpulan dari sembarang objek yang didefinisikan.
Notasi Himpunan = huruf besar, ex; A, B, …… Notasi Elemen / anggota = huruf kecil ex; a, b, …… Notasi Keanggotaan ∈ Contoh: Himpunan A= {i,…,n} maka elemen i ∈ A
Hubungan antar Himpunan-himpunan
Himpunan Bagian A adalah himpunan bagian dari B, dinotasikan sebagai A⊂B dan dinyatakan sebagai: A⊂B = { x / Ax∈∀ , x∈B } Contoh: A = { 1,2,3 } , B = { 3,2 } maka B⊂A
Jumlah Himpunan Bagian=2N, N: jumlah anggota himpunan. Misalnya anggota himpunan A = 3, maka himpunan bagiannya = 23 = 8
Himpunan kosong :himpunan tanpa anggota. Notasi = { } atau ∅
Himpunan Semesta :himpunan dari semua anggota. Notasi = S
Operasi himpunan
1. A∪B = { x / x ∈A atau x∈B } 2. A∩B = { x / x ∈A dan x ∈ B } 3. A – B = { x / x ∈A, tetapi x ∉B } 4. Ac = { x / x ∉A, tetapi x ∈S }
Contoh : A = { 5,6,7 } B = { 1,2,3 }
Maka A – B = { 5,6,7 }
Dalil dalam Operasi himpunan 1. Hukum Komutatif: A∪B= B∪A dan A∩B= B∩A 2. Hukum Assosiatif: A∪ ( B∪C)= (A∪B)∪C 3. Hukum Distributif: A∪ ( B∩C)= (A∪B) ∩ ( A∪C)
dan A∩ ( B∪C)= (A∪B) ∩ ( A∪C)
Contoh: Model Permintaan dan Penawaran (demand supply model)
dapat disajikan dalam bentuk himpunan sebagai pasangan berurut (ordered pair definisi ini dilihat pada bagian Fungsi)
berupa garis lurus berupa garis lurus
D∩S = perpotongan berupa titik
Keterangan notasi: ∃/ : tidak ada ∃ : ada ∀ : untuk setiap
D. Himpunan dan Fungsi
• Pasangan berurut (ordered pairs): (a,b) ≠ (b,a) Hal ini berbeda dengan definisi himpunan di mana {a,b} = {b,a}
• Hasilkali Kartesian (Cartesian Product): X × Y = { (a,b) a ∈ X dan b ∈ Y} Contoh: X = {1,2}; Y = {3,4} ; maka Hasilkali Kartesian X × Y = { (1,3) (1,4) (2,3) (2,4) }
• Hubungan (relation): pasangan berurut (x, y) yang bersifat sembarang nilai x dapat menentukan lebih dari satu nilai y
• Fungsi (function): pasangan berurut (x, y) yang bersifat sembarang nilai x dapat menentukan HANYA satu nilai y. Fungsi dinotasikan sebagai f: x y
• Catatan: Hubungan belum tentu fungsi, fungsi pasti hubungan ! Contoh yang bukan fungsi:
Fungsi: Sebelah kiri (domain) harus habis. Ini juga bukan Hubungan. Fungsi: tidak boleh punya 2 pasangan. Ini merupakan Hubungan.
( ){ }PQQPD βα −== ,
( ){ }dPQQPS +== γ,
( )QP,
a b c d
x y z
B A
a b c d
x y z
B A
Penulisan Fungsi secara umum: y = f (x) y adalah variabel terikat (dependent variable) gambaran
(image) dari nilai x. Himpunan semua gambaran disebut kisaran (range),
digambarkan sebagai sumbu vertikal. f adalah fungsi atau aturan pemetaan (mapping) nilai x menjadi
hanya satu nilai y. x adalah variabel bebas (independent variable) Himpunan semua nilai x disebut daerah asal (domain),
digambarkan sebagai sumbu horizontal. E. Tipe-tipe Fungsi
Fungsi Konstan: y = f (x) = k, k∈R Contoh : y = f (x) = 5 y=f (x) 5
Fungsi Polinom (suku banyak)
Bentuk umum: y = f (x) = ∑=
n
i
ii xa
0.
n = 0 y = f (x) = a0x0 = a0 fungsi konstan (berderajat 0) n = 1 y = f (x) = a0+a1x1 f. linear (f. polinom berderajat 1) n = 2 y = f (x) = a0+a1+a2x2
n = 3 y = f(x) = a0+a1x+a2x2+a3x3
x
y=f(x)
a0
y=a0+a1x+a2x2
x
y=f(x)
a0 y=a0+a1x
a1
y=f(x)
x
a0 y=a0+a1x+a2x2+a3x3
Fungsi Rasional : pembagian fungsi polinom
Contoh: y = f(x) = 12
1++
−xx
x
Fungsi Non-Aljabar (Fungsi transenden) o y = ax (fungsi eksponensial) o y = lnb(x) (fungsi logaritma)
Penyimpangan Eksponen
Dalil Eksponen: Xn = (X×X×X×...×X) n kali 1. Dalil I: Xm × Xn = Xm+n 2. Dalil II:
3. Dalil III: X-n = 4. Dalil IV: X0 = 1
5. Dalil V: X1/n = 6. Dalil VI: (Xm)n = Xmn 7. Dalil VII: Xm × Ym = (XY)m
Sifat-sifat fungsi:
Sebuah fungsi NAIK jika: f(xB) ≥ f(xA) untuk xB > xA
Sebuah fungsi SELALU NAIK jika: f(xB) > f(xA) untuk xB > xA
Sebuah fungsi TURUN jika: f(xB) ≤ f(xA) untuk xB > xA
Sebuah fungsi SELALU TURUN jika: f(xB) < f(xA) untuk xB > xA
F. Fungsi dari Dua atau Lebih Variabel Bebas
y = f(x) y = f(x, z) dua variabel bebas (3 dimensi) y = f(w,x,z) tiga variabel bebas (hypersurface)
G. Tingkat Generalitas
Fungsi spesifik 1: bentuk spesifik dan parameter spesifik y = 10 – 5x
Fungsi spesifik 2: bentuk spesifik dan parameter umum y = a – bx
nm
n
m XXX −=
nX1
n x
Fungsi umum: bentuk umum dan tanpa parameter y = f(x) f memetakan x ke hanya satu nilai y
LATIHAN: 1. Dalam teori perusahaan, para ekonom mempertimbangkan biaya total C sebagai fungsi dari tingkat output Q: C=f(Q)
A. Menurut definisi fungsi, akah setiap angka biaya berkaitan dengan tingkat output yang unik?
B. Apakah setiap tingkat output (Q) menentukan angka biaya yang unik?
C. Jika C=5+3Q di mana {Q|1≤Q≤9}, carilah range dari fungsi dan nyatakan dalam bentuk himpunan!
CATATAN KULIAH Pertemuan II: Analisis Keseimbangan Statik
dan Arti Keseimbangan A. Pengertian Ekuilibrium
• Ekuilibrium: kumpulan variable-variabel terpilih yang saling berhubungan satu dengan lainnya dalam model, yang berada dalam keadaan (state) tidak ada kecenderungan yang melekat untuk berubah.
• Ada 2 jenis: Ekuilibrium Tujuan (goal equilibrium) dan Ekuilibrium bukan Tujuan (nongoal equilibrium)
B. Ekuilibrium Pasar Parsial – Suatu Model Linear 1. Pembentukan Model Linear
Persoalan: Pandang satu komoditas, kemudian cari Harga ekuilibrium (Pe) Kuantitas ekuilibrium (Qe), jika • Diberikan variabel:
o Qd Kuantitas Permintaan (demand) o Qs Kuantitas Penawaran (supply) o P Harga, bedakan dengan Pe = Harga ekuilibrium
• Dengan asumsi: o Qd = Qs o Qd Fungsi linier TURUN dari P o Qs Fungsi linier NAIK dari P o Pe > 0
• Kasus ini adalah satu persamaan ekuilibrium dan dua persamaan perilaku.
o Model Permintaan-Penawaran o Qd = a - bP Persamaan Permintaan o Qs = -c + dP Persamaan Penawaran o Qd = Qs Kondisi ekuilibrium
Kasus ini, secara grafik dapat digambarkan sebagai:
2. Penyelesaian melalui Eliminansi Variabel
Model Ekuilibrium Pasar Parsial • Qd = Qs = Qe Kondisi ekuilibrium • Qd = a - b(P) (a,b > 0) Permintaan • Qs = -c + d(P) (c,d > 0) Penawaran
Penyelesaian: a - bPe = -c + dPe a + c = bPe + dPe a + c = Pe(b+d)
Pe = (a+c)/(b+d) Qd = Qe = a-bPe = a-b(a+c)/(b+d) = (ad-bc)/(b+d)
Contoh Soal: Model Ekuilibrium Pasar Parsial
Qd = Qs = Qe Kondisi ekuilibrium Qd = 51 - 3P = a - b(P) Qs = – 10 + 6P = -c + d(P)
Cari nilai Pe dan Qd? Jawab: Qd = Qs = Qe Qd = 51 - 3P Qs = 6P – 10
Qs = −c+dP (supply)
a Qd
P
(demand)
O -c
QQQ sd ==( )QP,
P
bPaQd −=
51 - 3Pe = 6Pe - 10 -9Pe = -61 Pe = 61/9=6 7/9
Pe = 61/9 = 6 7/9 Qd = 51 – 3 (61/9) = 459/9 – 183/9 = 276/9 = 30 2/3
Sehingga (Pe, Qe) = (6 7/9, 30 2/3)
C. Ekuilibrium Pasar Parsial – Suatu Model Nonlinear 1. Pembentukan Model Nonliner
Model Ekuilibrium Pasar Parsial • Qd = Qs = Qe Kondisi ekuilibrium • Qd = 4 – P2 Permintaan • Qs = 4P -1 Penawaran Jawab: 4-P2 = 4P -1 P2 + 4P -5 = 0 Bagaimana cara mencari nilai P?
o Secara grafik o Memfaktorkan o Rumus abc (akar persamaan kuadrat)
A. Secara grafik
Dengan memplot persamaan kuadrat di atas:
B. Memfaktorkan Qd=4-P2 Qs=4P-1 Qd=Qs 4-P2=4P-1 P2+4P-5=0 (P+5)(P-1)=0
P={-5, 1} Qd=4-P2={-21,3}
C. Rumus abc
ax2 + bx + c = 0 → P2+4P-5=01 2. Penurunan Rumus abc dengan melengkapkan persamaan kuadrat
• Persoalan: Persamaan kuadrat ax2+ bx + c = 0, cari nilai x dalam parameter a, b, c.
( ) ( )12
)5)(1)(4(1642
4,
2
21 ⋅−−±−
=−±−
=a
acbbPP
( ) { }5,12
642
20164,2/1
21 −=±
−=+±
−=PP
Penurunan Rumus abc: • x2 + bx/a + c/a = 0 • x2 + bx/a + b2/4a2 = b2/4a2 - c/a • (x + b/2a)2 = (b2-4ac)/4a2 • x + b/2a = ±(b2-4ac)½/2a
Sehingga:
D. Ekuilibrium Pasar Umum 1. Model Pasar dengan Dua Barang
Kasus: Ada dua jenis komoditi yang saling berhubungan satu dengan lainnya. Diasumsikan Persamaan Permintaan dan Penawaran Linear sbb:
Kita dapat menyederhanakan sistem persamaan di atas dengan subtitusi menjadi dua persamaan dengan dua variabel, yaitu:
( ) ( ) ( ) 022211100 =−+−+− PbaPbaba ( ) ( ) ( ) 022211100 =−+−+− PP βαβαβα
Definisikan : iii bac −= iii βαθ −=
Didapat: 0.22110 =++ PcPcc 0.22110 =++ PP θθθ
Terakhir diperoleh solusi, sbb :
( )a
acbbx
242
2,1−±−
=
221102
221102
22
221101
221101
11
0
0
PPQPPQ
QQPbPbbQPaPaaQ
s
d
sd
s
d
sd
βββααα
++=++=
=−++=++=
=−
1221
01102 θθ
θθccccP
−−
=
1221
20021 θθ
θθccccP
−−
=
2. Contoh dengan Angka Diketahui: • Qdi = Qsi • Qd1 = 18-3P1+P2 • Qs1 = -2+4P1 • Qd2 = 12+P1-2P2 • Qs2 = -2+3P2 Cari nilai P1, P2 Jawab:
E. Ekuilibrium dalam Analisis Pendapatan Nasional 1. Model Pendapatan Nasional Keynes (tanpa Pajak):
• Y= C + I0 + G0 (a>0, 0<b<1) • C= a + b y Keterangan: Variabel endogen= Y (pendapatan nasional), C (pengeluaran konsumsi) Parameter = a, b
Variabel eksogen = I0 (investasi),G0(pengeluaran pemerintah)
Cari nilai ekuilibrium pendapatan nasional Ye dan ekuilibrium pengeluaran konsumsi (Ce)
Dengan mensubstitusi didapat:
00 GIbYaY +++= ( ) 001 GIabY ++=−
( )bGIa
Ye −++
=1
00
• 18-3P1+P2 = -2+4P1 • P2=4P1+3P1-2-18 • P2 = 7P1 -20 • 12+P1-2P2 = -2+3P2 • 3P2+2P2= P1 +14 • 5P2 = P1 +14 • 5(7P1 -20) = P1 +14 • 35 P1 -100 = P1 +14 • 34 P1 = 114
P1 = 114/34 = 3,35 P2 =7P1 -20 = 7×114/34-20 = 3,47
bbGbIababa
bGIabaC
bYaC
−+++−
=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−++
+=
+=
1
1
00
00
babGbI
Ce −++
=1
00
2. Model Pendapatan Nasional Keynes (dengan Pajak):
• Y = C + I0 + G0 (1) • C = a + b(Y-T) (2) • T = d+tY (3) Keterangan: Variabel endogen= Y (pendapatan nasional), C (pengeluaran konsumsi), T (pajak) Parameter = a, b, d, t
Variabel eksogen = I0 (investasi),G0 (pengeluaran pemerintah)
Cari nilai ekuilibrium pendapatan nasional (Ye), ekuilibrium Pajak (Te) dan ekuilibrium pengeluaran konsumsi (Ce)
Persoalan ini merupakan persoalan tiga persamaan linier dengan tiga variabel, yang akan mudah diselesaikan dengan konsep MATRIKS pada bab selanjutnya.
3. Contoh dengan Angka:
Diberikan Model Pendapatan Nasional Keynes (tanpa Pajak): Y = C + I0 + G0 C = 25 + 6Y.5 I0 = 16 G0= 14 Cari nilai Ye dan Ce
Jawab: Y = C + 16+ 14 C= Y-30 Y-30 = 25 + 6Y.5 Misalkan: W = Y.5 W2-30 = 25 + 6W W2-6W-55 =0 (W-11)(W+5)
W=11, -5 (ambil yang positif) Ye = 121 Ce = 91
Latihan: 1. Pecahkan Model Pendapatan Nasional Keynes (dengan Pajak) di atas dengan menggunakan metode substitusi atau eliminasi!
CATATAN KULIAH Pertemuan III: Model-model linier
dan Aljabar Matriks (1) Tujuan mempelajari Aljabar Matriks :
Memberikan suatu cara penulisan sistem persamaan yang singkat
walaupun persamaannya luas sekali
Memberikan suatu cara pengujian suatu pemecahan dengan
pendekatan determinan
Mendapatkan cara pemecahan yang ringkas (jika solusinya ada)
A. Matriks dan Vektor
1. Matriks sebagai Susuan [Array]
Asumsikan Model Ekonomi sebagai system persamaan linear , di
mana:
aij : parameter,
dengan i = 1.. n baris, j = 1.. m kolom, dan nilai n=m,
xi : variabel endogen,
di : variabel eksogen dan merupakan konstanta.
Maka Model tersebut dapat dituliskan sebagai:
• Kemudian definisikan : Matriks adalah suatu susunan segi empat
dari bilangan, parameter dan variabel.
nn
n
n
nm
m
m
nn d
dd
x
xx
ax
axax
axa
axaaxa
2
1
2
22
12
211
22121
12111
=
==
+
++
+
++
Bentuk umum dari matriks dinyatakan sebagai :
A = [ aij] i = 1, 2, ……., m = baris, j = 1, 2, ……., n = kolom
A =
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
a a a
a a a a a a
mnm2m1
2n2221
1n1211
…
……
Selanjutnya dengan penulisan matriks, maka sistem persamaan
linear dapat dituliskan sebagai:
Ax = d dimana:
A = matriks dari parameter
x = vektor kolom dari variabel endogen
x =
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
x
xx
n
2
1
d = vektor kolom dari variabel eksogen dan berupa konstanta
d =
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
d
dd
n
2
1
Selanjutnya untuk memecahkan model ekonomi tersebut, kita
harus mencari nilai vektor x, sbb:
dAxdAx
d
dd
x
xx
aaa
aaaaaa
nnnmnn
m
m
1*
2
1
2
1
21
22221
11211
−=
=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
• Ilustrasi untuk Model dua persamaan dua variabel
1) Qd=Qs
2) Qd = a – bP (a,b >0)
3) Qs = -c + dP (c,d >0)
• Selanjutnya atur sehingga menjadi bentuk di bawah ini:
4) 1Q + bP = a
5) 1Q – dP = -c
• Selanjutnya ditulis dengan Aljabar Matriks sebagai:
• Solusi didapat dengan Invers Matriks (Pertemuan selanjutnya) 2. Vektor sebagai Matriks Khusus
• VEKTOR dapat dianggap tipe khusus dari matriks, contohnya:
Vektor baris matriks yang hanya memiliki 1 baris
Contoh : R= [ r1, r2, …..rn ]
Vektor kolom matriks yang hanya memiliki 1 kolom
Contoh : C= ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
n
2
1
ccc
B. Operasi dengan Matriks
Penjumlahan Matriks Secara umum, aturannya:
dAxc
aPQ
db
=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−1
1
dAx
ca
db
PQ
1*
1
*
*
11
−
−
=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡11725
2013
9712
[ ] [ ] [ ]ijijij cba =+
Pengurangan Matriks
Secara umum, aturannya:
Interpretasi geometrik dari Penjumlahan Vektor Misalkan
v = [2 3], u = [3 2], dan v+u = [5 5]
maka dapat digambarkan sebagai:
• Perkalian skalar
Secara umum, aturannya: a=konstanta
Perkalian skalar ini merupakan asal dari konsep ketergantungan linear (linear dependence)
Himpunan vektor saling tergantung linear (linearly dependence) jika sembarang dari anggotanya dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari anggota-anggota yang lain.
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡6511
3201
9712
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡
81432141
1642
81
8483216
1642
8
[ ] [ ]ijij baba =
[ ] [ ] [ ]ijijij cba =+
x1
x2
5
4
3
2
1
1 2 3 4 5
V
U
V+U
Ketergantungan linear ini yang akan menyebabkan kesukaran dalam memecahkan sistem persamaan linear.
Contoh:
Maka vektor V3 adalah bergantung linear, karena:
Interpretasi geometrik dari Perkalian skalar
• Perkalian Vektor (hasilkali titik) Jika c dan z adalah vektor baris berikut ini:
Maka hasilkali titik dari dua vektor tersebut adalah:
[ ]
44332211
4
3
2
1
4321'.
zczczczczzzz
cccczcy
+++=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
==
[ ][ ][ ]54
8172
3
2
1
===
vvv
[ ] [ ][ ]54
16221623 213
=−=−= vvv
023 321 =−− vvv
x2
x1
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6
6
5
4
3
2
1
-2
[ ] U246 =
[ ] U=23
[ ]231 −−=⋅− U
[ ]4321 ccccc =[ ]4321 zzzzz =
• Catatan pada Operasi Vektor Sebuah vektor kolom u [m x 1] dan baris vektor v [1 x n] maka hasil kalinya uv mempunyai dimensi [m x n].
Contoh:
• Perkalian Matriks
Perkalian matriks membutuhkan Kondisi Kesesuaian (conformability condition)
Kondisi Kesesuaian adalah bahwa untuk perkalian, dimensi kolom matriks dari matriks yang di awal (lead matrix) A harus sama dengan dimensi baris dari matriks yang di akhir (lag matrix) B.
Jadi apabila A dan B adalah sembarang matriks dimana dimensi dari kedua matriks adalah A(mxn) dan B(pxq), perkalian matriks A dan B dapat dilakukan apabila n = p dan hasil dari perkalian tersebut adalah sebuah matriks yang berdimensi (mxq).
Contoh:
• Dimensi: A(1x2), B(2x3), maka C(1x3)
• Notasi Sigma Σ Simbol Yunani sigma yang digunakan untuk Penjumlahan adalah
cara lain untuk menyajikan Perkalian Matriks. Dalam notasi ini digunakan, indeks penjumlahan biasanya
disimbolkan i. Contoh:
Notasi untuk Hasilkali titik:
[ ]
[ ][ ] Cccc
babababababa
bbbbb
aaAB
==+++=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡=
131211
231213112212121121121111
232221
1312111211
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
23
12xu [ ]541
31=
xv
[ ] ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡=
108215123
54123
32xuv
332211
3
1babababa
iii ++=∑
=
C. Hukum Komutatif, Asosiatif dan Distributif
• Hukum Komutatif Penjumlahan Matriks: A + B = B + A
Perkalian Matriks, secara umum tidak bersifat komutatif. Sehingga, AB ≠ BA, bahkan jika BA memenuhi kondisi kesesuaian.
Kekecualian: AB=BA jika dan hanya jika B = sebuah skalar, B = matriks identitas I, atau B = invers dari matriks A, atau A-1
D. Matriks Identitas dan Matriks Nol
Matriks Bujursangkar
Matriks segi adalah matriks yang memiliki jumlah baris dan
jumlah kolom yang sama
Contoh : m 2x2 ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡ d c b a
Matriks Identitas
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡++++
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡=+
22222121
12121111
2221
1211
2221
1211
abaaabba
bbbb
aaaa
BA
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡++++
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡=+
22222121
12121111
2221
1211
2221
1211
abababab
bbaa
bbbb
AB
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡=
7610
,4321
BA
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡+−++−+
=25241312
7413640372116201
AB
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡ −−=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡++−+−+
=4027
434726371641203110
BA
Matriks identitas adalah matriks bujursangkar yang memiliki nilai
sama dengan 1 untuk diagonal utama dan nol untuk yang lainnya.
Contoh : I 2x2 = ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡1001
I 3x3 =
Matriks Nol Matriks Nol adalah matriks yang semua elemennya sama dengan nol.
Contoh : E. Matriks Transpos
Transpos dari suatu matriks A= aij yang berukuran m x n dinotasikan sebagai AT yang berukuran n x m dimana setiap elemennya adalah aT
ij = aji . Contoh:
A = ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=→⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡s qr p
A sr
q Tρ
Sifat Matriks Transpos: (AT)T = A
F. Determinan dan Sifat Dasar Determinan
Definisi: Determinan suatu matriks A dinotasikan sebagai |A| adalah bilangan skalar yang dihubungkan secara tunggal dengan matriks tersebut.
Contoh:
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
000000000
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
100010001
.
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −=
401983
A⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−=
490813
TA
Ordo 2 x 2
A = ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡d cb a
⏐A⏐= ad – bc
Ordo 3 x 3
Secara umum dapat dihitung dengan Ekspansi Laplace dengan menggunakan Kofaktor:
Maka dengan Ekspansi Laplace didapat bahwa: Di mana:
Dan matriks Mij adalah matriks A tanpa baris ke-i dan kolom ke-j, yaitu:
Contoh:
A = ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
6 1 24 3 1 1 5 2
3231
222113
3331
232112
3332
232211
aaaa
M
aaaa
M
aaaa
M
=
=
=
333231
232221
131211
aaaaaaaaa
A =
skalarCaAn
jjj == ∑
=111
( ) ijji
ij MC +−≡ 1
312213332112233211
322113312312332211
333231
232221
131211
aaaaaaaaaaaaaaaaaa
aaaaaaaaa
A
−−−++=
=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
333231
232221
131211
aaaaaaaaa
A
Sifat - sifat determinan
1. ⏐AT⏐ = ⏐A⏐
2. |A-1⏐ = A I
3. BA = B A
Contoh :
A = ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡6 53 4
|A| = 95.36.46534
=−=
B = ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡2 31 2
|B| = 13.12.22312
=−=
Maka: |A.B|=|A|.|B|=9.1=9
4. Apabila 1 baris atau 1 kolom matriks A dikalikan dengan skalar
k, maka ⏐A*⏐ = k.|A|, A*=Matriks A yang 1 baris atau 1
kolomnya dikalikan dengan skalar k.
Contoh :
)145(62
752.3
2475
3212715
bcaddcba
dcba
dcba
−===
5. Pertambahan (pengurangan) dari suatu kelipatan baris manapun
ke baris yang lain, TIDAK menyebabkan nilai determinan
berubah.
52.31.11231
22.46.16241
141.46.36143
3231
222113
3331
232112
3332
232211
−=−===
−=−===
=−===
aaaa
M
aaaa
M
aaaa
M
( ) 3351028)5.(1)2.(514.211
1 =−+=−+−−+=−= ∑=
+n
jij
jij MaA
Contoh :
dcba
bcadkacbkbdakbdkac
ba=−=+−+=
++)()(
G. Matriks Singular: Karakteristik dan Identifikasi
Beberapa kasus, dimana suatu sistem persaman linear tidak mempunyai solusi:
1. Tidak konsisten dan tergantung linear (linear dependent) x + y = 8 x + y = 9
2. Tergantung linear (linear dependent) 2x + y = 12 4x + 2y= 24
3. Terlalu banyak persamaan 2x + 3y = 58 3x + y = 18 x + y = 20
• Syarat suatu sistem persaman linear mempunyai solusi: 1. Matriks A bujur sangkar (nxn), sehingga: jumlah persamaan n =
jumlah variable n. 2. Baris atau Kolom Matriks A bersifat saling bebas linear (linearly
independent). Hal ini dipenuhi jika rank(A)=n (syarat cukup non-singular)
3. Jika syarat (1) dan (2) dipenuhi maka matriks A disebut matriks nonsingular. Jika tidak maka disebut sebagai matriks singular, yang mengakibatkan sistem persamaan linear tidak mempunyai solusi.
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡98
1111
yx
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡2412
2412
yx
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
201858
111332
yx
H. Tes Singularitas.
• Definisi: Misalkan diberikan matriks A berordo (nxn), matriks A
dikatakan matriks singular, bila |A| = 0
• Identifikasi Matriks Singular 1. Tes Singularitas : Teknik Determinan
Contoh: Apakah matriks A singular?
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
1224612357
A
Jawab:
0)44.(3)2424.(5)1212.(7
2412
.312462
.512261
.71224612357
=−+−−−=
+−==A
Karena determinan matriks A sama dengan nol, maka matrik A adalah matriks singular. Sekarang perhatikan apa yang menyebabkan matriks A singular! Pada matriks A, Baris ke-2 dan Baris ke-3 merupakan kelipatan satu dengan yang lainnya. Oleh karena itu determinannya 0, berdasarkan sifat determinan ke-5.
2. Kebebasan linier (syarat cukup non-singular) • Definisi : Kombinasi linier
Suatu vektor w dikatakan kombinasi linier dari V1, V2, V3, … , Vn Apabila w dapat diungkapkan sebagai berikut : W = K1V1 + K2V2 + … + KnVn = Σ KiVi
• Definisi : Kebebasan linier
Misalkan V = { V1, V2, V3, … , Vn } merupakan komponen vektor dan K= { K1, K2, K3, … , Kn } merupakan komponen parameter skalar, maka perhatikan persamaan vektor dalam bentuk: Σ KiVi =K1V1 + K2V2 + … + KnVn = 0,
Persamaan ini akan mempunyai paling sedikit satu pemecahan trivial yaitu K1 = K2 = K3 = … = Kn = 0
Jika Ki = 0, maka Vi adalah satu-satunya pemecahan maka V dikatakan bebas linier.Jika tidak, maka V bergantung linier. (singular)
Contoh Tes Singularitas :
B = ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡4623
, periksalah apakah B=non-singular ?
1. Gunakan teknik determinan: |B| = 12-12 = 0 → B singular
2. Gunakan teknik kebebasan linier
Misalkan : V={ V1, V2 } adalah vektor-vektor kolom dari matriks B, sbb:
K1V1 + K2V2 = 0 → K1 ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡63
+ K2 ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡42
= 0
3K1 + 2K2 = 0 6K1 + 4K2 = 0 Dua Persamaan di atas identik, maka gunakan salah satu
Pilih Persamaan 1 : 5 K1 + 2 K2 = 0 3 K1 = -2 K2
Pemecahan ini menunjukkan adanya banyak solusi bagi persamaan K1V1 + K2V2 = 0. Contoh solusi selain K1 = K2 = 0, adalah K1 = -2 dan K2 = 3, sehingga V1 dan V2 tidak bebas linier (bergantung linier). Selanjutnya disimpulkan maka B adalah matriks singular.
Latihan:
1. Periksa apakah matriks A berikut ini singular? A=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
946127531
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡=
42
63
21 VdanV
CATATAN KULIAH Pertemuan IV: Model-model linier
dan Aljabar Matriks (2) A. Mencari Matriks Invers
• Suatu matriks A (nxn) mempunyai invers bila terdapat suatu matriks B, sehingga AB = BA = I. Matriks B disebut invers matriks A, ditulis A-1, yang merupakan matriks bujur sangkar berdimensi n.
• Syarat keberadaan dari Matriks Invers adalah jika |A| ≠0 Kita tertarik untuk mencari invers, karena matriks invers dapat
digunakan untuk memecahkan sistem persamaan linier Ax=d, yaitu: x=A-1d
• Cara mencari Matriks Invers: 1. Mencari invers melalui transformasi elementer dengan reduksi
Gauss (Gaussian Reduction). Prosedurnya adalah: a. Menggandengkan matriks A di depan matriks identitas: (A|I).
b. Lakukan operasi baris elementer sehingga matriks A bertransformasi menjadi matriks identitas (I); di mana A-1 dapat dilihat di sebelah kanan garis vertikal. Contoh:
( )
( )
( )
( )
( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
3275
1001
|
3203/1
103/71
|
13/203/1
3/103/71
|
1003/1
523/71
|
1001
5273
|
5273
IA
IA
IA
IA
IA
A
Kalikan baris pertama dengan 1/3
Kalikan baris 1 dgn –2 dan tambahkan ke baris ke-2
Kalikan baris 2 dengan 3
Kalikan baris 2 dgn –7/3 dan tambahkan dengan baris pertama
2. Mencari Invers dengan Kofaktor. Prosedurnya adalah: a. Tentukan matriks kofaktor Ac dari matriks A Ingat kembali bahwa: Dan matriks Mij adalah matriks A tanpa baris ke-i dan kolom ke-j b. Tentukan adjoint matriks Aj yang merupakan transpose dari
Ac, sehingga: Aj = AcT
c. Invers dari A diperoleh dengan mengalikan adjoint matriks
dengan determinan dari A, sehingga didapat:
Contoh: • Carilah Matriks Invers dari matriks A dengan metode kofaktor,
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−
=12
34A
• Jika matriks A berukuran (nxn),maka Mij merupakan suatu cubmatriks dari A yang berukuran (n-1) x (n-1), di mana baris ke-i dan kolom ke-j (dari A) dihilangkan.
4;3
2;112
34
2221
1211
==
−=−=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−
=
MM
MMmakaA
• Minor dari suatu matriks A adalah |Mij| dan kofaktor dari A
adalah:
Maka:
)int(11 AadjoA
A =−
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
nnnn
n
n
C
CCC
CCCCCC
A
21
22221
11211
( ) ijji
ij MC +−≡ 1
( ) ijji
ij MC +−≡ 1
( ) 1)1.(111 1111 −=−=−−≡ +C
( ) 2)2).(1(21 2112 =−−=−−≡ +C
• Maka:
B. Aturan Kramer (Cramer’s Rule)
• Pendekatan lain untuk mencari solusi bagi x dari SPL Ax = b : ATURAN CRAMER.
• Misalkan sistem persamaan linear Ax = b, apabila diasumsikan |A|≠0, maka untuk mencari solusi digunakan metode determinan di mana:
Dimana |Aj|= determinan matriks A dengan kolom ke–j diganti vektor b.
• Contoh pecahkan sistem persamaan linear berikut ini:
A . x = b
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −−==
=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −−==
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−
=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−
=
−
212/32/1
)det(1Maka
2||Determinan4231
AdjointMatriks
4321
Kofaktor
1234
1j
Tcj
c
AA
A
A
AA
A
A
( ) 33).1(31 1221 −=−=−≡ +C
( ) 44.141 2222 ==−≡ +C
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
=+
=+
8080
4223
80428023
2
1
21
21
xx
xxxx
A
Ax j
j =
Jawab: C. Aplikasi pada Model Pasar dan Pendapatan Nasional
• Aplikasi dalam Model Pasar dan Pendapatan Nasional akan dipecahkan dengan mudah menggunakan aturan Cramer atau matriks invers.
• Model Pasar (Market Model) Model dua komoditi dapat ditulis sebagai suatu sistem dua persamaan linear, sbb:
Akan dipecahkan dengan metode matriks Invers:
• Model Pendapatan Nasional Y= C + I0 + G0 (a>0, 0<b<1) C= a + b Y Keterangan:
10
4223802803
2
20
4223480280
1
2
1
==∆∆
=
==∆∆
=
x
x
o
o
PPcPcPcγγγ −=+
−=+
2211
2211
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
o
ocPPcc
γγγ 2
1
21
21
122121
21 γγγγ
cccc
A −==
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−=
12
12
ccAC
γγ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−=
11
22
cc
adjAγγ
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−−
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
o
occc
ccPP
γγγ
γγ 11
22
12212
1 1
Variabel endogen= Y (pendapatan nasional), C (pengeluaran konsumsi) Parameter = a, b
Variabel eksogen = I0 (investasi),G0(pengeluaran pemerintah)
Nilai ekuilibrium pendapatan nasional Ye dan ekuilibrium pengeluaran konsumsi (Ce) akan dicari dengan Aturan Cramer.
Dengan Aturan Cramer:
Model Pendapatan Nasional dengan Pajak Y=C+I0+G 1Y - 1C – 1G = I0 C=a+b*(Y-T0) -bY + 1C + 0G = a-bT0 G=g*Y -gY + 0C +1G = 0
= Carilah nilai Y, C, G dengan (a) Matriks Invers (b) Aturan Cramer a. Dengan Matriks Matriks
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−a
GICY
b00
111
baGI
b
aGI
Ye −++
=
−−
−+
=1
11111
00
00
( )b
GIba
b
abGI
Ce −++
=
−−
−+
=1
111
1
00
00
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−−
1001111
gb
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
GCY
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−0
0
0
bTaI
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−−=
1001111
gbA
Maka: Sehingga: b. Dengan Aturan Cramer
( )gbgbA +−=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−−= 1
1001111
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−=
bbgggb
AC
1111
1
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−=
bggbgbAj
11
111
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−−=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
011
111
11
0
0
bTaI
bggbgb
gbGCY
( )( )( )
( )( )
( )gbbTaIgG
gbbTagbIC
gbbTaIY
+−−+
=
+−−−+
=
+−−+
=
1
11
1
00
00
00
)(11000111
00*000
0
gbbTaI
AA
YbTaIbTaI
A YY +−
−+==−+=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−
−−=
( )( ) ( )( ))(1
1110011
00*000
0
gbbTagbI
AA
CbTagbIg
bTabI
A CC +−
−−+==−−+=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−
−=
( ) ( ))(1
00111
00*000
0
gbIbTag
AA
GIbTagg
bTabI
A GG +−
+−==+−=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−
−=
( )gbgbA +−=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−−= 1
1001111
D. Aplikasi pada Model I-O
• Model Input-Output (I-O) menjawab pertanyaan: “Berapa tingkat output dari setiap industri n yang harus diproduksi dalam perekonomian, sehingga memenuhi total permintaan produk tersebut?”
• Susunan Model I-O adalah: Dengan: xi = tingkat output industri i
aij = input komoditi ke-i untuk menghasilkan output ke-j. di = permintaan akhir untuk output ke-i
Selanjutnya dapat diturunkan solusi untuk Model I-O dengan Matriks invers sbb:
[ ][ ] [ ] [ ][ ][ ] [ ] [ ][ ][ ] [ ][ ] [ ][ ][ ][ ] [ ][ ] [ ][ ][ ] [ ]iiij
iiiji
iijii
iiiij
iiiij
dxAI
dxAxI
xAxId
xIdxA
xdxA
=−
=−
−=
=+
=+
nnnnnnn
nn
nn
dxaxaxax
dxaxaxaxdxaxaxax
++++=
++++=+++=
2211
222221212
112121111
( )( )
( ) ⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−−−−−
nnnnnn
n
n
d
dd
x
xx
aaaaaaaaa
2
1
2
1
21
22221
11211
11
1
[ ] [ ] [ ]iij dAIxi
1* −−=
• Contoh Model I-O dalam numerik Misal :
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
05.20.25.15.
A
Maka Model I-O menjadi: Latihan 1. Diberikan SPL sbb :
2X1 + 3X2 – X3 = 0 X1 + X2 + X3 = 4 3X1 – 2X2 + X3 = 5 Tentukanlah solusi bagi X1, X2, X3 dengan aturan cramer dan matriks invers
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
2
1
2
1
2
1
05.20.25.15.
xx
dd
xx
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
2
1
2
1
2
1
1001
05.20.25.15.
xx
dd
xx
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡
2
1
2
1
2
1
05.20.25.15.
1001
xx
xx
dd
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
2
1
2
1
2
1
05.20.25.15.
1001
dd
xx
xx
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−−−
2
1
2
1
05.120.25.15.1
dd
xx
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−
2
11
2
1
95.20.25.85.
dd
xx
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡20001000
1700350
85.20.25.95.
7575.1
2
1
xx
CATATAN KULIAH Pertemuan V: Analisis Komparatif Statik
dan Konsep Derivatif A. Pengertian Komparatif Statik dan Konsep Derivatif
• Analisis Statis (ekuilibrium)yang dipelajari dalam bab yang lalu, mempunyai dua keterbatasan dalam:
• Kasus pergeseran keadaan ekuilibrium • Kasus ekuilibrium tidak stabil (unstable equilibrium)
• Kasus pergeseran keadaan ekuilibrium sebagai tanggapan terhadap perubahan variabel eksogen berkaitan dengan Analisis Komparatif Statik.
• Dan pembahasan mengenai pencapaian dan kestabilan ekuilibrium terdapat dalam Analisis Dinamik.
• Di bab ini akan dibahas Komparatif Statik: studi dari keadaan
ekuilibrium yang berbeda-beda dengan himpunan nilai parameter dan variabel eksogen yang berbeda-beda.
• Dimulai dengan mengasumsikan keadaan ekuilibrium awal • Contoh:
– Model Pasar Tertutup (P0,Q0) (terguncang)→ (P1,Q1) – Model Pendapatan Nasional (Y0, C0) (terguncang)→(Y1, C1)
Contoh Diagram: Pergeseran pada Permintaan (demand)
Q
P
Qs
Qd0
Qd1
P1
P0
Q0 Q1
• Perbedaan antara Analisis Ekuilibrium Statik dan Analisis Ekuilibrium Komparatif Statik:
1. Analisis Ekuilibrium Statik: y* = f(x) 2. Analisis Ekuilibrium Komparatif Statik: y1* - y0* = f(x1) - f(x0)
Di mana subskrip 0 menyatakan keadaan awal dan 1 menyatakan keadaan selanjutnya.
• Misal ∆y = y1-y0 dan ∆x = x1-x0 atau x1 = x0 + ∆x
Selanjutnya diketahui y=f(x) maka: ∆y = f(x1) - f(x0) dan subtitusikan persaman x1 didapat: ∆y =f(x0 + ∆x) - f(x0)
Bagi persamaan terakhir, kedua sisinya dengan ∆x, maka akan didapat Hasil-Bagi Beda (difference quotient) Dan ambil limit ∆x -> 0, maka akan didapat derivatif (derivative) dari fungsi y=f(x):
• Contoh:
Jika fungsi y=3x2-4, maka cari Hasil-bagi Beda dan Derivatifnya: a.
b. maka
( ) ( )x
xfxxfxy o
∆−∆+
=∆∆ 0
( ) ( )x
xfxxfxy
xx ∆−∆−
=∆∆
→∆→∆
00
00limlim
( ) ( )X
XfXXfXY o
∆−∆+
=∆∆ 0
( )( ) ( ) 43
432
00
200
−∆+=∆+
−=
xxxxf
xxf
( ) ( )x
xxxxy
∆−−−∆+
=∆∆ 4343 2
02
0
xxxxxx
∆+−−∆+∆+
=434363 2
02
020
xx ∆+= 36 0
( ) ( ) ( )X
XfXXfXY
dxdyXf
xx ∆−∆+
=∆∆
==′→∆→∆ 00
limlim
006lim x
xy
x=
∆∆
→∆xx
xy
∆+=∆∆ 36 0
B. Derivatif dan Kemiringan (Slope) Kurva • Intrepetasi geometric dari Hasil Bagi Beda (Difference Quotient) • Apa yang terjadi bila kita mengubah besarnya ∆x = x1-x0? Bila
diberikan kenaikan x yang kecil, maka y rata-rata akan diukur oleh kemiringan garis=Hasil Bagi Beda.
• Selanjutnya bila kenaikan x dikurangi terus-menerus akan diperoleh garis yang mendatar, sampai akhirnya dalam limit ∆x 0 akan diperoleh garis singgung fungsi y di x0 (garis warna merah)
C. Konsep Limit dalam Kaitannya dengan Derivatif • Konsep Limit fungsi (f(x), x→a) function menggambarkan batas
nilai dari f(x) jika x mendekati a dari sebelah kanan dan sebelah kiri. Nilai limit tersebut dapat berhingga (N), tak berhingga (infinite), tidak dapat didefinisikan (undefined)
• Notasi limit : Persamaan diatas dibaca : limit dari fungsi f(x) untuk x mendekati a (dari arah kanan dan arah kiri) adalah L
• Intrepetasi geometrik dari Konsep Limit:
f(x0+∆x)
f(x)
f(x0)
x0 x1
y=f(x)
x
Kemiringan = f(x0+∆x)-f(x0) (x1-x0)
LxfLimax
=→
)(
f(x)
L
x a
• Horizontal Asymptote: Garis y = a disebut asimptot horisontal dari grafik f jika dan hanya jika :
atau
Di sini nilai x menuju Ketakhinggaan positif atau negative
• Vertical Asymptote: Garis x = a disebut asimptot vertikal dari grafik f jika dan hanya jika :
• Interpretasi geometrik dari asimptot horisontal dan vertikal: • Untuk menentukan limit dari suatu fungsi, kita dapat
mensubstitusikan nilai x = a ke dalam fungsi f. Namun cara ini tidak berlaku untuk semua jenis fungsi.
• Cara lain yang digunakan untuk menentukan limit dari fungsi adalah dengan mengobservasi nilai dari a yang didekati dari 2 arah yaitu :
Menunjukkan bahwa limit f(x) ketika x mendekati a dari kiri
Menunjukkan bahwa limit f(x) ketika x mendekati a dari kanan
Sehingga untuk menguji eksistensi dari limit ada, jika : maka
axfLimx
=−∞→
)( axfLimx
=∞→
)(
∞=−→
)(xfLimax
−∞=−→
)(xfLimax
∞=+→
)(xfLimax
−∞=+→
)(xfLimax
f(x)
a
x → -∞ x → +∞
LxfLimax
=−→
)(
LxfLimax
=+→
)(
LxfLimxfLimaxax
==−+ →→
)()( LxfLimax
=→
)(
• Contoh-contoh: 1.
dan Maka: 2. dan karena maka 3. x2 – 9 (x-3) (x+3) 4. lim ––––– = ––––––––– = x+3 = 3+3 = 6 x → 3 x – 3 (x-3) 5.
Tentukan nilai lim f(x) =…….? x → 2
lim f(x) = 6(2) – 4 x → 2- lim f(x) = 3(2) +2
x → 2+ Jadi Lim f(x) = 8, karena limit kiri = limit kanan
x → 2
3
2xLim
x→
83
2=
−→xLim
x83
2=
+→xLim
x
83
2=
→xLim
x
⎩⎨⎧
>+≤
=4;324;2
)(xxxx
xf
)()(44
xfLimxfLimxx −+ →→
≠
8)(4
=−→
xfLimx
11)(4
=+→
xfLimx
adatidakxfLimx
)(4→
2)(lim1
32lim152lim)(lim
=+
+=++
=
+∞→
+∞→+∞→+∞→
vqvv
vvq
v
vvv
⎩⎨⎧
<−≥+
=2;462;22
)(xxxx
xf
SIFAT-SIFAT LIMIT
D. Fungsi kontinu dan Diferensiabel • KONTINUITAS PADA SUATU TITIK
Suatu fungsi f disebut kontinu pada x = a jika : 1. Fungsi tersebut terdefinisi pada x = a 2. Limit f(x) untuk x menuju a adalah f(a) Maka fungsi kontinu di titik x = a, jika:
• KONTINUITAS SEPANJANG INTERVAL
Fungsi f kontinu sepanjang interval [a,b] jika kontinu pada setiap titik dalam interval [a,b].
• Contoh-contoh: 1. Periksalah Apakah f(x) = x3 kontinu di x = 2 ?
Jawab :
1. f (2) = 8
2. lim x3 = 8 x → 2- lim x3 = 8 x → 2+ 3. lim f(x) = f(2)=8 x → 2 Jadi f(x) kontinu di x=2
1. Jika f(x) = c maka ccLimax
=→
)(
2. Jika f(x) = xn maka nn
axaxLim =
→
3. )(.)(. xfLimcxfcLim
axax →→=
4. [ ] [ ] [ ])()()()( xgLimxfLimxgxfLim
axaxax →→→+=±
5. [ ] [ ] [ ])(.)()().( xgLimxfLimxgxfLim
axaxax →→→=
6. )(
)(
)()(
xgLim
xfLim
xgxfLim
ax
ax
ax→
→
→= dimana 0)( ≠
→xgLim
ax
)()(lim afxfax
=→
2. Periksa apakah fungsi q(v) di bawah ini kontinu di v=2 dan v=-2?
Fungsi rasional ini tidak dapat didefinisikan di v = 2 dan -2, meskipun terdapat limit ketika v → 2 atau -2. maka fungsi ini diskontinu di v = 2 dan -2.
• Diferensiabel pada suatu titik
Suatu fungsi f disebut diferensiabel pada x = a jika : 1. Hasil-Bagi Beda dari Fungsi f’(x)tersebut terdefinisi pada x = a 2. Limit Hasil-Bagi Beda untuk x menuju a adalah f’(a) Maka fungsi diferensiabel di titik x = a, jika:
• Jika suatu fungsi diskontinu, maka fungsi tersebut tidak
diferensiabel. Tetapi Jika suatu fungsi tidak diferensiabel, maka fungsi tersebut belum pasti diskontinu.
• Contoh: Periksa apakah fungsi y=f(x)=|x-2|+1 kontinu dan diferensiabel di x=2? a. Karena maka y=f(x) kontinu b. Diferensiasi dari fungsi f(x) Uji keberadaan limit:
444)( 2
23
−−−+
=v
vvvvq
xxfxxf
xyxf
xx ∆−∆+
=∆∆
=→→
)()(limlim)( 00
000'
)1(1)(lim)(lim22
fxfxfxx
===−+ →→
22
lim2
112lim
2)2()(lim
222 −−
=−
−+−=
−−
→→→ xx
xx
xfxf
xxx
11lim22lim
22
lim222
==−−
=−−
+++ →→→ xxx xx
xx
1)1(lim2
)2(lim22
lim222
−=−=−−−
=−−
++− →→→ xxx xx
xx
Karena maka fungsi f(x) tidak diferensiabel di x=2
Latihan:
x2 - 9 1. f(x) = –––––– , periksalah apakah f(x) kontinu di x = 3?
x – 3 2. ,periksalah apa f(x) diferensiabel di x = 2?
22
lim22
lim22 −
−≠
−−
+− →→ xx
xx
xx
⎩⎨⎧
<−≥+
=2;462;22
)(xxxx
xf
CATATAN KULIAH Pertemuan VI: Aturan Derivatif, Konsep Derivatif Parsial dan Aplikasinya pada Komparatif Statik
REVIEW TURUNAN (DERIVATIVE) • Diberikan fungsi y = f(x) maka turunan dari fungsi tersebut adalah
:
Dalam pertemuan sebelumnya, telah dipelajari cara menentukan turunan dengan pendekatan limit, sbb: 1. Tentukan difference quotient dari fungsi dengan menggunakan persamaan : 2. Tentukan limit dari difference quotient untuk ∆x 0 dengan menggunakan persamaan :
1. Dalam pertemuan ke-6 ini akan dipelajari aturan-aturan cara menentukan turunan (diferensiasi) secara praktis.
A. Aturan Diferensiasi untuk Fungsi dengan Satu Variabel
1. Fungsi Konstan
Jika f(x) = k maka f ‘(x) = 0=kdxd
0 m0)(
0lim)()(lim
m , Jika:Bukti
f '(x) akaNfNxkk
NxNfxf f '(N)
kf(N)aka kf(x)
NxNx
==′
=−−
=−−
=
==
→→
xxfxxfLim
dxdy
x ∆−∆+
=→∆
)()(0
xxfxxf
xy
∆−∆+
=∆∆ )()(
xxfxxfLim
dxdy
x ∆−∆+
=→∆
)()(0
2. Fungsi Pangkat (Power Function)
Jika f(x) = xn maka 1−= nn nxxdxd
34 4x dxdy maka , xy Jika
:Contoh
==
B. Aturan Diferensiasi yang Melibatkan Dua atau Lebih Fungsi dari variable yang Sama
3. Aturan Penambahan dan Pengurangan
Jika h(x) = f(x)+g(x) maka ( ) ( )[ ] ( ) ( )xgxfxgxfdxd ′±′=±
Contoh:
01083
75104
75104
2
23
23
++−=
++−=
++−=
QQdQdC
dQdQ
dQdQ
dQdQ
dQd
dQdC
QQ QC
4. Aturan Perkalian
Jika h(x) = f(x) g(x) maka ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )xgxfxfxgxgxfdxd ′+′=
Contoh:
( ) ( )( )
QdQdR
QQRQQQ
QdQdPP
dQdQ
dQdR
-Q)Q(R-Q PPQR
215
152151151
1515
2
−=
−=
−=−+−=
+=
===
5. Jika f(x) = c.g(x) maka f ‘(x) = c. g‘(x) 6. Aturan Pembagian
Jika h(x) = f(x)/g(x) maka ( )( )
( ) ( ) ( ) ( )( )xg
xgxfxfxgxgxf
dxd
2
′−′=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡
Contoh: Hubungan antara Fungsi Biaya-Marjinal dan Biaya-Rata-rata
( ) ( ) ( )
( ) ( ) [ ]
( ) MCAC m,0 jika
11
1rata-Rata
Marjinal B
minimum rata-Rata Biaya Cari
2
==
−=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−′=
⋅−′⋅=
===
akaQQC
dQd
ACMCQQ
QCQCQ
QQCQCQ
QQC
dQd
Biaya C(Q)/QAC Biaya C'(Q) MC
Totaliaya C(Q) TC
C. Aturan Diferensiasi yang Melibatkan Fungsi-fungsi dari Variabel yang Berbeda.
7. Aturan Rantai (Chain Rule)
( )( ) ( ) ( )xgyfdxdy
dydz
dxdzmakaxgfzMisalkan ′′=== ,:
Contoh: o Jika f(x) = [u(x)]n maka f’(x) = n.[u(x)]n-1.u’(x) o Jika f(x) = eu(x) maka f’(x) = u’(x)eu(x) o Jika f(x) = Ln[u(x)] maka f’(x)= u’(x)/u(x)
8. Aturan Rantai untuk multivariabel
( )( )1
01
1 ..2,,...,
xy
dydz
dxdzmakaxxgfzMisalkan
ndxn ∂∂
== =
9. Aturan Fungsi Invers
unik.y nilaian menghasilkakan x nilai sembaranguntuk karenainversnya fungsi dicaridapat selalu yang fungsiadalah monoton Fungsi
( )
( )dxdy
yfdydxyfxaka
xfdxdyanxfy
1dan )(m
x dariNaik Selalu Monoton Fungsiadalah y dimana d),(Misal
11 =′
==
′==
−−
• Sifat pemetaan satu-satu adalah unik untuk fungsi monoton • Definisi fungsi:
fungsi: satu y untuk setiap x fungsi monoton: satu y untuk setiap x dan satu x untuk setiap y (fungsi invers)
• Contoh: Jika x1 > x2 ⇒ f(x1) > f(x2) monoton naik Qs = b0 + b1P Fungsi Penawaran (dimana b1 > 0) P = -b0/b1 + (1/b1)Qs Invers Fungsi Penawaran Jika x1 > x2 ⇒ f(x1) < f(x2) monoton turun Qd = a0 - a1P Fungsi Permintaan (dimana a1 >0) P = a0/a1 - (1/a1)Qd Invers Fungsi Permintaan
D. Deferensiasi Parsial
• Misalkan fungsi z = f(x,y), turunan/diferensiasi parsial dari z terhadap x pada (x,y) adalah
• Turunan/diferensiasi parsial dari z terhadap y pada (x,y) adalah
• Interpretasi dari turunan/diferensiasi parsial 1. Fx menyatakan ekspresi dari KEMIRINGAN GARIS SINGGUNG
(tangent slope) yang parallel dengan bidang xz 2. Fy menyatakan ekspresi dari KEMIRINGAN GARIS SINGGUNG
(tangent slope) yang parallel dengan bidang yz
• Selanjutnya untuk fungsi multivariabel ),,,( 21 nxxxfy …=
/dPdQ /b dP/dQ b/dP dQ
)imana b( )Q/b( /b -bP P b b Q
(Q) f P f(P)Q
sss
ss
-
11
0d1
:Contoh•
11
1
11010
1
===
>+=+=
==
∆xy)f(x,y)∆x,f(xLimf
0∆x
−+=
→x
∆yy)f(x,∆y)yf(x,Limf
0∆yy−+
=→
Maka turunan/diferensiasi parsial thd x1 adalah:
11
1
21211
01
0
),,,(),,,(limlim11
fxy
xxxxfxxxxf
xy nn
xx
≡∂∂
≡
∆−∆+
=∆∆
→∆→∆
……
Dan secara umum turunan parsial thd sembarang xi adalah:
1...ni ,lim0
=≡∂∂
≡∆∆
→∆ iii
xf
xy
xy
i
• Contoh:
1. 2. y = f (x1, x2) = 3x1
2 + x1x2 + 4 x22
1xf
∂∂ = 1f = 6x1 + x2
2xf
∂∂ = 2f = 8x2 + x1
3. ),( νufy = = )( ν+u )23( ν+u = )253( 22 νν ++ uu
uf∂∂ = ν56 +u
υ∂∂f = ν45 +u
4. 221
32121 )3()2(),( xxxxxxfy +++==
1x
f∂∂ = 1).3(22.)2(3 21
221 xxxx +++
= )3(2)2(6 212
21 xxxx +++
2x
f∂∂ = 3.)3(21.)2(3 21
221 xxxx +++
= )3(6)2(3 212
21 xxxx +++
( )
( )
( ) 3.03.03.03.0
7.07.7.07.
0.70.3
2.67967.0
8.28963.0
L 96K Q1Douglas-CobbProduksiFungsi
−−
−−
===
===
==+
LKLKLQMPP
LKLKKQMPP
L
K
∂∂∂∂
βα
E. Aplikasi pada Analisis Statis-Komparatif Setelah memiliki pengetahuan mengenai aturan diferensiasi, selanjutnya akan diaplikasikan untuk menganalisis: Bagaimana nilai ekuilibrium suatu variabel endogen akan berubah jika terjadi perubahan dalam setiap variabel eksogen atau parameter. 1. Model Pasar (Market Model) Model Pasar sederhana dengan satu komoditi:
penawarandcdPcQtaanperbabPaQ
s
d
)0,(min)0,(
>+−=>−=
Solusinya dengan metode matriks invers adalah:
( )
( ) ( )
( ) ( )⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+−
+
++=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−−+−
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
ca
dbdb
dbb
dbd
PQ
cabd
dbPQ
11
111
*
*
*
*
dbcaP
dbbcadQ
++
=+−
= **
Untuk mencari bagaimana perubahan yang sangat kecil dalam satu parameter akan mempengaruhi nilai P* dan Q*, kita perlu mendiferensiasi secara parsial terhadap setiap parameter
( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−−+−
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−=−=+
*
*
111
11
PQ
cabd
db
ca
PQ
db
CdPQabPQ
s
d
Interpretasi Geometrik dari derivatif parsial
0<+−
=∂∂
dbb
cQ
Q S1
D P
S0
( )( )( )
( )0
0
01
01
2
*
2
*
*
*
<++−
=∂
<++−
=∂
>+
=∂
>+
=∂
dbca
dP
dbca
bP
dbcP
dbaP
∂
∂
∂
∂
( )( )( )
( )0
0
0
0
2
*
2
*
*
*
>++
=∂
<++−
=∂
<+−
=∂
>+
=∂
dbcab
dQ
dbcad
bQ
dbb
cQ
dbd
aQ
∂
∂
∂
∂
01>
+=
dbaP
∂∂
Q S
D P
D1
( )( )
02 <++−
=db
cadbQ∂∂
Q
S0
D1 D0
P
Q0
Q1
( )( )
02 <++−
=∂∂
dbca
dP
Q S0
D P
S1
2. Model Pendapatan Nasional (National-income model) Model Pendapatan Nasional dengan 3 variabel endoge, Y (Pendapatan Nasional), C (Konsumsi), dan T (Pajak):
1) t 0 0; (d MPT t tY;dT 1) b 0 0; (a MPC b T);-b(Y a C
G I C Y 00
<<>=+=<<>=+=
++=
Solusi sistem persamaan liniernya adalah:
tbb-1b)-d(1taG)t(I
tbb-1bd-aG)t)(I-b(1
tbb-1GIbd-a Y ***
++++
=+
++=
+++
= TC
Dan diferensi parsial thd parameter G0 adalah: 3. Model Input-Output Penyelesaian atas model input-output terbuka muncul sebagai persamaan matriks x=(I-A)-1.d Misalnya matrik invers (I-A)-1 = [bij] maka penyelesaiannya dapat ditulis sebagai:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡
2
1
2221
1211
2
1
dd
bbb
xx
Tingkat perubahan nilai x thd permintaan akhir eksogen d1 dan d2 adalah: Jadi 2,1,b d/x jkkj ==∂∂ kj
01
01
)1(01
1 ***
>+−
=>+−−
=>+−
=btb
tGT
btbtb
GC
btbGY
ooo ∂∂
∂∂
∂∂
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡∂∂∂∂∂∂∂∂
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
=∂∂
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡++
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
2
1
2212
2111
2
1
1111
222221
112111
2
1
maka ,b d/x ika
dd
dxdxdxdx
xx
jdbdbdbdb
xx
F. Catatan atas Determinan Jacobian • Gunakan Determinan Jacobian |J| untuk mengetest eksistensi
dari ketergantungan fungsional antara fungsi-fungsi Dalam bentuk umumnya adalah:
1
1
xy∂∂
2
1
xy∂∂
............. xny
∂∂ 1
J = 22
xy∂∂
2
2
xy∂∂
............. nx
y∂∂ 2
1x
yn
∂∂
2x
yn
∂∂
............. n
n
xy∂∂
• Penerapannya tidak terbata pada fungsi-fungsi linier • Jika |J| = 0 maka fungsi nonlinier atau linier adalah saling
tergantung (dependent) dan tidak ada solusi untuk sistem persamaannya.
Contoh :
1. Periksalah apakah terdapat hubungan fungsional diantara fungsi-fungsi berikut :
Y1=2x1+3x2 Y2=4x1
2+12x1x2+9x22
1
1
xy∂∂
2
1
xy∂∂ 2 3
J = =
1
1
xy∂∂
2
1
xy∂∂ 1221 1218128 xxxx ++
= )3624(3624 2121 xxxx +−+ = 0
21 ydany∴ terdapat hubungan fungsional, secara tidak linier dalam hal
ini 212 yy =
2212
2111
xyxyxyxy
J∂∂∂∂∂∂∂∂
=
Latihan : 1. Periksalah apakah terdapat hubungan fungsional diantara fungsi-fungsi berikut :
Y1=3x12+2x2
2 Y2=5x1+1
2. Periksalah apakah terdapat hubungan fungsional diantara fungsi-fungsi berikut :
Y1=3x12+x2
Y2=9x14+6x1
2(x2+4)+x2 (x2+8)+12
CATATAN KULIAH Pertemuan VII: Konsep Total Derivatif dan Aplikasinya pada Komparatif Statik
A. Diferensial • Masalah yang Dihadapi: Bagaimana analisis komparatif-statik jika
tidak ada solusi bentuk-ringkas (reduced-form) dikarenakan oleh bentuk umum dari model?
• Contoh: Bagaimana menghitung ∂Y / ∂T jika:
Y = C(Y, T0) + I0 + G0 • Model ini mengandung fungsi umum, sehingga tidak bias diperoleh
solusi bentuk ringkas yang eksplisit. Di sini T0 dapat mempengaruhi C secara langsung atau secara tidak langsung melalui Y (artinya variabel dependen (yaitu Y dan T0) dari fungsi C tidak bebas satu dengan yang lain). Hal ini melanggar asumsi derivatif parsial.
Solusi: • Jawabannya adalah kembali ke konsep diferensiasi total.
Berdasarkan proses diferensiasi total dapat membawa ke konsep derivatif total.
• Oleh karena itu harus dipahami dahulu KONSEP DIFERENSIAL • Simbol dy/dx yaitu simbol untuk derivatif dari fungsi y=f(x),
seringkali dianggap sebagai entitas tunggal. Sekarang akan diinterpretasikan kembali sebagai suatu perbandingan dari 2 kuantitas dy dan dx. Simbol dy dan dx masing-masing disebut diferensial dari y dan x.
• Sebuah diferensial menggambarkan perubahan dalam y sebagai
hasil dari perubahan dalam x dari sembarang nilai awal x dalam domain fungsi y = f(x).
• Berdasar definisi derivatif:
Selanjutnya f '(x) dapat dipandang sebagai aproksimasi dari dy:
dxxfdy )('=
xyLimxfgariskemiringan
dxdyxfy
x ∆∆
====→∆ 0
)(')(
Interpretasi Geometrik dari diferensial dy dan dx • Istilah “diferensiasi” selanjutnya dapat berarti:
• Proses mencari diferensial (dy) – (dy/dx) dipandang sebagai operator yang mengubah (dx)
menjadi (dy) ketika dx →0
dxdxdydy ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=
• Proses mencari turunan/derivatif (dy/dx) atau – (dy/dx) dipandang sebagai diferensiasi terhadap x
( )( ) ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=
dxdy
dxdy
Diferensial dan Elastisitas Titik • Misal Qd = f(P) (fungsi permintaan) • Elastisitas Permintaan terhadap Harga, didefinisikan sbg:
Contoh: 1. Carilah elastisitas titik permintaan jika fungsi permintaan adalah Q=100-2P. Fungsi Marjinal dan fungsi rata-ratanya dari fungsi permintaan ini adalah : dQ/dP=-2 dan Q/P=(100-2P)/P, sehingga
perbandingannya adalah: P
P
PQ
dPdQ
d
d
d −−
=⎟⎠⎞⎜
⎝⎛
≡=50
ε
( )
( )
1,1
%%
<>
−=
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛
==∆∆
≡
dd
d
d
d
d
dd
jikainelastikjikaelastik
rataRataFungsiMagjinalFungsi
PQ
dPdQ
PdP
QdQ
PQ
εε
ε
f(x0+∆x)
f(x)
f(x0)
x0 x1
y=f(x)
x
Kemiringan= f(x0+∆x)-f(x0) (x1-x0)
dy
dx
f’(x)
B. Diferensial Total • Konsep diferensial selanjutnya diperluas untuk fungsi dua atau lebih
variabel bebas. • Misal y = f (x1, x2), maka diferensial total dy adalah:
Dengan notasi yang lain: • Kasus yang lebih umum misalnya fungsi utilitas
U = U (x1, x2, …, xn) • Diferensial total dari U adalah: • ∂U/ ∂xi adalah utilitas marjinal dari barang xi • dxi adalah perubahan dalam konsumsi dari barang xi • dU sama dengan jumlah dari perubahan marjinal dari setiap barang
dalam fungsi konsumsi. Contoh: 1. Carilah diferensial total dari fungsi U(x1, x2) =x1
2+ x23 + x1 x2
Dan C. Aturan-aturan Diferensial • Untuk mencari diferensial total dy, dari fungsi y=f(x1,x2) caranya :
1. Cari derivatif parsial f1 dan f2 terhadap x1 dan x2 2. Substitusi f1 dan f2 dalam persamaan dy = f1.dx1 + f2.dx2
• Cara yang lain dengan menggunakan Aturan-aturan diferensial.
Misal k adalah fungsi konstan; u = u(x1); v = v(x2) 1. dk = 0 (Aturan Fungsi Konstan) 2. d(c.un) = c.nun-1.du (Aturan Fungsi Pangkat) 3. d(u ± v) = du ± dv (Aturan Penambahan dan Pengurangan) 4. d(uv) = v.du + u.dv (Aturan Perkalian)
2211 dxfdxfdy +=
nn
dxxUdx
xUdx
xUdU
∂∂
∂∂
∂∂
+++= 22
11
22
11
dxxydx
xydy
∂∂
∂∂
+=
2111
2 xxUxU
+==∂∂
12
222
3 xxUxU
+==∂∂
212
2121 )3()2( dxxxdxxxdU +++=
5. (Aturan Pembagian) Contoh:
1. Cari diferensial total dari 22xyxz +
=
a.
Maka: dxx
yxdyx
dz 32 22
21 +
−=
b. Dengan Aturan diferensial:
2vudvvdu
vud −
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
222
22
21
22
22
xxy
yxx
y
xy
xx
yyz
dxxzdy
yzdz
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
∂∂
=∂∂
∂∂
+∂∂
=
( )( )34
2
22
22
2
2)2(2)(
21
)()(
21
21
xyx
xxyxx
x
xx
yxyxx
x
xyx
xxz
+−=
+−=
∂∂
+−+∂∂
=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
∂∂
=∂∂
( ) [ ]
[ ]
[ ]
[ ]
dxx
yxdyx
dxx
yxxdyxx
yxdxdxxdyxx
yxdxdxxdyxdxxx
xdxyxdydxxx
xdyxyxdxxx
yxd
32
4
2
4
2
224
2224
24
22222
22
21
442
42
42241
442241
4)()(241
)2()()(22
12
+−=
+−=
−−=
−−+=
+−+=
+−+=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
D. Derivatif Total • Tidak seperti derivative parsial, derivative total tidak mensyaratkan
fungsi eksplisit. • Cara mencari derivatif total dari diferensial total adalah : • Diberikan fungsi y = f (x1, x2, …, xn) • Selanjutnya Diferensial Total dy adalah:
• Maka Derivatif Total dari y terhadap x2 didapat dengan
membagi kedua sisi dengan dx2 • INGAT : Ada dua simbol yang mirip yang harus dibedakan, yaitu :
derivatif total 2dx
dy dan diferensial total 2x
y∂∂
. Simbol yang terakhir
hanya merupakan salah satu komponen dari simbol pertama. • Contoh: 1. 3
22
121 435),( vuxvuxxxfy −=+== Carilah dy/du dan dy/dv !
a. 21 21dxfdxfdy xx +=
1.10.
21
21
21
xx
xx
fufdudxf
dudxf
dudy
+=
+=
b. 21 21
dxfdxfdy xx +=
)12.(3. 2
21
21
21
vffdvdxf
dvdxf
dvdy
xx
xx
−+=
+=
nn
nn
dxfdxfdxfdy
dxxydx
xydx
xydy
+++=
+++=
...2211
22
11 ∂
∂∂∂
∂∂
22
2
11
2 dxdx
ffdxdxf
dxdy n
n+++=
2. 42)(3),( 22 ++==−== wwwgxwxwxfy Carilah dy/dw ! dwfdxfdy wx +=
310)2()14.(3 +=−++=
+=
www
fdwdxf
dwdy
wx
E. Derivatif dari Fungsi-fungsi Implisit • Konsep diferensial total memungkinkan untuk mencari derivatif dari
fungsi implisit. • Fungsi eksplisit: y = f(x) mudah diubah menjadi fungsi implicit
F(y, x)=0 tetapi arah sebaliknya belum pasti. • Contoh fungsi implisit F(y,x)=y2+x2 -9 =0 (Persamaan lingkaran) • Fungsi Implisit F(y, x1 …, xm) = 0 dapat diubah menjadi Fungsi
eksplisit: y = f(x) bila memenuhi TEOREMA FUNGSI IMLISIT berikut ini, yaitu : a) Jika F mempunyai derivative parsial kontinu Fy, F1, …, Fm and Fy≠0 b) Jika pada titik (y0, x10, …, xm0), dapat dikonstruksi lingkungan (neighborhood) N dari (x1 …, xm), contohnya dengan membatasi jangkauan (range) y = f(x1 …, xm), sehingga setiap vektor (x1 …, xm) dipetakan tepat satu nilai y. Maka: i) Terdapat fungsi y dalam bentuk y = f(x1 …, xm) dan ii) Masih memenuhi F(y, x1 …, xm) untuk setiap titik di N sedemikian sehingga F ≡ 0
• Contoh aplikasi Teorema Fungsi Implisit: 1. Untuk F(y,x)=y2+x2 -9 =0 (Persamaan lingkaran),
2
22
9
9
xy
xy
−±=
−=
Di sini dapat dibatasi jangkauan (range) y menjadi dua bagian agar fungsi diatas menjadi fungsi eksplisit, yaitu (0,∞) dan (-∞,0) Sehingga didapat :
(0,∞) 29 xy −+=+ dan
(-∞,0) 29 xy −−=− Derivatif dari Fungsi Implisit Untuk mencari derivatif fungsi implisit dapat digunakan 2 cara : 1. Diubah dahulu menjadi fungsi eksplisit (kalau bisa) atau gunakan 2. Konsep diferensial total dalam bab sebelumnya Contoh : 1. Carilah derivatif dy/dx dari fungsi F(y,x)=y2+x2 -9 =0 a. Diketahui fungsi eksplisitnya :
(0,∞) 29 xy −+=+
+
+ −=
−
−=−
−=
yx
xxx
xdxdy
22 9)2(
91
21
dan
(-∞,0) 29 xy −−=−
−
− −=
−=−
−−=
yx
x
xxxdx
dy22 9
)2(9
121
b. Dengan diferensial total
dyFdxFdF yx +=
dxdyFF
dxdF
yx +=
yx
yx
FF
dxdy
dxdyFF
y
x
yx
−=−=−=
+=
22
0
2. Jika F(z, x, y) = x2z2 + xy2 – z3 + 4yz = 0, maka F. Statika Komparatif dari Model-model Fungsi Umum 1. Model Pasar (Market Model) Misalkan fungsi permintaan dan penawaran dari sebuah komoditi adalah:
( )( ) )0;0(,)2
)0;0(,)1//
0
//0
0
0
<>=
><=
TPs
YPd
SSTPSQ
DDYPDQ
Di mana Y = Pendapatan, T0 = pajak dan P = harga Semua turunan bersifat kontinu. Variabel Endogen : Q, P Variabel Eksogen : 00 T,Y
00
0002
0001
Q) – , TPS(), T(P, Q; YF Q) – , YPD(), T(P, Q; YF
≡=
≡=
0*
0*
0*
0* dTdP ,dYdP ,dTdQ ,dYdQCarilah
Total derivatif nya :
0
0
0//
0//
0
0
=−+
=−+
QddTSPdS
QddYDPdD
TP
YP
Atur sehingga :
0//
0//
0
0
dTSQdPdS
dYDQdPdD
TP
YP
−=−
−=−
Ubah dalam bentuk matriks :
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−−
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−−
0
0
0/
/
/
/
00
11
0
dTdY
SD
QdPd
SD
T
Y
P
P
yzzxzxy
FF
dydz
z
y
4324222 +−
+−=−=
Hitung tanda dari Determinan Jacobiannya :
Hitunglah Persamaan derivatif total – parsial terhadap Y0 dan T0 dari matriks di atas:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−−
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−−
/
0
0/
/
/
0
0/
/
0
0
0
11
011
TP
P
Y
P
P
SdT
QddT
Pd
SD
D
dYQd
dYPd
SD
Dapatkan solusinya dengan metode Matriks Invers :
a. ;0
111
0
0/
////0
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−
−dY
QddY
PdD
DSDSY
PPPP
Sehingga di dapat :
;;0;0 //
//
0//
/
0
00 >−
=>−
=PP
YP
PP
Y
DSDS
dYQddan
DSD
dYPd
b.
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−−
−
0
0/////0
0111
dTQd
dTPd
SDSDS TPPPP
Sehingga didapat :
0;0 //
//
0//
/
0
00 <−
−=>
−
−=
PP
TP
PP
T
DSSD
dTQddan
DSS
dTPd
011 //
/
/
>−=−−
= PPP
P DSSD
J