RT-Aufgaben-Mittwoch

5/10/2018 RT-Aufgaben-Mittwoch - slidepdf.com

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Fachhochschule Frankfurt am Main

University of Applied Sciences

Fachbereich Informatik und Ingenieurwissenschaften

Regelungstechnik

Übungsaufgaben



1 Übungsaufgaben

1.1 PT2-System

Aufgabe

Ermitteln Sie aus folgendem PT2-System die Dämpfung d und die Einschwingzeit tü.

G(s) =400

400 + 16s + s2

Lösung

G(s) =K

1 + 2dTs + T 2s2

=400

400 + 16s + s2

=1

1 + 16400s + 1

400s2

=1

1 + 0,04s

+

1

400s2

(1.1)

Nach dem Umformen des PT2-Systems auf seine Grundform in Gl. 1.1 können jetzt inGl. 1.2, Gl. 1.3 und Gl. 1.4 die Parameter bestimmt werden:

T 2 =1

400

T =

1

400=0,05

(1.2)

2dT =0,04

d =0,04

2T

=0,04

2 · 0,05

=0,4

(1.3)



1.1 PT2-System 2

tü =3 ·T

d

=3 ·0,05

0,4

=0,375

(1.4)



1.2 Kompensationsregler 3

1.2 Kompensationsregler

AufgabeDie in Abb. 1.1 dargestellte Strecke soll geregelt werden. Entwerfen Sie den Regler so, dassder geschlossene Regelkreis PT2-Verhalten mit folgenden Paramertern besitzt: d = 0,5und ω0 = 21

s.

Abbildung 1.1: Regelstrecke

Lösung

Zuerst wird in den Gl. 1.5 und Gl. 1.6 das PT2-System mit den geforderten Parameternberechnet.

ω0 =1

T

T =1

ωo

T = 12

T =0,5

(1.5)

G(s) =K

1 + 2dTs + T 2s2

=1

1 + 2 · 0,5 · 0,5 · s + 0,52s2

=1

1 + 0,5s + 0,25s2

=4

4 + 2s + s2

(1.6)

Für den geschlossenen Regelkreis gilt:

F (g) =F Regler · F Strecke

1 + F Regler · F Strecke




Diese muss wie in Gl. 1.7 beschrieben nach F Regler umgestellet.

F (g) =F Regler · F Strecke

1 + F Regler · F Strecke

F (g)(1 + F Regler · F Strecke) =F Regler · F Strecke

F (g) + F (g) · F Regler · F Strecke =F Regler · F Strecke

F (g) =F Regler · F Strecke − F (g) · F Regler · F Strecke

F (g) =F Regler(F Strecke − F (g) · F Strecke)

F Regler =F (g)

F Strecke − F (g) · F Strecke

=

F (g)

F Strecke(1− F (g))

=1

F Strecke·

F (g)

1− F (g)

(1.7)

Einsetzen der Regelkreisglieder in Gl. 1.7:

F (g) =1

11+s

· 1s

·

44+2s+s2

1− 44+2s+s2

=s(s + 1) ·4

4 + 2s + s2 − 4

=4s(s + 1)

2s + s2

=4(s + 1)

2 + s

(1.8)

Somit ergibt sich der in Abb. 1.2 dargestellte Regelkreis.

Abbildung 1.2: Geschlossener Regelkreis mit Kompensationsregler und PT2-Verhalten




Aufgabe

Die Regelstrecke F s = 5

p(1+10 p)

soll geregelt werden. Entwerfen Sie den Regler so, dass dergeschlossene Regelkreis PT2-Verhalten besitzt.

Lösung

F Regler =1

F Strecke·

F (g)

1− F (g)

F Regler = p(1 + 10 p)

5·

11+2dTp+T 2 p2

1− 11+2dTp+T 2 p2

F Regler =(1 + 10 p)

5·

1

2dT + T 2 p

(1.9)

Wählt man jetzt 2dT = 1 und T 2 = 10 folgt:

F Regler =(1 + 10 p)

5·

1

1 + 10 p

F Regler =1

5

(1.10)

Betrachtet man die Parameter des PT2-Systems genauer, stellt man wie in Abb. 1.3gezeigt fest, dass sich bei T 2 = 10 ⇒ T = 3,16 und 2dT = 1 ⇒ d = 1

2T = 0,16 eintü = 3 · T

d= 59,25 ergibt.

Abbildung 1.3: Oszilierendes PT2-Verhalten mit langer Einschwingzeit




Aufgabe

Für die DT1-Strecke F s = p

(1+ pT 1)

soll ein Kompensationsregler so berechnet werden, dass

sich der geschlossene Regelkreis als PT1-System verhält. Also F w = 11+ pT

Lösung

F Regler =1

F Strecke·

F (g)

1− F (g)

F Regler =1 + pT 1

p·

11 pT

1− 11+ pT

F Regler =1 + pT 1

p·

1

pT

F Regler = 1 + pT 1

p2T

(1.11)



1.3 Regeldifferenz 7

1.3 Regeldifferenz

AufgabeBestimmen Sie die stationäre Regeldifferenz e(t→∞) für R(t) = σ(t). Bestimmen Sie wei-terhin K für e(t→∞) = 10%

Abbildung 1.4: Geschlossener Regelkreis mit P-Regler

Lösung

e( p)

R( p)=

1

1 + F o

=1

1 + K · 1s+2

=s + 2

s + 2 + K

e( p) = s + 2s + 2 + K

· R( p)

e(t→∞) = lims→0

s ·s + 2

s + 2 + K ·

1

s

=2

2 + K

(1.12)

Für eine bleibende Regeldifferenz von 10% wird das Ergebnis von Gl. 1.12 nach K aufge-löst.

2

2 + K =0,1

2 + K = 20,1

K =2

0,1− 2

K =18

(1.13)



1.4 Digitaler Regler 8

1.4 Digitaler Regler

AufgabeErmitteln Sie die Sprungantwort bis K = 5

Abbildung 1.5: Geschlossener Regelkreis

Lösung

Y (z)

U (z)=

0,1

(z − 1)z2

Y (z)

U (z)=

0,1z−2

z − 1

Y (z)

U (z)=

0,1z−3

1− z−1

Y (z)

(1− z−1 =U (z)· 0,1z−3

Y (z) − Y (z)z−1 =U (z) · 0,1z−3

ζ −1

Y k − Y k−1 =0,1 · U k−3

Y k =0,1 · U k−3 + Y k−1

Y 0 =0,1 · U 0−3 + Y 0−1 = 0 + 0,1 · 0 = 0

Y 1 =0,1 · U 1−3 + Y 1−1 = 0 + 0,1 · 0 = 0

Y 2 =0,1 · U 2−3 + Y 2−1 = 0 + 0,1 · 0 = 0Y 3 =0,1 · U 3−3 + Y 3−1 = 0 + 0,1 · 1 = 0,1

Y 4 =0,1 · U 4−3 + Y 4−1 = 0,1 + 0,1 · 1 = 0,2

Y 5 =0,1 · U 5−3 + Y 5−1 = 0,2 + 0,1 · 1 = 0,3

(1.14)




Abbildung 1.6: Sprungantwort vom Regelkreis




Aufgabe

Berechnen Sie die z-Übertragungsfunktion F (z)

=Y (z)

U (z)von Y

k− 3Y

k−

1= 2U

k−

1und

ermitteln Sie die Sprungantwort bis K = 3.

Lösung

Y k − 3Y k−1 =2U k−1

Y (z) − 3Y (z)z−1 =2U (z)z

−1

Y (z)(1− 3z−1) =U (z)2z−1

Y (z)

U (z)=

2z−1

1− 3z−1

Y (z)

U (z)=

2

z − 3

(1.15)

Y k =2U k−1 + 3Y k−1

Y 0 =2U 0−1 + 3Y 0−1 = 2 · 0 + 3 · 0 = 0

Y 1 =2U 1−1 + 3Y 1−1 = 2 · 1 + 3 · 0 = 2

Y 2 =2U 2−1 + 3Y 2−1 = 2 · 1 + 3 · 2 = 8

Y 3 =2U 3−1 + 3Y 3−1 = 2 · 1 + 3 · 8 = 26

(1.16)

Abbildung 1.7: Sprungantwort vom Regelkreis




Aufgabe

Der Regler F r = 4( p+1)

2+ p

aus Abb. 1.2 soll digital entworfen werden. Weiterhin geht ausder Aufgabe hervor, dass ω0 = 2 ⇒ T = 0,5 ist. Geben Sie die Differenzengleichung mitHilfe der Eulerformel p = 1

T 0(z − 1) an. Für einen quasikontinuierlichen Entwurf gilt:

T A ≤ 0,1 · T ⇒ T A = 0,05

Lösung

F r =4( p + 1)

2 + p

F r(z) =4 ·1T 0

(z − 1) + 1

2 + 1T 0

(z − 1)

F r(z) =4 · T 0 + (z − 1)2T o + (z − 1)

F r(z) =4 ·z − 1 + 0,05

z − 1 + 2 · 0,05

F r(z) =4z − 4 · 0,95

z − 0,9

U (z)

e(z)=

4z − 3,8

z − 0,9

U (z)

e(z)=

4− 3,8z−1

1− 0,9z−1

U (z)(1− 0,9z−1

) =e(z)(4− 3,8z−1

)U (z) − 0,9z−1U (z) =4e(z) − 3,8z−1e(z)

ζ −1

U k − 0,9U k−1 =4ek − 3,8ek−1

U k =0,9U k−1 + 4ek − 3,8ek−1

(1.17)

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