Rm 3º Año II Volumen

7/24/2019 Rm 3 Ao II Volumen

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I.E.P SAN AGUSTN RAZONAMIENTO MATEMTICO 3 AOSECUNDARIA============================================================

1. REGLA DE TRES: Es un mtodoque nos permite resolverproblemas sobre magnitudesproporcionales.

2. REGLA DE TRES SIMPLE: Esun mtodo en el cual

intervienen dos magnitudesproporcionales que tiene comoobjetivo hallar un cuarto valor,

-

Indicad!.- Formula ejemplos ycontraejemplos para resolver una reglade tres simples ya sea directa e inversa.

Ca"i#$%&

REGLA DE TRES

No hay ciencia que hable de las armonas de la naturaleza con ms claridad que la matemtica.Carus

La matemtica es la ms simple, la ms perecta y la ms anti!ua de las ciencia

"adamard

Profesor enseando Razonamiento Matemtico

- 1 -


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dados tres valorescorrespondientes a estas dosmagnitudes.

#. CLASES'#.1. DIRECTA: cuando

intervienen dosmagnitudes directamenteproporcionales.

:

.!

"# $uevos %osto&s'.(

a1..........b1 a)......... *

!or teor+a de magnitudesproporcionales, se cumple que:

X

b

b

a 1

1

1 =

na orma prctica para hallar lainc/gnita 0* es usando el mtodode las 0racciones. El valor de 0*se obtiene multiplicando el valorque se encuentra sobre l con laracci/n obtenida de los otrosvalores. 2eamos como se procede.

.!

"# $uevos %osto &s'.(

2

1

a

a

x

b1

la racci/n 2

1

a

a

se invierte debido aque se relacionan dos magnitudes.!.

N#a'a1, b1y a)son datos, mientrasque 03 es la inc/gnita.

E()*"%: 4oanna compra 56 huevospor s'.17. 8%unto le costar+an 9)huevos

;esoluci/n:

"# de $uevos %osto &s'.(

$% ............................... 17&2 ............................... 3

3 = 17. 40

72

3 = s'.)9


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En este caso podemos usar elmtodo de las 0Fracciones. 2eamosel procedimiento.

.!

"# >breros "# ded+as

2

1

a

a

x

b1

Ca racci/n 2

1

a

a

queda igual debido aque se relacionan dos magnitudes.!.

E()*"%'%ien obreros emplean 57d+as para hacer una obra. 8%untos

d+as emplearn ))7 obreros parahacer la misma obra

R),%$ci-n'

"# >breros "# d+as

166 ............................... 57))7 ............................... 3

3 = 57. 225

100

3 = )6 d+as

1. ?i las Dechas van en igual sentido las magnitudes sern .!.

2. ?i las Dechas van en sentido contrario las magnitudes sern .!.

#. %onsideraremos Dechas paraarriba 0mas o mayor y Dechaspara abajo 0menos o menor.

NOTA: a1, b1 y a) son datos,mientras que 3 es la inc/gnita.

1. n reloj da 5campanadas en 5 segundos. 8Encuntos segundos dar 1H?E;2B%I"

CONSTRUENDOMIS CONOCIMIENTOS

- < -


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2. >cho hombres pueden hacer unaobra en < d+as. 8%untos hombres

ms har+an alta, para hacer laobra en ) d+as.

a( ) b( < c( 5 d( e(G

#. !ara alimentar a los 56 caballosque tengo necesito )7 Jg. depasto, 8%untos caballos deber+atener para alimentarlos con 17Jg. si la raci/n por caballo novar+a

a(


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a( 1) d+as b( 1< d+as c( 15d+as

d( 17 d+as e( ".B.

). n jardinero siembra un terreno

cuadrado de 9 metros de lado, en Gd+as. 8%unto d+as le tomar ensembrar otro terreno cuadrado, de15 metro de lado

a( 1 b( )5 c(


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-

Bcurdate de conservar, enlos acontecimientos graves,la mente serena.

0!aci

POR SI NO LO SA1A

C>? EBCE?: 8@uin en esta vida no tiene un idealBlgunos ambicionan dinero, ser amados, ama,viajes, placeres. >tros desean tener contacto con>?. !oseer nobles ideales permite la creaci/n deuna personalidad uerte, subyugante,irresistiblemente atractiva. %rea un energ+a losuOcientemente grande como para vencer cualquiertipo de obstculo. %uanto ms noble sea un ideal,ser la ersona.

- -


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-

Ca"i#$%

2

)n ho!ar sin libros de matemtica es un ho!ar sin discernimiento en sus actos

*al+ador imoteo-onde se quiere a los libros de matemtica se quiere a los hombres

. /erciers

- 9 -


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1. REGLA DE TRES COMPUESTA:?e llama as+ cuando intervienenms de dos magnitudesproporcionales.

2. MTODO DE LAS RAAS:Podas las magnitudes queintervienen se clasiOcan en trespartes y son:

a0 Ca$,a:Es todo lo que haceposible la obra &hombre,mquinas, animales, etc(

b0 Ci!c$n,#ancia: Es todo loconcerniente al tiempo&d+as, horas diarias, raciones

diarias, etc.(

c0 E4)c#: Es todo lo que sehace o realiLar &obra, largo,ancho, volumen, metros,etc(.

O1SER+ACI5N'1. Ca eOciencia, habilidad o

rendimiento del obrero va junto o

multiplicada a l.2. Ca oposici/n o diOcultad de laobra va junto o multiplicada a ellamisma.

$ombres E +as $' Cargo Bncho m) i1ra.?erie

a1 b1 c1 d1 e1 1 g1 $1

)da.seria

a) b) c) d) e) ) g) $)

?e cumple que:a)b)3 d)e11g1h1= a1b1c1e))g)h).d1

con lo cual:

3 = 1111222

22221111

hgfedbahgfedcba

E6EMPLO' 1) obreros en G d+ashacen 6m) de una obra, 8Encuntos d+as, G obreros harn


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R),%$ci-n'%olocaremos en dos dilas losdatos correspondientes a cadauna de estas magnitudes, esdecir:

.!..!. .!.

"# obreros "# d+as obra rapideLdiOcultad

15

18

x

42

1

1

r

r

7 d

d

5

3 =

3 =


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d+as 96 obreros harn 1)6m) deobraa( ) b( < c( 5d( e( G

). 6 seMoras en )5 d+as hacen )76chompas 8%untos chompastejern 5)seMoras en 1 d+as

a( 167 b( 1)6 c( 1)7d( 1


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1. 57 tigres en el mes de abril comen5G6 Jg de carne. 8%untos Jg decarne comern )96 tigres en )7

d+asa( )166 b( ))66 c()


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-

POR SI NO LO SA1A

Ca conOanLa del guerrero no es la conOanLa delhombre corriente. El hombre corriente busca lacerteLa en los ojos del espectador, y llama a esoconOanLa en s+ mismo. El guerrero busca la

impecabilidad en sus propios ojos, y llama a esohumildad. El hombre corriente estn enganchado asus semejantes, mientras que el guerrero s/lo esten anchado al inOnito.

- 1) -


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-

1. DEFINICIN: Es una aplicacin de laregla de tres simple directa en donde unade las cantidades representa una unidaddividida en 100 partes iguales (100%)Esquema:

m -------- 100 %n -------- x

2. PRINCIPALES RELACIONES:

. Transformaciones:

A1 !e % a "raccin:E#emplo:

o $0% 5

1

100

20=

o &% 20

9

100

45

=En general:

A$ !e "raccin a %:E#emplo:

o

%25%1004

1

4

1

= x

o

%3,33%1003

1

3

1= x

o

%40%10052

52 = x

En general:

. 'orcenta#es seme#antes:E#emplo:

o $&% de m*s el +0% de ,($&% +0%) de

, &&% de ,N

100

55

o $% de m*s el +.% de menos el &% de , ($% +.% - &%) de

, +&% de ,N

100

35

C. 'orcenta#es de porcenta#e:

E#emplo:o 0% del &0% de ,

Nx100

50

100

40

o /&% del .0% del 0%de ,

Nxx100

60

100

80

100

75

Ejemplo:& por ciento de +00

& & & , 1&

NOTA:de2del2 implica una

multiplicacinde los2

E32 significa igualdad 4uando nos dicen que se

disminu5e o se aumenta a un

total en t6rminos de porcenta#esde7emos considerar que esetotal es el 100% de s8 mismo

-

Ca"i#$%

3

PORCENTA6E I

X = m

n

x100 %

a % 100

a

%100xaa

Indicad!.- Elabora procedimientospara hallar el porcentaje enoperaciones ms usadas en el medio.

- 1< -


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'erdi 9uito e 9ueda+0% 100% - +0%0% 0%;0% 10%

mero de unidades que setoma de cada 100

o 3i decimos el /0 por ciento de lasrespuestas de una prue7a son correctas23e podr* usar /0?100 en ve@ de la frase/0por ciento2

o =a frase por ciento2 se usa cuando unara@n est* expresada con undenominador 100

/0 por ciento: 100

170

100

70x=

o En ve@ de la expresin por ciento2 seusa el s8m7olo es una a7reviatura de1?100

%50100150

10050 == x

%25100

125

100

25== x

E#emplo:

B x 100% B 00%

2

1

2

1

x 100% &0%

4

3

4

3

x 100% &%

E#emplo:o $0% A 0% A , 0% A

o &0% A C $.% A , $$% Ao $% D C 1% A &% D , 1/% D

E#emplo:

0 1&% del (1$% de 4) % del (1$ de 4)

se suman

, 1;% del (1$% de 4)

0 na cantidad m*s su +0% , 1+0% de lacantidad

C0 i edad m*s el $+% de ella , 1$+% demi edad

PROBLEMAS FUNDAMENTALES SOBREPORCENTAJES:

=os pro7lemas fundamentales de tanto porciento pueden reducirse a la siguienteexpresin:'% x , F!onde:'% , os indica el n>mero de cent6simas atomar , Fepresenta la cantidad de la cual Ga5que tomarlasF , Es el resultado de la operacin

'rimer caso:4uando en: '% de , F

3e conocen: '% 5 3e desconocen: F

Ejemplo 1: Hallar el 0% de ;00Fesolucin:

0% de ;00 , F= 900

100

40x

F3implificando o7tenemos:

0 x ; , F F , +0

Ejemplo 2: Hallar el 00$% de + 000

Fesolucin:

-

Todo nmeo p!ede "e e#pe"$do %omo !n po%en&$jem!l&'pl'%$ndo d'%(o nmeo # 1))

Se p!ede "!m$ o e"&$ po%en&$je" de !n$ m'"m$ %$n&'d$d*

- 15 -


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000$% de + 000 , F00036

100

002,0x

3implificando o7tenemos:

000$ x + , F ,

Rx =360100

002,0

Rx

=100

362

F , 0/$

=as pala7ras de2 del2 o de los2matem*ticamente significamultiplicacin 5 la pala7ra es2significa igualdad

Se+!ndo %$"o:C!$ndo en: P, de N - RSe %ono%en P, . RSe de"%ono%en N

Ejemplo 1: I$&% de que n>mero es 0JFesolucin:3ea: 2 el n>mero 7uscado

entonces: $&% de , 0100

100

25= xN

!espe#ando 2 o7tenemos:

24046025

10060=== Nx

xN

Ejemplo 2: I00% de qu6 n>mero es $J

Fesolucin:

3ea: 2 el n>mero 7uscado entonces:00% de , $

240006,024100

06,0== xNxN

2400

100

6=xN

Ejemplo /: 3i tuviera $0% m*s de la edadque tengo tendr8a . aKos I9u6 edad tengo

en la actualidadJ

Fesolucin:

3ea mi edad actual: e 100%eFecordemos que la totalidad de una cantidades siempre el 100% de ella misma !elenunciado o7tenemos:

e $0%e , . aKos100%e $0%e , . aKos 1$0%e , . aKos

100

120

e , . aKos

e , 12

1048x

aKos e , 0 aKos (edad actual)

Ejemplo 0: 3i vendiera mi li7ro dera@onamiento matem*tico en un +0% menoscostar8a 1/&0 soles I4u*l es el precio realdel li7roJFesolucin:3ea: el precio real de li7ro:' , 100% '

!el enunciado o7tenemos:' C +0%' , 1/& soles100%' C +0%' , 1/& soles/0%' , 1/& soles

100

70

' , 1/& soles

' , 100175

soles ' , $& soles

Te%e %$"o:C!$ndo en: P, de N - RSe %ono%en N . RSe de"%ono%en P,

Ejemplo 1: I9u6 porcenta#e de 1$0 es .JFesolucin:3ea: '%2 el porcenta#e 7uscado'% de 1$0 , .

100

P

x 1$0 , . ' , 121048x

' , x 10 , 0%

Ejemplo 2:I9u6 porcenta#e de +$0 es JFesolucin:3ea: '% el porcenta#e 7uscando '% de +$0,

100

P

x +$0 , ' , 321064x

' , $ x 10 , $0%

- - 17 -


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I.E.P SAN AGUSTN RAZONAMIENTO MATEMTICO 3 AOSECUNDARIA============================================================Ejemplo /: I9u6 porcenta#e de 00$& es000&JFesolucin:3ea: '% el porcenta#e 7uscado'% de 00$& , 000&

100P

x 00$& , 000&

100

P

x1000

25

, 1000

5

' , & x , $0%

1. I!e qu6 n>mero es 1$. el +%menosJa) $0 7) $00 c) 100d) $&0 e) 00Fesolucin:

2. I4u*nto es el $0% m*s del $0%menos de &0Ja) &0 7) . c) &$ d) e) AFesolucin:

#. !etermine el $&% de los $?& del 0%de los $?; del 10% de + 000a) +0 7) +$ c) + d) +1 e) ++

Fesolucin:

$. En una f*7rica tra7a#an $&0 personasdonde el .0% son Gom7res I4u*ntasmu#eres de7en contratarse para queel 0% del personal sean aGoramu#eresJa) $&0 7) 1&0 c) $00d) 1.0 e) $+0Fesolucin:

'. El $0%A , +0%D Iqu6 porcenta#e de(AD) es DJa) $0% 7) +0% c) 0% d) &0%

e) 0%Fesolucin:

-


- 1 -


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(. En la academia 3an Agust8n2 Ga500 alumnos de los cuales &0 sonmu#eres Iqu6 porcenta#e del total sonlos varonesJ

a) 1&% 7) $&% c) +&% d) $%e) +%Fesolucin:

1 Hallar el (a C 7)% de

22 ba

ba

+

a) 100

1

7) 2

50

c) 3

35

d) 15

2

e) 0

2. 3i el $0% de a2 es igual a 72 I9u6porcenta#e de (a C 7) es (a 7)J

a) +&% 7) .&% c) 1$0%d) 1&0% e) 1&%

#. En un saln de clases el 0% sonGom7res 5 las mu#eres son $1Icu*ntos alumnos Ga5 en el salnJa) +0 7) +& c) 0 d) & e) &0

$. 3i 0%A , .0%D I9u6 porcenta#ede (A $D) es ($A - D)J

a) $0% 7) +0% c) 0% d) &0%

e) 0%

'. 3i el L% m*s que q es p Icu*l es elvalor de LJ

a) q

p100

7) p

q100

c)

qqp )(100

d) q

pq )(100

e) p

qp )(100

(. 3i el $0% de A2 equivale al +0% deD Iqu6 porcenta#e de (AD) es A2Ja) $0% 7) 0% c) +0%d) 0% e) .0%

&. En la Academia 3an Agust8n2 el d8ade Go5 el 0% de Gom7res 5 /0% deGom7res salen de paseo 3i el totalde mu#eres es el .0% del total dealumnos I9u6 porcenta#e no asistial paseoJa) $.% 7) +.% c) $%d) 1% e) .%

3. 3i a2 es el $&% de 42 5 72 es el0% de 42 I9u6 parte de 72 esa2J

a) 5

8

7) 2

1

c) 5

2

d) 8

5

e) 2

3

4. El &0% de A2 es igual al +0% de DI9u6 tanto por ciento de & /D2 esA D2J

a) 1.% 7) +% c) +0%d) 1% e) $0%

1%. En una reunin el 0% del total depersonas son ma5ores de edad 3i seretiran la mitad de 6stos I9u6 tantopor ciento representan los menoresde edad del nuevo totalJ

a) /0% 7) /&% c) .0%

d) .&% e) ;0%

-

RE/ORZANDOMIS CAPACIDADES

- 19 -


18/71


1. IEn cu*l de estos equipos no Ga #ugado Muan 4arlos Da@alarJ

a) 3port Do5s 7) !eportivo 3ipesa c) 4iclista =ima

2. IEn cu*l de estos equipos no Ga #ugado


19/71


APLICACIONES

. !os descuentos sucesivos del a% 5 7% son equivalentes a un descuento>nico de:

!u, (a 7) - 100

ab

%

. !os aumentos sucesivos del a% 5 7% son equivalentes a un aumento>nico de:

Au, (a 7) 100

ab

%

Ejemplos e Bplicaci/n

1. !os descuentos sucesivos 5 uno del10% 5 el otro del $0% sonequivalentes a uno de:Fesolucin:

!u, (10 $0) - 100

2010x

%!u, +0 C $ , $.%

2. En el mes de a7ril le aumentaron elsueldo a su empleado en un $0%luego en el mes de #ulio al 10% Ienqu6 porcenta#e aument el sueldorespecto del mes de mar@o

Fesolucin:3uponemos que en mar@o reci78a:100 soles en a7ril (reci7ir*100$0,1$0($0 es el $0% de 100)=uego en #ulio reci7ir*: 1$0 1$ ,1+$

(1$ es el 10% de 1$0)El aumento total ser*: 1+$-100,+$que equivale al +$%

-

Ca"i#$%:

PORCENTA6E II

La matemtica es la piedra an!ular de la ciencia

La /lace

El que crea que todo sistema concepto o proposicin es algo inaltera7leO no es u=a matem*tica es la m*s su7lime 5 a la ve@ la m*s fren6tica de las creaciones Guamanas2 (

Indicador.- Elabora procedimientos parahallar descuentos y aumentossucesivos de porcentaje relacionadoscon aspectos de la vida cotidiana.

DESCUENTOS AUMENTOSSUCESIOS

- 1K -


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Au, (10 $0) 100

2010x

%Au, +0 $ , +$%

#. A una persona le Gacen dosdescuentos sucesivos del $0% 5+0% so7re el precio de un art8culoque compr Icu*l es el porcenta#eefectivo (>nico) de descuento que seGi@oJFesolucin:

!u, ($0 +0) - 100

3020x

%!u, &0 C , %

$. =os precios de los alimentos su7ieron$0% en enero 5 +0% en fe7rero delaKo $00 I!e cu*nto fue elincremento efectivo (>nico) de loselementos en esos dos mesesJFesolucin:

Au, ($0 +0) - 100

3020x

%Au, &0 , &%

1. !os descuentos sucesivos del 10% 5el 0% son equivalentes a uno de:

a) .% 7) % c) %

d) $% e) &0%Fesolucin:

2. !os aumentos sucesivos del 10% 5 el

$0% equivalen a un aumento >nicode:

a) +0% 7) +1% c) +$%d) ++% e) +%Fesolucin:

#. IA qu6 aumento o descuento >nicoequivalen dos descuentos sucesivosdel $0% 5 &0% seguido de dosaumento sucesivos del $0% 5 &0%Ja) 0% 7) $.% c) /$% d) +0%e) /0%

Fesolucin:

$. 3i en la maKana cuando sale el sol latemperatura es 1&P4 5 al mediod8a latemperatura es 1.P4 IEn qu6 tantopor ciento aumenta la temperaturaJa) $&% 7) 1% c) 1&%d) $0% e) +0%Fesolucin:

-


- )6 -


21/71


'. 3i el radio de una esfera aumenta en10% IEn qu6 tanto por ciento var8asu *reaJ

a) 1;% 7) $1% c) 10%d) 100% e) &0%

Fesolucin:

3ea: E , w

zyx

4

..)5log( 2

3i x aumenta en &0% 5 Q disminu5een % IEn qu6 tanto por cientovar8a EJa) &0% 7) 1% c) ++% d) +&%e) &+%Fesolucin:

1. IA qu6 descuento >nico equivalendos descuentos sucesivos del $0% 5

0%J

a) 0% 7) &$% c) &&%

d) &% e) $%

2. IA qu6 aumento >nico equivale dosaumentos sucesivos del $0% 5 0%Ja) &% 7) 0% c) .% d) /$%

e) /.%

#. 3i el ancGo de un rect*ngulo aumentaen $0% 5 el largo disminu5e en 10%IEn qu6 tanto por ciento var8a su*reaJa) % 7) .% c) %d) 1% e) 10%

$. na lavadora cuesta R+00 5 se leGace dos descuentos sucesivos del

$0% 5 10% I4u*nto se pagar* por elartefactoJa) R1$ 7) R11 c) R$1d) R1+ e) R$10

'. Tres descuentos sucesivos del $0%&0% 5 10% equivale a un descuento>nico de:a) .0% 7) .$% c) $%d) % e) /$%

(. 3i F2 disminu5e en 10% IEn qu6

porcenta#e disminuir* F$Ja) 10% 7) 100% c) .1%d) 1;% e) ;0%

&. IEn qu6 porcenta#e aumenta el *reade un cuadrado cuando su ladoaumenta en $0%Ja) $0% 7) $1% c) %d) &% e) .0%

3. En la siguiente expresin:

E , pw

zyx

.

.. 2

3i Q2 disminu5e en 10% 52 aumentaen 0% p2 disminu5e en +0% IEnqu6 porcenta#e var8a E2J

a) Aument en 1;0%7) !isminu5 en 1;0%c) Aument en 1&$%

-

RE/ORZANDOMIS CAPACIDADES

- )1 -


22/71


d) Aument en 1+&%e) !isminu5 en ;.%

4. n art8culo al venderse se ledescuenta el 10%O luego se le

recarga el 10% pero se le vuelve adescontar el 10% pag*ndose 3? .;10 I4u*l era el precio inicialJ

a) 3? 1 000 7) 3? 1+ 000c) 3? 1$ &00 d) 3? 1$ 000e) 3? 10 000

1%. 3i la 7ase de un tri*ngulo aumenta en+0% 5 la altura relativa a dicGa 7asedisminu5e en un 0% IEn qu6 tantopor ciento var8a su *reaJ

a) Aumenta en +0%7) !isminu5e en 0%c) !isminu5e en .%d) Aumenta en .%e) !isminu5e en +0%

1. I4u*l fue el primer equipo peruano que enfrent al Am6rica de 6xico en 4opa =i7ertadoresJa) 3porting 4ristal 7) 4ienciano c) Alian@a =ima

2. I9u6 equipo derrot a niversitario en la final de la copa =i7ertadores 1;/$Ja) Sndependiente 7) 'eKarol c) Facing

#. IEn cu*l de estos equipos #ug Fo7erto 4GaleJa) 3porting 4ristal 7) 3port Do5s c) Muan AaricG

$. IEn qu6 equipo de EE #ug Tefilo 4u7illasJa) 4osmos 7) Tampa Da5 c) 3tricers

'rimer Acto: 'asa un tipo 5 lo muerden los perros3egundo Acto: 'asa el mismo tipo 5 lo vuelven a morderTercer Acto: 'asa el mismo 5 lo vuelven a morder los perrosI4mo se llama la o7raJ

- - )) -


23/71


El remordimiento

!onde m*s encontraremos aplicaciones

del tanto por ciento es en las actividades

comerciales por e#emplo en el Danco (en

las tasas de inter6s) en la 3AT (al

pagar un impuesto) etc

4uando resolvamos pro7lemas de este

tipo nos tocaremos con nom7res como:

'recio de venta descuento 5 ganancia7ruta etc

RELACION FINANCIERA*C!$ndo "e 3ende +$n$ndo

'fC !esc , 'c g

'v gn gastos

'f :'recio de lista o fi#ado o marcadopara la venta

-

Ca"i#$%;

PORCENTA6E III

=a matem*tica es la g6nesis de la ciencia 5 el Apocalipsis de la ignorancia2 (4oleccin cEl cora@n de la ra@a Gumana es la matem*ticas2 (!arUin)Snfeli@ aquel que la matem*tica no Ga5a tocado su mente 5 alma2 (!ruert)

Indicador.- Elabora procedimientos parahallar las aplicaciones comerciales denuestra vida cotidiana.

APLICACIONES COMERCIALES

- )< -


24/71


'v :'recio de venta

'c :'recio de costo o de compra

g :


25/71


'. n comerciante compra unamercader8a 5 la revende con un7eneficio del .% so7re el precio decompra 3i ganara el .% so7re elprecio de venta 5 resultar8a unaganancia de 3? . m*s Hallar elprecio de compra

Fesolucin:'v , 'c n#, a, #i)n) *i4$#$! ,$)

P)#$a'03 aMos

Inc)n#)' 8%untos aMos tuvo hace

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Rm 3º Año II Volumen