Sammandrag - Elektromagnetism

5/20/2018 Sammandrag - Elektromagnetism

1/82

Elektromagnetiska flti sammandrag

Kursbok Cheng: Field and wave electromagnetics(alt. Cheng: Fundamentals of engineering electromagnetics = Lilla Cheng)

cEva PalmbergInstitutionen fr Signaler och system

Chalmers tekniska hgskola

2011


2/82

ii


3/82

Innehll

1 Vektoranalys 1

1.1 Skalr- och vektorprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.1 Skalrprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.2 Vektorprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Lngd- yt-, och volymelement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3 Gradient, divergens, rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3.1 Gradient, deloperator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3.2 Divergens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3.3 Rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.4 Divergensteoremet, Stokes teorem mm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.4.1 Divergensteoremt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.4.2 Stokes teorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.4.3 Indentiteter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.4.4 Helmholtz teorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2 Elektrostatik i vakuum 5

2.1 Laddning, laddningstthet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2 Coulombs lag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.3 Definition av E-flt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.4 Postulat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.5 E-flt genom superposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.6 Gauss lag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.7 Potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.8 Potential genom superposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.9 Potential via E-flt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.10 Linjeladdningar och referenser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.11 Ledare i elektrostatiskt flt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3 Dielektriska material 14

3.1 Dipolen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.2 Polarisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.3 D-fltet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.4 Randvillkor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.5 Kapacitans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.6 Elektrostatisk energi och kraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.6.1 Elektrostatisk energi fr punktladdningar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.6.2 Energi fr laddningsfrdelning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.6.3 Elektrostatisk energi uttryckt med flten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.6.4 Kraft p punktladdning i E-flt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.6.5 Elektrostatisk kraft p ett freml . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.6.6 Kraft, vridande moment och energi fr dipol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

4 Lsningsmetoder 21

4.1 Poissons och Laplaces ekvationer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214.2 Laplace-operatorn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

4.3 Analytisk lsning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214.4 Numerisk lsning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214.5 Speglingsmetoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4.5.1 Spegling i metallplan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234.5.2 Cylinderspegling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

5 Strmning 28

5.1 Strmtthet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285.2 Resistans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295.3 Spnningskllor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295.4 Kirchhoffs spnningslag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305.5 Kontinuitetsekvationen. Kirchhoffs strmlag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315.6 Effektutveckling. Joules lag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

5.7 Randvillkor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315.8 Spegling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315.9 Resistansberkning direkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325.10 Ytstrmtthet, ytresistans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335.11 Tvdimensionell strmning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345.12 Numerisk resistansberkning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

iii


4/82

iv Innehll6 Magnetostatik i vakuum 35

6.1 Lorentzkraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356.2 Postulat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366.3 Amperes lag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366.4 Magnetiskt flde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376.5 Vektorpotential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386.6 Biot-Savarts lag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

6.7 Kraft p ledare i B-flt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396.8 Magnetisk dipol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

7 Magnetostatik med magnetiska material 40

7.1 Magnetisering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407.2 H-fltet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417.3 Magnetkretsar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417.4 Randvillkor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437.5 Induktans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437.6 Magnetisk energi och kraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

7.6.1 Energi fr strmfrdelning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447.6.2 Energi uttryckt med flten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

7.6.3 Kraft p strmslinga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 457.6.4 Kraft p freml . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

8 Induktion 46

8.1 Faradays lag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 468.2 Transformatorn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

9 Elektromagnetiska flt 49

9.1 Frskjutningsstrmmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 499.2 Maxwells ekvationer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 499.3 Retarderade potentialer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 509.4 Vgor i vakuum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

9.5 Poyntingvektorn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

10 Komplexa flt 53

10.1 Inledande exempel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5310.2 Komplexa flt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

10.2.1 Polarisationstyp mm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5410.2.2 Vgekvationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5510.2.3 Samband E H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5510.2.4 Skiss av E och H fr plan vg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5610.2.5 Berkning av och Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5610.2.6 Fashastighet, vglngd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5810.2.7 Skineffekt, plan vg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

10.2.8 Ytstrmtthet, ytimpedans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5810.2.9 Skineffekt, rund trd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5910.2.10 Poyntingvektorn, plan vg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6010.2.11 Poyntingvektorn, effekt, energi komplext . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6010.2.12 Plan vg i godtycklig riktning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6110.2.13 Fashastighet och grupphastighet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6110.2.14 Icke-plana vgor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

11 Reflexion, transmission 62

11.1 Reflexion, vinkelrtt infall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6211.1.1 E och H, infall mot en grnsyta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6211.1.2 Berkning av r och t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6411.1.3 Poyntingvektorn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6411.1.4 Infall mot planparallell platta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

11.2 Reflexion och brytning, snett infall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6711.2.1 Uttryck fr frlustfria material . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6811.2.2 Material med frluster . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6911.2.3 Poyntingvektorn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69


5/82

Innehll v12 Antenner 70

12.1 Hertzdipol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7012.1.1 Strlningsdiagram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

12.2 Sprtantenner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7212.3 Strlningsresistans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7212.4 Antennfrluster . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7312.5 Antennfrstrkning mm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

12.5.1 Sndarantenner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

Index 74


6/82

vi Innehll


7/82

Kapitel 1

Vektoranalys

Inledning

Elektromagnetiska flt orsakas av laddningar i vila och i rrelse. En del storheter r skalrer- t.ex. laddning och strm. Andra r vektorer, dvs. har storlek och riktning - elektriskt flt,magnetiskt flt....Vi behver beskriva hur storheterna varierar i tid och rum. Fysikaliska lagar gller oberoendeav koordinatsystem. Drfr skriver man lagarna, Maxwells ekvationer, i koordinatoberoendeform. Fr en viss geometri p ett problem, t.ex. cylindrisk r det enklast med cylinderkoordi-nater. Vi anvnder kartesiska, cylindriska och sfriska koordinatsystem i kursen.Vi mste ocks kunna addera, multiplicera och derivera vra storheter. Drfr behver manvektoranalys ! ! !

1.1 Multiplikation av vektorer.- Skalrprodukt och vektorprodukt

1.1.1 Skalrprodukt

Skalrprodukten av tv vektorerAochBdefinieras somA B = |A||B|cos , dr | A| r beloppet (lngden) av vek-tornA och vinkeln mellan vektorerna. Resultatet blir enskalrstorhet.

B

A!

Viktiga resultat:AB= 0 omA BAx = (Axx + Ayy + Az z)x = Ax, d.v.s. komponenten avAi x-led AxAA= |A|2 = A2x+ A2y+ A2z , dr |A| r beloppet av vektorn.

Exempel: Arbete utfrt av en kraft F att flytta ettfreml strckan dx, se fig., blirdW = F dx cos=Fdx

F

x"

d

1.1.2 Vektorprodukt

Vektorprodukten (kryssprodukten) av tv vektorer AochBdefinieras somA B = n|A| |B| sin , dr|A|r beloppet av vektorn A, vinkeln mellan vektorerna ochnen enhetsvektor vinkelrt mot planet innehllande AochB. Resultatet blir allts en vektor,som r vinkelrt mot bdeAochB.

Hgerhandsregelnger riktningen: Man roterar frsta vektorn, A, kortaste vgen mot Bmedhgra handens fingrar. Hger tumme ger riktningen.

B

A!

.A#B

Aoch Bligger i papperets plan

A#Bvinkelrtt mot detta plan

Viktiga resultat:A B= 0 fr = 0,, d.v.s. dAochBr parallella.

Exempel: Vridande momentetT skrivs med kryssprodukt somT = r F, drr r moment-armen ochFr kraften.

1


8/82

2 Kapitel 1 Vektoranalys

1.2 Lngd-, yt-, och volymelement iolika koordinatsystem

dr

dz

rd$

x

y

z

'''''''''''''

r

$

Volymelement i

cylindriska koordinater

Rd!dR

Rsin!d$z

R

!

'''''

''''''''''

........$x

y

Rsin!

Volymelement i

sfriska koordinater

Lngdelement dl

d = (dx, dy, dz) = xdx+y dy + z dz

d (dr, rd$, dz) = r dr +$rd$+ z dzd = (dR, Rd!, Rsin! d$) = R dR + ! Rd! + $ Rsin! d$i rektangulra, cylindriska resp.sfriska koordinater

=

l

l

l

Ytelement ds ochvolymelement dv tecknas med komponenter av lngdelementen.

1.3 Rumsderivator:gradient,divergens,rotation

Storheter som varierar i rummet kallas fr flt. De kan variera i tiden ocks. Exempel: tem-peraturflt T(x,y,z) ett skalrt flt; elektriskt fltE(x,y,z) ett vektorflt.Vi behver rumsderivatorav de elektromagnetiska flten! Gradientr rumsderivata av enskalr storhet.Divergensochrotationr rumsderivator av en vektor. Hr kommer de koor-dinatoberoende definitionerna!

1.3.1 Gradient, deloperator

Gradienten V till en skalr funktion V:Den vektor som anger storlek och riktning i en viss punkthos maximala rumsderivatan av V.Gradientens komponent i riktningen dl: lV =V/l

dV = Vdl

gradV = %V = n dV/dn

%V = x&x&V+ y

&y&V+ z

&z&V i rektangulra koordinater


9/82

1.3 Gradient, divergens, rotation 3

Deloperatorn = (/x ,/y ,/z) i rektangulra koordinater.Uttryck fr gradienten i olika koordinatsystem finns i Cheng (insidan av prmarna, i Beta ochi Physics Handbook.

1.3.2 Divergens

Fldeav en vektorAgenom en yta S:SA ds A, divergensen hos ett vektorflt A i en punkt : Nettoflde av vektorn A utfrnenvolymrunt punkten, dividerad med volymen, d volymen gr mot noll.

divA= %.A= lim'v( 0 'v

)oA.dss ( dsvolym 'v

%.A=&x&Ax

+&y&Ay

+&z&Az

i rektangulra koordinater

Fysikalisk tolkning: divAr ett mtt p den inneslutna kllan . Om A =0 har vi en klla ipunkten.Ekvationen %.E= */+

0sger att (laddningsttheten) *r enklla fr (det elektriska fltet) E.

* E

Om divA= 0, s r Akllfritt

1.3.3 Rotation

A, rotationenhos ett vektorfltAi en viss punkt, definieras s hr:Placera i punkten ett litet stelt ytelement s med randkurva c och normalriktning nen-ligt hgerhandsregeln (skruvregeln), se fig.! Bilda fr alla tnkbara normalriktningar ndenslutna kurvintegralen

c

A dllngs randkurvan c. Vlj den maximala kurvintegralen ochtillhranden. Bilda

n 1

s

c

A dl

och lt ytelementets storlek g mot noll.

rotA= %#A= lim's(0

's1[n)

'c

oA.dl]max

dl'c

n,

I rektangulra koordinater %#A = &x &y &z__ __ __& & &x y z

Ax Ay Az

Fysikalisk tolkning: I en vattenvirvel har manrotation. %#v -0 i en virvel, dr vr vattnetshastighet. Virvel = curl p engelska.

v

Om rotA= 0 rA virvelfrittellerrotationsfrittirrotational, conservative p engelska.

Uttryck fr grad, div och rot i olika koordinatsystem finns i Cheng (insidan av bakre prmen),Pysics Handbook (ej rot) och i Beta.


10/82

4 Kapitel 1 Vektoranalys

1.4 Divergensteoremet. Stokes teorem mm

1.4.1 Divergensteoremt

Samband mellan volymintegralen av div A och vektorn A integrerad ver den slutna ytan Still volymen.

V Adv= SA ds

1.4.2 Stokes teorem

Samband mellan ytintegralen av rotA och linjeintegralen avAintegrerad runt omkretsen Ctill ytan S.

S

( A)ds=C

A dl,ds

dl

Hgerhandsregeln ger samband mellan dloch ds: Fingrarna i dl-riktningen medfr dsi tum-mens riktning, se fig.!

1.4.3 Indentiteter1/Rotationen av gradV r identiskt lika med noll

(V) 0Fljd: Om E= 0, kan man stta E = - V , drV r skalr (potential) - Se elektrostatiken!

2/ Divergensen av rotAr identiskt lika med noll:

( A) 0Fljd: Om B= 0, kan man sttaB= A, dr Ar vektorpotential. Se magnetostatiken!

1.4.4 Helmholtz teoremOm man knner Aoch A (i hela rummet), s knner man vektornA. Se not i Cheng s.65.Maxwells ekvationeri elektromagnetismen ger oss just divergens och rotation fr det elek-triska fltet och fr det magnetiska fltet !!!

VIKTIGT ! ! !

Stt ut vektorbeteckning p alla vektorer! Fetstil i Cheng och i detta hfte.Stt ut skalrpricken ordentligt i alla skalrprodukter!Stt ut krysset vid vektorprodukt!

Det blir meningslsa uttryck annars!


11/82

Kapitel 2

Elektrostatik i vakuumElektrostatik = elektriskt flt frn laddning i vila. Flten ndras ej i tiden.

I detta kapitel behandlas laddningstthet, Coulombs lag, E-flt, Gauss lag, potential, linje-

laddningar

2.1 Laddning, laddningstthet

Mikroskopisk laddning: atomr laddning, t.ex. elektronens laddning e.Makroskopisk laddning: volym med mnga atomra laddningar.

Vlj en makroskopiskt sett liten volym v, men s stor att den innehller ett stort antal atomer en kub med sidan106 m innehller1011 atomer.

Punktladdningq. Vi betraktar laddningen p s stort avstnd att laddningens utbredning rfrsumbar i frhllande till avstndet till den. Dimensionen fr q, [q] = As (ampere-sekund) =

C (coulomb).Laddningsttheter:Om ett stort antal laddningar qifinns i en volym v, kan man infra envolymladdningstthetdefinierad genom

*= lim'v(0

'v

. qi [*] = As/m

3

P motsvarande stt definerasytladdningstthet s

*= lim's(0

's

. qi [* ] = As/m2s s

och linjeladdningstthet eller

*= lim'l( 0

'

. qi [* ] = As/m

l ll

2.2 Coulombs lag

Kraft p punktladdning q2(testladdning) p.g.a. punktladdningen q1(klla - orsak till kraften):

F12 = R12 4/+0R122

q1q2

[F]=N (newton) R12: vektor frn 1 till 2

o oq1

q2 F12

R12

( (

dr +0=36/10-9

= 8,85.10-12

As/Vmdielektricitetskonstanten(permittiviteten) frvakuum

Observera att kraften p q1, F21= -F12!

5


12/82

6 Kapitel 2 Elektrostatik i vakuum

Superpositionsprincipengller:Kraft p q

tpga tv punktladd-

ningar q1och q

2

Ft= F

1t+F

2t vvektoraddition!

o

o

o

F1t

F2t

Ft

q1

q2

qt

2.3 Definition av E-flt

E= limq2(0 q2

F12

definition av elektriskfltstyrkaE("kraft p positiv enhetsladdning")[E] = N/As = V/m

2.4 Postulat

Frelektrostatik i vakuumgller fr E-fltet:

..E= */+0 eller )

S

oE.ds= Q/+0

Gauss lag i punktformresp. integralform frvakuu

%

m

##E= 0 eller )c

oE.dl= 0 det elektrostatiskafltet r rotations-frit

%

t

2.5 E-flt genom superposition

a/ E-flt frn punktladdning

Fr en punktladdning q1med koordinaten R1 (kllpunkten) fr vi frn Coulombs lag i enpunktR2(fltpunkten)

E(R2) = R

12

4/+0R122

q1

oq 1

R1

origo

R2

R12

E(R2)((

R12r en vektor frn kllpunkten till fltpunkten! Om vektorernaR1ochR2r givna blirR12, se fig.,

R12=R2-R1och R12=|R12|=|R2-R1|

Exempel: En punktladdning q ligger i origo i ett sfriskt koordinatsystem. BerknaE(R)!R1= (0,0,0), R

2= R 0 R

12= R

E(R) = R4/+0R

2

q E-flt frn en punkt-laddning q i origo- radiellt ut frn q

#

E

R


13/82

2.5 E-flt genom superposition 7

b/ E-flt frn laddningsfrdelningar

I volymen v finns en volymladdningstthet . BerknaE!Metod: Vlj ett litet volymelement dv1ochbetrakta dq1=dv1som en punktladdning! dq1ger bidraget dE, se fig,! Vi fr

dE= R12

4/+0R122

*dv

1 *

R12

dv1

dE

Vektoradderaalla bidrag dE, d.v.s. integrera ver volymen v!

E= )v

dE. Dela frst upp dE i komponenter och integrerasedan!

OBS!Att direktintegreraEp detta stt r oftast mycketjobbigare n du tror!Kolla frst om det r symmetri, s att du kan anvnda Gauss lag i stllet!-Se nsta avsnitt 2.6 !

P motsvarande stt berknas E p grund avytladdningstthet seller linjeladdningstthet, d.v.s. dq1=sds1resp. dq1=d1.

Exempel: Laddningen q finns jmnt frdelad p en cirkulr slinga med radien a. BerknaE-fltet p slingans axel!

Laddning per lngdenhet pslingan *

l= q/2/a. Vlj ett

laddningselement med lngdenad$och laddningen dq = *

lad$.

Denna laddning ger ett E-fltp z-axeln

*l

a2+z2

a ad$$

z"

dE

dE =4/+0 (a

2+z2)dq

med riktning enligt figuren

Projicera p z-axeln och integrera ver laddningsfrdelningen, d.v.s. runt slingan.

dEz= dE cos"= dE

(a2+z2)1/2z

Ez=)

0

2/8/2+0a(a

2+z2)3/2

qazd$ =

4/+0(a2+z2)

3/2

qz E= z E

z

P grund av symmetri fr E-fltet p z-axeln bara komponent i z-riktningen.


14/82


2.6 Gauss lag

Samband mellan ytintegral av E-fltet och innesluten laddning. I volymen v finns laddningarq1, q2, ...

)S

oE.ds= +01)

v

* dv = +01q

innesluten Gauss lag i integralform

ds= n ds ut frnvolymen dsx x

q1 q2

sluten ytaS

(

..E= */+0 Gauss lag i

differentialfor%

m

Differentialformen (punktformen) av Gauss lag lmpar sig fr berkning av laddningsfrdel-ningen,(R), nr man knner E(R). Se uppgift 2-5 och 2-15 i Exempelsamlingen!

Integralformenger E(R), nr laddningsfrdelningen r knd. Krver dock symmetri fr att

vara praktiskt anvndbart. Se exemplen nedan!Med Gauss lag fr man enkelt lsningar till viktiga elektrostatiska problem med symmetri!

Vi mste ha symmetri, s att vi vet tillrckligt mycket om E-fltet, t.ex. att E= R E(R) iexemplen nedan!

Tillrcklig symmetri har vi i fallen sfriskt symmetrisk laddningsfrdelning, ondligt lngcylindrisk laddningsfrdelning, laddning p ondligt stort plan.

Vidare anvnder man Gauss lag vid studium av allmnna egenskaper hos elektrostatiska flt,t.ex.metall i E-flt. Se avsnitt 2.11 p sidan 13 och 3-6.1 i Cheng - viktigt!

Exempel 1: Laddningen Q finns jmnt frdelad p ytan till en sfr med radien a. Berkna E

bde fr R>a och R


15/82

2.7 Potential 9

Exempel 2: Lgg enoladdad metallsfrmed innerradien b och ytterradien c runt om denladdade sfren i Exempel 1. BerknaEverallt!

I stationrtillstndet finns ladd-ningen p ytan av metallen och E=0i metallen. Antag att vi fr q

bp

insidan och qc

p utsidan av metall-sfren. Gauss lag ger fr de olikaomrdena:

Qqb

qc

a

bR

c

metall

1/ R


16/82


Vi fr potentialskillnaden mellan tv punkter A och B:

VA- V

B=)

A

B

E.dlKursboken har ombytta grnser och

tecken i uttrycket.

2.8 Potential genom superpositiona/ Potential frn punktladdningLt punktladdningen q ligga i origo och anvnd E-fltet frn en punktladdning i origo:E(R) =Rq/40R2

V(R) V() =

R

E(R) dR = q/40R

d.v.s. V frn punktladdning q i origo

V(R) =4/+0Rq

om V1 = 0 q RoV(R)

b/ Potential frn laddningsfrdelning

I volymen v finns en volymladdningstthet . Berkna V!Metod: Vlj ett litet volymelement dv1ochbetrakta dq1=dv1som enpunktladdning! dq1ger bidraget dV = dq1/40R12, se fig,! Vi fr

V(R2) = 4/+0

1 ) R12*(R1)dv

1

vilket frutstter V1 = 0

*(R1)

R1

R2

R12

P motsvarande stt berknas V frnytladdningstthet seller linje-laddningstthet , d.v.s. dq1=sds1resp. dq1=d1.Exempel: Laddningen Q finns jmnt frdelad p ytan till en sfr med radien a och medelpunk-ten i origo. Teckna potentialen i punkten (R, 0, ) fr R>a sfriska koordinater!

Vlj ett ytelement p sfren vid(a,!

1, $

1). Ytan ds

1= ad!

1asin!

1d$

ochladdningendq=*sds1

dr *s= Q/4/a2

,

.

!1a

R

R12

ds11

V(R,!,$)

Potentialen V(R,0,$) = 4/+01

)R12*sds1

=4/+0

1)

! = 0

/

)$ =0

2/

R12

*sa2sin!1 d!1d$1

dr R12

2= R

2+a

2-2aRcos!1

=

1 1

cos.teoremet

=4/+0

*sa22/)0

/

R2+ a

2- 2aRcos!1

sin!1d!1 =2+0

*sa2

[aR

1R2+ a

2- 2aRcos!1]0

/=

=+0R

*sa2

=4/+0RQ

fr R>a (V1= 0)

= = = = = = = =

OBS! R12 i nmnaren r avstndet frn laddningselementet till den punkt, dr vi skabestmma V! R12fs med cosinus-teoremet! Inte alls s ltt!!!

Enfrdelmed potentialberkning r att V r en skalr storhet. Skalrer r lttare att att super-ponera n vektorer. Men det finns bttre metoder fr problem med symmetri:

Vid symmetri: Berkna E med Gauss lag och drefter V !!!


17/82

2.9 Potential via E-flt 11

2.9 Potential via E-flt

Samband E-V: Va- V

b=)

a

b

E.dlo

o

dl

E

a

b(

Frdel: Metoden att berkna V via E-fltet r lmplig, om man kan berkna E ltt, t.ex. medGauss lag!

Exempel: Berkna potentialen utanfr sfren med homogen ytladdningstthet,d.v.s. V(R) fr R>a!

Vi har tidigare berknat E med Gauss lag, se s. 8!

E2(R) = Q/4/+0R

2 fr R>a

Vi fr nu potentialen vid radien Ra R

Q

V(R)

V(R) - V(1) =)R

1

E2(R)dR = )

R

1

4/+

0

R2Q

dR =4/+0RQ

R>a

= = = = = == = = = = =

Betydligt enklaren att direktintegrera fram V enligt berkningen ovan, se s. 10

Viktiga resultat:E-fltet frnen ondligt lng linjeladdning :

E(r) =2/+0r

*l o

*l

rr

Potentialen frntvondligt lnga linjeladdningar:

V = 2/+0*l ln

r+r-

*l

*lo o

Vr- r+

- +

Exempel: Tv tunna lnga parallella trdar har laddningenper lngdenhet. Trdlngdenr, radien a och axelavstndet d. Berkna kraften mellan trdarna och potentialskillnaden!

Kraft p -2: F = qEvid -2

=

= (-2l)2/+0d

2

= = = = = =(E

vid -2= fltet frn +2)

a

2 3 2

Fd4 (

(4

Potentialen p den vnstra trden (tecknad p trdens yta):

V1=

2/+02 ln

r+r-

=2/+0

2 lnad

Potentialen p den hgra: V2=

2/+02 ln

r+r-

=2/+0

2 lnda

Potentialskillnaden mellantrdarna 'V:

'V = V1- V

2= = /+0

2 ln ad

= = = = = =

Kommentar: Eftersom trdarna r tunna har vi antagit jmn laddningsfrdelning p trdar-

nas yta. Vi kan d rkna med

efter trdens axel. Vi har ocks anvnt medelavstndet, d.v.s.d, d vi tecknade potentialen.Om trdarna inte r tunna mste vi anvnda speglingsmetoden (behandlas senare).


18/82


2.10 Linjeladdningar och referenser

Fltet frn en linjeladdning *l: E(r) = r____

2/ +0r_* l 0

Potentialen V(r)- Vref

= )r

rref

E.dr

= 0

=____2/ +0

*l ln___

rrref

dr rref

r avstndet frn *ltill referensen.

Vi kan t.ex. vlja referensen att ligga p

avstndet C frn denna*l.

*l

rref

r

V = konst r cylindrar runt om *lnr vi har enlinjeladdning

ondligt lng

Tvlinjeladdningar *l:

Superposition

*l -*l

r+ r-

P

___________________

V(P) = V ++ V -=2/+0

*l lnr+rref+

+2/ +0-*l ln

r-rref-

=

=2/+0

*lln[

r+r-.

rref-

rref+

] (alla r rknade frn respektiveladdning)

Om vi nu har valtreferenseni varje delberkningatt ligga p samma avstnd C frn resp.linjeladdning, dvs r+ref = C och r

ref= C fr vi

V(P) =____2/ +

0

*l

ln__r-

r+

Var r V=0 nu? Vi fr inte V=0 p det stlle vi valde som referens vid tidigare delberkningar.Vi har ju superponerat potentialer frn tv delberkningar.

*l

*l

*

l

Av det omramade uttrycket ser vi

att V=0, dr r+=r-, d.v.s. mittemellan .

-

V=0

Tv linjeladdningspar *l1

och *l2:

V =____2/ +0

*l1 ln__

r1-

r1++____

*l2

2/+0ln__r2

-

r2+

_____________________

*l1

*l2

*l2

*l1- -

r1+

r1-

r2

-r2+

Superponera: Para ihop laddningarna i -par. Varje laddning ska bara vara med i ettpar. Anvnd ln(r/r+) fr varje par.Vid udda antal laddningar : Anvnd uttrycket ln(C/r) fr den laddning som blir ver!Oftast r vi intresserade av potentialskillnader och referensen r ointressant. C frkortas

bort.


19/82

2.11 Ledare i elektrostatiskt flt 13

2.11 Ledare i elektrostatiskt flt

a/ Emste vara noll inutiledaren.E=0 dr skulle ju leda till omflyttning av de fritt rrligaladdningarna tillsEblev noll.

0 E= 0

b/ Den ledande volymen mste ha den makroskopiska volymladdningsttheten =0. Dettainses med hjlp av Gauss lag: Vlj engodtyckligvolym inuti det ledande omrdet. Vi fr

Qinnesluten

=)*dv = +0)5 E.ds= 0 0 * = 0

c/ Av b fljer att eventuell verskottsladdning hos en ledande kropp mste ligga som enytladdningp kroppen. Fr att en ytladdning ska ligga stilla mste tangentialkomponentenavEvara noll vid ytan.

0 Etang

= 0

d/ Med hjlp av Gauss lag fr vi ett samband mellan normalkomponenten av E alldelesutanfr ledaren (metallen) och ytladdningsttheten sp ytan.

,

6

Emetall

En

*smetall

vakuum yta 's

=0

Qinnesluten

= *s 'S = +0)oE.ds= +0En'S

0

*s= +

0En

+ +0Emetall's=0


20/82

Kapitel 3

Elektrostatik - med dielektrikumElektrisk dipol, polarisation, randvillkor, kapacitans

3.1 DipolenDefinition: dipolmoment fr en laddningsfrdelning (r1) moment med avseende p origoO:

p=) *(r1) dv1r1

*O

r1

som fr punktdipolen blir

p = qd

oberoende av momentpunkt.

o+q

o

-q

d ,

Dipolmomentet r oberoende av momentpunkt , om totala laddningen r noll.

Punktdipolen: Tv laddningar +q respektive -q plitetavstnd d frn varandra, betraktadep stort avstnd (Rd). Lt origo ligga vid dipolen (sfriska koordinater)!

Potentialen

Vdipol

=4/+0R

2

p.R =

4/+0R2

pcos!

:

RE!

ER+

-

p !,

E-fltet:

ER=

4/+0R3

2p cos! E

!=

4/+0R3

p sin!

Exempel: En dipol med dipolmomentet p= zp finns i punkten (0, 0, -a) i ett rektangulrtkoordinatsystem. BerknaEp y-axeln!Anvnd formlerna fr ERoch Eovan (origo vid dipolen)!

Hr r R = y2+a

2

cos!= a/R, sin != y/R

z

y

ER

E!

R

p

a

!,

,

(!

Ey= E

Rsin!+ E

!cos!=

4/+0(y2+a2)

5/2

3pay

= = = = = = = = =

Ez= E

Rcos!- E

!sin!=

4/+0(y2+a2)

5/2

2pa2 - py2

== = = = = = = =

Dipolmoment och moment av hgre ordning ingr i termer, d man t.ex. gr en serieutveck-

ling av potentialen frn en laddningsfrdelning. Man fr en frsta term dr laddningsfrdel-ningen ses som en punktladdning. Nsta term blir en dipolterm o.s.v.

14


21/82

3.2 Polarisation 15

3.2 Polarisation

Nr ett dielektriskt material en isolator utstts fr ett elektriskt flt bildas det dipoler imaterialet - materialet blir polariserat. Eftersom vi behandlar makroskopisk teori, r vi inteintresserade av varje enskild dipol och dess dipolmoment p(litet p).Vi infr i stllet en tthet, dipolmoment/volymhet= polarisationen P(stort P), definieradsom

P = lim'v( 0

.'p____'v

polarisationen, [P] = As/m2

- +'p

P

n

(

En liten volym dv fr d dipolmomentet dp = Pdv. Dipolerna i materialet ger i sin tur upphovtill E-flt och potential. Vi kan rkna med materialets inverkan genom att infra ekvivalentaladdningsttheter,pochps, s.k.polarisationsladdningsttheter.

*p= -%.P polarisationsvolymladdningstthet

*ps

= P.n polarisationsytladdningstthet (As/m2)

(As/m3)

n ut frnmaterialet

Polarisationsladdningarna kallas frbundnaladdningar. De r bundna till dipolerna och ma-terialet av starka inre krafter. Jmfr frialaddningar i metall! I metaller finns ett stort antal fria- lst bundna - ledningselektroner.

Bdefriaochbundnaladdningar bidrar till E-flt och potential. Gauss lag fr E blir t.ex.

)oE.ds= +01)(*f + *p)dv *f+ *p = *t total laddningstthet

Exempel: En skiva med radien a och tjockleken d har homogen polarisation P = zP. Berknapochps!

*p= -%.P= 0 (homogent 0P konstant)

*ps= P.n ={ +P p ovansidan

-P p undersidan

, ,

(

zP

d

a

Vi fr tv laddade cirkulra skivor p avstndet d frn varandra. Flt frn laddad skiva finns t.ex berknat i kursbo-kens lsta exempel 3-9; (Ex 3-8 i Lilla Cheng).

3.3 D-fltet

Ett annat stt att ta hnsyn till det dielektriska materialets inverkan r att infra en ny vektorfrskjutningen D, definierad av

D= +0E+ P [D]= As/m2

Om det rlinjrt (PE) kan man skriva

D= +E= +r+

0E dr +

r(eller 7) = dieltalet (relativa di-

elektricitetskonstanten)

= permittivitet[Man kan ocks infra en konstant, susceptibiliteten e, genom att sttaP=e0E=D-0E= (r- 1)0E

e= r

1

grekiska bokstver = kappa och = chi]


22/82

16 Kapitel 3 Dielektriska material

Gauss lag fr D-fltetblir d

)oD.ds= )*fdv = innesluten friladddningeller %.D= *

f

Kommentar 1: En frdel med denna formulering av Gauss lag r att vi ofta knner denfrialaddningen och kan berkna D.

Att anvnda Gauss lag fr E krver att vi kan berknapoch ps, d.v.s. den bundna laddnin-gen. Detta krver i sin tur att vi knner P. P r oftast inte knd utan beror av E totalsom berorav fri laddning (knd) och bunden laddning (oknd).

Kommentar 2: OBS!fri= 0 betyder inte ndvndigtvis att D=0. Jmfr tv sfriska elektretermed olika riktning p polarisationen. (Elektret = permanent polariserat material.) I bda fallenrfri= 0.I uppgift 3-9 i Exempelsamlingen, en radiellt polariserad sfr, har vi sfrisk symmetri, vilketmedfr att D=0.Om sfren dremot r polariserad i x-led harvi ingen symmetri. Sledesingen Gauss-symmetri

!!!Dds= 0 med D = 0. Se vidare i hftet Ledningar, lsningar... p sidan 10!

Exempel: En metallsfr med radien a har laddningen q. Det omgivande materialet har dieltalet. Berkna E fr R>a!

Vi knner den fria laddningen.dvs q. Gauss lag fr D ger d:

)oD.ds= D(R) 4/R2= q R

a

q 7

(

E =7+

0

D =

4/7+0R2

q R>a

Viktigt resultat: Formler frlinjra dielektriska material, d.v.s. fr material dr dieltaletrkan infras, fr man genom att byta 0 i vakuumformler mot . Vi fr t.ex. E fr en punkt-laddning q:

E =4/+0R

2

q ( E =

4/+R2q

Var frsiktig med potentialen! V=q/4R frutstter att man har samma-material hela vgen till referensen (V=0) !!!

3.4 Randvillkor

I grnsytan mellan tv dielektriska material gller

E1t= E

2t

D2n- D

1n= *

fs

om det finns friyt-laddningstthet *

fsi

grnsytan.nn

D1n D2n

E1t E2t

n utfrnGaussvolymen

, ,

( (

(4

Anvnd Gauss lag fr att f rtt tecken i ekvationen! Med referenser enligt figuren r D1nmotriktad normalen ut frn Gaussvolymen, ni material 1, drav minustecknet.


23/82

3.5 Kapacitans 17

Exempel: Fltvektorerna r vinkelrta mot grnsytan mellan tv dielektriska material (dieltal1resp.2) och D1=D2. Finns det a/ fri laddning b/ polarisationsladdning i grnsytan?

a/ Gauss lag i grnsytan

)oD.ds= (D2-D1)A = *fri,sA(n ut frn Gaussvolymen)

0 *fri,s

= D2-D

1 = = = = = =

D1 D2

n n

n2 n1

71 72( (

(

(

4

4

b/ Polarisationsytladdningstthetps= ps1+ps2= P1 n1+ P2 n2medP= (- 1)0Eoch D=0Eochnut frn resp. material.

0 *ps=

7 1

71-1D1- 7 2

72-1D2 = = = = = = = = = = =

3.5 KapacitansKondensator: Tv ledare med laddning +q resp. -q, oberoende av vriga laddningar i sys-temet. Avskrmade frn eller p stort avstnd frn vriga laddningar.

Kapacitans C ='Vq [C]= F (farad)

dr 'V r potentialskillnaden mellanledarna.

+q

-q+

-'V

Kapacitansberkning:Infrq p ledarna, berkna E, V och C!Physics Handbook har uttryck fr kapacitansen hos plan-, cylindrisk och sfrisk kondensator.

3.6 Elektrostatisk energi och kraft

3.6.1 Elektrostatisk energi fr punktladdningar

We=

2

18i=1

N

QiVi'

dr Vi'r potentialen vid Qip.g.a. alla Q utom Q

isjlv

Q1

Q2

Qi

o

oo

OBS! Detta uttryck innehller inte punktladdningarnas s.k. egenenergid.v.s. energin fr att bygga punktladdningarutgende frnelementarladdningar(e). Denenergin blir ju ondlig , eftersom laddningen skalggas i en matematiskpunkt. Vid vriga laddningsfrdelningar, formler enligt avsnitt 3.6.2 och 3.6.3 nedan har man inte detta problem. Dringr egenenergin.


24/82


3.6.2 Energi fr en laddningsfrdelning (R)

We=1_2 )*(R)V(R)dv *(R)

Nackdel: Vi mste berkna V(R) i laddningsfrdelningen.Frdel: Vidladdade ledareblir energiuttrycket enkelt, eftersom V=konst p ledare:

We=1_2 8 Vledare qledare

Exempel: Kondensatorns energi

+q

-q

1

2

+

-'V

,

6

'V r spnningen (potentialskillnaden)ver kondensatorn

Wkondensator

=21V

+q.(+q) +

21V

-q.(-q) =

21q'v =

21 C ('V)

2=

2Cq 2

= = = = = = = = = = = === = =

3.6.3 Elektrostatisk energi uttryckt med flten

We= 1_

2)D.E dv

v1

Ska integreras ver en volym utstrckt till ondligheten!

3.6.4 Kraft p punktladdning Q i ett elektriskt flt E

F= QE

3.6.5 Elektrostatisk kraft p ett freml

Kraften p ett freml i ett elektrostatiskt system kan berknas p tv stt genom envirtuell(tnkt) frflyttning:

Fx= -

&x&We

9Q = konst Fx= &x&We

9V = konstFx

x( (

Hrledning:

1/ Antagnettoladdningarna r konstanta p metallytorna. Vi har sledes ett isolerat systemutan spnningskllor med qikonstant och Vivariabel.

( FxLt fltkrafterna flytta fremletstrckan :x. Fltet utrttar darbetet :A = Fx:x. Energiprincipenger nu :A + :We= 0

We= ndringen i den elektrostatiska energin i systemet. Insttning avA ger kraften

Fx = Wex Q=konst


25/82

3.6 Elektrostatisk energi och kraft 19

2/ Antag spnningskllor med spnningar Vianslutna till metallerna. Vi har sledes poten-tialerna Vikonstanta.

Energi levererad av spnnings

-kllorna

:Wsp.kllor=.Viii:t = . Vi:qi

:qi

( Fx

VV12

V = 0

Strm i = dq/dt enligt ekv. (1-5) i Cheng.

Den elektrostatiska energin i systemet We=

2

1.Viqi

och ndringen :We=

2

1. Vi

:qi 0 :W

sp.kllor= 2 :W

e

Fltet utrttar arbetet:A=Fx:x

Energiprincipen ger nu :A + :We=:W

sp.kllor= 2:W

e

Kraften fs sledes som

Fx=___ &We&x

;V = konst

Viktigt resultat: Kraft per ytenhet pladdad metall i vakuum

f = 1_2

+0E2= 1_

2 *

fsE dr *fsr (den fria) ytladdnings-

ttheten p metallen

Kraft per ytenhet f = energitthet weutanfr metallen (vakuum)

Exempel: Kraft p kondensatorplatta vid fast resp. flytande dielektrikum.

a/ flytandedielektrikum. Berkningen motsvarar den fr vakuum med0 . Se lst exempel 3-26 i Cheng; (Ex 3-20 i Lilla Cheng)! Resultatet blir

Fx= -

2

1DES = - fS

= = = = = = = = = =S = ytan

6

6

+Q

-QFx

E + vtska

Vidflytandedielektrikum gller att kraft/ytenhet f = weenergittheten utanfr metallen!

b/ fastdielektrikumVid frflyttning av det undrebelgget kommer inte dielek-trikum att fylla hela konden-satorn. Vi fr en luftspaltmed tjocklek x-d.

+Q

-Qx

d E fastdiel +

Fx

+5____________ 66

6

,

Kapacitans fr kondensatorn (tv seriekopplade kapacitanser):

1_C=

+Sd+

+0Sx-d

Energi We=

2C

Q 2 (vi antar att Q=konst)

Fx= -

&x&W e

= -2

Q2

&x&(C

1) = -

2+0SQ 2

= -2+0

D2S= -

2+rDES

= = = =

OBS!Skillnadeni berkning vid flytande resp. fast dielektrikum!


26/82


3.6.6 Kraft, vridande moment och energi fr dipol

Kraft vridande moment och energi fr den dipol i ett yttreelektriskt flt Eyttre:

F = (p.%) Eyttre

kraft p dipolen

T= p #Eyttre vridande moment p dipolen

We= - p.E

yttre energi fr dipol i yttre flt

Exempel: En punktladdning q finns i origo och en dipol med dipolmomentet p = zp i punkten(0,a,a) i ett rektangulrt koordinatsystem. Berkna a/ kraften p q

b/ kraften p dipolen!

a/ Fq= qEvidq= qEdipol

E frn dipolen:

Edipol

= R4/+0R3

2p cos!+ !

4/+0R3

p sin!

a

a

pz

y

E!ER

!

180o-

,

!q

R

Hr r R=a

2, = 135

Ey= -E

Rsin(180-!) + E

!cos(180-!) = ... =

16


27/82

Kapitel 4

Lsningsmetoder i elektrostatikenLsningsmetoder fr elektrostatiska randvrdesproblem:Poissons och Laplaces ekvation, 2-operatorn, numerisk lsning, speglingsmetoden

4.1 Poissons och Laplaces ekvationer

Differentialekvationen fr potentialen V blir

2V = /0 Poissons ekvation, dr r volymladdningsttheten.Iladdningsfritt omrde fr man

2V = 0 Laplaces ekvation

En vanlig problemstllning r, att man knner potentialerna p grnsytorna till ett omrde ochsker potentialen i omrdet dremellan, se fig.!

Att lsa differentialekvationenblir ett matematiskt kompliceratproblem. Vissa typer av problemkan dock lsas med den s kalladeseparationsmetoden. Hr ska vifrst lsa enkla problem genomatt integrera differentialekva-tionen.

V0

V=?

V=0

4.2 Laplace-operatorn

2-operatorn (Laplaces operator, del2-operatorn) r en beteckning fr operationen

div(gradV) = (V) = 2VI rektangulra koordinater fr man

%2V =

&x2&2V

+&y2&2V

+&z2&2V

Uttryck fr 2-operatorn i olika koordinatsystem finns i Cheng (insidan av bakre prmen), iBeta och i Physics Handbook.

4.3 Analystik lsning av Laplaces och Poissons

ekvationer

Se lsta exempel i Cheng: 3-21, 3-22, 3-23 !

4.4 Numerisk lsning till Laplaces ekvation i

tv-dimensionella problem

0 V

100 V

0 V

0 V V=?

a/ RandvillkoretV=konst. p randen:Dirichletsrandvillkor

Utnyttja eventuell symmetri i problemet och berkna potentialen i s litet omrde som mjligt!Lgg in ett kvadratiskt rutnt glest om du ska rkna fr hand.

21


28/82

22 Kapitel 4 Lsningsmetoder

Hrledning av en approximativ lsning till 2V=0:

(

,

u1

u2

u3

u4

u5x

y

Fyra av rutorna i nteta= sida i kvadraten

aa

(u3 u5 u1 x

x=-a x=0 x=a

Teckna derivator av V approximativt!

&x&V

(x=a/2)= au1-u

5,&x&V

(x= -a/2)= au5- u

3

&x2&2V(x=0)=

a&x&V

(x=a/2)-&x&V

(x=-a/2)

=a2

u1+u

3-2u

5

P samma stt fr vi

&y2&2V(y=0) =

a2u2+u4 -2u5 Insttning i %2V=0. ger nu

u1+u

2+u

3+u

4-4u

5_______________a2

= 0 0 u5=_1

4(u

1+u

2+u

3+u

4)

Potentialen i en punkt i rutntet blir sledes 1/4 av summan av potentialerna i punkternanrmast t.h., ver, t.v. och under punkten.

Iterationsmetoden

0/ Anstt potentialer V(0)1 , V(0)2 osv. i alla knutpunkter

1/ Berkna bttre vrden p potentialerna i varje knutpunkt genomV5

(1)=_1

4[V

2

(0)+ V

6

(0)+ V

8

(0)+ V

4

(0)]

V1 V2

V3

V4

V5

V6

V7

V8

V9fr punkten 5, se fig!

Skriv dessa vrden med annan frg i rutntet

2/ Fortstt och rkna fljande approximationer p samma stt! Med dator kan man rkna pett ttare rutnt och gra fler iterationer.

Matrismetoden

Anstt potentialer V1, V2, ... i knutpunkterna. Stll upp ekvationer t.ex.

V5= (V2+ V6+ V8+ V4) /4 fr alla oknda potentialer.Symmetriminskar antalet ekvtioner!

Ls ekvationssystemet! Anvnd matriser, om du har en kalkylator som kan hantera matriser.Se uppgift 5-2 i Exempelsamlingen!

Randvillkoret&V__&n =0 :

ka ut rutntet med en rad punkterutanfr randen med samma potentialsom i punkten nrmast innanfr,

#

#

#

##

#

#

#

#

o

o

o #

V2

V5

V8

V2

V5

V8

aktuelltomrde

,b/ (dvs E// grnsytan)

Gller vid grns mellan ledande och icke-ledande material

i normalens riktning!

Neumannsrandvillkor

Se t.ex. uppgift 6-20 i Exempelsamlingen!


29/82

4.5 Speglingsmetoden 23

Nr man knner V kan man berknaE-fltet approximativt

Ex=

V1-V

2_____h

# #V1 V2

x

h

Ex( (

I datorprogrambetecknasrandvillkorenmedDirichlet: V givet p randen, resp. Neumann:V/ngivet p randen!

4.5 Speglingsmetoden

Berkning av E-flt och potential i vissa typer av problem, nr laddningsfrdelningen p met-allytor inte r knd.

4.5.1 Spegling i metallplan

Exempel: En punktladdning q finns nra ett stort jordat metallplan. Berkna E!

Vi knner q, men inte den indu-cerade laddningsfrdelningen *

s

p metallplanet. Vi kan inteberkna E med tidigare metoder.

*s

#q

Ia

IIa E 0(metall)=Fig a

Speglingsmetoden: Vi erstter laddningsfrdelningen sp metallytan med fiktiva s.k. spegel-laddningar innanfrytan. Spegelladdningarna ska ge samma fltoch potentialbidrag i ak-tuellt omrde, som den verkliga frdelningensger i aktuellt omrde. Se figur b! Enligt enty-dighetssatsen r den funna lsningen den rtta!Entydighetssatsen: En lsning till Poissons/Laplaces ekv. som uppfyller randvillkoren r den enda mjliga. - Bevisasi Cheng: Field and wave electromagnetics.

Exemplet ovan:

Spegelladdningen -q erstterinverkan av metallplanet, nrvi rknar flt och potentiali omrde I = aktuellt omrde

I omrde II r problemen inteekvivalenta

#

#

Ib

IIb

q

-q spegel-laddning

aktuelltomrde

..........................

Fig b

Se ocks lst exempel 3-24 i Cheng!

Exempel: En lng rak metalltrd med radien a och laddningen per lngdenhet befinner sigp hjden h ver ett stort jordat metallplan, ah. Bestm trdenspotential och desskapacitanstill jord!

Spegla linjeladdningen i planet!Spegelladdningen -*l erstter

inverkan av metallplanet.

*l

3 *l

V=0h

ho

aktuelltomrde

Potential frn tv linjeladdningar *l: V =

2/+0

*lln

r+r-

Speciellt p trdens yta: Vtrd

=2/+0

* lln

a2h

= = = = = = = = =Kapacitans mellan trd och jord:

C ='VQ =

Vtrd

-Vjord

*ll =ln (2h/a)

2/+0 l

= = = = =


30/82


4.5.2 Spegling i metallcylinder

Inledning

Jmfr dessa bda fall med cylindergeometri:

1. Tv tunna metalltrdar med radie a, avstnd s och laddning:

(4s

*l- *l- --

--

--

- ++

+

++

++

+

a


31/82


Potentialen p cylindern med radien a blir

Va=

2/+0

*lln

d-a

a-d= ... =

2/+0

*lln

da= -

2/ +0

*lln

ada

2/ Mer komplicerade fall: Tv metallcylindrar med given potentialskillnad:aktuelltomrdemellan cylindrarna.

# #3*l + *l

a2a1

b1d2

d1b2

aktuelltomrdeErstt cylindrarna med

spegelladdningar *lvid berkning av fltoch potentialmellancylindrarna.

(4

(4Beteckna avstndenenligt figuren!b1och d1r avstndfrn axeln i cylinder 1,osv. Vi fr fljande samband:

4 (s

b1d1= a1

2 (1)

b2d2= a

22 (2)

b1+ d

2= b

2+ d

1= s (3), (4) ur fig, s = axelavstndet

# #-*l +*l

d1

d2b2

b1

a1a2

aktomr

ellernr cylinder 2omsluter 1:

b1d1= a12 (5)

b2d2=a22 (6)

b2- b1= d2- d1=s (7)(8)

ur fig, s = axelavstndet

(

(

(

(

4(s

b och d r avstnden frn medelpunkten i den cylinder vi speglar i till respektiveladdning. a r cylinderns radie och s axelavstndet.

Potentialskillnaden nr cylindrarna inte omsluter varandra:

V2-V

1=

2/+0* l ln a

1a2

d1d2 >0 (ty 2 omsluter +*l) (9)

Ls ut produkten d1d2ur ekv. (1) - (4) genom att multiplicera (3) med (4) och eliminera b1ochb2.

0a1a2

d1d2

=2a

1a2

1 [ a1

2- a

2

2-s2

+ ( a1

2- a

2

2-s

2)2- 4a

2a2

2 ]1

(10)

Nr cylinder 2 omsluter 1:

V2-V

1=

2/+0

*lln

a1

d2

a2d1 >0 (ty cylindrarna omsluter -*

l) (11)

Ekv. (5) - (8) lses analogt m.a.p. (d1/d2).

0a1d2

a2d1=

2a1a2

1 [a1

2+ a

2

2-s

2+ (a

1

2+ a

2

2- s

2)2- 4a

2a2

2 ]1

(12)


32/82


Exempel 1: Berkna kapacitansen mellan en metallcylinder, radie a och lngd, och ett stortmetallplan, se fig.!

(D/2

a

Lsning: Jmfr lst exempel 3-25 i Cheng: Tv tjocka metallcylindrar p avstndet D frnvarandra.

( D

a a

Vi har precis halva fltbilden i vrt fall! Tv lika seriekopplade kapacitanser C ska ge C Cheng:1/C + 1/C = 1/CCheng, dr

Ccheng= 0

ln[(D/2a) +

(D/2a)2 1 ]

Man kan ocks anvnda ekv.(9) och (10) p fregende sida och stta a1= a2, d1= d2. Tar docktid att frenkla! -

Exempel 2: I en lng kabel med lngdenligger dentunnainnerledaren frskjuten strckane frn axeln i ytterledaren, se fig.! Innerledaren har radien a och ytterledaren radien b (ab).Mellan dem finns ett isolerande material med permittiviteten. Lggp ledarna!

a/ Berkna ett approximativt uttryck fr kapacitansen mellan ledarna genom att anta e=0!

Berkna ocks kraften mellan dem!b/Antag nu e=0. Gr en exakt berkning av kapacitansen och kraften! Anvnd cylinder-spegling, men antag fortfarande ab!

4(

b

e+

Lsning:a/ Approximativt, antag e=0:

a

b

+4

Vi fr en cylinderkondensator med innerradien a och ytterradiena b. Kapacitansen blir enligtCheng eller Physics Handbook:

C =ln(b/a)

2/+ l

Eftersom innerledaren ligger symmetriskt i kabeln, blir kraften mellan ledarna F=0.


33/82


b/ Antag +p innerledaren med radien a och -p ytterledaren! Innerledaren r tunn sladdningsfrdelningen blir jmn p ledarens yta. Vi kan d tnka oss koncentrerad till axelni innerledaren. Eftersom +inte lngre ligger centrerad i kabeln fr vi en ojmn laddnings-frdelning p insidan av ytterledaren. Spegla drfr ut +! Blir -p avstndet d = b2/e.

#*l - *l

((

b

aktomrde

d

e

Teckna nu potentialen p innerledaren resp. ytterledaren, bda i aktuellt omrde!Tecknade p ytan av resp. ledare med uttrycket ln(r/r+).

Vinner

=2/+

*lln a

d-e; V

ytter=

2/+

*lln b-e

d-b

C =Vinner

- Vytter

*ll

=

ln

ab

b2-e22/+ l

Om vi lter eo fr vi samma resultat som i a/.

Kraften: Vi fr rtt E-flt i aktuellt omrde med hjlp av +och spegelladdningen -. Vi kandrfr teckna kraften p innerledaren som kraften mellanp avstndet d-e.

Finner

= r *ll2/ +(d-e)

*l

= r2/+(b2-e2)

*l

2le

e 0 F=0 som i a/.


34/82

Kapitel 5

Stationr strmningHittills har vi studerat laddning i vila. Laddning i rrelse, strm i = dQ/dt. I detta kapitel be-handlas strmtthet, resistans, spegling, randvillkor och resistansberkning. Vi studerar hu-

vudsakligen ledningsstrmi stationrtillstndet (steady state). Strmmen r d konstant itiden likstrm.

Ledningsstrm (conduction current): driftrrelse av laddning, t.ex. elektroner i metall. elektrostatiskt neutralt

Konvektionsstrm (convection current): masstransport, t.ex. av elektroner i vakuum i ett elek-tronrr ej elektrostatiskt neutralt.

5.1 Strmtthet

Antag att vi har N st laddnings-brare/volymenhet med laddningenq och hastigheten v.Definition av strmtthet

o

oo

q

qq

v

v

v

ds

J

(

J= . Niqivi [J]= A/m

2J= *v fr ettslags laddningsbrare

*= volymladdningstthet

summerat fr elektroner,joner, hl

Strm genom yta i = JJ.d) s

Ledande materialDet som driver strmmen i en ledare r ett elektriskt flt i ledaren.I elektrostatiken hade vi E=0 i ledare.Samband mellan strmtthet och elektrisk fltstyrka frledningsstrm:

J= >E Ohms lag, dr >= konduktiviteten[>] = A/Vm = S/m (siemens/m)

JE

((

E-flt och potential frn strmelektroder:Strmmen ledes till elektroden och flyter sedan ut i materialet med konduktiviteten .

Sfrisk elektrod:

E =4/>R

2

i V =

4/>R

i (V

1=0)

R

i

>

R

E-flt frnen linjeelektrod med lngdenvinkelrt mot papperets plan:

Er=_____i

2/ > lrr

i

>

Potential frntv linjeelektroder enligt figuren:

V =2/ >li

lnr+r- ii

r+r-

VJmfr motsvarande uttryck i elektrostatiken!I analogi med beteckningen qkan vi skriva i p elektroderna

r+ r-

+i -i

V28


35/82

5.2 Resistans 29

5.2 Resistans

Definition avresistans:

R =__'Vi

[R] = V/A = ?

+ -'V

i(

Resistansberkning r analog med kapacitansberkning: Lgg spnning mellan elektroderna strm i. Berkna J, E, V och slutligen R = V/i.Analoginmellan resistans- och kapacitansberkning ger vid samma geometriRC =/ frutsatt att fltbilden r likai de bda fallen! Se avsnitt 4-6 i Cheng!

Man fr enkelt resistansen, om man redan har berknat kapacitansen fr en viss geometri pelektroderna.

Exempel: Tv sm metallkulor med radien a finns p avstndet d frn varandra i ett materialmed konduktiviteten . Berkna resistansen mellan kulorna, da !

Lt strmmen i flyta imaterialet frn elektrod1 till elektrod 2 d>

i i1 2

2a4 (

.....

.

Fren sfrisk elektrod r strmttheten J riktad radiellt ut. Lgg en integrationssfr med radi-en R runt elektroden och integrera!

i = )J.ds = J 4/R20J =

4/R2

i och E =

>J=

4/>R2

i

och potentialen frn enelektrod

V(R) - V1=)

R

1

E.dr =4/>R

i

I vrt problem fr vi nu potentialen p kula 1 genom superposition av potentialen frn +i pkula 1 och -i p kula 2:

V1=

4/>ai

-4/>di

= - V2 0 R =

i

V1- V2=2/ >1

[ a1- d

1]

= =

= = = = = = =

Symmetri ger att V2= -V1!

5.3 Spnningskllor

En stationrstrm bestr av laddningar som rr sig med konstant medelhastighet. Den sta-tionra strmmen flyter i en sluten krets (vg). Om vgen inte r sluten skulle laddning ackumulerasngonstans. Dessa ackmulerade laddningar skulle ge ett vxande elektriskt flt som ndrar strmmen. D r det intelngre ngon stationr strm.

Ettelektrostatisktflt kan inte tillfra energi till en laddning q som rr sig i en sluten krets,eftersom Wtillf= q

E dl= 0, ty

E dl= 0 fr det elektrostatiska fltet. E = 0 fr elektro-

statiska flt. Kallas ocks konservativt flt

Fr att enstationrstrm ska flyta i en ledare behvs ngot som driver strmmen ett E-fltfrn enspnningsklla. Ledaren blir ocks varm, drfr att elektroner kolliderar och energifrloras. Eller ocks vill man anvnda energi till ngon belastning, t.ex. en motor. Denna ener-gi mste komma ngonstans ifrn frn en spnningsklla. Spnningskllan kan t.ex. utgrasav ett batteri, en generator, en solcell.


36/82

30 Kapitel 5 Strmning

Icke-elektriska krafter, t.ex. kemiska i ett batteri, kan representeras av ett (icke-konservativt)elektriskt flt Eiinne i spnningskllan. Index istr frimpressed= ptryckt. Spnningskl-lans spnning (=emk = elektromotoriska kraft) definieras avV=

12Eidl, se figur 1!

Laddningarna + och - i spnningskllan ger ett elektrostatiskt flt E bde utanfr och inne ikllan.

+

+

+

+

- - - -, 6Ei E

2

1

R

i(

E Figur 1 En spnningsklla.ppen krets som kan slutas via R.

Om kretsen rppenflyter ingen strm i kretsen eller genom kllan. D msteEi+ E = 0 ochV =

12Ei dl =

12E dl=

21E dl= V1 V2= potentialskillnaden mel-

lan polerna i batteriet. Detta gller fr en obelastad spnningsklla eller fr en belastad idealspnningsklla, d.v.s. utan inre frluster.

Nr mansluterkretsen med en resistans mellan 1 och 2 kommer en strm att flyta runt i kret-sen. Processer i batteriet upprtthller fltet Ei. Samband mellan spnning och strm i kretseni detta fall behandlas i nsta avsnitt.

5.4 Kirchhoffs spnningslag

Antag att kretsen i figur 1 r sluten s att strmmen i flyter i resistansen och genom kllan.Spnningskllan antas ha inre frluster. I kllan fr vi nu en strmtthet

Ji=i(E + Ei) i kllan och J = E utanfr. Eifinns bara i kllan.Vi kan nu infra en inre resistans Rii kllan genom1

2 viakallan(E + E

i)dl= Jii/i = ii/iSi = Rii (1)

P motsvarande stt fr vi fr integralen av E genom R:21 utanfor

E dl= J/= i/S = Ri (2)

Vi har antagit homogent flt i kllan: lngd li, tvrsnittsyta Sioch konduktivitetioch motsvarande fr resistansenR. Ledningarna frn 1 och 2 till R antas ideala, d.v.s. frlustfria.

Teckna nu

(E + Ei)dl=

E dl

=0

+Eidl=

12E

idl= V (3)

Men den slutna linjeintegralen i VL i ekv. (3) kan skrivas12viakallan

(E + Ei)dl +

21 utanfor

(E + Ei=0

)dl= Rii + Ri =V

med anvndande av ekv. (1), (2) och (3). Vi fr nu

V= Rii + Ri Kirchhoffs spnningslag

I kretstekniken skriver man ofta lagen som V+ Rii + Ri = 0.

Vi kan rita den ekvivalenta kretsen i figur 2.

V

(

Ri

i

R

1

2

+

-

Figur 2 Ekvivalent krets frspnningsklla (med inre resis-tans) mellan punkterna 1 och 2,ansluten till en resistans R.


37/82

5.5 Kontinuitetsekvationen. Kirchhoffs strmlag 31

5.5 Kontinuitetsekvationen. Kirchhoffs strmlag

Laddningen r ofrstrbar. Det kan uttryckas s hr: Om strm flyter ut frn en volym msteladdningen i volymen ha minskat. Som ekvation: i =

SJ ds= d

dt

Vdveller med med di-

vergensteoremetV Jdv =

tdv. Detta uttryck ska glla fr alla volymer, d.v.s.

J=

t kontinuitetsekvationen

Frstationra strmmar r/t= 0 och J= 0 eller i integralformSJ ds= 0 (1).

Tillmpa nu ekv. (1) i en knutpunkt i ett nt.

kik= 0 Kirchhoffs strmlag

Summan av alla strmmar som flyter ut frn en knutpunktr noll :i1 i2+ i3= 0 i figuren t.h.

i

i2

i31

5.6 Effektutveckling. Joules lag

P = EE.J dv =( __dW

dt, W=energi) Joules lag

[P]= W (watt

)

)

5.7 Randvillkor

Vid grnsytan mellan tv material med olika gller:

E1t= E2t

J1n= J

2n

J2nJ1n

E1t

E2t

>1 >2

( (

, ,

5.8 Spegling

Speglingsmetoden fungerar som i elektrostatiken vad gller metallytor, =. I frga omstrmning tillkommer spegling i isolerande grnsyta,= 0.

Spegling imetall mycket gott ledande yta:

motsattriktning p strmmeni spegelbilden (motsatt teckenp spe gelladdn nnge i )

ledningsfrmga >i hela rummet

oo

> metall (>=1)

spegelkllai -i............

.......

(

(

(

strmlinjer @grnsyta t J

i elstatikenill metall

Spegling iisolerande yta:

sammariktning p strmmeni spegelbilden (ingen mot-svarighet i elektrostatiken)

>i hela rummet

oo

> isolator (>=0)

+i +ispegelklla....

...

.......

,

6

J

strmlinjer // grnsyta till isolator


38/82


Exempel: Berkna resistansen mellan tv lnga metalltrdar (radie b, lngd ) i en vtskamed ledningsfrmgan. Trdarna finns p djupet a under vtskeytan, ba.

Lt strmmen i flyta mellanelektroderna. Spegla i iso-lerande yta - samma riktning(tecken) p strmmen i spe-gelbilden -.

luft

tska

>

2a

a

i i

aktuelltomrde

4 (

,

6

v

Potential p trd 1

V1=2/>li

lnb

2a+

2/>li

ln2a

2____ .................

aktuelltomrde

(4

,

6

Resistansen R =i

V1- V2=/>l1ln

b2Al

l

i A(

2/ Inhomogenstrmfrdelning (exaktberkning)Metod: Vlj ett litet volymelement, se fig., med lngden i strmmens riktning och ytanA strmmen. Rkna med homogen strmfrdelning i det lilla volymelementet. Detta rmjligt i de fall d vi matematiskt kan beskriva strmlinjer och ekvipotentialytor i en godty-cklig punkt i kroppen.

'R => 'A

' l =

'G1

'R resistans 'G konduktansfr elementet

l

'A

'

i

,

(

verg till differentiella storheter och integrera!

element i serie: Rserie

= )dR

element parallellt: Gparallell

= )dG

B. Approximativ resistansberkning

Inhomogenstrmfrdelning. Om man inte kan gra en exakt berkning av resistansen kanman i stllet berkna envre och en undre grnsfr den verkliga resistansen R:

Ansats 1: Annan strmfrdelningn den verkliga. Strmmen tvingas i andra banor, genomtunna skikt med R=, p sdant stt att vi enkelt kan berkna resistansen analytiskt. Dennaresistans blir dock fr stor, d.v.s. vi har ftt envre grns Rovre.

Ansats 2: Andra ekvipotentialytorn de verkliga. Vi tvingar fram nya ekvipotentialytorgenom tunna skikt med R=0, s att vi enkelt kan berkna resistansen. Denna resistans blirdock fr liten, d.v.s. vi har ftt enundre grns Rundre.

En kning av konduktiviteten i ngon del av en ledare medfr en minskning av ledarenstotala resistans och omvnt!


39/82

5.10 Ytstrmtthet, ytresistans 33

Exempel 1: Berkna resistansen mellan metallsfrerna med radierna a resp. b genom att inte-grera Rcell= /A !Strmmen flyter radiellt.Ekvipotentialytorna r sfrer.

Vlj drfr volym

elementet:ett sfriskt skal med radien r

och tjockleken dr

Lngd i strmmensriktning dl=dr,yta@ strmmen 4/r2

>

a

br

(

Resistans fr volymelementet dR =>4/r2dr

Element i serie R =)a

b

>4/r2dr

=4/>1 [ a

1 - b1 ]

= = = = = =

Exempel 2: Berkna en vre och en undre grns till resistansen fr ledaren enligt figuren!Tvrsnittsytan r kvadratiskt.

ra

a

l

l

a/ vre grns: antag en annanstrmfrdelning n den verkliga,t.ex. kvartscirkelbgar i hr-net. Elementets lngd rl +r//2+ l, dess bredd dr ochyta adr.

Konduktansen fr elementet dG =2 l +r//2

>adr ,

G =)0

a

2l+ r//2

>adr=

/2>a

ln[1 +4l/a

] =Rvre

1

= = = = = = = = = = = =

parallella element

b/ Undre grns. Vlj en annan potentialfrdelning n den verkliga. Lt t.ex. hrnet varaondligt gott ledande.

R = 2

>a2

l = Rundre

= = = = = = l l

a

a

Kommentar: Andra approximationer av strmfrdelningen resp. ekvipotentialytorna ger n-got annorlunda vre och undre grns.

5.10 Ytstrmtthet, ytresistans

Fr ett rtblock med lngden , bredden b och tjockleken d fr vi strmtthet och resistans som

strm i =)J.ds = Jbd0strmtthet J =__i

bd(A/m2)

Resistans R =___l

>bd

l

b

d ( J >

homogen strmfrdelning

b,d @strmmen

Om tjockleken d0:

l

d

bJs(

d(0 0strmmen flyter p

en yta 0ytstrmtthetJs

i = )J.ds= Jsb 0 Js = bi (A/m)

Resistans R = sbl

s = ytresistans(ytresistivitet) [s] = ?

b = enda dimension @i

,

Jmfr de bda uttrycken fr R! Samband s = 1/d !


40/82


5.11 Tvdimensionell strmning

4

3

2

1> ).R12= resistans mellan ytorna 1 och 2

R34= resistans mellan ytorna 3 och 4

Den tunna skivan enl.fig. har ytresistivitetens (eller tjockleken d och konduktiviteten

Vidtvdimensionell strmning gller detta samband:

R12R34= s

2=(>d)21 Fltlinjer och V=konst-linjer (@mot varandra)

r ombytta i det andra fallet.

5.12 Numerisk resistansberkning

Numerisk berkning av resistans sker p samma stt som numerisk berkning av kapacitans.Se t.ex. uppgift 5-1 i Exempelsamlingen!I fallet resistansberkning har man ett ibland ett randvillkorV/n= 0 p randen.

Strmmen flyter parallellt med randen vid grnsyta till isolerande material. Hur man anst-ter potentialer i detta fall har behandlats tidigare, se s. 22!I uppgift 6-19 och 6-20 i Exempelsamlingen har man detta s.k. Neumann-randvillkor.


41/82

Kapitel 6

Magnetostatik i vakuumMagnetostatik = magnetflt frn likstrmmar. Flten ndras ej i tiden.I detta kapitel behandlar vi bl.a. Lorentzkraft, Amperes lag, vektorpotential, Biot-Savarts lag

6.1 Lorentzkraft

P laddningen q med hastighetenvi magnetfltetBverkar den magnetiska kraftenFm= q(vB).Vi kan definiera B-fltet med hjlp av kraften p en liten testladdningFm/q =vB,i analogi med vr definition av E-fltet i avsnitt 2.3 p s. 6.

Med bde elektriskt och magnetiskt flt fr vi kraften p q

F= q(E +v B) Lorentzkraften[B] = Vs/m2 = Wb(weber) /m2 = T (tesla)

Partikelrrelse

Exempel 1: Laddade partiklar, alla med laddningern q, men med olika hastigheterv= yv0 , kommer in i ett omrde med E- och B-flt enligt figuren. Vilken hastighet har departiklar, som fortstter i y-riktningen och gr igenom hlet i skrmen?

Lsning:Laddningarna pverkasden elektriska kraftenFe= qE= x qE

De laddningar som harhastighet endast i y-ledpverkas av

Fm= q(v

oy #B) = -x qv

oB

o

o

o vo

E # B

.

x

yz

6

6

( (

Om banan ska vara ofrndrad msteFe+Fm= 0, d.v.s. v0= E/B

Kommentar: Rrelse i enbart B-fltger kraft Fm= qv B, vinkelrtt mot bde B-flt ochpartikelbana, vilket medfr att |v| , farten, r konstant.

En rrelse iE-flt ger kraft p partikeln i banans riktning och tillskott i rrelsenergin, vilketanvnds fr att accelerera laddade partiklar.

Exempel 2: En partikel (massa m, laddning q) befinner sig i vila i origo vid t=0 i statiska E-ochB-flt, se fig.! Bestm partikelns bana och maximala avstnd till x-axeln!

x

z

q

,E0 .

B0 BV: t=0, x=y =z=0,

vx=vy=vz=0

Rrelseekvationen blir

m__dv

dt= F = q(E + v #B) = q[z E

0+ vx vy vz

x y z

0 -B0 0

] Dela upp ikomponenter!

x: mdt

dvx= qvzB0; y: m

dt

dvy= 0 ; z: mdt

dvz= q(E0-v

xB0)

Infr= qB0/m (1)

35


42/82

36 Kapitel 6 Magnetostatik i vakuum

dt__dvx =Av

z (2)

dvy___dt

= 0 (3)

dvz___dt

=___qE0m - Avx(4)

_ med lsning (3): vy= konst= v

y(t=0) =0

dy__dz

= 0 0 y= konst = y(t=0)= 0

0 Rrelse enbart i xz - planet!

d/dt p ekv. (4) och insttning av (2) ger

dt2d2vz= -A

dt

dvx = -A2vz

= = = = = = =

med lsningen vz= k

1cosA t + k

2sinA t (5)

vz(t=0) = 0k

1=0, (5) och (4):

dt

dvz= Ak2cosAt= m

qE0 -Avx

som fr t=0 blir A k2= qE

0/m 0 k

2= E0/B0

= = = =

= = = = = =0 v

z= (E

0/B

0)sinAt

= = = = = = = =(6)

Integrera (6) och anvnd BV 0 z = AB0

E0 (1 - cosAt)

= = = = = = = = =

(7)

Stt in ekv.(6) i (2), integrera och anvnd BV 0

vx=B0

E0 (1-cosAt) (8) och x =AB0

E0 (At- sinAt) (9)

= = = = = = = = = = = = = = = =

Med hjlp av vzoch vxeller z och x kan vi ocks skissa banan (en cykloid)Ekv. (7) ger max avstnd till x-axeln zmax = 2E0/B0

z

,E0

.

B0

...........................

6.2 Postulat

Frmagnetostatik i vakuumgller fr B-fltet:

%.B= 0 och %#B = 0J i differentialform eller

)o B.ds= 0 och )o B.dl= 0i i integralform

dr Jr strmttheten, i strmmen och 0= 4/.10-7

Vs/Ampermeabiliteten fr vakuum

6.3 Amperes lag

Sambandet mellan linjeintegralen av B runt en sluten vg och strmmen genom den yta, sombegrnsas av den slutna vgen.

)oB.dl= 0)J.ds=

0iomsluten

Amperes lag i integralform

dlgiven 0 ds enl.fig. B

ds

dl

i

,,

Samband mellan omloppsriktningen dloch riktningen p ytvektorn dsfs som tidigare enligthgerhandsregeln: fingrarna i dl-riktningen medfr dsi tummens riktning!


43/82

6.4 Magnetiskt flde 37

Fr en ondligt lng rak ledare fr man t.ex.

B$2/r = 0iomsluten= 0i

0B

$

=

2/r0i .i B$

Kommentar: Amperes lag r bra vid symmetri, exempelvis fr ondligt lng rak ledare,ondligt lng spole, koaxialkabel, toroid en motsvarighet till Gauss lag i elektrostatiken.

Exempel: Strmmen i flyter i axelriktningen i ett tunt, lngt, halvt cylindriskt skal med radiena. BerknaBp cylinderaxeln!

Vi delar upp ledaren i tunna raka ledare, s att vi kan anvnda den frdiga formeln fr B frntunn lng rak ledare ovan!

di

i

.

.a x

y

Bd

Strm i elementet med bglngden ad

di = i ad//a vilken ger magnetfltet

dB = di/2/ao

dB r vinkelrt mot radien a

Dela upp dBi komponenter: dB= dB (x cosB - y sinB)och integrera.

B =2/2a0i )

0

/

(x cosB - y sinB) dB=2/2a0i (-2y ) = - y

/2a0i

= = = =

6.4 Magnetiskt flde

Definition: magnetiskt fldegenom en yta

C= )B.ds [B] = Vs = Wb (weber)d

B

s(

Exempel: Likstrmmen i flyter i en lng rak ledare 1. Berkna fldet genom en yta 23 medlngdenvinkelrtt mot papperets plan, se fig.! Radiella avstnden frn 1 till 2 resp. 3 r r12och r13.

i

2 3

3'

BdS

1x

Io

B-fltet frn den lnga raka ledaren 1: B =2/r0i

B-linjerna r cirklar runt om 1, se fig.!

Fldet genom 2-3: C= )2-3

B.ds

Br ej parallell med dsp ytan 23 och integralen blir inte heller s enkel som med detta knep:

Det r ett och samma flde , som flyter mellan de bda cirkelbgarna genom 2 resp. 3. Det r

lttare att berkna fldet genom yta 23 i stllet! P 23 r ds ochBparallella och ytelementetds =dr.

C= )2-3'

B.ds= 2/0i)

r12

r13

r1ldr = 2/

0illn r12

r13

= = = = = =


44/82

38 Kapitel 6 Magnetostatik i vakuum

6.5 Vektorpotential

Eftersom B= 0 och ( A) 0, kan vi infra en vektorpotential genom B= A[A] = Vs/m

I magnetostatiken vljer vi A= 0 VektornAr drmed bestmd, eftersom vi knner dessrotation och divergens Helmholtz teorem.

Fr enstrmfrdelning J(R1) fr man fljande uttryck frA:

A(R2) =

4/

0) R

12

J(R1)dv

1 R1 R 12

R 2

J(

Fr entunn strmfrande ledaremed strmmen i fr man

A(R2) =

4/0i)o R

12

dl1 dl1 = lngdelement i strmriktningen

Kommentar: Om strmmen flyter i enriktning kommerAatt fsamma riktning.

Strm i i $ -led ger

A= $ A$ i

Frdelmed vekorpotentialen: Integralen frAr ofta lttare att berkna n motsvarande frB-fltet (Biot-Savarts lag). NrAr berknad, fr manBsomB= A.Viktigt resultat: Flde genom en yta kan berknas direkt med A-vektorn integrerad runtomkretsen till ytan.

C= )B.ds= )oA.dl dsdl (6

6.6 Biot-Savarts lag

B-flt frn en strmslinga med strmmen i1:

dB=4/

0.

R122

i1dl

1#R

12

R1 R

B

2

R 1dl1i1 # d

2

Integrera runt slinga 1 fr att fB(R2) =

dB

Att gra detta r jobbigare n du tror! Anvnd i stllet de frdiga formlerna nedan, ommjligt! De finns med i formelsamlingen.

Viktiga resultat:a/ Flt frnrak del av strmfrande ledare

B =4/a

0i(cos !

1+ cos!

2) #B

!2

!1

ai

b/ Fltp axeln till cirkulrt varv

Bz=

2(z2+a

2)3/2

0ia2

a

i

z(


45/82

6.7 Kraft p ledare i B-flt 39

c/ Fltp axelntillcirkulr spole

Bz=____

0Ni

2 l(cos"

1+cos"

2)

l

. . .

# # #

,

4 (

( )

"1 "2

i

a

z

N varv

(

d/ Flt frn ondligt

lngspole, d.v.s.

a, med Amperes lag

Bz=

0Ni/l ra

homogent flt i spolen

inget flt utanfr spolen

.

B

i

i

B

. .

.i

. B

Skiss av flt frn cirkulr strmslinga resp. spole. Strmriktningen i de cirkulra varven symboliseras av resp. ifigurerna. OBS! B-linjer r alltid slutna linjer, tyB= 0.

6.7 Kraft p strmfrande ledare i B-flt

Kraft p en ledare med strmmen i2:

F2= )o i2 dl2 #B

i2 dl2B

#

(

Kraft p volymen V med strmttheten J:

F= )VJ #B dv # BJ(

6.8 Magnetisk dipol

Definition: magnetiskt dipolment m

fr en cirkulr strmslinga med radien a

m= n i/a2

,

(i

a

m

Magnetisk dipol liten strmslinga betraktad pstort avstndRa.Vektorpotentialen blir

A

dipol=

4/R20m# R

= $4/R2

0msin!

vilken ger B-fltet (B=%#A)

RB!

BR

i

m ! x$

,

B= R4/R3

02mcos!+ !4/R3

0msin!m= z m

JmfrEfrn en elektrisk dipol, se s. 14!

Kraft, vridande momentochenergifr en magnetisk dipol i ett yttrefltByttre:

F= (m.%)Byttre kraft p dipolen

T=m#Byttre

vridande moment p dipolen

Wm= -m.B

yttremagnetisk energi fr dipol i yttre flt


46/82

Kapitel 7

Magnetostatik med magnetiska materialMagnetisering, H-flt, magnetkretsar, randvillkor

Atomra strmmar i material utgr magnetiska dipoler, vilka ger magnetflt. Om dipolernar slumpmssigt orienterade, fr vi inget resulterande flt.Magnetmaterial: Material som blir magnetiserade av yttre flt. De slumpmssigt orienteradedipolerna pverkas av vridande moment p grund av det yttre fltet och stller in sig i fltetsriktning, vilket ger resulterande flt p grund av dipolerna. Det kan ocks vara material som r permanent magnetiserade permanentmagneter.

7.1 Magnetisering

Betrakta en liten volym v i ett magnetiserat material och summera de atomramagnetiska momenten i v till m.Definition avmagnetiseringen M= dipolmoment/volymenhet en makroskopisk

storhet:

M= lim'v(0 'v

'm

[M] = A/m

'm

M(

(

Vi kan rkna med materialets inverkan genom att infra ekvivalenta strmttheterJmochJms,magnetiseringsstrmttheter.

Jm= % #M strmtthet

Jms=M# n ytstrmtthet nut frnvolymen

M

nA/m

A/m2

Bdede ekvivalenta strmmarna Jmoch Jmsochde verkliga (vanliga, fria) ledningsstrmmar-na Jfrioch Jfrisbidrar tillB-fltet.

Amperes lag fr Bblir t.ex.

)oB.dl= 0)(Jm+ Jfri).ds eller %#B= 0(Jm+Jfri)Vidpermanent magnetiserat material (utan extra strmlindning) rJfri= 0.

Exempel: Jmfrelse av cylinderspole och cylindrisk permanentmagnet:

a/ Cirkulrcylindrisk spolemed radien a, lngden L och N varv med strmmen i

(a

i

4 (L

z ytstrmtthet

N varv

J s= $ Ni/L

p z-axeln B= z____ 0Ni

2L(cos"1+ cos"2)

b/ Permanent magnetiserad cylinder, magnetiserad i z-led. Dimensioner samma som spoleni a/ men utan strmlindning:

M=zM0, med M0= konstErstt magneten med ekvivalenta strmmar: I volymenJm= M= 0, ty M0= konst.P ytan av materialet ytstrmttheten

Jm s

= M#n= M0z # r = $ M

0 (A/m)

M( ( z

4 (L

aJ ms ( zekvivalent med

Forts. p nsta sida!

40


47/82

7.2 H-fltet 41

Jmoch Jmsger B-fltet. Hr har vi analogi mellan Jmsp cylinderytan och spolen i fallet a/.Jmsmotsvaras av Ni/L. Vi fr drfr B-fltet p magnetens axel

Bmagnet

= z2

0M0 (cos"1+cos"

2)

H fs ur H =0

B-M

Se t.ex. Exempel 8-2 i Exempelsamlingen!

7.2 H-fltet, magnetisk intensitet

B

H

Ett annat stt att ta hnsyn tillmagnetmaterialets inverkan r attinfra en ny vektor H, definieradgenom

H = 0B-M H-fltet, [H] = A/m

Om det rlinjrt, d.v.s. MH, kan vi infra en konstant, permeabiliteten.B=

0(H +M) = H=

r0H

dr r(eller D) = permeabilitetstalet

relativa permeabiliteten

[]=

Vs/Am

,

B

H

[Man kan ocks infra en konstant, den magnetiska susceptibilitetenm, genom att sttaM=mH= (r-1)H m=r 1]Ferromagnetiskamaterial (jrn, nickel, kobolt) harr1. Amperes lag fr H-fltetblir nu:

)o H.dl= )Jfri.ds eller % #H= Jfridr Jfri r den fria (vanliga) strmttheten.

Kommentar: Frdelen med denna formulering av Amperes lag r att vi ofta knner den van-liga strmmen och kan berkna H. Att berkna Jmoch Jmsfordrar att vi knner M.

OBS! Jmoch Jmsger B-fltet! H fs urB=0(H+M)

Hr gller ocks motsvarande som fr dielektriska material. Att Jfri=0 behver inte innebraatt H=0: En permanentmagnet har inga fria strmmar.

Hdl=0. Men H=0.

7.3 Magnetkretsar

En magnetkrets bestr av magnetiskt material, som leder fldet. Magnetiseringen stadkommesmed en eller flera strmfrande lindningar eller ocks anvnder man permanent magnetiseratmaterial. Vi studerar enbart linjra magnetkretsar i kursen.

Linjra kretsar, B=H (=konst)H

B

Hrledning av en analog elektriskt krets:Betrakta nedanstende magnetkrets! Berkna fldet 1!

lk

l1

l

2

l3

............ .............

............

.

............

......

......

......

....

......

...

.........

,

6

( 4

4(

E E

E

C3C2

C1

medelvg fr fldet

i del k av kretse

n

n

Sktvrsnittsyta fr

fldet

S2

(i

N varv

k permeabilitet fr

del kav kretse


48/82

42 Kapitel 7 Magnetostatik med magnetiska material

Tillmpa Amperes lag

Hdl= iomslutenp slutna slingor i kretsen och attBds= 0 i knut-

punkterna.Rkna med medelvgen k i jrnet fr fldet. Antag ocks att fldet r jmnt frdelat vertvrsnittsytan Sk. Lckningen frsummas, d.v.s. allt flde flyter enbart i magnetmaterialet.

C1= C2+ C3 (1)

Bk= Ck/Sk k=1,2,3 (2)

Bk= kHk (3)

)1-2

H.dl = H1l1+ H

2l2= Ni (4)

)3-2

oH.dl= H3l3- H

2l2= 0 (5)

o

(2) och (3) insttes i (1): 1H1S1= 2H2S2+3H3S3 (6)Ur ekv. (5) H3= H22/3 insttes i (6). Ls ut H22

H2l2=

l2

2S2+l3

3S3

1H1S1=

l2

2S2+l3

3S3

H1 l11S1

=

F 21 + F 3

1

H1 l1 F 1

1

l1 =

F1(F2+F3)

H1l1

F2

F3

(7)

dr beteckningen Fk= lk/kSk infrts. (7) ins. i (4) 0

H1l1=

1 +F1(F2+F3)

F2F3

Ni

och slutligen C1= B1S1= 1H1S1=

=

l1

1S1 .

1 +F1(F2 +F3)

F2 F3

Ni=

F1 + F2+F3F2F3

Ni

= = = = =

Denna ekvation kan vi tolka som erhllen ur enekvivalent elektrisk kret

Documents

Sammandrag - Elektromagnetism