Saf Eğilme (Pure Bending)

Saf Eğilme (Pure Bending)


� Bu bölümde doğrusal, prizmatik,

homojen bir elemanın eğilme

etkisi altındaki şekil

değiştirmesini/ deformasyonları

incelenecek.

� Burada çıkarılacak formüller en

kesiti en az bir eksene göre

simetrik olan ve kesite etkiyen

eğilme momentinin bu eksene

dik bir doğrultuda olması

durumu için geçerli olacak.


� Bir eksene göre simetrik en kesite sahip ve bu eksene dik doğrultuda

etkiyen eğilme momentine (sağ-el kuralını uygula) maruz prizmatik,

doğrusal eleman (örneğin kiriş), aşağıda gösterilmiştir:

Simetri Ekseni

Boyuna Doğrultuda Eksen

Tarafsız/Nötr Yüzey(*)

(*) Daha sonra bu yüzeye neden nötr yüzeydendiği konusu açıklanacak!

Saf Eğilme (Pure Bending)Doğrusal Elemanlar

� Gözle izlenebilir düzeyde deforme olabilen bir malzemeden yapılmış,

(örneğin: kauçuk malzemesi), prizmatik bir elamanın uçlarına etkiyen

eğilme momenti etkisi altındaki deformasyonunu inceleyelim, elemanın

en kesiti dikdörtgen olsun:

Deformasyondan ÖnceDeformasyondan Sonra

Yatay çizgiler eğildi

Düşey çizgiler düz kaldı, ancak döndü


z ekseni tarafsız eksen!

� Yukarıdaki gözlemlerden, gerilmelerin

malzemeyi nasıl deforme ettiği ile

ilgili şu kabulleri yapmak mümkün:

(i) düzlemden önce düzlem olan

kesitler eğildikten sonra da düzlem

kalmaktadır, (ii) tarafsız düzlemde

bulunan boyuna doğrultudaki x

ekseninin boyu değişmemektedir,

sadece eğilmektedir, (iii) kirişin

deformasyondan önce x eksenine dik

olan tüm kesitleri deformasyon

sonrasında da x eksenine dik

kalmaktadır, (iv) kesitlerin kendi

düzlemleri içindeki deformasyonları

ihmal edilecektir.

Nötr yüzey

BoyunaEkse

� Momentin yönü aşağıdaki gibiyse (+ moment) eğilme etkisine maruz

bir elemanın alt kısımları (lifleri) çekme, üst kısımları (lifleri) ise basınç

etkisine maruz kalacaktır. Bu durumda bu iki bölüm arasında, şekil

değiştirmeyen bir yüzey olmak zorundadır. Bu yüzeye tarafsız veya

nötr yüzey denir.


MM


� Bu şekil değişiminin malzemeyi nasıl zorladığını

incelemek için kirişin mesnetlenmiş noktasından x

mesafesinde ve deforme olmamış kalınlığı Δx olan

bir kiriş dilimi çıkarılacaktır. Bu dilimin deforme

olmadan önce ve sonraki durumu aşağıda

gösterilmiştir:

Deformasyondan ÖnceDeformasyondan Sonra

Dikkat edilirse, nötr eksen üzerinde herhangi bir şekil

değişimi olmamakta!

Boyuna eksen

Boyuna eksen

x

� Nötr eksenin üstünde kalan kısımlarda boy

kısalması, altında kalan kısımlarda ise boy

uzaması olacaktır. Nötr eksenin üzerinde

herhangi bir y mesafesindeki bir lifte oluşan

normal birim şekil değiştirme aşağıdaki gibi

bulunur:


0

lim

s

s s

sε

∆ →

′∆ − ∆=

∆

Şimdi bu şekil değişimini dilimin çıkarıldığı noktadaki eğrilik yarıçapı (ρ) ve y mesafesi cinsinden ifade edelim. Deformasyondan Sonra

Boyuna eksen

(1)


� Deformasyondan önce Δs = Δx.

Deformasyondan sonra Δx, O’ merkezine

sahip ρ eğrilik yarıçapına sahip olacaktır.

Δθ en kesitler arasındaki açıyı

tanımlamaktadır, bu durumda,

x s ρ θ∆ = ∆ = ∆

�Benzer şekild, tarafsız eksenden y

mesafesindeki kısalmış boy aşağıdaki gibi

bulunur:

( )s yρ θ′∆ = − ∆

(2)

(3)

Boyuna eksen


� (2) ve (3) nolu ifadeler (1) nolu ifadede yerine konur ve sadeleştirmeler

yapılırsa,

( )0

lims

y yρ θ ρ θε

ρ θ ρ∆ →

− ∆ − ∆= = −

∆

�Bu çok önemli bir sonuçtur ve şunu ifade eder: kirişin herhangi bir

noktasındaki eğilmeden kaynaklı oluşan boyuna normal birim şekil

değiştirme, o noktanın kesitteki yerini tanımlayan y mesafesine ve

incelenen kesite ait eğrilik yarıçapına bağlı olarak değişir.

Kesitteki normal şekil değişimi dağılımı


�Bir başka deyişle, boyuna doğrultudaki normal birim şekil değiştirme,

nötr eksenden ölçülen y mesafesi ile lineer olarak değişmektedir. +y

mesafesinde kısalma şekil değişimleri (negatif işaret), -y mesafesinde

ise uzama birim şekil değişimleri oluşacaktır (pozitif işaret)

max

max

/

/

y

c

y

c

ε ρε ρ

ε ε

−=

= −

� Bu sonuçlar yaptığımız kabuller altında geçerlidir ve kiriş sadece moment etkisi

altındadır. Bu durumda kirişte sadece eksenel doğrultuda normal birim şekil

değişimi oluşmaktadır. Bu durumda şunu söylemek de uygun olacaktır: kirişte

sadece boyuna eksen doğrultusunda normal gerilmeler oluşmaktadır

(Hooke yasası gereği: σx = Eεx).

� Poisson oranı gereği diğer iki yönde de şekil değişimler oluşacaktır: εy =-ϑ εx ve

εz =-ϑ εx bu değerler kesiti kendi içinde deforme edeceklerdir.


Bu tip bir deformasyon, nötr ekseninüstünde kalan kısımların en kesitalanını büyütecek, altında kalanlarınınise küçültecektir. Bu deformasyonlar,bu derste ihmal edilecektir.

Saf Eğilme (Pure Bending)Eğilme Formülü

�Şimdi boyuna doğrultuda oluşan gerilmeler ile kirişte oluşan moment

arasında bir ilişki geliştirelim. Bu ilişki için, malzemenin lineer elastik

davrandığı kabulü yapılacaktır, yani Hooke yasası geçerlidir.

�Bu durumda, kesitte oluşan lineer normal şekil değiştirme, lineer normal

gerilmelerin bir sonucu olarak oluşacaktır:

Kesitten gelişen normal birim şekil değişimi

(yandan görünüş)

Kesitte gelişen normalgerilme değişimi

(yandan görünüş)

Üçgenlerin benzerliğinden

max

y

cσ σ = −

max

y

cε ε = −

Saf Eğilme (Pure Bending)Eğilme Altında Kırılma/Göçme Modu

�Buradaki pozitif işaret kabulü önemlidir: pozitif moment (+z yönünde),

+y doğrultusunda negatif gerilmeler (basınç), –y doğrultusunda ise

pozitif gerilmeleri (çekme) oluşturmaktadır. Aşağıdaki eğilme durumunu

düşünelim:


Kesit üzerindeki eğilmegerilmesi değişimi

• Örneğin kesit üzerinde ymesafesindeki bir noktada,basınç gerilmesi oluşacaktır.

• Tek bir noktada, tek birgerilme durumu sözkonusudur.

+


� Nötr eksenin yerini bulmak için kesite etkiyen kuvvetler düşünülmelidir. Bu

durumda denge şartından kesitteki normal gerilmelerden dolayı oluşan bileşke

kuvvet sıfır olmalıdır (sadece moment var). Aşağıdaki şekle referansla:

max

max

0

=

A A A

A

ydF dA dA

c

ydAc

σ σ

σ

= = = − ∫ ∫ ∫

∫Bu ifadenin sıfır olabilmesi içinintegrantın sıfır olması gerekmektedir,yani:

0AydA =∫

Alanın nötr eksene göre birinci momentinin sıfır olması gerekmekte. Bu durumancak nötr eksenin kesitin merkezinden geçmesi durumunda mümkündür.Bir başka deyişle, kesitin merkezi biliniyorsa nötr eksenin yeri de bilinmektedir.

Eğilme gerilmesi dağılımı yA =


�Kesitte oluşan gerilmelerin şiddeti ise denge şartını dikkate alarak

bulunabilir: kesit momenti (iç kuvvet) = gerilme dağılımının oluşturduğu

moment değerine eşit olmak zorundadır.

( )

( )

ma

2max

xA

;

=

=

M=

R zz A A

A

A

M M M dM ydF

y

y dAc

dA

yyc

σ

σ

σ

= = =

∑ ∫ ∫∫

∫

∫

( ) ; 0R yy AM M z dAσ= ∑ = ∫

Dikkate edilirse, kesit y-eksenine göre simetrikolduğunda aşağıdaki koşul otomatik olaraksağlanmakta:


� Yukarıdaki denklemde, integrand nötr eksene (kesit merkezinden

geçen z-eksenine) göre kesitin atalet momentidir ve I harfi ile gösterilir.

Bu durumda σmax aşağıdaki gibi yazılabilir:

2maxM=Ay dA

c

σ∫

max

M= cI

σ

� σmax/c = - σ/y ifadesi kullanılarak, kesitin herhangi bir yerindeki gerilme

değeri formülü yazılabilir. Bu ifadeye EĞİLME FORMÜLÜ denir ve çok

önemli bir ifadedir:

M=- yI

σ(-) işareti önemlidir, çünkü şağ el kuralına göre belirlenen pozitif moment, nötr eksenin üstünde

basınç altında ise çekme gerilmeleri oluşturmaktadır!


max

M= cI

σ

�Eğilme formülü (i) kesitin nötr eksene

göre dik olan bir eksene göre simetrik

olması durumunda, ve (ii) momentin

nötr eksen doğrultusunda etkimesi

durumunda kullanılabilir.

Örnek - 1

�Şekilde gösterilen kiriş dikdörtgen en kesit alanına sahiptir ve kesit

üzerinde gösterilen gerilme dağılımına sahiptir, kesitteki normal

gerilmenin nedeni M eğilme momentini: (a) eğilme formülünü

kullanarak ve (b) gerilme dağılımının bileşkesini kullanarak bulunuz.

1 lb = 4.448 N1 in = 2.54 cm1 ft = 12 in1 ft = 0.3048 m

Örnek – 1 (devam)

� (a) şekline referansla maksimum gerilmenin c = 6 in değerinde

oluşacağını görebiliriz:

max

M= cI

σ

Eğilme formülünü kullanırsak:

Bu durumda

Örnek – 1 (devam)� (b)aşağıda gerilme dağılımlarının altında kalan hacimler birbirine

eşittir ve bir kuvvet çifti sistemi oluştururlar. Bu durumda, bileşke

kuvvet F aşağıdaki gibi bulunabilir:

=

Kuvvet çifti arasındaki mesafesinin 8 in olduğugörülürse, kesitte oluşan moment değeribulunabilir:

Örnek - 2

�Şekilde gösterilen basit mesnetli kirişin en kesit geometrisi aşağıda

gösterilmiştir. Kirişte oluşan mutlak maksimum gerilme değerini

bulunuz ve gerilme dağılımını kesit üzerinde çiziniz.


�Maksimum gerilme değeri maksimum momentin oluştuğu noktada

oluşacaktır (gerilme formülünü hatırlayınız). Bu nedenle önce kirişin

moment diyagramının çizilerek, maksimum moment değerinin

bulunması gerekmektedir:

Bu yükleme durumu içinmaksimum moment kirişin tam

ortasında 22.5 kNm şiddetindedir.

0 3 6

M[kN.m]

22.5 kN.m

� Simetriden dolayı en kesitin alan merkezinin simetri eksenlerinin kesiştiği

noktada olduğu ve dolayısıyla tarafsız eksenin de buradan geçtiği

görülecektir. Bir başka deyişle ağırlık merkezini ayrıca hesaplamaya gerek

yoktur.


Tarafsız (nötr) eksen toplam yüksekliğin tam ortasında

olacaktır!

Bu eksene göre atalet momenti paralel eksenler teoremi kullanılarak hesaplanabilir:

� Eğilmeden dolayı oluşan gerilmeler gerilme formülü uygulanarak

hesaplanır, c = 170 mm için en dış lifte mutlak maksimum gerilmeler

oluşacaktır:


� Gerilme diyagramını çizmek için, kesitin B noktasında oluşan gerilme değerini

de hesaplamak gerekmektedir (kesitteki gerilme dağılımı doğrusal olduğunda

dolayı aslında iki noktada oluşan gerilmenin bilinmesi yeterlidir):

�Kesitteki gerilme dağılımının üç boyutlu görünümü aşağıda

gösterilmiştir:


Sınavda iki boyutlu görünümü çizmek yeterli olacaktır!

Örnek - 3

�Şekilde gösterilen ankastre mesnetli kirişin en kesit geometrisi

aşağıdaki gibidir. a-a kesitinde eğilmeden dolayı oluşan maksimum

gerilmeyi bulunuz.


�Bileşke iç kuvvetlerin kesit üzerinde etkidiği nokta kesitin alan

merkezidir, ayrıca nötr (tarafsız) eksen kesitin merkezinden

geçmektedir. Bu nedenle ilk önce kesitin merkezi bulunmalıdır, bu

işlem için hatırlanırsa ağırlıklı ortalama formülü kullanılır:

z

Nötr eksen


�a-a kesitinde oluşan moment değerini bulalım. Bunun için, kiriş a-a

kesitinden kesilir ve sol parçanın dengesi incelenir:

Dikkat edilirse, iç kuvvetlerin

bileşkesi kesit alan merkezinden

geçtiği kabul edilmekte!

Önemli Not: Bu moment değeri eğilmeden kaynaklı oluşan normal gerilmelerinhesabında kullanılacaktır. Normal kuvvet ise kesitte ekstra gerilmeler oluşturacaktır,ileride bu gerilmelerle momentten kaynaklı gerilmelerin süperpozisyonugerçekleştirilecektir. Burada sadece momentten kaynaklı gerilmeler dikkatealınacaktır.


�Kesitin nötr eksene göre atalet momentine ihtiyaç var:


�Maksimum gerilme nötr eksenden en uzak mesafede oluşacaktır,

burası kesitin en alt noktasıdır ve c = 0.2 – 0.05909 = 0.1409 m’dir.

Bu örnekte momentin etkime yönünden dolayı nötr eksenin üst tarafındaçekme, alt tarafında ise basınç gerilmeleri oluşmaktadır.

59.09 mm

0.1409 mm

Documents

Saf Eğilme (Pure Bending)