MsC. Daphne Timaná Palacios

• Muchas decisiones administrativas implican laimportante cuestión de utilizar con la máximaeficacia los recursos de una organización. Por logeneral, dichos recursos incluyen maquinaria, manode obra dinero, tiempo, espacio de almacenamientoy materia prima. Estos recursos pueden serutilizados para producir productos o servicios. La PLes una técnica de modelado matemáticoampliamente utilizada y diseñada para ayudar a losadministradores en la planificación y en la toma dedecisiones con respecto a la asignación de recursos.

FORMULACION DE PROBLEMAS DE PROGRAMACIÓN LINEAL

• La formulación de un PL implica desarrollar un modelomatemático para representar al problema administrativo. Enconsecuencia, para formular un problema lineal, es necesarioentender a cabalidad el problema administrativo que seenfrenta. Una vez que se entiende, se puede comenzar adesarrollar el enunciado matemático del mismo. Los pasos paraformular un programa lineal son los siguientes:

• 1. Entender por completo el problema administrativo que seenfrenta.

• 2. Identificar los objetivos y restricciones• 3. Definir las variables de decisión• 4. Utilizar las variables de decisión para escribir las

expresiones matemáticas de la función objetivo y de lasrestricciones.

• Una de las aplicaciones de PL más común es elproblema de mezcla de productos. En generalse producen dos o más productos utilizandorecursos limitados tales como personal,maquinas, materia prima, etc. La utilidad que lafirma busca para maximizar esta basada en lacontribución a la utilidad por unidad de cadaproducto. A la compañía le gustará determinarcuántas unidades de cada producto deberáfabricar para maximizar la utilidad total dadossus recursos limitados.

Flair Furniture Company

• Produce mesas y sillas baratas. El proceso de producción decada una es similar, pues ambas requieren de un ciertonúmero de horas de trabajo de carpintería y un ciertonúmero de horas de mano de obra en el taller de pintura ybarnizado. Cada silla requiere 3 horas de carpintería y 1 horade pintura de barnizado.

• Cada mesa requiere 4 horas de carpinteria y 2 horas depintura y barnizado.

• Durante el periodo de producción actual se dispone de 240horas de carpintería y 100 horas de pintura y barnizado.

• Cada mesa vendida produce una utilidad de 7 dolares, cadasilla producida se vende con una utilidad de 5 dolares

• El problema de Flair Furniture esdeterminar la mejor combinación posiblede mesas y sillas que deben serfabricadas para alcanzar la máximautilidad. La firma desea que esta situaciónde mezcla de producción se formulecomo un problema de programaciónlineal.

DEPARTAMENTO MESAS SILLAS HORAS DISPONIBLES

Carpintería 4 3 240 Pintura y barnizado 2 1 100 Utilidad por Unidad 7 5

El objetivo es Maximizar la Utilidad

Las Restricciones son

1. Las horas de carpintería no pueden exceder de 240 por semana

2. Las ho4 horas de pintura y barnizado utilizadas no pueden exceder de 100 por semana

M = numero de mesas que deben ser producidas por semana

En este punto ya se debe crear la función objetivo de M y S. La función objetivo es la utilidad

máxima = 7 + 5

El siguiente paso es desarrollar relaciones matemáticas para describir las dos restricciones que

forman parte de este problema. Una relación general es que la utilidad de recursos utilizada tiene

que ser menor o igual a la cantidad de recursos disponibles.

En el caso del departamento de carpintería el tiempo total utilizado es

(4 horas por mesa) (número de mesas producidas) + (3 horas por silla) (numero de sillas

producidas)

• Por lo tanto, la primera restricción puede serplanteada como sigue:

Tiempo de carpintería utilizado < = tiempo de carpinteria disponible

4M + 3S < = 240 (horas de tiempo de carpintería)

Asimismo, la segunda restricción es como sigue:

Tiempo de pintura y barnizado utilizado < = tiempo de pintura y barnizado disponible

2M + 1S < = 100 (horas de tiempo de pintura y barnizado

• Ambas restricciones de la capacidad deproducción y, por supuesto, afectan lautilidad total. Por ejemplo, Flair Furnitureno puede producir 70 mesas durante elperiodo de producción porque si M = 70,ambas restricciones seran violadas.Tampoco se pueden producior M = 50mesas y S = 10 sillas. Porque estascantidades violaria la segunda restriccionde que no se asignen mas de 100 horasde pintura y barnizado.

• Para obtener soluciones significativas, los valores de M y S deben ser números nonegativos. Esto es, todas las soluciones potenciales deben representar mesas ysillas reales. Matemáticamente esto significa que:

M > = 0 (el número de mesas producidas es mayor que o igual a 0)

S > = 0 (el número de sillas producidas es mayor que o igual a 0)

Ahora el problema completo puede ser replanteado matematicamente como:

Utilidad máxima = 70M + 50S

Sujeta a restricciones:

4M + 3S < = 240 (restricción de carpintería)

2M + 1S < = 100 (restricción de pintura y barnizado)

M > = 0 (primera restricción de no negatividad)

S > = 0 (segunda restricción de no negatividad)

Mientras que la restriccion de no negatividad son restricciones técnicamente distintas, a menudo se escriben en un solo renglón con las variables separadas, por comas M,S > = 0

SOLUCIÓN GRÁFICA

• La forma más fácil de resolver unpequeño problema de programaciónlineal, es con el método de solucióngráfico. El procedimiento gráfico es útilsolo cuando existen dos variables dedecisión (tales como un número de mesasque se deben producir M, y un númerode sillas que se deben producir S)

Representación gráfica de restricciones

• Para encontrar la solución óptima a un un problema de PL,primero se debe identificar un conjunto, o región de solucionesfactibles. El primer paso es marcar cada una de las restriccionesdel problema en una gráfica. La variable M (mesas) se traza comoel eje horizontal de la gráfica y la variable S (sillas) como el ejevertical. Las restricciones de no negatividad significan quesiempre se trabaja en el primer cuadrante ( o noreste) de unagráfica.

• Para representar gráficamente la primera restricción 4M + 3S < =240, primero se grafica la curva en forma de igualdad la cual es

4M + 3S = 240

• Como se recordará, de acuerdo con elálgebra elemental una ecuación lineal condos variables es una linea recta. La formamás fácil de trazarla es encontrar dospuntos cualesquiera que satisfagan laecuación, acto seguido trazar una línearecta a través de ellos.

• Por regla general, los dos puntos másfáciles de encontrar son los puntos en loscuales las líneas recta corta los ejes M y S.

• La restricción de carpintería, que se ilustra en lafigura 7.2 esta limitada por la línea que va delpunto (M=0, S = 80) al punto (M=60,S = 0).

• Recuérdese, sin embargo, que la restricción decarpintería real era la desigualdad 4M+3S < = 240.

• ¿Cómo se pueden identificar todos los puntos desolución que satisfacen esta restricción? Resultaque existen tres posibilidades. Primero, se sabe quecualquier punto situado en la línea 4M+3S =240satisface la restricción. Cualquier combinación demesas y sillas en la línea consumirá 240 horas detiempo de carpintería? Se deberá poder ver cuandoexactamente se utilizan las 240 horas del recursode carpintería.

• La pregunta real es ¿Dónde están los puntos delproblema que satisfacen 4M+3S<=240? Se puederesponder a esta pregunta verificando dos posiblespuntos de solución, por ejemplo(M=30, S = 20) y (M=70y S = 40). En la figura 7.3 se ve que el primer punto estádebajo de la línea de restricción y el segundo sobre ella.Examínese la primera solución con mas cuidado. Si sesustituyen los valores (M,S) en la restricción decarpintería el resultado es:

4(M=30) + 3(S=20) = (4)(30)+(3)(20) = 120+60=180

Como 180 es menor que las 240 horas disponibles, elpunto (30,20) satisface la restricción. En el caso delsegundo punto, se sigue el mismo procedimiento.

4(M=70) + 3(S=40) = (4)(70)+(3)(40) = 280+120=400

• Cuatrocientos excede el tiempo de carpintería disponible ypor lo tanto viola la restricción. Por lo tanto, se sabe que elpunto (70,40) es un nivel de producción inaceptable. Enrealidad, cualquier punto sobre la línea viola esa restricción.(Esto es algo que tal vez desee comprobar por si mismo conalgunos otros puntos). Cualquier punto debajo de la líneano viola la restricción. En la figura 7.3 la región sombreadarepresenta todos los puntos que satisfacen la restricción dedesigualdad original.

• A continuación se identifica la solución correspondiente a la segunda restricción, la cual limita eltiempo disponible en el departamento de pintura y barnizado. Esa restricción se dio como2M+1S<=100. Como se hizo anteriormente, el proceso se inicia graficando la parte de igualdad de estarestricción, esto es:

2M +1S = 100La línea de (M = 0 , S = 100) a (S = 0 , M = 50) de la figura 7.4 representa todas las combinaciones de mesasy sillas que utilizan exactamente 100 horas del tiempo del departamento de pintura y barnizado. Seconstruye de un modo similar a la primera restricción.Cuando M = 0, entonces 2(0) + 1 (S) = 100 entonces S = 100Cuando S = 0, en ese caso 2M + 1(0) = 100 2M = 100 entonces M =50

• La restricción esta acotada por la línea entre (M = 50 , S = 0) y el áreasombreada nuevamente contiene todas las posibles combinaciones queno exceden de 100 horas. Por lo tanto, el área sombreada representa ladesigualdad original 2M + 1S < = 100.

• Ahora que cada restricción individual se marco en una gráfica, es elmomento de continuar con el paso siguiente. Se sabe que para produciruna silla o una mesa, se debe utilizar tanto el departamento decarpintería como el de pintura y barnizado. En un problema deprogramación lineal se tiene que encontrar un conjunto de puntossolución que satisfagan todas las restricciones al mismo tiempo. Porconsiguiente, las restricciones deben ser puestas de nuevo en unagráfica (o superpuestas en la otra). Esto se muestra en la figura 7.5.

• Ahora , la región sombreada representa el área que noexceden ninguna de las dos restricciones de FlairFurniture. Esta región se conoce con el término área desoluciones factibles o, simplemente región factible, Laregión factible de un problema de programación linealdebe satisfacer todas las condiciones especificadas porlas restricciones del problema, por lo cual es la regióndonde todas las restricciones se superponen. Cualquierpunto localizado en la región sería una solución factibledel problema de Flair Furniture, cualquier punto afueradel área sombreada representaría una solución infactible.Por consiguiente, sería factible fabricar 30 mesas y 20sillas (M = 30 y S = 20) durante un periodo deproducción porque ambas restricciones son satisfechas.

• Esta posible solución queda dentro del tiempo disponible encarpintería pero excede el tiempo disponible en pintura ybarnizado, por lo cual queda fuera de la región factible.

• Una vez que la solución factible ha sido graficada, se puedeproceder a encontrar la solución óptima al problema. La soluciónóptima es el punto que queda en la región factible en la cual seproduce la más alta utilidad. No obstante, en la región existenmuchos posibles puntos de solución. ¿Cómo se selecciona el mejor,el que produce la utilidad más alta?

Método de Solución del punto de esquina

• La teoría matemática que subyace a la programación linealestablece que una solución optima de cualquier problema(es decir, los valores M,S que producen la utilidad máxima) selocalizan en un punto de esquina o punto extremo de laregión factible. Por consiguiente, sólo es necesario encontrarlos valores de las variables en cada esquina; la utilidadmáxima o solución óptima quedará en uno (o más) de ellos.

• Una vez más se ve que la región factible del problema deFlair Furniture Company es un poligono de cuatro lados concuatro puntos de esquina o extremos Figura 7.9. estospuntos son los designados con 1,2,3 y 4 en la gráfica. Paraencontrar los valores (M,S) que producen la utilidad máxima,se localizan las coordenadas de cada punto en esquina y secomprueban sus niveles de utilidad.

• Punto 1 : (M = 0 , S = 0) Utilidad 70(0) + 50(0) = 0

• Punto 2 : (M=0 , S = 80) Utilidad 70(0) + 50(80) = 4000

• Punto 4: (M= 50, S = 0) Utilidad 70(50) + 5(00) = 3500

Momentáneamente se omitió el punto 3 porque paraencontrar sus coordenadas con precisión se tiene queencontrar la intersección de las dos líneas de restricción.Si recuerda, su ultimo curso de algebra simplementeaplica el método de las ecuaciones simultaneas a las dosecuaciones de restricción.

4M+3S = 240 (línea de carpintería)

2M+1S=100 (línea de pintura)

• Para resolver estas ecuaciones, se multiplica la segunda por -2:• -2(2M +1S=100) = - 4M - 2S = - 200• Y luego se suma la primera ecuación:• +4M + 3S = 240• - 4M - 2S = - 200• +1S = 40S = 40De este modo se elimina una variable M y se resuelve para S. Ahora se sustituye 40 en lugar de S en cualquiera de las ecuaciones originales y se resuelve M. Utilice la primera ecuación. Cuando S = 40, entonces4M + (3)(40) = 2404M + 120 = 2404M = 120M = 30Por lo tanto, el punto 3 tiene la coordenadas (M= 30, S = 40); para completar el análisis se calcula su nivel de utilidadPunto 3 (M = 30, S = 40 utilidad7(30) +5(40) = 410

• Dado a que el punto 3 produce la utilidadmás alta cualquier punto de esquina, lamezcla de productos de M = 30 mesas y S= 40 sillas es la solución óptima delproblema de Flair Forniture. Esta soluciónrinde una utilidad de 4100 por periodo deproducción.

PROBLEMA DE MINIMIZACIÓN

• Holiday Meal Turket Ranch

• El holiday piensa adquirir dos marcas diferentes dealimento para pavos y mezclarlos paraproporcionarles una buena dieta a bajo costo. Cadaalimento contiene, proporciones variables de algunoso los tres ingredientes nutricionales esenciales paraengordar a los pavos. Por ejemplo, cada libra de lamarca 1 contiene 5 onzas del ingrediente A, 4 onzasdel ingrediente B y ½ onza del ingrediente C. Cadalibra de la marca 2 contiene 10 onzas del ingredienteA, 3 onzas del ingrediente B, pero ninguna cantidaddel ingrediente C.

• El alimento de la marca 1 le cuesta al rancho 2centavos de libra, mientras que el alimento de lamarca 2 cuesta 3 centavos la libra. Al propietario legustaría utilizar programación lineal paradeterminar la dieta de menor costo que satisfagalos requerimientos de ingesta mínima de cadaingrediente nutricional. La tabla 7.4 resume lainformación pertinente

• Si

• X1 = número de libras del alimento marca 1adquiridas

• X 2 = número de libras del alimento marca 2adquiridas.

• Entonces se puede proceder a formular esteproblema de programación lineal como sigue:

• Sujetos a estas restricciones

• En primer lugar, hay que tener en cuenta que la tercerarestricción implica que el granero debe adquirirsuficiente alimento de la marca 1 para satisfacerestándares mínimos del ingrediente nutricional C. Ensegundo lugar, por la forma como se formulo elproblema, se resolvería para la mejor mezcla de lasmarcas 1 y 2 que se debe comprar por pavo por mes. Siel rancho aloja 5000 pavos en un mes dadosimplemente se tienen que multiplicar las cantidadesX1 y X2 por 5000 para decidir cuanto alimento se debeadquirir en total. En tercer lugar, en este caso se tratade una serie de restricciones mayor que o igual a. Eneste ejemplo estas hacen que el área de soluciónfactible quede sobre las líneas de restricción.

SOLUCION DEL PROBLEMA DE FLAIR FURNITURE CON qm PARA

WINDOWS

EJERCICIOS

• Resolver gráficamente la siguiente formulaciónde programación lineal

1. Minimizar costos : 24x1+28x2• Sujetos a:• 5x1+4x2 < = 2000• X1 > = 80• X1+x2 > = 300• X2 > =100• X1,X2 > = 0

• 2. Maximizar la utilidad = 30 x1 + 40 x2

• Sujetas a:

• 4X1+2X2 < = 16

• 2X1 – X2 > = 2

• X2 < = 2

• X1,X2 > = 0