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oaquimrofessorEmail: [email protected] cel.: 9961-9349 ou 9152-5685
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EstatísticaConjunto de métodos e processos quantitativos que servem para
estudar e medir os fenômenos coletivos.
Dessa forma, podemos dizer que a ESTATÍSTICA é uma parte da
Matemática Aplicada que fornece métodos para a coleta, a
organização, a descrição, a análise e a interpretação de dados
quantitativos e a utilização desses dados para a tomada de decisões.
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Aplicando a Estatística
. As indústrias costumam
realizar pesquisas entre os
consumidores antes do
lançamento de um novo produto
no mercado.
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. As pesquisas eleitorais fornecem elementos para que os candidatos
direcionem a campanha.
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. A pesquisa do desempenho dos atletas ou das equipes em uma partida ou
em um campeonato interfere no planejamento dos treinamentos.
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. Emissoras de TV utilizam pesquisas que mostram a preferência dos
expectadores para organizar sua programação.
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ESTATÍSTICA DESCRITIVA: baseia-
se essencialmente na coleta,
organização, apresentação e
interpretação de dados.
ESTATÍSTICA INDUTIVA: tem como
objetivo a inferência de conclusões
para toda a população a partir do
estudo da amostra.
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CONCEITOS IMPORTANTES
População: conjunto dos elementos
que se pretende estudar.
Amostra: subconjunto da população.
Unidade estatística: designação dada
a cada elemento que constitui a
população.
Censo: quando a amostra é composta
por toda a população.
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Variáveis estatísticasNa figura ao lado observamos
um conjunto de pessoas.
Cada pessoa tem muitas
características ou variáveis:
a cor do cabelo;
a altura;
o sexo;
o peso;
...
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oaquimrofessor
Num estudo estatístico parte-se de um conjunto. Cada elemento desse conjunto (a unidade estatística) tem, provavelmente, muitos caracteres, características ou atributos que chamamos variáveis. Por exemplo:
Variáveis Valor observado
Peso de uma pessoa 75 kg
Marca de um automóvel Fiesta
Velocidade do carro 80 km/h
Cor dos olhos Verdes
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Tipos de dados
Ao resultado de uma observação da variável
chamamos dado estatístico ou simplesmente
dado.
As variáveis classificam-se em qualitativas ou
quantitativas.
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Os dados qualitativos representam
a informação que indica alguma
qualidade, categoria ou
característica não susceptíveis de
medida, mas de classificação.
Os dados quantitativos representam a
informação resultante de
características susceptíveis de serem
medidas. São dados numéricos e
podem ser de natureza:
discreta – dados discretos – ou
contínua – dados contínuos.
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As variáveis quantitativas
podem ser discretas ou
contínuas. Vejamos:
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No conjunto dos alunos de uma turma consideram-se as seguintes variáveis quantitativas:
• o número de irmãos;
• a altura.
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A variável “número de irmãos” é uma variável estatística discreta.
O que caracteriza este tipo de variáveis é que, mesmo antes de se fazer a observação, sabemos que devemos encontrar dados estatísticos que, em termos geométricos, seriam representados na reta real por pontos isolados em número finito ou infinito.
A altura dos alunos de uma turma é um exemplo de uma variável estatística contínua.
O que caracteriza este tipo de variáveis é que, mesmo antes de se fazer uma observação, sabemos que, teoricamente, se podem encontrar dados estatísticos que, em termos geométricos, seriam representados na reta real por qualquer ponto de um intervalo.
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Uma variável é contínua quando pode tomar todos os valores numéricos
compreendidos no seu intervalo de variação.
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SÉRIES ESTATÍSTICAS
As tabelas servem para apresentar séries estatísticas.
TABELA: É um quadro que resume um conjunto de dados dispostos
segundo linhas e colunas de maneira sistemática.
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Funcionários
Ano Total
Sexo
Feminino Masculino
2005 17 ... 17
2006 21 3 18
2007 25 8 17
2008 34 12 22
2009 44 15 29
2010 52 17 35
Número de funcionários da Companhia X, por sexo, 2005-10
Fonte: Relatório da companhia
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Distribuição de frequênciaÉ uma série estatística em que os dados são agrupados com suas
respectivas frequências absolutas.
Sem intervalo de classe
Tabela 01 - Número de acidentes por dia na rodovia X em Janeiro de 2009
N de acidentes por dia N de dias
0 10
1 7
2 4
3 5
4 3
5 2
Fonte: DNER
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Com intervalo de classe
Tabela 02 - Retiradas diárias no Banco do Brasil na cidade X em Janeiro de 2010.
Retirada Frequência
500 600 12
600 700 36
700 800 63
800 900 81
900 1.000 77
1.000 1.100 42
1.100 1.200 24
Fonte: Arquivos do BB
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DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA
Exemplos:
2, 7, 0, 1, 3, 9, 8 – Dados brutos
0, 1, 2, 3, 7, 8, 9 – Rol
Dados brutos (Tabela primitiva): após ter sido feita a coleta de dados,
os dados originais ainda não se encontram prontos para análise, por
não estarem numericamente organizados. Assim, são chamados de
dados brutos.
Rol: o rol é uma lista em que os valores estão dispostos em uma
determinada ordem (crescente ou decrescente).
oaquimrofessorEmail: [email protected] cel.: 9961-9349 ou 9152-5685
4, 4, 1, 3, 3, 4, 1, 5, 3, 1, 4, 3, 2, 3, 2, 3, 4, 2, 3, 4,
2, 4, 3, 4, 5, 3, 2, 3, 4, 1, 5, 3, 4, 5, 2, 5, 3, 5, 2, 3
EXEMPLO 1
Após corrigir o teste de vestibular de Matemática,
que valia 5 pontos, de uma turma de 40 alunos, o
professor observou que as notas que eles
obtiveram eram as seguintes:
O conjunto das notas obtidas na prova de
Matemática é o que chamamos de dados
estatísticos numéricos
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Vamos montar a distribuição de freqüências
Rol
1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3,
3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 5
Para obter uma informação clara e precisa de uma série de dados estatísticos
numéricos, devemos primeiro ordená-los. A essa ordenação chamamos de
rol.
Notas
4, 4, 1, 3, 3, 4, 1, 5, 3, 1, 4, 3, 2, 3, 2, 3, 4, 2, 3, 4,
2, 4, 3, 4, 5, 3, 2, 3, 4, 1, 5, 3, 4, 5, 2, 5, 3, 5, 2, 3
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Temos a seguinte distribuição,
onde a frequência simples de um
valor da variável é o número de
vezes que esse valor foi observado
e que vamos simbolizar por fi:
Rol
1, 1, 1, 1,
2, 2, 2, 2, 2, 2, 2,
3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3,
4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4,
5, 5, 5, 5, 5, 5
4
40
7
13
10
6
Nota fi
1
2
3
4
5
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Podemos ampliar um pouco mais a tabela, acrescentando mais uma
coluna (a coluna da frequência simples acumulada – Fi)
Nota fi
41
2
3
4
5
40
7
13
10
6
Fi
4
11
24
34
40
1) Quantos alunos obtiveram nota
abaixo de 3?
2) Quantos alunos obtiveram uma
nota menor ou igual a 4.
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Agora, vamos acrescentar outra coluna (a coluna da frequência relativa
simples – fri)
Nota fi
41
2
3
4
5
40
7
13
10
6
Fi
4
11
24
34
40
fri
0,100
0,175
0,325
0,250
0,150
1,000
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Agora, vamos acrescentar outra coluna (a coluna da frequência relativa
simples percentual – fri (%))
Nota fi
41
2
3
4
5
40
7
13
10
6
Fi
4
11
24
34
40
fri
0,100
0,175
0,325
0,250
0,150
fri (%)
10%
17,5%
32,5%
25%
15%
1,000 100%
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Note que podemos aumentar ou diminuir uma tabela, da forma que
quisermos, por exemplo, podemos calcular as frequências acumuladas
relativas e frequências acumuladas relativas percentuais.
Nota fi
41
2
3
4
5
40
7
13
10
6
Fi
4
11
24
34
40
fri
0,100
0,175
0,325
0,250
0,150
fri (%)
10%
17,5%
32,5%
25%
15%
1,000 100%
Fri
0,100
0,275
0,600
0,850
1,000
Fri (%)
10%
27,5%
60%
85%
100%
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EXEMPLO 2
Medimos a altura dos 40 alunos da classe do exemplo anterior.
166, 161, 162, 165, 164, 162, 168, 156, 160, 164,
155, 163, 155, 169, 170, 154, 156, 153, 156, 158,
160, 150, 160, 167, 160, 161, 163, 173, 155, 168,
152, 160, 155, 151, 164, 161, 172, 157, 158, 161
Montar a distribuição de freqüências.
ESTATURAS DE 40 ALUNOS DO COLÉGIO A
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Dados brutos
166, 161, 162, 165, 164, 162, 168, 156, 160, 164,
155, 163, 155, 169, 170, 154, 156, 153, 156, 158,
160, 150, 160, 167, 160, 161, 163, 173, 155, 168,
152, 160, 155, 151, 164, 161, 172, 157, 158, 161
1) vamos montar o rol
2) Agora, vamos determinar o intervalo dos dados
O maior valor é 173 e o menor é 150
portanto, a amplitude total da distribuição (AT) é 173 150 = 23
150, 151, 152, 153, 154, 155, 155, 155, 155, 156,
156, 156, 157, 158, 158, 160, 160, 160, 160, 160,
161, 161, 161, 161, 162, 162, 163, 163, 164, 164,
164, 165, 166, 167, 168, 168, 169, 170, 172, 173
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No caso dos dados serem de natureza contínua, a construção da tabela de
frequências não é tão simples como no caso dos dados discretos, pois é
necessário definir previamente o número de classes.
Quantas classes devemos considerar para um conjunto de n dados?
É aconselhável tomar entre 5 e 15 classes.
Menos de 5 perde-se muita informação, mais de 15, têm-se detalhes
desnecessários.
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Como no nosso caso o número de observações foi 40, temos n = 40.
Assim:
40 = 6,32 k = 1 +3,3 log 40 = 6,28ou
k = 1 +3,3 log n
Em ambos os casos, temos i = 6
Uma regra prática consiste em tomar a raiz quadrada de n e ajustá-la (se
necessário) aos limites de 5 a 15.
Podemos ainda usar uma fórmula chamada, Regra de Sturges, onde:
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Determinar a amplitude do intervalo de classe
o que podemos conseguir, dividindo a amplitude total pelo número de
classes.
h = 173 – 150
6=
23
6= 3,83 h = 4
É importante saber que o resultado obtido por estas fórmulas pode
ser usado como referência, mas cabe ao pesquisador determinar o
número de classes que pretende organizar. Finalmente, quando se
constrói uma tabela de distribuição de freqüências, é melhor usar,
como extremos de classes, números fáceis de se trabalhar.
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Temos a seguinte distribuição:
Estaturas
(cm)Frequência
fi
4
9
11
8
5
3
154
158
162
166
170
150
154
158
162
166
174170
40
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Estaturas
(cm)fi
4
9
11
8
5
3
154
158
162
166
170
150
154
158
162
166
174170
40
Fi
4
13
24
32
37
40
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Estaturas
(cm)fi
4
9
11
8
5
3
154
158
162
166
170
150
154
158
162
166
174170
40
Fi
4
13
24
32
37
40
fri
0,100
0,225
0,275
0,200
0,125
0,075
1,000
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Estaturas
(cm)fi
4
9
11
8
5
3
154
158
162
166
170
150
154
158
162
166
174170
40
Fi
4
13
24
32
37
40
fri
0,100
0,225
0,275
0,200
0,125
0,075
1,000
fri (%)
10,00%
22,50%
27,50%
20,00%
12,50%
07,50%
100,00%
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Agora, vamos acrescentar outra coluna (a coluna do ponto médio da
classe - xi)
Estaturas
(cm)fi
4
9
11
8
5
3
154
158
162
166
170
150
154
158
162
166
174170
40
Fi
4
13
24
32
37
40
fri
0,100
0,225
0,275
0,200
0,125
0,075
1,000
fri (%)
10,00%
22,50%
27,50%
20,00%
12,50%
07,50%
100,00%
xi
152
156
160
164
168
172
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Note que, toda tabela deve ser delimitada por traços horizontais. Podem ser feitos traços
verticais para separar as colunas, mas não devem ser feitos traços verticais para delimitar
a tabela.
Estaturas
(cm)fi
4
9
11
8
5
3
154
158
162
166
170
150
154
158
162
166
174170
40
Fi
4
13
24
32
37
40
Fri
0,100
0,325
0,600
0,800
0,925
1,000
Fri (%)
10,00%
32,50%
60,00%
80,00%
92,50%
100,00%
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GRÁFICOS ESTATÍSTICOS
Já sabemos que as tabelas de frequências dos
dados estatísticos nos dão uma informação boa e
ordenada nos exemplos que estudamos.
Muitas vezes, no entanto, queremos ter uma visão
generalizada e rápida. Por isso, os gráficos
estatísticos são muito úteis para entender e
comparar várias tabelas de frequências.
Podemos fazê-lo de várias formas. As mais comuns são: o diagrama de
barras, o histograma, o pictograma e o gráfico de setores.
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Gráficos em colunasÉ representado por
retângulos dispostos
verticalmente.
Os retângulos têm a
mesma base e as
alturas são
proporcionais aos
respectivos dados.
POPULAÇÃO BRASILEIRA
41,2
51,9
70,1
93,1
119,7
150,4
170
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000 Anos
Po
pu
lação
em
mil
hõ
es
Email: [email protected] cel.: 9961-9349 ou 9152-5685
oaquimrofessor
• Obs: Também podemos fazer o gráfico em colunas em 3 dimensões.
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
po
pu
laç
ão
(m
ilh
õe
s)
1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000anos
População Brasileira
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Gráficos em barras É semelhante ao gráfico em colunas, porém os retângulos são dispostos
horizontalmente.
População Brasileira
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180
1940
1950
1960
1970
1980
1990
2000
a
n
o
s
população ( milhoes)
Email: [email protected] cel.: 9961-9349 ou 9152-5685
oaquimrofessor
• Obs: Podemos também fazer o gráfico em barras em 3 dimensões.
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180
população (milhões)
1940
1950
1960
1970
1980
1990
2000
a
n
o
s
População do Brasil
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oaquimrofessor
São frequentemente usados para
representação de séries cronológicas
com um grande número de períodos
de tempo.
Objetivo: Mostrar a tendência do
fenômeno ao longo do tempo
As linhas são mais eficientes do que
as colunas, quando existem intensas
flutuações nas séries ou quando há
necessidade de se representarem
várias séries em um mesmo gráfico.
Vendas da Companhia Delta 1995 a 2001
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 Anos
V
e
n
d
a
s
Gráficos em linhas ou em curva
Para construí-lo, basta marcar os pontos e uni-los por meio de segmentos de reta.
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oaquimrofessor
Gráficos em setores.
É a representação gráfica de uma série estatística, construído com base em um
círculo, e é empregado sempre que desejamos ressaltar a participação do dado
no total.
O total é representado pelo círculo, que fica dividido em tantos setores quantas
são as partes. Os setores são tais que suas áreas são respectivamente
proporcionais aos dados da série.
É também chamado de gráfico de pizza.
Total __________360º
Parte___________ xº
Para representar os dados em um gráfico de setores é preciso que os valores
estejam em porcentagem, para isso devemos definir a frequência relativa dos
dados observados.
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EXEMPLO 1
Uma escola realizou uma pesquisa com seus 400 alunos do Ensino Médio
sobre a preferência por modalidades esportivas. Os dados foram distribuídos
conforme a tabela abaixo:
Modalidade fi fri(%)
Futebol 160 40%
Vôlei 120 30%
Basquete 60 15%
Natação 40 10%
Outros 20 5%
Total 400 100%
Como o gráfico é de setores, os dados percentuais serão distribuídos
levando-se em conta a proporção da área a ser representada relacionada
aos valores das porcentagens.
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Concluímos que 1% corresponde a 3,6º, dessa forma podemos calcular os
ângulos dos dados percentuais da seguinte maneira:
A área representativa no gráfico será demarcada da seguinte maneira:
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100% = 360 50% = 180 25% = 90 1% = 3,6
Modalidade fi fri(%) Ângulo
Futebol 160 40% 40 x 3,6o = 144o
Vôlei 120 30% 30 x 3,6o = 108o
Basquete 60 15% 15 x 3,6o = 54o
Natação 40 10% 10 x 3,6o = 36o
Outros 20 5% 5 x 3,6o = 18o
Total 400 100% 100 x 3,6o = 360o
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EXEMPLO 2:
Entrevistaram-se 120 pessoas na saída de um cinema e perguntou-se a cada uma
delas qual a opinião acerca do filme.
Os dados foram registados, como se mostra na tabela abaixo.
Com os dados da tabela, construa um gráfico circular.
Modalidades fi fri (%)
Muito bom 50 42%
Bom 30 25%
Razoável 30 25%
Ruim 10 8%
Total 120 100%
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Para encontrar a amplitude do ângulo de cada setor, basta fazer a correspondência:
360º ---- n (total de elementos da amostra)
Em seguida, usa-se uma regra de três simples:
360º ----- 120 pessoas
x ----- 50 pessoasx = 150º
360º ----- 120 pessoas
x ----- 30 pessoasx = 90º
360º ----- 120 pessoas
x ----- 10 pessoasx = 30º
Modalidades fi fri (%)
Muito bom 50 42%
Bom 30 25%
Razoável 30 25%
Ruim 10 8%
Total 120 100%
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Opinião das 120 pessoas acerca do filme
que acabaram de assistir
Ruim
Muito bom
Bom
Razoável
Modalidades fi fri (%)
Muito bom 50 42%
Bom 30 25%
Razoável 30 25%
Ruim 10 8%
Total 120 100%
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Pictogramas: É a apresentação de uma série estatística por meio de símbolos representativos do
fenômeno.
O pictograma constitui um dos processos gráficos que melhor fala ao público, pela
sua forma ao mesmo tempo atraente e sugestiva.
A representação gráfica consta de figuras.
Este tipo de gráfico tem a vantagem de despertar a atenção do público leigo, pois
sua forma é atraente e sugestiva.
Os símbolos devem ser auto-explicativos.
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Opinião acerca do ator principal do filme
Muito bom
Bom
Razoável
Ruim
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5
10
15
150 154 158 162 166 170 174 Estaturas
fi
HistogramaUma distribuição de frequência representada por um gráfico de barras é
denominada histograma.
No eixo x vão as classes de freqüência “xi” e no eixo y a freqüência “fi”.
Estaturas de 40 alunos da escola A
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5
10
15
fi
150 154 158 162 166 170 174 Estaturas
Polígono de freqüência
O polígono de frequência é
obtido unindo-se os pontos
médios da parte superior de
cada retângulo do histograma
com segmentos de retas.
É importante notar que tanto o
histograma quanto o polígono
de frequência indicam a
frequência absoluta de cada
classe.
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Estatísticas ajustadas e confiáveis
Muita gente se pergunta se é possível que as estatísticas, mesmo ajustadas e
apresentadas de acordo com um determinado interesse particular, continuam
sendo confiáveis.
A resposta para essa questão é positiva: as estatísticas podem continuar
confiáveis.
Vamos comprová-la com o seguinte caso:
Um gerente de vendas de uma editora resolve impressionar seu chefe para
obter um aumento de salário. Para tanto, elabora um gráfico estatístico das
vendas realizadas no ano anterior, como mostra a tabela a seguir.
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Meses do ano Volumes vendidos
Janeiro 704 363
Fevereiro 707 450
Março 710 300
Abril 714 250
Maio 722 600
Junho 725 230
Julho 730 750
Agosto 736 125
Setembro 740 875
Outubro 743 500
Novembro 747 248
Dezembro 749 100
Vendas de livros didáticos no ano
O efeito visual desse gráfico, com certeza, não tem muito impacto. Ele indica, ao
contrário do desejado, que as vendas permaneceram praticamente estáveis durante
todo o ano. Com ele, qualquer pretensão de aumento salarial não se justificaria.
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Mas o gerente de vendas não se dá por vencido. Ele faz um segundo gráfico,
usando os mesmos dados, que mostra uma imagem completamente diferente.
Esse gráfico, sem dúvida, é muito mais favorável aos seus interesses do que o
anterior.
Embora ele apresente os dados
de outra maneira (ampliando e
focalizando apenas o espaço
de vendas entre 700 mil e 750
mil exemplares), não é menos
fiel à realidade do que o gráfico
anterior.
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MÉDIA ARITMÉTICA: é o quociente da divisão da soma dos valores
da variável pelo número deles.
Questão 01
Determine a média dos valores:
10, 14, 13, 15, 16, 18, 12
Questão 02
Determine a média dos valores:
2, 4, 6, 8
Questão 03
Determine a média aritmética do seguinte conjunto de números:
7, 7, 7, 9, 9, 9, 9, 9, 11, 11.
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL
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Questão 04
Considere a distribuição relativa a 34 famílias de quatro filhos, tomando para
variável o número de filhos do sexo masculino.
Determine a média aritmética desse conjunto.
No de meninos fi
0 2
1 6
2 10
3 12
4 4
= 34
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Questão 05
Determine a média da tabela:
Estaturas fi
(cm)
150 154 4
154 158 9
158 162 11
162 166 8
166 170 5
170 174 3
Total 40
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MODA: é o valor que ocorre com maior freqüência em uma série de
valores.
Questão 01
Determine a moda dos dados:
7, 8, 9, 10, 10, 11, 12, 13, 15
Questão 02
Determine a moda dos dados:
3, 5, 8, 10, 12, 13
Questão 03
2, 3, 4, 4, 4, 5, 6, 7, 7, 7, 8, 9
Questão 04
Determine a moda dos valores:
10, 14, 13, 15, 16, 18, 12
Questão 05
Determine a moda do seguinte
conjunto de números:
7, 7, 7, 9, 9, 9, 9, 9, 11, 11.
Questão 06
Considere a distribuição relativa a 34 famílias de quatro filhos, tomando para
variável o número de filhos do sexo masculino.
Determine a moda desse conjunto.
No de meninos fi
0 2
1 6
2 10
3 12
4 4
= 34
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Questão 07
Considere uma pesquisa sobre o número de irmãos de cada aluno de
uma classe. Determine a moda desse conjunto.
No de irmãos fi
0 8
1 15
2 12
3 5
= 40
xi 1 2 3 4 5 6
fi 2 4 6 8 3 1
Questão 08
Calcule a moda da distribuição:
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Estaturas
(cm)
fi
150 154 4
154 158 9
158 162 11
162 166 8
166 170 5
170 174 3
total 40
Questão 09
Determine a moda da tabela:
Mo = l* *
D1
D2
+
D1
+ x h
FÓRMULA:
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MEDIANA: é uma medida de posição definida como sendo o número
que se encontra no centro de uma série de números, estando estes
dispostos, segundo uma ordem, crescente ou decrescente.
Questão 01
Determine a mediana dos dados:
5, 13, 10, 2, 18, 15, 6, 16, 9
Questão 02
Determine a mediana dos dados:
2, 6, 7, 10, 12, 13, 18, 21
Diária
(R$)
Número de
operários
200, 00 5
250, 00 8
300, 00 4
350, 00 1
Questão 03
Determine a mediana da distribuição:
oaquimrofessorEmail: [email protected] cel.: 9961-9349 ou 9152-5685
Questão 04
Determine a mediana da tabela:
Estaturas fi
(cm)
150 154 4
154 158 9
158 162 11
162 166 8
166 170 5
170 174 3
Total 40
Md = l +* *
∑ fi
2F (ant)
f *• h
FÓRMULA:
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MEDIDAS DE DISPERSÃO
Vamos considerar a seguinte situação:
Exemplo 1
Uma pessoa é encarregada de organizar atividades de lazer para um
grupo de 6 pessoas e recebe a informação de que a média de idade do
grupo é de 20 anos.
Note que nesse caso, apenas a informação da média não é suficiente para
planejar as atividades, pois podemos ter grupos com média de idade de 20
anos e características totalmente diferentes,conforme podemos ver a
seguir.
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Grupo A:
20 anos, 20 anos, 20 anos, 20 anos, 20 anos, 20 anos
Grupo B:
22 anos, 23 anos, 18 anos, 19 anos, 20 anos, 18 anos
x A =20 + 20 + 20 + 20 + 20 + 20
6=
120
6= 20 anos
x B =22 + 23 + 18 + 19 + 20 + 18
6=
120
6= 20 anos
Grupo C:
6 anos, 62 anos, 39 anos, 4 anos, 8 anos, 1 ano
x C =6 + 62 + 39 + 4 + 8 + 1
6=
120
6= 20 anos
oaquimrofessorEmail: [email protected] cel.: 9961-9349 ou 9152-5685
oaquimrofessorEmail: [email protected] cel.: 9961-9349 ou 9152-5685
Observe que no grupo A, não houve dispersão.
A dispersão no grupo B é menor que no grupo C.
Dizemos que o grupo B é mais homogêneo que o grupo C.
Dessa forma, vamos usar uma medida denominada VARIÂNCIA
Vamos descobrir a variância nos grupos A, B e C
Grupo A: (20, 20, 20, 20, 20, 20)
x = 20
Desvios: 20 20 = 0 (todos são iguais a 0)
V = 0
Quando todos os valores são iguais, dizemos que não houve dispersão
e, por isso, a variância é nula.
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Grupo B: (22, 23, 18, 19, 20, 18)
x = 20
Desvios:
22 20 = 2; 23 20 = 3; 18 20 = 2; 19 20 = 1; 20 20 = 0; 18 20 = 2
V = 2 + 3 + ( 2) + ( 1) + 0 + ( 2)
2 2 2 2 2 2
6=
4 + 9 + 4 + 1 + 0 + 4
6
V = 22
6= 3, 6
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Grupo C: (6, 62, 39, 4, 8, 1)
x = 20
Desvios:
6 20 = 14; 62 20 = 42; 39 20 = 19; 4 20 = 16; 8 20 = 12; 1 20 = 19
V = ( 14) + 42 + 19 + ( 16) + ( 12) + ( 19)
2 2 2 2 2 2
6
V =196 + 1764 + 361 + 256 + 144 + 361
6
V = 3082
6= 513, 6
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DESVIO PADRÃO
O desvio padrão (s) é a raiz quadrada da variância.
No exemplo dado, temos:
Grupo A: s = 0 = 0 anos
3,6 = 1,9 anos Grupo B: s =
Grupo C: s = 513,6 = 22,6 anos
Observe que:
1) Quando todos os valores da variável são iguais, o desvio padrão é 0;
2) Quanto mais próximo de 0 é o desvio padrão, mais homogênea é a
distribuição dos valores da variável;
3) O desvio padrão é expresso na mesma unidade da variável.
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Exemplo 2
Em um treinamento de salto em altura, os atletas realizaram 4 saltos cada
um, sendo as marcas de três atletas registradas abaixo.
Atleta A: 148 cm, 170 cm, 155 cm e 131 cm
Atleta B: 145 cm, 151 cm, 150 cm e 152 cm
Atleta C: 146 cm, 151 cm, 143 cm e 160 cm
a) Qual deles obteve a melhor média?
b) Qual deles foi o mais regular?
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a) Vamos calcular a média de cada atleta.
Atleta A (148, 170, 155,131)
x A = 148 + 170 + 155 + 131
4=
604
4= 151 cm
x B = 145 + 151 + 150 + 152
4=
598
4= 149,5 cm
Atleta B (145, 151, 150, 152)
x C = 146 + 151 + 143 + 160
4=
600
4= 150 cm
Atleta C (146, 151, 143, 160)
Logo, o atleta A obteve
a maior média, 151 cm
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b) A maior regularidade será verificada a partir do desvio padrão.
Atleta A (148, 170, 155, 131)
V = (148 151) + (170 151) + (155 151) + (131 151)
2 2 2 2
4
V = ( 3) + (19) + (4) + (20)
2 2 2 2
4
V = 9 + 361 + 16 + 400
4=
786
4V = 196,5
s = 196,5 = 14 cm
x = 151
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Atleta B (145, 151, 150, 152) x = 149,5
V = (145 149,5) + (151 149,5) + (150 149,5) + (152 149,5)
2 2 2 2
4
V = ( 4,5) + (1,5) + (0,5) + (2,5)
2 2 2 2
4
V = 20,25 + 2,25 + 0,25 + 6,25
4=
29
4V = 7,25
s = 7,25 = 2,7 cm
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Atleta C (146, 151, 143, 160) x = 150
s = 41,5 = 6,4 cm
V = (146 150) + (151 150) + (143 150) + (160 150)
2 2 2 2
4
V = ( 4) + (1) + ( 7) + (10)
2 2 2 2
4
V = 16 + 1 + 49 + 100
4=
166
4V = 41,5
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Observando o desempenho de cada atleta, temos:
Atleta A s = 14 cm
Atleta B s = 2,7 cm
Atleta C s = 6,4 cm
Logo, o atleta B foi o mais regular, pois o seu desvio padrão é o menor,
aproximadamente 2,7 cm.
Se for criada uma lei anti-fumo, você concordaria?
• Foram consultadas 62 pessoas:
• - 43 pessoas concordam
• - 19 pessoas não concordam
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MODELO DE PESQUISA
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Tabela de frequências
Concorda com a lei anti-fumo?
fi fri (%)
Sim 43 69%
Não 19 31%
Total 62 100%
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Gráfico circular
69%
31%
Concorda com a lei anti-fumo?
Sim
Não
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Você fuma – sim ou não?
• Foram consultadas 62 pessoas:
• - 41 pessoas responderam que sim
• - 21 pessoas responderam que não
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Gráfico circularFuma - sim ou não?
34%
66%
Sim
Não
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Se fuma, desde que idade o faz?
• Das 41 pessoas que disseram que fumavam:• - 3 começaram a fumar aos 14 anos• - 2 começaram aos 15 anos• - 10 começaram aos 16 anos• - 8 começaram aos 17 anos• - 15 começaram aos 18• - 2 começaram aos 19 • - 1 começou aos 20
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Tabela de frequênciasIdade em que
começou a
fumar
Frequência
Absoluta
Frequência
Absoluta
Acumulada
Frequência
Relativa
%
Frequência
Relativa
Acumulada
14 3 3 7,3 7,3
15 2 5 4,9 12,2
16 10 15 24,4 36,6
17 8 23 19,5 56,1
18 15 38 36,6 92,7
19 2 40 4,9 97,6
20 1 41 2,4 100
Totais: 41 100
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Gráfico de Barras
0,00%
5,00%
10,00%
15,00%
20,00%
25,00%
30,00%
35,00%
40,00%
14 anos
15 anos
16 anos
17 anos
18 anos
19 anos
20 anos
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Gráfico CircularGráfico circular - Fuma desde que idade?
16 anos;
24,4%
17 anos;
19,5%
18 anos;
36,6%
19 anos;
4,9 %
20 anos;
2,4%
15 anos;
4,9%
14 anos;
7,3%
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Pictograma
14 15 16 17 18 19 20
= 2 pessoas
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Polígono de frequências acumuladas
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MédiaPara se fazer a média, somam-se todos os valores dados, e depois
divide-se esse resultado pelo número de elementos da amostra.
14 x 3 + 15 x 2 + 16 x 10 + 17 x 8 + 18 x 15 + 19 x 2 + 20 = 17
41
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MedianaA mediana é o valor central dos dados.
14 14 14 15 15 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 17 17 17 17 17 17 17 17 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 19 19 20
17
A mediana dos dados é 17.
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Moda
Fuma desde que idade?
3
2
108
1
215
0 5 10 15 20
14
16
18
20
Idad
e
Nº de pessoas
A moda é 18, porque é o que tem mais frequência.
A moda é o valor que se repete com mais frequência. É o dado estatístico que ocorre mais vezes numa distribuição.
Se um conjunto de dados não tiver moda ou tiver mais que uma moda, diz-se amodal.
oaquimrofessorEmail: [email protected] cel.: 9961-9349 ou 9152-5685
ConclusãoAtravés dos resultados obtidos nos questionários
realizados, conclui-se que:- a maioria das pessoas (69%) concorda com a lei anti-fumo, apesar de grande parte (66%) dos entrevistados ser fumante. - e que a idade em que as pessoas entrevistadas começaram a fumar é, em média, 17 anos, mas que a resposta mais frequente é 18 anos.
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