SKRIPTA ZA PRIPREMU STRUČNOG ISPITA IZ MATEMATIKE
Pripremila:
Senka Petrović
Operacije u skupu Z
Sabiranje u skupu Z
Pr. Ronilac se nalazi 21m ispod površine vode,a potom se spustio
još 3m.Na kojoj nadmorskoj visini se on nalazi?
(-21)+(-3)= -24
Zbir dva broja istog znaka ima znak sabiraka, a apsolutna
vrijednost zbira jednaka je zbiru apsolutnih vrijednosti
sabiraka.
a) +4+(+2) = +6
b) (-4)+(-2) = -6
Pr. Ronilac se nalazi 12m ispod površine mora i podigao se za
4m. Na kojoj se nadmorskoj visini on trenutno nalazi?
(-12)+(+4) = -8
Zbir dva cijela broja različitog znaka ima znak sabirka sa većom
apsolutnom vrijednošću, a apsolutna vrijednost jednaka je razlici
apsolutnih vrijednosti sabiraka.
Pr. Izračunaj vrijednost izraza
a) -25-(-6+23)= -25 – (+17) = -25 – 17 = -42
b) -5+ 24- (-2+ 8) – 11= -5 + 24- (+6) - 11 = -5 +24 -6 - 11= 24
– 22 = 2
Zbir dva suprotna broja je nula.
-2+(+2)=0, +4+(-4)=0
Množenje u skupu Z
2 • (-3) = -6
-2 • ( -3) = 6
Proizvod cijelih brojeva biće pozitivan ukoliko je broj minusa
paran, odnosno negativan ukoliko je broj minusa neparan.
Pr. Izračunaj vrijednost izraza
a) −5 ∙ 6 + 8: (−4) = -30 + (-2) = -32
b) −5 – ( −1 + 2 ∙( −4 – 7)) = -5 – ( -1 + 2• ( -11 )) = -5 –
(-1 -22) = -5 – (-23) = -5 + 23 = 18
PAZI!!!: Prvo množimo i dijelimo, pa onda sabiramo i
oduzimamo
c) 10 − 33: (14 + 3 ∙ (7 – 8)) = 10 – 33: ( 14 + 3• ( -1)) = 10
– 33 : ( 14 -3 ) = 10 – 33 : 11 =
10 – 3 = 7
ZADACI:
Operacije u skupu Q
Razlomak ( od latinske rijeći Fractus što znači slomljeno,
razlomljeno) je odnos jednog cijelog broja (brojioca) prema drugom
( imeniocu)
Brojilac je dio razlomka koji se piše iznad razlomačke crte i
predstavlja količinu nekog dijela cjeline koja učestvuje u
računu.
Imenilac je broj koji se piše ispod razlomačke crte i koji
ukazuje na koliko je jednakih dijelova podijeljena cjelina.
Proširiti razlomak nekim prirodnim brojem znači pomnožiti i
brojilac I imenilac tim prirodnim brojem.
Razlomci sa jednakim imeniocima se sabiraju tako što se imenilac
prepiše, brojioci se saberu.
Razlomke sa različitim imeniocima proširivanjem dodvodimo na
razlomke jednakih imenilaca, pa ih onda sabiramo kao razlomke
jednakih imenilaca.
Razlomke množimo tako što pomnožimo brojilac sa brojiocem, a
imenilac sa imeniocem.
Razlomke dijelimo tako što prvi razlomak prepišemo i pomnožimo
sa recipročnom vrijednošću drugog.
ZADACI:
OPERACIJE SA POLINOMIMA
Sabiranje polinoma P(x) + Q (x)P(x) = x2 + 4x + 2Q(x) = 2x2 +5x
+ 5P(x) + Q (x) = (x2 +4x +2) + (2x2 + 5x + 5)=3x2 + 9x +
7Oduzimanje polinoma p(x) - q(x)P(x)= x2 + 4x + 2Q(x) = 2x2 + 5x +
5P(x) - Q(x) = (x2 + 4x + 2) – (2x2 + 5x + 5) = -x2 – x - 3Množenje
polinoma P(x) * Q(x)P(x)= x2 + 4x + 2Q(x) = 2x2 + 5x + 5
P(x) * Q(x) =(x2 + 4x + 2)*(2x2 + 5x + 5)=2 x4 +8x3 + 4x2
+5x3 +20x2 +10x
+5x2 +20x+10
P(x) * Q(x) = 2x4 + 13x3 + 29x2 + 30x + 10
RASTAVLJANJE POLINOMA NA ČINIOCE
Izvlačenje zajedničkog činioca
· a(b+c)=ab+ac distributivni zakon
· vrijedi i obrnuto: ab+ac=a(b+c)
1. 6ab+4a2c
6ab+4a2c = 2a(3b+2ac)
Grupisanje članova: ax+bx+ay+by=x(a+b)+y(a+b)=(a+b)(x+y)
2. 14ab+10a2+15ac+21bc
14ab+10a2+15ac+21bc=
=7b(2a+3c)+5a(2a+3c)=
=(2a+3c)(7b+5a)
3. 2x2+5x-3
2x2+6x-x-3=
=2x(x+3)-(x+3)=
=(x+3)(2x-1)
Razlika kvadrata (x-y)(x+y)= x2-y2
4. 9-4b2
9-4b2=32-(2b)2=
=(3-2b)(3+2b)
Razlika kubova (x-y)(x2+xy+y2) =x3-y3
5. 27-8a3
27-8a3=33-(2a)3=
=(3-2a)(9+6a+4a2)
Zbir kubova (x+y)(x2-xy+y2)= x3+y3
6. 2a3+16b3
2a3+16b3=2(a3+8b3)=
=2(a+2b)(a2-2ab+4b2)
Kvadrat zbira (x+y)2= x2+2xy+y2
7. 16+8b+b2
16+8b+b2=42+2·4·b+b2=
=(4+b)2
Kvadrat razlike (x-y)2= x2-2xy+y2
8. 4a2-4a+1
4a2-4a+1=(2a)2-2·2a·1+12=
=(2a-1)2
Kub zbira (x+y)3 =x3+3x2y+3xy2+y3
9. 1+15a+75a2+125a3
1+15a+75a2+125a3=
=13+3·12·5a+3·1·(5a)2+(5a)3=
=(1+5a)3
Kub razlike (x-y)3=x3-3x2y+3xy2-y3
10. 8x3-12x2+6x-1
8x3-12x2+6x-1=
=(2x)3-3·(2x)2·1+3·2x ·12-13=
=(2x-1)3
RACIONALNI ALGEBARSKI IZRAZI
Uprosti izraz
1.
2.
Izvrši naznačene operacije
LINEARNE JEDNAČINE
RIJEŠI JEDNAČINE
1.
2.
3.
4.
5.
LINEARNE NEJEDNAČINE
Riješi nejednačinu
1.
2.
PAZI!!!
Kod +∞ i -∞ uvijek idu male zagrade ( )
Kod znakova < i > male zagrade i prazan kružić
Kod ≤ , ≥ idu srednje zagrade [] i pun kružić
Male zagrade nam govore da ti brojevi nisu u skupu rešenja, dok
[] govore da su i
ti brojevi u rešenju.3.
LINEARNA FUNKCIJA I NJEN GRAFIK
Ispitaj tok I nacrtaj grafik funkcije
1.
2.
SISTEM DVIJE LINEARNE JEDNAČINE SA DVIJE NEPOZNATE
Riješi sistem
10x + y = 7
2x - 7y = 23
Gausov metod eliminacije
10x + y = 7 10x-3=7rj(1,-3)
2x - 7y = 23 /-510x=10
10x + y = 7x=1
-10x+35y =-115
36y = -108
y =
y = -3
Metoda zamjene ili supstitucije
10x + y = 7 y=7-10xy=7-10*1
2x - 7y = 232x-7(7-10x)=23y=7-10
2x-49+70x =23y=-3
2x+70x =23+49
72x =72rj(1,-3)
x=1
OPERACIJE SA STEPENIMA
am * an, m, n n.am * an = a * a* ... * a * a * a * ... * a = a *
a * ... *a = am+n
m puta n puta m+n puta
am : an = am-n,
(am)n = am*n.
(a*b)n = an*bn (a/b)n = an/bn
a0=1
OPERACIJE SA KORJENIMA
Stepen racionalnog izložioca
Izračunaj
1.
2.
RACIONALISANJE
KOMPLEKSNI BROJEVI
z =a + bi gde su a i b realni brojevi a i →simbol
koji ima vrijednost i = .
Za kompleksan broj z = a + bi , a je njegov realni dio i
obilježava se Re(z) = a , b je
njegov imaginarni dio i obilježava se Im(z) = b , a i2 = −1 je
imaginarna jedinica.
MODUL KOMPLEKSNOG BROJA
=
1. Izracunaj:
2. Izračunaj
3. Ako su dati kompleksni brojevi z = 1- i 1 i z 3 4i 2 = +
izracunaj vrijednost
izraza
4. Odredi x i y tako da važi x -1+ i( y - 3) = 4 + 2i .
KVADRATNA JEDNAČINA
Opšti oblik kvadratne jednačine:
Rešenja kvadratne jednačine
Riješi jednačinu
KVADRATNA FUNKCIJA
Kvadratna funkcija je oblika:
→ F-ja siječe x-osu u x1 i x2
→ y < 0 za x∈ (x1, x2), a y > 0 za xϵ ( -∞, x1)U( x2,
+∞)
→ F-ja ima minimum u tjemenu T(α = ,β= )
→ F-ja raste za x∈(α ,∞)
→ F-ja opada za x∈(−∞,α )
→ F-ja je definisana za ∀x∈R
→ F-ja seče x-osu u x1 = x2
→ y ≥ 0,∀x∈R
→ F-ja ima minimum u T(α ,0)
→ F-ja raste za x∈(α ,∞)
→ F-ja opada za x∈(−∞,α )
→ F-ja je definisana za ∀x∈R
→ F-ja ne seče x- osu ( x1,x2 su konjugovano
-kompleksni brojevi).
→ y > 0, za ∀x∈ R
→ F-ja ima minimum u T(α ,β )
→ F-ja raste za x∈(α ,∞)
→ F-ja opada za x∈(−∞,α )
→ F-ja je definisana ∀x∈R
→ F-ja seče x- osu u x1 , x2
→ y < 0 za x∈ (−∞, x1) ∪ (x2,+ ∞)
y > 0 za x∈ (x1, x2)
→ F-ja ima maksimum u T(α ,β )
→ F-ja raste za x∈(−∞,α )
→ F-ja opada za x∈(α ,∞)
→ F-ja je definisana ∀x∈R
→ F-ja seče x- osu u 1 2 x = x
→ y ≤ 0,∀x∈R
→ F-ja ima maximum u T(α ,0)
→ F-ja raste za x∈(−∞,α )
→ F-ja opada za x∈(α ,∞)
→ F-ja je definisana ∀x∈R
→ F-ja ne seče x- osu ( x1, x2
su konjugovano
-kompleksni brojevi)
→ y < 0, za ∀x∈ R
→ F-ja ima maximum u T(α ,β )
→ F-ja raste za x∈(−∞,α )
→ F-ja opada za x∈(α ,∞)
1: Nacrtaj grafik funkcije
y = x2 − 6x + 5
3)
a =1 > 0⇒okrenuta otvorom na gore (smije se)
4)
y-osu siječe u c=5
KVADRATNA NEJEDNAČINA
x2 − 6x + 5<0
xϵ/1,5)
EKSPONENCIJALNA FUNKCIJA
Grafik f-je y =2x Grafik f-je y= ()x
EKSPONENCIJALNE JEDNAČINE
Riješi j-ne
LOGARITAMSKA FUNKCIJA
OSOBINE LOGARITAMSKE FUNKCIJE
2) y =
LOGARITAM I NJEGOVA SVOJSTVA
c = logab ac = b
Broj c je LOGARITAM broja b za OSNOVU a.
OSOBINE LOGARITMA:
1. alogab =b
2. logaac = c
3. loga1 = 0
4. logab1* b2 = logab1 + loga b2
5. loga = logab1 - loga b2
Izračunaj
1. = = = 2
2. = = = 2
Riješi jednačine
1.
2.
3.
LOGARITAMSKE NEJEDNAČINE
Riješi nejednačine
1.
2.
TRIGONOMETRIJA
Definicija: Jedinični krug je krug čiji se centar nalazi u
koordinatnom početku xy-ravni i čiji je poluprečnik dužine 1.
Njegova jednačina u analitičkoj geometriji je x² + y² = 1
sinθ = = y
cosθ = = x
tgθ =
ctgθ =
tgθ =
ctgθ =
Definicija: Ako je dužina kružnog luka jednaka poluprečniku tada
odgovarajući centralni ugao nazivamo radijanom.
Tako na primer 180 je jednako π radijana, 90 iznosi π/2
radijana, 270 je 3π/2 radijana i konačno pun ugao je 2π
radijana.
sin(2 –) = - sincos(2 –) = costg(2 –) = - tgctg(2 –) = - ctg
Tablica vrijednosti trigonometrijskih funkcija nekih uglova
Izračunaj:
1.
2.
3.
4. Uprosti izraz
1. Izračunaj
GRAFICI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
Grafik funkcije y = sinx
Grafik funkcije y = cosx
Grafik funkcije y = tgx
Grafik funkcije y = ctgx
TRIGONOMETRIJSKA JEDNAČINE
1. Riješi jednačinu
2sin2+ 3sin x +1 = 0
smjena sin x = t
Vratimo se u smjenu
2.
smjena x= t
STEREOMETRIJA
PRIZMA
Opšte formule za racunanje površine i zapremine prizme:
gdje sa B označavamo bazu (osnovu), a sa M omotač
gdje je H visina
Primjer1: Kocka
a
a a
a
razvijena kocka
Zadatak1:Površina kocke je 24cm2. Naći V i D.
D a
a
Zadatak2: Naći P i V kvadra čije su ivicei , a dijagonala.
c
d b
a
Zadatak3:Osnovne ivice prave trostrane prizme su 5, 6 i 7cm, a
visina prizme jednaka je poluprečniku upisane kružnice osnova.
Izračunati P i V prizme.
c r b H
y
a
PIRAMIDA
i piramida ima jednu bazu
Zadatak1:Izračunati dužinu bočne ivice pravilne četvorostrane
piramide čija je osnovna ivica 8cm, a visina 7cm.
s
s H
aa
a
Zadatak2: Osnova piramide je pravougaonik jedne stranice 8cm i
dijagonale 10cm, a visina piramide je 12cm. Izračunati zapreminu
piramide.
s
s H
b b
a=8cm
VALJAK
r
H 2rπ
r
Opšte početne formuleza P i V valjka su iste kao i za P i V
prizme.
i
površina kruga
površina pravougaonika
Zadatak1: Obim osnove valjka i površina njegovog omotača iznose
po. Naći P i V valjka.
r
H
r
Zadatak2: Omotač valjka ima površinu 72πcm2, a obim osnova je
12πcm. Odrediti P i V valjka.
KUPA
i
s s
r
l
Zadatak1: Poluprečnik osnove prave kupe je 6cm, a visina kupe je
11cm. Izračunati zapreminu te kupe.
H s
r
Zadatak2: Obim osnove kupe je 6πcm, a visina kupe je 4cm.
Izračunati:a) izvodnicu, b)površinu, c)zapreminu kupe.
S
H s
r
a)s=?
b) P=?
c)V=?
Zadatak3: Površina prave kupe je 90πcm2, a površina osnove je
25πcm2. Izračunati zapreminu kupe.
H s
r
LOPTA
Površina lopte i sfere :
Zapremina lopte je :
Zadatak1: Površina lopte je 36π. Naći zapreminu lopte.
Zadatak2: Zapremina lopte je . Naći površinu lopte.
Zadatak3: Poluprečnik lopte je 3cm. Izračunati P i V lopte.
P=?
V=?
Zadatak4: Obim velikog kruga lopte je 36πcm. Izračunati
zapreminu lopte.
ANALITIČKA GEOMETRIJA U RAVNI
RASTOJANJE IZMEĐU DVIJE TAČKE: A(x1, y1), B(x2, y2)
d(A,B) = - RASTOJANJE IZMEĐU DVIJE TAČKE
RASTOJANJE TAČKE M(x,y) OD KOORDINATNOG POČETKA
d =
DIJELJENJE DUŽI U DATOJ RAZMJERI:
Podijeliti duž AB u datoj razmjeri λ znači odrediti tačku T, na
toj duži, tako da važi AT : TB = λ
koordinate tražene tačke
Središte S duži AB
XS = , Ys=
POVRŠINA TROUGLA
Neka su A(x1, y1) , B(x2 , y2 ) i C(x3 , y 3) tjemena datog
trougla ABC određena pomoću naznačenih koordinata u odnosu na
pravougli koordinatni sistem xOy, tada je površina trougla data
obrascem
1. Odrediti dužine stranica trougla čija su tjemena A(1,1) ,
B(4,1) i C(1,5)
2. Izvesti formule za koordinate težišta trougla!
(Da se podsjetimo, težište se nalazi u presjeku težišnih duži i
težište dijeli težišnu duž u odnosu 2 : 1)
Najprije ćemo naći koordinate tačke A*(x*, y*) kao sredinu duži
BC
Dalje ćemo iskoristiti formulu za deljenje duži u datoj razmeri
, gde je AT : TA* = 2 : 1 = 2
3. Izraèunati površinu trougla ABC ako je A(-2,3) ; B(8,-2) i C(
3,8)
JEDNAČINA PRAVE
opšti ( implicitni oblik) je ax + by + c = 0
eksplicitni oblik je y = kx + n
1. Pravu 7x+3y + 23=0 prebaciti u eksplicitni oblik i naći k i
n
sve sa y ostavimo lijevo a ostale prebacimo desno
segmentni oblik
m – je odsječak na x osi
n – je odsječak na y osi
x cosϕ + y sinϕ = p normalni oblik jednačine prave
Jednačina prave kroz tačku A(x1,y1) sa koeficijentom pravca k
je
Jednačina prave kroz dvije tačke A(x1,y1) i B(x2,y2) je
Ako se dvije prave sijeku pod pravim uglom, onda je
2. Data su temena trougla A(-5,-2), B(7,6), C(5,4).
Odrediti:
a) jednačinu stranice AB
b) jednačinu visine h c
c) ugao kod temena A
a) Upotrijebićemo formulu za jednačinu prave kroz dvije tačke( A
i B)
b) Jednaèinu visine hc ćemo naći kao jednaèinu prave kroz
jednu
taèku C( 5,4) a njen koeficijent pravca mora da
zadovoljava uslov normalnosti sa pravom AB.
c) Ugao kod tjemena A je ustvari ugao između pravih AB i AC. Čim
se traži neki ugao koristimo obrazac
JEDNAČINA KRUŽNE LINIJE
KRUŽNICA – skup tačaka u ravni koje su podjednako udaljene od
jedne stalne tačke ( CENTAR KRUŽNICE)
=
JEDNAČINA KRUŽNICE SA CENTROM C(x0, y0) i poluprečnikom r.
Ako je C(0,0) - + =
Zadatak: Naći centar i poluprečnik kružnice čija je
jednačina:
x2 + y2 – 10x + 4y + 4 = 0
x2 + y2 – 10x + 4y + 4 = 0
x2 – 10x + 52 – 52 + y2 + 4y + 22 – 22 + 4 = 0
(x – 5) 2 + (y + 2) 2 = 25
p = 5 ;q = –2 ;r = 5.
USLOV DA JE PRAVA TANGENTA NA KRUŽNICU
(1+k2)r2 = n2
Ako je prava oblika x=m
x=m
+ =
x= ± r
(x-p)2 + (y-q)2 = r2
y = kx +n
Zadatak: U jednačini prave 2x + y + m = 0 odrediti parametar m
tako da ova bude tangenta kružnice (x – 1)2 + (y – 1)2 = 4
2x + y + m = 0;
(x – 1)2 + (y – 1)2 = 4
20 = (3 + m)2
3 + m =
m = –3
m1 = –3 + s
m2 = –3 –
JEDNAČINA ELIPSE
Elipsa je skup tačaka u ravni koje imaju osobinu da je zbir
rastojanja bilo koje tačke od žiža stalan.
F1, F2 – žiže (fokusi)
e – ekscentricitet
a – velika poluosa
b – mala poluosa
1. Odredi jednačinu elipse koja prolazi kroz tačke A(6,4) i
B(−8,3) .
2.
JEDNAČINA PARABOLE
Parabola je skup tačaka u ravni koje imaju osobinu da su jednako
udaljene od žiže i direktrise
p – parametar parabole (rastojanje žiže od direktrise)
Jednačina parabole
Prava y =kx +n je tangenta parabole y2 =2px ako je:
1. Odredi žižu i direktrisu parabole y2 6x
Iz jednačine parabole y2 = 6x vidimo da je p = 3. Odatle slijedi
da su kordinate žiže
, direktrisa d:
2. Naći jednačinu tangente parabole 2y2 8x koja je paralelna
pravoj 2x 2y 3 0
JEDNAČINA HIPERBOLE
Hiperbola je skup tačaka u ravni takvih da je razlika rastojanja
proizvoljne tačke od žiža stalna po apsolutnoj vrijednosti.
F1, F2 – žiže (fokusi)
a – realna poluosa
b – imaginarna poluosa
e – ekscentricitet
1. Data je hiperbola 4x2 -9y2 =36. Odrediti dužine poluosa,
koordinate žiža i jednačine asimptota
,
2. Napiši jednačine tangenti na hiperbolu x2 -y2 =16 iz tačke
T(-1,7)
Prvo provjeravamo da li tačka T pripada hiperboli:
Tačka T ne pripada hiperboli, pa primjenjujemo uslov
tangentnosti
,
Ubacivanjem koordinata tačke T u jednačinu prave y=kx+n
dobijamo:
7 =k (-1)+n
Sada pišemo uslov tangentnosti kako bi odredili k:
NIZOVI
ARITMETIČKI NIZ
Nizovi u kojima je razlika ma koja dva uzastopna člana
konstantna nazivaju se
aritmetički nizovi ili aritmetičke progresije.
n-ti član niza
zbir prvih n-članova niza,
,
,
1. Peti član aritmetičkog niza je 19 a deseti član niza je 39.
Odrediti niz.
Znaèi prvi èlan niza je 3 a povećava se za 4 pa je niz:
3,7,11,15,19,…
2.
Zbir prva tri člana aritmetičkog niza je 36, a zbir kvadrata
prva tri člana je 482.
Odrediti niz
Geometrijski niz
Niz brojeva u kome je količnik ma koja dva uzastopna člana niza
stalan zove se
geometrijski niz ili progresija
Ako znamo 1 b (prvi član niza) i q (količnik niza) niz je
potpuno odredjen
Bilo koji član niza ( n-ti član ) se traži po formuli
Zbir prvih n-članova niza se traži
1. Odrediti geometrijsku progresiju kod koje je
Traženi niz je : 3,6,12,24,48,…
1
M
B
P
+
=
2
H
B
V
×
=
2
a
B
=
2
4
a
M
×
=
2
2
4
2
2
a
a
M
B
P
+
=
+
=
2
6
a
P
=
a
a
V
×
=
2
3
a
V
=
2
24
cm
P
=
a
H
=
2
a
d
=
2
2
2
a
d
D
+
=
(
)
2
2
2
2
a
a
D
+
=
2
2
2
2
3
2
a
a
a
D
=
+
=
3
a
D
=
cm
D
3
2
=
2
6
a
P
=
2
6
24
a
=
6
:
24
2
=
a
4
2
=
a
cm
a
2
=
3
a
V
=
(
)
3
2
cm
V
=
3
8
cm
V
=
cm
a
4
=
cm
b
3
=
cm
D
13
=
2
2
2
2
2
2
c
b
a
c
d
D
+
+
=
+
=
2
2
2
2
b
a
D
c
-
-
=
2
2
2
2
3
4
13
-
-
=
c
144
9
16
169
2
=
-
-
=
c
cm
c
12
=
(
)
c
b
c
a
M
×
+
×
=
2
(
)
bc
ac
ab
P
+
+
=
2
2
(
)
bc
ac
ab
P
+
+
=
2
2
192
cm
P
=
3
144
cm
abc
H
B
V
=
=
×
=
cm
a
5
=
s
r
P
×
=
cm
b
6
=
H
s
P
r
=
=
=
=
3
6
2
9
6
6
cm
c
7
=
cH
bH
aH
M
+
+
=
r
H
=
(
)
c
b
a
H
M
+
+
=
(
)
7
6
5
3
6
2
+
+
=
M
(
)
(
)
(
)
c
s
b
s
a
s
s
P
t
-
-
-
=
6
12
18
3
6
2
=
×
=
M
9
2
7
6
5
2
=
+
+
=
+
+
=
c
b
a
s
6
12
6
6
2
2
+
×
=
+
=
M
B
P
(
)
(
)
(
)
7
9
6
9
5
9
9
-
-
-
=
t
P
2
6
24
cm
P
=
B
P
t
=
=
×
=
×
×
×
=
6
6
6
2
3
2
3
4
9
6
4
3
6
2
6
6
×
=
×
=
×
=
H
B
V
3
24
cm
V
=
H
B
V
×
=
3
1
M
B
P
+
=
cm
a
8
=
cm
H
7
=
?
=
s
2
d
2
a
d
=
2
2
2
2
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
=
d
H
s
2
2
2
2
2
2
8
49
2
2
7
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
+
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
+
=
a
s
(
)
2
16
49
2
4
49
2
2
2
×
+
=
×
+
=
s
81
2
=
s
cm
s
9
=
cm
H
12
=
cm
d
10
=
cm
a
8
=
d
?
=
b
?
=
V
b
a
B
×
=
2
2
2
2
2
8
10
-
=
-
=
a
d
b
36
64
100
2
=
-
=
b
cm
b
6
=
2
48
6
8
cm
cm
cm
B
=
×
=
cm
cm
H
B
V
12
48
3
1
3
1
2
×
×
=
×
=
3
192
cm
V
=
M
B
P
+
=
2
H
B
V
×
=
p
2
r
B
=
H
r
M
×
=
p
2
H
r
r
P
×
+
=
p
p
2
2
2
(
)
H
r
r
P
+
=
p
2
H
B
V
×
=
H
r
V
×
=
p
2
2
6
cm
p
3
6
2
=
Þ
=
=
r
r
O
p
p
p
6
=
M
p
p
6
2
=
×
H
r
p
p
6
3
2
=
×
×
H
cm
H
1
=
(
)
H
r
r
P
+
=
p
2
(
)
2
24
1
3
3
2
cm
P
p
p
=
+
×
=
H
B
V
×
=
3
2
2
9
1
3
cm
H
r
V
p
p
p
=
×
=
×
=
2
72
cm
M
p
=
r
cm
H
cm
H
r
2
2
36
72
2
=
Þ
=
p
p
cm
O
p
12
=
cm
r
cm
r
6
12
2
=
Þ
=
p
p
cm
cm
cm
H
6
6
36
2
=
=
(
)
H
r
r
P
+
=
p
2
(
)
2
144
6
6
6
2
cm
cm
cm
cm
P
p
p
=
+
×
=
H
r
V
p
2
=
3
3
2
216
6
6
cm
cm
V
p
p
=
×
=
M
B
P
+
=
H
B
V
×
=
3
1
p
r
O
2
=
(
)
s
r
r
P
+
=
p
2
l
r
P
ISJE
ČSJ
KRUŽNI
×
=
2
2
p
r
s
M
×
=
s
r
M
p
=
s
r
r
P
p
p
+
=
2
H
r
V
×
=
p
2
3
1
cm
r
6
=
cm
H
11
=
?
=
V
(
)
cm
cm
H
r
V
11
6
3
1
3
1
2
2
×
×
=
×
=
p
p
cm
cm
cm
cm
V
11
12
11
36
3
1
2
2
×
=
×
×
=
p
p
3
132
cm
V
p
=
cm
O
p
6
=
cm
H
4
=
p
r
O
2
=
cm
r
p
p
6
2
=
cm
r
3
=
2
2
2
r
H
s
+
=
2
2
2
3
4
+
=
s
9
16
2
+
=
s
25
2
=
s
cm
s
5
=
(
)
s
r
r
P
+
=
p
(
)
cm
cm
cm
P
5
3
3
+
=
p
2
24
cm
P
p
=
H
r
V
×
=
p
2
3
1
(
)
cm
cm
V
4
3
3
1
2
×
×
=
p
3
2
12
4
9
3
1
cm
cm
cm
V
p
p
=
×
×
=
2
90
cm
P
p
=
2
25
cm
B
p
=
p
2
r
B
=
2
2
25
cm
r
p
p
=
cm
r
5
=
(
)
s
r
r
P
+
=
p
(
)
s
cm
cm
cm
+
=
5
5
90
2
p
p
cm
s
s
cm
cm
13
5
18
=
Þ
+
=
144
25
169
2
2
2
=
-
=
-
=
r
s
H
cm
H
12
=
(
)
3
2
100
12
5
3
1
cm
cm
cm
V
p
p
=
=
p
2
4
r
P
×
=
p
3
3
4
r
V
×
=
?
=
V
p
3
3
4
r
V
=
?
=
r
p
2
4
r
P
=
cm
r
r
r
3
9
4
36
2
2
=
Þ
=
Þ
=
p
p
p
3
3
4
r
V
=
(
)
p
p
3
3
27
3
4
3
3
4
cm
cm
V
=
=
3
36
cm
V
p
=
3
3
32
cm
p
3
3
32
cm
V
p
=
?
=
P
p
3
3
4
r
V
=
3
3
3
3
8
3
32
3
4
cm
r
cm
r
=
Þ
=
p
p
cm
r
2
=
p
2
4
r
P
=
(
)
p
2
2
4
cm
P
=
2
16
cm
P
p
=
cm
r
3
=
p
2
4
r
P
=
(
)
2
2
36
3
4
cm
cm
P
p
p
=
×
=
(
)
p
p
3
3
3
3
4
3
4
cm
r
V
=
=
3
36
cm
V
p
=
cm
O
vk
p
36
=
cm
r
p
p
36
2
=
cm
r
18
=
p
3
3
4
r
V
=
(
)
3
3
324
24
18
3
4
cm
cm
V
p
p
×
=
=
3
7776
cm
V
p
=
2
2
2
2
B
A
)
C
Bq
Ap
(
r
+
+
+
=
1
4
)
m
1
2
(
4
2
+
+
+
=
20
±
20
20
36
108
-
Î
k
a
1
a
k
-
=
n
m
n
m
r
a
a
a
=
=
