České vysoké učení technické v Praze, Fakulta stavební

Rozvojové projekty Ministerstva školství, mládeže a tělovýchovy ČRRozvojové projekty mladých týmů – RPMT 2014

Projekt:Využití pokročilého modelování konstrukcí v magisterském studiu

Hlavní řešitel: Ing. Michal Jandera, Ph.D.Katedra ocelových a dřevěných konstrukcí

Výstup: Numerická analýza v programu ATENA

Numerická simulace chování ohýbaného nosníku s ozubemVýstup: Numerická simulace chování ohýbaného nosníku s ozubem

Vypracoval: Ing. Josef Fládr Katedra betonových a zděných konstrukcí Praha 2014

Vypracoval: Ing. Josef FládrKatedra betonových a zděných konstrukcíPraha, 2014

Obsah

Obsah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Princip metody konečných prvků - MKP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Řešení nosníku z ozubem pomocí MKP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.1 Nevyztužená varianta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2 Vyztužená varianta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 Závěr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5Reference . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2

1 Princip metody konečných prvků - MKP

MKP je numerická metoda pro řešení rozsáhlých inženýrských problémů. Princip tétometody vznikl v polovině 50. let minulého stolení. Dlouhou dobu nebyla tato metodavyužívána z důvodu své náročnosti na řešení, s dynamickým rozvojem výpočetní technikyv posledních letech se stala tato metoda opět aktuální. Dnes je její potenciál naplnovyužíván napříč technickými obory.

Při řešení problémů metodou MKP je celá problematika převedena na konečný početmalých prvků, které mají dané rozměry, což je rozdíl od infinitesimálního pohledu klasicképružnosti, která vychází z představy rovnováhy na nekonečně malém elementu. Pro každýtyp prvku je kromě dimenze a tvaru charakteristický počet a poloha jeho uzlů (Obr. 1).Uzly sítě jsou body, v nichž hledáme neznámé parametry řešení (např. posuny a natočení,z kterých dále počítáme napětí atd.). Hustota a topologie prvků sítě zásadně ovlivňujekvalitu výsledků a potřebnou kapacitu pro řešení.

1. Princip metody konečných prvků – MKP MKP je numerická metoda pro řešení rozsáhlých inženýrských problémů. Princip této metody vznikl v polovině 50. let minulého stolení. Dlouhou dobu nebyla tato metoda využívána z důvodu své náročnosti na řešení, s dynamickým rozvojem výpočetní techniky v posledních letech se stala tato metoda opět aktuální. Dnes je její potenciál naplno využíván napříč technickými obory. Při řešení problémů metodou MKP je celá problematika převedena na konečný počet malých prvků, které mají dané rozměry, což je rozdíl od infinitesimálního pohledu klasické pružnosti, která vychází z představy rovnováhy na nekonečně malém elementu. Pro každý typ prvku je kromě dimenze a tvaru charakteristický počet a poloha jeho uzlů (Obr 1). Uzly sítě jsou body, v nichž hledáme neznámé parametry řešení (např. posuny a natočení, z kterých dále počítáme napětí atd.). Hustota a topologie prvků sítě zásadně ovlivňuje kvalitu výsledků a potřebnou kapacitu pro řešení.

Obr. 1: Ukázka možných tvarů prvků

Nevýhodou MKP je, že dostáváme závislost mezi vstupními a výstupními veličinami jen v konečném počtu bodů, proto v případě jakýkoliv změn vstupních parametrů, je nutné řešit celou úlohu znova. Při řešení úlohy analytickou metodou je závislost mezi vstupními a výstupními parametry dána v nekonečně mnoha bodech, bohužel touto metodou lze řešit pouze elementární tělesa, které se vyskytují spíše ve školních případech a nikoliv v inženýrské praxi. Přesnost metody MKP tedy závisí na velikosti základních prvků, se zmenšující se velikostí základních prvků roste přesnost řešení, ale kvadraticky narůstá čas pro výpočet řešení a nároky na výpočetní techniku. Po rozdělení konstrukce na konečný počet základních prvků je nutné popsat matematický vztah mezi vstupními a výstupními parametry. Neznámé funkce představují spojité řešení problému, a pak hledáme přibližné řešení ve formě lineárních rovnic předem vhodně zvolených funkcí (tzv. bázových funkcí) a neznámých parametrů řešení (např. posuny). Ze získaných deformací jsme zpětně schopni stanovit přetvoření a na základně vlastností materiálového modelu vyhodnotit napětí ve zkoumaném tělese. Z geometrie zkoumaného tělesa a napětí lze ještě stanovit vnitřní síly, ale ty již nejsou tak zajímavé, jako hodnoty napětí. Algoritmus MKP vede tedy k řešení rozsáhlých soustav lineárních algebraických rovnic, které je třeba řešit v každém kroku. Z výše uvedených důvodů vyplývá, že při řešení rozsáhlých úloh je vhodné optimalizovat síť konečných prvků, tuto činnost může provádět sám zadavatel, který pomocí inženýrského citu nechá zahustit síť bodů v místech, kde je nutné získat přesnější hodnoty. Algoritmy pro optimalizaci sítě jsou integrovány i do některých výpočetních programů využívající MKP, jako je např. Atena, Ansys, atd.

Obr. 1: Ukázka možných tvarů prvků

Nevýhodou MKP je, že dostáváme závislost mezi vstupními a výstupními veličinamijen v konečném počtu bodů, proto v případě jakýkoliv změn vstupních parametrů, je nutnéřešit celou úlohu znova. Při řešení úlohy analytickou metodou je závislost mezi vstupnímia výstupními parametry dána v nekonečně mnoha bodech, bohužel touto metodou lzeřešit pouze elementární tělesa, které se vyskytují spíše ve školních případech a nikolivv inženýrské praxi.

Přesnost metody MKP tedy závisí na velikosti základních prvků, se zmenšující sevelikostí základních prvků roste přesnost řešení, ale kvadraticky narůstá čas pro výpočetřešení a nároky na výpočetní techniku.

Po rozdělení konstrukce na konečný počet základních prvků je nutné popsat matema-tický vztah mezi vstupními a výstupními parametry. Neznámé funkce představují spojitéřešení problému, a pak hledáme přibližné řešení ve formě lineárních rovnic předem vhodnězvolených funkcí (tzv. bázových funkcí) a neznámých parametrů řešení (např. posuny).Ze získaných deformací jsme zpětně schopni stanovit přetvoření a na základně vlastnostímateriálového modelu vyhodnotit napětí ve zkoumaném tělese. Z geometrie zkoumanéhotělesa a napětí lze ještě stanovit vnitřní síly, ale ty již nejsou tak zajímavé, jako hodnotynapětí. Algoritmus MKP vede tedy k řešení rozsáhlých soustav lineárních algebraickýchrovnic, které je třeba řešit v každém kroku.

Z výše uvedených důvodů vyplývá, že při řešení rozsáhlých úloh je vhodné optimali-zovat síť konečných prvků, tuto činnost může provádět sám zadavatel, který pomocí inže-nýrského citu nechá zahustit síť bodů v místech, kde je nutné získat přesnější hodnoty.Algoritmy pro optimalizaci sítě jsou integrovány i do některých výpočetních programůvyužívající MKP, jako je např. Atena, Ansys, atd. [1, 2].

3

2 Řešení nosníku z ozubem pomocí MKP

Předmětem úlohy bylo řešení nosníků stejného tvaru (Obr. 2), jaký byl ukázán v předchozíúloze pomocí metody příhradové analogie.

2. Řešení nosníku z ozubem pomocí MKP Předmětem úlohy bylo řešení nosníků stejného tvaru (Obr. 2), jaký byl ukázán v předchozí úloze pomocí metody příhradové analogie.

Obr. 2: Ukázka geometrie nosníku

Rozdíl mezi oběma metodami řešení byl kromě výpočetní metody, také v jeho účelu. Metoda příhradové analogie měla čtenáři ukázat, jak vyřešit běžný případ této úlohy, tzn. nosník o známé geometrie je zatížen známou silou a je nutné nadimenzovat výztuž tak, aby byla splněna podmínka mezních stavů. Řešení pomocí MKP má čtenáře seznámit s chováním nosníku během postupného přitěžování, proto celá konstrukce nebyla zatížena silou o dané hodnotě, ale definovaným posunem, který se v každém výpočtovém kroku zvětšil. Tímto řešením bylo získáno chování konstrukce od počátku řešení, až do jejího zlomení. Pro názornost byla celá konstrukce modelována ve dvou variantách a to pro vyztuženou a nevyztuženou variantu konstrukce. Pro zkrácení doby výpočtu byla vždy počítána pouze jedna polovina nosníku, protože se jedná o osově symetrickou úlohu, je napětí na druhé straně nosníku stejné. Pro dosažení stejného chování s reálnou konstrukcí byla v místě rozdělení nosníku modelována přechodová oblast, která by zajistila přenos sil do druhé části.

2.1. Nevyztužená varianta Nevyztužená varianta simuluje chování nosníku při špatném návrhu výztuže v místě ozubu. Jak je patrné při určité hodnotě zatížení konstrukce (v našem případě průhybu, který je možné pomocí lineární mechaniky přepočítat na konkrétní zatěžovací sílu) dojde ke vzniku trhliny v místě změny průřezu. Tato skutečnost je zobrazena na Obr.4.

Obr. 2: Ukázka geometrie nosníku

Rozdíl mezi oběma metodami řešení byl kromě výpočetní metody, také v jeho účelu.Metoda příhradové analogie měla čtenáři ukázat, jak vyřešit běžný případ této úlohy, tzn.nosník o známé geometrie je zatížen známou silou a je nutné nadimenzovat výztuž tak,aby byla splněna podmínka mezních stavů. Řešení pomocí MKP má čtenáře seznámits chováním nosníku během postupného přitěžování, proto celá konstrukce nebyla zatíženasilou o dané hodnotě, ale definovaným posunem, který se v každém výpočtovém krokuzvětšil. Tímto řešením bylo získáno chování konstrukce od počátku řešení, až do jejíhozlomení. Pro názornost byla celá konstrukce modelována ve dvou variantách a to provyztuženou a nevyztuženou variantu konstrukce.

Pro zkrácení doby výpočtu byla vždy počítána pouze jedna polovina nosníku, protožese jedná o osově symetrickou úlohu, je napětí na druhé straně nosníku stejné. Pro do-sažení stejného chování s reálnou konstrukcí byla v místě rozdělení nosníku modelovánapřechodová oblast, která by zajistila přenos sil do druhé části.

2.1 Nevyztužená varianta

Nevyztužená varianta simuluje chování nosníku při špatném návrhu výztuže v místěozubu. Jak je patrné při určité hodnotě zatížení konstrukce (v našem případě průhybu,který je možné pomocí lineární mechaniky přepočítat na konkrétní zatěžovací sílu) dojdeke vzniku trhliny v místě změny průřezu. Tato skutečnost je zobrazena na Obr. 3–4.

Průběh celého zatěžování nosníku bez výztuže si můžete prohlédnout na videu.

2.2 Vyztužená varianta

Vyztužená varianta simuluje chování nosníku, který má dostatečně nadimenzovanou vý-ztuž v místě ozubu a z jeho chování je dobře patrno, že takto navržený nosník se již chovájako nosník s konstantním průřezem po celé délce, tedy nejslabší místo nosníku není vmístě změny průřezu, ale je to klasicky uprostřed rozpětí a nejslabším článkem je hlavníohybová výztuž, případně drcení betonu v horní části průřezu. Na Obr. 5 je opět vidětprůběh napětí v nosníku zatíženého pouze vlastní tíhou, jak si mohou pozorní čtenářipovšimnout na legendě, změnila se i hodnota napětí v dané konstrukci.

4

Obr. 3: Průběh napětí v nosníku bez výztuže před zatěžováním (zatížen pouze vlastní tíhou)

Obr. 4: Průběh napětí v nosníku po vzniku makrotrhliny

Průběh celého zatěžování nosníku bez výztuže si můžete prohlédnout na videu ZDE (*.avi – 534 kB)

2.2. Vyztužená varianta Vyztužená varianta simuluje chování nosníku, který má dostatečně nadimenzovanou výztuž v místě ozubu a z jeho chování je dobře patrno, že takto navržený nosník se již chová jako nosník s konstantním průřezem po celé délce, tedy nejslabší místo nosníku není v místě změny průřezu, ale je to klasicky uprostřed rozpětí a nejslabším článkem je hlavní ohybová výztuž, případně drcení betonu v horní části průřezu. Na Obr. 5 je opět vidět průběh napětí v nosníku zatíženého pouze vlastní tíhou, jak si mohou pozorní čtenáři povšimnout na legendě, změnila se i hodnota napětí v dané konstrukci.

Obr. 3: Průběh napětí v nosníku bez výztuže před zatěžováním (zatížen pouze vlastnítíhou)

Obr. 3: Průběh napětí v nosníku bez výztuže před zatěžováním (zatížen pouze vlastní tíhou)

Obr. 4: Průběh napětí v nosníku po vzniku makrotrhliny

Průběh celého zatěžování nosníku bez výztuže si můžete prohlédnout na videu ZDE (*.avi – 534 kB)

2.2. Vyztužená varianta Vyztužená varianta simuluje chování nosníku, který má dostatečně nadimenzovanou výztuž v místě ozubu a z jeho chování je dobře patrno, že takto navržený nosník se již chová jako nosník s konstantním průřezem po celé délce, tedy nejslabší místo nosníku není v místě změny průřezu, ale je to klasicky uprostřed rozpětí a nejslabším článkem je hlavní ohybová výztuž, případně drcení betonu v horní části průřezu. Na Obr. 5 je opět vidět průběh napětí v nosníku zatíženého pouze vlastní tíhou, jak si mohou pozorní čtenáři povšimnout na legendě, změnila se i hodnota napětí v dané konstrukci.

Obr. 4: Průběh napětí v nosníku po vzniku makrotrhliny

Při zatěžování dochází ke vzniku typických ohybových trhlin, které po přetržení ohy-bové výztuže vedou ke kolapsu celé konstrukce (Obr. 6–8). Zde je nutné si ještě uvědomit,že program Atena neumí při výpočtu odstranit některé prvky z výpočtu, proto i po pře-tržení výztuže se výztuž jeví jako spojitá, ale některé prvky vykazují již nulové napětí,což jsou právě prvky, ve kterých došlo k přetržení.

Průběh celého zatěžování nosníku s výztuží si můžete prohlédnout na videu.Průběh celého chování výztuže si můžete prohlédnout na videu.

3 Závěr

Byl proveden výpočet napětí pomocí MKP v nosníku s ozubem. Z důvodu zkrácenívýpočetního času byla modelována pouze jedna polovina nosníku, protože se jedná oosově symetrickou konstrukci. Zatěžování bylo prováděno pomocí postupného zvětšováníprůhybu v místě, kde by byl nosník zatížen silou. Tento přístup byl zvolen, aby bylo

5

Obr. 5: Průběh napětí v nosníku s výztuží před zatěžováním (zatížen pouze vlastní tíhou)

Obr. 6: Průběh napětí ve výztuži před zatěžováním nosníku (zatížen pouze vlastní tíhou)

Při zatěžování dochází ke vzniku typických ohybových trhlin, které po přetržení ohybové výztuže vedou ke kolapsu celé konstrukce. Zde je nutné si ještě uvědomit, že program Atena neumí při výpočtu odstranit některé prvky z výpočtu, proto i po přetržení výztuže se výztuž jeví jako spojitá, ale některé prvky vykazují již nulové napětí, což jsou právě prvky, ve kterých došlo k přetržení.

Obr. 5: Průběh napětí v nosníku s výztuží před zatěžováním (zatížen pouze vlastní tíhou)

Obr. 5: Průběh napětí v nosníku s výztuží před zatěžováním (zatížen pouze vlastní tíhou)

Obr. 6: Průběh napětí ve výztuži před zatěžováním nosníku (zatížen pouze vlastní tíhou)

Při zatěžování dochází ke vzniku typických ohybových trhlin, které po přetržení ohybové výztuže vedou ke kolapsu celé konstrukce. Zde je nutné si ještě uvědomit, že program Atena neumí při výpočtu odstranit některé prvky z výpočtu, proto i po přetržení výztuže se výztuž jeví jako spojitá, ale některé prvky vykazují již nulové napětí, což jsou právě prvky, ve kterých došlo k přetržení.

Obr. 6: Průběh napětí ve výztuži před zatěžováním nosníku (zatížen pouze vlastní tíhou)

možné zhodnotit chování nosníku od počátku zatěžování až po jeho kolaps, což by zatěžo-vání konkrétní silou neumožňovalo. Celá úloha byla provedena ve dvou variantách (bezvýztuže a s výztuží). Varianta bez výztuže ukazuje na porušení nosníku, kde byla výztužozubu podceněna, tudíž dochází v místě přechodu průřezu k porušení. V druhé variantě svýztuží je vidět, že dobře navržená výztuž v místě ozubu není nejslabším místem nosníkua nosník se chová, jako by byl konstantního průřezu.

6

Obr. 7: Průběh napětí v nosníku po vzniku makrotrhliny

Obr. 7: Průběh napětí ve výztuži při vzniku makrotrhlin

Průběh celého zatěžování nosníku s výztuží si můžete prohlédnout na videu ZDE (*.avi – 524 kB) Průběh celého chování výztuže si můžete prohlédnout na videu ZDE (*.avi – 169 kB)

3. Závěr Byl proveden výpočet napětí pomocí MKP v nosníku s ozubem. Z důvodu zkrácení výpočetního času byla modelována pouze jedna polovina nosníku, protože se jedná o osově symetrickou konstrukci. Zatěžování bylo prováděno pomocí postupného zvětšování průhybu v místě, kde by byl nosník zatížen silou. Tento přístup byl zvolen, aby bylo možné zhodnotit chování nosníku od počátku zatěžování až po jeho kolaps, což by zatěžování konkrétní silou neumožňovalo. Celá úloha byla provedena ve dvou variantách (bez výztuže a s výztuží). Varianta bez výztuže ukazuje na porušení nosníku, kde byla výztuž ozubu podceněna, tudíž dochází v místě přechodu průřezu k porušení.

Obr. 7: Průběh napětí v nosníku po vzniku makrotrhliny

Obr. 7: Průběh napětí v nosníku po vzniku makrotrhliny

Obr. 7: Průběh napětí ve výztuži při vzniku makrotrhlin

Průběh celého zatěžování nosníku s výztuží si můžete prohlédnout na videu ZDE (*.avi – 524 kB) Průběh celého chování výztuže si můžete prohlédnout na videu ZDE (*.avi – 169 kB)

3. Závěr Byl proveden výpočet napětí pomocí MKP v nosníku s ozubem. Z důvodu zkrácení výpočetního času byla modelována pouze jedna polovina nosníku, protože se jedná o osově symetrickou konstrukci. Zatěžování bylo prováděno pomocí postupného zvětšování průhybu v místě, kde by byl nosník zatížen silou. Tento přístup byl zvolen, aby bylo možné zhodnotit chování nosníku od počátku zatěžování až po jeho kolaps, což by zatěžování konkrétní silou neumožňovalo. Celá úloha byla provedena ve dvou variantách (bez výztuže a s výztuží). Varianta bez výztuže ukazuje na porušení nosníku, kde byla výztuž ozubu podceněna, tudíž dochází v místě přechodu průřezu k porušení.

Obr. 8: Průběh napětí ve výztuži při vzniku makrotrhlin

7

Reference

[1] Červenka, V.; Jendele, L.: ATENA Theory manual. Červenka Consulting, Praha, 2014.

[2] Vrbka, M.; Veverka, M.: Ansys - metoda konečných prvků. Ústav konstruování, VUTBrno.

8