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2.11 Orientabilidad (aplicaciones)
Aplicaciones de la Teoría de Grafos a la vida real
Alberto Conejero y Cristina JordánDepto. Matemática Aplicada E.T.S. Ingeniería InformáticaUniversitat Politècnica de València
Red de ordenadores
En nuestra red de ordenadores delprincipio, ¿podríamos seleccionar, paracada par de ordenadores, cuál se va aconsiderar emisor y cuál receptor, demanera que cuando cualquiera de ellosemita una orden todos la reciban?
Aplicaciones de la Teoría de Grafos a la vida real
2.11 Orientabilidad (aplicaciones)
G
Red de ordenadores
En nuestra red de ordenadores delprincipio, ¿podríamos seleccionar, paracada par de ordenadores, cuál se va aconsiderar emisor y cuál receptor, demanera que cuando cualquiera de ellosemita una orden todos la reciban?
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910Dada la modelización considerada, G=(V,E),conV = { ordenadores 1,2,…, 10}E= { (u,v) / u, v V y u está conectado a v }
La pregunta planteada se transforma en ¿es posible convertir dar a cada cable un sentido (indicará la dirección de la corriente de datos) de manera que la información llegue a todos los ordenadores, no importa de dónde haya salido?
Es decir, ¿es G orientable?
G
Red de ordenadores
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¿Es G orientable?
Observamos que el grafo que modeliza nuestro problema es no dirigido, conexo y tiene al menos una arista de corte
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G1
Luego, por el teorema de Robbins, G no es orientable
La respuesta al problema planteado es no
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G
Aprovechando las obras que se están realizando en una urbanización y,dado que las calles no son muy anchas, los vecinos se han planteado sisería posible hacerlas de sentido único.El grafo G que se muestra a continuación representa el plano de laurbanización, siendo los vértices los cruces y las aristas los tramos decalle entre cruces.
Ejemplo
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La pregunta por tanto es:¿Se puede dar una orientación al grafo G?
Al dar sentido único a las calles nos podemos encontrar con el problema de que no sea posible llegar de un punto cualquiera de la urbanización a otro.
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Ejemplo
Dado que G es un grafo no dirigidoconexo, sin puentes, por el teorema de Robbins, podemos afirmar que sí es posible encontrar una orientación.Por tanto la respuesta al problema planteado es sí.
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¿Es G orientable?
G
Para encontrar una orientación que responda a nuestro problema aplicamosel algoritmo de Hopcroft-Tarjan
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Ejemplo
2. Elegimos uno cualquiera, por ejemplo v13. Aplicamos el algoritmo DFS a v1.
Cada vez que al aplicar este algoritmo se alcance un vértice u, se le asignará una etiqueta que indique si es el primero, segundo, … que se alcanza y se orientará la arista que alcanza a u de forma que u sea el extremo final
4. Consideramos una a una las aristas que no están orientadas.Sea (u,v) una de estas aristas. Si la etiqueta de u es menor que la de v, orientamos (u,v) de v hacia u. Si la etiqueta de u es mayor que la de v, orientamos (u,v) de u hacia v
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El grafo dirigido G1 es conexo
GG1
¿Cómo podríamos dar una orientación a G?
1. Consideramos todos los vértices
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Algoritmo de Hopcroft-Tarjan
PASO 1. Consideramos todos los vértices.
PASO 2. Elegimos uno cualquiera, por ejemplo v1.
PASO 3. Aplicamos el algoritmo DFS a v1.Cada vez que al aplicar este algoritmo se alcance un vértice u, se le asignará una etiqueta que indique si es el primero, segundo, … que se alcanza y se orientará la arista que alcanza a u de forma que u sea el extremo final.
PASO 4. Consideramos una a una las aristas que no están orientadas.Sea (u,v) una de estas aristas. Si la etiqueta de u es menor que la de v, orientamos (u,v) de v hacia u.Si la etiqueta de u es mayor que la de v, orientamos (u,v) de u hacia v.
Sea G grafo no dirigido, conexo, sin puentes
El siguiente procedimiento proporciona una orientación en G
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