Επιλογεs

ΕΠΙΛΟΓΕΣ

1) Α ΛΥΚΕΙΟΥ (Ο.Κ)

Να υπολογίσετε τους αν ισχύει ότι:


Υπολογίστε την τιμή της παράστασης: , με δεδομένο ότι

και .


Αν και , να υπολογιστεί μεταξύ ποιων τιμών

περιέχεται η τιμή της παράστασης .

4) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ- ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ (Ο.Κ)

Έστω η συνάρτηση . Αν η συνάρτηση είναι

συνεχής στο , να υπολογίσετε τις τιμές των α,β.

5) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ- ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ (Ο.Κ)

Έστω η συνάρτηση .

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης .

β) Αποδείξτε ότι: .

6) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ- ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ- ΙΟΝΙΟΣ ΣΧΟΛΗ

Υπολογίστε τα ακόλουθα όρια:

α) β)

γ) δ)

7) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ-ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ-ΙΟΝΙΟΣ ΣΧΟΛΗ

Υπολογίστε τους πραγματικούς αριθμούς α,β ώστε να αληθεύει η ισότητα:

8) Β ΛΥΚΕΙΟΥ-ΑΛΓΕΒΡΑ-ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΘΕΣΜΟΣ(ο.κ)

Δίνεται η συνάρτηση με τύπο , όπου .

α) Να βρείτε τα κοινά σημεία της με την ευθεία .

β) Να δείξετε ότι η βρίσκεται πάνω από τον για κάθε .

9) Β ΛΥΚΕΙΟΥ-ΑΛΓΕΒΡΑ-ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΘΕΣΜΟΣ

Αν η εξίσωση έχει ρίζα τον αριθμό , να

υπολογίσετε την τιμή του λ.

10) Β ΛΥΚΕΙΟΥ-ΑΛΓΕΒΡΑ-ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΘΕΣΜΟΣ (Ο.Κ)

Δίνεται το πολυώνυμο . Να υπολογίσετε την τιμή του , με δεδομένο ότι το πολυώνυμο έχει παράγοντα το

.

11) Β ΛΥΚΕΙΟΥ-ΑΛΓΕΒΡΑ-ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΘΕΣΜΟΣ(ο.κ)

Αν η εξίσωση , έχει ρίζα τον ακέραιο αριθμό ,τότε:

α) Να βρεθεί ο αριθμός κ.

β) Να υπολογιστούν και οι υπόλοιπες ρίζες της εξίσωσης.

12) Β ΛΥΚΕΙΟΥ-ΑΛΓΕΒΡΑ-ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΘΕΣΜΟΣ (Ο.Κ)

Αν είναι , να υπολογίσετε:

α) Την τιμή της .

β) Τις τιμές των .

13) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ-ΘΕΤΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ

Δίνεται η συνάρτηση . Να δείξετε ότι υπάρχει

σημείο της με τετμημένη στο οποίο χαράσεται εφαπτομένη παράλληλη στον άξονα .

14) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ-ΘΕΤΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ (Ο.Κ)

Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός .

α) Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων του στο μιγαδικό επίπεδο.

β) Να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή του αθροίσματος

, όταν .


Μια εταιρεία κατασκευής ψηφιακών ρολογιών υπολόγισε ότι οι εισπράξεις και το κόστος ως συνάρτηση της ημερήσιας παραγωγής δίνονται από τους

τύπους: με και σε εκατοντάδες

Ευρώ αντίστοιχα. Αν η παραγωγή αυξάνει με ρυθμό 50 ρολόγια την ημέρα, την χρονική στιγμή που ήταν 1000 ρολόγια, να υπολογίσετε το ρυθμό μεταβολής του κόστους των εισπράξεων και του κέρδους.

16) Α ΛΥΚΕΙΟΥ-ΚΟΛΛΕΓΙΟ ΑΘΗΝΩΝ(O.K)

Να σχηματίσετε διτετράγωνη εξίσωση που να έχει ως ρίζες τους αριθμούς .

17) Α ΛΥΚΕΙΟΥ-ΚΟΛΛΕΓΙΟ ΑΘΗΝΩΝ(O.K)

Να λύσετε την εξίσωση: .

18) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ-ΓΕΝΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ-ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΣΤΟΧΟΣ(Ο.Κ)

Δίνεται η συνάρτηση με .

α) Να αποδείξετε ότι αν η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης είναι παράλληλη με την στο σημείο με τετμημένη , τότε .

β) Για την παραπάνω τιμή του α , να βρεθεί η εξίσωση εφαπτομένης της στο σημείο .

19) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ-ΓΕΝΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ-ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΣΤΟΧΟΣ

Σε ένα ιατρικό συνέδριο έγινε η παρουσίαση ενός νέου φαρμάκου που καταπολεμά την υπόταση. Η ομάδα γιατρών που το παρουσίασε ισχυρίζεται ότι η μεταβολή της πίεσης μετά τη χορήγηση του παραπάνω φαρμάκου, σε συνάρτηση με το χρόνο σε ώρες, δίνεται από τη σχέση:

με .

α) Να βρεθεί ο ρυθμός μεταβολής της πίεσης μετά τη χορήγηση του φαρμάκου.

β) Να αποδείξετε ότι το φάρμακο πράγματι μπορεί να μεγιστοποιήσει την πίεση του ασθενούς που πάσχει από υπόταση.

γ) Από κλινικές έρευνες προέκυψε ότι ο ασθενής αποκτά μέγιστη πίεση μετά την πάροδο 4 ωρών από την χορήγηση του παραπάνω φαρμάκου. Με τα νέα αυτά δεδομένα να προσδιορίσετε την τιμή του α.

δ) Ποια είναι τότε η μέγιστη τιμή της πίεσης;

20) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ- ΓΕΝΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ(ΦΡΟΝΤ.- ΣΥΓΧΡΟΝΟ) (Ο.Κ)

Έστω η συνάρτηση . Να υπολογίσετε την τιμή του , ώστε να ισχύει η ισότητα:

.

21) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ- ΓΕΝΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ(ΦΡΟΝΤ.- ΣΥΓΧΡΟΝΟ) (Ο.Κ)

Δίνεται η συνάρτηση .

α) Να υπολογιστεί η .

β) Να βρεθούν οι τιμές των α,β ώστε η να είναι εφαπτομένη της στο .

γ) Να βρεθεί ο ρυθμός μεταβολής της ως προς , όταν .

(Απ: α=21, β=35)

22) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ- ΓΕΝΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ(ΦΡΟΝΤ.- ΣΥΓΧΡΟΝΟ)

Το κόστος παραγωγής ενός βιβλίου είναι 5 Ευρώ για κάθε άτομο. Ο εκδότης εκτιμά ότι όσο χαμηλότερη είναι η τιμή του βιβλίου τόσο μεγαλύτερες είναι οι πωλήσεις. Η σχέση που μας δίνει τον αριθμό των εντύπων Ε που πωλούνται συναρτήσει της τιμής πώλησης είναι η:

α) Να γράψετε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης και να γράψετε τη συνάρτηση που δίνει το συνολικό κέρδος του εκδότη.

β) Να βρεθεί η τιμή πώλησης του βιβλίου ώστε ο εκδότης να έχει το μέγιστο κέρδος.

γ) Ποιο είναι το μέγιστο κέρδος του εκδότη και ποιος είναι τότε ο αριθμός των εντύπων που πωλούνται;

(Απ:

23) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ- ΓΕΝΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ(ΦΡΟΝΤ.- ΣΥΓΧΡΟΝΟ)

Σε ένα δείγμα που ακολουθεί την κανονική κατανομή το 83,85% των τιμών βρισκόταν στο διάστημα (15,27) όπου τα άκρα του διαστήματος είναι κάποιες από τις τιμές .

α) Να βρεθούν η μέση τιμή, η διάμεσος, η επικρατούσα τιμή, η τυπική απόκλιση, ο συντελεσής μεταβλητότητας και το εύρος του δείγματος.

β) Υπολογίστε το ποσοστό των τιμών που είναι πάνω από 27.

(Απ: 2 περιπτώσεις)

24) Β ΛΥΚΕΙΟΥ-ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ-ΦΡΟΝΤ. ΤΟΜΗ (Ο.Κ)

Έστω το πολυώνυμο . Να αποδείξετε ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης του με το είναι πολλαπλάσιο του 6.

25) Β ΛΥΚΕΙΟΥ-ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ-ΦΡΟΝΤ. ΤΟΜΗ(ο.κ)

Να υπολογίσετε τα , ώστε το πολυώνυμο:

να έχει το ως παράγοντα και οι ρίζες του να είναι αντίθετες.

(Απ: )

26) Β ΛΥΚΕΙΟΥ-ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ-ΦΡΟΝΤ. ΤΟΜΗ (Ο.Κ)

Έστω το πολυώνυμο , το οποίο έχει ως παράγοντα το .

α) Να δείξετε ότι: .

β) Στη συνέχεια να βρείτε το σύνολο λύσεων της εξίσωσης:

27) Β ΛΥΚΕΙΟΥ-ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ-ΟΜΟΚΕΝΤΡΟ.(ο.κ)

Μία πισίνα σχήματος ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου έχει μήκος κατά 2 μέτρα μεγαλύτερο από το πλάτος της και βάθος κατά 3 μέτρα μικρότερο από το πλάτος της. Αν για να γεμίσει χρειάζεται 5ώρες με αντλία που την τροφοδοτεί με 14κ.μ νερό την ώρα, να υπολογίσετε τις διαστάσεις της πισίνας.

(Απ: 5,7,2).

28) Β ΛΥΚΕΙΟΥ-ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ-ΟΜΟΚΕΝΤΡΟ. (Ο.Κ)

Έστω η συνάρτηση , που η γραφική της παράσταση

διέρχεται από το σημείο και έχει μέγιστο 3.

α) Να βρεθεί η συνάρτηση.

β) Για την πιο πάνω συνάρτηση ισχύουν:

1) Η είναι περιοδική με Σ Λ

2) Η έχει ελάχιστο –3 Σ Λ

29) Β ΛΥΚΕΙΟΥ-ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ-ΟΜΟΚΕΝΤΡΟ(ο.κ)

α) Να λυθεί η εξίσωση: .

β) Σε τρίγωνο ΑΒΓ ν’ αποδείξετε ότι ισχύει η σχέση:

.

30) Β ΛΥΚΕΙΟΥ-ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ-ΟΜΟΚΕΝΤΡΟ(ο.κ)

α) Αφού αποδείξετε ότι: , στη συνέχεια να

λύσετε την εξίσωση: .

β) Ακολούθως να υπολογίσετε το .

31) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ- ΓΕΝΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ-ΦΡΟΝΤ. ΣΤΟΧΟΣ(ο.κ)

Κατά τη διάρκεια της προπόνησης μια αθλήτρια κάνει 14 διαδρομές των 400μ. Οι χρόνοι σε δευτερόλεπτα που έκανε ήταν οι εξής:

72,73,71,73,63,69,68,74,73,76,70,68,71,67

Ζητούνται να υπολογιστούν:

α) Η μέση τιμή, η επικρατούσα τιμή και η διάμεσος.

β) Το εύρος, η τυπική απόκλιση και ο συντελεστής μεταβλητότητας.

32) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ- ΓΕΝΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ-ΦΡΟΝΤ. ΣΤΟΧΟΣ(ο.κ)

Ο μέσος όρος των απουσιών των μαθητών μιας τάξης για μια σχολική χρονιά

είναι . Αν η διακύμανση είναι και =7830, να βρεθούν:

α) Η τυπική απόκλιση και ο συντελεστής μεταβολής

β) Ο αριθμός των μαθητών μιας τάξης.

33) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ-ΘΕΤΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ-ΦΡΟΝΤ. ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ.

Αν η συνάρτηση είναι συνεχής στο και ισχύει ,

α) Βρείτε το σημείο Α στο οποίο η τέμνει τον άξονα

β) Βρείτε την εξίσωση της ευθείας η οποία εφάπτεται στο σημείο Α.

γ) Υπολογίστε το όριο: .

(Απ: Α(0,2), , 23/8).

34) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ-ΘΕΤΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ-ΦΡΟΝΤ. ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ.

Αν η συνάρτηση είναι 2 φορές παραγωγίσιμη στο και για κάθε ισχύουν οι σχέσεις:

(1) και (2), ν’ αποδείξετε ότι:

α)

β)

γ) Η έχει στο Δ δύο τουλάχιστον κρίσιμα σημεία και μια πιθανή θέση του σημείου καμπής.

δ) .

(Υπόδειξη: Θέτω , , απ’ όπου και μετά Θ. Fermat)

35) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ- ΓΕΝΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ-ΦΡΟΝΤ. ΟΡΟΣΗΜΟ(ο.κ.)


α) Να βρεθεί η τιμή του , ώστε: , για κάθε .

β) Να υπολογιστεί η τιμή του β, ώστε η εφαπτομένη της στο , να είναι παράλληλη στον άξονα .

γ) Για τις τιμές των α,β που βρήκατε, να μελετηθεί η συνάρτηση ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα.

36) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ- ΓΕΝΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ-ΦΡΟΝΤ. ΟΡΟΣΗΜΟ(ο.κ)

Η επίδοση ενός μαθητή σε 9 μαθήματα το πρώτο τετράμηνο ήταν:

19,10,15,12,15,09,14,19,11

α) Να βρεθούν η μέση τιμή, η διάμεσος και η τυπική απόκλιση.

β) Αν στο δεύτερο τετράμηνο οι βαθμοί του βελτιωθούν κατά μία μονάδα, τότε ποιες θα είναι οι νέες τιμές της μέσης τιμής, της διαμέσου και της τυπικής απόκλισης;

37) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ- ΓΕΝΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ-ΦΡΟΝΤ. ΟΡΟΣΗΜΟ(o.k)

Από τις 60 παρατηρήσεις ενός δείγματος το 20% αυτών υπολογίστηκε κατά 2

μονάδες λιγότερο, το , κατά 3 μονάδες παραπάνω, ενώ το κατά 5

μονάδες παραπάνω. Με τα λάθη αυτά η μέση τιμή υπολογίστηκε 8. Ποια είναι η πραγματική μέση τιμή;

38) Β ΛΥΚΕΙΟΥ-ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ- ΦΡΟΝΤ. ΘΕΣΜΟΣ (Ο.Κ)

Σε τρίγωνο ΑΒΓ με και , φέρνουμε το ύψος ΑΔ. Να απαντήσετε στα ακόλουθα ερωτήματα:

α) Ποιες είναι οι δυνατές θέσεις του ίχνους Δ του ύψους ΑΔ;

β) Να εφαρμόσετε το Πυθαγόρειο Θεώρημα σε κάθε ένα από τα 2 ορθογώνια τρίγωνα που σχηματίζονται από το ύψος ΑΔ.

γ) Να αποδείξετε ότι: .

39) Β ΛΥΚΕΙΟΥ-ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ- ΦΡΟΝΤ. ΘΕΣΜΟΣ

Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ στο οποίο ισχύει: . Το μέτρο της γωνίας Α είναι:

30 60 90 45 120 .


Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ στο οποίο είναι α=13, β=8 και γ=7.

α) Να χαρακτηρίσετε το τριγώνο ως προς το είδος των γωνιών του.

β) Να υπολογίσετε το μήκος της προβολής ΑΔ της πλευράς ΑΓ πάνω στην ΑΒ

γ) Να υπολογιστεί η γωνία Α.


Θεωρούμε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με και ΒΓ=4. Με

κέντρο το Β και ακτίνα ΒΑ γράφουμε τόξο που τέμνει τη ΒΓ στο Μ και με κέντρο Γ και ακτίνα ΓΜ γράφουμε τόξο που τέμνει την ΑΓ στο Ν. Να βρεθούν:

α) Η θέση του σημείου Μ στη ΒΓ.

β) Η περίμετρος του μικτόγραμμου τριγώνου ΑΜΝ

γ) Το εμβαδόν του μικτόγραμμου τριγώνου ΑΜΝ.

42) Β ΛΥΚΕΙΟΥ-ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ-ΦΡΟΝΤ. ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ (ο.κ)

Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ, το ύψος του ΑΔ και τη διάμεσο του ΑΜ. Αν είναι ΑΒ=6, ΑΓ=8 και ΔΜ=2, τότε:

α) Να υπολογιστούν τα μήκη των τμημάτων ΒΓ, ΑΜ,ΑΔ.

β) Να βρεθεί το είδος των γωνιών του τριγώνου ΑΒΓ.

γ) Να υπολογιστεί το μήκος της προβολής της ΑΒ πάνω στην ΑΓ

δ) Να υπολογιστούν τα μήκη των και

ε) Να υπολογιστούν τα μήκη των ακτίνων του εγγεγραμμένου και του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου ΑΒΓ.

43) Β ΛΥΚΕΙΟΥ-ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ-ΦΡΟΝΤ. ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ

Θεωρούμε ορθογώνιο παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και προεκτείνουμε την πλευρά ΓΒ, προς το μέρος του Β, κατά τμήμα ΒΕ=3ΒΓ. Αν η περίμετρος του ορθογωνίου είναι ίση με 12, το εμβαδόν του ίσο με 8 και ΑΒ>ΒΓ, τότε:

α) Να υπολογίσετε τα μήκη των πλευρών του.

β) Να υπολογιστεί το εμβαδόν του τετραπλεύρου ΑΔΒΕ και του τριγώνου ΑΔΕ.

γ) Να υπολογιστεί το μήκος του τμήματος ΕΟ, όπου Ο το κέντρο του ορθογωνίου.

δ) Να αποδείξετε ότι: .

44) Β ΛΥΚΕΙΟΥ-ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ-ΦΡΟΝΤ. ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ

Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ(ΑΒ<ΑΓ), το ύψος ΑΗ, τη διάμεσο ΑΜ και τον περιγγεγραμμένο κύκλο . Αν Ε το σημείο που η ΑΜ τέμνει τον κύκλο και Ζ η προβολή του Μ στην ΑΓ, τότε:

α) Να υπολογιστούν το μήκος του ΜΕ,συναρτήσει των πλευρών α,β,γ του τριγώνου.

β) Να δείξετε ότι: .

γ) Να δείξετε ότι: .

45) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ- ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ-ΦΡΟΝΤ. ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ.(o.k.)

Δίνεται συνάρτηση ορισμένη στο διάστημα Δ= . Αν η κλίση της

συνάρτησης σε κάθε είναι και η ευθεία (ε): εφάπτεται

της στο σημείο της , τότε:

α) Να προσδιορίσετε το σημείο επαφής.

β) Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης.

γ) Να μελετήσετε τη συνάρτηση ως προς τη μονοτονία και να βρείτε το σύνολο τιμών της.

δ) Να λύσετε την εξίσωση: .

(Υπόδειξη: Μ(e,e), , εξ. Αδύνατη)

46) Β ΛΥΚΕΙΟΥ –ΑΛΓΕΒΡΑ-ΦΡΟΝΤ. ΣΤΟΧΟΣ(ο.κ)

Αν , τότε:

α) Να υπολογιστούν .

β) Να λυθεί η εξίσωση: .


Δίνονται οι συναρτήσεις: καθώς και

, όπου κ,λ πραγματικοί αριθμοί. Να υπολογιστούν

οι κ,λ αν είναι γνωστό ότι έχουν την ίδια μέγιστη τιμή και η περίοδος της είναι τριπλάσια από την περίοδο της .


Οι ετήσιες πωλήσεις ενός προϊόντος σε χιλιάδες κομμάτια δίνονται κατά προσέγγιση από τον τύπο:

, όπου οχρόνος σε έτη.

Αν είναι , τότε:

α) Να βρεθεί το έτος που θα έχουμε το μέγιστο αριθμό πωλήσεων και πόσες θα είναι αυτές.

β) Σε ποιο έτος οι πωλήσεις θα φθάσουν τα 16000 κομμάτια;

49) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ- ΘΕΤΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ-ΦΡΟΝΤ. ΘΕΣΜΟΣ

Αν η συνάρτηση είναι συνεχής στο [0,3] και παραγωγίσιμη στο (0,3) με και , τότε να δείξετε ότι:

α) Υπάρχει τουλάχιστον ένα .

β) Υπάρχουν .

(Υπόδειξη: Θ.Β στο [0,3] για την και μετά Θ.Μ.Τ στα )


Αν η συνάρτηση είναι 2 φορές παραγωγίσιμη στο [α,β] και ισχύει ότι:

ενώ για κάθε , να δείξετε ότι υπάρχει :

.

(Υπόδειξη: Έστω και εφαρμόζω Θ. Rolle).

51) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ-ΓΕΝΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ-ΦΡΟΝΤ. ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ (Ο.Κ)

Οι ημερήσιες εισπράξεις ενός καταστήματος που λειτουργεί όλο το εικοσιτετράωρο, δίνονται σε χιλιάδες Ευρώ από τις τιμές της συνάρτησης

, όπου ο χρόνος που μετριέται σε ώρες και η μέτρηση

του αρχίζει αμέσως μετά τις 12 το μεσημέρι.

α) Να βρείτε πότε το κατάστημα πραγματοποιεί τις περισσότερες εισπράξεις και πόσες είναι αυτές.

β) Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής των εισπράξεων, τη χρονική στιγμή κατά την οποία η επιχείρηση πραγματοποιεί τις περισσότερες εισπράξεις, καθώς και το χρονικό διάστημα στο οποίο ο ρυθμός μεταβολής είναι θετικός.

γ) Αν είναι γνωστό ότι το κατάστημα έχει κέρδος όταν οι εισπράξεις είναι τουλάχιστον 1000 Ευρώ, να βρείτε το χρονικό διάστημα, στο οποίο η επιχείρηση είναι κερδοφόρα.

(Απ: Στις 8μ.μ., χιλ. Ευρώ, )

51) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ-ΓΕΝΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ-ΦΡΟΝΤ. ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ(ο.κ)

Εξετάσαμε ένα δείγμα μεγέθους ν, ως προς τη μεταβλητή Χ. Έστω οι τιμές της μεταβλητής με αντίστοιχες συχνότητες και

αντίστοιχες σχετικές συχνότητες . Να δείξετε ότι για τη διακύμανση ισχύουν οι σχέσεις:

α)

β)

52) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ-ΓΕΝΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ-ΦΡΟΝΤ. ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ(o.k)

Στις τελευταίες εξετάσεις ενός Πανεπιστημιακού τμήματος στο μάθημα της Στατιστικής έλαβαν μέρος 40 φοιτητές. Οι 12 από αυτούς βαθμολογήθηκαν με βαθμό κάτω του 4 και οι 4 με βαθμό κάτω του 2. Το 40% με βαθμό μεγαλύτερο ή ίσο του 4, αλλά μικρότερο του 6. Η γωνία του κυκλικού τομέα, του αντίστοιχου κυκλικού διαγράμματος της βαθμολογίας των φοιτητών, γι αυτούς που βαθμολογήθηκαν με βαθμό μεγαλύτερο ή ίσο του 8 ήταν . Αν η κλίμακα βαθμολογίας είναι από 0 έως 10, και η βάση το 5,τότε:

α) Να κατασκευάσετε τον πίνακα συχνοτήτων της βαθμολογίας των φοιτητών.

β) Να βρείτε πόσοι φοιτητές πέρασαν το μάθημα.

γ) Να βρείτε τη μέση τιμή, τη διακύμανση, την τυπική απόκλιση και το συντελεστή μεταβλητότητας της βαθμολογίας των φοιτητών. Είναι το δείγμα ομοιογενές;


Κάποιος έχει τη δυνατότητα να βάλει υποψηφιότητα για πρόεδρος σε 2 συλλόγους Σ και Σ΄. Θεωρούμε τα ενδεχόμενα:

Α: «Εκλέγεται πρόεδρος στο σύλλογο Σ»

Β: « Εκλέγεται πρόεδρος στο Σ΄»

Αν η πιθανότητα:

Να εκλεγεί στον Σ είναι 25%

Να μην εκλεγεί στον Σ΄είναι

Να μην εκλεγεί συγχρόνως πρόεδρος στους 2 συλλόγους είναι , να

βρείτε την πιθανότητα:

α) Να μην εκλεγεί προέδρος στον Σ

β) Να εκλεγεί πρόεδρος στον Σ΄

γ) Να εκλεγεί συγχρόνως πρόεδρος και στους 2 συλλόγους

δ) Να εκλεγεί σε έναν τουλάχιστον από τους 2 συλλόγους

ε) Να εκλεγεί σε έναν ακριβώς από τους 2 συλλόγους.


Ο μέσος όρος του ύψους των παικτών μιας ομάδας είναι 205 εκατοστά. Με τη μεταγραφή ενός παίκτη ύψους 221 εκατοστών, ο μέσος όρος ύψους έγινε 207 εκατοστά. Να βρείτε πόσους παίκτες είχε αρχικά η ομάδα.

55) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ-ΓΕΝΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ- ΦΡΟΝΤ. ΟΜΟΚΕΝΤΡΟ(ο.κ.)

Δίνονται οι συναρτήσεις:

και

α) Να βρεθούν οι πραγματικοί αριθμοί α,β ώστε η συνάρτηση να είναι συνεχής στο και η στο .

β) Να υπολογίσετε το όριο: .

56) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ-ΓΕΝΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ- ΦΡΟΝΤ. ΟΜΟΚΕΝΤΡΟ(Ο.κ)

Ένα κουτί περιέχει 40 μπάλες από τις οποίες οι 20 είναι άσπρες, οι 10 μαύρες και οι υπόλοιπες είναι πράσινες ή κόκκινες. Επιλέγουμε από το κουτί μία

μπάλα στην τύχη. Η πιθανότητα να επιλεγεί κόκκινη μπάλα είναι , ενώ

πράσινη είναι , όπου λ θετικός ακέραιος. Να βρεθεί πόσες κόκκινες και

πόσες πράσινες μπάλες περιέχει το κουτί.

57) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ-ΓΕΝΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ- ΦΡΟΝΤ. ΟΜΟΚΕΝΤΡΟ(o.k)

Δίνεται η κατανομή συχνοτήτων:

Χ: 1 Κ 3 Λ

ν: 5 20 15 30

Αν η μέση τιμή είναι και ο συντελεστής μεταβολής είναι , να βρείτε

α) Τις τιμές των Κ,Λ οι οποίες είναι ακέραιοι αριθμοί.

β) Τη διάμεσο

58) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ-ΘΕΤΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ- ΦΡΟΝΤ. ΣΥΓΧΡΟΝΟ.

α) Αν η συνάρτηση είναι συνεχής στο [α,β] και για κάθε , να δειχθεί ότι η διατηρεί σταθερό πρόσημο στο [α,β].

β) Έστω συνεχής συνάρτηση στο με για κάθε και . Να δείξετε ότι δεν υπάρχει ώστε να ισχύει: .

(Υπόδειξη: α) Άτοπο β) Θεωρώ και εφαρμόζω το α))

59) Β ΛΥΚΕΙΟΥ-ΓΕΝΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ(ο.κ)

α) Σε αριθμητική πρόοδο είναι ο , ενώ η διαφορά της προόδου είναι ω=5. Να δείξετε ότι ο πρώτος όρος της προόδου είναι ίσος με τη διαφορά της προόδου.

β) Να υπολογίσετε το άθροισμα: .

γ) Έστω τώρα γεωμετρική πρόοδος με και . Να

υπολογίσετε το άθροισμα: .

60) Β ΛΥΚΕΙΟΥ-ΓΕΝΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ(ο.κ)

Έστω ομόκεντροι κύκλοι που η ακτίνα του καθενός είναι κατά 2 εκατοστά μεγαλύτερη από την ακτίνα του προηγούμενου, ενώ η ακτίνα του πρώτου είναι 1 εκατοστό.

α) Να υπολογίσετε το μήκος και το εμβαδό του τέταρτου κατά σειρά κύκλου.

β) Υπάρχει κύκλος με μήκος 30π εκατοστά;

61) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ-ΓΕΝΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ-ΦΡΟΝΤ. ΑΛΦΑ(ο.κ)

Στον πίνακα που ακολουθεί να υπολογίσετε την τιμή του κ ώστε η ευθεία ελαχίστων τετραγώνων της Y πάνω στην X, να είναι η

X 1 2 3 κ 5

Y 1 7 κ 3 2

62) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ-ΓΕΝΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ-ΦΡΟΝΤ. ΑΛΦΑ(o.k)

Το άθροισμα των παρατηρήσεων μιας μεταβλητής X είναι 60, ενώ το άθροισμα των τετραγώνων τους είναι 880. Η διακύμανση έχει τιμή 32.

α) Να βρεθεί το πλήθος των παρατηρήσεων.

β) Να βρεθεί ο συντελεστής μεταβλητότητας.

63) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ- ΓΕΝΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ-ΦΡΟΝΤ. ΣΥΓΧΡΟΝΟ(ο.κ)

Έστω Α,Β δύο ενδεχόμενα του ίδιου δειγματικού χώρου Ω με και . Να αποδείξετε ότι: .

64) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ- ΓΕΝΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ-ΦΡΟΝΤ. ΣΥΓΧΡΟΝΟ

Έστω Ω ο δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης που αποτελείται από απλά ισοπίθανα ενδεχόμενα με . Αν , και , να υπολογιστούν:

α) Οι πιθανότητες .

β) Η πιθανότητα .

65) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ- ΓΕΝΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ-ΦΡΟΝΤ. ΣΥΓΧΡΟΝΟ(ο.κ)

Έστω δύο μεταβλητές και η ευθεία παλινδρόμησης της

πάνω στη , όπου και και παραγωγίσιμη συνάρτηση στο

με , .

α) Να εκφραστούν οι εκτιμήτριες ελαχίστων τετραγώνων καθώς και η εξίσωση της ευθείας παλινδρόμησης συναρτήσει του κ.

β) Αν γνωρίζουμε ότι η ευθεία παλινδρόμησησης τέμνει τον στο σημείο με τεταγμένη 3 και επιπλέον ότι η αύξηση του κατά 2 μονάδες έχει ως αποτέλεσμα την αύξηση του κατά 16 μονάδες, να βρεθεί η τιμή του κ και η ευθεία παλινδρόμησης.

γ) Να υπολογιστεί η ευθεία παλινδρόμησης της πάνω στη , όταν .

66) Α ΛΥΚΕΙΟΥ- ΛΥΚΕΙΟ ΑΜΑΡΟΥΣΙΟΥ(o.k)

Να γίνει η γραφική παράσταση της συνάρτησης .

67) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ- ΘΕΤΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ-ΛΥΚΕΙΟ ΒΡΙΛΗΣΣΙΩΝ

Έστω η συνάρτηση .

α) Να μελετηθεί ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα.

β) Να βρείτε, εφόσον υπάρχουν, τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης.

γ) Για κάθε , να δείξετε ότι: .

68) Α ΛΥΚΕΙΟΥ- ΦΡΟΝΤ. ΔΗΜΟΚΡΙΤΟΣ(o.k)

Να σημειώσετε στις επόμενες προτάσεις το Σωστό (Σ) ή το Λάθος(Λ)

α) Είναι

β)

γ) Αν , τότε και .

δ) Αν είναι ορίζουσες ενός συστήματος δύο γραμμικών εξισώσεων

με αγνώστους και ισχύει , τότε το σύστημα έχει άπειρες λύσεις.

ε) Η συνάρτηση , έχει άξονα συμμετρίας τον .

69) Α ΛΥΚΕΙΟΥ- ΦΡΟΝΤ. ΔΗΜΟΚΡΙΤΟΣ(o.k)


α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της.

β) Να λύσετε την εξίσωση .

γ) Να λύσετε την ανίσωση .

70) Α ΛΥΚΕΙΟΥ- ΦΡΟΝΤ. ΔΗΜΟΚΡΙΤΟΣ(Ο.Κ)

Αν η εξίσωση , έχει μία διπλή ρίζα, τότε:

α) Να δείξετε ότι .

β) να εξετάσετε αν υπάρχει περίπτωση να συναντηθούν 2 πλοία που κινούνται πάνω στις ευθείες με εξισώσεις και

.

71) Α ΛΥΚΕΙΟΥ- ΦΡΟΝΤ. ΔΗΜΟΚΡΙΤΟΣ

Αν το τριώνυμο , έχει ρίζες πραγματικές και άνισες, τότε να δείξετε ότι και το έχει επίσης ρίζες άνισες.

72) Α ΛΥΚΕΙΟΥ- ΕΛΛΗΝΟΓΑΛΛΙΚΗ ΣΧΟΛΗ(o.k)

Σε ένα γραμμικό σύστημα για τις ορίζουσες του ισχύει η σχέση:

Να δείξετε ότι το σύστημα είναι αδύνατο.

73) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ- ΓΕΝΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ(ο.κ)

Έστω Α ένα ενδεχόμενο ενός δειγματικού χώρου Ω και λ ακέραιος για τον οποίο ισχύει η σχέση:

.

Να υπολογίσετε το: .


Θεωρούμε τη συνάρτηση καθώς και τα σημεία του επιπέδου με και . Να υπολογίσετε την πιθανότητα του ενδεχομένου:

Α: « Η ευθεία που ορίζουν δύο από τα παραπάνω σημεία είναι εφαπτομένη της στο (1,1)»


Η πιθανότητα να βρούμε λεωφορείο μια βροχερή μέρα στην Αθήνα είναι 40%, ενώ να βρούμε ταξί είναι 30%. Αν η πιθανότητα να μην βρούμε τουλάχιστον ένα από τα δύο είναι 50%, να βρείτε την πιθανότητα βγαίνοντας στο δρόμο να συναντήσουμε τουλάχιστον ένα μεταφορικό μέσο.


Έστω δύο συναρτήσεις παραγωγίσιμες στο για τις οποίες γνωρίζουμε ότι ισχύουν οι σχέσεις:

.

α) Να δείξετε ότι η συνάρτηση είναι

σταθερή στο .

β) Να υπολογίσετε τον τύπο των .

77) Β ΛΥΚΕΙΟΥ-ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ- ΦΡΟΝΤ. ΣΤΟΧΟΣ(ο.κ)

Να υπολογίσετε τις τιμές του ώστε το πολυώνυμο :

να έχει παράγοντα το .

78) Β ΛΥΚΕΙΟΥ-ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ- ΦΡΟΝΤ. ΣΤΟΧΟΣ(ο.κ)

Σε αριθμητική πρόοδο το άθροισμα των όρων που βρίσκονται μεταξύ του 12ου

και του 40ου όρου είναι 1260. Αν ο πρώτος όρος της αριθμητικής προόδου ισούται με το άθροισμα των ριζών της εξίσωσης , να βρεθεί ο δέκατος όρος της προόδου.

79) Β ΛΥΚΕΙΟΥ-ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ- ΦΡΟΝΤ. ΣΤΟΧΟΣ

α) Ποιο πολυώνυμο πρώτου βαθμού πρέπει να προσθέσουμε στο πολυώνυμο ώστε να προκύψει πολυώνυμο τέτοιο ώστε να έχει παράγοντα το .

β) Αποδείξτε ότι το έχει παράγοντα το .

80) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ- ΓΕΝΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ-ΦΡΟΝΤ. ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ(ο.κ.)

Δίνεται η συνάρτηση για την οποία , .

α) Βρείτε τον τύπο της .

β) Βρείτε την παράγωγο της .

γ) Βρείτε την εξίσωση εφαπτομένης της στο σημείο που η τέμνει τον οριζόντιο άξονα.

δ) Να μελετήσετε την ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα.

81) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ- ΓΕΝΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ-ΦΡΟΝΤ. ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ

Η μέση τιμή και η διακύμανση ενός δείγματος 6 διαφορετικών παρατηρήσεων υπολογίστηκαν και έχουν τις τιμές και . Διαπιστώθηκε αργότερα πως η τελευταία παρατήρηση ενώ ήταν ίση με 18 καταγράφηκε ως 24.

α) Βρείτε την πραγματική μέση τιμή και διακύμανση του δείγματος.

β) Είναι το δείγμα ομοιογενές;

82) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ- ΓΕΝΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ-ΦΡΟΝΤ. ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ(o.k)

Στον επόμενο πίνακα δίνεται η κατανομή σχετικών αθροιστικών συχνοτήτων για τη μεταβλητή Χ που αφορά το χρόνο επίλυσης των θεμάτων ενός διαγωνίσματος 100 μαθητών της Γ’ Λυκείου.

Χρόνος σε λεπτά

40-50 0,2

50-60 0,5

60-70

70-80

α) Γνωρίζοντας ότι να συμπληρώσετε τον πίνακα που δόθηκε.

β) Να βρείτε τη μέση τιμή τη διάμεσο και την επικρατούσα τιμή της κατανομής.

γ) Πόσοι μαθητές παρέδωσαν το γραπτό τους μεταξύ 45 και 60 λεπτών;

δ) Αν κατά την παράδοση των θεμάτων στους μαθητές υπήρξε καθυστέρηση 5 λεπτών, βρείτε τη μεταβολή του CV.

83) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ-ΓΕΝΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ-ΦΡΟΝΤ. ΑΝΟΔΟΣ

Ο όγκος ενός ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου ύψους α με τετράγωνη βάση πλευράς β αυξάνει με ρυθμό 30 . Αν το ύψος είναι διπλάσιο της πλευράς της βάσης και ίσο με 10 , να βρεθούν:

α) Ο ρυθμός μεταβολής της πλευράς β όταν ο ρυθμός μεταβολής του ύψους α είναι 3

β) Ο ρυθμός μεταβολής της επιφάνειας του ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου την ίδια χρονική στιγμή.

84) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ-ΓΕΝΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ-ΦΡΟΝΤ. ΑΝΟΔΟΣ(ο.κ)

Ο μέσος χρόνος συμμετοχής(Χ) ενός καλαθοσφαιριστή σε λεπτά και ο μέσος αριθμός πόντων (Y)που σημειώνει σε μια αγωνιστική περίοδο φαίνονται στον παρακάτω πίνακα:

Χ: 5 7 11 16 23 34

Y: 3 8 10 14 18 25

α) Να βρεθεί η ευθεία ελαχίστων τετραγώνων της Y πάνω στη Χ και να εκτιμηθεί ο μέσος αριθμός πόντων ενός παίκτη με μέσο χρόνο συμμετοχής 12 λεπτά.

β) Πόσους πόντους επιπλέον μπορεί να σημειώσει ένας παίκτης αν αυξηθεί ο μέσος χρόνος συμμετοχής του κατά 2 λεπτά;

γ) Σε μια άλλη ομάδα η ευθεία ελαχίστων τετραγώνων που εκτιμά το μέσο αριθμό πόντων πάνω στο μέσο χρόνο συμμετοχής είναι παράλληλη στην πρώτη. Αν ένας παίκτης με μέσο χρόνο συμμετοχής 8 λεπτά εκτιμήθηκε ότι σημειώνει κατά μέσο όρο 11.5 πόντους, πόσους πόντους αναμένουμε να σημειώσει ένας συμπαίκτης του με μέσο χρόνο συμμετοχής 10 λεπτά;

85) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ- ΘΕΤΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ- ΦΡΟΝΤ. ΠΡΟΤΥΠΟ (Ο.Κ)

α) Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών για τους οποίους ισχύει:

β) Έστω οι μιγαδικοί αριθμοί και , όπου

και . Να δείξετε ότι: . Στη συνέχεια να υπολογίσετε την τιμή του ώστε να ισχύει:

και συγχρόνως ότι οι εικόνες των μιγαδικών βρίσκονται σε κύκλο με κέντρο Ο(0,0) και ακτίνα .

86) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ-ΓΕΝΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ –ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ(ο.κ)

Σε τρεις συνεχόμενους αγώνες μία ομάδα ποδοσφαίρου δεν σημείωσε καμία ήττα. Να βρείτε:

α) Το δειγματικό χώρο του πειράματος για τα αποτελέσματα των τριών αγώνων.

β) Τα ενδεχόμενα:

Α: « η ομάδα έφερε τουλάχιστον 2 ισοπαλίες»

Β: « η ομάδα έφερε το πολύ μία ισοπαλία»

Γ: « η ομάδα έφερε ακριβώς 2 νίκες»

Δ: « η ομάδα στο μεσαίο αγώνα σημείωσε νίκη»

γ) Να εξετάσετε αν είναι ασυμβίβαστα τα ενδεχόμενα Α,Δ και Β,Γ.


Αν για τον μιγαδικό αριθμό ισχύει , να υπολογιστεί το

όπου κ,λ η ελάχιστη και μέγιστη τιμή του .


Αν για τον μιγαδικό αριθμό ισχύει: , να βρείτε:

α) Τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων του .

β) Αν με κ συμβολίσουμε την ελάχιστη τιμή του και , όπου

συνεχής στο , και

, να δείξετε ότι η εξίσωση: , έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο

.


Έστω μιγαδικός αριθμός ώστε: , όπου .

α) Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του

β) Από τους παραπάνω μιγαδικούς να βρεθεί αυτός που έχει το μεγαλύτερο πρωτεύον όρισμα.

90) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ- ΓΕΝΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ- ΕΛΛΗΝΟΓΕΡΜΑΝΙΚΗ ΑΓΩΓΗ(ο.κ.)

Δίνεται η συνάρτηση , και . Να βρεθούν οι θετικοί

ακέραιοι α,β, ώστε να ισχύει η σχέση:


Δίνονται οι ευθείες , και η μεταβλητή ευθεία ,

όπου . Αν η (ε) τέμνει τις , στα σημεία Α,Β αντίστοιχα.

α) Βρείτε τις συντεταγμένες των σημείων Α,Β συναρτήσει του λ .

β) Βρείτε την τιμή του λ ώστε το γινόμενο ΟΑ. ΟΒ να γίνεται ελάχιστο.


Να χαρακτηρίσετε καθεμία από τις επόμενες προτάσεις ως σωστές ή λάθος:

1) Αν , τότε .

Σ Λ

2) Η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της στο σημείο της διέρχεται από την αρχή των αξόνων.

Σ Λ

93) Β ΛΥΚΕΙΟΥ- ΑΛΓΕΒΡΑ- ΦΡΟΝΤ. ΣΤΟΧΟΣ(ο.κ)

Να λυθούν οι ακόλουθες εξισώσεις:

α)

β) .

94) Β ΛΥΚΕΙΟΥ- ΑΛΓΕΒΡΑ-ΦΡΟΝΤ. ΑΝΟΔΟΣ

Δίνεται πολυώνυμο για το οποίο ισχύει η σχέση , για κάθε και επιπλέον γνωρίζουμε ότι .

α) Υπολογίστε το .

β) Αποδείξτε ότι .

γ) Αν είναι το υπόλοιπο της διαίρεσης του με το και το υπόλοιπο της διαίρεσης του με το , τότε να δείξετε ότι:

δ) Θεωρούμε την ακολουθία ,όπου ν θετικός ακέραιος. Να δείξετε ότι .

95) Β ΛΥΚΕΙΟΥ- ΑΛΓΕΒΡΑ-ΦΡΟΝΤ. ΑΝΟΔΟΣ(ο.κ)

Ενός αγροτεμαχίου σχήματος ορθογωνίου, οι διαστάσεις του σε εκατοντάδες

μέτρα αποτελούν λύσεις της εξίσωσης . Ο ιδιοκτήτης του το

χωρίζει σε άνισα μεταξύ τους κομμάτια των οποίων τα εμβαδά εκφρασμένα σε στρέμματα αποτελούν διαδοχικούς όρους αριθμητικής προόδου με διαφορά

. Στο 3ο κατά σειρά κομμάτι σπέρνει αγροτικό προϊόν με

κόστος 0,05Ευρώ/ τ.μ. Αν η σπορά στο κομμάτι αυτό κόστισε 300Ευρώ, να βρεθεί σε πόσα κομμάτια χώρισε το αγροτεμάχιο ο αγρότης.

96) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ-ΘΕΤΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ-ΦΡΟΝΤ. ΒΑΛΤΑΣ

Θεωρούμε συνεχή συνάρτηση ορισμένη στο με , για .

α) Υπολογίστε το .

β) Μελετήστε τη συνάρτηση ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα.

γ) Διατάξτε τους ακόλουθους αριθμούς κατά αύξουσα σειρά.

δ) Εξετάστε αν η έχει οριζόντια ασύμπτωτη στο .

ε) Δείξτε ότι υπάρχει ώστε η εφαπτομένη της στο να διέρχεται από το Β(-1,0).

στ) Θεωρούμε τους μιγαδικούς . Βρείτε το μιγαδικό εκείνο ο οποίος έχει το μεγαλύτερο μέτρο.

97) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ-ΘΕΤΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ-ΦΡΟΝΤ. ΒΑΛΤΑΣ

Δίνονται οι συναρτήσεις:

και .

α) Δείξτε ότι .

β) Δείξτε ότι η είναι περιττή στο .

γ) Να δείξετε ότι η αντιστρέφεται και να βρείτε την αντίστροφή της.

δ) Υπολογίστε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την , την και τις ευθείες με εξισώσεις και .

ε) Δείξτε ότι το σημείο βρίσκεται στην .

στ) Θεωρώντας ότι η είναι παραγωγίσιμη στα εσωτερικά σημεία του πεδίου ορισμού της, να βρείτε την κλίση της στο Α.

98) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ-ΘΕΤΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ-ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ 2001

Θεωρούμε τη συνάρτηση , με , η οποία

έχει ασύμπτωτες τις ευθείες και .

α) Να δείξετε ότι ο τύπος της είναι ο:

β) Να βρείτε συνάρτηση τέτοια ώστε , της οποίας η γραφική παράσταση διέρχεται από το σημείο Μ(0,2).

γ) Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τη συνάρτηση:

.

99) Α ΛΥΚΕΙΟΥ- ΑΛΓΕΒΡΑ(Ο.Κ)

Δύο πλοία κινούνται σε ευθύγραμμες τροχιές που περιγράφονται σε ένα ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων με τις εξισώσεις:

για το : και για το : , όπου

ο χρόνος σε ώρες και λ πραγματικός αριθμός. Ζητούνται:

α) Να δείξετε ότι αν τα πλοία διατηρήσουν αυτές τις πορείες και για , θα συναντηθούν σε κάποια χρονική στιγμή την οποία και να προσδιορίσετε.

β) Αν η απόσταση των 2 πλοίων, 2 ώρες μετά την στιγμή που αρχίζει να μετρά ο χρόνος είναι 5μ, να βρείτε το λ.

γ) Υπάρχει τιμή του λ για την οποία τα πλοία δεν θα συναντηθούν ποτέ;

100) Α ΛΥΚΕΙΟΥ- ΑΛΓΕΒΡΑ- 6 ΛΥΚΕΙΟ ΑΜΑΡΟΥΣΙΟΥ (Ο.Κ)

Δίνεται η .

α) Να γράψετε τον τύπο της χωρίς απόλυτα.

β) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης .

101) Α ΛΥΚΕΙΟΥ- ΑΛΓΕΒΡΑ-ΕΛΛΗΝΟΓΑΛΛΙΚΗ ΣΧΟΛΗ(O.K)

Σε ένα γραμμικό σύστημα (Σ) για τις ορίζουσες του γνωρίζουμε πως ισχύει η σχέση:

Να λύσετε το (Σ).

102) Β΄ΛΥΚΕΙΟΥ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ- ΦΡΟΝΤ. ΑΝΩΣΗ

Δίνονται τα σταθερά σημεία Α(-α,0) και Β(α,0), καθώς και το μεταβλητό σημείο του επιπέδου τέτοιο ώστε: , όπου και είναι οι συντελεστές διεύθυνσης των διανυσμάτων και αντίστοιχα. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ του επιπέδου.


Θεωρούμε τα διανύσματα και με Ο την αρχή των αξόνων. Να βρείτε την εξίσωση κύκλου με κέντρο το σημείο Α που διέρχεται από το Β.


α) Έστω α,β,γ ακέραιοι αριθμοί με . Αν α/β και α/β-γ, να δείξετε ότι και α/γ

β) Έστω κ,λ,μ,ν ακέραιοι αριθμοί με . Αν , να δείξετε ότι .


Έστω οι ετερόσημοι πραγματικοί αριθμοί α,β και θεωρούμε και τις γραμμές που περιγράφονται από τις εξισώσεις:

και αντίστοιχα.

α) Να δείξετε ότι οι είναι κύκλοι των οποίων να βρεθούν τα κέντρα

και οι ακτίνες.

β) Να δείξετε ότι τέμνονται οι 2 κύκλοι σε δύο σημεία Α και Β των οποίων να βρείτε τις συντεταγμένες.

γ) Να δείξετε ότι οι γωνίες και είναι ορθές.

106) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ-ΘΕΤΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ-ΦΡΟΝΤ. ΣΙΑΤΙΣΤΑ

Δίνεται η συνεχής συνάρτηση της οποίας η γραφική παράσταση διέρχεται από το σημείο Α(0,5). Έστω ακόμη η συνάρτηση με:

.

α) Να βρεθεί η παράγωγος της .

β) Αν ισχύει για κάθε , να βρεθεί η τιμή του κ.

107) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ-ΘΕΤΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ-ΦΡΟΝΤ. ΣΙΑΤΙΣΤΑ(o.k)

Δίνονται οι συναρτήσεις συνεχείς στο , οι οποίες ικανοποιούν τις σχέσεις:

και , για κάθε .

α) Να βρεθούν οι τύποι των .

β) Να βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου, το οποίο περικλείεται από τις

και τις ευθείες και .

108) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ-ΘΕΤΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ-ΦΡΟΝΤ. ΣΙΑΤΙΣΤΑ

Ευθεία (ε) στρέφεται γύρω από το σημείο Α(4,2) με ρυθμό ,

όπου λ>0, ο συντελεστής διεύθυνσης της. Εάν η ευθεία (ε) τέμνει τους άξονες στα σημεία Μ,Ν αντίστοιχα, να βρείτε το ρυθμό μεταβολής του

εμβαδού του τριγώνου ΟΜΝ ως προς το χρόνο τη χρονική στιγμή που η ευθεία περνά από το σημείο Β(5,3), όπου Ο η αρχή των αξόνων.

109) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ-ΓΕΝΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ-ΦΡΟΝΤ. ΠΡΟΤΥΠΟ(ο.κ)

Α.1 Να προσδιορίσετε τη τιμή του λ ώστε η ευθεία ελαχίστων τετραγώνων της μεταβλητής Y πάνω στη X για τα δεδομένα του επόμενου πίνακα να είναι η .

ΜΕΤΑΒΛΗΤΗ Χ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗ Υ

1 Λ

2 3

3 3

4 5

5 9

Α.2 Με βάση την πιο πάνω εξίσωση δεν μπορούμε να εκτιμήσουμε την τιμή του y, όταν το x είναι ίσο με:

.

110) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ-ΓΕΝΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ-ΦΡΟΝΤ. ΠΡΟΤΥΠΟ(ο.κ)

Δίνεται η συνάρτηση και τα ενδεχόμενα Α,Β ενός

δειγματικού χώρου Ω.

Αν και , όπου α,β οι θέσεις τοπικού ελαχίστου και τοπικού μεγίστου αντίστοιχα της , ενώ η πιθανότητα είναι ίση με την τιμή του τοπικού ελαχίστου της συνάρτησης, να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχομένων:

α) Να πραγματοποιηθεί τουλάχιστον ένα από τα Α,Β

β) Να πραγματοποιηθεί μόνο το Β.

111) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ-ΓΕΝΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ-ΦΡΟΝΤ. ΠΡΟΤΥΠΟ(o.k)

Μια αυτοκινητοβιομηχανία κατασκευάζει 4 μοντέλα αυτοκινήτων Α,Β,Γ,Δ σε ποσότητες 40%,30%, 20% και 10% της συνολικής παραγωγής. Το κόστος κατασκευής είναι 3000, 4000, 5000 και 6000 Ευρώ αντίστοιχα.

α) Είναι το κόστος κατασκευής ομοιογενές;

β) Αν όχι, να βρείτε πόσο τουλάχιστον πρέπει να αυξηθεί το κόστος κατασκευής ώστε το κόστος κατασκευής να γίνει ομοιογενές.


Ο μέσος μισθός των εργαζομένων σε μια επιχείρηση είναι 1800Ευρώ. Ο μέσος μισθός των ανδρών είναι 2000 Ευρώ, ενώ των γυναικών είναι 1500Ευρώ. Να βρείτε το ποσοστό των ανδρών και των γυναικών που εργάζονται στην επιχείρηση.


Ο παρακάτω πίνακας μας δίνει τη σχετική συχνότητα μιας μεταβλητής με μέση τιμή 2,1.

1 2 3 4

0,26 0,23

α) Να συμπληρωθεί ο πίνακας.

β) Να υπολογιστεί η διάμεσος.

114) Α ΛΥΚΕΙΟΥ- ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ- ΦΡΟΝΤ. ΚΑΛΛΙΘΕΪΚΟ

Σε τρίγωνο ΑΒΓ με , φέρνουμε τις διχοτόμους ΒΔ και ΓΕ. Να αποδείξετε ότι:

α) .

β) ΒΓ= ΒΕ +ΓΔ

115) Α ΛΥΚΕΙΟΥ- ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ- ΦΡΟΝΤ. ΚΑΛΛΙΘΕΪΚΟ

Στις πλευρές ΑΒ,ΒΓ,ΓΔ και ΔΑ παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ παίρνουμε αντίστοιχα τα σημεία Ε,Ζ,Η,Θ, ώστε το ΕΖΗΘ να είναι και αυτό παραλληλόγραμμο. Να αποδείξετε ότι:

α) ΑΕ=ΓΗ και ΑΘ=ΓΖ.

β) Τα παραλληλόγραμμα ΑΒΓΔ και ΕΖΗΘ έχουν το ίδιο κέντρο.

116) Β ΛΥΚΕΙΟΥ- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ-ΦΡΟΝΤ. ΚΑΛΛΙΘΕΪΚΟ(ο.κ)

Έστω και , δύο πολυώνυμα του με α,β θετικούς ακεραίους. Να αποδείξετε ότι αν το έχει ακέραια ρίζα, τότε το δεν έχει ακέραιες ρίζες.

117) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ- ΘΕΤΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ-ΦΡΟΝΤ. ΘΕΜΑΤΙΚΟ Έστω ο μιγαδικός αριθμός , με , . α) Να γράψετε σε τριγωνομετρική μορφή τους μιγαδικούς

β) Να δείξετε ότι: .

118) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ- ΘΕΤΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ-ΦΡΟΝΤ. ΘΕΜΑΤΙΚΟ Έστω παραγωγίσιμη συνάρτηση στο με τις ιδιότητες:

και , για κάθε .

α) Να δείξετε ότι υπάρχει τέτοιο ώστε: .

β) Να δείξετε ότι . γ) Να δείξετε ότι υπάρχει τέτοιο ώστε η εφαπτομένη της γραφικής

παράστασης της στο σημείο , να είναι κάθετη στην ευθεία με

εξίσωση .

119) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ-ΓΕΝΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ-ΦΡΟΝΤ. ΜΕΘΟΔΙΚΟ(ο.κ.)

Ένα σώμα κινείται ευθύγραμμα και η θέση του σε μέτρα συναρτήσει του

χρόνου (σε sec) δίνεται από τη συνάρτηση:

α) Αν τη χρονική στιγμή , το σώμα έχει διανύσει 6 μέτρα και η

ταχύτητα του στιγμιαία είναι , να βρεθούν τα α,β.

β) Για τις πιο πάνω τιμές των α,β, να βρεθεί πότε το σώμα είναι στιγμιαία ακίνητο.

γ) Πότε το σώμα έχει επιβράδυνση ;

120) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ-ΓΕΝΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ-ΦΡΟΝΤ. ΜΕΘΟΔΙΚΟ(ο.κ) α) Αν τα δυνατά αποτελέσματα ενός πειράματος τύχης

πραγματοποιούνται με συχνότητες αντίστοιχα, να βρείτε

την τιμή του λ ώστε οι συχνότητες αυτές να αντιπροσωπεύουν τις πιθανότητες των ενδεχομένων . β) Αν οι παραπάνω πιθανότητες να δείξετε ότι: και γ) Να υπολογιστεί η τιμή του α ώστε η συνάρτηση

να είναι συνεχής στο .121) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ-ΓΕΝΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ-ΦΡΟΝΤ. ΜΕΘΟΔΙΚΟ(ο.κ.) Έστω ο δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης. Να αποδείξετε

ότι η παράσταση γίνεται μέγιστη αν τα είναι ισοπίθανα.122) Α ΛΥΚΕΙΟΥ-ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ- ΑΡΣΑΚΕΙΟ ΨΥΧΙΚΟΥ Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ στο οποίο προεκτείνουμε την ΑΒ κατά ΒΕ=ΒΓ. Φέρνουμε τη διχοτόμο της γωνίας Α και την κάθετή της ΑΕ στο σημείο Ε, οι οποίες τέμνονται στο Ζ. Αν Ο είναι το κέντρο του παραλληλογράμμου και Μ το μέσο της ΑΖ, να δείξετε ότι: α) Τα τρίγωνα ΜΒΕ, ΜΑΔ είναι ίσα. β) ΓΖ=2ΜΟ γ) ΓΖ ΔΒ123) Α ΛΥΚΕΙΟΥ-ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ- ΑΡΣΑΚΕΙΟ ΨΥΧΙΚΟΥ Σ ε τετράγωνο ΑΒΓΔ παίρνουμε τα μέσα Ν,Κ,Λ,Μ των πλευρών ΑΒ,ΒΓ,ΓΔ και ΔΑ αντίστοιχα. Φέρνουμε τις ΑΚ,ΒΛ,ΓΜ,ΔΝ. Να δείξετε ότι σχηματίζεται ένα καινούριο τετράγωνο.124) Α ΛΥΚΕΙΟΥ-ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ- ΑΡΣΑΚΕΙΟ ΨΥΧΙΚΟΥ

Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ φέρνουμε τη διάμεσο ΑΜ και την

προεκτείνουμε κατά ΜΔ=ΑΜ. Από το Δ φέρνουμε κάθετη στη ΒΓ που τέμνει τη ΒΓ στο Ε, τη διχοτόμο ΒΘ στο Ζ και τη διχοτόμο ΓΙ στο Η. Να δείξετε ότι: α) Το ΑΒΓΔ είναι ορθογώνιο παραλληλόγραμμο. β) και ΑΓ=ΔΖ γ) ΔΗ=ΑΒ125) Α ΛΥΚΕΙΟΥ- ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ- ΦΡΟΝΤ. ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ.

Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ,με . Η μεσοκάθετος της

υποτείνουσας ΒΓ τέμνει αυτήν στο Μ και την ΑΓ στο Ν. Να αποδείξετε ότι ΝΑ=ΝΜ.126) Α ΛΥΚΕΙΟΥ- ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ- ΦΡΟΝΤ. ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ. Να αποδείξετε ότι το άθροισμα των διαγωνίων ενός τραπεζίου ΑΒΓΔ(ΑΒ//ΓΔ), είναι μεγαλύτερο από το άθροισμα των βάσεων του.127) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ- ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ- ΦΡΟΝΤ. ΜΕΘΟΔΙΚΟ. α) Να βρεθεί η παράγωγος της συνάρτησης .

β) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα: .

128) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ- ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ- ΦΡΟΝΤ. ΜΕΘΟΔΙΚΟ Έστω συνάρτηση η οποία είναι συνεχής στο [0,1]. Αν γνωρίζουμε ότι ισχύει η σχέση , να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο [0,1].129) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ- ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ- ΦΡΟΝΤ. ΜΕΘΟΔΙΚΟ

Έστω συνάρτηση για την οποία ισχύει .

α) Να υπολογίσετε το .

β) Αν επιπλέον γνωρίζουμε ότι η είναι συνεχής στο , να αποδείξετε ότι η συνάρτηση θα είναι και παραγωγίσιμη στο 2 και να βρεθεί η παράγωγός της.130) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ- ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ- ΦΡΟΝΤ. ΜΕΘΟΔΙΚΟΈστω η συνεχής συνάρτηση , ώστε να ισχύει η σχέση:

α) Να επαληθεύσετε ότι για ισχύει η ισότητα.β) Να υπολογίσετε το .131) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ- ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ- ΦΡΟΝΤ. ΜΕΘΟΔΙΚΟ Έστω Μ,Α,Β οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών και , αντίστοιχα στο μιγαδικό επίπεδο.α) Να αποδείξετε ότι .

Αν ακόμη υποθέσουμε ότι και , τότε:

β) Να αποδείξετε ότι αν Ο,Α,Β είναι συνευθειακά σημεία τότε ο αριθμός

είναι πραγματικός και αντίστροφα, όπου Ο η αρχή των αξόνων.

γ) Να αποδείξετε τότε ότι το κινείται σε κύκλο με κέντρο και

ακτίνα .

δ) Να βρείτε ποιος από τους παραπάνω μιγαδικούς του ερωτήματος (γ) έχει

όρισμα του οποίου στη συνέχεια να βρείτε το μέτρο και το πρωτεύον

όρισμα και να τον γράψετε σε τριγωνομετρική μορφή.132) Β ΛΥΚΕΙΟΥ-ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ-ΦΡΟΝΤ. ΟΡΟΣΗΜΟ Να λύσετε την εξίσωση:

133) Β ΛΥΚΕΙΟΥ-ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ-ΦΡΟΝΤ. ΟΡΟΣΗΜΟ α) Να δείξετε ότι . β) Να λύσετε την εξίσωση .134) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ- ΘΕΤΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ- ΦΡΟΝΤ. ΟΡΟΣΗΜΟ Έστω συνάρτηση παραγωγίσιμη στο [0,1] με συνεχή παράγωγο στο [0,1]

και τέτοια ώστε να ισχύουν οι σχέσεις: και . Να δείξετε

ότι:

α) Αν , τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον σημείο της στο οποίο

η εφαπτομένη να είναι παράλληλη στον .β) Υπάρχει ένα τουλάχιστον σημείο τέτοιο ώστε .135) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ-ΘΕΤΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ- ΦΡΟΝΤ. ΟΡΟΣΗΜΟ. Θεωρούμε τη συνάρτηση .

α) Να βρείτε τα όρια και .

β) Να δείξετε ότι υπάρχει ώστε .136) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ-ΘΕΤΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ- ΦΡΟΝΤ. ΟΡΟΣΗΜΟ.


α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης.β) Να δείξετε ότι είναι παραγωγίσιμη.γ) Να την μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα.137) Β ΛΥΚΕΙΟΥ- ΘΕΤΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ-ΦΡΟΝΤ. ΟΜΟΚΕΝΤΡΟ.Να αποδείξετε ότι .138) Β ΛΥΚΕΙΟΥ- ΘΕΤΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ-ΦΡΟΝΤ. ΟΜΟΚΕΝΤΡΟ. α) Να δείξετε ότι η εξίσωση , όπου παριστάνει κύκλο, του οποίου να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα. β) Να βρείτε την εξίσωση εφαπτομένης του παραπάνω κύκλου στο σημείο Ο(0,0). γ) Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των κέντρων των παραπάνω κύκλων, αν ισχύει η σχέση: .139) Α ΛΥΚΕΙΟΥ- ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ- ΦΡΟΝΤ. ΤΟΜΗ Έστω τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ<ΑΓ. Στην πλευρά ΑΓ παίρνουμε ένα σημείο Δ τέτοιο ώστε ΑΔ=ΑΒ. Να αποδείξετε ότι:

α)

β) .

140) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ- ΓΕΝΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ- ΦΡΟΝΤ. ΕΡΓΟΝ(ο.κ.) α) Δίνεται η συνάρτηση . Να μελετηθεί ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. β) Δίνεται ο δειγματικός χώρος Ω και Α,Β είναι 2 ενδεχόμενα του. Οι πιθανότητες πραγματοποίησης των Α,Β συνδέονται με τη σχέση:

Να δείξετε ότι το Β είναι βέβαιο ενδεχόμενο, ενώ το Α είναι αδύνατο ενδεχόμενο.141) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ- ΓΕΝΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ- ΦΡΟΝΤ. ΕΡΓΟΝ(ο.κ) Έστω Α,Β δύο ενδεχόμενα του ίδιου δειγματικού χώρου Ω με πιθανότητες

αντίστοιχα. Με δεδομένο ότι όταν πραγματοποιείται το Α πραγματοποιείται και το Β, να δείξετε ότι η συνάρτηση: δεν έχει ακρότατα.142) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ- ΓΕΝΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ- ΦΡΟΝΤ. ΕΡΓΟΝ Δίνεται η συνάρτηση .α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της.β) Να λύσετε την ανίσωση .γ) Να βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης της με τον .143) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ- ΓΕΝΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ- ΦΡΟΝΤ. ΕΡΓΟΝ(ο.κ) Μία βιομηχανία κατασκευάζει 4 προϊόντα Α,Β,Γ και Δ σε ποσοστά 10%, 20%,30%,40% με κόστος κατασκευής 5,4,3 και 2 εκατοντάδες Ευρώ ανά μονάδα προϊόντος αντίστοιχα.α) Να υπολογίσετε το μέσο κόστος κατασκευής των προϊόντων .

β) Να δείξετε ότι και στη συνέχεια να υπολογίσετε το

συντελεστή μεταβολής του κόστους κατασκευής.γ) Να βρείτε πόσο τουλάχιστον πρέπει να αυξηθεί το κόστος κατασκευής κάθε προϊόντος, ώστε το κόστος κατασκευής των 4 προϊόντων να είναι ομοιογενές.δ) Αν ελαττωθεί το κόστος κατασκευής κάθε προϊόντος κατά 10% και στη συνέχεια γίνει αύξηση κατασκευής κατά 0,3 εκατοντάδες Ευρώ ανά μονάδα προϊόντος, να υπολογιστεί ο νέος συντελεστής μεταβολής.144) Β ΛΥΚΕΙΟΥ- ΘΕΤΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ-ΦΡΟΝΤ. ΜΕΘΟΔΙΚΟΔίνεται η εξίσωση (1)

α) Να δείξετε ότι για κάθε η (1) είναι εξίσωση κύκλου που

εφάπτεται στον άξονα .β) Να βρείτε ποιος από τους παραπάνω κύκλους εφάπτεται στον άξονα στο σημείο Ο(0,0).γ) Για ποιες τιμές του α οι παραπάνω κύκλοι εφάπτονται συγχρόνως και στους 2 άξονες;145) Β ΛΥΚΕΙΟΥ- ΘΕΤΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ-ΦΡΟΝΤ. ΜΕΘΟΔΙΚΟΔίνονται οι ευθείες και . Να βρείτε τη διχοτόμο της αμβλείας γωνίας που σχηματίχουν οι 2 ευθείες.146) Β ΛΥΚΕΙΟΥ- ΘΕΤΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ-ΦΡΟΝΤ. ΜΕΘΟΔΙΚΟ Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που ορίζει η χορδή ΑΒ της έλλειψης

με μέσο το σημείο Μ(2,1).

147) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ- ΓΕΝΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ- ΦΡΟΝΤ. ΚΟΡΥΦΗ α) Δίνεται η συνάρτηση . Να υπολογίσετε τους α,β,γ αν η γραφική παράσταση της τέμνει τον στο Α(0,3) και στο σημείο Β(-1,8) έχει κλίση –6. β) Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της στο σημείο .

γ) Θεωρούμε τις 2 μεταβλητές με μέσες τιμές . Αν η ευθεία παλινδρόμησης της πάνω στη είναι η ευθεία του προηγούμενου ερωτήματος και , να βρείτε το . δ) Όταν αυξάνονται οι τιμές της ανεξάρτητης μεταβλητής , αυξάνονται ή μειώνονται οι τιμές της εξαρτημένης μεταβλητής ; ε) Αν , να υπολογίσετε τις αναμενόμενες τιμές της μεταβλητής , όταν .148) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ- ΓΕΝΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ- ΦΡΟΝΤ. ΚΟΡΥΦΗ (ο.κ.) Θεωρούμε το δειγματικό χώρο , όπου .

α) Αν και , τότε να δείξετε ότι

.

β) Αν , όπου , να βρείτε τις

πιθανότητες .149) Β ΛΥΚΕΙΟΥ- ΓΩΜΕΤΡΙΑ- ΦΡΟΝΤ. ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ. Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι και , να προσδιοριστεί το είδος του τριγώνου.150) Β ΛΥΚΕΙΟΥ- ΓΩΜΕΤΡΙΑ- ΦΡΟΝΤ. ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ. Να υπολογίσετε το εμβαδόν κανονικού εξαγώνου ΑΒΓΔΕΖ που είναι περιγεγραμμένο σε κύκλο κέντρου Ο και ακτίνας .151) Α ΛΥΚΕΙΟΥ- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ-ΦΡΟΝΤ. ΑΝΟΔΟΣ Δίνεται η συνάρτηση .

α) Να λυθεί το σύστημα: .

β) Αν είναι η λύση του συστήματος, να δείξετε ότι:

.152) Α ΛΥΚΕΙΟΥ- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ-ΦΡΟΝΤ. ΑΝΟΔΟΣ.Δίνεται η εξίσωση , όπου .α) Να δείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση έχει ρίζες πραγματικές και άνισες για κάθε .β) Αν οι ρίζες της παραπάνω εξίσωσης, να δείξετε ότι:

.153) Α ΛΥΚΕΙΟΥ- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ-ΦΡΟΝΤ. ΑΝΟΔΟΣ α) Να υπολογίσετε την τιμή του , ώστε η εξίσωση να έχει λύση το . β) Για την τιμή του α που βρήκατε στο ερώτημα α), να λύσετε την εξίσωση:

γ) Αν β είναι η μεγαλύτερη ρίζα της εξίσωσης του προηγούμενου ερωτήματος, να λύσετε για τις διάφορες τιμές του την εξίσωση: .154) Α ΛΥΚΕΙΟΥ- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ- ΚΟΛΛΕΓΙΟ

ΑΘΗΝΩΝ(o,k)

Αν η εξίσωση έχει άπειρες λύσεις, να βρείτε τις

τιμές του , ώστε η εξίσωση , να είναι αδύνατη.

155) Α ΛΥΚΕΙΟΥ- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ- ΚΟΛΛΕΓΙΟ ΑΘΗΝΩΝΝα υπολογίσετε τις τιμές των αριθμών κ,λ ώστε η εξίσωση , να είναι ταυτότητα και η εξίσωση , να έχει μοναδική λύση την .155) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ- ΘΕΤΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ- ΛΥΚΕΙΟ ΜΕΛΙΣΣΙΩΝ Αν είναι , να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών .156) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ- ΘΕΤΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ- ΛΥΚΕΙΟ ΜΕΛΙΣΣΙΩΝ(o,k) Να αποδείξετε ότι για κάθε μιγαδικό αριθμό ισχύει ότι: 157) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ-ΘΕΤΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ-ΛΥΚΕΙΟ ΚΗΦΙΣΙΑΣ

Αν , , να υπολογίσετε τους α,β ώστε να είναι

.158) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ-ΘΕΤΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ-ΛΥΚΕΙΟ ΚΗΦΙΣΙΑΣ(o.k) Να υπολογίσετε την τιμή του αθροίσματος 159) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ-ΘΕΤΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ-ΛΥΚΕΙΟ ΚΗΦΙΣΙΑΣ

Αν , και , τότε:

α) Να δείξετε ότι .β) Να υπολογίσετε το .160) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ-ΘΕΤΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ-ΛΥΚΕΙΟ ΚΗΦΙΣΙΑΣ( o.k)

Θεωρούμε τον μιγαδικό αριθμό . Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των

εικόνων των μιγαδικών αριθμών εάν . Ποιος είναι ο μιγαδικός αριθμός που έχει το ελάχιστο μέτρο;

161) Β ΛΥΚΕΙΟΥ-ΘΕΤΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ- 6 ΛΥΚΕΙΟ ΑΜΑΡΟΥΣΙΟΥ .

Σε ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ πλευράς α θεωρούμε τα σημεία Ε,Δ ώστε

και . Να δείξετε ότι .

162) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ- ΘΕΤΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ-6 ΛΥΚΕΙΟ ΑΜΑΡΟΥΣΙΟΥ.

Να υπολογίσετε τα όρια:

α) β)

163) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ- ΘΕΤΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ-6 ΛΥΚΕΙΟ ΑΜΑΡΟΥΣΙΟΥ.

Αν είναι μία 1-1 συνάρτηση και ισχύει: . Να βρεθεί η συνάρτηση .164) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ- ΘΕΤΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ-6 ΛΥΚΕΙΟ ΑΜΑΡΟΥΣΙΟΥ.


α) Να δείξετε ότι η συνάρτηση αντιστρέφεται και να βρείτε την αντίστροφή της.β) Να βρείτε τα κοινά σημεία των .165) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ- ΘΕΤΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ-6 ΛΥΚΕΙΟ ΑΜΑΡΟΥΣΙΟΥΔίνεται η συνάρτηση , όπου ν θετικός ακέραιος.

α) Να υπολογίσετε τα , .

β) Να υπολογίσετε την τιμή του α ώστε το να είναι

πραγματικός αριθμός το οποίο και να βρεθεί.166) Β ΛΥΚΕΙΟΥ-ΘΕΤΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ- 1Ο ΛΥΚΕΙΟ ΒΡΙΛΗΣΣΙΩΝ

Δίνονται τα διανύσματα με και . Να βρείτε το

διάνυσμα

167) Α ΛΥΚΕΙΟΥ-ΑΛΓΕΒΡΑ- ΚΟΛΛΕΓΙΟ ΑΘΗΝΩΝ(o.k)Αν α<β<γ<δ, τότε να δείξετε ότι το β είναι πλησιέστερα στο γ, από ότι είναι το δ στο α.168) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ-ΓΕΝΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ-ΕΛΛΗΝΟΓΕΡΜΑΝΙΚΗ ΑΓΩΓΗΔίνονται οι ευθείες , και η μεταβλητή ευθεία , όπου λ>0. Αν η (ε) τέμνει τις δύο άλλες ευθείες στα σημεία Α και Β αντίστοιχα, τότε:α) Να βρείτε τις συντεταγμένες των Α, Β συναρτήσει του λ.β) Να βρείτε την τιμή του λ ώστε το γινόμενο να γίνεται ελάχιστο.169) Α ΛΥΚΕΙΟΥ-ΑΛΓΕΒΡΑ-ΚΟΛΛΕΓΙΟ ΑΘΗΝΩΝ(o.k)

Θεωρούμε την παράσταση . Να δείξετε ότι:

170) Α ΛΥΚΕΙΟΥ-ΑΛΓΕΒΡΑ-ΚΟΛΛΕΓΙΟ ΑΘΗΝΩΝΝα δείξετε ότι για οποιουσδήποτε αριθμούς α,β, ισχύει ότι:

171) Α ΛΥΚΕΙΟΥ-ΑΛΓΕΒΡΑ-ΚΟΛΛΕΓΙΟ ΑΘΗΝΩΝ(o.k)

Αν και ισχύει ότι: , να δείξετε ότι οι αριθμοί α,β

είναι ετερόσημοι.172) Α ΛΥΚΕΙΟΥ-ΑΛΓΕΒΡΑ-ΚΟΛΛΕΓΙΟ ΑΘΗΝΩΝ(o.k)Αν είναι , να δείξετε ότι: 173) Α ΛΥΚΕΙΟΥ-ΑΛΓΕΒΡΑ-ΚΟΛΛΕΓΙΟ ΑΘΗΝΩΝ(0.k)Να λυθούν οι παρακάτω ανισώσεις:α)

β)

174) Β ΛΥΚΕΙΟΥ- ΑΛΓΕΒΡΑ-ΕΛΛΗΝΟΓΑΛΛΙΚΗ ΣΧΟΛΗα) Να αποδείξετε ότι: β) Να υπολογίσετε τα .175) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ-ΓΕΝΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ- 6 ΛΥΚΕΙΟ ΑΜΑΡΟΥΣΙΟΥ

Να βρεθούν οι εξισώσεις των εφαπτομένων της , οι οποίες

είναι παράλληλες προς την ευθεία .176) Β ΛΥΚΕΙΟΥ- ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ-ΦΡΟΝΤ. ΠΟΥΚΑΜΙΣΑΔίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ, με , ΑΒ<ΑΔ, και Ο το σημείο τομής

των διαγωνίων του. Αν , όπου Κ η προβολή της κορυφής Α πάνω στη ΒΔ, τότε να δείξετε ότι:

α)

β)

γ) Αν Λ είναι η προβολή της κορυφής Δ πάνω στη ΒΓ, τότε

177) Β ΛΥΚΕΙΟΥ- ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ-ΦΡΟΝΤ. ΠΟΥΚΑΜΙΣΑΔίνεται κύκλος και σημείο Α τέτοιο ώστε . Φέρνουμε την τέμνουσα ΑΒΔ του κύκλου ώστε ΑΒ=ΒΔ.α) Να δείξετε ότι β) Να βρείτε το είδος του τριγώνου ΟΑΔγ) Να υπολογίσετε την προβολή της ΟΔ πάνω στην ΟΑ.178) Β ΛΥΚΕΙΟΥ- ΘΕΤΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ- ΦΡΟΝΤ. ΦΛΩΡΟΠΟΥΛΟΥΔίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και τα σημεία Κ,Λ,Μ τέτοια ώστε:

, και

α) Με τη βοήθεια ενός σχήματος να συμπληρώσετε τις ακόλουθες ισότητες με κατάλληλο ρητό αριθμό και να τις δικαολογήσετε

β) Αν και , να εκφράσετε τα διανύσματα και συναρτήσει των και .γ) Να δείξετε ότι τα Κ,Λ,Μ είναι συνευθειακά.

179) Β ΛΥΚΕΙΟΥ- ΘΕΤΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ- ΦΡΟΝΤ. ΦΛΩΡΟΠΟΥΛΟΥΔίνονται οι ευθείες και , όπου λ.μ πραγματικοί αριθμοί. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος του σημείου τομής των δύο ευθειών.

180) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ-ΘΕΤΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ-ΦΡΟΝΤ. ΠΟΥΚΑΜΙΣΑΔίνεται η παραγωγίσιμη στο συνάρτηση . Η ευθεία με εξίσωση είναι εφαπτομένη της στο σημείο της . Επίσης δίνεται η συνάρτηση .α) Να βρείτε την παράγωγο της στο .β) Να υπολογίσετε το .γ) Να βρείτε την εξίσωση εφαπτομένης της στο σημείο . 181) Β ΛΥΚΕΙΟΥ-ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ-ΕΛΛΗΝΟΓΑΛΛΙΚΗ ΣΧΟΛΗΔίνεται ρόμβος ΑΒΓΔ και σημείο Μ της διαγωνίου ΒΔ διαφορετικό του κέντρου του. Να δείξετε ότι:

182) Β ΛΥΚΕΙΟΥ-ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ-ΕΛΛΗΝΟΓΑΛΛΙΚΗ ΣΧΟΛΗΑν ΚΛ το τμήμα που συνδέει τα μέσα των πλευρών ΑΒ και ΑΓ τριγώνου ΑΒΓ και Μ το μέσο του ΚΛ, τότε να δείξετε ότι:

183) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ-ΘΕΤΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ-6Ο ΛΥΚΕΙΟ ΑΜΑΡΟΥΣΙΟΥΈστω συνεχής συνάρτηση στο [-π,π], για την οποία γνωρίζουμε ότι

. Να δείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα τέτοιο ώστε να ισχύει ότι:

184) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ-ΘΕΤΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ-6Ο ΛΥΚΕΙΟ ΑΜΑΡΟΥΣΙΟΥΘεωρούμε τους α,β,γ . Να δείξετε ότι η εξίσωση:

έχει δύο ρίζες , ώστε να ισχύει η σχέση:

185) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ-ΘΕΤΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ-6Ο ΛΥΚΕΙΟ ΑΜΑΡΟΥΣΙΟΥΈστω μία συνεχής συνάρτηση στο [0,1], για την οποία γνωρίζουμε ότι:

, για κάθε . Να δείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα , τέτοιο ώστε να ισχύει:

186) Β ΛΥΚΕΙΟΥ-ΑΛΓΕΒΡΑ-ΕΛΛΗΝΟΓΑΛΛΙΚΗ ΣΧΟΛΗ

Δίνεται η συνάρτηση

α) Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης β) Να βρεθεί η περίοδος της συνάρτησης, καθώς και η μέγιστη-ελάχιστη τιμή της.γ) Να λυθεί η εξίσωση , όταν .187) Β ΛΥΚΕΙΟΥ-ΑΛΓΕΒΡΑ-ΕΛΛΗΝΟΓΑΛΛΙΚΗ ΣΧΟΛΗ

Αν ισχύει ότι , να δείξετε ότι:

188) Β ΛΥΚΕΙΟΥ-ΑΛΓΕΒΡΑ-ΕΛΛΗΝΟΓΑΛΛΙΚΗ ΣΧΟΛΗΝα αποδείξετε ότι ισχύουν οι σχέσεις:

α)

β)


Να δείξετε ότι:


Να δείξετε ότι

191) Β ΛΥΚΕΙΟΥ-ΑΛΓΕΒΡΑ-ΕΛΛΗΝΟΓΑΛΛΙΚΗ ΣΧΟΛΗΝα δείξετε ότι ισχύουν οι ακόλουθες σχέσεις:

α)

β)

γ)

192) Β ΛΥΚΕΙΟΥ-ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ-ΕΛΛΗΝΟΓΑΛΛΙΚΗ ΣΧΟΛΗΔίνεται κύκλος και έστω ΟΜ ακτίνα του. Αν ΑΒ είναι μία χορδή του κύκλου παράλληλη προς την ΟΜ, να δείξετε ότι ισχύει η σχέση:

193) Β ΛΥΚΕΙΟΥ-ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ-ΕΛΛΗΝΟΓΑΛΛΙΚΗ ΣΧΟΛΗΈστω Μ τυχαίο σημείο της διαγωνίου του τετραγώνου ΑΒΓΔ. Να δείξετε ότι:

194) Β ΛΥΚΕΙΟΥ-ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ-ΕΛΛΗΝΟΓΑΛΛΙΚΗ ΣΧΟΛΗΔίνεται τραπέζιο ΑΒΓΔ με ΑΒ//ΓΔ, , ΑΔ=30 και ΑΒ=40. Αν ο κύκλος (Α,ΑΔ) τέμνει την ΒΔ στο Ε και το ΑΒ στο Ζ, να υπολογίσετε τα ΔΕ,ΒΖ.

195) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ-ΓΕΝΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ-ΦΡΟΝΤ. ΠΟΥΚΑΜΙΣΑ(ο.κ)

Μία βιομηχανία εκπέμπει ρύπους μετρημένους σε που ακολουθούν τη συνεχή συνάρτηση: α) Να βρείτε τις τιμές των α,ββ) Να μελετήσετε τη συνάρτηση ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα.γ) Το υπουργείο περιβάλλοντος ανακοίνωσε ότι το ανώτερο όριο των ρύπων που μπορεί να δεχθεί το περιβάλλον είναι . Να εξετάσετε αν η βιομηχανία ακολουθεί τους κανονισμούς ή θα της επιβληθεί πρόστιμο. Δίνεται ότι: 196) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ-ΓΕΝΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ-ΦΡΟΝΤ. ΠΟΥΚΑΜΙΣΑ(ο.κ.)

Τα βάρη( σε εκατοντάδες γραμμάρια) των νεογέννητων μιας μέρας σε ένα μαιευτήριο έχουν ομαδοποιηθεί σε έξι κλάσεις ίσου πλάτους. Η πρώτη και η τελευταία κλάση έχουν ίσες συχνότητες. α) Να συμπληρώσετε τα κενά στον επόμενο πίνακα:

[α,β) [ , ) 2 [ , ) 26 16 [ , ) 56 [ , ) [ , ) 3 [ , ) 42

Σύνολο 25

β) Να σχεδιάσετε το πολύγωνο των αθροιστικών συχνοτήτων.

γ) Αν στη θερμοκοιτίδα μπαίνουν τα βρέφη κάτω των 2,5 κιλών, πόσα παιδιά βρίσκονται σ’ αυτή;

δ) Τι βάρος έχουν τα 8 βαρύτερα παιδιά;

197) Β ΛΥΚΕΙΟΥ-ΘΕΤΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ-ΦΡΟΝΤ. ΣΥΓΧΡΟΝΟ

Στο σημείο Κ με συντεταγμένες (2,-1) βρίσκεται ραντάρ το οποίο εντοπίζει γύρω του κινούμενα αντικείμενα. Κάποιο πλοίο ακολουθεί ευθύγραμμη τροχιά εξίσωσης (ε). Το πλοίο εισέρχεται στην κυκλική περιοχή που ελέγχει το ραντάρ στο σημείο Α και εξέρχεται από αυτήν στο σημείο Β. Αν το μήκος του ΑΒ είναι 6 χιλιόμετρα,τότε:

α) Να βρεθεί η ακτίνα της περιοχής που ελέγχει το ραντάρ.

β) Αν το πλοίο κινηθεί παράλληλα προς την ευθεία , ποια πορεία

πρέπει να ακολουθήσει ώστε να μη γίνει αντιληπτό από το ραντάρ;

198) Β ΛΥΚΕΙΟΥ-ΘΕΤΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ-ΦΡΟΝΤ. ΣΥΓΧΡΟΝΟ

Δίνονται οι εξισώσεις και . Να δείξετε ότι:

α) Η παριστάνει κύκλο του οποίου να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα.β) Ο κύκλος και η ευθεία τέμνονται σε δύο σημεία Α και Β τα οποία και να βρεθούν.γ) Η εξίσωση , παριστάνει κύκλο για κάθε .δ) Οι κύκλοι που παριστάνει η παραπάνω εξίσωση διέρχονται όλοι από δύο σταθερά σημεία τα οποία και να βρεθούν.ε) Τα κέντρα του κύκλου που παριστάνει η εξίσωση του ερωτήματος γ, βρίσκονται πάνω σε ευθεία, η οποία και να προσδιοριστεί.

199) Β ΛΥΚΕΙΟΥ- ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ- ΦΡΟΝΤ. ΦΛΩΡΟΠΟΥΛΟΥ

Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ( ), με ΑΒ= και ΑΓ=3. Αν είναι και , τότε:

α) Να βρεθεί το εμβαδόν του τριγώνου ΓΔΕβ) Να δείξετε ότι


Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ( ),και γ=2β. Από το Γ φέρουμε παράλληλη στη διχοτόμο ΑΔ η οποία τέμνει την προέκταση της ΒΑ στο Ε.

α) Να δείξετε ότι (ΑΓΔ)= (ΑΒΔ)

β) Αν (ΑΔΓΕ)=10, να υπολογιστούν οι πλευρές του τριγώνου ΑΒΓ.

201) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ- ΘΕΤΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ-ΦΡΟΝΤ. ΦΛΩΡΟΠΟΥΛΟΥ

Δίνεται η αντιστρέψιμη συνάρτηση για την οποία ισχύει ότι:, για κάθε .

α) Να βρείτε την .

β) Να υπολογίσετε το όριο:


Να λυθεί η εξίσωση: .


Έστω οι συναρτήσεις οι οποίες είναι 2 φορές παραγωγίσιμες στο με , για κάθε και . Αν η

εξίσωση , έχει 2 ρίζες με , να δείξετε ότι η εξίσωση

, έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο .204) Β ΛΥΚΕΙΟΥ-ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ-ΦΡΟΝ. ΘΕΣΜΟΣΚάποιος αποφάσισε να αγοράσει με δόσεις ένα αυτοκίνητο αξίας 30.000 Ευρώ. Έδωσε προκαταβολή 5000 Ευρώ και συμφώνησε να πληρώσει το υπόλοιπο σε πέντε ακέραιες δόσεις, έτσι ώστε κάθε δόση να είναι μεγαλύτερη από την προηγούμενη κατά σταθερό αριθμό Ευρώ. Αν το γινόμενο των 5 δόσεων ήταν 945.000 Ευρώ, να βρεθεί το ποσό της κάθε δόσης.

205) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ-ΓΕΝΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ-ΦΡΟΝΤ. ΣΤΟΧΟΣΚατά τη διάρκεια μιας προπόνησης μία αθλήτρια κάνει 14 διαδρομές των 400 μέτρων. Οι χρόνοι σε δευτερόλεπτα που έκανε ήταν οι ακόλουθοι:

72, 73,71,73,63,69,68,74,73,76,70,68,71,67α) Να βρεθούν η μέση τιμή και η διάμεσος.β) Το εύρος, η τυπική απόκλιση και ο συντελεστής μεταβολής.

206) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ-ΓΕΝΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ-ΦΡΟΝΤ. ΣΤΟΧΟΣ(ο.κ.)Ο μέσος όρος των απουσιών των μαθητών μιας τάξης για μια σχολική χρονιά

είναι . Αν η διακύμανση είναι και , να βρεθεί:

α) Η τυπική απόκλισηβ) Ο αριθμός των μαθητών της τάξης.

207) Β ΛΥΚΕΙΟΥ-ΘΕΤΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ-ΦΡΟΝΤ. ΘΕΣΜΟΣ

Δίνεται η έλλειψη και το σημείο Α(1,1). Να βρεθεί η εξίσωση ευθείας

που τέμνει την έλλειψη στα σημεία Β και Γ ώστε το Α να είναι το μέσο του ευθυγράμμου τμήματος ΒΓ.

208) Β ΛΥΚΕΙΟΥ-ΘΕΤΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ-ΦΡΟΝΤ. ΘΕΣΜΟΣ

Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα ίση με το μήκος της χορδής που ορίζεται από την παραβολή και την ευθεία

209) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ- ΘΕΤΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ-ΦΡΟΝΤ. ΟΡΟΣΗΜΟ

Έστω ο μιγαδικός αριθμός , με . Να δείξετε ότι υπάρχει μοναδικός

μιγαδικός της παραπάνω μορφής, ώστε ο να είναι πραγματικός.


Δίνεται η συνάρτηση . Να δείξετε ότι:

α) Η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο

β) , στο .

211) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ- ΘΕΤΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ-ΦΡΟΝΤ. ΟΡΟΣΗΜΟΘεωρούμε τους μιγαδικούς και , όπου . Αν ισχύει η σχέση:

να δείξετε ότι:α) , για κάθε .β) Να δείξετε ότι .


Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση ορισμένη στο , για την οποία ισχύει:

Να δείξετε ότι η συνάρτηση δεν έχει ακρότατα.


Οι πλευρές α,β,γ ενός τριγώνου ΑΒΓ είναι ανάλογες προς τους αριθμούς . Να βρεθεί το είδος του τριγώνου και στη συνέχεια να δείξετε ότι

, όπου Μ το μέσο της ΒΓ. 214) Β ΛΥΚΕΙΟΥ- ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ- ΦΡΟΝΤ. ΦΛΩΡΟΠΟΥΛΟΥ

Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με β=3γ και Κ σημείο της ΑΓ ώστε ΑΚ=γ. Αν είναι Μ το μέσο της ΒΓ, να δείξετε ότι:

και 215) Β ΛΥΚΕΙΟΥ- ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ- ΦΡΟΝΤ. ΦΛΩΡΟΠΟΥΛΟΥ

Δίνεται ένα τετράπλευρο ΑΒΓΔ, με και , όπου λ θετικός ακέραιος.

α) Να υπολογίσετε συναρτήσει του λ το ύψος ΓΚ του τριγώνου ΒΓΔ.

β) Να υπολογίσετε τις γωνίες Β,Γ,Δ του τετραπλεύρου.

γ) Αν , να βρείτε την τιμή του λ.

216) Β ΛΥΚΕΙΟΥ- ΑΛΓΕΒΡΑ- ΦΡΟΝΤ. ΦΛΩΡΟΠΟΥΛΟΥ

Σε μία αριθμητική πρόοδο είναι: και .α) Να βρείτε τον β) Ποιος όρος της ισούται με 153;γ) Να υπολογίσετε το άθροισμα των 100 πρώτων όρων της.δ) Να βρείτε το ελάχιστο πλήθος πρώτων όρων που απαιτούνται ώστε το άθροισμα τους να ξεπερνά το 1650

217) Β ΛΥΚΕΙΟΥ-ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ- ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β

Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο πλευράς α. Φέρνουμε τη διχοτόμο της εξωτερικής γωνίας Γ, και από το Α την ΑΜ κάθετη στη διχοτόμο αυτή.

α) Να δειχθεί ότι: .

β) Να δείξετε ότι το ύψος ΓΗ του τριγώνου ΒΓΜ ισούται με .


Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με , και . Φέρνουμε τη διάμεσο ΓΔ και την ΔΕ ΒΓ. Να δείξετε ότι:


Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ,Ε των πλευρών του ΑΒ,ΑΓ αντίστοιχα, έτσι

ώστε και . Από το μέσο Μ της πλευράς ΑΓ φέρνουμε

παράλληλη προς την ΑΒ που τέμνει τη ΒΓ στο Η. Να δείξετε ότι:

220) Β ΛΥΚΕΙΟΥ- ΑΛΓΕΒΡΑ- ΦΡΟΝ. ΔΕΣΜΗ ΧΑΛΚΙΔΑΣ

Το βάθος του νερού κάτω από τη γέφυρα του Ευρίπου κατά τη διάρκεια της ημέρας δίνεται από τη συνάρτηση :

όπου ο χρόνος σε ώρες με και λ η θετική ρίζα της εξίσωσης .

α) Να βρεθεί η περίοδος της παραπάνω συνάρτησης.β) Ποιο είναι το μέγιστο και ποιο το ελάχιστο βάθος του νερού;γ) Ποια ώρα της ημέρας το βάθος του νερού είναι 18 μέτρα;

δ) Αν το ύψος της γέφυρας είναι 30 μέτρα από τον πυθμένα του νερού, να ελεγχθεί αν ένα σκάφος ύψους 8 μέτρων, πάνω από την επιφάνεια του νερού μπορεί να περάσει κάτω από τη γέφυρα στις 12 το πρωί

221) Β ΛΥΚΕΙΟΥ- ΘΕΤΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ-ΦΡΟΝΤ. ΠΟΥΚΑΜΙΣΑ

Οι συντεταγμένες 2 κινητών για κάθε χρονική στιγμή είναι:

και

α) Να βρείτε την απόστασή τους τη χρονική στιγμή .β) Να δείξετε ότι οι τροχιές τους είναι ημιευθείες που τέμνονται κάθετα και να βρείτε το σημείο τομής τους.γ) Να εξετάσετε αν τα κινητά συναντιούνται.

222) Β ΛΥΚΕΙΟΥ- ΘΕΤΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ-ΦΡΟΝΤ. ΠΟΥΚΑΜΙΣΑΔίνονται τα σημεία Α(1,-1), Β(0,2) και Ν(α-1,β+2), με . α) Να δείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ για τα οποία ισχύει

είναι η ευθεία (ε) με εξίσωση .

β) Αν το σημείο Σ(α,β) κινείται στην ευθεία , να δείξετε ότι το σημείο Ν

κινείται σε ευθεία δ, παράλληλη στην ε.γ) Να βρείτε την εξίσωση της μεσοπαράλληλης των δ,ε.

223) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ-ΘΕΤΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ-ΦΡΟΝΤ, ΣΥΓΧΡΟΝΟΈστω συναρτήσεις ορισμένες και συνεχείς στο [α,β], παραγωγίσιμες στο (α,β) και ισχύουν οι σχέσεις:

, για Να δείξετε ότι:α) Υπάρχει ώστε .β) Υπάρχει , ώστε οι έχουν παράλληλες εφαπτόμενες στα

σημεία και Β .224) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ-ΘΕΤΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ-ΦΡΟΝΤ, ΣΥΓΧΡΟΝΟ

Δίνεται συνάρτηση παραγωγίσιμη στο , ώστε και .

Έστω ακόμη και η συνάρτηση . Να δείξετε ότι:α) Οι έχουν το ίδιο είδος μονοτονίας.β) Αν ισχύει , να βρεθούν οι εξισώσεις εφαπτομένων των

στα σημεία και αντίστοιχα.γ) Αν η είναι γνησίως αύξουσα και α<β, να δείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα , ώστε:

δ) Αν η έχει συνεχή παράγωγο και , να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα:

225) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ-ΘΕΤΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ-ΦΡΟΝΤ, ΣΥΓΧΡΟΝΟ

Δίνεται συνάρτηση δύο φορές παραγωγίσιμη στο για την οποία ισχύει:

και . Να δείξετε ότι:

( Υπόδειξη: Πολλαπλασιάζω επί )

226) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ-ΘΕΤΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ-ΦΡΟΝΤ. ΘΕΣΜΟΣ

Αν η είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο [0,6] και στο σημείο με τετμημένη δέχεται οριζόντια εφαπτομένη, ενώ η γραφική παράσταση της

βρίσκεται μέσα στη ζώνη που ορίζουν οι ευθείες και , για κάθε

, τότε να δείξετε ότι:

227) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ-ΘΕΤΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ-ΦΡΟΝΤ. ΘΕΣΜΟΣ

Έστω συνάρτηση παραγωγίσιμη στο [2,10], ώστε η γραφική παράσταση να βρίσκεται πάνω από τον και να ισχύει: . Να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της , δέχεται σε ένα τουλάχιστον σημείο με τετμημένη οριζόντια εφαπτομένη.

228) Β ΛΥΚΕΙΟΥ-ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΕΝ. ΠΑΙΔΕΙΑΣ- ΦΡΟΝΤ. ΑΝΟΔΟΣ

Ένας αγρότης για να κάνει μια γεώτρηση στο κτήμα του συμφώνησε τα εξής με τον ιδιοκτήτη του γεωτρύπανου: Το πρώτο μέτρο θα κοστίσει 6 Ευρώ και αυξανομένου του βάθους, θα αυξάνεται και η τιμή κάθε μέτρου κατά 1,5 Ευρώ. Ο αγρότης διαθέτει 1410 Ευρώ. Σε πόσο βάθος μπορεί να πάει η γεώτρηση στο κτήμα του;

229) Β ΛΥΚΕΙΟΥ-ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΕΝ. ΠΑΙΔΕΙΑΣ- ΦΡΟΝΤ. ΑΝΟΔΟΣ

Αν στη γραφική των όρων μιας αριθμητικής προόδου , ανήκουν τα σημεία και :

α) Να βρείτε την πρόοδοβ) Να βρείτε σημείο της γραφικής παράστασης με τεταγμένη 90.γ) Την απόσταση δύο διαδοχικών σημείων της γραφικής παράστασης.

230) Β ΛΥΚΕΙΟΥ- ΘΕΤΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ-ΙΟΝΙΟΣ ΣΧΟΛΗ

Θεωρούμε τα σημεία Α(8,0) και Β(0,4) του καρτεσιανού επιπέδου.

α) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που ορίζεται από την αρχή των αξόνων Ο και το μέσο Δ του τμήματος ΑΒ.

β) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας (ε) που διέρχεται από το σημείο Δ και είναι κάθετη στην ευθεία ΟΔ.

γ) Προσδιορίστε σημείο Μ της (ε) ώστε (ΜΑΒ)=8

δ) Αν Ν τυχαίο σημείο της ευθείας (ε), να δείξετε ότι ισχύει η σχέση:


Θεωρούμε τα σημεία Α(2,0), και Γ(λ,0), όπου . Να βρείτε το

μέτρο της γωνίας για τις διάφορες τιμές του .


Θεωρούμε ένα πληθυσμό από 2003 μέλισσες. Κάθε μέλισσα χαρακτηρίζεται από έναν αριθμό ν=1,2,3,…,2003 και κινείται πάνω στο καρτεσιανό επίπεδο διαγράφοντας μια τροχιά με εξίσωση:

Να αποδείξετε ότι:

α) Η τροχιά κάθε μέλισσας είναι ευθεία.

β) Κατά την κίνηση τους όλες οι μέλισσες διέρχονται από ένα σταθερό σημείο Α που είναι η κυψέλη τους. Ποιες είναι οι συντεταγμένες του σημείου Α;

γ) Αν ένα λουλούδι βρίσκεται στο σημείο , προσδιορίστε τη μέλισσα

που θα τρυγήσει αυτό το λουλούδι.

δ) Αν μία σφήκα κινείται στην ευθεία ζ: , θα περάσει από την κυψέλη;

233) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ- ΓΕΝΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΦΡΟΝΤ. ΣΤΟΧΟΣ(ο.κ.)

Η κατανομή του χρόνου( σε λεπτά) που χρειάζεται να κάνει ο συρμός του ηλεκτρικού σιδηροδρόμου μεταξύ των σταθμών Καλλιθέας-Ομονοίας, είναι περίπου κανονική. Αν για 100 διαδρομές μεταξύ αυτών των σταθμών έχουμε:

και .

Α. Να υπολογιστούν:

α) Ο μέσος χρόνος που χρειάζεται ο ηλεκτρικός σιδηρόδρομος για να διανύσει την παραπάνω διαδρομή. β) Η τυπική απόκλιση των χρόνων της παραπάνω διαδρομής. γ) Να εξετάσετε αν η κατανομή είναι ομοιογενής.

Β. Για την παραπάνω κατανομή χρόνων να βρεθούν:

α) Το πλήθος των διαδρομών που χρειάστηκε τουλάχιστον 10 λεπτά ο ηλεκτρικός σιδηρόδρομος για να διανύσει την απόσταση Καλλιθέας-Ομόνοιας.

β) Το ποσοστό των διαδρομών που χρειάστηκε από 8,2 έως 11,8 λεπτά ο ηλεκτρικός σιδηρόδρομος για να διανύσει την απόσταση Καλλιθέας-Ομόνοιας.

234) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ- ΓΕΝΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ- ΦΡΟΝΤ. ΣΤΟΧΟΣ(ο.κ.)

Ασφαλιστική εταιρεία περιλαμβάνει στα προγράμματα ασφαλειών αυτοκινήτου προαιρετικά, καταστροφή λόγω πυρκαγιάς ή νομική προστασία. Γνωρίζουμε ότι το 50% των προγραμμάτων της περιλαμβάνει καταστροφή λόγω πυρκαγιάς και το 30% περιλαμβάνει νομική προστασία. Επιλέγουμε στην τύχη ένα ασφαλιστικό πρόγραμμα.α) Να βρεθεί η πιθανότητα το πρόγραμμα να περιλαμβάνει και τις δύο ασφαλιστικές καλύψεις.

β) Ποια η πιθανότητα να περιλαμβάνει καταστροφή λόγω πυρκαγιάς ή νομική προστασία;

γ) Ποια η πιθανότητα να μην περιλαμβάνει καμία από τις παραπάνω ασφαλιστικές καλύψεις;

235) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ- ΘΕΤΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ- ΦΡΟΝΤ. ΣΤΟΧΟΣ

Αν , να βρείτε:α) Τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων του αν .

β) Τους μιγαδικούς με το μεγαλύτερο και το μικρότερο μέτρο, καθώς και τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή του .

236) ΘΕΤΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ- ΦΡΟΝΤ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ-. ΣΤΟΧΟΣ

Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς , όπου , καθώς και

τη συνάρτηση . Αν είναι η καμπύλη που διαγράφουν οι

μιγαδικοί , τότε:

α) Να δείξετε ότι οι εφάπτονται.

β) Να υπολογιστεί το εμβαδόν του επιπέδου χωρίου που περικλείεται από τις και τον άξονα .

237) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ- ΘΕΤΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ-ΦΡΟΝΤ. ΣΤΟΧΟΣ

Έστω συνάρτηση δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση με , για κάθε . Να δείξετε ότι:

( Υπόδειξη: Θεωρούμε τη και

εφαρμόζουμε Θ.Μ.Τ για την στο )

238) Β ΛΥΚΕΙΟΥ- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΕΝ. ΠΑΙΔΕΙΑΣ- ΦΡΟΝΤ. ΘΕΣΜΟΣ

α) Να βρεθεί το υπόλοιπο της διαίρεσης του ,

με το , αν γνωρίζουμε ότι το έχει παράγοντα το και .

β) Να υπολογιστεί η τιμή της παράστασης .

239) Β ΛΥΚΕΙΟΥ- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΕΝ. ΠΑΙΔΕΙΑΣ- ΦΡΟΝΤ. ΘΕΣΜΟΣ

Μία ποσότητα ραδιενεργού υλικού, αποθηκεύεται και έχει την τάση συνεχώς να μειώνεται με την πάροδο του χρόνου ακολουθώντας την εκθετική μεταβολή.

α) Να γραφεί ο τύπος της εκθετικής μεταβολής.

β) Δείξτε ότι ο παραπάνω τύπος παίρνει τη μορφή , αν

γνωρίζουμε ότι μετά από 2 χρόνια θα έχει απομείνει η μισή από την αρχική ποσότητα.

γ) Αν μετά από 8 χρόνια η ποσότητα που απέμεινε είναι 1 , να βρεθεί η αρχική ποσότητα που αποθηκεύσαμε.

δ) Μετά πόσα χρόνια η ποσότητα που θα έχει μείνει θα είναι ;

240) Β ΛΥΚΕΙΟΥ- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΕΝ. ΠΑΙΔΕΙΑΣ-ΦΡΟΝΤ. ΠΟΥΚΑΜΙΣΑ

Αν ισχύει και , με , τότε:

α) Να δείξετε ότι:

β) Να δείξετε ότι η εξίσωση , έχει μοναδική λύση στο (0,π) την

.

γ) Αν είναι η λύση της προηγούμενης εξίσωσης στο (0,π) και , να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς .

241) Β ΛΥΚΕΙΟΥ- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΕΝ. ΠΑΙΔΕΙΑΣ-ΦΡΟΝΤ. ΔΕΣΜΗ

Α) Έστω πολυώνυμα με και . Αν ο αριθμός ρ είναι ρίζα του , να δείξετε ότι το ρ είναι ρίζα και του πολυωνύμου .

Β) Να λυθεί η εξίσωση: .

242) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ- ΓΕΝΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ- ΦΡΟΝΤ. ΠΟΥΚΑΜΙΣΑ( o.k)


α) Να βρείτε ποια από τις εφαπτόμενες ευθείες στη γραφική παράσταση της έχει συντελεστή διεύθυνσης με την ελάχιστη τιμή.

β) Να βρείτε τα σημεία της που οι εφαπτόμενες είναι παράλληλες στον άξονα .

243) Β΄ΛΥΚΕΙΟΥ- ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ-ΦΡΟΝΤ. ΟΜΟΚΕΝΤΡΟ

Σε οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ φέρνουμε τα ύψη του ΑΔ και ΒΕ. Αν Η είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου ΑΒΓ και ισχύει ΑΗ=3ΗΔ, να δείξετε ότι:


Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ παίρνουμε σημείο Μ πάνω στην υποτείνουσα του

ΒΓ ώστε ΒΜ= ΒΓ. Στην προέκταση του ΑΜ παίρνουμε σημείο Κ ώστε

ΜΚ=ΑΜ. Να δείξετε ότι:


Σε τρίγωνο ΑΒΓ παίρνουμε σημείο Ε πάνω στη διάμεσο του ΑΜ ώστε

. Αν η ΒΕ τέμνει την ΑΓ στο Ζ, να δείξετε ότι (ΑΒΓ)=56(ΑΕΖ)

246) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ- ΘΕΤΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ- ΦΡΟΝΤ. ΟΜΟΚΕΝΤΡΟ

Οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών βρίσκονται πάνω στον κύκλο με

εξίσωση . Αν και , όπου λ θετικός ακέραιος, να

βρεθούν οι μιγαδικοί .

247) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ- ΘΕΤΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ- ΦΡΟΝΤ. ΟΜΟΚΕΝΤΡΟ

Δίνεται η συνάρτηση για την οποία ισχύει , για κάθε . Να δείξετε ότι:

α) Η αντιστρέφεται.

β) Η διέρχεται από την αρχή των αξόνων.

248) Β ΛΥΚΕΙΟΥ- ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ- ΦΡΟΝΤ. ΘΕΣΜΟΣ

Δίνεται η εξίσωση: .

α) Να δειχθεί ότι παριστάνει εξίσωση κύκλου του οποίου να βρεθεί το κέντρο και η ακτίνα.

β) Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας ώστε να αποτελεί εφαπτομένη κύκλου.

γ) Να βρεθεί η εξίσωση της υπερβολής , που έχει ως ασύμπτωτες

τις ευθείες του ερωτήματος β) και επιπλέον ισχύει ότι: .

249) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ-ΓΕΝΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ-ΦΡΟΝΤ. ΟΜΟΚΕΝΤΡΟ

Στο Α’ τμήμα της τελευταίας τάξης ενός Λυκείου φοιτούν 20 μαθητές, στο Β’ τμήμα 25 μαθητές και στο Γ’ τμήμα 30 μαθητές. Η μέση βαθμολογία στα Μαθηματικά είναι 15. Να βρεθεί η μέση βαθμολογία κάθε τμήματος αν γνωρίζουμε ότι το Α’ τμήμα έχει την ίδια μέση βαθμολογία με το Β’ τμήμα, αλλά είναι κατά 1 βαθμό μικρότερη από τη μέση βαθμολογία του Γ’ τμήματος.

250) Β ΛΥΚΕΙΟΥ- ΘΕΤΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ- ΦΡΟΝΤ. ΟΡΟΣΗΜΟ

Δίνεται η εξίσωση .

α) Να δείξετε ότι παριστάνει δύο ευθείες που τέμνονται στην αρχή των αξόνων.

β) Να δείξετε ότι το σημείο ισαπέχει από τις 2 ευθείες.

γ) Να βρεθούν οι εξισώσεις των διχοτόμων των γωνιών που σχηματίζουν οι .

251) Β ΛΥΚΕΙΟΥ- ΘΕΤΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ- ΦΡΟΝΤ. ΟΡΟΣΗΜΟ

Δίνονται τα σταθερά σημεία Α και Β του επιπέδου και έστω Ο το μέσο του ΑΒ. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ του επιπέδου, για τα οποία ισχύει:

252) Β ΛΥΚΕΙΟΥ- ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ-ΦΡΟΝΤ. ΟΡΟΣΗΜΟ

Έστω ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με , Μ μέσο της ΑΒ και Ν σημείο της ΑΓ τέτοιο ώστε . Να δείξετε ότι:

α)

β)

γ) Αν (ΑΜΝ)=20, να υπολογίσετε το (ΑΒΓ).

253) Β ΛΥΚΕΙΟΥ- ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ -ΦΡΟΝΤ. ΟΜΟΚΕΝΤΡΟ

Δίνεται τετράπλευρο ΑΒΓΔ εγγράψιμο σε κύκλο με ΑΒ=α, ΒΓ=β, ΓΔ=γ και ΔΑ=δ. Να δείξετε ότι:


Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με και ΑΓ=3. Αν είναι

και , τότε:

α) Να βρεθεί το εμβαδόν του τριγώνου ΓΔΕ

β) Να δείξετε ότι .


Δίνεται ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓΔ με ΑΒ//ΓΔ, ΑΒ=3ΓΔ και . Αν (ΑΒΓΔ)=144, να υπολογιστούν τα μήκη των βάσεων του.

256) Β ΛΥΚΕΙΟΥ- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΕΝ. ΠΑΙΔΕΙΑΣ-ΦΡΟΝΤ. ΟΜΟΚΕΝΤΡΟ.


α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης.

β) Να λυθεί η εξίσωση .

257) Β ΛΥΚΕΙΟΥ- ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ-ΦΡΟΝΤ. ΣΥΓΧΡΟΝΟ

Δίνεται ο κύκλος .

α) Να βρεθούν οι εφαπτόμενες του κύκλου που διέρχονται από την αρχή των αξόνων.

β) Να βρεθεί το συνημίτονο της οξείας γωνίας που σχηματίζουν οι εφαπτόμενες μεταξύ τους.

258) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ- ΓΕΝΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ-ΦΡΟΝΤ. ΠΟΥΚΑΜΙΣΑ

Οι βαθμοί( με άριστα το 20) που έγραψαν 40 μαθητές μιας τάξης σε ένα διαγώνισμα ομαδοποιήθηκαν σε 5 κλάσεις με πλάτος 4. Προέκυψαν τα εξής στοιχεία:

Τέσσεροι μαθητές είχαν βαθμό μεγαλύτερο ή ίσο του 16 και άλλοι τέσσεροι είχαν βαθμό κάτω από 4.

Δεκαπέντε είχαν βαθμό κάτω από 10 Η διάμεσος της κατανομής ήταν 12, ενώ η μέση βαθμολογία της τάξης

ήταν 11. Ζητούνται:

α) Να κάνετε πίνακα συχνοτήτων.

β) Να βρείτε το εύρος, τη διασπορά και την τυπική απόκλιση.

γ) Να εξετάσετε αν το δείγμα είναι ομοιογενές.

δ) Να κατασκευάσετε το πολύγωνο συχνοτήτων και από αυτό να εκτιμήσετε αν το δείγμα παρουσιάζει θετική ή αρνητική ασυμμετρία.


Σε ένα Λύκειο φοιτούν 300 μαθητές και η μέση βαθμολογία τους στα Μαθηματικά ήταν 15. Στο Β΄τετράμηνο κάποιοι μαθητές αύξησαν τη βαθμολογία τους κατά 4 μονάδες ο καθένας, ενώ οι υπόλοιποι μείωσαν τη βαθμολογία τους κατά 2 μονάδες ο καθένας. Να βρείτε πόσοι μαθητές βελτίωσαν τη βαθμολογία τους και πόσοι την χειροτέρευσαν, αν ο μέσος όρος της βαθμολογίας στο β τετράμηνο ήταν 17.


Έστω η μεταβλητή Χ με τιμές .

α) Αν είναι η μέση τιμή και η τυπική απόκλιση, να δείξετε ότι για τη μεταβλητή Υ με τιμές:

, ισχύει .

β) Αν υποθέσουμε ότι η κατανομή είναι κανονική, το έυρος είναι 12 και ο συντελεστής μεταβολής είναι , να βρεθεί η μέση τιμή και η τυπική απόκλιση της μεταβλητής .


Δίνεται η συνάρτηση με , όπου Α ενδεχόμενο

ενός δειγματικού χώρου Ω ενός πειράματος τύχης.

α) Να βρείτε την , όταν η είναι συνεχής στο .

β) Αν Β είναι επίσης ενδεχόμενο του ίδιου δειγματικού χώρου Ω με

,να δείξετε ότι:1) Τα Α,Β δεν είναι ασυμβίβαστα ενδεχόμενα.

2)

3) .


Α. Έστω Α,Β δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω. Αν , να αποδείξετε ότι:

.Β. α) Έστω ο δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης με

ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα. Αν θεωρήσουμε Β το ενδεχόμενο η συνάρτηση

να παρουσιάζει ακρότατο, να υπολογιστεί η . β) Να υπολογιστεί η τιμή του α ώστε η συνάρτηση

να είναι συνεχής στο 1.

263) Β ΛΥΚΕΙΟΥ- ΑΛΓΕΒΡΑ-ΦΡΟΝΤ. ΦΛΩΡΟΠΟΥΛΟΥ

Έστω δύο αριθμητικές πρόοδοι με κοινή διαφορά ω και . Να δείξετε ότι:

, για κάθε .

264) Β ΛΥΚΕΙΟΥ- ΑΛΓΕΒΡΑ-ΦΡΟΝΤ. ΦΛΩΡΟΠΟΥΛΟΥ

Δίνεται το πολυώνυμο .

α) Να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης . Μπορεί το να είναι παράγοντας του ;β) Να βρείτε την ελάχιστη τιμή του υπολοίπου.

265) Α ΛΥΚΕΙΟΥ- ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ-ΦΡΟΝΤ. ΠΡΟΤΥΠΟ

Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ. Στο μέσο Ν της ΑΒ φέρνουμε ΝΕ κάθετη στην ΑΒ με

. Στο μέσο Μ της ΑΓ φέρνουμε ΜΖ ΑΓ με . Αν Κ το μέσο

της ΒΓ να δείξετε ότι το τρίγωνο ΚΕΖ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές.

266) Α ΛΥΚΕΙΟΥ- ΑΛΓΕΒΡΑ-ΦΡΟΝΤ. ΠΡΟΤΥΠΟ

Να βρεθεί ο , αν ο λόγος των ριζών της εξίσωσης είναι ίσος με 3.

267) Α ΛΥΚΕΙΟΥ- ΑΛΓΕΒΡΑ-ΦΡΟΝΤ. ΠΡΟΤΥΠΟ

Να δειχθεί ότι για κάθε με , οι εξισώσεις:

δεν μπορούν να έχουν και οι τρεις πραγματικές ρίζες.

267) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ-ΦΡΟΝΤ. ΔΗΜΟΚΡΙΤΟΣ

Έστω ο δειγματικός χώρος , όπου ν θετικός ακέραιος, που αποτελείται από απλά ισοπίθανα ενδεχόμενα. Αν αυτά θεωρηθούν τιμές μιας μεταβλητής Χ και γνωρίζουμε ότι , τότε:

α) Να προσδιορίσετε επακριβώς το Ω.

β) Να βρείτε τη διάμεσο δ και το εύρος των τιμών της μεταβλητής Χ.

γ) Αν η τυπική απόκλιση, να δείξετε ότι .

δ) Θεωρούμε τα ενδεχόμενα:

Α: «Το α , ώστε το α να είναι πολλαπλάσιο του 4»

Β: « Το β , ώστε β να είναι ρίζα της εξίσωσης: »

Να υπολογίσετε τις πιθανότητες .

268) Β ΛΥΚΕΙΟΥ-ΘΕΤΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ- ΦΡΟΝΤ. ΣΥΓΧΡΟΝΟ

Έστω κ,λ θετικοί ακέραιοι για τους οποίους ισχύει ότι: .

α) Να βρεθούν οι κ,λ.

β) Ποιο από τα ζεύγη (κ,λ) μπορεί να είναι σε μια ευκλείδεια διαίρεση διαιρέτης και υπόλοιπο αντίστοιχα;

269) Β ΛΥΚΕΙΟΥ-ΘΕΤΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ- ΦΡΟΝΤ. ΣΥΓΧΡΟΝΟ

Αν για τους ακέραιους α,β,γ,κ,λ ισχύει ότι , να δείξετε ότι:

α) Οι α,β,γ είναι όλοι άρτιοι

β) .

270) Β ΛΥΚΕΙΟΥ- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ-ΦΡΟΝΤ. ΠΟΥΚΑΜΙΣΑ

α) Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες οι αριθμοί , και είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου.

β) Αν ο αριθμός είναι ο τέταρτος όρος της προόδου του παραπάνω ερωτήματος, να βρείτε τον πρώτο όρο της.

γ) Να αποδείξετε ότι το άθροισμα των 10 πρώτων όρων της πιο πάνω αριθμητικής προόδου ισούται με .

271) Β ΛΥΚΕΙΟΥ- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ-ΦΡΟΝΤ. ΠΟΥΚΑΜΙΣΑ


α) Να βρείτε τις τιμές του α ώστε η να είναι γνησίως αύξουσα.

β) Να δείξετε ότι οι τιμές είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου για κάθε .

γ) Να λύσετε την εξίσωση .

δ) Να βρείτε τις τιμές του α ώστε να ισχύει: .

272)Β ΛΥΚΕΙΟΥ- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ-ΦΡΟΝΤ. ΠΟΥΚΑΜΙΣΑ

Δίνεται η συνάρτηση με τύπο .

α) Να συγκρίνετε τους αριθμούς

β) Να λύσετε την εξίσωση .

273) Β ΛΥΚΕΙΟΥ- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ α) Θεωρούμε το τριώνυμο , όπου α,β πραγματικοί αριθμοί και γνωρίζουμε ότι οι αριθμοί 2,α,β είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου. Αν το άθροισμα των τετραγώνων των ριζών της εξίσωσης είναι ίσο με 9, να υπολογίσετε τους α,β.

β) Για τους πιο πάνω θετικούς αριθμούς α,β να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης και ακολούθως να λύσετε την ανίσωση

274) Β ΛΥΚΕΙΟΥ- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

Θεωρούμε τη συνάρτηση

α) Να βρεθεί η μέγιστη, η ελάχιστη τιμή καθώς και η περίοδος Τ της συνάρτησης αυτής.

β) Να αποδείξετε ότι η παράσταση έχει σταθερή τιμή.

γ) Να βρεθεί η τιμή του , ώστε η συνάρτηση να λαμβάνει την

ελάχιστη τιμή της.

275) Β ΛΥΚΕΙΟΥ- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ-ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ

Σε ένα εργαστήριο Βιολογίας ένας αρχικός πληθυσμός 20 μικροοργανισμών αναπαράγεται πολλαπλασιαζόμενος ακολουθώντας το νόμο της εκθετικής μεταβολής. Οι τιμές του πληθυσμού τις χρονικές στιγμές και ( ο χρόνος μετριέται σε ώρες) είναι ανάλογες των όρων γεωμετρικής προόδου με και . Να βρεθούν:

α) Η συνάρτηση που δίνει τον πληθυσμό των μικροοργανισμών κάθε χρονική στιγμή.

β) Ο χρόνος που απαιτείται ώστε να εξαπλασιαστεί ο αρχικός πληθυσμός.

γ) Ο χρόνος που απαιτείται ώστε ο πληθυσμός να γίνει το πολύ τα του

αρχικού πληθυσμού.

276) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ- ΓΕΝΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ- ΕΦΗΜΕΡΙΔΑ ΑΠΟΦΑΣΗ

Οι χρόνοι σε ώρες που 6 επίγειοι σταθμοί δεν είχαν επαφή με έναν δορυφόρο είναι:

α) Να υπολογίσετε τη μέση τιμή , τη διάμεσο δ και τη διασπορά .

β) Θεωρούμε τη συνάρτηση με τύπο:

1) Να δείξετε ότι .

2) Να δείξετε ότι .

3) Να βρείτε την εξίσωση εφαπτομένης της στο σημείο Α .

277) Β ΛΥΚΕΙΟΥ-ΘΕΤΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ-ΦΡΟΝΤ. ΟΜΟΚΕΝΤΡΟ

Δίνεται η παραβολή .α) Να βρείτε σημείο της παραβολής στο οποίο η εφαπτομένη της να σχηματίζει με τους άξονες ισοσκελές τρίγωνο.

β) Να δείξετε ότι η κάθετη στην εφαπτομένη στο Μ διχοτομεί τη γωνία που σχηματίζουν η ΕΜ και η παράλληλη από το Μ προς τον .

278) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ- ΓΕΝΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ-ΦΡΟΝΤ. ΟΜΟΚΕΝΤΡΟ

Δίνεται η συνάρτηση

Και ο δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης και Α,Β ενδεχόμενα του Ω με και , με .

α) Αν η συνάρτηση είναι συνεχής στο 0, να βρείτε την τιμή του κ, ώστε τα Α,Β να είναι ασυμβίβαστα.

β) Δείξτε ότι .


Ο συντελεστής μεταβολής που αναφέρεται στην ηλικία κάποιων ατόμων είναι , ενώ πρίν 10 χρόνια ήταν . Ζητούνται:

α) Η μέση ηλικία και η τυπική απόκλιση σήμερα.

β) Μετά πόσα χρόνια το δείγμα της ηλικίας τους θα είναι ομοιογενές;

γ) Αν , να βρεθεί το πλήθος των ατόμων αυτών.


Σε μία σχολική εκδρομή πήραν μέρος παιδιά και των τριών τάξεων του Λυκείου. Από την Α τάξη πήραν μέρος 40 άτομα. Επιλέγουμε έναν μαθητή που έλαβε μέρος στην εκδρομή στην τύχη. Αν η πιθανότητα να είναι μαθητής

της Β’ τάξης είναι και η πιθανότητα να είναι μαθητής της Γ’ τάξης είναι , να

βρείτε πόσοι μαθητές από κάθε τάξη πήραν μέρος στην εκδρομή.

281) Β ΛΥΚΕΙΟΥ- ΑΛΓΕΒΡΑ- ΦΡΟΝΤ. ΘΕΣΜΟΣ

α) Να βρεθεί το άθροισμα των 30 πρώτων διαδοχικών θετικών λύσεων της εξίσωσης .

β) Να βρεθεί ο ν-οστός όρος των παραπάνω διαδοχικών θετικών λύσεων και

να βρεθεί ποια από αυτές ισούται με .

γ) Αν να βρεθεί ο ν ώστε κ=8.


Δίνονται δύο συναρτήσεις παραγωγίσιμες στο ώστε:

α)

β) Οι διέρχονται από τα σημεία Α(-1,2), Β(-1,3).

Αν και , τότε να δείξετε ότι ο μιγαδικός είναι φανταστικός.


Έστω συνάρτηση η οποία είναι παραγωγίσιμη στο και η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της στο (0,3) είναι παράλληλη στην ευθεία

. Να υπολογίσετε το όριο:

284) Β ΛΥΚΕΙΟΥ- ΘΕΤΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ-ΦΡΟΝΤ. ΘΕΣΜΟΣ

Δίνεται η εξίσωση .

α) Να δείξετε ότι παριστάνει 2 ευθείες κάθετες μεταξύ τους.

β) Να δειχθεί ότι το σημείο τομής τους κινείται σε σταθερή ευθεία.

285) Β ΛΥΚΕΙΟΥ- ΘΕΤΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ –ΦΡΟΝΤ. ΒΑΛΤΑΣ

Θεωρούμε τα διανύσματα του επιπέδου τέτοια ώστε:

και , .

Α) Να δείξετε ότι

Β) Αν επιπλέον είναι και , τότε: α) Να δείξετε ότι τα και δεν είναι συγγραμμικά.

β) Εκφράστε το σαν γραμμικό συνδυασμό των και .

286) Β ΛΥΚΕΙΟΥ- ΘΕΤΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ –ΦΡΟΝΤ. ΒΑΛΤΑΣ

Έστω η εξίσωση και το σημείο , όπου α πραγματικός αριθμός.

α) Δείξτε ότι η εξίσωση παριστάνει ευθεία για κάθε , η οποία διέρχεται από σταθερό σημείο Μ.

β) Δείξτε ότι το σημείο Ν βρίσκεται σε παραβολή για κάθε .

γ) Βρείτε τις εφαπτόμενες ΜΑ και ΜΒ της ( Α,Β τα σημεία επαφής με το Α να βρίσκεται στην πρώτη γωνία των αξόνων) καθώς και την απόσταση του Μ από την ΑΒ.

δ) Υπολογίστε το , καθώς και το εμβαδό του τριγώνου ΑΜΒ.

ε) Να βρείτε τον κύκλο διαμέτρου ΑΒ και εξετάστε τη θέση του σημείου Μ ως προς τον κύκλο.

286) Β ΛΥΚΕΙΟΥ-ΑΛΓΕΒΡΑ-ΦΡΟΝΤ. ΕΝΑ

Το πολυώνυμο διαιρούμενο με το δίνει πηλίκο με και υπόλοιπο

α) Βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του με το .

β) Βρείτε το πηλίκο της παραπάνω διαίρεσης το οποίο συμβολίζουμε με .

γ) Αν το –3 είναι ρίζα του πολυωνύμου , βρείτε το .

287) Β ΛΥΚΕΙΟΥ-ΑΛΓΕΒΡΑ-ΦΡΟΝΤ. ΕΝΑ

Δίνεται η ακολουθία . Να δείξετε ότι η ακολουθία αυτή είναι

αριθμητική πρόοδος.

288) Β ΛΥΚΕΙΟΥ-ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ-ΦΡΟΝΤ. ΚΑΛΛΙΘΕΙΚΟ Θεωρούμε τον κύκλο , τη διάμετρό του ΑΒ και τη χορδή του ΓΔ παράλληλη προς την ΑΒ. Να δείξετε ότι για κάθε σημείο Μ της διαμέτρου ΑΒ ισχύει η σχέση:

289) Β ΛΥΚΕΙΟΥ-ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ-ΦΡΟΝΤ. ΚΑΛΛΙΘΕΙΚΟ

Σε κύκλο είναι εγγεγραμμένο ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ. Αν Δ είναι το μέσο του κυρτογώνιου τόξου ΑΓ, Μ το μέσο της πλευράς ΒΓ και Ε το σημείο

στο οποίο η ΔΜ τέμνει τον κύκλο, να υπολογιστούν τα τμήματα ΔΜ, ΜΕ συναρτήσει του .

290) Β ΛΥΚΕΙΟΥ-ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ-ΦΡΟΝΤ. ΚΑΛΛΙΘΕΙΚΟ

Δύο κύκλοι και εφάπτονται εξωτερικά στο Α. Αν ΒΓ είναι κοινό εφαπτόμενο τμήμα, να υπολογιστεί το εμβαδό του μικτόγραμμου τριγώνου ΑΒΓ.

291) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ- ΓΕΝΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ-ΦΡΟΝΤ. ΑΛΦΑ

Στις παρατηρήσεις 1,2,3,α αντιστοιχούμε συντελεστές βαρύτητας α,3,2, .

Εάν ο σταθμικός μέσος είναι 2, να βρεθεί ο α.

292) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ- ΓΕΝΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ-ΦΡΟΝΤ. ΑΛΦΑ

Η τυχαία μεταβλητή Χ έχει τιμές 1,2,3,4 και αντίστοιχες συχνότητες 12,α,β,25. Το μέγεθος του δείγματος είναι 80 και η μέση τιμή είναι 2,6.

α) Να βρεθούν τα α,β

β) Να βρεθεί η διάμεσος της Χ

γ) Να υπολογιστεί η τυπική απόκλιση.

293) Β ΛΥΚΕΙΟΥ- ΘΕΤΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ-ΦΡΟΝΤ. ΟΡΟΣΗΜΟ

Δίνεται η υπερβολή .

α) Να βρείτε τις εστίες Ε και Ε’ και τις ασύμπτωτες ε και ε’ της

β) Να βρείτε σημείο Μ της ευθείας , ώστε ΕΜ//ε

γ) Να γράψετε την εξίσωση του κύκλου που έχει διάμετρο ΕΜ.

δ) Να δείξετε ότι τα μοναδικά σημεία της που έχουν ακέραιες συντεταγμένες είναι τα (1,0) και (-1,0).

294) Β ΛΥΚΕΙΟΥ-ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ-ΦΡΟΝΤ. ΟΡΟΣΗΜΟ

Σε τρίγωνο ΑΒΓ φέρνουμε τη διχοτόμο ΑΔ και τους περιγεγραμμένους κύκλους των τριγώνων ΑΔΒ και ΑΔΓ που τέμνουν τις ΑΒ και ΑΓ στα σημεία Ε και Ζ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι:

α)

β)

γ) ΒΕ=ΓΖ

295) Β ΛΥΚΕΙΟΥ-ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ-ΦΡΟΝΤ. ΟΡΟΣΗΜΟ

Ένα κτήμα ΑΒΓ έχει σχήμα τριγώνου. Ο ιδιοκτήτης του περιέφραξε ένα τριγωνικό κομμάτι ΖΕΔ με ευθύγραμμα συρματοπλέγματα. Το Ζ είναι σημείο της ΑΒ, το Δ της ΒΓ και το Ε της ΑΓ. Ισχύει επίσης ότι:

, και

α) Να αποδείξετε ότι το εμβαδό του ΑΒΓ είναι εξαπλάσιο από το εμβαδό του ΑΖΕ.

β) Αν το εμβαδό του ΑΒΓ είναι 4 στρέμματα, να υπολογίσετε το εμβαδό του ΖΕΔ.


Δίνεται η συνάρτηση παραγωγίσιμη στο με για κάθε

και ισχύει: .

α) Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης

β) Αν η διέρχεται από τα σημεία Α(e,2e) και Β , να βρείτε τον τύπο

της συνάρτησης.


Έστω μία συνάρτηση παραγωγίσιμη στο R ώστε να ισχύει η σχέση:

Αν είναι , να βρεθεί ο τύπος της συνάρτησης.

298) Β ΛΥΚΕΙΟΥ- ΑΛΓΕΒΡΑ-ΦΡΟΝΤ. ΟΡΟΣΗΜΟ

Έστω πολυώνυμο που έχει παράγοντα το και το υπόλοιπο της διαίρεσης του με το είναι –4. Να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του με το .


Σε μία γεωμετρική πρόοδο είναι και . Να βρείτε:

α) Τον και τον λ της προόδου.

β) Ποιος όρος της προόδου ισούται με 2560;

γ) Το άθροισμα των 8 πρώτων όρων της.


Μια εταιρεία θέλει να νοικιάσει για δέκα χρόνια έναν χώρο στον οποίο θα εκθέτει τα προϊόντα της. Βρήκε δύο κατάλληλους χώρους για τους οποίους δέχθηκε τις εξής προσφορές:

Για τον πρώτο χώρο αρχικό ετήσιο μίσθωμα 20.000 ευρώ και αύξηση κατά 20% ανά διετία.

Για το δεύτερο χώρο αρχικό ετήσιο μίσθωμα 30.000 ευρώ και αύξηση 1000 ευρώ κάθε χρόνο.

α) Να βρείτε το ποσό που θα πληρώσει για ενοίκιο το δεύτερο, τον τρίτο και τελευταίο χρόνο για κάθε περίπτωση.

β) Να βρείτε το συνολικό ποσό που θα πληρώσει τα δέκα αυτά χρόνια για ενοίκια σε κάθε περίπτωση.

γ) Επειδή ο δεύτερος χώρος βρίσκεται σε αναπτυσσόμενη περιοχή αν τον νοικιάσει η εταιρεία θα πάρει επιχορήγηση ενοικίου από το Κοινοτικό πλαίσιο στήριξης ως εξής:Ένα αρχικό ποσό ευρώ το οποίο θα αυξάνεται κάθε χρόνο κατά 2000 ευρώ.

1) Να υπολογιστεί η συνολική επιχορήγηση συναρτήσει του . 2) Με την επιχορήγηση αυτή η εταιρεία διαπίστωσε ότι για τον δεύτερο

χώρο η ίδια θα καταβάλει για ενοίκια τα 10 χρόνια,52664 ευρώ λιγότερα από ότι για τον πρώτο χώρο. Να βρείτε το .

301) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ-ΘΕΤΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ-ΘΕΜΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ

Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση , για την οποία ισχύουν:

και , με .

α) Να δείξετε ότι η :

1) είναι γνησίως αύξουσα στο και να βρείτε το σύνολο τιμών της.

2) στρέφει τα κοίλα προς τα κάτω στο

3) έχει μοναδική ρίζα την .

β) Να δείξετε ότι:

1) ισχύει , για κάθε .

2) Η αντιστρέφεται και να ορίσετε την αντίστροφή της.

3) Οι γραφικές παραστάσεις των έχουν κοινή εφαπτομένη στην αρχή των αξόνων.

γ) Να βρείτε την πλάγια ασύμπτωτη της στο - .

302) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ-ΘΕΤΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ-ΘΕΜΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ

Δίνεται η συνάρτηση με και έστω οι συναρτήσεις με

και . Να δείξετε ότι:

α) Είναι , για κάθε και

β) Για τους πραγματικούς αριθμούς α,β, με 0<α<β ισχύει:

γ) Ο τύπος της συνάρτησης είναι ο .

δ) Αν η συνάρτηση είναι συνεχής στο και ,

με , τότε η είναι σταθερή και να βρεθεί ο τύπος της.

ε) Το εμβαδόν του χωρίου που ορίζεται από τη γραφική παράσταση της ,

τον άξονα και τις ευθείες και είναι .

303) Β ΛΥΚΕΙΟΥ- ΑΛΓΕΒΡΑ-ΦΡΟΝΤ. ΑΚΑΔΗΜΟΣ

Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση στις επόμενες ερωτήσεις:

1) Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι το:

κανένα από τα

προηγούμενα.

2) Αν το άθροισμα των πρώτων 10 όρων αριθμητικής προόδου είναι 100, και το άθροισμα των 100 πρώτων όρων είναι 10, τότε το άθροισμα των 110 πρώτων όρων είναι:

90 -90 110 -110 -100

3) Αν , για κάθε , τότε το άθροισμα

ισούται με:

0 64 128 -128 -64

304) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ-ΓΕΝΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ- ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ

Οι αριθμοί και είναι ρίζες της εξίσωσης , όπου Α,Β είναι ενδεχόμενα του ίδιου δειγματικού χώρου Ω με .

α) Να δείξετε ότι τα Α,Β δεν είναι ασυμβίβαστα.

β) Να δείξετε ότι ισχύει: .

305) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ-ΓΕΝΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ- ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ

Στην αίθουσα χειροτεχνίας ενός σχολείου υπάρχει ένα κουτί με 40 κάρτες από τις οποίες οι 20 είναι μαύρες, οι 10 άσπρες και οι υπόλοιπες είναι πράσινες ή κόκκινες. Επιλέγουμε απ’ το κουτί μία κάρτα στην τύχη. Η πιθανότητα η κάρτα

να είναι κόκκινη είναι , ενώ η πιθανότητα να είναι πράσινη είναι

, όπου ν θετικός ακέραιος.

α) Να βρεθεί ο ν

β) Να βρεθούν στη συνέχεια οι .

γ) Να υπολογίσετε πόσες κόκκινες και πόσες πράσινες κάρτες περιέχει το κουτί.

306) Α ΛΥΚΕΙΟΥ-ΑΛΓΕΒΡΑ-ΦΡΟΝΤ. ΔΟΜΗ

Να χαρακτηρίσετε καθεμία από τις επόμενες προτάσεις ως σωστές ή λάθος:

α)

β) Αν και , τότε

γ)

δ) Αν και , τότε

307) Α ΛΥΚΕΙΟΥ-ΑΛΓΕΒΡΑ-ΦΡΟΝΤ. ΤΟΜΗ

Έστω η εξίσωση , με . α) Να δείξετε ότι η εξίσωση έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες β) Αν οι αριθμοί 2, αποτελούν πλευρές τριγώνου, να δείξετε ότι .

308) Β ΛΥΚΕΙΟΥ- ΘΕΤΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ- ΦΡΟΝΤ. ΠΡΟΤΥΠΟ Ένα γεφύρι «ελλειψοειδούς» σχήματος βρίσκεται πάνω από αγροτικό δρόμο. Το μεγαλύτερο ύψος του γεφυριού είναι 3μ, ενώ το μήκος του μεγάλου άξονα του είναι 10μ. Μια εταιρεία θέλει να στείλει αγροτικό μηχάνημα πλάτους 6μ και ύψους 2,5μ, το οποίο αναγκαστικά θα πρέπει να περάσει κάτω από το γεφύρι. Τι θα συμβουλεύατε την εταιρεία σχετικά με την αποστολή του μηχανήματος;

309) Β ΛΥΚΕΙΟΥ- ΘΕΤΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ- ΦΡΟΝΤ. ΠΡΟΤΥΠΟ

Δίνεται η ισοσκελής υπερβολή . Μία παράλληλη στον άξονα τέμνει την υπερβολή στα σημεία Γ και Δ. Να δείξετε ότι οι γωνίες ΓΑΔ και ΓΑ’Δ, είναι ορθές( Α,Α’ οι κορυφές της υπερβολής)

310) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ- ΘΕΤΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ- ΦΡΟΝΤ. ΕΝΑ

Δίνονται οι μιγαδικοί και

α) Υπολογίστε τον και κατόπιν αποδείξτε ότι , όπου α

πραγματικός αριθμός.

β) Δείξτε ότι και στη συνέχεια να βρείτε τις τιμές του θετικού

ακεραίου κ ώστε .

γ) Αν Α,Β είναι οι εικόνες των μιγαδικών αντίστοιχα και Ο(0,0), δείξτε ότι το τρίγωνο ΑΟΒ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές.

δ) Αν η εικόνα του στο επίπεδο είναι κύκλος κέντρου (0,0) και ακτίνας

ρ=3, δείξτε ότι η μέγιστη τιμή του είναι 5.


Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση , ώστε να ισχύει η σχέση:, και ν=ακέραιος.

α) Αν , να βρείτε τον τύπο της

β) Δείξτε ότι , για κάθε

γ) Αν η τετμημένη του σημείου καμπής της είναι η , να βρείτε το ν.

δ) Βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την , τον και τις

ευθείες και , για την τιμή του ν που βρήκατε στο προηγούμενο

ερώτημα.


Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση ώστε , για κάθε .

α) Αφού μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τη , να δείξετε ότι .

β) Να δείξετε ότι η εφαπτομένη της στο σημείο Μ , σχηματίζει με τον αμβλεία γωνία.

313) Β ΛΥΚΕΙΟΥ- ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ- ΦΡΟΝΤ. ΣΥΓΧΡΟΝΟ

Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ( ) θεωρούμε Μ το μέσο της πλευράς ΑΒ και Η την προβολή του σημείου Μ στην πλευρά ΒΓ.

α) Να υπολογιστούν οι λόγοι και .

β) Αν ισχύει , τότε το μήκος του ΒΗ είναι:

γ) Αν το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ είναι 32, τότε το εμβαδό του ΜΑΓ είναι ίσο με:

10 16 8 14

314) Β ΛΥΚΕΙΟΥ- ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ-ΦΡΟΝΤ. ΣΥΓΧΡΟΝΟ

Σε τρίγωνο ΑΒΓ, φέρουμε τη διάμεσο ΒΕ και θεωρούμε σημείο της Ζ, τέτοιο ώστε . Αν η ΑΖ τέμνει τη ΒΓ στο Δ, να δείξετε ότι:

α)

β)

γ)

315) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ-ΘΕΤΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ-ΦΡΟΝΤ. ΠΟΥΚΑΜΙΣΑΣ

Δίνεται η συνάρτηση , για την οποία ισχύει: για κάθε .

α) Να δείξετε ότι η είναι 1-1

β) Να βρείτε τον τύπο της .

γ) Να υπολογίσετε τα και .

δ) Να λύσετε την εξίσωση .

316) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ-ΘΕΤΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ-ΦΡΟΝΤ. ΠΟΥΚΑΜΙΣΑΣ

Δίνονται οι συναρτήσεις , για τις οποίες ισχύουν:

Η είναι 1-1 συνάρτηση στο Η είναι 1-1 συνάρτηση στο , για κάθε

Ζητούνται:

α) Να δείξετε ότι και η είναι 1-1.

β) Να δείξετε ότι .

γ) Αν ισχύει , για κάθε με , να υπολογίσετε την τιμή

317) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ-ΓΕΝΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ-ΦΡΟΝΤ. ΟΜΟΚΕΝΤΡΟ


α) Να μελετήσετε την ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα.

β) Να βρείτε την τιμή του λ ώστε το ελάχιστο της να είναι μέγιστο.

318) Β ΛΥΚΕΙΟΥ- ΑΛΓΕΒΡΑ- ΦΡΟΝΤ. ΣΥΓΧΡΟΝΟ.

Α. Να δείξετε ότι . Στη συνέχεια να δείξετε ότι:

Β. Να δείξετε ότι και ακολούθως να λύσετε την εξίσωση:

.

319) Β ΛΥΚΕΙΟΥ- ΑΛΓΕΒΡΑ- ΦΡΟΝΤ. ΣΥΓΧΡΟΝΟ

Είναι γνωστό ότι ο πληθυσμός μιας κωμόπολης μειώνεται σύμφωνα με τον νόμο της εκθετικής μεταβολής. Αν ο αρχικός πληθυσμός είναι 32000 κάτοικοι και σε δύο χρόνια έγινε 16000 κάτοικοι, να υπολογίσετε:

α) Τη συνάρτηση που δίνει τον πληθυσμό σε κάθε χρονική στιγμή.

β) Ποιος είναι ο πληθυσμός μετά από 8 χρόνια;

γ) Πόσος χρόνος θα περάσει ώστε ο πληθυσμός να είναι 4000;

320) Α ΛΥΚΕΙΟΥ- ΑΛΓΕΒΡΑ

Να εξετάσετε αν οι επόμενες προτάσεις είναι σωστές ή λάθος:

1) Αν , κάθε λύση της εξίσωσης , επαληθεύει την ανίσωση: .

Σ Λ

2) Αν , τότε , όπου .Σ Λ

3) Οι λύσεις της εξίσωσης , ανήκουν στο (-2,0]

Σ Λ

4) Αν , τότε θα είναι .Σ Λ

5) Αν , τότε Σ Λ

6) Αν το α είναι λύση της εξίσωσης, , τότε .

Σ Λ

321) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ- ΘΕΤΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ-ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ


α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης.

β) Να βρείτε τα όρια .

γ) Να δείξετε ότι και στη συνέχεια να βρείτε το όριο:

.

322) Β ΛΥΚΕΙΟΥ- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ- ΦΡΟΝΤ. ΘΕΣΜΟΣ

Δίνεται η με , όπου .

α) Να βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης της με την ευθεία .

β) Να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της είναι πάνω από τον , για κάθε .

323) Β ΛΥΚΕΙΟΥ- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ- ΦΡΟΝΤ. ΘΕΣΜΟΣ

Αν η εξίσωση , έχει ακέραια ρίζα τον αριθμό 3κ-4, τότε:

α) Να βρεθεί ο αριθμός κ.

β) Να βρεθούν και οι υπόλοιπες ρίζες της εξίσωσης.

Documents

Επιλογεs