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Regressao com Variaveis Nao EstacionariasRegressao Espuria
Cointegracao
Series Temporais e Modelos Dinamicos em
Econometria
Marcelo C. Medeiros
Departamento de EconomiaPontifıcia Universidade Catolica do Rio de Janeiro
Aula 12
Marcelo C. Medeiros Series Temporais e Modelos Dinamicos
Regressao com Variaveis Nao EstacionariasRegressao Espuria
Cointegracao
Regressao com Variaveis Nao-Estacionarias
Considere tres processos estocasticos definidos pelas seguintesvariaveis aleatorias
yt = µt + εt ,
xt = µt + νt ,
µt = µt−1 + ηt ,
onde µ0 = 0 e :
{εt , t = 1, . . . ,T} ∼ NID(0, σ2ε)
{νt , t = 1, . . . ,T} ∼ NID(0, σ2ν)
{ηt , t = 1, . . . ,T} ∼ NID(0, σ2η)
εt , νt e ηt sao variaveis aleatorias independentes para qualquerinstante de tempo t.
Marcelo C. Medeiros Series Temporais e Modelos Dinamicos
Regressao com Variaveis Nao EstacionariasRegressao Espuria
Cointegracao
Regressao com Variaveis Nao-Estacionarias
Considere a regressao
yt = β0 + β1xt + ut ,
onde as variaveis yt e xt foram definidas na transparenciaanterior.
Qual o valor de β0 e β1?
O que pode ser dito a respeito dos estimadores de mınimosquadrados ordinarios (MQO) β0 e β1?
Marcelo C. Medeiros Series Temporais e Modelos Dinamicos
Regressao com Variaveis Nao EstacionariasRegressao Espuria
Cointegracao
Regressao com Variaveis Nao-Estacionarias
Simulacao2000 amostras com 1000 observacoes de yt e xtPara cada amostra, β0 e β1 foram calculados por MQ0Veja o histograma dos estimadores
−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.80
50
100
150
200
250
0.92 0.93 0.94 0.95 0.96 0.97 0.98 0.99 1 1.01 1.020
50
100
150
200
250
Média: 0.0019
Média: 0.9893
Media do R2 para as 2000 amostras: 0.9788Marcelo C. Medeiros Series Temporais e Modelos Dinamicos
Regressao com Variaveis Nao EstacionariasRegressao Espuria
Cointegracao
Regressao com Variaveis Nao-Estacionarias
Considere agora a regressao
zt = β0 + β1xt + ut ,
onde a variavel xt foi definida anteriormente e
zt = 1.5 + 5.3xt + wt .
Qual o valor de β0 e β1?
O que pode ser dito a respeito dos estimadores de mınimosquadrados ordinarios (MQO) β0 e β1?
Marcelo C. Medeiros Series Temporais e Modelos Dinamicos
Regressao com Variaveis Nao EstacionariasRegressao Espuria
Cointegracao
Regressao com Variaveis Nao-Estacionarias
Simulacao2000 amostras com 1000 observacoes de yt e ztPara cada amostra, β0 e β1 foram calculados por MQ0Veja o histograma dos estimadores
1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 20
50
100
150
200
250
5.28 5.285 5.29 5.295 5.3 5.305 5.31 5.315 5.32 5.3250
50
100
150
200
250
Media do R2 para as 2000 amostras: 0.9996Marcelo C. Medeiros Series Temporais e Modelos Dinamicos
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Cointegracao
Regressao com Variaveis Nao-Estacionarias
Considere agora a regressao
yt = β0 + β1zt + ut ,
onde a variavel yt foi definida anteriormente e zt segue umpasseio aleatorio independente de yt , ou seja,
zt = zt−1 + wt .
Qual o valor de β0 e β1?
O que pode ser dito a respeito dos estimadores de mınimosquadrados ordinarios (MQO) β0 e β1?
Marcelo C. Medeiros Series Temporais e Modelos Dinamicos
Regressao com Variaveis Nao EstacionariasRegressao Espuria
Cointegracao
Regressao com Variaveis Nao-Estacionarias
Simulacao
2000 amostras com 1000 observacoes de yt e ztPara cada amostra, β0 e β1 foram calculados por MQ0Veja o histograma dos estimadores
−80 −60 −40 −20 0 20 40 60 800
50
100
150
200
−4 −3 −2 −1 0 1 2 30
50
100
150
200
250
Média: 0.1026
Média: 0.0134
Media do R2 para as 2000 amostras: 0.2375
Percentual de rejeicao da hipotese H0 : β1 = 0 ao nıvel de 5%: 92.15%
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Cointegracao
Regressao com Variaveis Nao-Estacionarias
Simulacao (continuacao)
Histograma do coeficiente de correlacao amostral entre yt e zt .
−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
50
100
150
200
250
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Regressao com Variaveis Nao EstacionariasRegressao Espuria
CointegracaoResultado Principal
O Mecanismo Gerador dos Dados (MGD)
Vamos considerar o seguinte modelo:
yt = yt−1 + ut , ut ∼ IID(0, σ2u)
xt = xt−1 + et , et ∼ IID(0, σ2e ),
onde E(utes) = 0, ∀ t, s.
Agora vamos supor que a seguinte regressao tenha sidoestimada por MQO:
yt = β0 + β1xt + vt .
β0 e β1 sao estimadores consitentes para β0 e β1?
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CointegracaoResultado Principal
O Estimador de MQO
Vamos considerar o caso de β1 primeiro:
β1 =
[T∑
t=1
yt(xt − x)
][T∑
t=1
(xt − x)2
]−1
=
[T−2
T∑
t=1
ytxt − T−1y x
][T−2
T∑
t=1
(xt − x)
]−1
=
[T−2
T∑
t=1
ytxt − T−1/2yT−1/2x
][T−2
T∑
t=1
x2t − T−1x2
]−1
.
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CointegracaoResultado Principal
O Estimador de MQO
Vamos lembrar que:
T−1/2y = T−3/2T∑
t=1
yt ⇒ σu
∫ 1
0
Wu(r)dr ,
T−1/2x = T−3/2T∑
t=1
xt ⇒ σe
∫ 1
0
We(r)dr ,
T−2T∑
t=1
x2t ⇒ σ2e
∫ 1
0
We(r)2dr .
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CointegracaoResultado Principal
O Estimador de MQO
Tambem podemos mostrar que
T−2T∑
t=1
ytxt ⇒ σuσe
∫ 1
0
Wu(r)We(r)dr .
Portanto,
β1 ⇒σuσ
−1e
[∫ 10Wu(r)We(r)dr −
∫ 10Wu(r)dr
∫ 10We(r)dr
]
∫ 10We(r)2dr −
[∫ 10We(r)dr
]2 .
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CointegracaoResultado Principal
O Estimador de MQO
Vamos ver agora o que acontece com β0.
Sabemos que
T−1/2β0 = T−3/2T∑
t=1
yt − βT−3/2T∑
t=1
xt .
Portanto,
T−1/2β0 ⇒ σu
[∫ 1
0
Wu(r)dr − ξ
∫ 1
0
We(r)dr
],
onde
ξ =
∫ 10Wu(r)We(r)dr −
∫ 10Wu(r)dr
∫ 10We(r)dr
∫ 10 We(r)2dr −
[∫ 10 We(r)dr
]2 .
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Cointegracao
O Caso UnivariadoA Metodologia de Engle-GrangerO Caso Multivariado
O Mecanismo Gerador dos Dados (MGD)
Vamos considerar o seguinte modelo:
yt = βxt + ut , ut ∼ IID(0, σ2u)
xt = xt−1 + et , et ∼ IID(0, σ2e ),
onde E(utes) = δtsσue e
δts =
{1 se t = s,
0 caso contrario.
Vamos encontrar a distribuicao de T(β − β
).
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Cointegracao
O Caso UnivariadoA Metodologia de Engle-GrangerO Caso Multivariado
O Estimador de MQO
Podemos escrever
T(β − β
)=
(T−2
T∑
t=1
x2t
)−1(T−1
T∑
t=1
xtut
).
Sabemos que
T−2T∑
t=1
x2t ⇒ σ2e
∫ 1
0
We(r)2dr .
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Cointegracao
O Caso UnivariadoA Metodologia de Engle-GrangerO Caso Multivariado
O Estimador de MQO
Vamos escrever ut = γet + vt , onde γ = σue
σ2ee σ2
v = σ2u −
σue
σ2e.
Por construcao E(etvs) = 0, ∀, t, s.
Portanto,
T−1T∑
t=1
xtut = T−1T∑
t=1
(γet + vt)
= γT−1T∑
t=1
xt−1et + γT−1T∑
t=1
e2t
+ T−1T∑
t=1
xt−1vt + T−1T∑
t=1
etvt .
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Cointegracao
O Caso UnivariadoA Metodologia de Engle-GrangerO Caso Multivariado
O Estimador de MQO
Ja sabemos que:
T−1T∑
t=1
xt−1et ⇒σ2e
2
[We(1)
2 − 1]= σ2
e
∫ 1
0
We(r)dWe(r)
T−1T∑
t=1
etvtp
−→ 0.
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Cointegracao
O Caso UnivariadoA Metodologia de Engle-GrangerO Caso Multivariado
O Estimador de MQO
Podemos mostrar tambem (mas nao e tao simples) que
T−1T∑
t=1
xt−1vt ⇒ σeσv
∫ 1
0
We(r)dWv (r)
≡ σeσvN
[0,
∫ 1
0
We(r)2dr
].
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Regressao com Variaveis Nao EstacionariasRegressao Espuria
Cointegracao
O Caso UnivariadoA Metodologia de Engle-GrangerO Caso Multivariado
O Estimador de MQO
Finalmente,
T(β − β
)⇒
{γσ2e
2
[We(1)
2 − 1]+ σeσvN
[0,
∫ 1
0
We(r)2dr
]}
×
[σ2e
∫ 1
0
We(r)2dr
]−1
.
Sob H0 : β = β∗, a distribuicao da estatıstica-t e dada por:
tβ ⇒γσe
2σu
[We(1)
2 − 1]×
[∫ 1
0
We(r)2dr
]−1/2
+σv
σuN(0, 1).
Caso γ = 0,
tβd
−→ N(0, 1).
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Cointegracao
O Caso UnivariadoA Metodologia de Engle-GrangerO Caso Multivariado
O Estimador de MQO
Sob endogeneidade e/ou autocorrelacao dos erros, oestimador de MQO, apesar de consistente, nao seraassintoticamente normal.
Para corrigimos este problema uma solucao e o estimador deMQO dinamico. A ideia e estimar β na seguinte regressao:
yt = βxt + δ0∆xt +
K∑
k=−K
δk∆xt−k + vt .
Neste caso inferencia usual podera ser utilizada.
Os resultados anteriores permanecem validos caso xt ∈ Rk ,
k > 1.
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Cointegracao
O Caso UnivariadoA Metodologia de Engle-GrangerO Caso Multivariado
Cointegracao
Definicao
Suponha que zt ∈ Rn seja um vetor de variaveis integradas de
ordem d , zt ∼ I(d). Dizemos que zt e cointegrado de ordens(d ,b), caso exista um vetor β tal que β′zt ∼ I(d − b).
Em geral d = b = 1 e dizemos simplesmente que zt e umvetor de variaveis cointegradas.
β e chamado de vetor de cointegracao.
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Cointegracao
O Caso UnivariadoA Metodologia de Engle-GrangerO Caso Multivariado
Cointegracao
Seja xt um passeio aleatorio vetorial tal que:
xt = xt−1 + et ,
onde E(et) = 0 e E(ete′
t) = Σ.
Suponha queyt = β0 + β′xt + ut ,
onde E(ut) = 0 e ut ∼ I(0).
Dizemos que (yt , x′
t)′ sao variaveis cointegradas com vetor de
cointegracao β.
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Cointegracao
O Caso UnivariadoA Metodologia de Engle-GrangerO Caso Multivariado
Cointegracao e o Modelo de Correcao de Erros
O modelo anterior pode ser escrito na forma de correcao deerros:
αp(L)∆yt = α0 + βp(L)′∆xt − α(yt−1 − β′xt−1) + vt ,
∆yt︸︷︷︸Movimentos de curto-prazo
= α0 +
p∑
i=1
αi∆yt−1 + βp−1(L)′∆xt
− α (yt−1 − β′xt−1)︸ ︷︷ ︸Desvio em relacao ao equilıbrio de longo-prazo
+ vt ,
onde vt e um processo diferenca martingal.
A ordem p esta relacionada com a estrutura de dependenciaem ut .
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Cointegracao
O Caso UnivariadoA Metodologia de Engle-GrangerO Caso Multivariado
Cointegracao e o Modelo de Correcao de Erros
O modelo de correcao de erros tambem pode ser derivado apartir de um modelo ARDL envolvendo variaveis integradas:
yt = α0 + β′
0xt + · · ·+ β′
kxt−k + ut ,
onde xt ∼ I(1) e ut ∼ I(0).
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Cointegracao
O Caso UnivariadoA Metodologia de Engle-GrangerO Caso Multivariado
A Metodologia de Engle-Granger
Suponha que zt = (yt , x′
t)′.
Considere a seguinte regressao de interesse
yt = β0 + β′xt + ut .
Para sabermos se esta e uma regressao valida ou naopodemos proceder da seguinte forma:
1 Teste se yt e xt sao I(1).2 Em caso afirmativo, estime β0 e β por MQO ou por MQO
dinamico.3 Teste se ut e estacionario ou nao. Note que voce esta
aplicando o teste nos resıduos e nao nos erros do modelo!Desta forma os valores crıticos dos testes ADF e PP devem sercorrigidos!
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Cointegracao
O Caso UnivariadoA Metodologia de Engle-GrangerO Caso Multivariado
O Caso Multivariado
Caso zt possua n variaveis I(1), podem existir ate n − 1relacoes (vetores) de cointegracao linearmente independentes.
A metodologia de Engle-Granger e mais adequada quando haapenas uma relacao de cointegracao.
Suponha que zt ∼ I(1) siga um VAR nao-estacionario deordem p:
zt = φDt + C1zt−1 + · · ·+ Cpzt−p + vt ,
onde Dt sao termos determinısticos.
Podemos mostrar que
∆zt = Πzt−1 + Γ1∆zt−1 + · · ·+ Γp−1∆zt−p+1 + vt ,
onde Π = −(I−∑p
i=1Ci
)e Γj =
∑pi=j+1Ci .
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Cointegracao
O Caso UnivariadoA Metodologia de Engle-GrangerO Caso Multivariado
O Caso Multivariado
O modelo
∆zt = Πzt−1 + Γ1∆zt−1 + · · · + Γp−1∆zt−p+1 + vt
e desbalanceado pois ∆zt ∼ I(0) mas zt ∼ I(1)!
Solucao: Π = αβ′, onde β′zt ∼ I(0) ⇒ cointegracao!
zt ∈ Rn, Π ∼ (n × n), α ∼ (n × k) e β′ ∼ (k × n).
k e o posto de cointegracao = numero de relacoes decointegracao linearmente independentes.
k = 0 ⇒ Π = 0 ⇒ Nao ha cointegracao e o VAR em primeiradiferenca deve ser considerado.k = n ⇒ Todas as variaveis sao estacionarias e o VAR emnıvel pode ser estimado.0 < k < n ⇒ Cointegracao.
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Cointegracao
O Caso UnivariadoA Metodologia de Engle-GrangerO Caso Multivariado
O Caso Multivariado
Caso o VAR associado ao modelo
∆zt = Πzt−1 + Γ1∆zt−1 + · · · + Γp−1∆zt−p+1 + vt
seja nao estacionario
∣∣∣∣∣I−p∑
i=1
Ci
∣∣∣∣∣ = 0
⇒ |Π| = 0
⇒ Π e singular!
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Cointegracao
O Caso UnivariadoA Metodologia de Engle-GrangerO Caso Multivariado
Estimacao
Nosso objetivo e estimar os parametros do modelo
∆zt = αβ′zt−1 + Γ1∆zt−1 + · · ·+ Γp−1∆zt−p+1 + vt .
Regressao com posto reduzido (RRR) de ∆zt em ztcontrolando para:
Termos determinısticos: constante, tendencia determinıstica,etc.Defasagens de ∆zt .
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Cointegracao
O Caso UnivariadoA Metodologia de Engle-GrangerO Caso Multivariado
Estimacao: O Teorema de Frisch-Waugh
Vamos considerar a seguinte regressao: zt = A′xt +ΦDt + vt .
Resıduos das regressoes de zt e xt em Dt :
Rzt = zt −MzDM−1DD
Dt
Rxt = xt −MxDM−1DD
Dt
Portanto,Rzt = A′Rxt + vt .
Estimacao de A:
A′
= MRztRxtM−1
RztRzt
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Cointegracao
O Caso UnivariadoA Metodologia de Engle-GrangerO Caso Multivariado
Estimacao
Seja∆zt = αβ′zt−1 + Γ1∆zt−1 +ΦDt + vt ,
onde vt ∼ NID(0,Σv).
Sejam R0,t e R1,t os resıduos das regressoes de ∆zt e zt−1 em∆zt−1 tal que R0,t = αβ′R1,t + vt .
Funcao de Verossimilhanca:
L =1
|Σv|T/2exp
[−1
2
T∑
t=1
(R0,t −αβ′R1,t
)′
Σ−1v
(R0,t −αβ′R1,t
)].
Estimacao de α com β fixo.
Como estimar β?
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Cointegracao
O Caso UnivariadoA Metodologia de Engle-GrangerO Caso Multivariado
Estimacao: VECM(1)
Vamos definir as correlacoes quadraticas:
Si j =1
T
T∑
t=1
RitR′
jt .
Portanto,
α(β) = S01β(β′S11β
)−1
Σv(β) = S00 − S01β(β′S11β
)−1
β′S10
L−
T2
max(β) =∣∣∣Σv(β)
∣∣∣ =∣∣∣S00 − S01β
(β′S11β
)−1
β′S10
∣∣∣
= |S00||β′(S11 − S10S
−100 S01
)β|
|β′S11β|.
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Cointegracao
O Caso UnivariadoA Metodologia de Engle-GrangerO Caso Multivariado
Estimacao
Para escrevermos
L−
T2
max(β) =∣∣∣Σv(β)
∣∣∣ =∣∣∣S00 − S01β
(β′S11β
)−1
β′S10
∣∣∣
= |S00||β′(S11 − S10S
−100 S01
)β|
|β′S11β|.
utilizamos a igualdade
|C−B′A−1B| =|A− BC−1B′||C|
|A|.
A maximizacao da verossimilhanca com respeito ao parametroβ e equivalente na minimizacao de
|S00||β′(S11 − S10S
−100 S01
)β|
|β′S11β|
com respeito a β.
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Regressao com Variaveis Nao EstacionariasRegressao Espuria
Cointegracao
O Caso UnivariadoA Metodologia de Engle-GrangerO Caso Multivariado
Estimacao
Para encontramos β devemos resolver o seguinte problema deautovalor
|S10S−100 S01 − λS11| = 0,
pois o mınimo de
|S00||β′(S11 − S10S
−100 S01
)β|
|β′S11β|
e dado pela maior raız caracterıstica de |S10S−100 S01 − λS11|.
As raizes da equacao acima sao as k correlacoes canonicasentre R0t e R1t .
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Regressao com Variaveis Nao EstacionariasRegressao Espuria
Cointegracao
O Caso UnivariadoA Metodologia de Engle-GrangerO Caso Multivariado
Estimacao
Primeiro note que se λi e um autovalor de A, entao 1− λi eum autovalor de (I− A).
Portanto,
L−
T2
max(β) = |S00|
n∏
i=1
(1− λi).
Os autovetores associados sao as relacoes de cointegracao.
Para identificacao precisamos impor restricoes nosautovetores: ortonormalidade.
Como determinar o numero de relacoes de cointegracao?Posto de Π.
Testes do traco e do maximo autovalor.
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Regressao com Variaveis Nao EstacionariasRegressao Espuria
Cointegracao
O Caso UnivariadoA Metodologia de Engle-GrangerO Caso Multivariado
Teste do Traco
Vamos definir
λtraco(k) = −T
n∑
k+1
ln(1− λi ).
Hipotese de interesse: k ≤ n.
Procedimento sequencial de teste.
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Regressao com Variaveis Nao EstacionariasRegressao Espuria
Cointegracao
O Caso UnivariadoA Metodologia de Engle-GrangerO Caso Multivariado
Teste do Maximo Autovalor
Vamos definir
λmax(k , k + 1) = −T ln(1− λk+1).
Hipotese de interesse: k ≤ n.
Procedimento sequencial de teste.
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