Rozklad mnohočlenů na součin

Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

Rozklad mnohočlenů na součin

Opakování znalostí o výrazech

Odvození rozkladných vzorců(vzorců pro rozklad výrazů na součin)

Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Radomír Macháň.

Opakování – algebraický výraz= předpis jedné nebo více matematických operací (sčítání, odčítání, násobení, dělení, umocňování…)

= předpis, který obsahuje blíže neurčené znaky (a; b; c; v; z1; z2; Q; m; t… – mohou to být konstanty či proměnné a nemusíme znát ani jejich hodnotu), čísla a matematické operátory (sčítání, odčítání, násobení, dělení, umocňování…)

cba cba ba 2

2

21 vzz

0ttm

Q

Výraz známe jako část

vzorce pro výpočet obvodu

trojúhelníku.

Připomínají Vám něco následující výrazy? Které matematické operace obsahují?


vzorce pro výpočet objemu kvádru.


vzorce pro výpočet obvodu čtverce.

Výraz je částí vzorce

pro výpočet obsahu

lichoběžníku.

Výraz je částí vzorce

pro výpočet měrné tepelné

kapacity.

Existují dva druhy výrazů podle toho, z čeho jsou sestaveny:1) Výrazy, v nichž se vyskytují jenom čísla: Číselné

výrazy

2) Výrazy, v nichž se vyskytují proměnné, které zastupují čísla z určité množiny:

Algebraické výrazy

7 : (6 – 3 . 2) – 2 . 35 . (4 – 3) – 6 : 3

4 . 2,5 – 6 + 22

x – 6 + 3x(x + 2) / 4

y2 – 6y + 9

Opakování – číselný a algebraický výraz

Mnohočlen = zvláštní typ výrazůMnohočleny obsahují pouze přirozené mocniny neznámých (jedné nebo více).

Opakování – mnohočleny

743 2 xx … Mnohočlen s jednou proměnnou

yxyx 25 222 … Mnohočlen dvou proměnných

24

32 x

x

222 xx

24

32 xx

… Není mnohočlen (x je ve jmenovateli, tzn. záporná mocnina x)… Není mnohočlen (obsahuje odmocninu z x, tzn. mocnina ve tvaru zlomku)… Je mnohočlen (sice obsahuje zlomek, ale bez neznámé ve jmenovateli)

Sčítat můžeme jen stejné členy se stejnou proměnnou a se stejným mocnitelem.To znamená čísla jen s čísly,

3 + 4 = 73x + 4x = 7x

3x2 + 4x2 = 7x2

proměnné jen s proměnnými, proměnné na druhou jen s proměnnými na

druhou atd.

(3x2 + 7x – 5) + (-2x2 – 4x + 1) =

Příklad:

3x2 + 7x – 5 – 2x2 – 4x + 1 =

= 3x2 – 2x2

x2 + 3x – 4 + 7x – 4x – 5 + 1 =

Opakování – sčítání mnohočlenů

Odečíst mnohočlen znamená přičíst mnohočlen k němu opačný.

K danému mnohočlenu utvoříme mnohočlen opačný, změníme-li znaménka všech jeho členů na opačná.

–2x2 – 4x + 1 2x2 + 4x – 1

Příklad:

(3x2 + 7x – 5) - (-2x2 – 4x + 1) =

3x2 + 7x – 5 + 2x2 + 4x - 1 =

= 3x2 + 2x2

5x2 + 11x – 6 + 7x + 4x – 5 - 1 =

Opakování – odčítání mnohočlenů

Každý člen prvního mnohočlenu násobíme s každým členem druhého mnohočlenu a výsledné členy pak sečteme.

(2x – 1)(2x2 – 4x + 1) =

= 4x3

Příklad:(3x2 + 7x – 5).(-2x2 – 4x + 1) == -6x4 - 12x3 + 3x2 - 14x3 - 28x2 + 7x + 10x2 + 20x - 5 = = -6x4 - 12x3 - 14x3 + 3x2 - 28x2 + 10x2 + 7x + 20x - 5 =

- 8x2

+ 2x

- 2x2

+ 4x

- 1

= -6x4 - 26x3 - 15x2 + 27x - 5

Opakování – násobení mnohočlenů

Obdobně jako v případě počítání s číselnými výrazy (zlomky), můžeme i v případě lomených výrazů s proměnnou, za dodržení podmínek krácení (tj. dělíme čitatele i jmenovatele stejným číslem, výrazem, mnohočlenem různým od nuly), krátit výrazy (mnohočleny) nad sebou a v případě součinu i do kříže.

Proto se naučíme rozkládat mnohočleny na součin.

Rozklad mnohočlenu na součin

56

21

87

73

8

3

2

2

64

22

xx

xx

xx

xx

322

12

x

x

32

1

0x;32 /x

Jako vždy nebudeme nikomu věřit a na základě znalostí, které již máme, si vzorce postupně odvodíme sami!

Rozklad mnohočlenu na součin – pomocí rozkladných vzorců

23x

Uprav daný výraz umocněním závorky:

Využijeme toho, co o umocňování víme.

Tzn. že druhou mocninu daného základu můžeme

zapsat i jako součin těchto základů.

33 xx

Pokračovat můžeme znalostmi o násobení

mnohočlenů. Tzn. tím, že každým členem

jednoho mnohočlenu vynásobíme každý člen mnohočlenu druhého.

9332 xxx

A na závěr ještě sečteme

„co se dá“.

962 xxTak ještě jednou obecněji:

2ba baba

22 bababa 22 2 baba

Tak jako vždy nebudeme nikomu věřit a vzorce si sami na základě znalostí, které již máme postupně odvodíme sami!


23x


33 xx

9332 xxx 962 xxTak ještě jednou obecněji:

2ba baba

22 bababa 22 2 baba

A máme první vzorec na světě:

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

Příklady na ujasnění:


25x

Uprav daný výraz již jen pomocí vzorce:

22 552 xx

25102 xx

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

a b a2 2ab

b2

22 552 xx

+ +



243x


22 44323 xx

16249 2 xx

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

a b a2 2ab

b2

222 44323 xx+ +



2223 x


2222 22323 xx

42 4129 xx

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

a b a22ab

b2

4222 22323 xx+ +

A dokud nám to jde, tak pokračujeme.


23x


Opět využijeme toho, co

o umocňování víme. Tzn. že druhou mocninu

daného základu můžeme zapsat i jako součin těchto základů.

33 xx

Pokračovat budeme znalostmi o násobení

mnohočlenů. Tzn. tím, že každým členem

jednoho mnohočlenu vynásobíme každý člen mnohočlenu druhého.

9332 xxx


„co se dá“.

962 xx

Tak ještě jednou obecněji:

2ba baba

22 bababa 22 2 baba

A dokud nám to jde, tak pokračujeme.


23x


33 xx

9332 xxx 962 xx


2ba baba

22 bababa 22 2 baba

A druhý vzorec je na světě:

(a – b)2 = a2 – 2ab + b2



21x


22 112 xx

122 xx

(a – b)2 = a2 – 2ab + b2

a b a2 2ab

b2

22 112 xx

– +



225x


22 22525 xx

42025 2 xx

(a – b)2 = a2 – 2ab + b2

a b a2 2ab

b2

222 22525 xx– +



223yx


2222 332 yyxx

422 96 yxyx

(a – b)2 = a2 – 2ab + b2

a b a2 2ab

b2

4222 332 yxyx– +

A když nám to tak krásně jde, pokusíme se do třetice všeho dobrého ještě o jeden vzorec.


Uprav:

33 xx

I nyní využijeme znalostí o násobení mnohočlenů.

Tzn. toho, že každým členem jednoho

mnohočlenu vynásobíme každý člen mnohočlenu

druhého.

9332 xxx


„co se dá“.

92 x


baba

22 bababa 22 ba

A když nám to tak krásně jde, pokusíme se do třetice všeho dobrého, ještě o jeden vzorec.


Uprav:

33 xx

9332 xxx 92 x


baba

22 bababa 22 ba

A třetí vzorec je už také na světě:

(a + b).(a – b) = a2 – b2



22 2x


42 x

(a + b).(a – b) = a2 – b2

a2 b2

22 xxa b a b+ –

–



221 x


21 x

(a + b).(a – b) = a2 – b2

a2 b2

xx 11a b a b+ –

–



22 259 yx


2222 53 yx

yxyx 5353

(a + b).(a – b) = a2 – b2

a2 b2

22 53 yxa b a b+ –

–

Všechny tři vzorce však budeme mnohem častěji používat obráceně, tzn. tak, abychom pomocí nich rozkládali dané mnohočleny na součin.

Rozkladné vzorce

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a – b)2 = a2 – 2ab + b2

(a + b).(a – b) = a2 – b2

a2 + 2ab + b2 = (a + b)2

a2 – 2ab + b2 = (a – b)2

a2 – b2 = (a + b).(a – b)

To ale až zase příští hodinu!

Všechny uveřejněné odkazy [cit. 2010–25–06]. Dostupné pod licencí Creative Commons na http://www.clker.com.

Použité obrázky:

Obrázek na pozadí:[cit. 2010-10-19]. Dostupný pod licencí Public domain na www:<http://www.clker.com/clipart-blackboard.html>

Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Radomír Macháň.

Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR.Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

http://www.clker.com/




http://www.clker.com/clipart-blackboard.html










Documents

Rozklad mnohočlenů na součin