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razonamiento matematico secundario capitulos del 13 al 17
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9
Raz. Matemático
13Fracciones
OBJETIVOS:
a Desarrollar la capacidad de abstracción, en el uso de fracciones.a Familiarizar al estudiante en el manejo adecuado, vía operaciones matemáticas de las fracciones y sus múltiples
aplicaciones.
Introducción
"El ser humano es como una fracción: el numerador es lo que él realmente es y el denominador lo que él cree que es. Mientras más grande el denominador más pequeña la fracción".
La noción acerca de la fracción es muy antigua y su remoto origen se pierde en la bruma de los tiempos. Se deriva del latín fractum que significa "roto" o "quebrado".En el transcurso de la lucha por la supervivencia, constantemente surgía el problema de repartir la presa capturada, entre una determinada cantidad de individuos dividir los productos agrícolas recogidos de forma mancomunada, aquí el surgimiento de las fracciones, acto que nace por necesidad.
ab
o a/b
ab (con b ≠ 0; a, b ∈Z)
Ejemplo:
Al número fraccionario que presente sus dos términos positivos vamos a denominarlo fracción.¡Cuidado!, debemos aclarar que esta consideración es sólo con fines prácticos, pues para dar la idea de fracción, haremos uso de "objetos reales".
Según la noción dada, indica cuáles de los siguientes números son fracciones y cuáles no lo son:
7-3
; 11e
; 86
; 23
; 45
; 7213
; 111113395
;
-59
; p4
; e3
; 1,1010110...; 126
Fracción
Números racionales
NOCIÓNAl cociente de la división de dos números enteros "a" y "b", donde "b" es diferente de cero, se le denomina número racional.El cociente puede ser un número entero y si no lo es puede quedar indicado en la representación del número racional.Luego bajo las condiciones dadas en la noción, podemos representar un número racional así:
OBSERVACIÓN
Cuando escribimos:
Para representar a un número racional, estamos haciendo uso, como puede verse, de dos números. El primero es el número entero "a" sobre la línea horizontal que recibe el nombre de numerador y el segundo número entero "b" ubicado bajo la línea, el cual se llama denominador.
Números fraccionarios
Se denomina así a todos aquellos números racionales que no representan a números enteros. De acuerdo a la definición si denotamos por "f" al número fraccionario, tendremos:
f=ab
; donde: a ≠ b; b≠0; a, b ∈ Z
Por ejemplo, son números fraccionarios:
23
; 39
; 1214
; -37
; 218
; 10119
; 7-4
; etc.
10
4to Secundaria
Resolución:
No son fracciones:7-3
; 11e
; -59
; p4
; e3
;
126
1,1010110...;
Si son fracciones:
86
; 23
; 45
; 7213
; 111113395
Observación
1 <> TOTAL <> 5 PARTES IGUALES
15
15
15
15
15
Lo sombreado representa los
35
ParteTodo
(La UNIDAD ha sido dividido en 5 partes de las cuales se considera 3)
3 PARTES
14
141
414
Sombreado34
14
No sombreado(blanco)
+34 +
14 =
44 =1
En general:
Fracción = ND
NumeradorDenominador
Fracción = ParteTodo
es, son, ...de, del, ...
En los problemas reconoceremos la "parte", porque va antecedido por la palabra "es" o sus sinónimos y el "todo" de la palabra "de", "del", etc.
FRACCIÓN GENERATRIZ DE UNA ...
a) Expresión Decimal Exacta
ab , cde
ab , cd abcd100
tiene 2 cifras
0,32 = 32
100
3,19 = 319100
0,007 = 7
1000
tiene 3 cifras
abcde1000
•
•
Ejemplos:
b) Expresión Decimal Inexacta
3,7 =37 - 3
9=
349
0,427 = 427 - 0999
=427999
6,74 =674 - 6
99=
66899
Periódica Pura
ab , xyxyxy...
ab , xyztiene 3 cifras
abxyz - ab999
ab , xytiene 2 cifras
abxy - ab99
•
•
•
Ejemplos:
c) Expresión Decimal Inexacta
ab , cdexyxyxy...
ab , cdexytiene
3 cifras
abcdexy - abcd99000
tiene 2 cifras
Periódica Mixta
Fracción: Relación entre una parte de un total y el respectivo total (todo), donde:Todo: Número de partes en que se divide la unidad (total).Parte: Número de partes que se consideran.•
•
11
Raz. Matemático
PÉRDIDAS Y GANANCIAS SUCESIVAS
Pierde
xy
Queda
y - xy
4,237 =4237 - 42
990=
4195990
0,791 =791 - 79
900=
712900
1,123 =1123 - 11
990=
1112990
•
•
•
Ejemplos:
Ejemplos:
Pierde Queda
13
3 - 13 =
23
27
7 - 27 =
57
1)
2)
Gana
xy
Tendrá
y + xy
Gana Tendrá
29
9+29 =
119
12
2+12
=32
1)
2)
RELACIÓN PARTE-TODO
2) ¿Qué parte de es ?
Planteando28P . P= =
14
1 2
1 8
1 2
=1 8
¿Qué parte de A es B?
P . =
PlanteandoBA
P . A = B P=
1) ¿Qué parte de 6 es 2?
Planteando26
P . 6 = 2 P= =13
∴ Rpta.: Es la tercera parte.
∴ Rpta.: Es la cuarta parte.
Ejemplos:
Ejemplos:
Situación 1:
Ejercicios:
58
13
SITUACIONES BÁSICAS CON FRACCIONES
Son aquellas situaciones que se presentan en los problemas razonados con FRACCIONES.
Halla lo que le falta a una fracción respecto a una cantidad.
a) ¿Cuánto le falta a para ser igual a 2 ?
b) ¿En cuánto es excedido por ?37
53
Situación 2:
Halla lo que le sobra a una fracción respecto a una cantidad.
Ejemplo:
¿Cuánto le sobra a respecto a ?35
13
Resolución:
35
- 13
=4
15
Situación 3:
Halla la fracción de una cantidad.
Ejemplo:
Halla los de 48.58
Resolución:
58
x 48 = 30
12
4to Secundaria
Rpta:
2
Rpta:
4
Rpta:
1
Rpta:
3
Calcula el valor de:
Resolución:
E=
45
+12
+9
10
239
Efectúa:
Resolución:
25
+23
1 1
35
+37
1 1
5Simplifica:
Resolución:
0,625x0,005x0,000820,00125x0,041x0,025
E=
Calcula el valor de:
Resolución:
0,1+0,2+0,3+...+0,8
0,1+0,2+0,3+...+0,8E=
13
Raz. Matemático
Rpta:
5
Rpta:
6Calcula el valor de a en:
Resolución:
0,00a+2(0,0a)+0,a = 0,73
Calcula a + n.
Resolución:
a37
+n9
= 0,(n+1)a0
7. ¿Qué fracción se debe aumentar a 0,07333... para que sea igual a la unidad?
8. ¿Cuál es el número que dividido por su inverso da 0,40111...?
9. ¿Cuánto le falta a 5 para ser igual a ?23 1
31-
8
10. Me deben los 3/7 de S/. 252. Si me paga 1/9 de S/. 252, ¿cuánto aún me deben?
11. Juan tiene 1/3 de monedas en su bolsillo izquierdo, de las que tiene en su bolsillo derecho. Si él pasa la mitad de las monedas de su bolsillo derecho al izquierdo, ¿qué fracción de monedas de las que ahora tiene en su bolsillo izquierdo tiene ahora en el derecho?
12. Una pelotita cae de cierta altura y en cada rebote se eleva los 2/3 de la altura anterior. Si después de 4 rebotes consecutivos logra elevarse 32 cm, ¿de qué altura cayó inicialmente?
14
4to Secundaria
9. ¿Cuál es el número por el que hay que dividir 18
para obtener 3 ?
a) 5 b) 5 c) 5
d) 5 e) 5
7. Necesitamos distribuir 800 litros de vino en to-neles de 16 litros. ¿Cuántos toneles debemos tener listos
a) 45 b) 42 c) 62 d) 24 e) 48
5. Simplifica:
a) 8,25 b) 7,25 c) 7,33 d) 33,8 e) N.A.
4. ¿Cuánto le falta al producto de 0,121212... por 0,666... para ser igual a 0,72727272...?
a) 0,02 b) 0,71 c) 0,65
d) 0,62 e) 0,64
2. Simplifica:
a) 0,5444... b) 0,2727 c) 0,54... d) 0,1212... e) 0,6
0,12+0,240,6
E = ( 0,91666...+ 3,66...)2
1. Señala una fracción equivalente a:
a) b) c)
d) e)
3. Calcula la raíz cuadrada de: 99,777... + 0,222...
a) 7 b) 8 c) 6 d) 9 e) 10
6. César tiene S/. 17 y Norma tiene S/. 8 . ¿En
cuánto excede lo que tiene César a lo que tiene
Norma?
a) b) c)
d) e)
14
154
78
172
234
34
125
23
112
1
3 -2 -
1+
13
1519
79
2513
8. Fernando dedica 1/8 del día a jugar en la compu-tadora, 1/16 del día lo dedica a comer y 1/4 del día lo dedica a dormir. Si el resto del día lo dedica a cumplir con los trabajos del colegio, ¿qué fracción del día dedica a esta última labor?
a) 3/16 b) 5/16 c) 7/16 d) 9/16 e) 1/16
10. Un padre reparte un sol entre sus tres hijos. A uno da 50 centavos, a otro 40 centavos y al último el resto. ¿Qué parte del sol le tocó al que recibió el resto?
a) 3/10 b) 1/10 c) 3/8 d) 2/5 e) 1/2
11. Si me deben los 3/5 de 500 dólares y me pagan los 2/3 de 300, ¿qué parte de lo que me debían me han pagado?
a) 3/4 b) 3/5 c) 2/3 d) 2/5 e) 1/3
12. Al mezclarse 2 cucharadas de pisco con 8 de miel, ¿qué parte de la mezcla es pisco?
a) 1/5 b) 3/10 c) 2/3 d) 1/4 e) 3/2
107
710
127
1110
910
15
Raz. Matemático
14Reducción a la Unidad
OBJETIVOS:
a Emplear fracciones para resolver situaciones que realizan dos o más objetos, o personas en conjunto.
a Desarrollar la capacidad de abstracción, en el uso de fracciones.
Introducción
Estos tipos de problemas se caracterizan porque se tratará de homogenizar lo hecho por cada objeto (caños, grifos) o personas ya sea en "un día", "un minuto", etc.
Es el procedimiento mediante el cual se calcula la parte de la obra realizada en cada unidad de tiempo.
Por ejemplo, si nos dicen que: "Luis hace toda una obra en cinco días", entonces debemos considerar que en un día hará 1/5 de la obra, es decir:
Obra Tiempo P a r t e d e o b r a realizada en cada unidad de tiempo
12
2 h
de la obra
13
3 h
de la obra
14
4 h
de la obra
1x
x h
de la obra
x partes
...
* Un caño demora 3 horas en llenar un depósito.
* En 1 hora llenará la tercera parte.
Dos caños llenan un depósito; el primero demoraría sólo 3 horas y el otro sólo lo llenaría en 6 horas. ¿En cuánto tiempo llenarían todo el depósito si trabajan juntos?
* El primero demora 3 horas.
1 hora
1 hora1 hora
En 1 hora:
1/3
13
13
llena:13
16
4to Secundaria
Ejemplo 3:
Dos cirios de igual altura se encienden simultáneamente, el primero se consume en cuatro horas y el segundo en tres horas. ¿Cuántas horas después de haber encendido los cirios la altura del primero es el doble de la del segundo?
Resolución:
El primero, en 1 hora se consume:14
El segundo, en 1 hora se consume:13
→ El primero en "t" horas se consumió: t4
→ El segundo, en "t" horas se consumió: t3
Luego: (condición)(lo que quedó del primero) = 2(lo que quedó del segundo)
1- t4
= 2 1- t3
Ejemplo 1:
Entonces:Tiempo Llenan
1h 1/2 X 1
X= 1x1
12
= 2 horas
Si trabajan juntos lo llenarían en 2 horas.
Un recipiente puede ser llenado por el grifo A, trabajando sólo 3 horas, y el grifo B lo puede hacer en 2 horas. Si se abren ambos grifos simultáneamente cuando el recipiente está vacío, ¿en cuánto tiempo se llenará?
Resolución:
∴ Rpta.: El recipiente será llenado en 1,2 h o 1h 12 min.
A = 3h B = 2h A y B = xh13 +
12 =
1x
2+33 x 2 =
1x
3 x 22+3 = x
A B
Ejemplo 2:
Del gráfico, A es un grifo que puede llenar el recipiente en 3h y el desagüe B puede desalojar todo el líquido del recipiente en 4h. ¿En cuánto tiempo se llenará el recipiente si estando vacío se abren las dos válvulas?
P = 3h B = 4h A y B = xh
∴ Rpta: El recipiente se llenará al cabo de 12 h
13 -
14 =
1x
4 - 33 x 4 =
1x
3 x 44 - 3 = x
= x12
A
B
Resolución:
∴ Rpta: t= 2, 4 horas
* El segundo demora 6 horas.
1 h 1 h
1 h 1 h
1 h 1 h
1/6 1/6
1/6 1/6
1/6 1/6
llena:16
Si ambos llenan a la vez en 1 hora:
13 1/6+ = 1
3 +16 = 3
6 = 12
primer caño
segundocaño
En 1 hora:
17
Raz. Matemático
Rpta:
2
Rpta:
4
Rpta:
1
Rpta:
3Un obrero demora seis días en abrir una zanja.
¿Qué parte de la zanja abrió en 4 h si trabaja
7 h por día?
Resolución:
Un caño llena el depósito "A" en 6 min y el
depósito "B" en 12 min. ¿En qué tiempo llenará
ambos depósitos?
Resolución:
Un caño "A" llena un depósito en 24 h y un
caño "B" demora 48 h. ¿En qué tiempo llena-
rán juntos los 2/3 de los 4/5 de los 15/32 del
depósito?
Resolución:
"A" y "B" pueden hacer una obra en cuatro
días. "A" trabajando solo lo haría en seis días.
¿Cuánto tiempo emplearía "B" para hacer dicha
obra?
Resolución:
18
4to Secundaria
Rpta:
5
Rpta:
6Si una secretaria demora 24/5 min en escribir
una página, ¿qué parte de la página escribió en
2 min?
Resolución:
"A" y "B" pueden realizar cierto trabajo en 4
días, "B" y "C" pueden en 6 días y "A" y "C" pue-
den efectuarlo en 8 días. ¿Qué tiempo utilizarán
los tres juntos en realizar este trabajo?
Resolución:
7. Gloria es el doble de rápida que María, y juntas hacen un trabajo en 10 días. ¿En qué tiempo haría Gloria la obra si trabajase sola?
8. Dos grifos "A" y "B" llenan juntos un estanque en 30 horas. Si el grifo "B" fuese desagüe, se tardaría en vaciar el estanque 60 h. ¿En cuántas horas lle-naría la llave "A" el estanque, estando este vacío?
10. Si A y B pueden construir un edificio en 70 días; B y C lo pueden realizar en 84 días, y A con C en 140 días. ¿En qué tiempo se haría la obra si trabajan los tres juntos?
9. Los operarios A, B y C realizan una obra en 10, 15 y 30 días, respectivamente. Luego:I. Si los 3 actúan simultáneamente, realizan toda
la obra en 5 días.II. Si el operario más productivo y el operario B,
trabajan simultáneamente, harían toda la obra en 6 días.
III. A y C son los operarios de mayor y de menor producción, respectivamente.
11. Un caño puede llenar un tanque en 7 horas, mien-tras que otro caño puede vaciar el mismo tanque en 8 horas. Se abre el primer caño y luego de tres horas el segundo caño. ¿Cuánto tiempo después de haber abierto el segundo caño, se llenaría el tanque?
12. Un tanque puede ser llenado en 20 horas por un grifo A. Este tanque tiene un ducto de vaciado B colocado a media altura del tanque, el cual puede vaciar su parte en 30 horas. Estando abierto el ducto B, se abre el grifo A. ¿Al cabo de qué tiem-po se llenará el tanque?
19
Raz. Matemático
4. Un obrero hace una obra en cuatro días; otro obrero demora ocho días. ¿Cuánto demoran juntos en hacer dicha obra? (en días)
a) 2 b) 5 c) 3
d) 3 e) 6
6. Un caño puede llenar un depósito en tres horas y otro lo puede hacer solo en cuatro horas. Si el de-pósito está vacío y abrimos los dos caños a la vez, ¿en qué tiempo se llenará los 3/4 del depósito?
a) 1 h b) 1 h c) 2 h
d) 1 h e) 1 h
23
13
12
23
1. Tres obreros hacen un trabajo en cuatro días. Si el primero lo haría solo en 12 días y el segundo en 24 días, ¿cuánto demoraría el tercero?
a) 6 días b) 4 días c) 5 días d) 7 días e) 8 días
2. En 1 min un caño llenó 1/24 de un depósito. ¿Qué tiempo demorará en llenar todo el depósito?
a) 30' b) 21' c) 24' d) 36' e) 32'
3. Si Gabriel pintó 1/3 de una casa en 1 día, ¿en qué tiempo pintará toda la casa?
a) 6 días b) 4 días c) 3 días d) 9 días e) 2 días
7. Frank puede hacer un trabajo en 8 días y su hijo lo puede hacer en 12 días. ¿Cuántos días le tomará hacer todo el trabajo juntos?
a) 4,3 días b) 4,8 días c) 4,4 días d) 4,9 días e) 4,5 días
5. "A" y "B" pueden hacer una obra en 20 días, "B" y "C" pueden hacer la misma obra en 15 días, "A" y "C" la pueden hacer en 12 días. ¿En cuánto tiempo harán la obra "A", "B" y "C" juntos?
a) 10 días b) 8 días c) 5 días d) 16 días e) 14 días
57
17
27
47
37
8. Dos grifos "A" y "B" llenan juntos un estanque en 20 h. Si el grifo "B" fuese de desagüe, se tardarían en llenar el estanque 60 h. ¿En cuánto tiempo llenaría "A" el estanque, estando este vacío?
a) 28 h b) 25 h c) 30 h d) 32 h e) 27 h
9. Si Diego es el triple de rápido que Arturo, ¿en qué tiempo harán una obra juntos, sabiendo que Arturo puede hacer toda la obra en 6 horas?
a) 1h 20 min b) 1h 45 min c) 1h 30 min d) 1h 50 min e) 1h
10. De los tres caños que fluyen a un estanque, uno de ellos lo puede llenar solo en 36 horas, otro en 30 horas y el otro en 20 horas. Abriendo los tres caños a la vez, ¿en cuánto tiempo se llenarán las 2/3 del estanque?
a) 9 h b) 8 h c) 5 h d) 6 h e) 6,5 h
11. Se tiene un tanque con tres llaves, la primera llena el tanque con 4h, la segunda llena el mismo tan-que en 6h y la tercera lo desagua en 8h. ¿En qué tiempo se debería llenar las 7/8 partes del tanque si se abren las 3 llaves al mismo tiempo estando vacío el tanque?
a) 3 h b) 4 h c) 5 h d) 6 h e) 7 h
12. Un depósito tiene dos válvulas de desagüe, si-tuadas en el fondo. La primera válvula desagua todo el volumen en 6 horas y la otra, en 8 horas. Determina qué tiempo tardará en desaguar el depósito si estando lleno se abren las 2 válvulas.
a) 4 h d) 3 h b) 2 h
e) 8 h c) 3 h49
15
37
14
37
20
4to Secundaria
15Tanto Por Ciento
Ejemplo:
Resolución:
Es el procedimiento que consiste en dividir al todo en 100 partes, de las cuales se toma un número determinado de ellas.
n % = n
100 = n . 1100( ( Se lee n por ciento.
100% = 100100
= 1
50% = 50100
=
25% = 25100 =
12
14
20% = 20100
= 15
10% = 10100
= 1
10
Ejemplo:
Dividiendo la unidad en 100 partes iguales, tenemos:
1100
1100
1100
1100
1100
1100...
2 partes = 2% = 2 x 1100 =
2100
Equivalencias Notables
x = 100% x Toda cantidad representa el 100% de sí misma.
32% 50 = 50% 32 El orden de los factores no altera el producto.
Observación
20% M + 30% M = 50%M 40% N - 15%N = 25%N x + 10%x = 110%x x - 10%x = 90%
(120%)2 = 144%
(81%)1/2 = 90%
Operaciones con porcentajes
Expresión general:
p% de N = M
Reglas prácticas
I p% de N = x Np
100
Halla el 40% de 800.
40% de 800 = x 800 = 32040100
o también: x 800 = 32025
NOTACIÓN
100 partes
100% = 100 x 1
100 =100100 = 1
II ¿Qué porcentaje de A es B ?
Rpta.: BA
x 100%
Ejemplo:
¿Qué porcentaje de 150 es 30?
Rpta.: 30150 x 100% = 20%
21
Raz. Matemático
III A% de B = B% de A
Ejemplo:
Halla el 46% de 50.
Resolución:
46% de 50 = 50% de 46 = x 46 = 231
2
Relación parte - todo
partetodo
x100% → es, será, representa→ de, del, de los
* ¿Qué parte de 60 es 3?3
60x 100% = 5%
* ¿De qué número el 15% es 30?15
100x N =30 → N = 200
IV A% más = (100+A)%A% menos = (100-A)%
Ejemplo:
Halla el 20% más de 850.
Resolución:
20% más→(100+20)% de 850 = 120%(850)
= x 850 = 1020120100
Variaciones porcentuales
Sólo se analiza todo aquello que pueda variar, lo constante puede ser eliminado puesto que no afectará el resultado final.
Aumentos y disminuciones:
250%75%10%Aumento
350%175%110%Inicio 100%
Inicio 100%35%10% 45%
55%65%90%
Disminución 75%
25%
Aplicaciones del tanto por ciento en transacciones comerciales.
I. Pv=Pc+G
II. Pv=Pc - P
III. Pv=Pf - D
Pv : Precio de ventaPc : Precio de compraG : GananciaP : PérdidaPf : Precio fijado o precio de listaD : Descuento
2. La base de un rectángulo aumenta en 20% y la altura disminuye en 10%. ¿Qué porcentaje de variación tiene el área?
Resolución:
Inicialmente
100%
100%
Ainicial = 100%
Después de la variación
100% - 10%
90%120%
100%+20%
Afinal = 120%x90%=108%
Luego:El área aumentó en: 108% - 100% = 8%
REGLA PRÁCTICA
a%xb% =axb100
%
* Descuentos sucesivos
3. En una tienda ofrecen el descuento del 20% más el 30%. ¿Cuál es el descuento único?
Sea x el precio inicial.
70%.80%.x=56%x precio final
descuenta el 20%, queda 80%descuenta el 30%, queda 70%
Descuento: x - 56%.x = 44%x
1. En un salón de clases el 40% son hombres y las mujeres son 21. ¿Cuántos alumnos hay en el salón?
Resolución:
Como el 40% son hombres, entonces el tanto por ciento de mujeres será:
100% - 40% = 60%Luego, si "N" es el número total de alumnos podemos escribir:
60% N = 2160
100N = 21 → N = 35
∴ Son 35 alumnos en el salón.
Resolución:
22
4to Secundaria
Rpta:
2
Rpta:
4
Rpta:
1
Rpta:
3¿Cuánto es el 30% del 50% del 45% de 240?
Resolución:
Si a un número se le disminuye su 2 por 25 se
obtendría 552. Halla el 25% del número.
Resolución:
Si el 35% de un número equivale al 15% del 2
por 5 de 2100, halla el número.
Resolución:
El 50% de 40 es el n% de 160.Halla n.
Resolución:
23
Raz. Matemático
Rpta:
5
Rpta:
6¿Qué porcentaje del área del rectángulo repre-
senta el área sombreada?
Resolución:
En un corral de pollos y gallinas el 40% son
gallinas. Si se triplica el número de éstas y el
de pollos se reduce a la mitad, ¿cuál es el nuevo
porcentaje de gallinas?
Resolución:
7. En una fiesta juvenil el 60% de los asistentes son hombres y el resto mujeres; luego llegan 20 mu-chachos, cada uno con 2 chicas y de esta manera todos quedan en pareja. ¿Cuántos hombres habían inicialmente?
8. Dos blusas son vendidas en S/. 30 cada una. En la primera se gana 20% y en la segunda se pierde el 20%, entonces se puede afirmar que:
9. Si los lados de un cuadrado se triplican, ¿en qué porcentaje aumenta su área?
10. El largo de un rectángulo aumenta en 20% y el ancho disminuye en 20%, entonces el área del rec-tángulo varía en 160m2. ¿Cuál era el área inicial?
11. Un boxeador decide retirarse cuando tenga un 90% de triunfos en su carrera. Si ha obtenido 85 triun-fos de 100 peleas, ¿cuál es el número mínimo de peleas adicionales necesarias para que el boxeador pueda retirarse?
12. Tres descuentos sucesivos del 50%, 70% y 20%, ¿a qué descuento único equivalen?
24
4to Secundaria
1. Halla el 7 por 12 de 9600.
a) 3600 b) 5600 c) 4800 d) 2000 e) 5200
2. ¿De qué número el 32% es 240?
a) 76,8 b) 375 c) 480 d) 750 e) 600
3. Halla el 54% de 600.
a) 426 b) 362 c) 324 d) 348 e) 432
4. Si el 4 por 15 de un número es 320, halla el 5 por 6 del número.
a) 1000 b) 1200 c) 1400 d) 840 e) 960
5. El 15% del 40% de los 5/8 de un número es equivalente al 25% del 0,02% de 2250. El núme-ro es:
a) 3 b) 30 c) 300 d) 3000 e) N.A.
6. En una compañía trabajan 160 personas donde el 25% son mujeres. ¿Cuántas mujeres deben contratarse para que el 40% del personal sea de mujeres?
a) 40 b) 60 c) 25 d) 80 e) N.A.
7. Si el lado de un triángulo equilátero aumenta 30%, ¿cuál es la variación del área?
a) 3% b) 40% c) 53% d) 69% e) 44%
8. Se compra un artículo y luego se vende ganando S/. 150. ¿Cuál es el precio de costo del artículo si lo vendió en S/. 735?
a) S/. 858 b) S/. 586 c) S/. 356 d) S/. 587 e) S/. 585
9. Se vende un artefacto en S/. 2600 ganando 3/10 del precio de costo. Halla el precio de costo.
a) S/. 2000 b) S/. 2000 c) S/. 2200 d) S/. 3000 e) S/. 2500
11. Dos descuentos sucesivos del 10% y del 30% equivalen a un descuento único de:
a) 39% b) 37% c) 35% d) 33% e) 31%
12. Si se hacen dos incrementos sucesivos del 20% y 30%, ¿a qué aumento unico equivale?
a) 64% b) 50% c) 60% d) 55% e) 56%
10. Si se hacen dos descuentos sucesivos del 20% y 10%, y un aumento del 10%, entonces equivalen a un único descuento del:
a) 21,6% b) 23,5% c) 22,4% d) 26,2% e) 20,8%
25
Raz. Matemático
S=1+2+3+...+98+99+100
S = 100+99+98+...+3+2+1
Karl Friedrich Gauss (1777-1855): Llamado el Príncipe de las Matemáticas. Dominó el siglo XIX en matemáticas. Desde niño demostró una poderosa habilidad con los números. A los 3 años corrigió un error que su padre había hecho en el cálculo de los salarios de unos albañiles que trabajaban para él. A los 6 años su maestro de escuela, que quería paz en la clase, ordenó a todos que sumaran los números del 1 al 100. Gauss inmediatamente escribió su resultado en la pizarra: 5050.
Un ejemplo sobre series nos da la siguiente historia:"El rey de la India, en reconocimiento al ingenioso invento realizado por Lahur Sessa decidió darle una recompensa, para lo cual mandó llamar al inventor a su palacio. El invento constaba de un tablero de 64 cuadrículas y 16 piezas. El inventor de dicho juego ordenó que se le diese 1 grano por el primer casillero, y por cada casillero siguiente el doble de la cantidad anterior, hasta terminar con los 64 casilleros. El rey ordenó que se entregue lo pedido por Lahur Sessa, al cabo de un tiempo los calculistas de palacio comunicaron al rey que tal pedido era imposible".Para conseguir dicho volumen se afirma que la Tierra convertida, de norte a sur, en un sembrado con una cosecha por año, tardaría 450 siglos en producir semejante cantidad, y que si por simple pasatiempo contáramos los granos de trigo del montón a razón de 5 granos por segundo, contando día y noche sin parar, dedicaríamos a esta tarea 1170 millones de siglos.
Definición
Una serie es la adición indicada de los términos de una sucesión numérica, y al resultado de dicha adición se le llama valor de la serie. Es decir, si la sucesión numérica es:
t1; t2 ; t3 ; ... ; tn.
entonces, la serie numérica será:
t1 + t2 + t3 + ... + tn
La serie aritmética es la adición indicada de los términos de una sucesión (progresión aritmética).
a1; a2; a3; ... ;an
Serie Aritmética
CÁLCULO DEL TÉRMINO ENÉSIMO O TÉRMINO GENERAL
an = a1 + (n -1)r
n = an - a1
r + 1
Sn= a1 + an
2n
CÁLCULO DEL NÚMERO DE TÉRMINOS
CÁLCULO DE LA SUMA DE TÉRMINOS
101x1002
(+)
a1 : primer términor : razónan : término enésimo
S =
16Series Numéricas
26
4to Secundaria
Ejemplo:
a) Calcula: C =1+4+7+10 + ... + 43
Serie Geométrica
La serie geométrica es la adición de los términos de una sucesión o progresión geométrica.
a1; a2; a3; ... ;an
r r
an = a1 (rn-1)
Sn= a1 (rn -1)
(r -1); donde r ≠ 1
a) Halla el valor de la siguiente serie: S = 2+4+8+16+ ... + 1024
CÁLCULO DEL TÉRMINO ENÉSIMO O TÉRMINO GENERAL
CÁLCULO DE LA SUMA DE TÉRMINOS
Ejemplo:
a1 : primer términor : razónan : término enésimo
Donde n es el número de sumandos.
a) R = 1 + 2 + 3 + ... + 20
b) P = 11 + 12 + 13 + ... + 30
Donde n es el número de pares consecutivos.
2 + 4 + 6 + ... + 2n = n(n+1)
Suma:
SUMA DE LOS «n» PRIMEROS NÚMEROS NATURALES CONSECUTIVOS
1+2+3+...+n = n (n + 1)2
SUMA DE LOS «n» PRIMEROS NÚMEROS PARES CONSECUTIVOS
Series Notables
Ejemplos:
27
Raz. Matemático
Suma:
Ejemplos:
a) A = 2 + 4 + 6 + ... + 30
1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) = n2
SUMA DE LOS «n» PRIMEROS NÚMEROS IMPARES CONSECUTIVOS
b) B = 20 + 22 + 24 + ... + 58
Suma:
Ejemplos:
a) Z = 1 + 3 + 5 + ... + 57
Donde n es el número de impares consecutivos.
b) F = 21 + 23 + 25 + ... + 59
Donde n es el número de los sumandos.
a) M = 1 + 4 + 9 + ... + 900
b) P = 112+122+132 ... +302
SUMA DE LOS CUADRADOS DE LOS «n» PRIMEROS NÚMEROS NATURALES CONSECUTIVOS
12+22+32+...+n2= n(n+1)(2n +1)6
Suma:
Ejemplos:
28
4to Secundaria
Donde n es el número de los sumandos.
a) K=2+7+28+63+ ...+999
SUMA DE LOS CUBOS DE LOS «n» PRIMEROS NÚMEROS NATURALES CONSECUTIVOS
13+23+33+...+n3= n(n+1)
2
2
Suma:
Ejemplos:
A las fórmulas que ya conoces, le añadiremos algunas más y estarás listo para resolver ejercicios.
* 1x2+2x3+3x4+...+n(n+1)
= n(n+1)(n+2)3
* 1x2x3+2x3x4+3x4x5+...+n(n+1)(n+2)
= n(n+1)(n+2)(n+3)4
* 1
1x2+
12x3
+1
3x4+...+
1n(n+1)
=n
n+1
Ejemplo:
120x21
11x2
+1
2x3+
13x4
+...+
Calcula:
Resolución:
i. Primera forma: Aplicando la fórmula conocida:
120x21
11x2
+1
2x3+
13x4
+...+ =2021
ii. Segunda forma: Yo sé:
* 1
1x2=
12
= 1 - 12
* 1
2x3=
16
= 12
- 13
* 1
3x4=
112
= 13
- 14
Reemplazando se tiene:
1 - 12 +
12
- 13
+ 13
- 14 +
14 +...
+1
20- 1
21= 1 - 1
21 =2021
Un problema deadolescencia
Carlos es cuatro años más joven que José. Pero dentro de cinco años, José tendrá dos veces la edad que tiene Carlos ahora. ¿Qué edad tiene en este momento cada uno de ellos?
Pista: Uno de ellos es un adolescente.
Reto
29
Raz. Matemático
Rpta:
2
Rpta:
4
Rpta:
1
Rpta:
3Calcula:
S=2+4+6+8+...+46
Resolución:
Calcula:
S = 23+43+63+...+203
Resolución:
Calcula B - D si:
B = 2+4+6+8+...+80
D = 1+1+1+1+...+1
Resolución:
40 términos
Halla el valor de y si:
1+3+5+7+...+(2y+5)=900
Resolución:
3
30
4to Secundaria
Rpta:
5
Rpta:
6 ¿Cuántos palitos de fósforo se necesita para
formar la figura 20?
Resolución:
7. Dado: S=10x11+11x12+12x13+... +20x21 halla S.
Calcula x+y+z si se sabe que:
Resolución:
1+3+5+7+...+x+...+y+...+z
Sx=400
Sy=625
Sz=900Fig. 1 Fig. 2 Fig. 3 ...
8. ¿Cuántas bolitas habrá en la figura 30?
(1) (2) (3)
10. Halla la suma total del siguiente arreglo:
2 + 4 + 6 + + 604 + 6 + +606 + +60
60
9. Calcula la suma de las áreas de los infinitos cuadra-dos así formados, tomando como lado la mitad del lado del cuadrado anterior. Considera también al cuadrado mayor.
11. Halla el valor de "T".
T=1+12
- 14
+18
+1
16- 1
32+
164
+ + 1256
+...1128
12. Calcula:
U=18
+ 282 +
383 +
484 +... ∞
31
Raz. Matemático
10. Halla:
a) 61/60 b) 60/61 c) 59/60 d) 60/59 e) 62/61
5. Resuelve:
a) 40/41 b) 21/42 c) 41/42 d) 42/41 e) 20/21
P= 11x2 + 1
2x3+ 1
3x4+...+ 1
60x61
11x2
+1
2x3+
13x4
+...+1
20x21
11x2
+1
2x3+
13x4
+...+1
40x41
E=
1. Calcula: S = 1+3+5+7+...+47
a) 325 b) 576 c) 422 d) 212 e) 100
2. Calcula E = 2(R-P) si: P=69+67+65+...+7+5+3+1 R=50+49+48+...+4+3+2+1
a) 5 b) 10 c) 15 d) 20 e) 23
3. Calcula x en: 1+3+5+...+x=400
a) 20 b) 40 c) 25 d) 35 e) 39
4. Halla x en: 22+24+26+...+x=820
a) 56 b) 58 c) 60 d) 62 e) 64
6. Calcula:
a) b) (n+1) c) n
d) e)
11x2
+1
2x3+
13x4
+...E=
(n-1) sumandos
n-1n
n+1n
nn-1
7. Halla la suma de los 20 primeros términos de la siguiente sucesión:
1, 8, 27, 64, ...
a) 210 b) 4410 c) 44100 d) 40000 e) 49000
8. Halla el valor de P si: P = 1x2+2x4+3x6+4x8+...+19x38+20x40
a) 5720 b) 5730 c) 5740 d) 5750 e) 6720
9. Halla: M = 1x2x3+2x3x4+3x4x5+...+15x16x17
a) 18360 b) 13860 c) 16380 d) 16830 e) 10683
11. Un comerciante negocia sus caramelos de la siguiente manera: vende 2 y regala 1, vende 4 y regala 2, vende 6 y regala 3, y así sucesivamente. Si en total ha regalado 78 caramelos y no le ha quedado absolutamente nada, ¿cuántos caramelos tenía al principio?
a) 156 b) 172 c) 196 d) 212 e) 234
12. Si:
halla y.
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4
y=1+12
14
+ 18
+ +...inf initos sumandos
32
4to Secundaria
17Conteo de Figuras
Consiste en poner dígitos a las figuras que nos interesa contar e ir combinándolos en forma ordenada.
De 1 figura : 1, 2, 3 = 3De 2 figuras : 12, 23, 3 x, 1x = 4De 4 figuras : 123x = 1Total : 8
• Se utiliza en casos donde la cantidad de figuras a contar parezca muy grande.
•Consiste en analizar casos particulares y luego generalizar para hallar el total.
•Este método se emplea para determinar las fórmulas en ciertos casos particulares.
1 2 3 ...
n-1 n
CONTEO NUMÉRICO
Ejemplo:
¿Cuántos triángulos hay?
3
21
x
CONTEO POR INDUCCIÓN
Dentro de estos casos tenemos:
I. PARA TRIÁNGULOS
Ejemplo:
¿Cuántos triángulos hay?
1 2 3 4 5
triángulos = 5(6)2
Nº.
Nº. triángulos = n(n+1)2
= 15
n n-1
321
...
II. PARA ÁNGULOS
Nº. n(n+1)2
ángulos =
33
Raz. Matemático
Nota
No existen fórmulas generales, sólo para ciertos casos particulares.
¿Cuántos ángulos hay?
ángulos = 4(5)
2 = 10
Ejemplo:
4 321
Nº.
III. PARA SECTORES CIRCULARES
¿Cuántos cuadrados hay?
n = 5
= 150
¿Cuántos cuadriláteros hay?
En total: 10 . 2 = 20 sectores.
sectores = 4 x 52
= 10
n
...
3
2
1 2 3 ... n
5
32
1 2 3
4
4 5
cuadrados = 5 x 6 x 11
6= 55
cuadriláteros = 5 x 62
x 4 x 52
n ...3
2
1
Ejemplo:
¿Cuántos sectores circulares hay?
43
2
1
IV. PARA CUADRADOS
n(n+1)(2n+1)6
cuadrados =
Ejemplo:
V. PARA CUADRILÁTEROS
n(n+1)2
m
...
21 2 3 ... n-2 n-1 n
m(m+1)2
Ejemplo:
4
21 2 3 4 5
3
5 x 62
4 x 52
Nº. n(n+1)2
sectores =
Nº.
Nº.
Nº.
cuadriláteros= n(n+1)2
. m(m+1)2
Nº.
Nº.
34
4to Secundaria
Para n = 3 tenemos:
n
...
1 ... n
1
n...
3(4)2( (2 = 36 cubos
VI. PARA CUBOS
Ejemplo:
VII. PARA SEMICÍRCULOS
Fórmula:
Número desemicírculos
= 2Número de diámetros trazados
Ejemplo:
Halla el número total de semicírculos en la siguiente figura:
a) 8 b) 12 c) 14d) 16 e) 20
Resolución:
Este tipo de ejercicio también se resuelve por medio de fórmula, veamos:
5
5 67
81
23
467
8
1
23
4
Luego:
Número de semicírculos=2(8)=16
Rpta.: d
cubos = n(n+1)2
2Nº.
diámetro
35
Raz. Matemático
Rpta:
2
Rpta:
4
Rpta:
1
Rpta:
3
Halla el total de segmentos que se obser-
van.
Resolución:
Halla el total de triángulos en:
Resolución:
¿Cuántos cuadriláteros hay en la siguiente
figura?
Resolución:
¿Cuántos triángulos y cuántos cuadriláteros hay
en la figura mostrada?
Resolución:
36
4to Secundaria
Rpta:
5
Rpta:
6
9. Calcula el número total de cuadrados en la si-guiente figura.
10. Calcula el número total de cuadrados en la si-guiente figura.
Halla el número total de hexágonos en la figura
mostrada.
Resolución:
¿Cuántos semicírculos hay en total?
Resolución:
8. ¿Cuántos triángulos hay en la siguiente figura?
7. ¿Cuántos triángulos existirán, en cuyo interior se encuentre por lo menos un asterisco?
*
**
...
20 rectas
37
Raz. Matemático
3. ¿Cuántos triángulos se puede contar como máxi-mo en la siguiente figura?
a) 165 b) 105 c) 60 d) 30 e) 90
1. ¿Cuántos triángulos hay en la siguiente figura?
a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14
2. ¿Cuántos segmentos se cuentan en la siguiente figura?
a) 561 b) 488 c) 624 d) 936 e) 330
1 2 3 4 32 33...
4. Halle el número total de sectores circulares exis-tentes en la figura.
a) 140 b) 142 c) 144 d) 150 e) 154
11. ¿Cuántos triángulos se cuentan como máximo en la figura?
12. ¿Cuántas pirámides de base cuadrada hay en el sólido mostrado?
38
4to Secundaria
9. ¿Cuántos cuadriláteros se distingue en la figura?
a) 11 b) 12 c) 13 d) 14 e) 15
10. ¿Cuántos sectores circulares existen en la figura mostrada?
a) 80 b) 92 c) 82 d) 93 e) 94
6. ¿Cuántos cuadrados hay en la esta figura?
a) 3 b) 7 c) 8 d) 11 e) Más de 11
8. ¿Cuántos rectángulos como máximo se forman en la figura?
a) 25 b) 26 c) 27 d) 28 e) 29
12. ¿Cuántos triángulos hay en la figura mostrada?
a) 35 b) 36 c) 37 d) 39 e) 19
11. ¿Cuántos cuadriláteros se cuenta en la siguiente figura?
a) 15 b) 16 c) 17 d) 18 e) 19
5. Halla el número de octóganos en la figura mos-trada.
a) 15 b) 18 c) 20 d) 21 e) 24
7. Halla cuántos triángulos tienen un asterisco.
a) 2 b) 6 c) 5 d) 7 e) N.A.
**
r r
