17
Rumus – Rumus Segitiga Bab 6 March 29, 2022

Rumus-rumus segitiga

Embed Size (px)

DESCRIPTION

Matematika kelas xi

Citation preview

Rumus – Rumus Segitiga

Bab 6

April 22, 2023

Prasyarat Perhatikan gambar berikut.

a. Tunjukkan bahwa segitiga ABC dan segitiga PQR sebangun.

b. Sebutkan berbandingan sisi-sisi yang sama pada kedua segitiga itu.

April 22, 2023

A. Pengukuran Sudut1. Satuan Pengukuran Sudut

Sudut adalah suatu bangun datar yang dibatasi oleh

dua sinar (garis) yang bersekutu pada titik pangkalnya.

O A

B

Satu derajat (1o) didefinisikan sebagai ukuran sudut

yang besarnya putaran penuh. Apabila

diungkapkan bentuk matematis, dapat ditulis: 360

1

360

11o

April 22, 2023

Besar sudut dalam radian merupakan nilai perbandingan

antara panjang busur dengan panjang jari-jarinya.

Jika sudut-sudut pusat sebuah lingkaran dinyatakan dengan θ

(dalam radian), panjang busurnya s, dan jari-jari lingkaran itu r,

maka berlaku rumus berikut.

Satu radian (1 rad) didefinisikan sebagai besarnya sudut

pusat suatu lingkaran yang menghadap busur lingkaran yang

panjangnya sama dengan jari-jari lingkaran tersebut.

r

θ

r

s

April 22, 2023

2. Hubungan Satuan Derajat dan Radian

rad 1

o180 o3,57

o180 rad π

o1180

rad π

rad 0,0174

Perlu juga kalian ketahui bahwa

April 22, 2023

Contoh 1:

Jawab:

Ubahlah besar sudut dalam satuan derajat di bawah ini ke

dalam satuan radian.

a. 30o b. 24o 24'

o

o

180

30 rad π

rad π6

1

rad π180

6024

42

o

oo

a. besar sudut (radian)

b. besar sudut (radian)

April 22, 2023

Ubahlah besar sudut di bawah ini ke dalam satuan

derajat.

a. 2 rad b.

Contoh 2:

Jawab :

o6,114

rad 2rad

180o

rad 4

1

rad 4

1

a. besar sudut (derajat) =

b. besar sudut (derajat) = rad

180o

o45

April 22, 2023

B. Rumus-Rumus Segitiga1. Aturan Sinus

Dalam setiap segitiga ABC dengan panjang sisi-sisi

BC, AC, dan AB berturut-turut adalah a, b, dan c

satuan panjang dan besar sudut di hadapan sisi-sisi itu

berturut-turut adalah α , β , γ, berlaku aturan sinus

berikut.

sin

a sin

b

sin

c

Jika panjang sisi salah satu sudut dan

besar sudut di hadapan sisi tersebut

diketahui.

April 22, 2023

Contoh:

Jawab:

Pada segitiga ABC, sisi AC = 16 cm, AB = 21 cm, dan β = 42o, tentukan sudut-sudut segitiga ABC yang lain.

sin

b

Diketahui, AC = b = 16 cm, β = 42o, AB = c = 21 cm,

γ = ? BC = a = ? α = ?

sin

c

o42sin

16

sin

21

sin16

42sin21 o 8782,0

Dengan menggunakan kalkulator, diperoleh γ = 61,43o

Setelah besar sudut γ dan β diketahui, besar sudut α juga dapat dicari.α = 180o – ( γ + β ) = 180o – (42o+ 61,43o) = 76,57o.

April 22, 2023

2. Aturan Kosinus

Dalam setiap segitiga ABC dengan panjang sisi-

sisi BC, AC, dan AB berturut-turut adalah a, b, c

dan besar sudut di hadapan sisi-sisi itu berturut-

turut adalah α, β, dan γ, berlaku aturan kosinus.

a2 = b2 + c2 –2bc cos α

b2 = a2 + c2 – 2ac cos β

c2 = a2 + b2 – 2ab cos γ

Aturan kosinus juga dapat digunakan untuk mencari unsur-unsur

segitiga yang belum diketahui.

Aturan sinus tidak dapat digunakan apabila yang diketahui hanya

panjang semua sisinya, tidak ada satu pun suatu sudut dan panjang

sisi yang ada di hadapannya diketahui besarnya.

Masalah ini dapat diatasi dengan aturan kosinus.

April 22, 2023

Contoh:

Jawab :

Diketahui segitiga ABC, dengan panjang BC = 4 cm, AC = 6 cm,

dan γ = 65o. Tentukan panjang sisi AB.

Misalkan BC = a = 4 cm, AC = b = 6 cm, dan AB = c.

Dengan menggunakan aturan kosinus, panjang AB = c dapat dicari, yaitu

c2 = a2 + b2 – 2 ab cos γ

= 42 + 62 – (2)(4)(6) cos 65o

= 16 + 36 – 48 (0,4226)

c2 = 31,7152 c = 5,6316

April 22, 2023

H. Penerapan Trigonometri1. Penerapan Trigonometri untuk Mencari Luas Segitiga

a.Jika unsur segitiga yang diketahui

adalah sudut α , panjang sisi b, dan

panjang sisi c.

L = bc sin α2

1

b. Jika unsur segitiga yang diketahui adalah sudut β , panjang sisi a, dan c.

L = ac sin β2

1

c. Jika unsur segitiga yang diketahui adalah sudut γ , panjang sisi a, dan b.

L = ab sin γ2

1

April 22, 2023

A

Contoh:

Jawab:

Tentukan luas segitiga ABC apabila yang diketahui A = 120o, panjang

AC = 10 cm, dan panjang AB = 8 cm.

Misalkan AC = b = 10 cm,AB = c = 8 cm, dan α = 120o

L = bc sin α2

1Rumus yang digunakan :

L = (10)(8) sin 120O

2

1

L = (10)(8)2

1 32

1

320

April 22, 2023

Contoh 1 :

Sebuah alat pengamat digunakan untuk mengamati sebuah

balon dengan sudut elevasi 60o. Jarak alat pengamat ke titik

yang terletak di tanah tepat di bawah balon adalah 245 m.

Tentukan ketinggian balon tersebut.

Jawab:

Perhatikan sketsa di samping.

Masalah tersebut dapat

diselesaikan menggunakan

tangen sudut.

35,424324560tan245245

60tan 0 yy

x

y

Jadi, tinggi balon tersebut adalah 424,35 m

2. Penerapan Trigonometri dalam Kasus Umum

April 22, 2023

Cara lain adalah menggunakan kosinus.

Dengan menggunakan kosinus, terlebih dahulu kalian cari

panjang r.

4905,0

245

60cos

24524560cos

r

rr

x

Jadi, panjang r = 490 m.

Selanjutnya, dengan menggunakan rumus Pythagoras,

dapat dicari tinggi balon, yaitu

35,424245490 2222 xry

Jadi, tinggi balon adalah 424,35 m.

April 22, 2023

Contoh 2:

Sebuah pohon diamati oleh pengamat A dengan sudut elevasi 53o.

Di lain pihak, pengamat B juga mengamatinya dengan sudut

elevasi 30o. Jika jarak kedua pengamat 15 m, tentukan tinggi pohon

tersebut.

Jawab:

Perhatikan sketsa di samping.

Pada gambar tersebut, panjang BD dapat

dicari dengan aturan sinus. CAD = 53o

sehingga BAD = 180o – 53o = 127o.Karena besar sudut DBA = 30o maka

April 22, 2023

BDA = 180o – (DBA + BAD)= 180o – (127o + 30o) = 23o

BDA

AB

BAD

BD

sin

panjang

sin

panjang

BDA

BADAB

sin

sin panjangBD panjang

m 66,303907,0

7986,01523sin

127sin15

Tinggi pohon = panjang CD. Perhatikan segitiga siku-siku BCD.

(tinggi pohon)

April 22, 2023

BD

CDDBC

panjang

panjangsin

DBCBDCD sin panjang panjang

33,155,066,30

30sin66,30