Roger Penrose

1. Dados Pessoais

Roger Penrose nasceu em Colchester, Inglaterra, em 8 de Agosto de 1931.

É físico-matemático e professor emérito de Matemática da Universidade de

Oxford. Filho do cientista Lionel S. Penrose e de Margaret Leathes é irmão do

matemático Oliver Penrose e do mestre no xadrez Jonathan Penrose. É

altamente reconhecido pelos seus trabalhos em física matemática, em

particular pelas suas contribuições para a relatividade geral e a cosmologia,

conjuntamente com o físico Stephen Hawking. Penrose tem também

contribuições em matemática recreativa e em filosofia. Recentemente foi-lhe

atribuído o título de Sir pelos seus extraordinários contributos à matemática. É

considerado um dos pensadores mais originais e criativos da actualidade.

A sua admiração pela obra do artista M.C. Escher (criador de mundos

imaginários) fê-lo trabalhar na criação de suas “figuras impossíveis”, que serão

citadas ao longo do presente trabalho. Também escreveu alguns livros, entre

eles: “O Grande, o Pequeno e a Mente Humana” e “O Caminho à Realidade:

Uma guia completa às leis do universo”.

A presente pesquisa dará maior ênfase ao trabalho de Penose na matemática

recreativa, nomeadamente nas pavimentações.

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2. Contribuição de Penrose na Matemática Recreativa

A Matemática Recreativa é a área da matemática que se utiliza de jogos,

probelmas, desafios, puzzles, que, para alem de exigir conhecimento

matemático, surgem como recreação, diversão. Constitui, nos nossos dias, uma

área já muito vasta, com uma história muito antiga, já que os problemas, os

jogos e os puzzles existem em todas as civilizações.

Na matemática recreativa , Penrose dedicou-se muito em particular às

pavimentações. Investigou a existência, ou não, de um conjunto de ladrilhos

que pavimentassem o plano, mas sem gerar um padrão repetido. Como esse

desafio não era passível de ser resolúvel em computador, Penrose precisou de

utilizar o processo manual de desenho. Esta última actividade levou-o a

descobrir há alguns anos as “figuras impossíveis” e os mosaicos que hoje

levam o seu nome ( protoladrilhos de Penrose). Assim, começou a desenvolver

conjuntos de ladrilhos que gerassem este tipo de pavimentações. Após vários

anos de investigação, conseguiu reduzir o número , de milhares no início da

sua pesquisa, para seis e, mais tarde, para dois. Foram desta forma criados os

três conjuntos de protoladrilhos de Penrose, com seis, dois e dois ladrilhos

respectivamente.

Conjunto de seis ladrilhos diferentes

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Dois tipos de ladrilhos ( seta e papagaio)

Dois tipos de ladrilhos ( losangos)

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2.1. Alguns conceitos básicos para melhor entender o

trabalho de Penrose

Com o objectivo de melhor entendermos os resultados da pesquisa de Penrose

com pavimentações, acreditamos ser importante rever alguns conceitos

básicos.

2.1.1. Pavimentação

Pavimentação de um plano é o preenchimento desse mesmo plano

completamente através do uso repetido de polígonos, ou de outras figuras, sem

falhas nem sobreposições. A essas figuras que se repetem indefinidamente,

chamamos ladrilhos.

Fazem-se necessárias ainda as seguintes observações sobre pavimentação:

- O ponto onde se intersectam três ou mais ladrilhos é um vértice;

- Para pavimentar é necessário utilizar pelo menos três polígonos em torno de

cada vértice;

- A soma dos ângulos internos que convergem no mesmo vértice tem se ser

360º, para que não haja falhas nem sobreposições.

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2.1.1.1. Tipos de Pavimentações

As pavimentações podem ser:

Periódicas : são pavimentações que, ao sofrer uma translação,

permanecem invariantes, ou seja, é possível deslocá-la sobre si própria,

continuando os ladrilhos perfeitamente alinhados. Mantêm um padrão de

repetição. Dentre elas, encontramos:

Pavimentações regulares: são pavimentações monoédricas ( formadas por

apenas um tipo de ladrilho) em que os ladrilhos são polígonos regulares

congruentes (ou seja, com o mesmo tamanho e forma) e que seus vértices

coincidem com os de outros ladrilhos.

Pavimentações irregulares : são consideradas pavimentações irregulares

todas aquelas em que a cada vértice concorre pelo menos um dos lados do

polígono.

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Pavimentações demiregulares: são pavimentações constituídas por mais de

um tipo de polígonos regulares e por mais de um tipo de vértices. Existem mais

de catorze pavimentações diferentes formadas apenas por dois ou três

polígonos. Com mais de três polígonos diferentes há infinitas possibilidades.

 

Aperiódicas: são pavimentações onde não existe um padrão que se

repita, apesar de ser possível haver uma cobertura total do plano, sem

espaços intermédios nem sobreposições. Este tipo de pavimentações é

possível quando cada um dos ladrilhos tem elementos gráficos que

restringem a sua colocação no plano. Esse é o tipo de pavimentação

pesquisada por Penrose.

2.2. Protoladrilhos de Penrose

 Protoladrilho é um ladrilho com o qual é possível construir uma pavimentação

do plano. Vamos apresentar os três conjuntos de protoladrilhos de Penrose,

bem como as suas formas de combinação.

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2.2.1. Primeiro Conjunto de Protoladrilhos 

 Vejamos agora o exemplo de uma pavimentação aperiódica formada por este conjunto de protoladrilhos:

 

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2.2.2. Segundo Conjunto de Protoladrilhos

 

 

dart ou seta kite ou papagaio

Este é o mais notável conjunto de protoladrilhos construído por Roger Penrose.

Os dois protoladrilhos obtêm-se a partir de um losango de ângulos internos 36º

e 72º. Ambos os protoladrilhos têm a forma de um papagaio, um côncavo e

outro convexo. É notório que se podem obter inúmeras pavimentações

periódicas utilizando estes dois protoladrilhos, de facto, para que a

pavimentação seja aperiódica é necessário unir os vértices com a mesma letra.

Foi John Conway que lhes atribuiu o nome de kite e dart, ou papagaio e seta. 

Vejamos agora o exemplo de uma pavimentação aperiódica formada por este

conjunto de protoladrilhos.

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Esta é uma das mais importantes pavimentações de Penrose, usando

papagaios e setas, kites e darts é a Cartwheel. A região central é rodeada por

um decágono de papagaios e setas nas pontas. Cada ponto de cada ladrilho

está contido num decágono idêntico - ainda que o conteúdo deste possa variar.

 

 

2.2.3. Terceiro Conjunto de Protoladrilhos

 

   Estes protoladrilhos são designados por rombos aperiódicos. É um conjunto

formado por dois losangos. As regras de junção estão demonstradas na figura

seguinte.

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Com os losangos marcados desta forma é possível construir infinitas

pavimentações aperiódicas, mas nenhuma periódica. Vejamos o exemplo de

uma delas:

 

2.3. Figuras impossíveis de Penrose

Triângulo de Penrose

Este triângulo parece ser um objecto sólido, feito de três barras entrelaçadas

que se encontram aos pares nos ângulos rectos dos vértices dos triângulos que

formam ( chamado tribarra).

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O conceito do triângulo de Penrose pode ser estendido a outros polígonos, como

por exemplo, o "quadrado de Penrose", mas o efeito visual não é o mesmo.

3. Da Matemática recreativa para os estudos sobre o Universo 

A partir de seus estudos e criações de pavimentações assimétricas, Penrose

chegou a uma digressão sobre o Universo. Este Universo possui uma ordem na

criação das suas formas, com a repetição padronizada, à semelhança das

pavimentações periódicas. Penrose, porém, ao criar as pavimentações

aperiódicas, acabou por provar que no Universo também há formas que não se

repetem de maneira padronizada.

4. Curiosidades11

4.1. Arte feita com a pavimentação de Penrose

Quadro pintado a partir das formas propostas por Penrose.

 

4.2. Mau uso do conhecimento

O segundo conjunto de protoladrilhos de Penrose, de setas e papagaios (kites

e darts), foi utilizado para  pavimentar rolos de papel higiénico de uma

conhecida marca. Como estes ladrilhos permitem construir pavimentações sem

haver repetição de um padrão, o fabricante pretendia produzir um rolo de papel

higiénico em que nunca houvesse sobreposição de perfurações, com o objectivo

de reduzir o volume de papel em 15% num mesmo rolo , o que foi conseguido.

Houve a abertura de um processo na Inglaterra contra esse fabricante.

4.3. Puzzle de Penrose - Perplexing Poutry

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Penrose desenhou um puzzle usando o conceito de pavimentação que

desenvolveu, denominado Perplexing Poutry. O puzzle é constituído por peças

em forma de pássaro. Existem apenas dois tipos de peças, pássaros pequenos e

pássaros grandes. O objectivo é cobrir completamente a superfície plana, onde

se brinca. Embora aparente ser uma tarefa fácil, na realidade não é! E para

além disso existe apenas uma solução.

5. Opinião dos Elementos do Grupo

5.1. Opinião de João Zanini

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Gostei muito de fazer este trabalho porque me ajudou a perceber para que, na

realidade, serviam os conhecimentos sobre pavimentações e como podemos

fazê-las. Esta pesquisa despertou-me para o facto de como foi trabalhoso

para Penrose criar esses padrões de protoladrilhos.

O que mais gostei foram as diversas possibilidades de pavimentações, e as que

mais me agradam são as formadas pelo segundo conjunto de protoladrilhos.

Foi-me também agradável realizar um protoladrilho de Penrose do terceiro

grupo, através de colagem, em anexo a este trabalho.

5.2. Opinião de Gabriel Zanini

Ao fazer este trabalho, eu percebi que havia muitas coisas interessantes sobre

pavimentações e que estavam relacionadas com Penrose.

A parte que mais gostei foram os inúmeros tipos de pavimentações e os

desenhos que se formavam, bem como o modo de serem construídas. O

terceiro conjunto de pavimentações de Penrose, constituído só por losangos, foi

o que mais me agradou.

Este trabalho ajudou-me a perceber o grande esforço e dedicação que foram

necessários a Penrose para atingir seu ideal de pesquisa Ao realizar o

protoladrilho em colagem, pude ter idéia da complexidade desta criação.

6. Bibliografia

http://www.geometrias.com.br/GEONOVO

http://esidm.0fees.net/disciplina/matematica/abaco40.htm#rogerpenrose

www.educ.fc.ul.pt/icm/icm2003/icm22/paviaper.htm

http://en.wikipedia.org/wiki/Roger_penrose

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