Roteiro de estudos 01b

1101108 Estrutura da Materia IISemana 01b – Spin e Estrutura fina e hiperfina

Jason A.C. GallasDepartamento de Fısica da UFPB, 58051-970 Joao Pessoa,PBhttp://www.fisica.ufpb.br/∼jgallas

Resumo e MotivacaoNosso objetivo aqui e estudar o momento angular de spin. Para tanto, iniciamos com umarevisao sobre o momento de dipolo e sua relacao com o momento angular orbital.

A seguir, usamos o momento de dipolo para estuar interacoes “menores” no atomo, queaparecem devido a efeitos magneticos. Neste capıtulo, consideraremos apenas efeitos cau-sados por campos magneticos internos, deixando a discussao dos efeitos por campos ex-ternos para o proximo capıtulo. Os campos internos dos atomos sao a causa da estruturafina do espectro atomico. No final do capıtulo iremos considerar brevemente a estruturahiperfina, que e um efeito semelhante, porem menor, devido as interacoes magneticas entreo nucleo e os eletrons.

1 Dipolos magneticos orbitais

Os numeros quanticos n e ` foram introduzidos pela primeira vez na teoria quantica velha de Bohre Sommerfeld. O numero quantico principal n foi introduzido no modelo de Bohr como um pos-tulado fundamental referente a quantizacao do momentum angular, enquanto que o numero quanticoorbital ` foi introduzido alguns anos mais tarde por Sommerfeld como um complemento para levar emconsideracao a possibilidade de que as orbitas atomicas pudessem ser elıpticas em vez de apenas circu-lares. Ja vimos que estes dois numeros quanticos reaparecem no tratamento quantico completo do atomode hidrogenio. Depois, vimos como que tais numeros tambem servem para tratar de atomos com muitoseletrons.

Dois resultados chave que resultam da mecanica quantica dos atomos sao:• A magnitude L do momentum angular orbital de um eletron e dada por

L =√`(`+ 1) ~ (1)

onde ` pode assumir valores inteiros ate n− 1.• A componente do momentum angular ao longo dum eixo particular (normalmente escolhido como

o eixo z) e quantizada em unidades de ~, sendo seu valor dado por

Lz = m`~, (2)

onde o numero quantico magnetico m` pode assumir valores inteiros desde −` ate +`.Esta duas relacoes dao origem ao modelo de momentum angular ilustrado na Fig. 1.

O movimento orbital do eletron faz com que ele tenha um momento magnetico. Consideremosprimeiramente um eletron numa orbita circular de Bohr, como ilustrado na Fig. 1a. A orbita do eletron eequivalente a um laco de corrente, e sabemos do eletromagnetismo que lacos de correntes comportam-secomo ımans. O eletron na orbita de Bohr e equivalente a um pequeno ıma com um momento de dipolomagnetico µ dado por

µ = i× Area =−eT× πr2, (3)

(1 Dipolos magneticos orbitais)

Figura 1: (a) O movimento orbital do eletron em torno do nucleo numa orbita circular de Bohr e equivalente a um laco de

corrente, que gera um momento de dipolo magnetico. (b) Momento de dipolo magnetico de um eletron numa orbita nao-

circular.

onde T e o perıodo da orbita e r o seu raio. Como T = 2πr/v, onde v e a velocidade orbital, obtemos

µ = − ev

2πrπr2 = − e

2memevr = − e

2meL, (4)

onde escrevemos L no lugar do momentum angular orbital mevr.

Esta relacao pode ser facilmente generalizada para o caso de eletrons em orbitas nao-circulares.Considere um eletron com vetor posicao r numa orbita nao-circular com origem O. O momento dedipolo magnetico e dado por:

µ =

∮i dA, (5)

onde i e a corrente no laco e dA e a area infinitesimal varrida pelo eletron ao mover-se na orbita. A areainfinitesimal dA esta relacionada com o elemento de caminho du pela relacao [veja a Fig. 1b]

dA = 12r× du, (6)

de modo que a Eq. (5) fica sendo

µ = 12

∮ir× dA, (7)

Substitutindo a corrente pela carga, i = dq/dt, onde q e a carga, implica em

µ = 12

∮dq

dtr× du,

= 12

∮dqr× du

dt,

= 12

∮dqr× v,

=1

2me

∮dqr× p, (8)

onde v e a velocidade e p o momentum. O momentum angular e definido por

L = r× p, (9)

de modo que obtemos, finalmente,

µ = 12me

∮Ldq = 1

2meL

∮dq = 1

2meL(−e), (10)

Prof. Dr. Jason Gallas – Dep. Fısica da UFPB, 22 de Dezembro de 2012, as 12:36 2/18

(2 Magnetismo do spin)

como na Eq. (4). Note que o resultado pode ser obtido porque o momentum angular L e uma constantede movimento, e pode ser tirado para fora da integral. De uma perspectiva classica, L e constante porquea forca F e radial. Temos, portanto:

dL

dt= Γ = r× F = 0, (11)

onde Γ e o torque. E por isto que o momentum angular acaba sendo quantizado com valores constantesbem definidos quando consideramos a mecanica quantica do atomo1

Equacao (4) nos mostra que o momentum angular orbital esta diretamente relacionado ao mo-mento de dipolo atomico. A quantidade e/(2me) que aparece nela e chamada de razao giromagnetica.Ela especifica a constante de proporcionalidade entre o momentum angular do eletron e seu momentomagnetico. Ve-se da Eq. (1) que |L| ∼ ~, e, portanto, que a magnitude dos momentos de dipolomagneticos e dada por

|µ| ∼ e

2me~ = µB, (12)

onde µB e o magneton de Bohr definido por:

µB =e~

2me= 9.27× 10−24 JT−1. (13)

2 Magnetismo do spin

No experimento de Stern-Gerlach, um feixe de eletrons e defletido por um campo magnetico nao-uniforme. A forca num dipolo magnetico num campo magnetico nao-uniforme e dada por2:

Fz = µzdB

dz, (14)

onde dB/dz e o gradiente do campo, que supomos apontar ao longo da direcao z. Os experimentosoriginais de Stern-Gerlach foram executados com atomos de prata, cujo estado fundamental tem umaconfiguracao eletronica dada por [Kr] 4d10 5s1. Camadas preenchidas nao possuem momentum angularlıquido, pois contem tantos estados ocupados m` positivos quanto negativos. Alem disto, eletrons emcamadas s tem ` = 0 e, portanto L = 0. O momentum angular orbital total (e portanto o momento dedipolo magnetico orbital) do atomo e zero, de modo que esperariamos nenhuma deflexao. Entretanto osexperimentos mostraram que os atomos eram defletidos ou para cima ou para baixo.

Para poder explicar a deflexao para cima e para baixo dos atomos com L = 0, precisamos suporque cada eletron possua um tipo adicional de momento de dipolo magnetico. Tal dipolo magnetico eatribuido a um tipo adicional novo de momentum angular chamado spin. Analogamente ao momentumangular orbital, o momentum angular de spin e descrito por dois numeros quanticos s e ms, com ms

variando por numeros inteiros de −s ate +s. A magnitude do momentum angular de spin e dada por

|s| =√s(s+ 1) ~, (15)

1Note que para o momentum angular ser constante a forca tem que ser radial. Num atomo com muitos eletrons, estaaproximacao e valida apenas no limite do campo central. A inclusao de forcas nao-centrais atraves da interacao eletrostaticaresidual (vista no capıtulo anterior) significaria que os estados do momentum angular nao sao puros, mas um pouco misturadosuns com os outros. Isto pode explicar porque transicoes aparentemente proibidas pelas regras de selecao possam ser por vezesobservadas, embora com baixas probabilidades de transicao. Nao trataremos deste ponto neste curso.

2Note que necessitamos dum campo nao-uniforme para defletir um dipolo magnetico. Um campo magnetico uniformemeramente exerce um torque, nao uma forca. Podemos entender isto atraves duma analogia com a eletrostatica. Monopoloseletricos (i.e. cargas livres) podem ser movidas aplicando-se campos eletricos, porem dipolos eletricos nao sentem forca lıquidaresultante pois um campo uniforme faz com que as forcas nas cargas positiva e negativa cancelem-se. Se desejarmos aplicaruma forca num dipolo eletrico necessitamos, portanto, dum campo nao-uniforme, de modo que as forcas nas duas cargas sejamdiferentes. Monopolos magneticos nao existem (tanto quanto se saiba hoje . . . ) e, portanto, todos ımans atomicos sao dipolos.Portanto e necessario aplicar um campo magnetico nao-uniforme para exercer uma forca magnetica num atomo.


(3 Acoplamento spin-orbita)

e a componente ao longo do eixo z e dada por

sz = ms~. (16)

A deflexao para cima e para baixo observada experimentalmente em atomos com um unico eletron comL = 0 e consistente com os seguintes valores de s e ms:

s = 12 , (17)

ms = ±12 . (18)

As deflexoes medidas no experimento de Stern-Gerlach permitiram que a magnitude do momentomagnetico devido ao momentum angular de spin pudesse ser determinada. A componente ao longo doeixo z foi determinada como obedecendo a relacao

µz = −gsµBms, (19)

onde gs e o valor g do eletron. O valor experimental de gs foi determinado com sendo perto de 2.A equacao de Dirac prediz que gs deve ser exatamente igual a 2 e calculos mais recentes baseados naeletrodinamica quantica (QED) dao um valor de 2.0023192, que concorda muito bem com os dadosexperimentais mais precisos disponıveis [olhe no Google...].

Na proxima seccao iremos comecar a discutir as interacoes entre o movimento orbital e o spindos eletrons. Iremos ver que isto causa a estrutura fina do espectro atomico, que somente pode serexplicada postulando-se que os eletrons possuam spin. Antes de faze-lo, e util listar algumas evidenciasexperimentai adicionais que indicam que eletrons possuem spin.• A tabela periodica dos elementos, que e o fundamento de toda a quımica, nao pode ser explicada

a menos que suponhamos que os eletrons possuam spin.• Se ignorarmos o spin, deveriamos observar o efeito Zeeman normal quando um atomo for colocado

num campo magnetico externo. Entretanto, como veremos no proximo capıtulo, a maioria dosatomos apresenta um efeito Zeeman anomalo, que e uma consequencia do spin.• Podemos medir a razao giromagnetica diretamente de diversos modos. Em 1915, Einstein e de

Haas mediram a razao giromagnetica do ferro obtendo valores duas vezes maiores que o esperado.Eles rejeitaram tal resultado, atribuindo-o a erros experimentais. Entretanto, hoje sabemos que omagnetismo do ferro e causado pelo spin, nao pelo momentum angular orbital e, portanto, o valorexperimental de duas vezes e/(2me) estava correto devido ao fator giromagnetico do eletron. Istoe uma licao salutar da historia pois mesmo grandes fısicos como Einstein e de Haas podem fazeruma analise de erros incorreta.

3 Acoplamento spin-orbita

Nas duas seccoes anteriores vimos que eletrons em atomos possuem tanto momentum angular orbitalquanto de spin. Ambos tipos de momentum angular produzem dipolos magneticos, e isto conduz a umnovo termo de interacao no Hamiltoniano do atomo. Tal interacao entre os momentos angulares orbitale de spin e chamada de acoplamento spin-orbita.

Teorias sofisticadas do acoplamente spin-orbita (e.g. teorias baseadas na equacao de Dirac) mos-tram que tal acoplamente e um efeito relativıstico3. Nesta altura e mais conveniente considerar o acopla-mento spin-orbita de um modo mais intuitivo como a interacao entre o campo magnetico devido aomovimento orbital do eletron e o momento magnetico devido ao seu spin. Este e o procedimento queadotaremos aqui. Comecaremos fornecendo uma simples estimativa da ordem de magnitude baseada nomodelo semi-classico de Bohr, para posteriormente apresentar um metodo mais geral que funciona noreferencial abrangente da mecanica quantica.

3Esta afirmativa parece ser uma lenda! Veja o que diz A. Halprin, Pedagogy of spin in nonrelativistic quantum mechanics,Am. J. Phys. 46, 768 (1974).


3.1 Acoplamento spin-orbita no modelo de Bohr (3 Acoplamento spin-orbita)

3.1 Acoplamento spin-orbita no modelo de Bohr

Figura 2: Um eletron movendo-se com velocidade v atraves do campo eletrico E do nucleo sente um campo magnetico igual a

(E×v)/c2. O campo magnetico pode ser entendido deslocando-se a origem para o eletron e calculando-se o campo magnetico

devido ao movimento orbital do nucleo em volta do eletron. A velocidade do nucleo neste referencial e igual a −v.

A maneira mais facil de entender o acoplamento spin-orbita e considerar o eletron unico do atomode hidrogenio numa orbita circular a-la Bohr em torno do nucleo, e entao mudar a origem das coorde-nadas para o eletron, como indicado na Fig. 2. Neste referencial, o eletron e estacionaario e o nucleomove-se numa orbita circular de raio rn. A orbita do nucleo e equivalente a um laco de corrente, queproduz um campo magnetico na origem. O campo magnetico produzido por um laco circular de raio rcarregando uma corrente i e dado por:

Bz =µ0i

2r, (20)

onde z foi escolhida como sendo a direcao perpendicular ao laco. Como na Seccao 1, a corrente i e dadapela carga Ze dividida pelo perıodo T = 2πr/v. Substituindo-se a velocidade e o raio fornecidos pelomodelo de Bohr (veja as notas anteriores!) encontramos:

Bz =µ0Zevn

4πr2n=(Z4

n5

)µ0αce4πa20

, (21)

onde α ' 1/137 e a constante de estrutura fina (veja as notas anteriores). Para o hidrogenio, comZ = n = 1, a formula fornece Bz ≈ 12 Tesla, que e um campo bastante forte.

O eletron na origem sente este campo orbital e, portanto, temos uma energia de interacao da forma

∆Eso = −µs ·Borbital, (22)

que, com a Eq. (19), fica∆Eso = gsµBmsBz = ±µBBz, (23)

onde usamos gs = 2 na ultima igualdade. Substituindo-seBz da Eq. (21) e µB da Eq. (13), encontramos:

|∆Eso| =(Z4

n5

) µ0αce~8πmea20

≡ α2Z2

n3|En|, (24)

onde En e a energia quantizada do atomo de hidrogenio (veja as notas anteriores). Para a orbita n = 1do hidrogenio, ela fornece:

|∆Eso| = α2RH = 13.6 eV/1372 = 0.7 meV ≡ 6 cm−1. (25)

Este valor mostra que a interacao spin-orbita e da ordem de 104 vezes menor do que a estrutura grossano hidrogenio. Note que a magnitude relativa da interacao spin-orbita cresce com Z2, de modo que osefeitos spin-orbita sao esperados tornarem-se mais importantes em atomos mais pesados, o que de fato eo caso. Note tambem que a Eq. (24) pode ser re-escrita como

|∆Eso| =(v2nc

) |En|n

, (26)


3.2 Acoplamento spin-orbita posteriormente ao modelo de Bohr (3 Acoplamento spin-orbita)

Figura 3: O campo magnetico na origem O devida a um laco de

corrente carregando uma corrente i e calculada pela lei de Biot-

Savart dada na Eq. (27). O campo aponta para fora da pagina.

o que mostra que a energia da interacao spin-orbita e da mesma magnitude que as correcoes relativısticasque seriam esperadas para o modelo de Bohr. Isto dificilmente e uma surpresa, dado que Dirac4 nos dizque na realidade devemos pensar o acoplamente spin-orbita como sendo um efeito relativıstico.

3.2 Acoplamento spin-orbita posteriormente ao modelo de BohrNesta subseccao repetimos o calculo da energia de interacao spin-orbita porem sem fazer uso dos resul-tados semi-classicos do modelo de Bohr. Os eletrons num atomo sentem um campo magnetico a medidaque se movem atraves do campo eletrico do nucleo. Se a velocidade do eletron for v, ele vera o nucleoorbitando-o com uma velocidade −v, como mostrado na Fig. 2. Como mostrado na Fig. 3, o campomagnetico gerado no eletron pode ser calculado pela lei de Biot-Savart. Ela fornece o campo magneticona origem de um laco carregando uma corrente i como sendo:

B =µ04π

∮laco

idu× r

r3, (27)

onde du e um caminho orbital elementar. Por simplicidade, consideramos o caso com r constante,quando entao temos: ∮

idu =

∮dq

dtdu = Ze

du

dt= Ze(−v). (28)

Portanto,

B = −µ04π

Ze

r3v × r =

µ04π

Ze

r3r× v. (29)

Para um campo Coulombiano o campo eletrico E e dado por

E =Ze

4πε0r2r =

Ze

4πε0r3r, (30)

onde o “chapeu” em r indica que ele e um vetor unitario. Combinando as Eqs. (29) e (30) obtemos

B = µ0ε0E × v. (31)

Sabemos das equacoes de Maxwell que µ0ε0 = 1/c2, de modo que podemos escrever a expressao acimacomo

B =1

c2E × v. (32)

Esta mesma formula pode ser derivada para o caso mais geral de orbitas nao-circulares e campos nao-Coulombianos tais como os encontrados em atomos com muitos eletrons.

4P.A.M. Dirac, The quantum theory of the electron, Proc. Royal Soc. London A 117, 610-624 (1928).


3.2 Acoplamento spin-orbita posteriormente ao modelo de Bohr (3 Acoplamento spin-orbita)

A energia de interacao spin-orbita e dada por

∆Eso = −µs ·Borbital, (33)

onde µs e o momento magnetico devido ao spin, que e dado por

µs = −gs|e|

2mes = −gs

µB~

s. (34)

Substituindo-se as Eqs. (32) e (34) na Eq. (33), obtemos

∆Eso =gsµB~c2

s · (E × v). (35)

Se tivermos um campo central (i.e. um potencial V que dependa apenas de r), podemos escrever5:

E =1

e

r

r

dV

dr. (36)

Usando-se isto, a energia de interacao spin-orbita fica:

∆Eso =gsµB

~c2eme

(1

r

dV

dr

)s · (r× p), (37)

onde substituimos v = p/me. Lembrando que o momentum angular l e definido como r× p, temos:

∆Eso =gsµB

~c2eme

(1

r

dV

dr

)s · l. (38)

Este calculo de ∆Eso nao leva os efeitos relativısticos devidamente em consideracao. Em particu-lar, movemos a origem do nucleo para o eletron, o que nao e de fato permitido pois o eletron estaacelerando todo o tempo e, portanto, nao e um referencial inercial. A translacao para o refrencial giranteda origem a um efeito extra chamado precessao de Thomas que reduz a energia por uma fator de 2(veja Eisberg e Resnick, Apendice O). Levando-se a precessao de Thomas em conta, e relembrando queµB = e~/(2me), obtemos o resultado final:

∆Eso =gs2

1

2c2m2e

(1

r

dV

dr

)s · l. (39)

Este e o mesmo resultado fornecido pela equacao de Dirac, exceto que gs e exatamente igual a 2 na teoriade Dirac. A Eq. (39) mostra que o spin e o momentum angular estao intrinsecamente acoplados. Paraum simples campo Coulombiano tomamos gs = 2 e encontramos

∆Eso =Ze2

8πε0c2m2e

( 1

r3

)s · l. (40)

Podemos usar esta formulas para atomos hidrogenoides, enquanto que a Eq. (39) serve para atomos multi-eletronicos mais complicados, onde o potencial ira diferir da dependencia Coulombiana 1/r, devido arepulsao entre os eletrons.

5E facil verificar que isto funciona para um campo Coulombiano V = −Ze2/(4πε0r) e para E dado pela Eq. (30).


(4 Momentum angular orbital total)

Figura 4: (a) Modelo vetorial de um atomo. A interacao spin-orbita acopla l e s de modo a formar a resultante j. As magnitudes

dos vetores sao dadas por: |j| =√j(j + 1)~, |l| =

√l(l + 1)~, |s| =

√s(s+ 1)~. (b) Adicao vetorial de dois vetores

momentum angular A e B formando a resultante C.

4 Momentum angular orbital total

O momentum angular orbital e de spin do eletron acoplam-se atraves da interacao spin-orbita para formaruma resultante, conforme ilustrado6. na Fig. 4. O momentum angular resultante j e definido pela soma:

j = l + s. (41)

O momentum angular total j e descrito pelos numeros quanticos j e mj de acordo com as regras usuaispara momentos angulares, a saber

|j| =√j(j + 1)~, (42)

ejz = mj~, (43)

onde mj assume valores j, (j − 1), · · · ,−j.Podemos encontrar os valores que j assume aplicando as regras para a adicao de momentum

angulares. Suponhamos que C e a resultante de dois momentos angulares A e B como mostrado naFig. 4b, de modo que

C = A + B. (44)

Por simplicitade, supomos que |A| > |B|. (O argumento nao e afetado se |A| < |B|.) Definimos θcomo sendo o angulo entre os dois vetores, como mostrado na Fig. 4b.

Na fısica classica o angulo θ pode assumir qualquer valor de 0o a 180o. Portanto, |C| pode assumirqualquer valor entre |A|+ |B| e |A| − |B|. Entretanto isto nao acontece em mecanica quantica, pois oscomprimentos dos vetores momentum angular devem ser quantizados de acordo com

|A| =√A(A+ 1) ~,

|B| =√B(B + 1) ~,

|C| =√C(C + 1) ~, (45)

onde A,B e C sao os numeros quanticos. A regra e:

C pode assumir todos valores em passos inteiros de A+B ate |A−B|. (46)

Isto significa que θ pode assumir apenas valores especıficos, nao um contınuo de valores.

Ao aplicar-se esta regra para a resultante j definida na Eq. (41), estamos considerando um eletronunico com numero quantico orbital l e numero quantico de spin s = 1/2. Encontramos portanto quej = (l + 1/2) ou j = (l − 1/2), exceto quando l = 0, caso em que apenas podemos ter j = 1/2.

Eis aqui alguns exemplos adicionais da aplicacao da regra da Eq. (46)6Representacoes graficas do tipo mostrado na Fig. 4 sao chamadas modelos vetoriais. Iremos encontrar modelos vetoriais

novamente ao estudar o efeito Zeeman, na semana seguinte.


(5 Calculo da energia de spin-orbita para o hidrogenio)

• J = L + S, para L = 3, S = 1:L+ S = 4, |L− S| = 2, portanto J = 4, 3, 2.• L = l1 + l2, para l1 = 2, l2 = 0:l1 + l2 = 2, |l1 − l2| = 2, portanto L = 2.• S = s1 + s2, para s1 = 1/2, s2 = 1/2:s1 + s2 = 1, |s1 − s2| = 0, portanto S = 1, 0.• J = j1 + j2, para j1 = 5/2, j2 = 3/2:j1 + j2 = 4, |j1 − j2| = 1, portanto J = 4, 3, 2, 1.

5 Calculo da energia de spin-orbita para o hidrogenio

A magnitude da energia de spin-orbita pode ser calculada da Eq. (39) como

∆Eso =1

2c2m2e

⟨1

r

dV

dr

⟩〈s · l〉, (47)

onde tomamos g2 = 2, e, como e usual, a notacao 〈· · · 〉 indica o calculo de valores esperados:⟨1

r

dV

dr

⟩=

∫∫∫ψ∗nlm

(1

r

dV

dr

)ψnlmr

2 sin θdrdθdφ. (48)

A funcao (dV/dr)/r depende apenas de r, de modo que temos que calcular apenas a integral sobre r:⟨1

r

dV

dr

⟩=

∫ ∞0|Rnl(r)|2

(1

r

dV

dr

)r2dr, (49)

onde Rnl(r) e a funcao de onda radial. Esta integral pode ser calculada exatamente no caso do campoCoulombiano num atomo de hidrogenio onde (dV/dr)/r ∝ 1/r3, e as funcoes de onda radiais saoconhecidas exatamente (conforme vimos da revisao do atomo de hidrogenio; livro do Foot!). Neste caso,temos7 para l ≥ 1: ⟨1

r

dV

dr

⟩∝⟨ 1

r3

⟩=

Z3

a30n3l(l + 1

2)(l + 1). (50)

Isto mostra que podemos re-escrever a Eq. (47) na forma

∆Eso = Cnl〈s · l〉, (51)

onde Cnl e uma constante que depende apenas de n e l.

Para calcular 〈s · l〉 basta usarmos a Eq. (41) para ver que

j2 = (l + s)2 = l2 + s2 + 2 s · l. (52)

Isto implica termos

〈s · l〉 =⟨12(j2 − l2 − s2)

⟩=

~2

2

[j(j + 1)− l(l + 1)− s(s+ 1)

]. (53)

Portanto, encontramos∆Eso = C ′nl

[j(j + 1)− l(l + 1)− s(s+ 1)

], (54)

onde C ′nl = Cnl~2/2. Usando a Eq. (50) obtemos o resultado final para l ≥ 1:

∆Eso = −α2Z2

2n2En

n

l(l + 12)(l + 1)

[j(j + 1)− l(l + 1)− s(s+ 1)

], (55)

7Para detalhes destes calculos consulte o excelente livro de Hans A. Bethe e Edwin E. Salpeter, Quantum Mechanics ofOne- and Two-Electron Atoms, Dover Publications, 2008, reprint do original no Hanbuch der Physisk. Este livro e uma joiarara! Custa 14 dolares na AMAZON.


(6 Efeitos de spin-orbita em atomos com muitos eletrons)

onde α ≈ 1/137 e a constante de estrutura fina, e En = −RHZ2/n2 e igual a energia grossa. Para

estados com l = 0 ve-se da Eq. (47) que ∆Eso = 0.

O fato de j assumir valores de l + 1/2 ate l − 1/2 para l ≥ 1 significa que a interacao spin-orbita“esplita” (= levanta a degenerescencia) de dois estados j como o mesmo valor de l. Portanto esperamosque os estados eletronicos do hidrogenio com l ≥ 1 se separem em dubletes. Porem, a estrutura fina realdo hidrogenio e mais complicada por duas razoes:

Figura 5: Estrutura

fina do nıvel n = 2 do

atomo de hidrogenio.

1. Estados com mesmo n mas l diferentes sao degenerados.2. A interacao spin-orbita e pequena.

O primeiro item e uma propriedade geral de sistemas contendo apenas um eletron, e o segundo seguedo escalamento de ∆Eso/En com Z2. Uma consequencia do segundo item e que outros efeitos relati-vısticos que desprezamos ate aqui tem magnitude semelhante ao acoplamento spin-orbita. Em atomoscom valores de Z mais elevados o acoplamento spin-orbita e a correcao relativıstica dominante, e pode-mos desprezar os demais efeitos.

A estrutura fina do nıvel n = 2 no hidrogenio e illustrada na Fig. 5. A teoria relativıstica de Diracprediz que estados com o mesmo j sao degenerados. A degenerescencia dos dois estados j = 1/2 elevantada por um efeito da eletrodinamica quantica (QED) chamado de “deslocamento de Lamb” (Lambshift). As complicacoes da estrutura fina do hidrogenio devidas a outros efeitos relativisticos e efeitos daQED significam que o hidrogenio nao e um bom paradigma para se entender os efeitos de spin-orbita.Na verdade, os efeitos de spin-orbita sao bem mais simples de se entender nos alcalis [considerados maisadiante, na Seccao 9, pag. 13].

6 Efeitos de spin-orbita em atomos com muitos eletrons

O Hamiltoniano dum atomo com N eletrons com o acoplamento spin-orbita incluido pode ser escrito naforma

H = H0 + H1 + H2, (56)

onde

H0 =N∑i=1

(− ~2

2m∇2

i −Ze2

4πε0ri+ Vcentral(ri)

), (57)

H1 =N∑i>j

e2

4πε0|ri − rj |−

N∑i=1

Vcentral(ri), (58)

H2 =

N∑i=1

ξi`i · si. (59)


(7 Acoplamento LS)

Como vimos na semana anterior, H0 e o Hamiltoniano de campo central e H1 e o potencial eletrostaticoresidual. O termo H2 e a interacao de spin-orbita somada sobre os eletrons do atomo [veja Eq. (39),pag. 7].

No roteiro da semana anterior (“Modelo de camadas e o espectro de alcalinos”) desprezamosambos H1 e H2, concentrando-nos apenas em H0. Isto levou a conclusao de que cada eletron ocupaum estado numa camada definida pelos numeros quanticos (n, l,ml,ms). A energia destas camadasdepende majoritariamente em n e l. A razao de termos entao desprezado H1 e que as forcas nao-radiaisdevidas a repulsao eletron-eletron sao menores do que as forcas radiais, enquanto que H2 foi desprezadoporque os efeitos spin-orbita sao muito menores do que os efeitos principais no Hamiltoniano. Chegoua hora de estudar o que acontece quando estes dois termos, H1 e H2, sao ambos incluidos. Ao faze-lo,existem dois limites obvios8:• acoplamento LS: H1 � H2. Este limite ocorre principalmnete em atomos com Z pequenos e

medio.• acoplamento jj: H1 � H2. Este limite ocorre em alguns atomos com Z grande.

Comecamos considerando o limite mais comum, do acoplamento LS, deixando o acoplamento jj paradepois, na Seccao 11, pag. 16.

7 Acoplamento LS

No limite do acoplamento LS (tambem conhecido como acoplamento de Russell-Saunders), a intera-cao eletrostatica residual e muito mais forte que a interacao spin-orbita. Portanto, lidaremos primeira-mente com a interacao eletrostatica residual, considerando posteriormente a interacao spin-orbita comouma perturbacao. O regime de acoplamento LS vale para a maior parte dos atomos com numerosatomicos pequenos e medios.

Primeiramente discutimos algumas questoes de notacao. Necessitaremos distinguir entre os nu-meros quanticos que se referem aos eletrons individuais dentro dum atomo e aos do estado do atomocomo um todo. A convencao e a seguinte:• Numeros quanticos minusculos (j, l, s) referem-se a eletrons individuais dentro de atomos.• Numeros quanticos maiusculos (J, L, S) referem-se aos estados de momentum angular do atomo

todo.Para atomos com um unico eletron como o hidrogenio, nao ha diferencas. Entretanto, atomos multi-eletrons existe uma diferenca real porque precisamos distinguir entre estados de momentum angular doseletrons individuais e as resultantes que dao os estados de momento angular de todo atomo.

Podemos usar esta notacao para os estados de momentum angular o acoplamento LS produz. Ainteracao eletrostatica residual tem o efeito de acoplar o momentum angular orbital e de spin dos eletronsindividuais, de modo que a resultante e encontrada de acordo com:

L =∑i

li, (60)

S =∑i

si. (61)

Camadas preenchidas de eletrons nao possuem momentum angular resultante e, assim sendo, os so-matorios acima precisam ser feitos apenas sobre os eletrons de valencia. Em atomos com muitos eletrons,as regras de adicao para momentum angulares quanticos (Seccao 4, pag. 8), usualmente fornecem variosvalores para os numeros quanticos L e S para uma dada configuracao eletronica. Suas energias iraodiferir gracas a interacao eletrostatica residual. Os estados atomicos definidos pelos valores de L e S saochamados de termos.

8Em alguns atomos com valores medio-grandes de Z (e.g. germanio, Z = 32) encontramo-nos na situacao desconfortavelem que nenhum dos dois limites se aplica. Temos entao acoplamentos intermediarios cujo comportamente e bem mais difıcilde se descrever.


(7 Acoplamento LS)

Figura 6: Separacoes dos nıveis de energia para

a configuracao (3s, 3p) do magnesio no regime

de acoplamento LS.

Para cada termo atomico, podemos encontrar o momentum angular total do atomo todo via

J = L + S. (62)

Os valores de J , o numero quantico correspondente a J, sao encontrados de acordo com as regras damecanica quantica para a adicao de momentos angulares dadas (Seccao 4). Os nıveis dos diferentes Jcorrespondentes aos valores particulares deL e S terao energias diferentes devido a interacao spin-orbita.A interacao spin-orbita tem agora a forma

∆Eso ∝ −µatomos ·Batomo

orbital ∝ L · S, (63)

onde “atomo” indica que tomamos os valores resultantes para todo o atomo. Seguindo metodo analogoao da Seccao 5, encontramos que

∆Eso = CLS

[J(J + 1)− L(L+ 1)− S(S + 1)

]. (64)

Isto implica que os nıveis com mesmo L e S mas diferentes J estao separados por uma energia que eproporcional a J .

E conveniente introduzir uma notacao abreviada para rotular os nıveis de energia que ocorrem noregime de acoplamentoLS. Cada nıvel e rotulado pelos numeros quanticos J, L e S, sendo representadosna seguinte forma:

2S+1LJ . (65)

Os fatores (2S+1) e J aparecem como numeros, enquanto que L e representado por uma letra que seguea seguinte ordem (“historica”)• S para L = 0,• P para L = 1,• D para L = 2,• F para L = 3, etc

Assim, por exemplo, um termo 2P1/2 corresponde ao nıvel de energia com numeros quanticos S =1/2, L = 1, e J = 1/2, enquanto que 3D3 tem S = 1, L = 2 e J = 3. O fator (2S + 1) no cantosuperior esquerdo e chamado de multiplicidade. Ele indica a degenerescencia do nıvel devida ao spin:i.e. o numero de estados MS disponıveis. Se S = 0 a multiplicidade e 1, e os termos respectivos saochamados de singletes. Se S = 1/2, a multiplicidade e 2 e temos entao os dubletes. Se S = 1 temostripletes, etc.

A Fig. 6 ilustra os pontos principais que estivemos considerando nesta Seccao para a configuracaoeletronica (3s, 3p) do magnesio. Os detalhes dos nıveis de energia nao nos devem preocupar nesta


(9 Acoplamento spin-orbita em atomos alcalinos)

altura. O ponto principal e perceber o modo geral como os estados tem suas energias separadas a medidaque levamos interacoes adicionais em consideracao bem como a terminologia usada para designar taisestados.

8 Regras de selecao dipolares no limite LS

Quando consideramos transicoes de dipolo eletrico entre os estados dos atomos com muitos eletrons quetem acoplamento LS, um unico eletron pula de uma camada atomica para uma nova camada. As regrasque se aplicam a tal eletron sao as mesmas discutidas nas notas sobre “Transicoes radiativas”. Porem,precisamos pensar tambem no estado de momentum angular do atomo todo, conforme especificado pelosnumeros quanticos (L, S, J). As regras que emergem sao as seguintes:

1. A paridade da funcao de onda tem que mudar.2. ∆l = ±1 para um eletron que pula entre camadas.3. ∆L = 0,±1, porem L = 0→ 0 e proibida.4. ∆J = 0,±1, porem J = 0→ 0 e proibida.5. ∆S = 0.

A regra 1 e consequencia da paridade ımpar do operador momento de dipolo. A regra 2 aplica a regra deeletron unico ao eletron individual que faz o pulo na transicao, e a regra 3 aplica tal regra ao atomo todo9.A regra 4 segue do fato que o momentum angular total deve ser conservado na transicao, permitindo-nosescrever

Jinicial = Jfinal + Jfoton. (66)

O foton tem uma unidade de momentum angular e assim, aplicando as regras da Seccao 4, concluimosque ∆J = −1, 0 ou +1. Entretanto, a regra nao pode ser aplicada para transicoes ∆J = 0→ 0 pois naoe possıvel satisfazer a Eq. (66) nestas circunstancias. Finalmente, a regra 5 e uma consequencia do fatoque o foton nao interage com o spin10

9 Acoplamento spin-orbita em atomos alcalinos

Podemos aplicar o resultado na Eq. (64) aos metais alcalinos, que sao atomos quase um-eletron. Comapenas um eletron de valencia, a distincao entre acoplamento LS e jj e superflua. Se o eletron unicode valencia estiver na camada nl, temos L = l, S = s = 1/2 e J = j, onde j = l ± 1/2 para l ≥ 1 ej = 1/2 para l = 0.

O caso mais simples de se considerar e quando o eletron esta numa camada s. Entao teremosL = 0, S = 1/2 e J = 1/2, de modo que L ·S = 0. Portanto a energia spin-orbita dum eletron s e zero.

Consideremos agora o caso quando o eletron de valencia esta numa camada com l 6= 0. Temosentao L = l e S = 1/2, de modo que L · S 6= 0. J tem dois valores possıveis, a saber (L + 1/2) e(L− 1/2). A energia spin-orbita do estado J = L+ 1/2 e dada pela Eq. (64) como

∆Eso = C[(L+ 1

2)(L+ 32)− L(L+ 1)− 1

2 ·32

]= +CL, (67)

enquanto que para o nıvel J = L− 1/2 temos

∆Eso = C[(L− 1

2)(L+ 12)− L(L+ 1)− 1

2 ·32

]= −C(L+ 1). (68)

9Transicoes com ∆L = 0 sao obviamente proibidas em atomos com um eletron, pois L = l e l devem mudar. Entretanto,em atomos com mais de um eletron de valencia, e possıvel ter-se transicoes entre diferentes configuracoes que satisfacam aregra 2, mas tem o mesmo valor de L: e.g. 3p4p 3P1 → 3p4s 3P1.

10Transicoes com ∆S 6= 0 podem ser fracamente permitidas quando o acoplamento spin-orbita e forte, pois o spin estaraentao misturado com o movimento orbital.


(9 Acoplamento spin-orbita em atomos alcalinos)

Figura 7: Interacoes spin-

orbita em atomos alcalinos.

(a) A interacao spin-orbita

separa os estados nl num

dublete se l 6= 0. (b) Estru-

tura fina das linhas amarelas

D do sodio.

Elemento Z Estado fundam. 1o estado excit. Transicao ∆E (cm−1) ∆E/Z2

Lıtio 3 [He] 2s1 2p 2p→2s 0.33 0.03666Sodio 11 [Ne] 3s1 3p 3p→3s 17 0.14049Potassio 19 [Ar] 4s1 4p 4p→4s 58 0.16066Rubıdio 37 [Kr] 5s1 5p 5p→5s 238 0.17384Cesio 55 [Xe] 6s1 6p 6p→6s 554 0.18314

Tabela 1: Esplitamento spin-orbita ∆E das linhas D dos elementos alcalinos. O esplitamento de energia e igual a diferenca das

energias dos nıveis J = 3/2 e J = 1/2 do primeiro estado excitado.

Portanto, o termo definido pelos numeros quanticos n e l e separado (“esplitado”) pelo acoplamento spin-orbita em dois novos estados, como ilustrado na Fig. 7a. Isto da origem ao aparecimento de dubletes noespectro atomico. O mais conhecido destes, a saber o dublete amarelo da linha D do sodio, e discutidoabaixo. A magnitude da separacao e menor que a energia grossa por um fator ∼ α2 = 1/1372 =0.5 × 10−4, veja Eq. (55). E por esta razao que todos estes efeitos sao chamados de “estrutura fina”, αsendo entao chamada de “constante de estrutura fina”, como ja sabemos.

Exemplo: As linhas D do sodio

O sodio tem 11 eletrons, com um eletron de valencia na camada externa 3s, localizada fora das camadaspreenchidas 1s, 2s, e 2p. Ele pode portanto ser tratado como um sistema com um eletron, desde que noslembremos que isto e apenas uma aproximacao. Uma consequencia imediata e que os diferentes estadosl provenientes do mesmo n nao sao degenerados como o sao para o hidrogenio. As linhas D amarelasfortes do sodio correspondem a transicao 3p→ 3s.

E bem sabido que as linhas D sao na verdade um dublete, como mostrado na Fig. 7b. O dubleteaparece por causa do acoplamento spin-orbita. O estado fundamental e um nıvel 2S1/2 com esplitamentospin-orbita zero. O estado excitado e esplitado em dois nıveis provindos de diferentes valores de J paraL = 1 e S = 1/2, a saber os nıveis 2P3/2 e 2P1/2. As duas transicoes do dublete sao portanto:

2P3/2 →2 S1/2 (69)

e2P1/2 →2 S1/2. (70)

A diferenca de energia de 17 cm−1 entre eles vem do esplitamento spin-orbita dos dois estados J dotermo 2P.

Argumentos semelhantes podem ser aplicados aos outros alcalis. Os esplitamentos da energiaspin-orbita dos seus primeiros estados excitados estao tabulados na Tabela 1. Note que o esplitamentocresce com Z, e que o esplitamento da energia e aproximadamente proporciomal a Z2, como mostradona Fig. 8. Isto e um exemplo do fato que as interacoes spin-orbita geralmente crescem com o numeroatomico, de modo que o acoplamento spin-orbita e bem mais forte nos atomos mais pesados.


(10 Regras de Hund)

Figura 8: Esplitamento spin-orbita dos primeiros es-

tados excitados dos atomos alcalinos versus Z2, con-

forme determinado pelo esplitamento da estrutura fina

das linhas D. Veja Tabela 1.

10 Regras de Hund

Vimos acima que existem muitos termos no espectro de energia dum atomo com muitos eletrons. Destes,um deles tera a energia mais baixa, constituindo-se no estado fundamental. Todos os outros sao estadosexcitados. Cada atomo tem um estado fundamental unico, que e determinado minimizando a energia dosseus eletrons de valencia, incluindo as interacoes eletrostatica residual e spin-orbita. Em princıpio, este eum calculo bem complicado. Afortunadamente, entretanto, as regras de Hund nos permitem determinarqual nıvel e o estado fundamental sem calculos longos. As regras sao as seguintes:

1. Maximize o numero quantico MS =∑ms, e tome S = |MS |.

2. Maximize ML =∑ml sujeito a regra 1, e tome L = |ML|.

3. J = |L− S| se a camada estiver menos da metade cheia, caso contrario J = |L+ S|.A primeira destas regras nos diz basicamente que os eletrons tentam alinhar-se com seus spins paralelos.A causa disto e a interacao de troca (a ser vista mais adiante), que e a origem do ferromagnetismo. Noteque estas regras nao podem ser usadas para obter o ordenamento em energia dos estados excitados.

Vejamos o carbono, a tıtulo de exemplo. Carbono tem numero atomico Z = 10 com dois eletronsde valencia na camada mais externa 2p. Cada eletron tem portanto l = 1 e s = 1/2. Considereprimeiramente a configuracao (2p,np) do estado excitado com um eletron na camada 2p e outro nacamada np, com n ≥ 3. Pelas regras de adicao de momentum angular, podemos ter L igual a 0, 1 e 2, eS igual a 0 ou 1. Isto da origem a tres termos singletes,

1S0,1P1,

1D2,

e sete tripletes,3S1,

3P0,3P1,

3P2,3D1,

3D2,3D2.

Temos portanto um conjunto confuso de dez termos no espectro de energia para a configuracao (2p,np).

A situacao na configuracao (2p,2p) do estado fundamental e simplificada pelo fato que amboseletrons estao na mesma camada. O princıpio de exclusao de Pauli proibe a possibilidade de dois oumais eletrons terem o mesmo conjunto de numeros quanticos. Isto significa que apenas cinco dos deztermos listados acima sao admissıveis, a saber aqueles que tem L+ S igual a um numero par, isto e11:

1S0,1D2,

3P0,3P1,

3P2.

Podemos aplicar as regras de Hund para determinar qual destes estados e o estado fundamental. Os doiseletrons podem ir para seis possıveis sub-nıveis (ms, ml) da camada 2p.

11Nao existe explicacao simples do porque L+S deve ser par para eletrons equivalentes. A derivacao dos estados permitidospara a configuracao (np, np) dum atomo do grupo IV e considerada, por exemplo, por G.K. Woodgate, Elementary AtomicStructure, 2nd Edition, Oxford University Press, Oxford, 1980, Section 7.2.


(11 Acoplamento jj)

ml

ms −1 0 +1

+1/2 ↑ ↑−1/2

Tabela 2: Distribuicao dos dois eletrons de valencia do estado fundamental do carbono nos estados ms e ml da camada 2p.

Z Elemento Configuracao Estado fundamental1 H 1s1 2S1/2

2 He 1s2 1S0

3 Li 1s2 2s1 2S1/2

4 Be 1s2 2s2 1S0

5 B 1s2 2s2 2p1 2P1/2

6 C 1s2 2s2 2p2 3P0

7 N 1s2 2s2 2p3 4S3/2

8 O 1s2 2s2 2p4 3P2

9 F 1s2 2s2 2p5 2P3/2

10 Ne 1s2 2s2 2p6 1S0

11 Na 1s2 2s2 2p6 3s1 2S1/2

Tabela 3: Configuracoes eletronicas e termos do estado fundamental para os 11 primeiros elementos da Tabela Periodica.

1. Para obter o maior valor de MS devemos ter os spins de ambos eletrons alinhados com ms =+1/2. Isto fornece MS = 1 e, portanto, S = 1.

2. Tendo colocado ambos eletrons em estados com spin para cima, nao podemos coloca-los em esta-dos ml = +1 por causa do princıpio de exclusao de Pauli. O melhor que podemos fazer e colocarum num estado ml = 1 e o outro no estado ml = 0, como ilustrado na Tabela 2. Isto da ML = 1e, portanto, L = 1.

3. A camada esta menos da metade cheia, de modo que temos J = |L+ S| = 0.

O estado fundamental e portanto o termo 3P0. Todos os outros sao estados excitados.

Os termos do estado fundamental dos primeiros 11 elementos estao listados na Tabela 3. Note quecamadas cheias sempre dao termos 1S0, sem momentum angular lıquido: S = L = J = 0.

11 Acoplamento jj

A interacao spin-orbita aumenta quando Z cresce. Veja, por exemplo a Eq. (55). Isto significa que emalguns atomos com Z grande (e.g. estanho com Z = 50) podemos ter uma situacao na qual a interacaospin-orbita e muito mais forte que a interacao eletrostatica residual. Neste regime, ocorre o acoplamentojj. A interacao spin-orbita acopla primeiramente os momentos angulares de spin e orbital dos eletronsindividuais, determinando-se entao a resultante J para todo o atomo atraves da adicao dos ji individuais:

ji = li + si

J =

N∑i=1

ji. (71)

Estes estados J sao separados pelo fraco potencial eletrostatico residual que atua como uma perturbacao.


(12 Efeitos nucleares em atomos)

12 Efeitos nucleares em atomos

Na maior parte das vezes, em fısica atomica consideramos o nucleo como sendo uma partıcula carregadapesada localizada no centro do atomo. Entretanto, uma analise cuidadosa das linhas espectrais revelapequenos efeitos que podem nos fornecer informacao direta sobre o nucleo. Os efeitos principais quese podem observar caem geralmente em duas categorias, a saber deslocamentos isotopicos e estruturahiperfina.

12.1 Deslocamento isotopicoExistem dois processos principais que podem dar origem a deslocamentos isotopicos em atomos, a saber,efeitos de massa e efeitos de campo.

Efeitos de massa: A massa m que entra na equacao de Schrodinger e a massa reduzida, nao a massapura me do eletron. Mudancas na massa nuclear irao, portanto, provocar pequenas alteracoes em m e,consequentemente, nas energias atomicas.

Efeitos de campo: Eletrons em camadas s tem uma probabilidade finita de penetrar no nucleo e sao,portanto, sensıveis a distribuicao de carga.

Ambos efeitos causam pequenos deslocamentos nos comprimentos de onda das linhas espectraisdos diferentes isotopos dum mesmo elemento. O isotopo pesado do hidrogenio, o deuterio, foi descobertodeste modo, atraves do seu efeito de massa.

12.2 Estrutura hiperfinaEm espectroscopia de alta resolucao, e necessario considerar efeitos relacionados a interacao magneticaentre o momentum angular J do eletron e o spin nuclear I. O momentum angular dos eletrons cria umcampo magnetico proporcional a I no nucleo e que, portanto, tem um termo de energia de interacao daforma:

∆Ehiperfina = −µnucleo ·Beletron ∝ 〈I · J〉. (72)

Este termo da origem a esplitamentos hiperfinos nos termos atomicos. A magnitude dos esplitamentos emuito pequena porque o dipolo nuclear e da ordem de 2000 vezes menor que o dos eletrons. Isto e umaconsequencia da pequena razao giromagetica do nucleo, que e inversamente proporcional a sua massa.Veja a Eq. (4) na pag. 2. Os esplitamentos sao portanto tres ordens de magnitude menores do que osesplitamentos da estrutura fina: portanto o nome “hiperfino”.

Estados hiperfinos sao rotulados pelo momentum angular total F de todo o atomo (i.e. nucleo maisatomos), onde

F = I + J. (73)

Analogamente aos estados |LSJ〉 da estrutura fina, a regra de transicao para dipolo eletrico entre estadoshiperfinos e

∆F = 0,±1, (74)

com a excecao que transicoes F = 0 → 0 sao proibidas. Consideremos dois exemplos para ver comoisto funciona.

A linha de 21 cm do hidrogenio

Considere o estado fundamental do hidrogenio. O nucleo consiste de apenas um unico proton e, portanto,temos I = 1/2. O estado fundamental do hidrogenio e o termo 1s 2S1/2, que tem J = 1/2. Os spins doeletron e do nucleo podem ser alinhados em paralelo (F = 1) ou anti-paralelos (F = 0), com diferentesenergias hiperfinas. Estes dois nıveis hiperfinos estao separados por 0.0475 cm−1 (5.9× 10−6 eV). Veja


12.2 Estrutura hiperfina (12 Efeitos nucleares em atomos)

Figura 9: (a) Estrutura hiperfina do estado fundamental do hidrogenio. As flechas indicam as direcoes relativas dos spins do

eletron e do nucleo. (b) Transicoes hiperfinas para a linha D1 do sodio. (c) Transicoes hiperfinas para a linha D2 do sodio. Note

que os esplitamentos hiperfinos nao estao desenhados em escala. Os esplitamentos dos nıveis do sodio sao os seguintes: 2S1/2,

1772 MHz; 2P1/2, 190 MHz; 2P1/2(3→ 2), 59 MHz; 2P3/2(2→ 1), 34 MHz; 2P3/2(1→ 0), 16 MHz.

a Fig. 9a. Transicoes entre estes nıveis ocorrem em 1420 MHz (λ = 21 cm), e sao muito importantes emradio astronomia. Transicoes de radiofrequencia tais como estas sao tambem rotineiramente exploradasem espectroscopia de ressonancia nuclear magnetica (NMR).

Estrutura hiperfina das linhas D do sodio

As linhas D do sodio originam-se de transicoes 3p → 3s. Conforme discutido na Seccao 9, pag. 13,existem duas linhas com energias separadas pelo acoplamente spin-orbita, como indicado na Fig. 7b.

Considere primeiramente a linha D1 com energia mais baixa, que origina-se da transicao 2P1/2→2S1/2. O nucleo do sodio tem I = 3/2 e, portanto, temos estados F = 1 e F = 2 para ambos estados,superiores e inferiores, da transicao, como mostrado na Fig. 9b. Note que os esplitamentos nao estaodesenhados em escala, sendo 190 MHz e 1772 MHz para os nıveis superiores e inferiores, respectiva-mente. Todas as quatro transicoes sao permitidas pelas regras de selecao, e assim observamos quatrolinhas. Como os esplitamentos dos nıveis superior e inferior sao tao diferentes, obtemos dois dubletescom frequencias relativas de (0, 190) MHz e (1772, 1962) MHz. Estes esplitamentos devem ser com-parados com o esplitamento muito mais largo (∼ 5 × 1011 Hz) entre os dois estados J causado pelainteracao spin-orbita. Como os esplitamentos hiperfinos sao muito menores, nao sao rotineiramente ob-servados no espectro optico, e tecnicas especiais usando lasers de bandas estreitas sao usadas tipicamentehoje em dia para ve-los.

Considere agora a linha D2 mais alta, que e a transicao 2P3/2 → 2S1/2. Com I = 3/2 e J = 3/2,temos agora quatro estados hiperfinos para o nıvel superior com F = 3, 2, 1 ou 0, como mostrado naFig. 9c. Os esplitamentos entre estes estados nao sao os mesmos, e sao muito menores que os do nıvel2S1/2. Seis transicoes sao permitidas pelas regras de selecao. Temos portanto seis linhas hiperfinas, queesplitam-se em dois tripletes nas frequencias relativas de (0, 34, 59) MHz e (1756, 1772, 1806) MHz.


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Roteiro de estudos 01b