INSTITUTO TECNOLOGICO DE TEPIC

INGENIERA CIVIL

MATERIA:

METODOS NUMERICOS

NEWTON RAPHSON MULTIVARIABLE Y PUNTO FIJO

MULTIVARIABLE

PROFESOR:

ROBERTO ORAMAS BUSTILOS

ALUMNO:

RIVAS FLORES CESAR JAIME

GRADO Y GRUPO:

2C

HORA

6:OO-7:00 PM

RESUMEN

En este documento se propondr y se resolver un par

problemas de ingeniera mediante los mtodos de Newton-

Raphson multivariable y otro problema tambin por el

mtodo de iteracin de punto fijo multivariable

Los mtodos en estudio estarn desarrollados de una

manera clara el cual tendr sus soluciones correspondientes

a cada problema de ingeniera.

ABSTRACT

In this file is to propose and will resolve a couple of

engineering problems through the newton-raphson

multivariable method and other problem also for the

iteration of point fixed multivariable method.

The methods in study will be resolve in clear way that wich

will be this solutions for each one problem.

MTODO DE NEWTON RAPHSON MULTIVARIABLE E ITERACION MULTIVARIABLE

Introduccin:

Para sistema de ecuaciones converge linealmente. Como en el mtodo de una incgnita, pero

puede crearse un mtodo de convergencia cuadrtica; es decir, el mtodo de newton raphson

multivariable. A continuacin se obtendr este procedimiento para dos variables; la extensin a

tres o ms variables es viable generalizando resultados.

Supngase que se esta resolviendo el siguiente sistema

F1(X,Y) = 0

F2(X,Y) = 0

Donde ambas funciones son continuas y diferenciables, de modo que puedan expandirse en la

serie de Taylor.

( ) ( ) ( ) ( )

Para obtener la ecuacion de varias variables lo que se tiene que hacer es tomar una serie de Taylor de varias varibles para tomar en cuenta el hecho de que mas de una variable de la raz Despus de varias deducciones se puede llegar a esta formula

Xi+1=

(

)(

) yi+1=

(

)(

)

El denominador de cada una de esas ecuaciones se conoce formalmente como el determinante jacobiano del sistema. Se puede emplear en forma iterativa para determinar las raices de dos ecuaciones simultneas.

Problema: El problema consiste en determinar la magnitud y el ngulo del voltaje en cada barra de la red de potencia que se muestra continuacin, bajo las condiciones especificadas:

Datos de lnea: Y12=4-5jpu, Y23=4-10jpu. 1=0, V1=1.0pu, V2=1.0pu.

v2 v1

V3

Figura : Sistema formado por 3 barras Datos del sistema de barras

Las ecuaciones para establecer el balance de potencia nodal estn dadas por:

En donde ( ) Y

( )

Aplicando el algoritmo del mtodo de newton raphston con ( ) ( ) se obtiene en la

quinta interaccin la solucin de este problema ingenieril.

R=(.13497080, -.00094814,0.88186783)

NODO TIPO Pi (pu) Qi(pu)

1 slack - -

2 generacion 1.7 -

3 carga -2 -1

2 1

3

METODO DE PUNTO FIJO MULTIVARIABLE

La iteracin de punto fijo para sistemas de ecuaciones no lineales tiene muchas similitudes

conceptuales con el mtodo de iteracin simple visto en el captulo RAICES DE ECUACIONES. La

dificultad a salvar es la correspondiente al trabajo en espaciosde n dimensiones donde los

mdulos antes utilizadas se valoran ahora en trminos de normas de vectores ymatrices. La

convergencia ser la convergencia de sucesiones de vectores,como a continuacin se presenta.

( )

Equivalente a:

( xn)=0

( xn)=0

( xn)=0

El primer paso es transformar el sistema dado en otro de la forma:

( )

O su equivalente:

( xn)=0

( xn)=0

( xn)=0

La eleccin de las funciones no es para nada trivial pues de ellas depende nada menos que la

convergencia o no convergencia del mtodo en estudio.

A partir de la eleccin de las funciones i se genera recursivamente lasucesin de vectores en el

espacio de n dimensiones, a partir de la aproximacin inicial x0 . Naturalmente, para resolver

sistemas no lineales es necesario que existan puntos fijos y para ello, a su vez es necesario que la

aplicacin sea una contraccin. Para ello es nuevamente necesario que la aplicacin de DRn en

DRn definida por x=(x) sea Lipschitziana, es decir que se verifique que existe una constante real

L>0 tal que y que la constante L sea menor que 1 .Si eso se cumple, existe un punto fijo.

En resumen, cuando el sistema de ecuaciones no lineales fk(xi) = 0 k,i 1,n se transforma en el

sistema

( xn)=0

( xn)=0

( xn)=0

hay que determinar si dicho sistema es una contraccin en el dominio D en el cual se trabaja. Para

ello es necesario determinar la constante L y verificar que, siendo positiva, es menor que uno. Esto

puede ser muy laborioso razn por la cual se hace necesario analizar variantes ms fcilmente

aplicables en la prctica. Una de ellas es utilizar la matriz Jacobiana de las funcionesk, asumiendo

la derivabilidad de las mismas con respecto a todas las variables. Esto es usando la matriz.

y determinando que alguna de sus normas (matriciales) J*(x)+ cumpla

( ( ) ( )) ( ( ( ))( )) ( ( ( ))( )) ( ) ( )

Ejemplo:

Un sistema estrurctural de vigas indeterminadas al momento de analizarlas mediante el mtodo

de reas momentos nos arroja las siguientes ecuaciones

( ( ) ( ))

Graficas de las funciones

Se transforma el sistema dado a la forma

( )

( )=x2

Escribiendo:

X=( ) ( )

Y=.25(sen(x)+cos(x))

Ahora se calcula (x,y)=(0.1,0.2)

=

=

( ) ( )=

Enseguida se calcula

( )

(( ( ) ( ) ( )

Esto quiere decir que el sistema es convergente

Ahora se calcula iterativamente

(x0,y0) 0.1 0.2

(x1,y1) 0.089442 0.34485

(x2,y2) 0.154222 0.257612

(x3,y3) 0.115208 0.280153

(x4,y4) 0.125288 0.268992

(x5,y5) 0.120297 0.27225

(x6,y6) 0.121754 0.270794

(x7,y7) 0.121103 0.271253

(x8,y8) 0.121308 0.271061

Obtenindose los resultados ( x = 0.121308; y = 0.271061 ), en ocho pasos de clculo, con un

error de cierre de O(10-5).

CONCLUSION

El metodo de newton raphson multivariable al igual que el metodo de punto fijo mutivariable son

realmente eficientes en la solucion de sistemas de ecuaciones no lineales ya que su convergencia

es realmente rapida y porporciona una precision muy cercana aunque siempre existira un

pequeo error. Tiene una amplia aplicacin en diferentes areas de las ciencias e ingenierias.

BIBLIOGRAFIA

[1] BURDEN and FAIRES. Anlisis Numrico, Grupo

Editorial Iberoamrica., 1985.

[2] CHIARELLA, C., W. Charlton, and A. W. Roberts

(1975). Optimum chute profiles in gravity flow of

granular materials: A discrete segment solution method.

Transactions of the ASME, Journal of Engineering for

Industry, Series B, 97, 10-13.

[3] COHEN A.M. Anlisis Numrico. Editorial Revert,

S.A., 1977.

[4] DORN William and MC CRACKEN Daniel.

Numerical Methods whit Fortran IV Case Studies.

Canad: Jhon Wiley & Sons, Inc, 1972