RUGALMAS HULL ÁMOK

RUGALMAS HULLRUGALMAS HULLÁMOKÁMOK

Hooke féle közelítésHooke féle közelítés

Feltételezzük, hogy a feszültségek a deformációkkal egyenes arányban állnak.

Ez a feltételezés idealizált közegnek felel meg. Ezt a közeget Hooke-féle közegmodellnek nevezzük.

Mit nevezünk feszültségnek ?Mit nevezünk feszültségnek ?

A rugalmas felületre ható feszültséget a felületre ható erőből számítjuk ki.

Van egy véges kiterjedésü felületünk. Erre hat egy F erő.

A feszültség átlagos értéke a felületen az erő és a felület nagyságának a hányadosa.

Egy adott pontban a feszültséget úgy értelmezzük, mint a hányados határértékét, miközben a felület egy ponttá zsugorodik össze.

A feszültség hatása egy adott A feszültség hatása egy adott felületrefelületre

Rugalmas szilárd test belsejében egy tetszőleges P pontban ható erő által keltett feszültséget a P ponton áthaladó tetszőleges irányítottságú felületre vonatkoztatjuk.

Jelölje n a felület normálvektorát. A feszültséget felbonthatjuk a normálvektor irányába és az erre merőleges irányba eső feszültségvektor összetevőkre.

A normálvektor irányába eső feszültségvektort húzó, vagy nyomófeszültségnek nevezzük, a feszültségvektor n-re merőleges komponensei a nyírófeszültségek.

A feszültség hatása egy adott A feszültség hatása egy adott felületrefelületre

Példa:

Ha n iránya megegyezik F irányával, nyírófeszültségek nem lépnek fel.

A feszültségek felbontásaA feszültségek felbontása

Vegyünk egy, a koordinátatengelyekkel párhuzamos élű prizmát.

A szilárd testek valamelyik szabad felszínén alkalmazott terhelés a többi szabad felületen mérhető hatással jár. Külső erő hatására a rugalmas test belsejében is feszültségek alakulnak ki.

A feszültség a test belső pontjában közvetlenül nem mérhető.

De: a külső felszíneken fellépő erők a belső reakció-erőkkel egyensúlyt tartanak. Ezek megmérhetők.


A prizma lapjain ható feszültségeket felbontjuk a lapra merőleges, normális irányú húzó-nyomó feszültségekre és a lapok síkjában ható nyíró feszültségekre.


Pxx, Pyy, Pzz – főfeszültségek, ezek a koordináta tengelyek irányába eső húzó, nyomó feszültségek.

Pxy, Pxz, Pyx, Pyz, Pzx, Pzy – nyírófeszültségek

(Pxy = Pyx, Pxz = Pzx, Pyz = Pzy)

Hat független komponens egy szimmetrikus tenzor formájában is felírható, ezt nevezzük feszültségtenzornak.

A feszültségek felbontásaA feszültségek felbontásaAz egyes tengelyekre merőleges három felületelemre ható feszültségek komponensei :

pxx pxy pxz

pyx pyy pyz

pzx pzy pzz

A feszültség tenzor kilenc eleme nem független egymástól.Az ábrán látható térfogatelem z-vel párhuzamos tengely körüli forgásakor a forgást létrehozó forgatónyomatéknak egyenlőnek kell lennie az impulzusmomentum z komponensének idő szerinti deriváltjával.

__________________ahol ω a szögsebesség, paralelepipedon tehetetlenségi nyomatéka

DeformációkDeformációk

A rugalmas testben ébredő feszültségeket a deformációk okozzák

A Hooke törvény (közelítés) azt mondja ki, hogy a fesszültség tetszőleges összetevője a deformáció lineáris függvénye

DeformDeformációkációk

A deformálható test egy P pontjának a helyzete a deformáció után : P‘A P pont közelében elhelyezkedő Q pont új helyzete : Q’

A PQ és a P’Q’ távolság nem feltétlenül egyenlő.

A deformációk leírásához az x, y, z irányú elmozdulások mindhárom térváltozó szerinti deriváltjára szükség van

DeformDeformációkációkJelölje az x irányú elmozdulást : uJelölje az y irányú elmozdulást : vJelölje a z irányú elmozdulást : w

DeformDeformáció menyiségekáció menyiségek

DeformDeformációkációk

Az u, v, w elmozduláskomponenseket úgy definiáljuk, mint az x, y, z irányba eső felületrészek elmozdulását. Ezért mindhárom elmozduláskomponensnek lehetlehetséges, hogy van x, y, z szerinti nem nulla deriváltja.

Lamé féle állandókLamé féle állandók

A mérnöki munkájuk tapasztalatait Lamé és társa, Clapeyron a „Sur l’equilibre interieur des corps solides homogénes” című, közösen írt és 1833-ban megjelentetett könyvükben összegezték.

Ennek az 1833-as publikációnak Lamé által írt fejezeteiben bukkant fel először az a gondolat, amely az elmozdulás-módszerre építő rugalmasságtani megoldási technikához vezetett.

A rugalmas anyagi viselkedés vizsgálata során ekkor még ő is (franciakortársaihoz hasonlóan) egyetlen egy anyagi konstanst használt.

Lamé féle állandókLamé féle állandók

Rugalmasságtani vizsgálatait Lamé az1852-ben megjelent „Leçons sur la théorie mathématique de l'élasticité des corps solides” (Bachelier) című könyvében összegezte. Ez volt az első könyv a világon, amely kifejezetten csak a szilárdságtan elméleti kérdéseire összpontosított és ebben az értelemben unikumnak számít.

Ebben a művében már – Cauchy-val és Poisson-nal ellentétben – két konstanst használt a rugalmas anyagi viselkedés elméleti modellezésére (ezeket hívják ma a mechanikában Lamé-állandóknak).

Kifejezetten bátor tett volt ez a részéről – Cauchy bírálta is érte –, mert még sokat kellett várnia a mechanikával foglalkozóknak, amíg a laboratóriumi kísérletek a század második felében végre igazolták a kétparaméteres modell helyességét.

Lamé-féle állandókLamé-féle állandókHomogén, izotróp (minden irányban azonos módon viselkedő) közegben a feszültségek és a deformációmennyiségek kapcsolatát két állandó segítségével felírhatjuk.

Ezek a Lamé féle állandók : λ és μ, ahol λ a méret változással, μ pedig a nyírás irányú változásokkal arányos. μ – t nyírási modulusnak is nevezik.

Jelölje θ a relatív méret változást :

Ekkor a Lamé féle összefüggés:

Rugalmassági állandókRugalmassági állandók

A rugalmas anyagi viselkedés leírására különböző kutatók 36 féle „állandót” vezettek be. Ezek egymással összefüggnek, egymásból általában kiszámíthatók.

A szeizmikus kutatásban leggyakrabban használtak :

Két Lamé féle állandó : λ és μ

Inkompresszibilitási együttható : κ

Young állandó : E

Poisson állandó : σ

Rugalmassági állandókRugalmassági állandókInkompresszibilitási együttható : κ

Azt mutatja meg, hogy mennyire összenyomhatatlan egy anyag egy minden irányból egyformán ható (hidrosztatikus) nyomás hatására.

Ha egy elemi anyagmintára minden irányból egyforma nagyságú, p nyomás hat, akkor a normális feszültségek azonosak:

pxx = pyy = pzz = p

a nyírófeszültségek pedig eltünnek : pxy = pxz = pyz = 0

Ekkor a Δp minden irányból ható nyomásváltozás következtében fellépő θ relatív térfogatváltozás kapcsolatát a

-Δp = κθ

egyenlet írja le. A negatív előjel azt mutatja, hogy a nyomás növekedésével a térfogat csökken.


Young modulus : E

egy hosszú, vékony rúd hosszirányú deformációját írja le, a hossztengelyében ható feszültség hatására.

A pxx feszültségkomponens hatására fellépő εxx deformációmennyiség kapcsolata :

E εxx = pxx

A Young modulus a hosszirányú megnyúlást írja le.

Rugalmassági állandókRugalmassági állandókPoisson állandó

egy hosszú, vékony rúd oldalirányú deformációjának és hosszirányú megnyúlásának a hányadosát írja le, a hossztengelyében ható feszültség hatására.

A hosszirányú deformációt keresztirányú deformáció kíséri. Húzás hatására az anyag keresztirányban összehúzódik, nyomás hatására keresztirányban kiterjed. Ennek relatív nyagyságát a σ Poisson állandó írja le.

Az εxx hosszirányú deformációmennyiség és az εyy és εzz keresztirányú deformációmennyiségek kapcsolata :

εyy = - σ εxx és εzz = - σ εxx

A Poisson állandó a hossz és oldalirányú deformációk arányát írja le.

Rugalmassági állandókRugalmassági állandókA hosszirányú megnyúlás és az oldalirányú összehúzódás következtében fellépő térfogatváltozás :

θ = (1 - 2σ) ε

Az előbbi egyenletekből κ, λ és μ egyszerűen kifejezhetők a Young állandó és a Poisson állandó segítségével.

Az egyenletek gyakorlati jelentőségét az adja, hogy λ és μ a kőzetmintákon nem mérhető, a Young, illetve Poisson állandók viszont laboratóriumi mérésekkel egyszerűen meghatározhatók.

Young modulusYoung modulus

A Young modulus az x irányú feszültség és a feszültség hatására létrejövő relatív megynyúlás hányadosa – dimenziója azonos a feszültség dimenziójával

Poisson állandó (Poisson ratio)Poisson állandó (Poisson ratio)

A Poisson állandó az oldalirányú kiterjedés (vagy összehúzódás) és a relatív hosszirányú összenyomódás (vagy megnyúlás) hányadosa. A Poisson állandó egy dimenizótlan mennyiség.

Rugalmassági állandókRugalmassági állandókAz előbbiekből látszik, hogy κ, λ, μ és E feszültség dimenziójú mennyiségek.

A Poisson állandó, σ dimenziótlan mennyiség.

σ = 0.5 tökéletesen összenyomhatatlan anyagnak felel meg. A kőzetek esetében σ értéke általában 0.25 és 0.4 között változik.

λ és μ viszonya az előbbi egyenletekből :

Ha σ=1/3 , ebből λ=2μ, míg, ha σ=1/4, ebből λ=μ következik.


A szokásos anyagoknál a Poisson-tállandó 0,1 és 0,4 közötti értéket vesz fel.

Néhány anyag Poisson-tényezője:

Alumínium: 0,33 Acél: 0,2-0,33 Beton: 0,2 Ólom: 0,45 Sárgaréz: 0,37 Üveg: 0,23 SiC: 0,17 Si3N4: 0,25


Néhány anyag Young modulusa

Anyag Young modulusE (GPa)

Gumi 0.01-0.1Beton 30Fémes magnézium 45Üveg 72Vas 192-210Szén nanocső 1000+

MozgásegyenletMozgásegyenletNewton második axiómája :

erő = gyorsulás x tömeg

Vizsgáljuk a rugalmas közeg egy kis, Δx, Δy, Δz oldalhosszúságú prizmáját.

Ennek tömege : ρ Δx Δy Δz, ahol ρ a prizmán belül állandónak feltételezett sűrűség.

Amikor egy kocka alakú prizma egyensúlyi helyzete közelében viszonylag kis sebességgel mozog, gyorsulását azonosnak vehetjük az s elmozdulásvektor idő szerinti deriváltjával:

MozgásegyenletMozgásegyenlet

ERŐ

Tételezzük fel, hogy a prizmára ható F erő kizárólag rugalmas feszültségekből származik.

Vizsgáljuk az egyszerűség kedvéért kizárólag az F erő x irányú komponenseit.

Általános esetben a prizma minden lapján van a feszültségnek x irányú komponense.

MozgásegyenletMozgásegyenletJelöljük a feszültség tetszőleges komponensének értékét a test középpontjában „o” alsó indexszel. Ekkor az x tengelyre merőleges két lapon a feszültség x irányú komponensei :

(1)

(2)

Az x irányba ható erő komponens a két feszültség különbsége, szorozva a lap ΔyΔz nagyságú feületével :

MozMozgásegyenletgásegyenlet(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)


Az x irányba ható erőkomponens az y tengelyre merőleges két felületen:

Az x irányba ható erőkomponens a z tengelyre merőleges két felületen:

Az erő x irányú komponense:


A fenti egyenlet x irányú komponensébe beírva F x irányú komponensét :

Hasonló gondolatmenettel felírhatjuk az y és z irányú komponenseket :


Korábban már láttuk a Lamé féle összefüggést.

Ezeket felhasználva felírhatjuk a pxx, pyx és pzx feszültségkomponensek deriváltjait:


Az előbbiek segítségével a mozgásegyenlet x irányú komponense:

Hasonló módon az y és z irányú komponenseket is előállíthatjuk.

Vizsgáljuk meg azt a speciális esetet, amikor az y és z szerinti parciális deriváltak zérussá válnak. Ebben az esetben változás csak az x irányban történik. Ennek a szemléletes fizikai jelentése az, hogy a hullám x irányban terjed, és csak x irányú részecskemozgások vannak.

Ez az úgynevezett longitudinális hullámnak felel meg.


Az u=u(x,t) elmozdulásra vonatkozó parciális differenciálegyenletet egydimenziós hullámegyenletnek nevezzük.

Válasszunk egy u=u(k(x-αt)) alakú megoldást. Jelölje u” az u argumentuma szerinti második deriváltat. Ekkor a közvetett deriválás szabálya szerint az x és t szerinti parciális deriváltak:


Beírva ezeket az egydimenziós hullámegyenletbe, látszik, hogy az u függvény alakja és a k állandó is tetszőleges, (nem nulla), mert mindkét oldalon megjelenik. Ami marad :

Mivel u az elmozdulás x irányú komponense és a terjedési irány is az x tengely iránya, az itt leírt hullámot longitudinális hullámnak nevezzük.

Az itt szereplő α a longitudinális hullám sebessége.

MozgásegyenletMozgásegyenletHasonló módon ferírhatuk az előbbi egyenletet az v és w elmozduláskomponensekre. Ekkor a hullámegyenlet alakja a következő lesz:

Minkét egyenletet kielégíti a v = v(k(x-βt)), illetve a w = w(k(x-βt)) kétszer deriválható függvény, avval a feltétellel, hogy

kell, hogy legyen. Az argumentumban szereplő β paraméter a transzverzális hullám terjedési sebessége.

P hullámokP hullámok

A longitudinális hullámot P hullámnak (P=primary) is szokás nevezni

S hullámokS hullámok

A transzverzális hullámot S hullámnak (S=secondary, ill. S=shear) is szokás nevezni

Felszíni hullámok : Rayleigh Felszíni hullámok : Rayleigh hullámhullám

A részecskék cirkuláris mozgást végeznek

Felszíni hullámok: Love hullámFelszíni hullámok: Love hullám

A részecskék keresztirányú mozgást végeznek, a felszínen mozognak legerősebben.

Longitudinális hullám ?Longitudinális hullám ?

Documents

RUGALMAS HULL ÁMOK