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7/27/2019 Rock Blasting 12

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Chapter 12

Modelos Matemticos


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Modelos Matemticos

Definicin: Dependiendo de la ciencia existen varias

definiciones de modelos matemticos, tales como:En Ciencias Aplicadas: Modelo matemtico es uno de

los tipos de modelos cientficos, que emplea formulas

matemticas para expresar relaciones, proposiciones

sustantivas de hechos, variables, parmetros, entidades

y relaciones entre variables y/o entidades u operaciones,para estudiar comportamientos de sistemas complejos

ante situaciones difciles de observar en la realidad.

En Matemtica Fundamental: Se trabajan con modelos

formales. Un modelo formal para una cierta teoramatemtica es un conjunto sobre el que se han definido

un conjunto de relaciones unitarias, binarias y trinarias,

que satisface las proposiciones derivadas del conjunto de

axiomas de una teora.


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La definicin en Ingeniera de explosivos eingeniera de rocas: Un modelo matemtico para

calcular el burden para las operaciones mineras tantosubterrneas como superficiales es crear un algoritmo

haciendo intervenir las variables reales del macizo

rocoso, tales como la caracterizacin geomecnica, la

mecnica de rocas y las caractersticas y propiedades

de cualquier MEC que se usara para la voladura derocas, teniendo siempre presente que el burden es la

variable fundamental y determinante para obtener un

resultado adecuado de la fragmentacin de la roca.

Se enfatiza que un buen modelo matemtico es mas

adecuado cuanto mas use variables fsicas y

mecnicas dinmicas del macizo rocoso.


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Revisin de algunos modelos matemticos, propuestospara calcular el burden.

A medida que avanza la ciencia, los investigadores handesarrollado y propuesto varios modelos matemticos en

cada rea del saber humano.

Para este capitulo a tratar se tiene los siguientes

modelos matemticos: Andersen, R. L. Ash, Pearse,

Hino Kumao, Langerfors, Konya, Konya & Walter,

Foldesi, Holmberg, etc., etc.

El burden es la variable mas importante y crucial de

determinar.

A continuacin se presenta algunos modelos

matemticos propuestos por dichos investigadores y los

mas usados a nivel mundial.


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Modelo de R.L ASH (1963)

Ash, propone el siguiente modelo para elcalculo del burden (B)

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D

KB b

Donde:

B = Burden (pies)

D = Dimetro del taladro (pulg)

Kb = Constante que depender del tipo de

roca y del explosivo usado (ver tabla I)


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Tipo de ExplosivoTipo de Roca

Blanda Media Dura

Baja densidad (0.8 -0.9) gr/cc

Baja potencia

30 25 20

Densidad media (1.0 1.2) gr/ccPotencia media

35 30 25

Alta densidad (1.3 1.4) gr/cc

Alta potencia

40 35 30

Valores de Kb para algunos tipos de roca y

explosivos usados en el modelo de R. L. Ash paracalcular el burden (B)

Tabla I


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Adems R. L Ash, ha desarrollado

otros cuatro estndares bsicos orelaciones adimensionales.

Para determinar los dems parmetrosde diseo de un disparo.

son los siguientes:


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Profundidad del taladro:

H = KH B

KH [1.5, 4]

KH = 2.6

Sobre perforacin:

J = KJ B

KJ = 0.3


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Espaciamiento:

KS = KS B

KS = 2 Para iniciacin simultanea

KS = 1 Para periodos de retardos largos

KS

= 1-2 Para periodos de retardos cortos

KS = 1.2 1.8 Como promedio

Taco:T = KT B

KT = 0.7 1.0


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Formula modificada de ASH.

En un intento de hacer intervenirparmetros fsicos de la roca y delexplosivo, Ash plantea una formula

modificada para el calculo del burden.

3/1

211

2

223/1

2

1 )()(12 xVeSG

VeSGxDKB x

r

reS


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Donde:

B = Burden (pies)

KB = Factor

De = Dimetro de la carga explosiva

r1 = Densidad de la roca Standard x = 2.7 Tm/m3

r2 = Densidad de la roca a ser disparada (Tm/m3)SG1 = Gravedad especifica de la mezcla explosiva (estndar)

SG2 = Gravedad especifica de la mezcla explosiva a serusada

Ve1 = Velocidad de detonacin de la mezcla explosivaestndar

Ve2 = Velocidad de detonacin de la mezcla explosiva aser usada


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Taladros


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Modelo matemtico de PEARSE

En este modelo matemtico, el burdenesta basado en la inter-accin de laenerga proporcionada por la mezclaexplosiva, representada por la presinde detonacin y la resistencia a la

tensin dinmica de la roca.


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Investigaciones posteriores (Borquez,1981) establecen que el factor devolabilidad de la roca depende de lasestructuras geolgicas, diaclasas, etc.

y de alguna manera ya han sidocuantificadas.

Este modelo matemtico fue formuladomediante la siguiente expresinmatemtica:


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tdS

PKDBR 2

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Donde:

R = Radio critico

B = Burden en pies

D = Dimetro del taladro (pulg)

P2 = Presin de detonacin de la carga explosiva (psi)

Std = Resistencia a la tensin dinmica de la roca (psi)

K = Factor de volabilidad


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K = 1.96 0.27 ln (ERQD)

ERQD = ndice de calidad de roca quivalente(%)

ERQD = RQD x JSFRQD = ndice de calidad de roca (Rock

Quality Designation)

JSF = Joint Strength Correction Factor


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Tabla II

Factores de correccin para estimar JSF.

Estimacin de la calidad de la roca JSF

Competente

Media

Suave

Muy suave

1.0

0.9

0.8

0.7


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Modelo matemtico de U. Langerfors

Langerfors, tambin es otro investigador queconsidero al burden (B) como el parmetropredominante en el diseo de la voladura derocas. As mismo, destaca tres parmetros

adicionales para obtener buenos resultados envoladura de rocas.

Estos son:

Ubicacin de los taladrosCantidad de carga explosiva

Secuencia de salida del disparo


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Adems, tiene en cuenta la proyeccin,esponjamiento y el efecto microssmico en

las estructuras circundantes.

Todas estas consideraciones estn

basadas en los principios de fracturamientoy de la ley de conformidad que esteinvestigador propuso.

La formula propuesta por Langerfors paradeterminar el burden (B) es la siguiente:


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BCxfxS

dexPRPDB

/33max

Donde:Bmax = Burden mximo (m)

D = Dimetro del taladro (m)

de = Densidad del explosivo (gr/cc)

PRP = Potencia relativa por peso del explosivo

C = Constante de roca (calculada a partir de c)C = Cantidad de explosivo necesario para

fragmentar 1 m3 de roca, normalmente envoladuras a cielo abierto y rocas duras c = 0.4


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El valor de C depende del rango esperadoen el burden:

0.7/B + C Si B < 1.4m

C =

0.7 Si B [1.4, 1.5]m


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= Factor de fijacin que depende de lainclinacin del taladro

En taladros verticales = 1.00En taladros inclinados:

3:1 =0.902:1 =0.85

S/B = Factor de espaciamiento(espaciamiento / Burden)


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(Bmax = e dbH) = B

B = Burden practico

e = Error en el empate (0.2m)db = Desviacin de taladros (0.23m/m)

H = Profundidad de taladros (m)


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La necesidad de construir tneles de grandesdimensiones, hace necesario el uso de taladros dedimetros cada vez mayores y el uso de mezclas

explosivas en mayores cantidades. para el diseode perforacin y voladura de tneles, holmberg hadividido el frente en cinco secciones: (a-e)diferentes; cada una de las cuales requiere unclculo especial.

Mtodo postulado por HOLMBERG para disear ycalcular los parmetros de perforacin y voladura

para minera subterrnea y tunelera


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Partes de un tnel mostrando las diferentes seccionesestablecidas por Holmberg.

A: seccin de corte (cut).

B: seccin de tajeo (stoping).

C: seccin de alza (stoping).D: seccin de contorno (contour)

E: seccin de arrastre (lifters)


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H = 0.15 + 34.1

39.42

El avance que se espera obtener por disparo debe sermayor del 95% de la profundidad del taladro (h).

La profundidad maxima obtenida del taladro(h) esfuncin del diametro del taladro vacio.

Donde:H = profundidad del taldro (m). = dimetro del taladro vacio (m).


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I = 95%HEl avance por disparo ser:

Las formulas (1) y (2) son vlidas si la desviacin de laperforacin no excede al 2%.

Si la perforacin se hace con una sola broca, el dimetrodel taladro vaco equivalente se calcular usando lasiguiente relacin matemtica:

0

dnDonde:n = N de taladros vacos en el arranqued0 = dimetro de los taladros de produccin (mm.) = dimetro del taladro vaco equivalente (mm.)


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Diseo en el corte.

Clculo del burden en el 1ercuadrante.

1.5, Si la desviacin del taladro es (0.5% -1.0%).B1 =

1.7-F,Si la desviacin del taladro es mayor o igual a 1%

Donde:

B1 = burden en el primer cuadrante = dimetro del taladro vaco o el equivalenteH = mxima desviacin de la perforacion

Primer cuadrante:


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HF = desviacin angular (m/m).

= desviacin en el collar o empate (m).

H = profundidad del taladro (m).


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33

22

3

032.0

2

3

01

BBdq

Clculo de la concentracin de carga en el 1ercuadrante.

Usando el modelo matemtico de langerfors y kihlstrom,la concentracin de carga par el 1er cuadrante sedetermina de la siguiente manera:

Donde:

q1 = concentracin de carga (kg/m) en el 1er cuadrante.

B = burden (m). = dimetro del taladro vaco (m)

d0 = dimetro de los taladros de produccin (m)


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34

''

4

11dEsta relacin es vlida para dimetrospequeos

Para dimetros mayores y en general, para cualquiertamao de dimetro la concentracin de carga en el 1ercuadrante, puede determinarse usando la siguienterelacin matematica:

ANFOSC

BB

dq /)4.0

)(2

(5523

1


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Luego de disparar el 1ercuadrante, queda una aberturarectangular de ancho a.

[0.2 0.4], para condiciones en las cuales sedesarroll el modelo = 0.4

Donde:SANFO = potencia por peso del explosivo relativa al an/fo.C = constante de roca: se refiere a la cantidad deexplosivo necesario para remover 1 m3 de roca.

C

C


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)(2 FBB

aB 22

El burden prctico ser:

Restricciones para calcular B.

Si no ocurriera deformacin plstica

Si no sucediera lo anterior, la concentracin de carga sedeterminara por la siguiente relacin matemtica:

2)( 1 FBa

Donde:A = ancho de la abertura creada en el 1ercuadrante (m).B1 = burden en el 1ercuadrante (m).F = desviacin de la perforacin (m).


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5.10

2

)4

1(arctan23.32

senSaCdq

ANFO

)/(2540 0

2 MKgS

aCdq

ANFO

Si no se satisface la restriccin para la deformacin

plstica, sera mejor elegir otro explosivo con unapotencia por peso ms baja para mejorar lafragmentacin.

El ngulo de apertura debe ser menor que (90), estosignifica que.

22aB


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)(

9.0 /

BSfC

SqB FOAN

Gustaf fson: propone que el burden para cadacuadrante debe ser:

Donde:B = buden (m).q = concentracin de carga (kg/m)


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mBSiBC 4.1/07.0

F = factor de fijacin.F = 1 para taladros verticales.F = 2 para taladros inclinados.S/B = relacin espaciamiento/burden.

C = constante de roca.

4.0C

mBSiC 4.105.0

C =


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40

ap = 0.7a

El nmero de cuadrngulos en el corte se determina

por la siguiente regla: El nmero de cuadrngu los enel co rte es tal que la long itud del ltim o cuadrngu lo

a no debera ser m ayor que la raz cuadrada del

avanceH

El algoritmo de clculo de los cuadrngulosrestantes es el mismo que para el segundo

cuadrante.

El taco en los taladros en todos los cuadrngulosdebe ser 10 veces el dimetro de los taladros deproduccin T = 10 d0.

Ha


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2

2

B

HsenTneldelAncho

N

El N de taladros en el arrastre est dada por:

Donde:

N = nmero de taladros del arrastre.H = profundidad de los taladros (m). = ngulo de desviacin en el fondo del taladro ( = 3).B = burden (m).

El burden en los arrastres se determina usando lamisma frmula para la voladura de bancos:

Arrastres


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1

2

N

HsenTnelAnchoS

HsenSS '

El espaciamiento de los taladros es calculado por lasiguiente expresin matemtica:

El N de taladros en el arrastre est dada por:

El burden prctico como funcin de y F est dado por:FHsenBB '


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'25.1 Bhb

010dHHh bc

La longitud de carga de columna (hc) est dada por:

Generalmente, para este mtodo, se recomienda usar

cargas de columna del 70% de la carga de fondo.


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En la seccin B

En la seccin C

Adems la concentracin de la carga de columna es 50%de la concentracin de la carga de fondo.

Para calcular la carga (q) y el burden (B) en estas zonas,se utilizan el mismo mtodo y frmulas usadas en losarrastres (lifters).Con la siguiente diferencia:

Taladros de tajeo (stoping) zonas (B y C)


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TALADROS DE CONTORNO.

Si se usa voladura controlada8.045.1

B

Sf

0KdS

K [15,16]q = 90 d02 (m)

(Persson 1973)

Si

md 15.0

d0 = dimetro de los taladros de produccin


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2.1f 25.1B

S

El burden y el espaciamiento son determinados

usando el mismo criterio que para el clculo de lostaladros en la zona de arrastres.Con la diferencia:

Si no se usa voladura controlada.

La concentracin de carga de columna es 80% de laconcentracin de la carga de fondo.

La mayora de los investigadores han coincidido queel burden B es el parmetro ms importante para eldiseo de voladura de rocas.


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Por otro lado, cada investigador, al construir sumodelo matemtico, ha tomado en cuenta sus

propios parmetros de explosivo y roca. Esimportante especificar en cada voladura el tipo deexplosivo a usarse y las propiedades geomecnicasde la roca que se toman en cuenta.

Conclusiones obtenidas con cierta combinacinexplosivo - roca no son neceriamente vlidas enotras condiciones experiementales, y stas puedenser una de las razones porque hay diferentes

modelos e interpretaciones, para la operacinminera unitaria de voladura de rocas.


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Por consiguiente, cualquier modelo matemticopostulado para representar, simular, disear y

evaluar un disparo primario.

Deber ser, en primer lugar bien entendido yvalidado, tanto en la computadora mediante analisis

de sensibilidad as como en aplicaciones de campo.

Luego de los ajustes necesarios, se podr tomar unadesicin tcnico- econmico- financiera y ecolgica.

si este es el adecuado para la obra subterrnea arealizarse.


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Modelos Matemticos

El profesor, recomienda usar:

Hasta la fecha, en el per se usa el mtodo postuladopor R. L. Ash.

i . Langerfo rs : Y el mtodo y algoritmo postulado porHolmberg, especialmente para minera subterrnea ytunelera.

i i . Pearse : Para operaciones mineras trabajadas por elmtodo de open pit.


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Conociendo las caractersticas geomecnicas de las

rocas se debe aplicar los modelos matemticos deprediccin granulomtrica tanto para operacionesmineras subterrneas como superficiales.

Finalmente, se cree que usando la metodologiapropuesta en el presente curso y los modelosmatemticos estudiados, se lograr optimizar lafragmentacin y por lo tanto, la rentabilidad de lasempresas minero-metalurgicas que tanto lo requieren

especialmente ahora que la crisis econmica a nivelmundial se acenta cada vez ms.


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Cuando un hombre de negocios, como tu, le pregunt aun rabino por qu viva tan humildemente, l le respondicon una pregunta: Dgame, Ud. cuando se va de viaje

Dnde se hospeda?. El hombre respondi: Me quedoen pequeas posadas. Y como son los cuartos de esasposadas?, pregunt, el rabino. El hombre respondi:humi ldes. Entonces el rabino pregunt: Por qu sequeda en habitaciones humildes?. El hombre respondi:Por que solo estoy de paso. El rabino tomo la palabra yle dijo: Bueno hombre, yo tambin estoy de paso poresta vida, por eso no pierdo mi tiempo entretenindomeen cosas materiales y prefiero vivir humildemente.

Dr. Carlos A greda T.

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