Rozwiązanie ramy płaskiej metodą sił i obliczenie przemieszczeń

METODA SI - przykad 2-siy, zmiany temperatury, przemieszczenia podpr i bdy montau 26-03-09

http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski 1

ROZWIZANIE RAMY PASKIEJ METOD SI I OBLICZENIE PRZEMIESZCZE

1 DANE WYJCIOWE Dana jest rama jak na rysunku.

3,00

m

q=5,

00kN

/m

P=20,00kNM=15,00 kNmi

k1= 0.5EIm3

k 2=

1E

Im

2,00m 2,00m2,00m 2,00m2,00m

1

2-30oC10oC

20o C-

5o C r =1cm

r = 1.5o

jEI

1.3889 EI

Bdy montau

1.5o

1o

1.2

cm

L2=1cm2

L 1=

-

1.5cm1

1.4 cm

Rozwiza j metod si od danego obcienia siami, od zmiany temperatury oraz od bdw montau i przemieszcze podpr. Sporzdzi wykresy si przekrojowych i dokona kontroli rozwizania od jednego z wymienionych wpyww. Obliczy zaznaczone przemieszczenia. Uwaga dotyczca oznacze.

Aby unikn niejednoznacznoci oznacze wszystkie przemieszczenia obliczane w statycznie wyznaczalnym ukadzie podstawowym i dotyczce tylko ukadu podstawowego oznacza bdziemy maym symbolem a przemieszczenia obliczane w statycznie niewyznaczalnym ukadzie danym lub obliczane w ukadzie podstawowym a dotyczce ukadu danego oznacza bdziemy duym symbolem . Siy przekrojowe i reakcje wyznaczane w ukadzie podstawowym oznacza bdziemy odpowiednim symbolem z nadkreleniem (np. M ) a w ukadzie danym oznacza bdziemy odpowiednim symbolem bez nadkrelenia (np. M ).

2 WYZNACZENIE STOPNIA STATYCZNEJ NIEWYZNACZALNOCI Aby skorzysta z wzoru tenh = 3

przeksztacamy ukad dany w zbir tarcz sztywnych otwartych przez usunicie wizi podporowych, dokonanie przeci wszdzie tam gdzie poczenie nie jest pene oraz otwarcie tarcz zamknitych. Zilustrowano to na rysunku obok. Na rysunku tym w nawiasach podano liczby usunitych wizi, ktrych suma jest liczb wizi e w przytoczonym wzorze. 3 ROZWIZANIE RAMY OD OBCIENIA SIAMI 3.1 UKAD PODSTAWOWY I ODPOWIADAJCY MU UKAD RWNA

KANONICZNYCH 3.1.1 UKAD PODSTAWOWY

Ukad podstawowy tworzymy z ukadu danego przez zastpienie hn wizi niewiadomymi siami w taki sposb by powstay ukad by geometrycznie niezmienny. Uwaga: Liniami przerywanymi wzdu osi prtw wyrniono wkna do znakowania momentw zginajcych.

3.1.2 UKAD RWNA KANONICZNYCH 011212111 ==++

FrzF

FF XX , 022222121 ==++

FrzF

FF XX .

(e=2)

(e=3)2=t

(e=3)

8232 =+=e2238 ==hn

3,00

m

q=5,

00kN

/m

P=20,00kNM=15,00 kNm

2,00m 2,00m2,00m 2,00m2,00m

EI

1.3889 EI

X1 X2

y

x

A

BC

DE



3.2 ROZWIZANIA UKADU PODSTAWOWEGO 3.2.1 ROZWIZANIE UKADU PODSTAWOWEGO OD DANEGO OBCIENIA

F=(M,P,Q)

Uwaga: Wszystkie wielkoci wyznaczane w tym punkcie wyrniamy nadkreleniem i indeksem grnym F. Dla skrcenia zapisu w obliczeniach pominiemy te wyrniki stosujc pene symbole tylko w oznaczeniach wielkoci, z ktrych korzysta bdziemy w dalszych obliczeniach.

3.2.1.1 WYZNACZENIE REAKCJI PODPR =+++= 02/33610 mmqMmPmVM BA

02/33/51562010 =+++ mmmkNkNmmkNmVB kNVV FBB 75.15== , =+= 0PVVY BA 02075.15 =+ kNkNVA kNVV FAA 25.4== , =+= 03mqHX A 03/5 =+ mmkNH A kNHH FAA 00.15== . Kontrola =++= 2/334103 mmqMmPmVmHM AAB

0)2/335154201025.4315( =++= kNm 3.2.1.2 OBLICZENIE WARTOCI RZDNYCH CHARAKTERYSTYCZNYCH SI

PRZEKROJOWYCH. 0=AM ,

== 2/5.15.15.12 mmqmHmVM AAE ,375.252/5.15.1/55.115225.4 kNmmmmkNmkNmkN =+=

kNmmmmkNmkNmmmqmHmVM AACA 50.392/33/5315425.42/3334 =+== , kNmkNmkNmMMM CACD 50.54155.39 =+=+= ,

kNmmkNmVM BD 00.63475.154 === , 0=BM , ( ) kNkNHVV AAAC 40.126.0158.025.4sincos =+== ,

( ) kNkNHVN AAAC 45.98.0156.025.4cossin =+== , ( ) kNkNmqHVV AACA 40.36.0356.0158.025.4sin3sincos =+== ,

( ) kNkNmqHVN AACA 55.28.0358.0156.025.4cos3cossin =+== , kNkNkNVPV BCD 25.475.1520 === , kNVV BDB 75.15== , 0=CBN .

Rzdne rodkowe momentw zginajcych dla przedziau CD i DB, wykorzystujc ich prostoliniowy charakter, obliczono jako rednie arytmetyczne z wartoci brzegowych.

( ) ( ) kNmkNmMMM DCDCDs 75.582/635.542/, =+=+= ,( ) ( ) kNmkNmMMM BDDBs 50.312/0632/, =+=+=

Sia poduna w wizi sprystej nr 1: kNVS AF 25.41 == Moment zginajcy w wizi sprystej nr 2: kNmMS CAF 50.392 ==

3,00

m

q=5,

00kN

/m

P=20,00kNM=15,00 kNm

2,00m 2,00m2,00m 2,00m2,00m

y

x

VA

HA

VB



3,00

m

2,00m 2,00m2,00m 2,00m2,00m

y

x

VA

HA

VB

X1

3.2.1.3 WYKRESY SI PRZEKROJOWYCH.

39,50kN

m54

,50

kNm

63,00

kNm

25,375kN

m

MF

++

58,75

kNm

31,50

kNm

12,40kN

3,40kN 4,

25kN

4,25

kN

15,75

kN

15,75

kN

VF+

+-

2,55kN

9,45kN

+

-

NF

3.2.2 ROZWIZANIE UKADU PODSTAWOWEGO OD OBCIENIA X1 = 1

Uwaga: Wszystkie wielkoci wyznaczane w tym punkcie wyrniamy nadkreleniem i indeksem grnym 1. Dla skrcenia zapisu w obliczeniach pominiemy te wyrniki stosujc pene symbole tylko w oznaczeniach wielkoci, z ktrych korzysta bdziemy w dalszych obliczeniach.

3.2.2.1 WYZNACZENIE REAKCJI PODPR

=+= 0110mVM BA mVV BB /10.01 == , == 0BA VVY mVV AA /10.01 == , == 0AHX 01 == AA HH . Kontrola 01101.030103 1 =+=++= XmVmHM AAB

3.2.2.2 OBLICZENIE WARTOCI RZDNYCH CHARAKTERYSTYCZNYCH SI PRZEKROJOWYCH

0=AM , 40.034 == mHmVM AAC , 60.014 == mVM BD , 1=BM ,

mHVV AAAC /08.0sincos == , mHVN AAAC /06.0cossin == , mVV BCB /10.0== , 0=CBN .

( ) ( ) 20.02/4.002/,

==+== CAACsE MMMM , ( ) ( ) 50.02/6.04.02/

,==+= DCCDs MMM , ( ) ( ) 80.02/16.02/, ==+= BDDBs MMM .

( ) ( ) 70.02/14.02/,

==+= BCCBs MMM .

Sia poduna w wizi sprystej nr 1: mVS A /10.011 == Moment zginajcy w wizi sprystej nr 2: 40.012 == CMS



3,00

m

2,00m 2,00m2,00m 2,00m2,00m

y

x

VA

HA

VB

X2

3.2.2.3 WYKRESY SI PRZEKROJOWYCH

0,400

,40

0,60 1,

00

-

-

M1

0,50 0,

80

0,20

0,08/m

0,10

/m

-

-

V1 0,10

/m

0,10

/m

0,06/m

0,06/m

+N1

3.2.3 ROZWIZANIE UKADU PODSTAWOWEGO OD OBCIENIA X2 = 1

Uwaga: Wszystkie wielkoci wyznaczane w tym punkcie wyrniamy nadkreleniem i indeksem grnym 2. Dla skrcenia zapisu w obliczeniach pominiemy te wyrniki stosujc pene symbole tylko w oznaczeniach wielkoci, z ktrych korzysta bdziemy w dalszych obliczeniach.

3.2.3.1 WYZNACZENIE REAKCJI PODPR =+= 03110 mmVM BA

30.02 == BB VV , == 0BA VVY 30.02 == AA VV , =+= 01AHX 12 == AA HH .

Kontrola 0)10)3.0(3)1((103 =+=+= mmVmHM AAB 3.2.3.2 OBLICZENIE WARTOCI RZDNYCH CHARAKTERYSTYCZNYCH SI

PRZEKROJOWYCH 0=AM , mmHmVM AAC 80.134 == ,

mmVM BD 20.14 == , 0=BM , 36.0sincos == AAAC HVV , 98.0cossin == AAAC HVN ,

30.0== BCB VV , 1=CBN . ( ) ( ) mmMMMM CAACsE 90.02/8.102/, =+=+== ,

( ) ( ) mmMMM DCCDs 50.12/2.18.12/, =+=+= , ( ) ( ) mmMMM BDDBs 60.02/02.12/, =+=+= , ( ) ( ) mmMMM BCCBs 90.02/08.12/, =+=+= .

Sia poduna w wizi sprystej nr 1: 30.021 == AVS Moment zginajcy w wizi sprystej nr 2: mMS C 80.122 ==



3.2.3.3 WYKRESY SI PRZEKROJOWYCH

1,80

m 1,

20m

1,80

m

M2

1,50

m

0,90

m

0.60

m

0,360

0,360 -

0,30

0

-0,

300

-0,

300

V 2

0,980

0,980

1,00

0

1,00

0

1,00

0

N2

3.3 OBLICZENIE WSPCZYNNIKW I ROZWIZANIE UKADU RWNA 3.3.1 OBLICZENIE WSPCZYNNIKW UKADU RWNA

Wspczynniki ukadu rwna obliczamy wykorzystujc wzory

+

=

s

js

is

ji

ij kSSdx

EIMM ,

+

=

s

Fs

is

Fi

iF kSSdx

EIMM ,

Do obliczenia caek w powyszych wzorach zastosowano wzr Simpsona lub Mohra. Ze wzgldu na charakter wykresw momentw zginajcych caki w powyszych wzorach przedstawiono w postaci sum 3 lub 2 caek odpowiadajcych przedziaom cakowania, w ktrych funkcje podcakowe speniaj zaoenia umoliwiajce zastosowanie odpowiedniego wzoru.

=

+

++= 2

12

12

1

11

111111

1111

kSS

kSSdxMM

EIdxMM

EI CBCBACAC

( )++++= )1()1()7.0()7.0(4)4.0()4.0(6

63889.1

1)4.0(32

254.01 m

EIm

EI

EIm

mEImEImm 693049.2

/)4.0()4.0(

/5.0/1.0/1.03 =

+

+ ,

=

+

++== 2

22

12

1

21

112121

211211

kSS

kSSdxMM

EIdxMM

EI CBCBACAC

( ) +++

+

=20)1(9.0)7.0(48.14.0

66

3889.118.1

32

254.01

mEI

mm

EI

EIm

mEIm

mEIm

2

3 192781.4/8.1)4.0(

/5.03.0/1.0

=

+

+ ,

=

+

++= 2

22

22

1

21

212222

2211

kSS

kSSdxMM

EIdxMM

EI CBCBACAC

EIm

mEIm

mEIm

mm

EIm

mm

EI

3

3 485563.13/8.18.1

/5.03.03.08.1

32

268.1

3889.118.1

32

258.11

=

+

+

+

= ,

+++= dxMMEIdxMM

EIdxMM

EI DBF

DBCD

F

CDAC

F

ACF

1111

111 =+2

212

1

111

kSS

kSS FF

( )+++= kNmkNmmEI

5.39)4.0(375.25)2.0(4006

51



( ) +++

+ 263)6.0(75.58)5.0(45.544.062

3889.11 kNm

EI

( ) =++++

+mEI

kNmmEI

kNmkNmEI /

5.39)4.0(/5.0

)25.4(/1.00)1(5.31)8.0(4636.064

3889.11

32

EIkNm2764461.155=

dxMMEI

dxMMEI

dxMMEI DB

F

DBCD

F

CDAC

F

ACF ++=

2222

111 =++2

222

1

121

kSS

kSS FF

( )+++= kNmmkNmmmEI

5.398.1375.259.04006

51

( ) +++

+ 3632.175.585.145.548.162

3889.11 kNm

EI

EIkNm

mEIkNm

mEIkNkNm

EI

3

33 787409.402

/5.398.1

/5.0)25.4(3.063

32

242.1

3889.11

=

+

+

+

3.3.2 POSTA SZCZEGOWA UKADU RWNA I JEGO ROZWIZANIE 0764461.155192781.4693049.2

2

2

2

1 = EIkNmX

EImX

EIm FF

,

0787409.402485563.13192781.43

2

3

1

2

=++EI

kNmXEImX

EIm FF

kNmX F 975393.211 = , kNX F 035701.232 = . 3.4 OBLICZENIE WARTOCI RZECZYWISTYCH REAKCJI I SI PRZEKROJOWYCH

Fr

Fr

Fr

Fr RXRXRR ++= 2

21

1,

FFFF MXMXMM ++= 22

11

,

FFFF NXNXNN ++= 22

11

, FFFF VXVXVV ++= 2

21

1,

FFFF SXSXSS ++= 22

11

.

kNkNkNkNmHXHXHH FAAAFA 036.815)035701.23()1(975393.2102211 =+=++= kNkNkNkNmmVXVXVV FAAAFA 963.825.4)035701.23()3.0(975393.21/1.02211 =++=++=

kNkNkNkNmmVXVXVV FBBBFB 037.1175.15)035701.23(3.0975393.21/1.02211 =++=++= =++= FEEE

FE MXMXMM 2

21

1

kNmkNmkNmkNm 2478.0375.25)035701.23(9.0975393.212.0 =++= =++= FCACACA

FCA MXMXMM 2

21

1

kNmkNmkNmkNm 7544.105.39)035701.23(8.1975393.214.0 =++= =++= FCDCDCD

FCD MXMXMM 2

21

1

kNmkNmkNmkNm 2456.45.54)035701.23(8.1975393.214.0 =++= =++= FDCDCDC

FDC MXMXMM 2

21

1

kNmkNmkNmkNm 1719.2263)035701.23(2.1975393.214.0 =++= kNmMM FDC

FDB 1719.22==

kNmkNkNmMXMXMM FBDBDBDFBD 9754.210)035701.23(0975393.2112211 =++=++= kNkNkNkNm

mVXVXVV FACACAC

FAC 349.24.12)035701.23(36.0975393.21

08.02

21

1=++=++=

kNkNkNkNmmVXVXVV FCACACAF

CA 651.64.3)035701.23(36.0975393.21/08.02211 =++=++=kNkNkNkNm

mVXVXVV FCDCDCD

FCD 963.825.4)0357019.23()3.0(975393.21

1.02

21

1=++=++=

kNVV FCDF

DC 963.8==



=++= FDBDBDBF

DB VXVXVV 22

11

kNkNkNkNmm 037.1175.15)035701.23()3.0(975393.21/1.0 =+= kNVV FDB

FBD 037.11==

=++= FACACACFAC NXNXNN 2

21

1

kNkNkNkNmm 807.1145.9)035701.23(98.0975393.21/06.0 =++= kNkNkNkNm

mNXNXNN FCACACA

FCA 807.2355.2)035701.23(98.0975393.21

06.02

21

1=+=++=

kNkNkNmNXNXNN FCDCDCDFCD 036.230)035701.23(1975393.2102211 =++=++=

kNNNNN FBDFDB

FCD

FDC 036.23====

kNkNkNkNmmSXSXSS FF 9632.825.4)035701.23(3.0975393.21/1.012211111 =+=++=kNmkNkNmkNmSXSXSS FFFF 7544.105.39)035701.23(8.1975393.214.012221122 =++=++=

3.5 WYKRESY RZECZYWISTYCH SI PRZEKROJOWYCH

-10,754

kNm

0,248

kNm

4,24

6 kN

m

22,17

2 kN

m

-21

,97

5 kN

m

MF

13,20

9 kN

m

0,09

8 kN

m

2,349

kN

-6,651

kN

8,96

3 kN

-11

,03

7 kN

V F

8,96

3 kN

-11

,03

7 kN

-11,807

kN

-23,808

kN

-23

,03

6 kN

-27

,19

9 kN

-23

,03

6 kN

NF

Rzeczywiste wartoci si przekrojowych mona te policzy rozwizujc ukad podstawowy od dziaajcego rwnoczenie obcienia danego i znanych ju si hiperstatycznych. Wyniki oblicze musiayby by identyczny (w granicach dokadnoci rachunkowej) jak przedstawione powyej.

3.6 KONTROLA POPRAWNOCI ROZWIZANIA. Kontrola poprawnoci rozwizania polega na sprawdzeniu czy otrzymane rozwizanie jest

statycznie i kinematycznie dopuszczalne, czyli czy siy speniaj rwnania rwnowagi a przemieszczenia s zgodne z warunkami podparcia i cigoci.

3.6.1 KONTROLA STATYCZNEJ DOPUSZCZALNOCI ROZWIZANIA Dokonujc kontroli rwna rwnowagi naley pamita, e kontroli podlegaj tylko te

wartoci, ktre wystpuj w obliczeniach kontrolnych. Zaleca si, wic aby do sprawdzenia rwna rwnowagi, podzieli ukad na prty i wzy i dla kadego tak wydzielonego elementu napisa 3 rwnania rwnowagi. W tym przypadku kontroli podlegaj wszystkie wartoci brzegowe si przekrojowych. Na rysunku poniej pokazano elementy, dla ktrych sprawdzimy rwnania rwnowagi.



q=5,

00kN

/m

M=15,00 kNmP=20,00kN

A

BC Dx

y

x

y

x

y

N AC

N CAN CA

M CA

M AC

V CAV CA

V AC

VCD VCD

MCD

VBD

NCD NCD NBD

BDx

yVDB

MDB MBD

VBD

NDB NBD

M CA

MCD MBD

Dla prta AC 08.035)808.23()807.11(cos3 ++=++= mqNNX CAAC ,

06.035)651.6(349.2sin3 ++=++= mqVVY CAAC , 05.1355)651.6()754.10(05.135 ++=++= mmqmVMMM CACAACA

Dla wza C 06.0)651.6(8.0)808.23(036.23sincos == CACACD VNNX ,

08.0)651.6(6.0)808.23(963.8cossin +=+= CACACD VNVY , 015246.4754.10 +=+= MMMM CDCAc

Dla prta CB 0036.23)036.23( ==+= BDCD NNX ,

020)037.11(963.8 =++=++= PVVY BDCD , 02206)037.11()975.21(246.426 ++=++= mPmVMMM BDBDCDC

Dla prta DB 0036.23)036.23( ==+= BDDB NNX , 0)037.11()037.11( =+=+= BDDB VVY ,

04)037.11()975.21(172.224 +=+= mVMMM BDBDDBD .

3.6.2 KONTROLA KINEMATYCZNEJ ZGODNOCI PRZEMIESZCZE. Kontrola zgodnoci przemieszcze polega na sprawdzeniu zgodnoci przemieszcze ukadu

rozwizanego z przemieszczeniami rzeczywistymi w tylu miejscach ile wynosi stopie statycznej niewyznaczalnoci. Mona tego dokona postpujc, w fazie pocztkowej, analogicznie jak buduje si ukad rwna kanonicznych, to jest: przyj ukad podstawowy metody si i sporzdzi wykresy momentw zginajcych od jednostkowych wartoci si hiperstatycznych a nastpnie policzy przemieszczenia w ukadzie danym ze wzoru

+

=s s

Fss

F

F kSSdx

EIMM

w miejscach, w ktrych przecito (usunito) wizi tworzc ukad podstawowy. Wartoci tych przemieszcze musz by takie, jakie wynikaj ze sposobu podparcia ukadu i poczenia jego elementw. Wystarczajce jest jednak sprawdzenie przemieszcze w miejscach si hiperstatycznych przyjtych do rozwizania ukadu. W tym przypadku wykresy momentw zginajcych od jednostkowych wartoci si hiperstatycznych s ju okrelone i wystarczy policzy przemieszczenia F1 i F2 .

+++= dxMMEIdxMM

EIdxMM

EI DBF

DBCD

F

CDAC

F

ACF

1111

111=

+

2

212

1

111

kSS

kSS FF

( )+++= kNmkNmmEI

)754.10()4.0(248.0)2.0(4006

51



( ) +++

+ kNmmEI

172.22)6.0(209.13)5.0(4246.44.06

23889.1

1

( ) +++

+ kNmmEI

)975.21()1(098.0)8.0(4172.226.06

43889.1

1

0/

)754.10(4.0/5.0

)963.8(/1.03

+

+mEI

kNmmEI

kNm

+++= dxMMEIdxMM

EIdxMM

EI DBF

DBCD

F

CDAC

F

ACF

2222

111=

+

2

222

1

121

kSS

kSS FF

( )+++= kNmmkNmmmEI

)754.10(8.1248.09.04006

51

( ) +++

+ 2172.222.1209.135.14246.48.16

23889.1

1 kNmmEI

( ) +++

+ 2)975.21(0098.06.04172.222.16

43889.1

1 kNmmEI

0/

)754.10(8.1/5.0

)963.8(3.03

+

+mEI

kNmmmEI

kN.

4 ROZWIZANIE RAMY OD ZMIAN TEMPERATURY

4.1 UKAD PODSTAWOWY I ODPOWIADAJCY MU UKAD RWNA KANONICZNYCH

4.1.1 UKAD PODSTAWOWY

Przyjto ukad podstawowy taki jak dla rozwizania od obcie siami, aby mc wykorzysta w obliczeniach wykonane ju rozwizania od obcie hiperstatycznych

4.1.2 UKAD RWNA KANONICZNYCH 011212111 ==++

TrzT

TT XX , 022222121 ==++

TrzT

TT XX . 4.2 ROZWIZANIA UKADU PODSTAWOWEGO 4.2.1 ROZWIZANIE UKADU PODSTAWOWEGO OD ZMIAN TEMPERATURY

Poniewa ukad podstawowy jest ukadem statycznie wyznaczalnym zmiany temperatury nie wywouj w nim adnych si 021 ===== TTTTT SSVNM

4.2.2 ROZWIZANIE UKADU PODSTAWOWEGO OD OBCIENIA X1 = 1 I X2 = 1 Ze wzgldu na to, e przyjto ukad podstawowy analogiczny jak dla rozwizania od

obcienia siami (rne jest tylko obcienie) rozwizania ukadu podstawowego od obcienia X1 = 1 i X2 = 1 s identyczne jak w punktach 2.3 i 2.4.



+

=

s

js

is

ji

ij kSSdx

EIMM , ( ) +

=p

pNTp p

MT

iT ii TohTpTw

)( .

Uwzgldniajc fakt, e rozwizania ukadu podstawowego od obcienia X1 = 1 i X2 = 1 s identyczne jak w punktach 2.3 i 2.4 wspczynniki 11 , 2112 = i 22 maj wartoci takie jak obliczono w punkcie 2.5.2. Obliczymy wic tylko wspczynniki T1 i T2 .

Okrelenie skadnikw wzorw dla poszczeglnych prtw Dla prta AC mmm

M1

254.0

1 =

= , 25.42

58.12 m

mm

M=

= ,

3,00

m

2,00m 2,00m2,00m 2,00m2,00m

EI

1.3889 EI

X1X2-30oC

10oC20

o C-

5o C



3.05/06.01 == mmN , mmN 9.4598.02 == ,

CTw o5= , CTp o20= , CTpTwTo o5.72

2052

=

+=

+= (przekrj symetryczny),

mmh 22.05044.0 == , h

TpTw m

Cm

C oo 636.11322.0

)205( =

= ,

1)(

)(1 MT

ACT hTpTw = + 1NT To =

( ) ToooT CCmmC =+= 886364.1153.05.7)1(/636.113 , 2

)()(2 M

TACT h

TpTw = + 2NT To =

( ) ToooT mCmCmmC =+= 613636.4749.45.75.4/636.113 2 Dla prta CB mm

M2.4

26)14.0(

1 =+

= , 24.52

68.12 m

mm

M=

= ,

01 = N , mmN 6612 == .

CTw o10= , CTp o30= , CTo o102

3010=

= (przekrj symetryczny),

mmh 24.0604.0 == , h

TpTw )( m

Cm

C oo 6667.16624.0

))30(10(=

= ,

1)(

)(1 MT

CBT hTpTw = + 1NT To = ( ) TooT CmmC =+ 7000)2.4(/6667.166 ,

2)(

)(2 MT

CBT hTpTw = + = 2NT To

( ) mCmCmmC ToooT =+= 84065.74.5/636.113 2 Szukane wspczynniki: ToToT CC == 113636.584)7008864.115(1 ,

mCmC To

To

T =+= 386363.365)840613636.474(2 . 4.3.2 POSTA SZCZEGOWA UKADU RWNA I JEGO ROZWIZANIE

01136.584192781.4693049.2 22

1 = ToTT CX

EImX

EIm

0386363.365485563.13192781.4 23

1

2=++ mCX

EImX

EIm

ToTT

m

EICX ToT

= 6254.3381 , 22 1870.78 mEICX T

oT= .

4.4 OBLICZENIE WARTOCI RZECZYWISTYCH REAKCJI I SI PRZEKROJOWYCH Tr

Tr

Tr

Tr RXRXRR += 2

21

1,

TTTT MXMXMM ++= 22

11

,

TTTT NXNXNN ++= 22

11

, TTTT VXVXVV ++= 2

21

1

TTTT SXSXSS ++= 22

11

=++= TAT

AT

ATA HXHXHH 2

21

1 22 /1870.780/1870.78)1(0 mEICmEIC ToTo =++ =++= TA

TA

TA

TA VXVXVV 2

21

1

22 /3186.570/1870.78)3.0(/6254.338/1.0 mEICmEICmEICm ToToTo =++=

=++= TBT

BT

BTB VXVXVV 2

21

1

22 /3186.570/1870.783.0/6254.338/1.0 mEICmEICmEICm ToToTo =++=

=++= TCAT

CAT

CATCA MXMXMM 2

21

1

mEICmEICmmEIC To

To

To /2865.50/1870.788.1/6254.3384.0 2 =++=



TCA

TCB MM =

=++= TBCT

BCT

BCTBC MXMXMM 2

21

1

mEICmEICmEIC To

To

To /6254.3380/1870.780/6254.3381 2 =++=

=++= TACT

ACT

ACTAC VXVXVV 2

21

1


TAC

TCA VV =

=++= TCBT

CBT

CBT

CB VXVXVV 22

11

22 /3186.570/1870.78)3.0(/6254.338/1.0 mEICmEICmEICm ToToTo =++=

TCB

TBC VV =

=++=TAC

TAC

TAC

TAC NXNXNN 2

21

1


TAC

TCA NN =

=++=TCB

TCB

TCB

TCB NXNXNN 2

21

1 22 /1770.780/1870.7810 mEICmEIC To

To

=++

TCB

TBC NN =

=++=TTTT SXSXSS 12

211

111


=++=TTTT SXSXSS 22

221

122

mEICmEICmmEIC To

To

To /2865.50/1870.788.1/6254.3384.0 2 =++=


m

EIC To

2865.5

MT

m

EIC To

6254.338

m

EIC To

6695.166

VT21090.1 mEIC T

o

23186.57m

EIC To

29408.96 mEIC T

o

21870.78 mEIC T

o

NT

Rzeczywiste wartoci si przekrojowych mog te by wyznaczone w wyniku rozwizania ukadu podstawowego od dziaajcych rwnoczenie znanych ju si hiperstatycznych. Wyniki oblicze musiayby by identyczny (w granicach dokadnoci rachunkowej) jak przedstawione powyej.



4.6 KONTROLA POPRAWNOCI ROZWIZANIA.

4.6.1 KONTROLA STATYCZNEJ DOPUSZCZALNOCI ROZWIZANIA

Podzia na elementy

Rwnania rwnowagi Dla prta AC

09408.969408.96 =+=+= CAAC NNX , 00573.10573.1 =+=+= CAAC VVY ,

050573.12865.505 =+=+= mVMMM CACAACA Dla wza C

06.00573.18.09408.961870.78sincos == CACACB VNNX , 08.00573.16.09408.963186.57cossin +=+= CACACB VNVY ,

02865.52865.5 === CDCAC MMM Dla prta CB

01870.781870.78 =+=+= BCCB NNX , 03186.573186.57 =+=+= BCCB VVY ,

06)3186.57()6254.338(2865.56 +=+= mVMMM BCBCCBC 4.6.2 KONTROLA KINEMATYCZNEJ DOPUSZCZALNOCI ROZWIZANIA

Wykorzystujemy tu wzr na wyznaczanie przemieszcze od zmian temperatury

+

=s s

Tss

T

T kSSdx

EIMM

( ) +

+p pN

Tp p

MT To

hTpTw

)(

Obliczajc T1 i T2 moemy wykorzysta fakt, e suma trzeciego i czwartego czonu powyszego wzoru dla T1 wynosi T1 a suma trzeciego i czwartego czonu powyszego wzoru dla T2 wynosi

T2 , ktre to wielkoci zostay ju policzone (p.3.4.2) ++=+

+

= dxMMEIdxMM

EIkSSdx

EIMM

CB

T

CBAC

T

ACT

s s

Tss

T

T11

1

11

111

+

=+

+

+ )4.0(32

25/2865.51

12

212

1

111 mmEIC

EIkSS

kSS T

o

T

TT

( ) +++

+m

EICmEI

To )6254.338()1()6695.166()7.0(42865.54.0

66

3889.11

01136.584/1

/2865.54.0/5.0

/3186.57/1.03

2

+

+ ToT

oT

o

CmEI

mEICmEI

mEICm

,

++=+

+

= dxMMEIdxMM

EIkSSdx

EIMM

CB

T

CBAC

T

ACT

s s

Tss

T

T22

2

22

211

A

BC Dx

y

x

y

x

y

N AC

N CAN CA

M CA

M AC

V CAV CA

V AC

VCD VCD

MCD

VBD

NCD NCD NBD

M CA

MCD MBD



+

=+

+

+ mmmEIC

EIkSS

kSS T

o

T

TT

8.132

25/2865.51

22

222

1

121

( ) +++

+m

EICmm

m

EIT

o 06695.1669.042865.58.16

63889.1

1

03863.365/1

/2865.58.1/5.0

/3186.573.03

2+

+

+ ToT

oT

o

mCmEI

mEICmmEI

mEIC

.

5 ROZWIZANIE RAMY OD PRZEMIESZCZE PODPR I BDW MONTAU 5.1 UKAD PODSTAWOWY I ODPOWIADAJCY MU UKAD RWNA

KANONICZNYCH 5.1.1 UKAD PODSTAWOWY

Przyjto ukad podstawowy taki jak dla rozwizania od obcie siami, aby mc wykorzysta w obliczeniach wykonane ju rozwizania od obcie hiperstatycznych

5.1.2 UKAD RWNA KANONICZNYCH 02618.0180/5.111212111 ===++ oorzXX pi ,

022222121 ==++

rzXX UWAGA: Poniewa usunito wi podporow (zastpujc j si X1), w ktrej zadano przemieszczenie, prawa strona pierwszego rwnania, to jest przemieszczenie rzeczywiste w tym miejscu rwne jest temu przemieszczeniu.

Jeli chciaoby si mie 01 =

rz

to naleaoby przyj ukad podstawowy dokonujc przecicia odpowiednich wizi tak jak na rysunku obok. W tym przypadku rwnanie pierwsze opisywaoby zmian kta midzy przekrojami, w ktrych przyoono siy X1.

Dalsze obliczenia bd wykonywane dla ukadu przyjtego w punkcie 5.1.1. 5.2 ROZWIZANIA UKADU PODSTAWOWEGO 5.2.1 ROZWIZANIE UKADU PODSTAWOWEGO OD PRZEMIESZCZE PODPR I

BDW MONTAU Poniewa ukad podstawowy jest ukadem statycznie wyznaczalnym przemieszczenia podpr i bdy montau nie wywouj w nim adnych si 021 ===== SSVNM

5.2.2 ROZWIZANIE UKADU PODSTAWOWEGO OD OBCIENIA X1 = 1 I X2 = 1 Ze wzgldu na to, e przyjto ukad podstawowy analogiczny jak dla rozwizania od

obcienia siami (rne jest tylko obcienie) rozwizania ukadu podstawowego od obcienia X1 = 1 i X2 = 1 s identyczne jak w punktach 2.3 i 2.4.



+

=

s

js

is

ji

ij kSSdx

EIMM , ++=

rr

ir

nn

in

vv

iv

mm

imi RLNhVM .

Uwzgldniajc fakt, e rozwizania ukadu podstawowego od obcienia X1 = 1 i X2 = 1 s identyczne jak w punktach 2.3 i 2.4 wspczynniki 11 , 2112 = i 22 maj wartoci takie jak obliczono w punkcie 2.5.2. Obliczymy wic tylko wspczynniki 1 i 2 .

3,00

m

k1= 0.5EIL3

2,00m 2,00m2,00m 2,00m2,00m

1

2

r =1cm

r1 = 1.5o

EI

1.3889 EI

X1 X2

= 1

EI mk 2

3,00

mk1= 0.5

EIL3

2,00m 2,00m2,00m 2,00m2,00m

1

2

r =1cm

r1 = 1.5o

EI

1.3889 EI

X1 X2

= 1

EI mk 2

X1



Bdy montau wystpiy w dwch przekrojach, co symbolicznie zilustrowano na rysunku obok.

Bdy montau znakuje si analogicznie jak odpowiednie siy przekrojowe tzn. zmiany kta jak momenty zginajce, przesunicia poprzeczne jak siy tnce a odksztacenia podune jak siy osiowe.

Odksztaceniom podunym 1L i 2L przypisano znaki zgodnie z zasad: wyduenie i sia osiowa rozcigajca +, skrcenie i sia osiowa ciskajca -.

Symbole odksztace ktowych ilustruj zmiany kta midzy przekrojami rwnolegymi, co symbolicznie na osi prta i dla elementu odksztaconego przedstawiono na rysunku obok.

Jeli tej zmianie kta towarzyszy wyduenie wkien wyrnionych (symbol lewy) to takiej zmianie kta przypisujemy znak + w przeciwnym przypadku (symbol prawy) znak -.

Wynika std, e odksztaceniu ktowemu w przekroju 1 naley przypisa znak - a odksztaceniu ktowemu w przekroju 2 znak +.

Symbole odksztace postaciowych ilustruj wzajemne poprzeczne przesunicie osi prta, co symbolicznie na osi prta i dla elementu odksztaconego przedstawiono na rysunku obok

Symbol lewy oznacza deformacj h o zwrocie zgodnym z dodatnimi zwrotami siy poprzecznej (znak +) a symbol prawy oznacza deformacj h o zwrocie prze-ciwnym do dodatnich zwrotw siy poprzecznej (znak -).

Wynika std, e odksztaceniu postaciowemu w przekroju 1 naley przypisa znak -

a odksztaceniu postaciowemu w przekroju 2 znak +. Wartoci bdw montau s, wic nastpujce:

02618.01805.15.11 =

==o

oo pi , 0175.0

180112 =

==o

oo pi ,

mcmh 012.02.11 == , mcmh 014.04.12 == , mcmL 015.05.11 == , mcmL 01.012 ==

Siy przekrojowe od obcie jednostkowych, w miejscach bdw, maj wartoci 2.011 =M , 8.012 =M , mV /08.011 = , mV /1.012 = , mN /06.011 = , 012 =N , mM 9.021 = , mM 6.022 = , 36.021 =V , 3.022 =V , 98.021 =N , 122 =N , Przemieszczenia podpr wystpiy w kierunku reakcji BV i kt obrotu podpory B. Wynosz one mcm

BV 01.01 == , 02618.0180/5.15.1 === pio

RB .

Zwroty reakcji BV w rozwizaniach od obcie jednostkowych przyjto przeciwnie do zwrotu przemieszczenia podpory, wic do obliczania przemieszcze zmieniamy znaki tej reakcji

mV B /1.01 = , 3.02 =BV . Przyjmujc ukad podstawowy usunito wi rotacyjn podpory B, wic 021 == BB RR . (Gdyby przyj ukad podstawowy przytoczony w punkcie 4.1.2 byoby 11 =BR , 02 =BR ). Szukane wspczynniki:

+++= 0)015.0(/06.0014.0/1.0)012.0(/08.00175.08.0)02618.0(2.01 mmmmmm009104.0001.0)/1.0( = mm ,

1.5o

1o

1.2

cm

L2=1cm2

L 1=

-

1.5cm1

1.4 cm

dx

wknawyrnione

dx

wknawyrnione

0M M

dxdx

V

V0>h 0



+++++= mmmmmm 01.01)015.0(98.0014.03.0)012.0(36.00175.06.0)02618.0(9.02mm 023282.0001.0)3.0( = .

(Gdyby przyj ukad podstawowy przytoczony w punkcie 4.1.2 byoby +++= 0)015.0(/06.0014.0/1.0)012.0(/08.00175.08.0)02618.0(2.01 mmmmmm

035284.002618.0101.0)/1.0( = mm ). 5.3.2 POSTA SZCZEGOWA UKADU RWNA I JEGO ROZWIZANIE Rwnanie pierwsze 02618.0009104.0192781.4693049.2 2

2

1 = X

EImX

EIm

po przeksztaceniu ma posta 0035284.0192781.4693049.2 22

1 = X

EImX

EIm

Rwnanie drugie 0023282.0485563.13192781.4 23

1

2=+ mX

EImX

EIm

Rozwizanie ukadu rwna mEIX /030603.01 = , 22 /011241.0 mEIX = .

5.4 OBLICZENIE WARTOCI RZECZYWISTYCH REAKCJI I SI PRZEKROJOWYCH ++= rrrr RXRXRR 2

21

1,

++= MXMXMM 22

11

,

++= NXNXNN 22

11

, ++= VXVXVV 2

21

1

++= SXSXSS 22

11

=++= AAAA HXHXHH 22

11 22 /01124.00/011241.0)1(0 mEImEI =++

=++= AAAA VXVXVV 22

11

22 006433.00011241.0)3.0(030603.01.0

m

EIm

EIm

EIm

=++

=++= BBBB VXVXVV 22

11 22 /006433.00/011241.03.0/030603.0/1.0 mEImEImEIm =++

=++= CACACACA MXMXMM 22

11

m

EIm

EIm

m

EI 007993.00011241.08.1030603.04.0 2 =++

= CACB MM

=++= BCBCBCBC MXMXMM 22

11

mEImEI /03060.000/030603.01 =++

=++= ACACACAC VXVXVV 22

11

22 001599.00011241.036.0030603.008.0

m

EIm

EIm

EIm

=++

= ACCA VV

=++= CBCBCBCB VXVXVV 22

11

22 006433.00011241.0)3.0(030603.01.0

m

EIm

EIm

EIm

=++

= CBBC VV

=++=ACACACAC NXNXNN 2

21

122 01285.00011241.098.0030603.0

06.0m

EIm

EIm

EIm

=++

= ACCA NN

=++=CBCBCBCB NXNXNN 2

21

1 22 /01124.00/011241.010 mEImEI =++

= CBBC NN

=++=12

211

111 SXSXSS 22 /006433.00/011241.03.0/030603.0/1.0 mEImEImEIm =++

=++=22

221

122 SXSXSS mEImEImmEI /007993.00/011241.08.1/030603.04.0 2 =++




m

EI007993.0

M

m

EI03060.0

m

EI01131.0

V2001599.0 mEI

2006433.0m

EI

N

201285.0m

EI

201124.0m

EI

Rzeczywiste wartoci si przekrojowych mog te by wyznaczone w wyniku rozwizania ukadu podstawowego od dziaajcych rwnoczenie znanych ju si hiperstatycznych. Wyniki oblicze musiayby by identyczny (w granicach dokadnoci rachunkowej) jak przedstawione powyej.

5.6 KONTROLA POPRAWNOCI ROZWIZANIA.

5.6.1 KONTROLA STATYCZNEJ DOPUSZCZALNOCI ROZWIZANIA

Podzia na elementy

Rwnania rwnowagi Dla prta AC

0011285.001285.0 =+=+= CAAC NNX , 0001599.0001599.0 =+=+= CAAC VVY ,

05001599.0007993.005 +=+= mVMMM CACAACA Dla wza C

06.0001599.08.001285.001124.0sincos == CACACB VNNX , 08.001285.06.001124.0006433.0cossin +=+= CACACB VNVY ,

0007993.0007993.0 === CDCAC MMM Dla prta CB

001124.001124.0 =+=+= BCCB NNX ,

A

BC Dx

y

x

y

x

y

N AC

N CAN CA

M CA

M AC

V CAV CA

V AC

VCD VCD

MCD

VBD

NCD NCD NBD

M CA

MCD MBD



0006433.0)006433.0( ==+= BCCB VVY , 06)006433.0()03060.0(007993.06 +=+= mVMMM BCBCCBC

5.6.2 KONTROLA KINEMATYCZNEJ ZGODNOCI ROZWIZANIA Wykorzystujemy tu wzr na wyznaczanie przemieszcze od przemieszcze podpr i bdw

montau.

+

=s s

ss

kSSdx

EIMM

+++r

rr

nn

vvv

mmm RLNhVM

.

Obliczajc 1 i 2 moemy wykorzysta fakt, e czony: trzeci, czwarty, pity i szsty powyszego wzoru dla 1 rwne s razem 1 a czony trzeci, czwarty, pity i szsty powyszego wzoru dla 2 rwne s razem 2 , ktre to wielkoci zostay ju policzone (p.4.4.1)

++=+

+

=

dxMMEIdxMM

EIkSSdx

EIMM

CBCBACACs s

ss 111

11

111

+

=+

+

+

)4.0(32

25/007993.01

12

212

1

111 mmEI

EIkSS

kSS

T

( ) +++

+m

EImEI

)0306.0()1()01131.0()7.0(4007993.04.06

63889.1

1

02618.0009104.0/1

/007993.04.0/5.0

/006433.0/1.013

2=

+

+ rzmEI

mEImEI

mEIm

++=+

+

=

dxMMEIdxMM

EIkSSdx

EIMM

CBCBACACs s

ss 222

22

211

+

=+

+

+

m

mmEIEIk

SSk

SS 8.132

25/007993.01

22

222

1

121

( ) +++

+m

EImm

m

EI0)01131.0(9.04007993.08.1

66

3889.11

002328.0/1

/007993.08.1/5.0

/006433.03.03

2

+

+ mmEI

mEImmEI

mEI

6 WYZNACZENIE SZUKANYCH PRZEMIESZCZE 6.1 ROZWIZANIA WIRTUALNE OD OBCIE JEDNOSTKOWYCH

Uwzgldniajc fakt, e ukady zostay rozwizane od danych obcie, w celu obliczenia szukanych przemieszcze naley uzyska rozwizania wirtualne od obcie jednostkowych przyoonych w miejscach i kierunkach szukanych przemieszcze. Rozwizania te otrzymamy rozwizujc dowolne ukady podstawowe danej ramy od obcie 1=iF i 1=jF . Moe to by taki sam ukad, jaki by przyjty do rozwizania ramy od obcienia danego. Mog te by dowolne inne ukady. Tu przyjto ukady jak na rysunkach poniej.

4,00m 2,00m 4,00m

3,00

m

EI

1.3889 EIFi=1

VBi

RBi

4,00m 2,00m 4,00m

3,00

m

EI

1.3889 EI

Fj=1VB

j

RBj

Reakcje w miejscach przemieszcze podpr : 1=iBV , mR iB 6= , 0=iBV , 1=iBR .



Wykresy si przekrojowych

6 m

M i

1,000

M j

1,000

1,00

0

1,00

0

1

V i

N i

V j

N j

Siy w wiziach sprystych 0211 ===iji SSS , 12 =

jS .

6.2 PRZEMIESZCZENIA OD OBCIE SIAMI Szukane przemieszczenia obliczymy na podstawie wzorw

+

=s s

Fs

is

Fi

iF kSSdx

EIMM

,

+

=s s

Fs

js

FjjF k

SSdxEI

MM.

Do obliczenia caek w powyszych wzorach zastosowano wzr Simpsona lub Mohra. Ze wzgldu na charakter wykresw momentw zginajcych caki w powyszych wzorach przedstawiono w postaci sum 3 caek odpowiadajcych przedziaom cakowania, w ktrych funkcje podcakowe speniaj zaoenia umoliwiajce zastosowanie odpowiedniego wzoru.

=++= 011 dxMM

EIdxMM

EI DBFi

DBCD

Fi

CDiF

( )+++= kNmmkNmmmEI

172.22)2(209.13)1(406

23889.1

1

( )EI

kNmkNmmkNmmkNmmmEI

39264.17)975.21()6(098.0)4(4172.222

64

3889.11

=+++

( ) +++++=

=

++++=

122

172.22246.43889.1

1)754.10(1248.014016

51

01112

22

mkNmkNm

EIkNmkNmm

EI

kSSdxMM

EIdxMM

EIdxMM

EI

Fj

DB

Fj

DBCD

Fj

CDAC

Fj

ACjF

EIkNm

mEIkNm

mkNmkNm

EI

24130.0

/1)7544.10(114

2975.21172.22

3889.11

=

+

+

6.3 PRZEMIESZCZENIA OD ZMIAN TEMPERATURY Szukane przemieszczenia policzymy na podstawie wzorw

iTs s

Ts

is

Ti

iT kSSdx

EIMM ++= , jT

s s

Ts

js

TjjT k

SSdxEI

MM ++=

gdzie ( ) +

=p pN

Tp p

MT

iT ii TohTpTw

)( ,



( ) +

=p pN

Tp p

MT

jT jj TohTpTw

)( .

Ze wzgldu na charakter wykresw momentw zginajcych caki w powyszych wzorach przedstawiono w postaci sum 2 caek odpowiadajcych przedziaom cakowania, w ktrych funkcje podcakowe speniaj zaoenia umoliwiajce zastosowanie odpowiedniego wzoru. Obliczenia rozpoczniemy od wyznaczenia skadnikw iT , jT Prt AC 0= iM , mmjM 551 == , 0= iN , 0= jN ,

CTw o5= , CTp o20= , CTpTwTo o5.72

2052

=

+=

+= (przekrj symetryczny),

mmh 22.05044.0 == , h

TpTw m

Cm

C oo 636.11322.0

)205( =

= ,

iMT

ACiT hTpTw = )()(

+ 0= iNT To ,

jMT

ACjT hTpTw = )()(

+ = jNT To ( ) TooT CmmC =+ 1818.56805/636.113 Dla prta CB 2182/66 mmmiM == , mmjM 661 == , 0= iN , 0= jN ,

CTw o10= , CTp o30= , CTo o102

3010=

= (przekrj symetryczny),

mmh 24.0604.0 == , h

TpTw )( m

Cm

C oo 6667.16624.0

))30(10(=

= ,

iMT

CBiT hTpTw = )()(

+ iNT To =

( ) TooT mCmmC =+= 30000)18(/6667.166 2 , jM

TCBjT h

TpTw = )()( + = jNT To ( ) TooT CmmC =+ 100006/6667.166

To

To

iT mCmC == 3000)30000( , T

oT

ojT CC =+= 8182.431)10001818.568( .

Szukane przemieszczenia

++=+

+

= dxMMEIdxMM

EIkSSdx

EIMM

CB

Ti

CBAC

Ti

ACT

s s

Ts

is

Ti

iT11

1

=+

+

+ iT

TiTi

kSS

kSS

2

22

1

11

( ) ++++

+= 0)6254.338()6()6695.166()3(406

63889.1

10m

EICmm

m

EIT

o

mCmC To

To

= 1373.973000 ,

++=+

+

= dxMMEIdxMM

EIkSSdx

EIMM

CB

Tj

CBAC

Tj

ACT

s s

Ts

js

TjjT

112

+

=+

+

+ 12

5/2865.512

2

1

11 mmEICEIk

SjSk

SS To

jTTTj

( ) ++++

+ 0)6254.338(1)6695.166(142865.516

63889.1

1m

EICmEI

To

To

ToT

o

CCmEI

mEIC

=+

+ 6855.2698182.431/1

/2865.51



6.4 PRZEMIESZCZENIA OD PRZEMIESZCZE PODPR I BDW MONTAU Szukane przemieszczenia policzymy na podstawie wzorw

+

+

=s

is

s

is

i

i kSSdx

EIMM ,

+

+

= js s

s

js

jj k

SSdxEI

MM

gdzie ++=r

r

ir

nn

in

vv

iv

mm

imi RLNhVM ,

++=r

r

jr

nn

jn

vv

jv

mm

jmj RLNhVM

Ze wzgldu na charakter wykresw momentw zginajcych caki w powyszych wzorach przedstawiono w postaci sum 2 caek odpowiadajcych przedziaom cakowania, w ktrych funkcje podcakowe speniaj zaoenia umoliwiajce zastosowanie odpowiedniego wzoru.

Bdy montau scharakteryzowane w punkcie 4.4.1 wynosz:

02618.01805.15.11 =

==o

oo pi , 0175.0

180112 =

==o

oo pi ,

mcmh 012.02.11 == , mcmh 014.04.12 == , mcmL 015.05.11 == , mcmL 01.012 ==

Siy przekrojowe od obcie jednostkowych, w miejscach bdw, maj wartoci 01 =iM , mM i 42 = , 01 =iV , 12 =iV , 01 =iN , 02 =iN , 11 =

jM , 112 =M , 021 =V , 022 =V , 021 =N , 022 =N , Przemieszczenia podpr wystpiy w kierunku reakcji BV i kt obrotu podpory B. Wynosz one mcm

BV 01.01 == , 02618.0180/5.15.11 === pior .

Wartoci reakcji odpowiadajcych tym przemieszczeniom wywoane obcieniami jednostkowymi wynosz 1=iBV , mR iB 6= , 0=jBV , 1=

jBR .

mmmmi 23108.002618.0601.0)1(00014.0100175.040 =+++= , 0175.002618.0)1(000000175.01)02618.0(1 =+++++=j .

++=+

+

=

dxMMEIdxMM

EIkSSdx

EIMM

CB

i

CBAC

i

ACi

s s

s

is

i

i11

=+

+

+

i

ii

kSS

kSS

2

22

1

11

( ) mmm

EImm

m

EI0012.023108.00)0306.0()6()01131.0()3(40

66

3889.110 =+++

+= ,

++=+

+

=

dxMMEIdxMM

EIkSSdx

EIMM

CB

j

CBAC

j

ACs s

sj

sj

j11

2

+

=+

+

+

1

25/007993.01

2

2

1

11 mmEIEIk

SjSk

SST

j

( ) =+++++

+ 0175.0/1

/007993.010)0306.0(1)01131.0(14007993.016

63889.1

1mEI

mEIm

EImEI

oo 19.0/180*003363.0003363.0 === pi .

Documents

Rozwiązanie ramy płaskiej metodą sił i obliczenie przemieszczeń