&RQWH~GR - WordPress.com · Microsoft PowerPoint - 14-TESTE-DE-KOLMOGOROV-SMIRNOV Author: Cicero Created Date: 11/22/2018 8:33:11 PM

TESTE DE KOLMOGOROV-SMIRNOV

Professor Ewaldo SantanaUniversidade Estadual do Maranhão - UEMA

Conteúdo

Teste de Kolmogorov-Smirnov Introdução

Teste de Kolmogorov-Smirnov

2 Ewaldo Santana

3 Ewaldo Santana

Testes estatísticos paramétricos, tais como o teste-t e Análise de

Variância, são baseados em particular suposições, ou parâmetros.

Introdução

Estes parâmetros são que os dados são aleatoriamente retirados

de uma população normal, consistem em amostras independentes, são

medidos usando uma escala intervalar ou de razão e as amostras devem

ter variâncias aproximadamente iguais.

Se os dados amostrais violam uma ou mais dessas suposições,

deve-se considerar usar os métodos não paramétricos

Testes de Normalidade

4 Ewaldo Santana

Definição: dados n observações de uma variável

quantitativa e um número x real qualquer, indicar-se-á por N(x)

o número de observações menores ou iguais a x, e chamar-se-á

de função de distribuição empírica (f.d.e.) a função Fe(x)

Introdução


5 Ewaldo Santana

Ex. Seja a tabela abaixo que consta o número de filhos

de 20 funcionários de uma Companhia.

Introdução

Nº de filhos Quantidade de funcionários

0 4

1 5

2 7

3 3

5 1

TOTAL 20


6 Ewaldo Santana

Da tabela podemos obter sua f.d.e.

Introdução

Nº de filhos

Quantidade de funcionários

f.d.e

0 4 0,20

1 5 0,45

2 7 0,80

3 3 0,95

5 1 1


7 Ewaldo Santana

Introdução


Testes de Normalidade8 Ewaldo Santana

O teste de Kolmogorov-Smirnov de uma amostra é baseado

na diferença entre a função de distribuição cumulativa F0(x) e a

função de distribuição empírica da Amostra Fe(x).


Suponha que tenhamos uma amostra X1, ..., Xn de uma

população P, sobre a qual estamos considerando uma v.a. X.

Designemos por f(x) a função densidade e por F(x) a função de

distribuição acumulada (f.d.a) de X. Estimar f(x) é equivalente a estimar

F(x). Nosso objetivo é testar se a amostra observada veio de uma

distribuição de probabilidade especificada.


Nossa hipótese nula será:


Vamos considerar a função de distribuição empírica (f.d.e),

Fe(x), como um estimador de F(x), para todo valor x real.


Observe a figura abaixo


Se Fe(x) for

um bom

estimador

de F(x) as

duas

curvas

devem

estar

próximas

F(x)

Fe(x)


Teste de Kolmogorov-Smirnov Seja Dn a diferença

entre Fe(xn) e F(xn)

Dn = F(x(n)) - Fe(x(n))

x(n)

Dn



Kolmogorov e Smirnov propuseram tomar o máximo dos

valores absolutos dos Dn como estatística do teste.

O valor encontrado deve ser comparado com um valor

crítico, obtido da tabela da distribuição de Kolmogorov-Smirnov,

fixado um nível de significância do teste. Se for maior que o

valor tabelado, rejeitamos H0.


Distribuição de Kolmogorov-Smirnov DO corpo da tabela dá os valores Dc tais que

P(|D| ≥ Dc) = p

(n) 0,20 0,15 0,10 0,05 0,01

1 0,900 0,925 0,950 0,975 0,995

2 0,684 0,726 0,776 0,842 0,929

3 0,565 0,597 0,642 0,708 0,828

4 0,494 0,525 0,564 0,624 0,733

5 0,446 0,474 0,510 0,565 0,669

6 0,410 0,436 0,470 0,521 0,618

7 0,381 0,405 0,438 0,486 0,577

8 0,358 0,381 0,411 0,457 0,543

9 0,339 0,360 0,388 0,432 0,514

10 0,322 0,342 0,368 0,410 0,490

11 0,307 0,326 0,352 0,391 0,468

12 0,295 0,313 0,338 0,375 0,450

13 0,284 0,302 0,325 0,361 0,433

14 0,274 0,292 0,314 0,349 0,418



Ex. Considere os dados abaixo, que supostamente são

uma amostra de tamanho n = 30 de uma distribuição normal, de

média µ = 10 e variância 2 = 25. Verifique a veracidade

desta afirmação a um nível = 0,05.

1,04 1,73 3,93 4,44 6,37 6,51

7,61 7,64 8,18 8,48 8,57 8,65

9,71 9,87 9,95 10,01 10,52 10,69

11,72 12,17 12,61 12,98 13,03 13,16

14,11 14,60 14,64 14,75 16,68 22,14



A hipótese a ser testada pode ser escrita na forma

onde F0(x) é a f.d.a. da v.a. X N(10; 25)

Dc = 0,242.

1,04 1,73 3,93 4,44 6,37 6,51

7,61 7,64 8,18 8,48 8,57 8,65

9,71 9,87 9,95 10,01 10,52 10,69

11,72 12,17 12,61 12,98 13,03 13,16

14,11 14,60 14,64 14,75 16,68 22,14



Para calcular a f.d.e. considera-se que os 30 resultados são

igualmente prováveis, desta forma, a P(xi) = 1/30 = 0,0333.

Assim, teremos:

Fe(1,04) = 0,0333

Fe(1,73) = 2/30 = 0,0667

Fe(3,93) = 3/30 = 0,1000 etc.



Para calcular a f.d.a. sob a suposição da hipótese nula, X N

(10; 25),tem-se, para cada valor de xi:


Teste de Kolmogorov-SmirnovD = |F(xi) - Fe(xi)|

xi F(xi) Fe(xi) D xi F(xi) Fe(xi) D xi F(xi) Fe(xi) D

1,04 ,0366 ,0333 ,00323 8,57 ,3874 ,3667 ,02077 12,61 ,6992 ,7000 ,00083

1,73 ,0491 ,0667 ,01760 8,65 ,3836 ,4000 ,00642 12,98 ,7244 ,7333 ,00892

3,93 ,1124 ,1000 ,01237 9,71 ,4769 ,4333 ,04354 13,03 ,7277 ,7667 ,03892

4,44 ,1331 ,1333 ,00026 9,87 ,4896 ,4667 ,02296 13,16 ,7363 ,8000 ,06369

6,37 ,2340 ,1667 ,06725 9,95 ,4960 ,5000 ,00399 14,11 ,7945 ,8333 ,03887

6,51 ,2426 ,2000 ,04259 10,01 ,5008 ,5333 ,03253 14,60 ,8212 ,8667 ,04545

7,61 ,3163 ,2333 ,08299 10,52 ,5414 ,5667 ,02525 14,64 ,8233 ,9000 ,07670

7,64 ,3185 ,2667 ,05180 10,69 ,5549 ,6000 ,04512 14,75 ,8289 ,9333 ,10439

8,18 ,3579 ,3000 ,05793 11,72 ,6346 ,6333 ,00124 16,68 ,9092 ,9667 ,05744

8,48 ,3806 ,3333 ,04723 12,17 ,6679 ,6667 ,00119 22,14 ,9924 1,000 ,07591

maior D



Da tabela anterior, vemos que o valor máximo dos valores

absolutos das diferenças é D = 0,104.

Como D = 0,104 < Dc = 0,242, Não rejeitamos H0.

Ou seja, sob um erro de 5%, podemos afirmar que aamostra foi retirada de uma população N(10; 25)



Podemos comparar os quantis (empíricos) dos dados com

os quantis da normal, por meio de um gráfico q x q, com o

objetivo de verificar se os pontos se distribuem ao redor de uma

reta.

Para isso, sob a veracidade de H0, calculamos os quantis

desejados de N(; 2) e da amostra calculamos os quantis

amostrais


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