Rozměrová analýza

Semestrální práce z předmětu KMA/MM

Richard Jílek

Rozměrová analýzaHlavní funkce rozměrové analýzy jsou:

určení počtu a tvaru bezrozměrových kritérií podobnosti

  snížení počtu nezávisle proměnných při experimentu,

zjednodušení řešení a zobecnění jeho výsledků

  převod základní soustavy jednotek měření

  převedení fyzikálních veličin do jiné základní soustavy jednotek

měření

  získání funkčních závislostí zejména v těch případech, kdy

nejsou řešiteli známy bližší informace o fyzikální podstatě zkoumaného jevu a není znám úplný matematický popis jevu.

Rozměrová analýzaVeličiny a jednotky: Základní a doplňkové veličiny a jednotky v soustavě SI

Rozměrová analýzaRozměrová matice: Základním kamenem v rozměrové analýze

Rozměrová analýza Rozměrové matice A:

Například: a21 značí exponent u základního rozměrového symbolu Y2 proměnné x1. Některé z exponentů aij mohou být nulové.

Rozměrová analýzaKritéria podobnosti: Výsledkem rozměrové analýzy jsou definice

bezrozměrných veličin tj. kritérií podobnosti. Jednoduchá a složená kritéria podobnosti se

souhrnně označují jako Π.

Rozměrová analýza Po dosazení předchozích výrazů do výrazu pro

libovolnou proměnnou

Splněno pouze tehdy když

Rozměrová analýzaPí teorém:

Počet bezrozměrových proměnných vystupujících ve zkoumaném fyzikálním procesu se určuje podle Pí teorému

Pí teorém představuje základní teorém podobnosti a modelování, vyjadřující v podstatě proces zhušťování a zobecňování modelové informace.

Rozměrová analýza Počet bezrozměrových složených kritérií (kk) je roven

rozdílu všech rozměrově rozdílných veličin (n) působících v procesu a počtu základních a doplňkových rozměrů (r).

Jsou-li v souboru působících veličin veličiny rozměrově stejné, pak počet (ks) jednoduchých kritérií se rovná rozdílu celkového počtu (N) působících veličin a počtu (n) veličin s rozdílnými rozměry.

Rozměrová analýza Popis zkoumaného procesu lze tudíž provést místo N

proměnnými rozměrovými veličinami n–r bezrozměrovými složenými kritérii π a N–n jednoduchými kritérii P ve tvaru rovnice

Pomocí Pí teorému lze určit počet jednoduchých a složených kritérií podobnosti. Tvar kritérií podobnosti se pak získá některou ze tří metod zobecněných proměnných – rozměrovou analýzou, analýzou fyzikálního modelu a analýzou matematického modelu.

Rozměrová analýzaUrčení tvaru bezrozměrových kriterií: Cílem je převést určitým způsobem původní rozměrovou

matici A na matici řešení B, z níž se přímo určí jednotlivá kritéria podobnosti.

1. Sestaví se rozměrová matice A

AS je submatice směrodatných veličin, AZ je zbytková submatice

Rozměrová analýza 2. Veličiny v rozměrové matici by měly být

uspořádány podle určitých pravidel 3. Ověří se regulárnost zbytkové submatice

4. Vytvoří se matice transponované(AS )T a (AZ )T, vypočítá se inverzní matice s vytvoří se matice B1

Rozměrová analýza 5. Vytvoří se matice řešení B

6. Z matice řešení B se určí přímo jednotlivá kritéria podobnosti Πi

Rozměrová analýza Příklad - Kmitání nosníku v proudícím vzduchu

Rozměrová analýza Sestaví se rozměrová A matice a zjistí se

regulárnost této matice a sestaví se matice B1

Rozměrová analýza Sestaví se matice řešení B

Rozměrová analýza Bezrozměrová kritérii a podobnosti lze určit přímo z matice řešení

Aeroelastický proces kmitání nosníku vlivem proudění vzduchu je popsán v bezrozměrovém tvaru rovnicí s pěti kritérii podobnosti

Rozměrová analýza Určení funkčních závislostí: Další z hlavních použití rozměrové analýzy v experimentální technice

je při určování funkčních závislostí mezi rozměrovými veličinami Zkoumaný fyzikální proces je obecně vyjádřen rozměrovými

fyzikálními veličinami ve tvaru funkční závislosti rozměrových veličin

Po získání kritérií podobnosti lze tuto rovnici nahradit ekvivalentním vztahem, tzv. funkční závislostí kritérií podobnosti neboli kriteriální rovnicí

Při určování funkčních závislostí běžným postupem se používá Rayleighovy algebraické metody rozměrového vyjádření veličin.

Princip metody spočívá v sestavení funkční závislosti v klasickém součinovém tvaru, kde mocniny rozměrových veličin jsou neznámé hledané parametry.

Rozměrová analýzaPříklad - Šíření tlakové vlny (G. I. Taylor, 1947) Při jaderném výbuchu se uvolní velké množství energie ve

velmi malém prostoru a velmi malém čase. Následkem toho je kulová rázová tlaková vlna.

Úkolem je určit funkční závislost poloměru této rázové vlny na čase od uvolnění energie. Po využití experimentálních dat je možné též určit energii jaderného výbuchu.

Působícími veličinami jsou:   E(J = m2.kg.s-2) – uvolněná energie r(m) – poloměr rázové vlny t(s) – čas ρo(kg.m-3) – počáteční hustota vzduchu

Rozměrová analýza Funkční závislost bude ve tvaru

, kde k  je konstanta, a, b, c jsou hledané parametry funkčního vztahu. Po dosazení rozměrových symbolů za rozměry všech rozměrových veličin se dostává rovnice

Důsledkem principu rozměrové homogennosti rovnic se dostává soustava rovnic

Rozměrová analýza Řešením soustavy rovnic

, kde se konstanta k určuje experimentálně. Podle dostupných experimentálních dat vychází pro vzduch hodnota řádově kolem jedné (G. I. Taylor).

Zlogaritmováním předešlé rovnice se dostává

Rozměrová analýza Nyní je na řadě zpracování experimentálních dat – kulová

rázová vlna při výbuchu jaderné bomby. Na čtyřech obrázcích jsou zobrazeny velikost rázové vlny pro časy 0,006 s; 0,016 s; 0,053 s; 0,100 s.

Rozměrová analýza Analýzou experimentálních dat lze sestrojit závislost logaritmu

poloměru kulové plochy na logaritmu času od výbuchu.

Rozměrová analýza Srovnáním zlogaritmované rovnice a nalezené

rovnice přímky lze přibližně napsat

Stačí dosadit správnou hodnotu hustoty vzduchu (nadmořská výška, vlhkost vzduchu) a je možné spočítat uvolněnou energii při výbuchu, která souhlasí s oficiálně uváděnou hodnotou.

Rozměrová analýzaZávěr

Představení rozměrové analýzy

Použití rozměrové analýzy

Dobrý nástroj na tvorbu funkčních závislostí určitých fyzikálních problémů, který je velmi často využíván při počítačovém modelování

Rozměrová analýza

Děkujiza Vaši

pozornost