7/23/2019 s13 Divergencia de Gauss

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CÁLCULO DE V RI S V RI BLES

F

ORM CIÓN

 

POR

 C

OMPETENCI S

 

Teorema de laDivergencia de Gauss

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Objetivos

Definir la divergencia de un campo vectorial.

Calcular una integral de superficie usando el

teorema de Gauss.

Calcular el flujo de un campo vectorial.

Aplicar el teorema de Gauss a diferentes problemasde contexto real.

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Divergencia de una campo vectorial

Dado un campo vectorial

(; ; ), se define la 

divergencia de , denotada por div() mediante la regla

⋅   +

 +  

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Ejercicio 

1

Calcule la divergencia del campo vectorial: 

; ; +cos( ) + −   +  +    

Solución

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Teorema de la divergencia de Gauss

Sea

⊂ ℝ  una región sólida  cuya frontera es una unión

de la forma   =  donde• Los  ⊂ ℝ  son superficies simples y regulares que no

se solapan.

• Todas las superficies   están orientadas por la normal

exterior

Si : ⊂ ℝ → ℝ   es un campo vectorial cuyas

componentes tienen derivadas parciales continuas en un

abierto ⊃ , entonces

⋅   () 

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Teorema de la divergencia de Gauss

Solidos donde se puede aplicar el Teorema de Gauss

 

 

 

  

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Ejemplo 

Teorema de Gauss1

Encuentre el flujo del campo vectorial

; ; + + sobre la esfera unitaria  +  +   1 

La divergencia de  es

.   +  +   1 

Por lo tanto

.   43 1    43  

Solución

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Ejercicio 1

Calcule el flujo del campo vectorial

;; + ( + ) +()  a través de la superficie frontera de la región  acotada por el

cilindro parabólico 1 −   y los planos 0 , 0 ,

+ 2.

Solución

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Ejercicio 2

En cada caso, verifique el teorema de la divergencia evaluando:

.

 

Solución

a) ; ; 2 − 2 +   :  cubo limitado por los

planos 0,  , 0, , 0, .

b) ; ; (2 − ) − (2 − ) +  : superficie limitada

por los planos 2 + 4 + 2 12 y los planos coordenados.

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Bibliografía

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contextos. 4ª ed. México. Cengage Learning

[3] Anton, H. (2009) Cálculo Multivariable. 2ª ed. México: LimusaWiley.

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tempranas. 7ª ed. México: Pearson Educación.

[5] Mitacc, M. (1999). Cálculo III. 4ª ed. Lima: Thales.