RISET OPERASIONAL 1Linier Programming (LP):

Dualitas dan AnalisisSensitifitas

2 SKS | S1 | Manajemen

PENGANTAR▪ Biasanya, setelah solusi optimal dari masalah program linier

ditemukan maka peneliti cenderung untuk berhentimenganalisis model yang telah dibuat.

▪ Padahal sesungguhnya dengan menganalisis lebih jauh atassolusi optimal akan dapat menghasilkan informasi lain yang berguna

▪ Analisis yang dilakukan terhadap solusi optimal untukmendapatkan informasi tambahan yang berguna tersebutdikenal dengan analisis post-optimal

▪ Analisis ini dapat dilakukan dengan 2 cara, yaitu:

1. Analisis Dualitas

2. Analisis Sensitivitas

ANALISIS DUALITAS❑ Dilakukan dengan merumuskan dan menginterpretasikan

bentuk dual dari model.

❑ Bentuk dual adalah suatu bentuk alternatif dari model program linier yang telah dibuat dan berisi informasi mengenai nilai-nilai sumber yang biasanya membentuk sebagai batasan model

❑ Dualitas lebih banyak bermanfaat untuk melakukanpengujian/pengecekan apakah nilai-nilai yang telahdihasilkan dengan metode simplex telah benar sehinggahasilnya dapat digunakan untuk penunjang pengambilankeputusan manajemen

ANALISIS DUALITAS

❑ Model program linier memiliki 2 bentuk, yaitu:

1. Model primal : bentuk asli dari suatu model program linier

2. Model dual : bentuk alternatif yang dikembangkan dari model primal

❑ Kegunaan bagi pengambil keputusan:

✓ Model Primal akan menghasilkan solusi dalam bentuk jumlah laba yang diperoleh dari memproduksi barang ataupun biaya yang dibutuhkan untuk memproduksi barang.

✓ Model dual akan menghasilkan informasi mengenai nilai (harga) dari sumber-sumber yang membatasi tercapainya laba tersebut.

❑ Solusi pada model dual memberikan informasi tentang sumber-sumber yang digunakan untuk menentukan apakah perlu menambah sumber-sumber daya, serta berapa biaya yang harus dikeluarkan untuk tambahan tersebut

HUBUNGAN KHUSUS PRIMAL VS DUAL

❑ Variabel dual Y1 , Y2 , Y3 berhubungan dengan batasanmodel primal. Dimana untuk setiap batasan dalam primal terdapat satu variabel dual. Misal, dalam kasus di atas model primal mempunyai 3 batasan, maka dualnya akanmempunyai 3 variabel keputusan.

❑ Nilai kuantitas pada sisi kanan pertidaksamaan pada model primal merupakan koefisien fungsi tujuan dual.

❑ Koefisien batasan model primal merupakan koefisienvariabel keputusan dual.

❑ Koefisien fungsi tujuan primal, merupakan nilai kuantitaspada sisi kanan pertidaksamaan pada model dual.

❑ Pada bentuk standar, model maksimisasi primal memilikibatasan-batasan <, sedangkan model minimisasi dual memiliki batasan-batasan >.

HUBUNGAN KHUSUS PRIMAL VS DUAL

CONTOH 1 :

Model Primal:

F. tujuan :

Maks Z = 160 X1 + 200 X2

F. batasan :

2 X1 + 4 X2 < 40

18 X1 + 18 X2 < 216

24 X1 + 12 X2 < 240

X1 , X2 > 0

Model Dual:

F. tujuan :

Min Y = 40 Y1 + 216 Y2 + 240 Y3

Fungsi batasan :

2 Y1 + 18 Y2 + 24 Y3 > 160

4 Y1 + 18 Y2 + 12 Y3 > 200

Y1 , Y2 , Y3 > 0

CONTOH 2 :

Model Primal:

F. tujuan : Min Z = 6 X1 + 3 X2

F. batasan :

2 X1 + 4 X2 > 16

4 X1 + 3 X2 > 24

X1 , X2 > 0

Model Dual:

F. tujuan : Maks Y = 16 Y1 + 24 Y2

F. batasan :

2 Y1 + 4 Y2 < 6

4 Y1 + 3 Y2 < 3

Y1 , Y2 > 0

PERHATIAN:❖ Untuk mentransformasikan model primal kedalam bentuk dual

bahwa model primal harus dalam bentuk standar.

❖ Bila model primal belum dalam bentuk standar harus dirubah dulu

menjadi bentuk standar.

✓ Untuk masalah maksimisasi, bentuk standarnya adalah fungsi

batasan mempunyai tanda <.

✓ Untuk masalah minimisasi, bentuk standarnya adalah fungsi

batasan mempunyai tanda >.

Model Primal

Fungsi tujuan : Maks Z = 10 X1

+ 6 X2

Fungsi batasan :

X1

+ 4 X2

< 40

3 X1

+ 2 X2

= 60

2 X1

+ X2

> 25

X1

, X2

> 0

CONTOH 3 :

CONTOH 3 :

Jadi pada contoh 3, fungsi batasan sbb.:

X1 + 4 X2 < 40 → X1 + 4 X2 < 40

3 X1 + 2 X2 = 60 → 3 X1 + 2 X2 < 60

3 X1 + 2 X2 > 60 → (-1) (3 X1 + 2 X2 > 60)

- 3 X1 - 2 X2 < - 60

2 X1 + X2 > 25 → (-1) (2 X1 + X2 > 25)

- 2 X1 - X2 < - 25

→ Model primal:

F. tujuan :

Maks Z = 10 X1 + 6 X2

F. batasan :

X1 + 4 X2 < 40

3 X1 + 2 X2 < 60

- 3 X1 - 2 X2 < - 60

- 2 X1 - X2 < - 25

X1 , X2 > 0

Model Dual:

F. tujuan :

Min Y = 40 Y1 + 60 Y2 - 60 Y3 - 25 Y4

F. batasan :

Y1 + 3 Y2 - 3 Y3 - 2 Y4 > 10

4Y1 + 2 Y2 - 2 Y3 - Y4 > 6

Y1 , Y2, Y3 , Y4 > 0

CONTOH 3 :Dari model primal yang sudah dalam bentuk standar, makamodel dual dapat diformulasikan sebagai berikut :

Fungsi tujuan :

Min Z = 40 Y1 + 60 Y2 - 60 Y3 - 25 Y4

Fungsi batasan :Y1 + 3 Y2 - 3 Y3 - 2 Y4 > 104 Y1 + 2 Y2 - 2 Y3 - Y4 > 6

Y1 , Y2 , Y3 , Y4 > 0 → Y2 - Y3 = Y*

Model Dual:F. tujuan :

Min Y = 40 Y1 + 60 Y*- 25 Y4F. batasan :

Y1 + 3 Y*- 2 Y4 > 104Y1 + 2 Y*- Y4 > 6

Y1, Y4 > 0

Model Primal:F. Tujuan:

Maks Z = 10 X1 + 6 X2

F. batasan :

X1 + 4 X2 < 40

3 X1 + 2 X2 = 602 X1 + X2 > 25

X1 , X2 > 0

▪ Baris cj – zj dibawah kolom S1 adalah -20, artinya bahwa nilai dari satu unit

sumber daya 1 adalah sebesar 20.

▪ Nilai baris cj – zj dibawah kolom S2 adalah -20/3, bahwa nilai dari satu unit

sumber daya 2 adalah sebesar 20/3.

▪ Laba yang diperoleh sebesar 2240 .

▪ Untuk sumber daya 3 (S3) pada baris cj – zj bernilai nol, artinya bahwa sumber

daya 3 memiliki nilai marjinal nol, sehingga tidak diperlukan penambahan 1

unit sumber daya 3.

▪ Σ produk 1 yaitu X1 = 4

▪ Σ produk 2 yaitu X2 = 8

▪ Sisa sumber daya 3 =

S3 = 48 m2

INTERPRETASI MODEL PRIMALMisal dipunyai solusi optimal dari model primal sbb. :

Dari tabel optimal simplex di atas telah disimpulkan bahwa :

▪ Jumlah produksi untuk sepatu karet (X1) sebaiknya dilakukan

dalam jumlah 5/6 (lihat kolom NK, baris X1). Sementara itu sepatu

kulit sebaiknya diproduksi sebanyak 5 (lihat kolom NK, baris X2)

▪ Dengan hasil pada poin 1 di atas, maka keuntungan yang akan

diterima oleh perusahaan adalah sebesar 27,5 atau 2.750.000

(lihat kolom NK, baris Z)

INTERPRETASI MODEL PRIMALPerhatikan hasil optimal simplex berikut:

▪ Perhatikan nilai-nilai dibawah variabel dasar X3, X4, dan X5 pada

baris Z tersebut di atas. Nilainya adalah 0, 5/6, dan 1/2.

▪ Nilai-nilai ini secara umum dapat diartikan sebagai besarnya

tambahan keuntungan perusahaan apabila masing-masing

kapasitas batasan bertambah sebesar 1 unit kapasitas (misalnya

mesin A dari 8 jam menjadi 9 jam, mesin B dari 15 jam menjadi 16

jam)

INTERPRETASI MODEL PRIMALPerhatikan hasil optimal simplex berikut:

▪ Nilai 0 (nol) di bawah variabel dasar X3 menunjukkan bahwa apabila

mesin A kapasitasnya ditambah dari 8 jam menjadi 9 jam, maka

keuntungan bertambah sebesar 0 atau tetap sebesar 27,5.

▪ Nilai 5/6 di bawah variabel dasar X4 menunjukkan bahwa apabila mesin B)

kapasitasnya bertambah dari 15 jam menjadi 16 jam, maka keuntungan

akan bertambah sebesar 5/6 sehingga dari 27.5 menjadi 27,5 + 5/6 = 28,34

▪ Nilai 1/2 di bawah variabel dasar X5 menunjukkan bahwa apabila mesin C

kapasitasnya bertambah dari 30 jam menjadi 31 jam, maka keuntungan

akan bertambah sebesar 1/2 sehingga dari 27,5 menjadi 27,5 + 0,5 = 28.

INTERPRETASI MODEL PRIMALPerhatikan hasil optimal simplex berikut:

▪ Nilai 0, 5/6, dan 1/2 tersebut apabila dimasukkan ke dalam fungsi

tujuan Dual-nya:

▪ Fungsi tujuan Dual :

Minimalkan Y = 8Y1 + 15Y2 + 30Y3

= 8(0) + 15(5/6) + 30(1/2) = 27,5

▪ Nilai ini sama dengan yang dihasilkan dari fungsi tujuan

primal/simplex sebelumnya

INTERPRETASI MODEL PRIMALPerhatikan hasil optimal simplex berikut:

ANALISIS SENSITIVITAS

❑ Pada masalah program linier, diasumsikan bahwa parameter-parameter dari model diketahui dengan tepat dan pasti.

❑ Dalam kenyataannya hal ini jarang sekali terjadi, sehinggapara manajer perlu untuk mengetahui dampak yang terjadipada solusi model apabila parameter-parameter model berubah.

❑ Analisis Sensitivitas dilakukan untuk menganalisis dampak yang terjadi pada solusi optimal terhadap perubahan-perubahan yang terjadi pada koefisien-koefisien batasan model maupun koefisien pada fungsi tujuan

❑ Analisis sensitivitas selain digunakan untuk pengujian/pengecekan, analisis ini lebih bermanfaat untuk menghindari pengulanganperhitungan dari awal, apabila terjadi perubahan-perubahanpada masalah LP simplex.

ANALISIS DARI DAMPAK PERUBAHAN KOEFISIEN FUNGSI TUJUAN

Jika formulasi model program linier :

Fungsi tujuan :Maks Z = 160 X1 + 200 X2

Fungsi batasan :2 X1 + 4 X2 < 40 jam tenaga kerja

18 X1 + 18 X2 < 216 pon kayu

24 X1 + 12 X2 < 240 m2 tempat penyimpanan

X1 , X2 > 0

Dimana:

X1 = jumlah meja yang diproduksi,

X2 = jumlah kursi yang diproduksi

Bila koefisien fungsi tujuan diberi notasi cj, maka untuk masalah ini diketahui bahwa

c1 = laba yang diperoleh dari meja = $160

c2 = laba yang diperoleh dari kursi = $ 200

Seandainya, nilai c1 dari 160 dirubah, maka dapat dituliskan bahwa c1 = 160 + ∆.

Analisis sensitivitas berusaha menentukan seberapa jauh (range) perubahan pada cj dapat dilakukan tanpa harus mengubah solusi optimal

Fungsi tujuan :Maks Z = 160 X1 + 200 X2

ANALISIS DARI DAMPAK PERUBAHAN KOEFISIEN FUNGSI TUJUAN

ANALISIS DARI DAMPAK PERUBAHAN KOEFISIEN FUNGSI TUJUAN

Solusi LP dapat menggunakan Software LINDO:

Fungsi tujuan :Maks Z = 160 X1 + 200 X2

Fungsi batasan : 2 X1 + 4 X2 < 40

18 X1 + 18 X2 < 216

24 X1 + 12 X2 < 240

X1 , X2 > 0

Dimana

X1 = jumlah meja yang diproduksi,

X2 = jumlah kursi yang diproduksi

MAX 160X1 + 200X2

ST

2X1 + 4X2 <= 40

18X1 + 18X2 <= 216

24X1 + 12X2 <= 240

X1 >= 0

X2 >= 0

END

ANALISIS DARI DAMPAK PERUBAHAN KOEFISIEN FUNGSI TUJUAN

LP OPTIMUM FOUND AT STEP 1

OBJECTIVE FUNCTION VALUE

1) 2240.000

VARIABLE VALUE REDUCED COST

X1 4.000000 0.000000

X2 8.000000 0.000000

ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES

2) 0.000000 20.000000

3) 0.000000 6.666667

4) 48.000000 0.000000

5) 4.000000 0.000000

6) 8.000000 0.000000

NO. ITERATIONS= 1

RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED:

OBJ COEFFICIENT RANGES

VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE

COEF INCREASE DECREASE

X1 160.000000 40.000000 60.000000

X2 200.000000 120.000000 40.000000

RIGHTHAND SIDE RANGES

ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE

RHS INCREASE DECREASE

2 40.000000 8.000000 8.000000

3 216.000000 24.000000 36.000000

4 240.000000 INFINITY 48.000000

5 0.000000 4.000000 INFINITY

6 0.000000 8.000000 INFINITY

Range untuk fungsitujuan untuk masalah iniadalah :

100 < c1 < 200160 < c2 < 320

Solusi optimal tercapaipada X1=4 dan X2=8 sehinggaZ = 160 X1 + 200 X2

= 2240

Dual Price menunjukkan

kontribusi keuntungan bila

kapasitas suatu input

dinaikkan 1 satuan.

Fungsi batasan :2 X1 + 4 X2 < 4018 X1 + 18 X2 < 21624 X1 + 12 X2 < 240

ANALISIS DARI DAMPAK PERUBAHAN PADA NILAI KUANTITAS BATASAN Dari contoh yang sama, diperoleh:

Nilai kuantitas batasan pada masalah tersebut, dituliskan dengan notasi :q1 = 40, q2 = 216, dan q3 = 240.

Pertanyaan:Seberapa jauh range perubahan qi agar solusi tetap dalam daerah yang feasible

Fungsi batasan :

2 X1 + 4 X2 < 40

18 X1 + 18 X2 < 216

24 X1 + 12 X2 < 240

ANALISIS DARI DAMPAK PERUBAHAN PADA NILAI KUANTITAS BATASAN

LP OPTIMUM FOUND AT STEP 1

OBJECTIVE FUNCTION VALUE

1) 2240.000

VARIABLE VALUE REDUCED COST

X1 4.000000 0.000000

X2 8.000000 0.000000

ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES

2) 0.000000 20.000000

3) 0.000000 6.666667

4) 48.000000 0.000000

5) 4.000000 0.000000

6) 8.000000 0.000000

NO. ITERATIONS= 1

RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED:

OBJ COEFFICIENT RANGES

VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE

COEF INCREASE DECREASE

X1 160.000000 40.000000 60.000000

X2 200.000000 120.000000 40.000000

RIGHTHAND SIDE RANGES

ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE

RHS INCREASE DECREASE

2 40.000000 8.000000 8.000000

3 216.000000 24.000000 36.000000

4 240.000000 INFINITY 48.000000

5 0.000000 4.000000 INFINITY

6 0.000000 8.000000 INFINITY

Range untuk fungsiKuantitas batasan untukmasalah ini adalah :

32 < q1 < 48

180 < q2 < 240

Untuk q3, tidak perlu

dihitung karena sumber

daya ke-3 masih tersisa

48 (slack)

Fungsi batasan :2 X1 + 4 X2 < 4018 X1 + 18 X2 < 21624 X1 + 12 X2 < 240

LP dengan LINDO

LINDO

• Lindo (Linear Ineraktive Discrete Optimizer)

• Adalah software yang dapat digunakan untuk mencari penyelesaiandari masalah pemrograman linear.

• Dengan menggunakan software ini memungkinkan perhitunganmasalah pemrograman linear dengan n variabel.

• Menurut Linus Scharge (1991), Perhitungan yang digunakan pada Lindo pada dasarnya menggunakan metode simpleks.

Contoh Soal 1

MAX 8X1 + 6X2

ST

4X1 + 2X2 <= 60

2X1 + 4X2 <= 48

X1 >= 0

X2 >= 0

END

Variabel

DasarX1 X2 S1 S2 NK Indeks

Z 0 0 5/3 2/3 132 -

X1 1 0 1/3 - 1/6 12 -

X2 0 1 - 1/6 1/3 6 -

Contoh Soal 2

MAX 15X1 + 10X2

SUBJECT TO

X1 + X2 <= 600

2X1 + X2 <= 1000

X1 >= 0

X2 >= 0

END

Contoh Soal 3

MAX 3X1 + 2X2

ST

X1 + X2 <= 15

2X1 + X2 <= 28

X1 + 2X2 <= 20

X1 >= 0

X2 >= 0

END

Contoh Soal 4

MAX 60X1 + 30X2 + 20X3

ST

8X1 + 6X2 + X3 <= 48

4X1 + 2X2 + 1.5X3 <= 20

2X1 + 1.5X2 + 0.5X3 <= 8

X1 >= 0

X2 >= 0

X3 >= 0

END

Contoh Soal 5

MAX 8x1 + 9x2 + 4x3

ST

x1 + x2 + 2x3 <= 2

2x1 + 3x2 + 4x3 <= 3

7x1 + 6x2 + 2x3 <= 8

X1 >= 0

X2 >= 0

X3 >= 0

END

1. Fungsi Tujuan : Maksimumkan

▪ Z = 60x1+30x2+20x3

Fungsi Pembatas :

8x1 + 6x2 + x3 ≤ 48

4x1 + 2x2 + 1.5x3 ≤ 20

2x1 + 1.5x2 + 0.5x3 ≤ 8

x1, x2, x3 ≥ 0

2. Fungsi Tujuan : Maksimum

▪ Z = 8x1 + 9x2 + 4x3

Fungsi Pembatas :

x1 + x2 + 2x3 ≤ 2

2x1 + 3x2 + 4x3 ≤ 3

7x1 + 6x2 + 2x3 ≤ 8

x1, x2, x3 ≥ 0

Latihan

3. Fungsi Tujuan : Maksimumkan

▪ Z = 8x1 + 7x2 + 3x3

Fungsi Pembatas :

x1 + x2 + 2x3 ≤ 4

2x1 + 3x2 + 4x3 ≤ 7

3x1 + 6x2 + 2x3 ≤ 8

x1, x2, x3 ≥ 0

A. Tentukan model dual dari

soal tesebut!

B. Gunakan Software LINDO

dan tentukan solusi model,

interpretasikan lebih lanjut

berdasarkan output model LP!