Ruch drgający drgania mechaniczne

Na czym polega ruch drgający

Obserwacja ruchów drgających

Definicja różnych typów ruchów drgających

Co wspólnego mają ze sobą wszystkie te ruchy?

Na czym polega ruch drgający

każdy układ ma położenie równowagi, w którym znajduje się, gdy nie drga; drgając, przechodzi przez ten punkt wielokrotnie; rozpędzone ciało nie zatrzymuje się w położeniu równowagi, lecz porusza się dalej,

prędkość w czasie ruchu na przemian rośnie i maleje: w położeniu równowagi jest największa, podczas zbliżania się do położenia równowagi rośnie, a podczas oddalania się od niego maleje,

maksymalne wychylenie w jedną stronę jest równe maksymalnemu wychyleniu w drugą stronę

czas przebywania wahadła po jednej stronie położenia równowagi jest równy czasowi przebywania po drugiej stronie.

Obrazowanie ruchu drgającego

Ruch obrotowy a ruch drgający

Kamień celtycki

Ruch po okręgu z innej perspektywy

Ruch obrotowy a ruch drgający

x

y

R

Układ biegunowy

2;0

constR

Układ kartezjański

)sin(

)cos(

Ry

Rx

Opis matematyczny

Równanie dynamiki dla ruchu obrotowego

Sprężynka i ciężarek

Opis matematyczny

mg

kx

(+) x Xw

Opis matematyczny

wkxmgma

Warunki równowagi – wykonujemy eksperyment bardzo powoli

0kxmg

)(0 txxxw

Opis matematyczny

0)()(

0)()(

)()(

))(())((

2

2

2

2

02

2

020

2

2

2

txm

k

dt

txd

tkxdt

txdm

tkxkxmgdt

txdm

txxkmgdt

txxdm

kxmgdt

xdm w

w

Warunek równowagimg=kx0

Opis matematyczny

m

ktA

m

ktA

tAdt

txd

sprawdzamy

tAtx

txm

k

dt

txd

22

22

2

2

2

0)sin()sin(

)sin()(

)sin()(

0)()(

Opis matematyczny

Analogicznie dla wahadła matematycznegoDla małych kątów prawdziwa jest relacja

tgsin

mg

Fn

Fx

L

x

0

sin

2

2

2

2

2

2

2

2

xl

g

dt

xd

l

xmg

dt

xdm

mgdt

xdm

tgmgdt

xdm

Opis matematycznyAnalogicznie dla wahadła fizycznego

Dla małych kątów prawdziwa jest relacja

tgsin

02

2

2

2

I

mgd

dt

d

Mdt

dI

d

mg

F

Drgania1.exe Drgania2.exe

Opis matematyczny

)sin(

022

2

tAx

xdt

xdRównanie dynamiki oscylatora harmonicznego

Równanie ruchu oscylatora harmonicznego

)sin(

02

βt

202

2

tAex

xdt

dx

dt

xd Równanie dynamiki tłumionego oscylatora harmonicznego

2201

Opis matematyczny

20

222220

0

0202

2

2sin

)2()(

1

sin2

arctgtm

Fx

tm

Fx

dt

dx

dt

xd

Oscylator harmoniczny tłumiony wymuszony

2201 2

Opis matematyczny

fT

2

2

TTttee

e

e

TtAe

tAe

Ttx

tx

Ttt

Tt

t

Tt

t

)()ln()ln(

ln))(sin(

)sin(ln

)(

)(ln

)(

)()(

Energia ruchu drgającego

pkc EEE

2

2mvEk

2

1

)(x

x

p dxxFE

Dla sprężyny22

2

0

2

0

wxx

ps

xk

xkkxdxE

ww

Dodatkowo

2

22

2

)sin()sin(

)sin(

mk

tAmtkA

kxFdt

xdmmaF

tAx

Energia ruchu drgającego

maxmaxkpsc EEE

2222

)cos()sin(

222maxmax

22maxmax

Am

vmE

Ak

xkE

tAdt

dxvtAx

kw

ps

Dla charakterystycznych punktów ruchu

Energia ruchu drgającego

kpsc EEE

2

))(cos)((sin2

2

)(cos

2

)(sin

)cos()sin(

2

222

2

22222

AkE

ttkA

Ekm

tAm

tAkE

tAdt

dxvtAx

c

c

c

Dla dowolnego położenia

Dobroć układu drgającego

Q=2 energia zgromadzona . energia tracona w czasie jednego okresu

TeQ

21

12

2

1 Q

Tgdy

Nieustanne drgania

Świat dookoła nas znajduję się w nieustannym ruchu

Ogromna część tego ruchu ma charakter oscylacji harmonicznych Przykład: temperatura ciał stałych

(film)

Rezonans mechaniczny

Każdy układ drgający ma określoną częstość drgań własnych

Zjawisko pobudzania do drgań za pomocą impulsów o częstotliwości równej z częstotliwością drgań własnych pobudzanego układu nazywamy rezonansem mechanicznym.

Doświadczenia z siłą pobudzającą

Rezonans mechaniczny

Rezonans dobry i zły Małe latające owady, Jak wypchnąć samochód z dołka Huśtawki

Duże konstrukcje

Rezonans mechaniczny

Bridge.exe

Rezonans mechanicznyCzasami warto unikać rezonansu – fakty

1. Most w pobliżu Manchesteru w Anglii załamał się pod rytmicznymi krokami zaledwie 60 ludzi

2. Batalion piechoty francuskiej, przechodzący równym krokiem przez most w Angers. Most runął grzebiąc pod sobą 280 żołnierzy.

Ważne

Gdzie można znaleźć źródła wykładów

www.mif.pg.gda.pl/homepages/bzyk

Fale w ośrodkach sprężystych

Fale mechaniczne

Potrzebny jest ośrodek drgający

Cecha charakterystyczna to przenoszenie energii poprzez

materię dzięki przesuwaniu się zaburzenia w materii a nie

dzięki ruchowi postępowemu całej materii.

Fale mechaniczne

Równanie ruchu dla fali mechanicznejmodel drobin

),( txfy

Fale mechaniczne

Model sznura

sin dy/dx

1212 sinsin FFFFFwyp

Fale mechaniczne

dm = dx

212 )(v

)(t

ydx

tdxFFF y

wyp

2

2

2

t

y

Fx

= y/x 2

2

2

2

t

y

Fx

y

Fale mechaniczne

2

2

2

2

t

y

Fx

y

)sin(22

2

txkAt

y

)sin(22

2

txkAkx

y

)sin(),f( txkAtxy

22 F

k

F

kv

Fale mechanicznePodłużne - drgania pręta

xx x+dx

s s+ds

F1 F

p

),( txss dxx

ssdstxstdxxs

),(),(

pAF 1 AdppFp )(

s – przemieszczeniep – naprężenie

Adxm 2

2 ),(t

txsa

pAF 1 AdppFp )(

II zasada dynamiki

dpts

dxdpAts

Adx

AdpppAts

Adxma

2

2

2

2

2

2

)(

xp

ts

2

2

xp

ts

2

2

Korzystamy z prawa Hooke’aEp

ll

EAlF

l

dxxs

sldxlDla naszego przypadku

I mamy skrócenie więc:

xs

Ep

2

2

2

2

2

2

2

2

xsE

ts

xs

Ets

Fale mechaniczne

2

2

22

2

v

1

t

y

x

y

Przenoszenie energii przez fale

P = Fyvy

vy = y/t Fy= Fsin

sint

yFP

Fale mechanicznePrzenoszenie energii przez fale

sint

yFP

sin  – y/x

x

y

t

yFP

)sin(),f( txkAtxy

)cos( tkxAt

y

)cos( tkxkAx

y

Fale mechanicznePrzenoszenie energii przez fale

)(cos22 txkkFAP

k = /v, = 2f /v F

)(cosv4 2222 tkxfAP

Moc, czyli szybkość przepływu energii zależy od kwadratuamplitudy i kwadratu częstotliwości - zależność prawdziwa dla wszystkich typów fal.

Interferencja fal

y1 = Asin(kx – t – ) , y2 = Asin(kx – t)

Rozpatrzymy dwie fale

y = y1 + y2

y = 2Acos(/2)sin(kx – t – /2)

Aplikacja

Fale stojące

y1 = Asin(-kx + t) , y2 = Asin(kx + t)

Rozpatrzymy znowu dwie fale

y=y1+y2= 2Asinkxcost

Aplikacja

Dudnienia ‑ modulacja amplitudy

Przez nieruchomy punkt przebiegają dwa zaburzeniao bardzo zbliżonej częstotliwości.

y1 = Acos2v1t y2 = Acos2v2t

y = y1 + y2 = A(cos2v1t + cos2v2t)

tvv

tvv

Ay

2

2cos2

2cos2 2121

Dudnienia ‑ modulacja amplitudy

tvv

tvv

Ay

2

2cos2

2cos2 2121

srednie = (1 + 2)/2 amp = (1 – 2)/2

Aplikacja

Zjawisko Dopplera

Parametry: - długość faliT - okres drgańf0 - częstotliwość zestrojenia źródła dźwiękuc - prędkość dźwiękuv - prędkość źródła dźwięku

c

f 0

vdoppler.exe

Zjawisko Dopplera

vT

cf

vT

c

f

1

cv

ff

1

0

1c

f Gdy źródło zbliża się do odbiornika

Gdy źródło oddala się od odbiornika

vT

cf

vT

c

f

1

cv

ff

1

0

doppler.exe

Zjawisko Dopplerav

vc

f

1

c

vccf

1

c

vff 101

Obserwator zbliża się do źródła

f0

Obserwator oddala się do źródła

vcf

1

c

vccf

1

c

vff 101

Zjawisko Dopplera

cvcv

ffz

o

1

1

01

Ogólna postać równania na częstotliwość odbieraną przezobserwatora poruszającego się z prędkością vo generowanąprzez źródło poruszające się z prędkością vz

Fala uderzeniowa

cvcv

ffz

o

1

1

01

Co się stanie gdy prędkość jakiegokolwiek elementu, układuźródło odbiornik, poruszałby się z prędkością dźwięku.