98
. )(Indicial Notation )(Linear Transformation )(Tensor Calculus
: )(Indicial Notation 1-4- )(Summation )1-1( )1-2( )1-3( j i k
)1-3) ) (dummy index .
6
: . 1, 2, 3, n
)1-4( aibixi ambmxm .
. )1-5(
. )1-6( 1-5- )(Free Indices
7
)1-7(
: )1-8(
: )1-9( . ) (dot product . )1-01( a . )1-11( )1-21( )1-31( :
:
8
)1-41(
1-6- )(Kronecker Delta )1-51( )1-61( )1-71( )1-81(
)1-91(
9
)1-02(
)1-12( 1 e2 e 3 e )1-22(
1-7- )(Permutation Symbol .
)1-32( )1-42( )1-52( ]3 [e1, e2, e )1-62( . )1-72( a=aiei
b=biei
01
)1-82( ) ( )1-92(
1-8- ) (a)(i )(ii bi ) (ii bm ) (i ) (ii i m
m .)(iii )(iv
) (iv . ) (b
.pqambmcmdm
a=aiei b=biei
11
1 e2 e 3 e
) (c
) (d )(Contraction
. Tii Tij.
: )(Tensors
21
1-9- T a T c b d Ta=c .Tb=d T )1-03( a b T . . )1-13( a b .
1-6 1-01- 1 e2 e 3 e 1 x2 x 3 x . T 1 e2 e 3 e 1 Te2 Te 3 Te .
)1-23( )1-33(
31
)1-43( : T . )1-53( )1-63( 0=1 e1.e2= e2.e3= e3.e )1-73( )1-83(
a T a b .) (b=Ta T a b. a : )1-93( b : )1-04( 1-11-
:
41
)1-14( )1-24( )1-34( )1-44( . )1-54(
)1-64( )1-74(
1-21-
)1-84(
51
1-31- T S a )1-94( )1-05( TS )1-15( )1-25( )1-35( )1-25) )1-35)
)1-45( )1-55( TSST S T V
)1-65( )1-75( . )1-85(
61
1-41- )(TRANSPOSE OF A TENSOR T TT a b . )1-95( . )1-06( )1-16(
)1-26( )1-95) )1-36( ) ( )1-46( )1-56( 1-51- )(Dyadic Product of
vectors a b ab c . )1-66( c d
71
)1-76( ab . W=ab : )1-86( )1-96( )1-07(
ei
)1-17( T )1-27( 1-61- )(Trace of a tensor . T S a b
)1-37( tr T=Tii
)1-47(
81
)1-57( )1-67( 1-71- )(Identity tensor and Tensor inverse .
)1-77( )1-87( : )1-97( )1-08( T S )1-18( S T. 0) ( det ) T (.
0)det(T T
)1-28( )1-38(
91
)1-48( )1-48) a b . T b a b . 1-81- )(Orthogonal tensors . Q
| |Qb|=|b| |Qa|=|a ) cos(a,b)=cos(Qa,Qb )1-58(
a b
)1-68( . )1-78( )1-88( )1-98( 1+ 1- .
02
| |Q|=|QT 1=| |I 1=2| |Q )1-09(
1-91-
)1-2(
} 1 e2 e 3 {e } /1 e2/ e /3 {e )1-2) . } 1 e2 e 3 {e ) ( } /1
e2/ e /3 {e . . } {ei } / {ei Q . )1-19( )1-29( )1-39( )1-49(
12
Qij ei / ei. )1-59( )1-69( 1-02- a . } 1 e2 e 3 {e )1-79( } /1
e2/ e /3 {e )1-89( )1-19) : )1-99( )1-001( )1-101(
)1-201(
22
)1-001) )1-101) )1-201) . )1-301( )1-401( 1-12- T . T } 1 e2 e 3
{e : )1-501( } /1 e2/ e /3 {e : )1-601(
)1-601)
)1-701( )1-801( )1-901( )1-011(
32
)1-111( )1-211( )1-311( 1-22- . } /1 e2/ e /3 {e } 1 e2 e
3{e
ei/=Q ei Q )1-411(
. )(addition rule )(multiplication rule ) ( )(quotient rule 1(
Tij Sij Tij+Sij Tijk Sijk Tij+Sij .
42
2( ai Tij TijTjk TijTkl aiajak aiaj . . aiaj aiajak TijTkl
TijTjk . 3( ai Tij ai=Tijbj bi . Tij Cijkl Tij=CijklEkl Ckl. 1-32-
)(Symmetric and Antisymmetric Tensors T=TT . )1-511( )1-611( T=-TT
. )1-711(
52
)1-811( ) ( )1-911( )1-021( 1-42- )(The dual vector of an
antisymmetric tensor T tA a a T Ta . )1-121( t . A
T : )1-221( )1-321( : )1-421( )1-521(
62
1-52- )(Eigenvalues and eigenvectors of a tensor T a T . )1-621(
a . a T a . )1-721( . n . )1-821( )1-921( n=iei . )1-031( )1-131( 0
n )1-231(
72
)1-331( T . T . )1-131) . : . . 1-62- . . 1 n 2 n 1 2 )1-431(
)1-531( )1-631( )1-731( T=TT
82
)1-831( )1-931( 1 2 0=2 n1.n . . 1-72- )(Principal scalar
invariant of a tensor |Tij-ij|=0 T . )1-041( )1-141( )1-241(
)1-341( T T. : )1-441( : )(Tensor Calculus 1-82- ) T=T(t t. T t
:
92
)1-541( . )1-641( )1-741( )1-841( )1-941( )1-051( )1-941( .
)1-541( )1-151(
: dT/dt :
03
.
: 1-92- ) (r r (r) r . ) (r . .
dr
grad r+dr r. )1-251(
dr dr e dr . ) (e=dr/dr )1-251( )1-351( e ei :
) (. )1-451(
)1-551(
13
. ) (r ) .=a (constant r . r+dr 0= .d 0= . .dr r. .dr dr .
dr
)1-651( 1-03- ) v(r . . ) v(r v . v . )1-751( dr | |dr e dr/dr.
)1-851( v e v . )1-951( v )1-061(
23
)1-161(
. 1-13- ) (Divergence ) v(r . ) v(r ) (trace v . )1-261( )1-361(
) T(r . ) T(r div T a
)1-461( )1-561( )1-661( 1-23- ) (Curl ) v(r . ) v(r . v
33
)1-761( tA ( v)A. )1-861(
) v(r )1-421( . )1-961(
)1-071( 1-33- ) (Laplasian ) f(r r. )1-171( )1-271( 1-43- )
(Laplasian ) v(r . )1-371(
43
)1-471( : )1-571( )1-671(
. : 1-53- )(Polar Coordinate )(r,
)1-3(
)1-771( er e 1 e 2 e .
53
)1-871(
0 )1-4(
)1-871( )1-971( der de )1-4( . ) er(P d er(Q)= er(P)+ der. der )
er(P | der|=(1)d=d de ) e(P ... )1-081( )1-181( )1-281( 2
v
2
f div T curl v div v v f
. ) : ( 1-63- )(Cylindrical Coordinates ).(r,,z )1-381(
63
)1-481( 2
v
2
f div T curl v div v v f
. ) : ( 1-73- )(Spherical Coordinates
)1-5(
)1-5( P ) (r,, . e er e r . P : )1-581( )1-681( )1-5( )1-781(
)1-881( )1-981( )1-091(
73
)1-191( 2
v
2
f div T curl v div v v f
. ) : (
83
