RT2 EIT Skript Teil4 5 ZTransformation Stabilitaet V1.0

5/17/2018 RT2 EIT Skript Teil4 5 ZTransformation Stabilitaet V1.0 - slidepdf.com

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RT2, Teil 4/5, Z-Transformation und Stabilität – Prof. Dr. D. Zogg 31.01.2012 1/19

Regelungstechnik 2 für EITTeil 4/5: Z-Transformation und Stabilität

Version 1.0

Prof. Dr. David Zogg

Institut für Automation IAHochschule für TechnikFachhochschule Nordwestschweiz

Windisch, Januar 2012

AsT e z =




Dokumentenkontrolle

Änderungen

Version Datum Autoren Bemerkung

1.0 19.01.2012 David Zogg Erstellung




1. Zweck 4 2. Referenzen 4 3. Symbol- und Abkürzungsverzeichnis 4 4. Einführung 6 4.1. Lernziele 6 4.2. Von der rekursiven Darstellung zur Z-Transformation 6 4.3. Z-Transformation des vollständigen PID-Reglers 7 4.4. Z-Transformation allgemein 8 4.5. Zusammenhang zwischen Z- und S-Bereich 8 4.6. Herleitung der Approximation nach Rechteckregel 9 4.7. Herleitung der bilinearen Approximation 10 4.8. Übungen zur Z-Transformation 11 4.9. Zusammenfassung Laplace- und Z-Transformation 12 4.10. Z-Transformation in MATLAB 12 4.11. Stabilitätskriterium in der Z-Ebene 14 4.12. Beispiel in MATLAB zur Stabilitätsanalyse in der Z-Ebene 16 4.13. Zusammenfassung 18




1. Zweck

Das vorliegende Skript dient als Grundlage für das Modul „Regelungstechnik 2“ (rt2) im6. Semester des Studiengangs Elektro- und Informationstechnik (EIT).

Im Modul „Regelungstechnik 1“ (rt1) des 5. Semesters wurde die Auslegung von zeitkon-tinuierlichen PID- und Zustandsreglern behandelt. Das vorliegende Modul „Regelungs-

technik 2“ (rt2) befasst sich nun mit der zeitdiskreten Darstellung.

In den bisherigen Teilen 1 bis 3 wurden die Grundlagen der Signalabtastung im Zeitbe-reich und Frequenzbereich erarbeitet.

Im vorliegenden vierten Teil wird die Z-Transformation zur Umrechnung zwischen zeit-kontinuierlichem und zeitdiskretem Fall eingeführt.

Zudem wird in einem kurzen fünften Teil die Stabilität im zeitdiskreten Fall anhand derPollage in der Z-Ebene behandelt.

Der vierte und fünfte Teil ist hier in einem Skript-Teil zusammengefasst.

2. Referenzen

[ 1 ] H. Mann, H. Schiffelgen, R. Froriep: Einführung in die Regelungstechnik, 11. Auf-lage, Hanser Verlag, München 2009

[ 2 ] M. Reuter, S. Zacher: Regelungstechnik für Ingenieure, 12. Auflage, Vie- weg+Teubner Verlag, Wiesbaden 2008

[ 3 ] H. Gassmann: Theorie der Regelungstechnink, 2. Auflage, Verlag Harri Deutsch,Rapperswil/Frankfurt 2003

[ 4 ] H.P. Geering: Regelungstechnik, 3. Auflage, Springer Verlag, Zürich/Berlin 1994

3. Symbol- und Abkürzungsverzeichnis

A Aktuator

A/D Analog-Digital-Wandler

CAN Controller Area Network (Realtime-Bussystem)

D/A Digital-Analog-Wandler

e Regelfehler

FOH First Order Hold (Abtastung erster Ordnung)

G Strecke (Übertragungsfunktion)

i Imaginär-Anteil

K Regler (Übertragungsfunktion)

K P Verstärkung P-Anteil




K I Verstärkung I-Anteil

K D Verstärkung D-Anteil

LZI Linear zeitinvariant (Übertragungsglied)

MU Messumformer

PWM Pulse Width Modulation (Pulsbreitenmodulation)

S Sensors Laplace-Operator (zeitkontinuierlich)

T A Abtastzeit

T T Totzeit

T N Nachstellzeit (I-Anteil)

T V Vorhaltezeit (D-Anteil)

u Eingangsgrösse (Stellgrösse, Steuergrösse)

w Führungsgrösse (Sollwert)

x Zustandsgrösse

y Ausgangsgrösse (Messgrösse, Istwert)

z Z-Operator (zeitdiskret, „Time Shift Operator“)

ZOH Zero Order Hold (Abtastung nullter Ordnung)

ϕ Phasendrehung / Phasenverschiebung (rad oder °)

ω Kreisfrequenz (rad/s)




4. Einführung

4.1. Lernziele

Teil 4

Lernziel Taxonomiestufe (Bloom)

Sinn und Zweck der Z-Transformation kennen VerständnisZeitdiskrete Darstellung im Z-Bereich beherrschen Anwendung Wichtigste Transformationen zwischen Laplace(s)-und Z-Bereich durchführen können

Anwendung

Z-Transformation in MATLAB ausführen können

Teil 5

Lernziel Taxonomiestufe (Bloom)Zusammenhang zwischen Z- und Laplace-Ebenekennen

Verständnis

Stabilität und Pole im Z-Bereich beurteilen können Anwendun /Analyse

4.2. Von der rekursiven Darstellung zur Z-Transformation

Wir gehen von der rekursiven Darstellung des PID-Reglers aus (Skript Teil 2, Abschnitt4.5). Hier ist nochmals die rekursive Darstellung des I-Anteils gegeben (Rechteckregel):

( 1 ) k A I k I k I eT K uu ⋅⋅+=−1,,

Nun wollen wir direkt Anhand dieses Beispiels die Z-Transformation kennen lernen.Diese Transformation dient dazu, die zeitlichen Verschiebungen zwischen den Abtast-zeitpunkten darzustellen. In Gleichung ( 1 ) wird die Stellgrösse u I zu den Zeitpunkten

k-1 und k abgetastet (u I,k-1 und u I,k) sowie der Regelfehler e zum Zeitpunkt k (ek).Zunächst zur Definition der Z-Transformation in Gleichung ( 2 ). Der z-Operator ist alsZeit-Verschiebungs-Operator oder engl. „Time Shift Operator“ definiert. Die abgetasteteGrösse x zum Abtastzeitpunkt k-1 ( x k-1) kann demnach wie folgt dargestellt werden:

( 2 ) x z xk ⋅=−

−

1

1

z -1 bedeutet, dass 1 Zeitschritt in die Vergangenheit „geschoben“ wird (also k-1). Im Z-Bereich (rechte Seite der Gleichung) wird nur noch die Grösse x mit einer Funktion in z multipliziert. Dies ist ähnlich wie im Laplace-Bereich (s-Bereich), welchen wir von frü-her kennen. Anstelle der Laplace-Transformation im zeitkontinuierlichen Fall tritt imzeitdiskreten Fall also die Z-Transformation.

Wenn wir 2 Zeitschritte zurück nach k-2 schieben, folgt:

( 3 ) x z xk ⋅=−

−

2

2

…oder für den Wert zum Zeitpunkt k (Gegenwart):

( 4 ) x x z xk =⋅=0




Jetzt können wir die Definition der Z-Transformation ( 2 ) auf die rekursive Darstellungdes I-Anteils in Gleichung ( 1 ) anwenden:

( 5 ) eT K u zu A I I I ⋅⋅+=−1

Obige Gleichung wird mit z multipliziert:

( 6 ) e zT K uu z A I I I ⋅⋅⋅+=⋅

…und nachher nach u I aufgelöst:

( 7 ) e z

zT K u A I I ⋅

−

⋅⋅=

1

Somit haben wir den zeitdiskreten I-Anteil nach der Rechteckregel im Z-Bereich aufge-schrieben. Damit wurde die Z-Transformation für Systeme im Prinzip schon verstanden.In den folgenden Abschnitten wollen wir dies auf verschiedene Systeme anwenden undnoch etwas ausweiten.

4.3. Z-Transformation des vollständigen PID-Reglers

Wir nehmen nun die Gleichung des vollständigen, zeitdiskreten PID-Reglers aus SkriptTeil 2, Abschnitt 4.5 (Rechteckregel):

( 8 ) 221101 −−−⋅+⋅+⋅+= k k k k k ebebebuu

mit den Koeffizienten:

( 9 ) A

D A I P

T

K T K K b ++=0

A

DP

T

K K b 21 −−=

A

D

T

K b =2

Nun führen wir für die Gleichung ( 8 ) die Z-Transformation aus:

( 10 ) e zbe zbebu zu

2

2

1

10

1 −−−

⋅+⋅+⋅+=

…multipliziert mit z 2:

( 11 ) eb zebe zb zuu z ⋅+⋅+⋅+= 21

2

0

2

…und aufgelöst nach u:

( 12 ) e z z

b zb zbu ⋅

−⋅

+⋅+⋅=

)1(

21

2

0

Die Übertragungsfunktion des Reglers K(z) im Z-Bereich ist also gegeben durch:

( 13 ))1(

)( 21

2

0

−⋅

+⋅+⋅=

z zb zb zb zK




4.4. Z-Transformation allgemein

Ein allgemeines lineares, zeitinvariantes (LZI) Übertragungsglied mit Eingangsgrösse u und Ausgangsgrösse y lautet in zeitdiskreter Form (mit den zeitinvarianten Parameternai , bi ):

( 14 ) k k mk mmk mk k nk nnk n ubububub y ya ya ya ⋅+⋅++⋅+⋅=+⋅++⋅+⋅−+−−−−+−−− 011111111 ......

Wir führen nun die Z-Transformation aus und erhalten:

( 15 ) ubu zbu zbu zb y y za y za y zam

mm

mn

nn

n ⋅+⋅++⋅+⋅=+⋅++⋅+⋅−+−

−

−−+−

−

−

0

1

1

1

1

1

1

1

1 ......

…aufgelöst nach der Ausgangsgrösse y:

( 16 ) u

zG

za za za

zb zb zbb y

nn

nn

mm

mm

⋅

⋅+⋅++⋅+

⋅+⋅++⋅+=

−+−

−

−

−+−

−

−

4 4 4 4 4 4 4 34 4 4 4 4 4 4 21

)(

...1

...1

11

1

11

110

…womit die allgemeine Übertragungsfunktion G(z) des zeitdiskreten LZI-Gliedes im Z-Bereich gegeben ist.

4.5. Zusammenhang zwischen Z- und S-Bereich

Der allgemeine Zusammenhang zwischen Z-Bereich und Laplace-Bereich (S-Bereich) ist wie folgt definiert (T A = Abtastzeit):

( 17 ) AsT

e z =

In ( 17 ) ist sofort die Ähnlichkeit zum Totzeitelement (Skript Teil 2, Abschnitt 4.3) er-sichtlich! Das ist kein Zufall, denn es handelt hier um eine „Abtastung“ zwischen zeit-kontinuierlichem s-Bereich und zeitdiskretem z -Bereich.

Um von einer Übertragungsfunktion im s-Bereich G(s) in den z-Bereich G(z) zu gelangen(Zeitdiskretisierung), brauchen wir die Umkehrfunktion von ( 17 ):

( 18 ) )ln(1

zT

s A

⋅=

Die Gleichung ( 18 ) kann jedoch nicht direkt verwendet werden, sondern sie muss ap-proximiert werden. Es bestehen verschiedene Approximationen, welche wir nun näherkennenlernen wollen (siehe auch Buch [ 1 ], Tabelle/Bild 6.15, S. 250).

Die erste Approximation läuft nach der bekannten Rechteckregel. Wir haben diese be-reits bei der zeitdiskreten Integration im Skript Teil 2, Abschnitt 4.4 kennengelernt. Manunterscheidet Vorwärts-Rechteckregel ( 19 ) und Rückwärts-Rechteckregel ( 20 ). Man

kann diese Approximation auch als Euler-Methode bezeichnen. In MATLAB werden sieals ZOH (Zero-Order Hold) bezeichnet.

( 19 ) AT

zs

1−≈

( 20 ) zT

zs

A ⋅

−≈

1




Genauer ist die bilineare Approximation ( 21 ), welche auch als Tustin-Approximation bezeichnet wird. Zudem entspricht sie der Trapezregel für die Integration, welche wirauch bereits kennen.

( 21 )1

12

+

−≈

z

z

T s

A

In MATLAB wird diese Methode als TUSTIN bezeichnet.

Folgende Abschnitte geben eine kurze Herleitung obiger Formeln. Damit wird das Ver-ständnis für die Zusammenhänge zu Rechteckregel, Euler und Trapezregel gelegt.

4.6. Herleitung der Approximation nach Rechteckregel

Zur Herleitung der Rückwärts-Rechteckregel( 20 ) betrachten wir zunächst Abbil-dung 1, welche wir bereits in einer ähnlichen Form aus Skript Teil 2, Abschnitt 4.4 ken-nen (Integral nach Rechteckregel).

Abbildung 1: Integral nach Rückwärts-Rechteckregel (blau) bzw. Differenzenbildung nach Euler (rot).

Es geht nun darum, einen reinen Integrator im Z-Bereich abzubilden. Dazu betrachten wir zunächst das zeitkontinuierliche System, welches nur aus einem Integrator besteht(Eingangsgrösse u, Ausgangsgrösse y):

( 22 ) us

y 1= ∫⋅= dt u y

Bilden wir die Ableitung davon, so folgt:

( 23 ) u y =&

Nun diskretisieren wir die Ableitung von y in ( 23 ), indem wir die Differenzengleichungnach Euler aufstellen:

( 24 ) k

A

k k uT

y y≈

−−1

In der Approximation ( 24 ) haben wir den aktuellen Abtastzeitpunkt k und den alten Abtastzeitpunkt k-1 genommen. Wir haben also die „Rückwärts-Regel“ angewandt, oder bei Euler spricht man auch von „Links-Regel“ (alter Abtastzeitpunkt liegt links vom ak-tuellen).

Im nächsten Schritt lösen wir Gleichung ( 24 ) nach der gesuchten Ausgangsgrösse yk auf:

( 25 ) 1−+⋅≈ k k Ak yuT y




Gleichung ( 25 ) ist gerade die (rekursive) Integration nach der Rechteckregel! Somit istder Zusammenhang zwischen Differenzenbildung nach Euler und Integration nachRechteckregel nachgewiesen.

Uns interessiert nun die Z-Transformation der Gleichung ( 25 ):

( 26 ) y zuT y A1−

+⋅=

…multipliziert mit z :

( 27 ) y zuT zy A +⋅=

…und aufgelöst nach y:

( 28 ) u z

zT y A

1−

⋅=

Um den Zusammenhang zwischen Z- und S-Bereich herzuleiten, vergleichen wir einfachGleichung ( 28 ) mit Gleichung ( 22 ). Es folgt für s:

( 29 )

zT

zs

A⋅

−≈

1

Somit haben wir die Rückwärts-Rechteckregel nach der Approximation ( 20 ) hergelei-tet.

Übung: Leiten Sie nach dem gleichen Prinzip die Approximation nach der Vorwärts-Rechteckregel her.

4.7. Herleitung der bilinearen Approximation

Die Herleitung der bilinearen Approximation ( 21 ) basiert auf der mathematischenReihenentwicklung des natürlichen Logarithmus im Ausdruck ( 18 ):

( 30 ) ( )( )

( )( )

+

+

−+

+

−+

+

−=⋅= ...

1

1

5

1

1

1

3

1

1

12)ln(

15

5

3

3

z

z

z

z

z

z

T z

T s

A A

Für die Approximation nehmen wir nur den ersten Term:

( 31 )

+

−≈

1

12

z

z

T s

A

Damit haben wir die bilineare Approximation ( 21 ) bereits hergeleitet.

Uns interessiert nun aber der Zusammenhang zur Trapezregel. Dazu nehmen wir wiederdie Gleichung ( 22 ) des reinen Integrators und setzen die Approximation ( 31 ) anstelle von s ein:

( 32 ) u z

zT u

s y A

⋅

−

+≈=

1

1

2

1

…und ausmultipliziert:




( 33 ) [ ]u zuT

y zy A+=−

2

…dividiert durch z :

( 34 ) [ ]u zuT

y z y A 11

2

−−

+=−

…und rücktransformiert in den Zeitbereich:

( 35 ) [ ] 112

−−++= k k k

Ak yuu

T y

Wenn wir Gleichung ( 35 ) näher betrachten, erkennen wir die (rekursive) Trapezregel(vgl. Skript Teil 2, Abschnitt 4.4, Integral nach Trapezregel), welche in folgender Abbil-dung dargestellt ist:

Abbildung 2: Integral nach Trapezregel (blau)

4.8. Übungen zur Z-Transformation

Mit den Approximationen ( 19 ) bis ( 21 ) können Systeme nun auf sehr elegante Weise vom zeitkontinuierlichen S-Bereich in den zeitdiskreten Z-Bereich transformiert werden,also diskretisiert werden.

Dazu dienen folgende Übungen:

• PI-Regler diskretisieren nach bilinearer Approximation (Tustin):

)1

1()(sT

K sK N

p⋅

+= 1

12

+

−≈

z

z

T s

A

• PI-Regler diskretisieren nach Vorwärts-Rechteckregel:

)1

1()(sT

K sK N

p⋅

+= AT

zs

1−≈

• PD-Regler diskretisieren nach Rückwärts-Rechteckregel:

)1()( sT K sK V p ⋅+= zT

zs

A ⋅

−≈

1

• PID-Regler diskretisieren nach Rückwärts-Rechteckregel:

)11()( sT sT

K sK V

N

p ⋅+

⋅

+= zT

zs A ⋅

−≈ 1

• * PID-T1-Regler diskretisieren nach bilinearer Approximation für I-Anteil undRückwärts-Rechteckregel für D-T1-Anteil:

)1

11()(

1 +⋅

⋅+

⋅

+=

sT

sT

sT K sK V

N

p 1

12

+

−≈

z

z

T s

A

(I-Anteil) zT

zs

A ⋅

−≈

1(D-T1-Anteil)

* Das Resultat der letzten Übung ist im Buch [ 1 ], Beispiel 6.3, Seite 250 zu finden. Ta- belle/Bild 6.16 auf Seite 252 gibt eine Übersicht zu diskretisierten PID-Algorithmen.




4.9. Zusammenfassung Laplace- und Z-Transformation

Folgende Abbildung gibt eine Übersicht der Transformationen:

• Im zeitkontinuierlichen Bereich (links) führt die Laplace-Transformation vomZeitbereich (Zeit t ) in den s-Bereich.

• Im zeitdiskreten Bereich (rechts) führt die Z-Transformation vom abgetastetenZeitbereich (Abtastzeitpunkte k) zum z -Bereich.

• Vom zeitkontinuierlichem zum zeitdiskretem Bereich kann entweder direkt imZeitbereich diskretisiert werden (oben) oder vom s- in den z -Bereich umgerech-net werden über die Approximationen ( 19 ) bis ( 21 ).

• Umgekehrt findet der Übergang vom zeitdiskreten in den zeitkontinuierlichenBereich entweder über das „Halteglied“ im Zeitbereich oder die Funktion

vom z - zum s-Bereich statt.

Abbildung 3: Übersicht der Transformationen

4.10. Z-Transformation in MATLAB

In MATLAB® kann eine Übertragungsfunktion direkt im Z-Bereich definiert werden.Dazu verwenden wir wieder den Regelkreis der Kaffeemaschine aus Skript, Teil 1. InSkript, Teil 3, Abschnitt 4.8 haben wir dafür bereits einen zeitdiskreten Regler ausgelegt,und zwar mit der TUSTIN-Methode. Wir haben dort den zeitdiskreten Regler Kz also ausdem zeitkontinuierlichen Regler K berechnet. Hier wollen wir nun den zeitdiskretenPID-Regler Kz gemäss Gleichung ( 13 ) direkt im Z-Bereich definieren.

Wir verwenden dazu folgende MATLAB-Befehle:

Funktion MATLAB-BefehlDefinition des Reglers im Z-Bereich

Gleichung ( 13 ) mit Koeffizienten ( 9 )

z = tf(‘z’, TAbtast)

b0 = Kp+Ki*TAbtast+Kd/TAbtast

b1 = -Kp-2*Kd/Tabtast

b2 = Kd/Tabtast

Kz = (b0*z^2+b1*z+b2)/(z*(z-1))

Reglereinstellung Kp = 0.5; Ki = 0.2; Kd = 0.3;

Abtastzeit TAbtast = 0.1

File: RT2_Lektion4_Regler_ZTrafo_Kaffeemaschine.m

(als Vorlage kann RT2_Lektion3_Regelkreis_Diskret_Kaffeemaschine.m verwendet werden)

AsT e z =




Im Gegensatz zur TUSTIN-Methode verbirgt sich hinter Gleichung ( 13 ) „nur“ dieRechteckregel, welche eine tiefere Robustheit aufweist (grössere Phasendrehung). Zu-dem ist der D-Anteil bei hohen Frequenzen unbegrenzt (ohne T1-Glied). Dies ist in un-tenstehenden Bode-Plots ersichtlich.

Der Bode-Plot des Reglers ist in der folgenden Abbildung dargestellt (mit einer Abtast-zeit von 0.1 sec).

Abbildung 4: Bode-Plot des zeitkontinuierlichen (K blau) und des zeitdiskreten PID-Reglers nach

Rechteckregel (Kz rot).

Abbildung 4 oben wird nun mit Abbildung 10 aus Skript Teil 3 verglichen. Wiederum isthier bei ca. 30 rad/s die Shannon-Frequenz ersichtlich. Der D-Anteil ist hier nicht begrenzt (steigt bei hohen Frequenzen ins Unendliche an), was in der Realität nicht um-setzbar wäre. Unterhalt der Shannon-Frequenz sehen wir einen deutlich früher einset-zenden Phasenabfall in Abbildung 4. Der Grund liegt in der verwendeten Rechteckregel.

Abbildung 5 zeigt den Bode-Plot des offenen Kreises (open loop L). Im Vergleich zur Abbildung 11 aus Skript Teil 3 ist hier eine etwas reduzierte Phasenreserve ersichtlich(aber immer noch knapp 90°). Oberhalb der Durchtrittsfrequenz nimmt der Phasenab-

fall deutlich zu.

-10

0

10

20

30

40

50

M a g n i t u d e ( d B )

10-3

10-2

10-1

100

101

102

103

-90

-45

0

45

90

P h a s e ( d e g )

Bode Diagram

Frequency (rad/s)

K

Kz




Abbildung 5: Bode-Plot des zeitkontinuierlichen (L blau) und des zeitdiskreten offenen Loops nach

Rechteckregel (Lz rot).

Übung: Zeichnen Sie die Bode-Plots für eine 10-fach höhere Abtastfrequenz auf (Ab-tastzeit = 0.01 sec) und erklären Sie den Einfluss auf die Robustheit!

4.11. Stabilitätskriterium in der Z-Ebene

Als nächster Schritt wollen wir nun ein Kriterium für die Stabilität eines Systems im Z-Bereich entwickeln. Wir erinnern uns aus dem zeitkontinuierlichen Bereich an die Pol-lage in der S-Ebene, Abbildung 6. Die Pole in der linken Halbebene sind stabil (negativerRealteil σ ) und die Pole in der rechten Halbebene sind instabil (positiver Realteil σ ). DieLage in der imaginären Richtung (i ω ) gibt die Schwingfähigkeit an.

Abbildung 6: Pole in der S-Ebene (Realteil σ σσ σ , Imaginärteil i ω ωω ω )

-100

-50

0

50

100

M a g n i t u d e ( d B )

10-3

10-2

10-1

100

101

102

103

-225

-180

-135

-90

-45

P h a s e ( d e g )

Bode Diagram

Frequency (rad/s)

L

Lz




In Gleichung ( 17 ) ist der Zusammenhang zwischen Z- und S-Bereich gegeben. Wirsetzen für den Laplace-Operator s nun s = σ + i ω und erhalten folgende Transformation:

( 36 ) A A A A T iT T isT

eeee zω σ ω σ

⋅===+ )(

Nun setzen wir die Pole aus Abbildung 6 in Gleichung ( 36 ) ein. Für den Grenzfall einesPols auf der imaginären Achse mit σ = 0 erhalten wir:

( 37 ) A A A T iT iT eee z ω ω

ω σ ⋅=⋅== 1),0( 0

Wir „landen“ also auf dem Einheitskreis mit Radius 1. Die Phase ist ω T A und entsprichtdem Winkel in der Z-Ebene. Die Stabilitätsgrenze wird also von der vertikalen Linie ineinen Einheitskreis verformt.

Für einen Pol in der linken Halbebene mit σ < 0 von Abbildung 6 folgt:

( 38 ) A

A

A A T i

T

T iT e

eee z

ω

σ

ω σ ω σ ⋅=⋅=<

− 1),0(

Dieser hat also einen Radius < 1 und liegt innerhalb des Einheitskreises. Im Gegensatz

dazu werden Pole in der rechten Halbebene mit σ > 0 in Pole ausserhalb des Einheits-kreises transformiert.

Somit folgt das Stabilitätskriterium in der Z-Ebene gemäss Abbildung 7.

Abbildung 7: Pole in der Z-Ebene




4.12. Beispiel in MATLAB zur Stabilitätsanalyse in der Z-Ebene

Wir wollen nun die Pollage unseres bekannten Regelkreises der Kaffeemaschine aus Ab-schnitt 4.10 mit MATLAB® in der Z-Ebene analysieren.

Wir verwenden dazu folgende MATLAB-Befehle:

Funktion MATLAB-BefehlPole im Z-Bereich manuell ausdem S-Bereich berechnen

exp(ai*Tabtast)

für jeden Pol ai des S-Bereichs Pole mit MATLAB-Befehl berechnen(im S- und Z-Bereich)

pole(G) S-Bereich pole(Gz) Z-Bereich auf Regelstrecke G/Gz, Open Loop L/Lz,

und Closed Loop T/Tz anwenden Nullstellen mit MATLAB-Befehl berechnen(im S- und Z-Bereich)

zero(G) S-Bereich zero(Gz) Z-Bereich auf Regelstrecke G/Gz, Open Loop L/Lz,

und Closed Loop T/Tz anwenden Pole-Zero-Map pzmap(G) S-Bereich

pzmap(Gz) Z-Bereich

auf Regelstrecke G/Gz, Open Loop L/Lz, und Closed Loop T/Tz anwenden

File: RT2_Lektion4_Stabilitaet_ZBereich_Kaffeemaschine.m

(als Vorlage kann RT2_Lektion4_Regler_ZTrafo_Kaffeemaschine.m verwendet wer-den)

Folgend sind die Plots der Pole-Zero-Maps für die Regelstrecke, Open Loop und ClosedLoop dargestellt, und zwar für den zeitkontinuierlichen Fall (S-Ebene, links) und denzeitdiskreten Fall (Z-Ebene, rechts).

Für die Regelstrecke (Abbildung 8) ist die Pollage einfach nachzurechnen. Aus der zeit-kontinuierlichen Darstellung ( 39 ) sind die Pole s1 und s2 durch ( 40 ) gegeben.

( 39 ))()(

)(21 asas

bsG

+⋅+

=

( 40 ) 111 −=−= as 122 −=−= as

Die Pole im zeitdiskreten Bereich können einfach durch folgende Formel aus dem zeit-kontinuierlichen Bereich berechnet werden:

( 41 ) 9048.01.01

11

===⋅−⋅−

ee z AT a 9048.01.01

22

===⋅−⋅−

ee z AT a

Wir haben also einen Doppelpol bei 0.9048 (Abbildung 8 rechts). Offenbar hat es imzeitdiskreten Fall auch Nullstellen, welche durch die Diskretisierung entstanden sind.Dazu muss die Übertragungsfunktion ( 39 ) diskretisiert werden, und zwar nach derTUSTIN-Approximation (diese wurde in MATLAB ja verwendet). Setzt man für s die Approximation ( 21 ) ein, folgt:

( 42 )

)1

12()

1

12(

)(

21 a z

z

T a

z

z

T

b zG

A A

+

+

−⋅+

+

−≈




…und nach kurzem Umformen (Übung!):

( 43 )[ ][ ])2()2()2()2(

)1()(

2211 aT zaT aT zaT

b zT zG

A A A A

A

−−+−−+

+≈

Also für die Nullstellen im Z-Bereich (Zähler = 0 gesetzt):

( 44 ) 121 −== z z

… und die Pole im Z-Bereich (Nenner = 0 gesetzt):

( 45 ) 9048.01.2

9.1

11.02

11.02

2

2

1

11 ==

⋅+

⋅−=

+

−=

aT

aT z

A

A 9048.01.2

9.1

11.02

11.02

2

2

2

22 ==

⋅+

⋅−=

+

−=

aT

aT z

A

A

Das Resultat in ( 45 ) haben wir bereits mit der einfacheren Berechnungsmethode ( 41 )gefunden!

Abbildung 8: Pole (x) und Nullstellen (o) der Regelstrecke G in der S-Ebene (links) und Z-Ebene

(rechts)

Auf ähnliche Weise könnten wir auch die Pole und Nullstellen des offenen Regelkreises L

in Abbildung 9 berechnen (Übung!). Hier ist das Resultat des MATLAB-Befehls„pzmap“ dargestellt. Zusätzlichen zu den Polen der Regelstrecke kommt hier noch einPol bei 0 (S-Ebene, links) bzw. bei 1 (Z-Ebene, rechts), welcher vom I-Anteil des Reglersstammt. Die zusätzlichen Nullstellen kommen ebenfalls von der Multiplikation der Re-gelstrecke G(s) bzw. G(z) mit der PID-Regler-Übertragungsfunktion K(s) bzw. K(z).

Abbildung 9: Pole (x) und Nullstellen (o) des Open Loops L in der S-Ebene (links) und Z-Ebene

(rechts)




Für die Analyse der Stabilität des geschlossenen Regelkreises T ist nun die Pollage in Abbildung 10 massgebend. Bis auf den Pol bei 0 (S-Ebene) bzw. 1 (Z-Ebene) sind allePole in der linken Halbebene (S-Ebene) bzw. innerhalb des Einheitskreises (Z-Ebene).Der Pol bei 0/1 wird durch die Nullstelle bei 0/1 aufgehoben. Somit ist sowohl derzeitkontinuierliche wie auch der zeitdiskrete Regelkreis stabil .

Abbildung 10: Pole (x) und Nullstellen (o) des Closed Loops T in der S-Ebene (links) und Z-Ebene

(rechts)

Die Werte der entsprechenden Pole und Nullstellen können mit dem MATLAB-Befehl„pole“ bzw. „zero“ auch numerisch ausgegeben werden (Übung!).

4.13. Zusammenfassung

Teil 4

Gelerntes Lernziel erreicht?Der Zweck der Z-Transformation ist die einfachere Darstellung von Systemen im zeitdiskreten Bereich. Sie ist analog zur La-place-Transformation im zeitkontinuierlichen Bereich zu ver-

stehen. Der Z-Operator ist eine Art „Time-Shift-Operator“.

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Übertragungsfunktionen können im Z-Bereich dargestellt wer-den. Sie können miteinander multipliziert werden, analog zumS-Bereich.

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Die wichtigsten Transformationen zwischen Laplace(s)– und Z-Bereich können durchgeführt werden. Dazu gehören die Appro-ximationen nach Rechteckregel und die bilineare Transformati-on (TUSTIN).

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Auch in MATLAB können die Z-Transformationen durchgeführt werden. Für die Diskretisierung (Transformation vom zeitkonti-nuierlichen in den zeitdiskreten Bereich) gibt es die einfacheMethode „c2d“, welche direkt eine Übertragungsfunktion im Z-Bereich ausgibt. Zudem kann mit dem einfachen Trick z =tf(‘z’, TAbtast)eine Übertragungsfunktion direkt im Z-Bereich definiert werden.

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Teil 5

Gelerntes Lernziel erreicht?Der Zusammenhang zwischen Z- und Laplace-Ebene ist ver-standen. Die Transformationen können in alle Richtungen statt-finden, also vom zeitkontinuierlichen in den zeitdiskreten Be-reich und vom Zeitbereich in den Z-/S-Bereich bzw. umgekehrt.Die einzelnen Operationen wurden besprochen.

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Die Stabilität eines Systems kann auch im Z-Bereich durch diePollage beurteilt werden. Hier ist die Stabilitätsgrenze allerdingsdurch den Einheitskreis gegeben. Die Pole innerhalb sind stabil ,ausserhalb instabil. Dies kann auch mit dem MATLAB-Befehl„pzmap“ dar estellt werden.

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RT2 EIT Skript Teil4 5 ZTransformation Stabilitaet V1.0