SAMMANFATTNING TAMS79

Matematisk statistik, grundkurs

LÄST SOM EN DEL AV CIVILINGENJÖRSPROGRAMMET I INDUSTRIELL EKONOMI VID LITH, HT 2015

Version: 1.0 Senast reviderad: 2016-02-01 Författare: Viktor Cheng

Sida 2 av 16

Innehållsförteckning

Grundläggande sannolikhetsteori ................................................................................................................... 4

Mängdlära ....................................................................................................................................................... 4

De Morgans lagar ............................................................................................................................................ 4

Kolmogorovs axiom........................................................................................................................................ 4

Regler.............................................................................................................................................................. 5

Klassisk sannolikhet ........................................................................................................................................ 5

Kombinatorik.................................................................................................................................................. 5

Betingad sannolikhet ....................................................................................................................................... 6

Regler.............................................................................................................................................................. 6

Lagen om total sannolikhet ............................................................................................................................. 6

Bayes sats ........................................................................................................................................................ 6

Oberoende händelser ...................................................................................................................................... 6

Diskreta stokastiska variabler (slumpvariabler)............................................................................................. 7

Sannolikhetsfunktion....................................................................................................................................... 7

Fördelningsfunktion ........................................................................................................................................ 7

Väntevärde och varians ................................................................................................................................... 8

Diskreta fördelningar ....................................................................................................................................... 8

Kontinuerliga stokastiska variabler (slumpvariabler) .................................................................................... 9

Täthetsfunktion............................................................................................................................................... 9

Fördelningsfunktion ........................................................................................................................................ 9

Väntevärde och varians ................................................................................................................................. 10

Kontinuerliga fördelningar............................................................................................................................. 10

Standardiserad normalfördelning ................................................................................................................... 10

Regler för normalfördelning .......................................................................................................................... 10

Diskreta tvådimensionella stokastiska variabler (𝜲,𝒀) ................................................................................11

Simultan sannolikhetsfunktion ...................................................................................................................... 11

Fördelningsfunktion ...................................................................................................................................... 11

Marginella sannolikhetsfunktioner ................................................................................................................. 11

Marginella fördelningsfunktioner................................................................................................................... 11

Oberoende s.v. .................................................................................................................................................11

Kontinuerliga tvådimensionella stokastiska variabler (𝜲,𝒀) ...................................................................... 12

Simultan täthetsfunktion ............................................................................................................................... 12

Fördelningsfunktion ...................................................................................................................................... 12

Marginella täthetsfunktioner .......................................................................................................................... 12

Marginella fördelningsfunktioner................................................................................................................... 12

Oberoende s.v. ................................................................................................................................................ 12

Sida 3 av 16

Tvådimensionella stokastiska variabler (𝜲,𝒀) ............................................................................................. 13

Väntevärde .................................................................................................................................................... 13

Varians .......................................................................................................................................................... 13

Kovarians...................................................................................................................................................... 13

Korrelation.................................................................................................................................................... 13

Simultana fördelningar av oberoende s.v. (𝜲,𝒀) .......................................................................................... 14

Betingade fördelningar .................................................................................................................................. 14

Betingad sannolikhetsfunktion för diskreta s.v............................................................................................... 14

Betingad täthetsfunktion för kontinuerliga s.v. .............................................................................................. 14

Betingat väntevärde ....................................................................................................................................... 14

Användbara olikheter ..................................................................................................................................... 14

Summor av oberoende stokastiska variabler ................................................................................................ 15

Egenskaper hos normalfördelade stokastiska variabler .............................................................................. 15

Stora talens lag ................................................................................................................................................ 15

Centrala gränsvärdessatsen (CGS) ................................................................................................................ 16

Sida 4 av 16

Grundläggande sannolikhetsteori

Definition Beteckning Betydelse Exempel

Utfall Resultatet av ett slumpmässigt försök ”krona”

Händelse 𝐴,𝐵,𝐶,… Samling av utfall 𝐴 = "högst 1 krona"

Utfallsrum Ω Mängden av möjliga utfall Ω = krona,klave

Mängdlära

Definition Beteckning Betydelse Övrigt

Komplement 𝐴∗ A inträffar inte

𝐴∗ ∗ = 𝐴

Union 𝐴 ∪𝐵 A eller B eller

båda

𝐴 ∪ 𝐴∗ = Ω

Snitt 𝐴 ∩𝐵 A och B

𝐴 ∩ 𝐴∗ = ∅

Disjunktion 𝐴 ∩ 𝐵 = ∅ A och B kan inte inträffa samtidigt

Kallas också parvis oförenliga

De Morgans lagar

𝐴 ∩ 𝐵 ∪ 𝐶 = 𝐴 ∩ 𝐵 ∪ 𝐴∩ 𝐶 𝐴1 ∪ 𝐴2 ∪ 𝐴3 ∪… ∪𝐴𝑛 ∗ = 𝐴1

∗ ∩ 𝐴2∗ ∩𝐴3

∗ ∩ … ∩𝐴𝑛∗

𝐴 ∪ 𝐵 ∩ 𝐶 = 𝐴 ∪ 𝐵 ∩ 𝐴∪ 𝐶 𝐴1 ∩ 𝐴2 ∩ 𝐴3 ∩… ∩𝐴𝑛 ∗ = 𝐴1

∗ ∪ 𝐴2∗ ∪𝐴3

∗ ∪ … ∪𝐴𝑛∗

Kolmogorovs axiom

1. För varje händelse A gäller att:

o 0 ≤ 𝑃 𝐴 ≤ 1

2. För hela utfallsrummet Ω gäller att:

o 𝑃 Ω = 1

3. Om 𝑨,𝑩,… är en ändlig eller uppräkneligt oändlig följd av disjunkta händelser gäller att:

o 𝑃 𝐴 ∪ 𝐵 ∪… = 𝑃 𝐴 + 𝑃 𝐵 + ⋯

Sida 5 av 16

Regler

Beskrivning Beteckning

Komplementsatsen 𝑃 𝐴∗ = 1−𝑃(𝐴)

Omöjliga händelsen 𝑃 ∅ = 0

Additionssatsen för två händelser 𝑃 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝑃 𝐴 + 𝑃 𝐵 − 𝑃(𝐴∩𝐵)

Additionssatsen för två oberoende händelser 𝑃 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝑃 𝐴 + 𝑃 𝐵

Om 𝐴 ⊂ 𝐵 (dvs 𝐴 ⟹ 𝐵) 𝑃 𝐴 ≤ 𝑃 𝐵

Booles olikhet 𝑃 𝐴 ∪ 𝐵 ≤ 𝑃 𝐴 + 𝑃 𝐵

Klassisk sannolikhet

Antag att det i Ω finns 𝑚 st utfall, 𝑥1,𝑥2,… , 𝑥𝑚 (”m = möjliga utfall”)

Om varje utfall från ett försök har samma sannolikhet, dvs

𝑃 𝑥𝑖 =1

𝑚, 𝑖 = 1,… ,𝑚

o så föreligger ett likformigt sannolikhetsmått.

Antag därefter att händelse A har 𝑔 st utfall (”g = gynnsamma utfall”)

Då är

𝑃 𝐴 =𝑔

𝑚=

antal gynnsamma utfall

antal möjliga utfall

OBS: Tänk på att 𝑔 och 𝑚 bör beräknas på samma sätt (med avseende på ”hänsyn till ordning”)

Kombinatorik

Multiplikationsprincipen

Om åtgärd 1 kan utföras på 𝑎1 olika sätt och åtgärd 2 kan utföras på 𝑎2 olika sätt, osv.

så finns det 𝑎1 ∙ 𝑎2 sätt att utföra båda åtgärder.

Antal sätt att välja 𝒌 st element ur 𝒏 st element:

Dragning med återläggning Dragning utan återläggning

Med hänsyn till ordning 𝑛𝑘 𝑛 ∙ 𝑛 − 1 ∙ … ∙ 𝑛− 𝑘 + 1 = 𝑛!

Utan hänsyn till ordning 𝑛 + 𝑘 − 1

𝑘

𝑛!

𝑘! 𝑛 − 𝑘 !=

𝑛

𝑘

Sida 6 av 16

Betingad sannolikhet

Definition:

𝑃 𝐵|𝐴 =𝑃 𝐴 ∩ 𝐵

𝑃(𝐴), givet att 𝑃 𝐴 > 0

Betydelse:

𝑃 𝐵|𝐴 är den betingade sannolikheten för B, givet att A har inträffat.

Regler

Beskrivning Beteckning

Komplementsatsen 𝑃 𝐵∗|𝐴 = 1− 𝑃(𝐵|𝐴)

Additionssatsen (för två händelser 𝐵 och 𝐶, givet 𝐴) 𝑃 𝐵 ∪ 𝐶|𝐴 = 𝑃(𝐵|𝐴) + 𝑃(𝐶|𝐴) −𝑃 𝐵 ∩ 𝐶|𝐴

Lagen om total sannolikhet

𝐵1,… ,𝐵𝑛 disjunkta händelser

𝐵1 ∪ …∪ 𝐵𝑛 = Ω, dvs i ett försök inträffar precis en av händelserna

Då gäller, för varje händelse 𝐴, där 𝐴 ∈ Ω:

𝑃 𝐴 = 𝑃(𝐵𝑖) ∙ 𝑃(𝐴|𝐵𝑖)

𝑛

𝑖=1

Bayes sats

𝐵1,… ,𝐵𝑛 disjunkta händelser

𝐵1 ∪ …∪ 𝐵𝑛 = Ω, dvs i ett försök inträffar precis en av händelserna

Då gäller, för varje händelse 𝐴, där 𝐴 ∈ Ω:

𝑃 𝐵𝑖|𝐴 =𝑃(𝐴|𝐵𝑖) ∙ 𝑃(𝐵𝑖)

𝑃(𝐴) eller ekvivalent: 𝑃 𝐹𝑖 |𝐴 =

𝑃(𝐴|𝐵𝑖) ∙ 𝑃(𝐵𝑖)

𝑃(𝐵𝑖) ∙ 𝑃(𝐴|𝐵𝑖)𝑛𝑖=1

Oberoende händelser

Definition:

Om 𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑃(𝐴) ∙ 𝑃(𝐵) så är A och B oberoende händelser

Betydelse:

Om 𝑃 𝐵|𝐴 = 𝑃(𝐵), dvs sannolikheten för B är densamma oavsett om A inträffar eller ej, så kan A och B

anses vara oberoende. Då blir:

𝑃 𝐵|𝐴 =𝑃 𝐴 ∩ 𝐵

𝑃(𝐴) ⇔ 𝑃 𝐵 =

𝑃 𝐴∩ 𝐵

𝑃(𝐴) ⇔ 𝑃 𝐴∩ 𝐵 = 𝑃(𝐴) ∙ 𝑃(𝐵)

Krav för tre oberoende händelser:

𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑃(𝐴) ∙ 𝑃(𝐵) 𝑃 𝐵 ∩ 𝐶 = 𝑃(𝐵) ∙ 𝑃(𝐶)

𝑃 𝐴 ∩ 𝐶 = 𝑃(𝐴) ∙ 𝑃(𝐶) 𝑃 𝐴∩ 𝐵 ∩ 𝐶 = 𝑃(𝐴) ∙ 𝑃(𝐵) ∙ 𝑃(𝐶)

Sida 7 av 16

Diskreta stokastiska variabler (slumpvariabler)

Definition:

En diskret s.v. 𝛸

Är en funktion från utfallsrummet Ω till ℝ, dvs 𝛸:Ω → ℝ

Antar endast ändligt eller uppräkneligt oändligt många olika värden

”Returnerar ett tal som bestäms av ett utfall”

Sannolikhetsfunktion

Definition:

𝑝𝛸 𝑘 = 𝑃(𝛸 = 𝑘) för alla möjliga värden 𝑘 som 𝛸 kan anta

Betydelse:

Sannolikhetsfunktionen returnerar sannolikheten för utfallet 𝑘

(dvs. sannolikheten att 𝛸 antar värdet 𝑘)

Egenskaper:

𝑝𝛸 𝑘 ≥ 0 för alla 𝑘 ∈ 𝛸 Ω 𝑝𝛸 𝑘

𝑘∈𝛸 Ω

= 1 𝑃 𝛸 ∈ 𝐴 = 𝑝𝛸 𝑘

𝑘∈𝐴

Fördelningsfunktion

Definition:

𝐹𝛸 𝑥 = 𝑃 𝛸 ≤ 𝑥 , 𝑥 ∈ ℝ

Betydelse:

Fördelningsfunktionen returnerar sannolikheten att få ett värde som är

mindre än eller lika med 𝑥

Egenskaper:

𝐹𝛸 𝑥 → 0,𝑑å 𝑥 → −∞1,𝑑å 𝑥 → +∞

𝐹𝛸 𝑥 är icke-avtagande 𝐹𝛸 𝑥 är högerkontinuerlig

𝐹𝛸 𝑥 = 𝑝𝛸 𝑘

𝑘∈𝛸 Ω : 𝑘≤𝑥

𝑃 𝛸 > 𝑥 = 1−𝐹𝛸 𝑥 𝐹𝛸 𝑘 − 𝐹𝛸 𝑘 − 1 = 𝑝𝛸 𝑘

för alla 𝑘 ∈ 𝛸 Ω

Sida 8 av 16

Väntevärde och varians

Diskreta fördelningar

Fördelning Beteckning Situation Sannolikhetsfunktion

Binomialfördelning 𝐵𝑖𝑛 𝑛, 𝑝 𝑛 st oberoende försök där en händelse

𝐴 inträffar med sannolikhet 𝑝.

𝑝𝛸 𝑘 = 𝑛

𝑘 𝑝𝑘 1− 𝑝 𝑛−𝑘

𝑘 = 0,1,… ,𝑛

Hypergeometrisk fördelning

𝐻𝑦𝑝 𝑁,𝑛, 𝑝

Stor mängd med 𝑁 st element av två

typer, 𝑁𝑝 st av den ena och 𝑁(1−𝑝)

av den andra, välj ut 𝑛 st element och räkna antalet som är av första typen.

𝑝𝛸 𝑘 = 𝑁𝑝𝑘 𝑁 1−𝑝

𝑛−𝑘

𝑁𝑘

𝑘 = 0,1,… ,𝑁𝑝

Poisson-fördelning 𝑃𝑜 𝜆 Händelser som inträffar slumpmässigt

i tiden med en viss intensitet 𝜆 > 0. 𝑝𝛸 𝑘 =

𝜆𝑘

𝑘!∙ 𝑒−𝜆

𝑘 = 0,1,… ,𝑛

Väntevärde (𝝁) Varians (𝝈𝟐)

Definition 𝐸 𝛸 = 𝑘 ∙ 𝑝𝛸 𝑘

𝑘∈𝛸 Ω

𝑉 𝛸 = 𝑘2 ∙ 𝑝𝛸 𝑘

𝑘∈𝛸 Ω

− 𝐸 𝛸 2

Tolkning

Medelvärdet med avseende på fördelningen av 𝛸.

”Vad vi kan förvänta oss att 𝛸 blir på ett ungefär.”

Hur sannolikhetsmassan är koncentrerad kring väntevärdet. ”Hur utspritt det är.”

Regler

𝐸 𝛸2 = 𝑘2 ∙ 𝑝𝛸 𝑘 𝑘∈𝛸 Ω

𝐸 𝑎𝛸+ 𝑏 = 𝑎 ∙ 𝐸 𝛸 + 𝑏

𝐸 𝑔(𝛸) = 𝑔(𝑘) ∙ 𝑝𝛸 𝑘 𝑘∈𝛸 Ω

𝑉 𝛸 = 𝐸 𝛸2 − 𝐸 𝛸 2

𝑉 𝑎𝛸+ 𝑏 = 𝑎2 ∙ 𝑉 𝑋

Standardavvikelse 𝐷(𝑋) = 𝑉 𝑋

Sida 9 av 16

Kontinuerliga stokastiska variabler (slumpvariabler)

Definition:

En kontinuerlig s.v. 𝛸

Är en funktion från utfallsrummet Ω till ℝ, dvs 𝛸:Ω → ℝ

Kan anta alla värden i ett intervall eller en union av intervall. Tänk ”kontinuum”.

”Returnerar ett tal som bestäms av ett utfall”

Täthetsfunktion

Definition:

Om det finns en funktion 𝑓𝛸 :ℝ → [0,∞[ sådan att

𝑃 𝑎 < 𝛸 < 𝑏 = 𝑓𝛸 𝑥 𝑏

𝑎

𝑑𝑥

för alla intervall (𝑎, 𝑏) ⊂ ℝ så kallas 𝑓𝛸 𝑥 täthetsfunktionen för 𝛸

OBS: 𝑃 𝑎 < 𝛸 < 𝑏 = 𝑃 𝑎 < 𝛸 ≤ 𝑏 om 𝛸 är kontinuerlig.

Betydelse:

Täthetsfunktion anger hur mycket ”sannolikhetsmassa” det finns per

längdenhet i punkten 𝑥.

Nödvändiga egenskaper:

𝑓𝛸 𝑥 ≥ 0 för alla 𝑥 ∈ ℝ

∫ 𝑓𝛸 𝑥 ∞

−∞ 𝑑𝑥 = 1

Fördelningsfunktion

Definition:

𝐹𝛸 𝑥 = 𝑃 𝛸 ≤ 𝑥 = 𝑃 −∞ < 𝛸 ≤ 𝑥 = 𝑓𝛸 𝑡 𝑥

−∞

𝑑𝑡, 𝑥 ∈ ℝ

Betydelse:

Fördelningsfunktionen returnerar sannolikheten att få ett värde som är

mindre än eller lika med 𝑥

Egenskaper:

𝐹𝛸 𝑥 → 0,𝑑å 𝑥 → −∞1,𝑑å 𝑥 → +∞

𝐹𝛸 𝑥 är icke-avtagande 𝐹𝛸 𝑥 är kontinuerlig överallt

I alla punkter där 𝑓𝛸 𝑥 är kontinuerlig gäller att 𝐹′𝛸 𝑥 =𝑑

𝑑𝑥𝐹𝛸 𝑥 = 𝑓𝛸 𝑥 (integralkalkylens huvudsats)

𝑃 𝑎 < 𝛸 ≤ 𝑏 = 𝑓𝛸 𝑡 𝑏

𝑎

𝑑𝑡 = 𝐹𝛸 𝑏 − 𝐹𝛸 𝑎 , 𝑎 < 𝑏

Sida 10 av 16

Väntevärde och varians

Kontinuerliga fördelningar

Fördelning Beteckning Situation Täthetsfunktion

Rektangelfördelning Likformig fördelning

𝑅𝑒 𝑎, 𝑏 𝑈 𝑎,𝑏

”Allt är lika sannolikt” 𝑓𝛸 𝑥 = 1

𝑏 − 𝑎, 𝑎 < 𝑥 < 𝑏

0, 𝑎𝑛𝑛𝑎𝑟𝑠

Normalfördelning 𝑁 𝜇,𝜍 Används ofta då variabler har okänd fördelning (se CGS)

𝑓𝛸 𝑥 =1

𝜍 2𝜋𝑒− 𝑥−𝜇 2

2𝜍2 , 𝑥 ∈ ℝ

Exponentialfördelning Exp 𝜆 ”Exponentiellt avtagande” 𝑓𝛸 𝑥 = 𝜆 ∙ 𝑒−𝜆𝑥, 𝑥 ≥ 0

0, 𝑎𝑛𝑛𝑎𝑟𝑠

Standardiserad normalfördelning

Låt Φ 𝑦 vara (den fyrkantiga) fördelningsfunktionen för 𝑌~𝑁 0,1 , dvs

Φ 𝑦 = 𝑓𝛸 𝑡 𝑦

−∞

𝑑𝑡 = 1

2𝜋𝑒−

𝑡2

2 𝑦

−∞

𝑑𝑡

Låt 𝑋 vara en s.v. med väntevärde 𝜇 och standardavvikelse 𝜍, dvs. 𝑋~𝑁 𝜇,𝜍

Då kallas 𝑌 =𝛸−𝜇

𝜍 en standardiserad s.v. och 𝑌~𝑁 0,1 ⟹

𝑃 𝑎 < 𝑋 ≤ 𝑏 = 𝑃 𝑎 − 𝜇

𝜍<𝑋 − 𝜇

𝜍≤𝑏 − 𝜇

𝜍 = 𝑃

𝑎 − 𝜇

𝜍< 𝑌 ≤

𝑏 − 𝜇

𝜍 = Φ

𝑏 − 𝜇

𝜍 − Φ

𝑎 − 𝜇

𝜍

Regler för normalfördelning

Antag att 𝑎 > 0, 𝑏 > 0 och 𝛸~𝑁 0,1

Då gäller:

Regel

𝑃 𝛸 ≤ −𝑎 = = Φ −𝑎 = 1− Φ 𝑎

𝑃 𝛸 > 𝑎 = = 1 −𝑃 𝛸 ≤ 𝑎 = 1 −Φ 𝑎

𝑃 −𝑎 < 𝛸 ≤ 𝑏 = = Φ 𝑏 −Φ −𝑎 = Φ 𝑏 − 1 −Φ 𝑎

= Φ 𝑏 +Φ 𝑎 − 1

Exempel

𝑃 𝛸 ≤ −2 = = Φ −2 = 1 −Φ 2

𝑃 𝛸 > 3 = = 1− 𝑃 𝛸 ≤ 3 = 1− Φ 3

𝑃 −2 < 𝛸 ≤ 3 = = Φ 3 −Φ −2

= Φ 3 − 1 − Φ 2

= Φ 3 +Φ 2 − 1

Väntevärde (𝝁) Varians (𝝈𝟐)

Definition 𝐸 𝛸 = 𝑥 ∙ 𝑓𝛸 𝑥

∞

−∞

𝑑𝑥 𝑉 𝛸 = 𝑥2 ∙ 𝑓𝛸 𝑥 𝑑𝑥∞

−∞

− 𝐸 𝛸 2

Tolkning

Medelvärdet med avseende på fördelningen av 𝛸.

”Vad vi kan förvänta oss att 𝛸 blir på ett ungefär.”

Hur sannolikhetsmassan är koncentrerad kring väntevärdet. ”Hur utspritt det är.”

Regler

𝐸 𝛸2 = ∫ 𝑥2 ∙ 𝑓𝛸 𝑥 𝑑𝑥∞

−∞

𝐸 𝑎𝛸+ 𝑏 = 𝑎 ∙ 𝐸 𝛸 + 𝑏

𝐸 𝑔(𝛸) = ∫ 𝑔(𝑥) ∙ 𝑓𝛸 𝑥 𝑑𝑥∞

−∞

𝑉 𝛸 = 𝐸 𝛸2 − 𝐸 𝛸 2 𝑉 𝑎𝛸+ 𝑏 = 𝑎2 ∙ 𝑉 𝑋

Standardavvikelse 𝐷(𝑋) = 𝑉 𝑋

Sida 11 av 16

Diskreta tvådimensionella stokastiska variabler (𝜲,𝒀)

Simultan sannolikhetsfunktion

Definition:

𝑝𝛸 ,𝑌 𝑥,𝑦 = 𝑃(𝛸 = 𝑥,𝑌 = 𝑦) för alla möjliga värden 𝑥 och 𝑦 som 𝛸 respektive 𝑌 kan anta

Egenskaper:

𝑝𝛸 ,𝑌 𝑥,𝑦 ≥ 0 för alla 𝑥 ,𝑦 𝑝𝛸 ,𝑌 𝑥,𝑦

∞

𝑥=0

∞

𝑦=0

= 1 𝑃 𝛸,𝑌 ∈ 𝐴 = 𝑝𝛸 ,𝑌 𝑥,𝑦

𝑥 ,𝑦 ∈𝐴

Fördelningsfunktion

Definition:

𝐹𝛸 ,𝑌 𝑥, 𝑦 = 𝑃 𝛸 ≤ 𝑥,𝑌 ≤ 𝑦 = 𝑝𝛸 ,𝑌 𝑥, 𝑦

𝑥≤𝑋𝑦≤𝑌

Marginella sannolikhetsfunktioner

För 𝜲 För 𝒀

𝑝𝛸 𝑥 = 𝑝𝛸 ,𝑌 𝑥, 𝑦

∞

𝑦=0

𝑝𝑌 𝑦 = 𝑝𝛸 ,𝑌 𝑥, 𝑦

∞

𝑥=0

Håll 𝑥 fixt, summera över alla 𝑦, dvs.

𝑝𝑥 2 = 𝑝𝛸 ,𝑌 2,0 + 𝑝𝛸 ,𝑌 2,1 + 𝑝𝛸 ,𝑌 2,2 + ⋯

Håll 𝑦 fixt, summera över alla 𝑥, dvs.

𝑝𝑌 2 = 𝑝𝛸 ,𝑌 0,2 + 𝑝𝛸 ,𝑌 1,2 + 𝑝𝛸 ,𝑌 2,2 +⋯

Marginella fördelningsfunktioner

För 𝜲 För 𝒀

𝐹𝛸 𝑥 = 𝑝𝛸 𝑥

∞

𝑥=0

= 𝑝𝛸 ,𝑌 𝑥, 𝑦

∞

𝑦=0

∞

𝑥=0

𝐹𝑌 𝑦 = 𝑝𝑌 𝑦

∞

𝑦=0

= 𝑝𝛸 ,𝑌 𝑥, 𝑦

∞

𝑥=0

∞

𝑦=0

Summera 𝛸:s marginella sannolikhetsfunktioner över alla 𝑥 Summera 𝑌:s marginella sannolikhetsfunktioner över alla 𝑦

Oberoende s.v.

Definition:

Två diskreta s.v. 𝛸 och 𝑌 kallas oberoende om någon av följande gäller (för alla möjliga 𝑥 och 𝑦)

𝑝𝛸 ,𝑌 𝑥,𝑦 = 𝑝𝑋(𝑥) ∙ 𝑝𝑌 (𝑦)

𝐹𝛸 ,𝑌 𝑥, 𝑦 = 𝐹𝛸 𝑥 ∙ 𝐹𝑌 𝑦

Sida 12 av 16

Kontinuerliga tvådimensionella stokastiska variabler (𝜲,𝒀)

Simultan täthetsfunktion

Definition:

Om det finns en funktion 𝑓𝛸 ,𝑌 𝑥,𝑦 sådan att

𝑃 𝛸,𝑌 ∈ 𝐴 = 𝑓𝛸 ,𝑌 𝑥, 𝑦 𝐴

𝑑𝑥 𝑑𝑦

för alla 𝐴 ⊆ ℝ2 så kallas 𝑓𝛸 ,𝑌 𝑥,𝑦 täthetsfunktionen för 𝛸,𝑌

Nödvändiga egenskaper:

𝑓𝛸 ,𝑌 𝑥, 𝑦 ≥ 0 för alla 𝑥,𝑦 ∈ ℝ2

∫ ∫ 𝑓𝛸 ,𝑌 𝑥, 𝑦 ∞

−∞

∞

−∞𝑑𝑥 𝑑𝑦 = 1

Fördelningsfunktion

Definition:

𝐹𝛸 ,𝑌 𝑥, 𝑦 = 𝑃 𝛸 ≤ 𝑥,𝑌 ≤ 𝑦 = 𝑓𝛸 ,𝑌 𝑢, 𝑣 𝑥

−∞

𝑦

−∞

𝑑𝑢 𝑑𝑣

Marginella täthetsfunktioner

För 𝜲 För 𝒀

𝑓𝛸 𝑥 = 𝑓𝛸,𝑌 𝑥,𝑦

∞

−∞

𝑑𝑦, 𝑥 ∈ ℝ 𝑓𝑌 𝑦 = 𝑓𝛸,𝑌 𝑥,𝑦

∞

−∞

𝑑𝑥, 𝑦 ∈ ℝ

Håll 𝑥 fixt & integrera över 𝑦 så fås en funktion av 𝑥,

dvs. 𝑓𝑥 2 = ∫ 𝑓𝛸,𝑌 2,𝑦

∞

−∞ 𝑑𝑦

Håll 𝑦 fixt & integrera över 𝑥 så fås en funktion av 𝑦,

dvs. 𝑓𝑌 2 = ∫ 𝑓𝛸,𝑌 𝑥,2

∞

−∞ 𝑑𝑥

Marginella fördelningsfunktioner

För 𝜲 För 𝒀

𝐹𝛸 𝑥 = 𝑓𝛸 𝑥

∞

−∞

𝑑𝑥 = 𝑓𝛸,𝑌 𝑥,𝑦

∞

−∞

∞

−∞

𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝐹𝑌 𝑦 = 𝑓𝑌 𝑦

∞

−∞

𝑑𝑦 = 𝑓𝛸,𝑌 𝑥,𝑦

∞

−∞

∞

−∞

𝑑𝑥 𝑑𝑦

Integrera marginella täthetsfunktionen för 𝛸 över alla 𝑥 Integrera marginella täthetsfunktionen för 𝑌 över alla 𝑦

Oberoende s.v.

Definition:

Två kontinuerliga s.v. 𝛸 och 𝑌 kallas oberoende om någon av följande gäller (för alla möjliga 𝑥 och 𝑦)

𝑓𝛸 ,𝑌 𝑥, 𝑦 = 𝑓𝑋(𝑥) ∙ 𝑓𝑌(𝑦)

𝐹𝛸 ,𝑌 𝑥, 𝑦 = 𝐹𝛸 𝑥 ∙ 𝐹𝑌 𝑦

Sida 13 av 16

Tvådimensionella stokastiska variabler (𝜲,𝒀)

Väntevärde

Definition:

𝐸 𝑔 𝛸,𝑌 =

𝑔 𝑥, 𝑦 ∙ 𝑝𝛸 ,𝑌 𝑥, 𝑦 , (diskreta s.v. )

∞

𝑦=0

∞

𝑥=0

𝑔 𝑥, 𝑦 ∙ 𝑓𝛸 ,𝑌 𝑥, 𝑦 ∞

−∞

∞

−∞

𝑑𝑥 𝑑𝑦 , (kontinuerliga s.v. )

Regler:

𝐸 𝑋+ 𝑌 = 𝐸 𝑋 + 𝐸 𝑌

𝐸 𝑎𝑋+ 𝑏𝑌+ 𝑐 = 𝑎 ∙ 𝐸 𝑋 + 𝑏 ∙ 𝐸 𝑌 + 𝑐

𝐸 𝑋 ∙ 𝑌 = 𝐸 𝑋 ∙ 𝐸 𝑌 om Χ och Y är oberoende

Varians

Regler:

𝑉 𝑋+ 𝑌 = 𝑉 𝑋 + 2 ∙ 𝐶𝑜𝑣 𝑋,𝑌 + 𝑉 𝑌

𝑉 𝑎𝑋+ 𝑏𝑌+ 𝑐 = 𝑎2 ∙ 𝑉 𝑋 + 2𝑎𝑏 ∙ 𝐶𝑜𝑣 𝑋,𝑌 + 𝑏2 ∙ 𝑉 𝑌

𝑉 𝑋+ 𝑌 = 𝑉 𝑋 + 𝑉 𝑌 om Χ och Y är oberoende

Kovarians

Definition:

𝐶𝑜𝑣 𝛸,𝑌 = 𝐸 𝛸 ∙ 𝑌 − 𝐸 𝛸 ∙ 𝐸 𝑌

Regler:

𝐶𝑜𝑣 𝑋,𝑋 = 𝑉(𝑋)

𝐶𝑜𝑣 𝑋,𝑌 = 𝐶𝑜𝑣 𝑌,𝑋

𝐶𝑜𝑣 𝑎𝑋,𝑏𝑌 = 𝑎 ∙ 𝑏 ∙ 𝐶𝑜𝑣 𝑋,𝑌

𝐶𝑜𝑣 𝑋,𝑌 = 0 om Χ och Y är oberoende

Korrelation

Definition:

𝜌 𝛸,𝑌 =𝐶𝑜𝑣 𝛸,𝑌

𝐷 𝑋 ∙ 𝐷(𝑌)=

𝐶𝑜𝑣 𝛸,𝑌

𝑉 𝛸 ∙ 𝑉 𝑌

Betydelse:

Mått på linjärt beroende mellan 𝛸 och 𝑌

−1 ≤ 𝜌 ≤ 1 gäller alltid!

Tänk ”𝑋 är −100% respektive 100% beroende av 𝑌”

Regler:

𝛸 och 𝑌 är oberoende ⟹ 𝐶𝑜𝑣 𝑋,𝑌 = 0 ⟹ 𝛸 och 𝑌 är okorrelerade

OBS: Implikationen går enbart åt ena hållet!

Sida 14 av 16

Simultana fördelningar av oberoende s.v. (𝜲,𝒀)

Fördelning för 𝜲 Fördelning för 𝒀 Fördelning för 𝜲+ 𝒀

𝑃𝑜(𝜆1) 𝑃𝑜(𝜆2) 𝑃𝑜(𝜆1 + 𝜆2)

𝑁 𝜇1,𝜍1 𝑁 𝜇2 ,𝜍2 𝑁 𝜇1 + 𝜇2, 𝜍12 + 𝜍2

2

𝑋~𝐵𝑖𝑛 𝑚, 𝑝 𝐵𝑖𝑛 𝑛 ,𝑝 𝐵𝑖𝑛(𝑚 + 𝑛, 𝑝)

Betingade fördelningar

Betingad sannolikhetsfunktion för diskreta s.v.

Definition:

Betingad sannolikhetsfunktion för 𝛸, givet 𝑌 = 𝑦:

𝑝𝛸|𝑌=𝑦 𝑥 = 𝑃 𝛸 = 𝑥 𝑌 = 𝑦 =𝑝𝛸 ,𝑌 𝑥, 𝑦

𝑝𝑌 𝑦

Betingad täthetsfunktion för kontinuerliga s.v.

Definition:

Betingad täthetsfunktion för 𝛸, givet 𝑌 = 𝑦:

𝑓𝛸|𝑌=𝑦 𝑥 = 𝑃 𝛸 = 𝑥 𝑌 = 𝑦 =𝑓𝛸 ,𝑌 𝑥,𝑦

𝑓𝑌 𝑦

Betingat väntevärde

Definition:

Betingat väntevärde för 𝛸, givet 𝑌 = 𝑦:

𝐸 𝑋|𝑌 = 𝑦 =

𝑥 ∙ 𝑝𝛸|𝑌=𝑦 𝑥 , (diskreta s.v. )

∞

𝑥=0

𝑥 ∙ 𝑓𝛸|𝑌=𝑦 𝑥 ∞

−∞

𝑑𝑥, (kontinuerliga s.v. )

Lagen om total förväntan:

𝐸 𝑋 = 𝐸 𝐸 𝑋|𝑌 =

𝐸 𝑋|𝑌 = 𝑦 ∙ 𝑝𝑌 𝑦 , (diskreta s.v. )

∞

𝑦=0

𝐸 𝑋|𝑌 = 𝑦 ∙ 𝑓𝛸|𝑌=𝑦 𝑦 ∞

−∞

𝑑𝑦 , (kontinuerliga s.v. )

Användbara olikheter

Förutsättningar Resultat

Markovs olikhet 𝑎 > 0

𝑋 ≥ 0 𝑃 𝑋 ≥ 𝑎 ≤

𝐸 𝑋

𝑎

Chebyshevs olikhet

𝐸 𝑋 = 𝜇

𝐷 𝑋 = 𝜍 > 0

eller 𝑉 𝑋 = 𝜍2 < ∞

Gäller för alla 𝑘 > 0

𝑃 𝑋 − 𝜇 ≥ 𝑘𝜍 ≤1

𝑘2

eller

𝑃 𝑋 − 𝜇 ≥ 𝑘 ≤𝜍2

𝑘2

Sida 15 av 16

Summor av oberoende stokastiska variabler

Förutsättningar Resultat

OBS: Kräver inte att 𝑋1,… ,𝑋𝑛 är oberoende

𝑋1,… ,𝑋𝑛 har alla samma väntevärde 𝜇 𝐸 𝑋1 + ⋯+𝑋𝑛 = 𝑛 ∙ 𝜇

𝑋1,… ,𝑋𝑛 har alla samma varians 𝜍2 𝑉 𝑋1 +⋯+𝑋𝑛 = 𝑛 ∙ 𝜍2

𝑋1,… ,𝑋𝑛 har alla samma standardavvikelse 𝜍 𝐷 𝑋1 +⋯+𝑋𝑛 = 𝑛 ∙ 𝜍

𝑋1,… ,𝑋𝑛 har alla samma väntevärde 𝜇

𝑋1,… ,𝑋𝑛 har alla samma standardavvikelse 𝜍

𝑋 =𝑋1+⋯+𝑋𝑛

𝑛 är det aritmetiska medelvärdet

𝐸 𝑋 = 𝜇

𝑉 𝑋 =𝜍2

𝑛

𝐷 𝑋 =𝜍

𝑛

Egenskaper hos normalfördelade stokastiska variabler

Förutsättningar Resultat

𝑋~𝑁 𝜇,𝜍 𝑌 = 𝑎𝑋 + 𝑏

𝑌~𝑁(𝑎 ∙ 𝜇 + 𝑏, 𝑎 𝜍)

𝑋~𝑁 𝜇1,𝜍1 𝑌~𝑁 𝜇2 ,𝜍2

𝑋 och 𝑌 oberoende

(𝛸 ± 𝑌)~𝑁 𝜇1 ± 𝜇2, 𝜍12 + 𝜍2

2

𝑋1,… ,𝑋𝑛 är oberoende

𝑋1~𝑁 𝜇1,𝜍1 ,… ,𝑋𝑛~𝑁 𝜇𝑛 ,𝜍𝑛 𝑎𝑖𝛸𝑖 + 𝑏

𝑛

1

~𝑁 𝑎𝑖𝜇𝑖 + 𝑏

𝑛

1

, 𝑎𝑖2𝜍𝑖

2

𝑛

1

𝑋1,… ,𝑋𝑛 är oberoende

𝑋1~𝑁 𝜇,𝜍 ,… ,𝑋𝑛~𝑁 𝜇,𝜍

𝑋 =𝑋1+⋯+𝑋𝑛

𝑛 är det aritmetiska medelvärdet

𝑋 ~𝑁 𝜇,𝜍

𝑛

Alla s.v. är oberoende

𝑋1~𝑁 𝜇1,𝜍1 ,… ,𝑋𝑛~𝑁 𝜇1,𝜍1 𝑌1~𝑁 𝜇2,𝜍2 ,… ,𝑌𝑛~𝑁 𝜇2,𝜍2

𝑋 =𝑋1+⋯+𝑋𝑛

𝑛 är det aritmetiska medelvärdet

𝑌 =𝑌1+⋯+𝑌𝑛

𝑛 är det aritmetiska medelvärdet

𝑋 − 𝑌 ~𝑁 𝜇1 −𝜇2, 𝜍1

2

𝑛1

+𝜍2

2

𝑛2

Stora talens lag

𝑋1,… ,𝑋𝑛 är oberoende

𝑋1,… ,𝑋𝑛 är likafördelade med väntevärde 𝜇

𝑋 =𝑋1+⋯+𝑋𝑛

𝑛

För alla 𝜀 > 0 :

𝑃 𝑋 − 𝜇 ≥ 𝜀 → 0 eller ekvivalent: 𝑃 𝑋 − 𝜇 < 𝜀 → 1, då 𝑛 → ∞

Sida 16 av 16

Centrala gränsvärdessatsen (CGS) Formellt:

𝑋1,… ,𝑋𝑛 är en följd av oberoende och likafördelade s.v.

𝑋1,… ,𝑋𝑛 har samtliga väntevärde 𝜇

𝑋1,… ,𝑋𝑛 har samtliga standardavvikelse 𝜍 > 0 eller varians 𝜍2 < ∞

Då gäller, för 𝑌 = 𝑋1 +⋯+𝑋𝑛 :

𝑃 𝑎 <𝑌 − 𝑛 ∙ 𝜇

𝜍 𝑛≤ 𝑏 → 𝛷 𝑏 −𝛷 𝑎 , då 𝑛 → ∞

eller ekvivalent, med 𝑋 =𝑋1 +⋯+𝑋𝑛

𝑛∶

𝑃 𝑎 < 𝑛 𝑋 − 𝜇

𝜍 ≤ 𝑏 → 𝛷 𝑏 − 𝛷 𝑎 , då 𝑛 → ∞

Informellt:

En summa av oberoende och likafördelade s.v. är ungefär normalfördelad så länge antalet s.v. är tillräckligt stort.

Detta gäller oavsett vilken fördelning de egentligen har! Alltså kan okända eller svårberäknade fördelningar

approximeras med normalfördelning.

Poissonprocess

Definition:

En Poissonprocess med intensitet 𝜆 > 0 är en stokastisk process i kontinuerlig tid (dvs. en familj av s.v.

𝑋𝑡 , 𝑡 ≥ 0) med följande egenskaper:

För varje 𝑡 ≥ 0: processens värde 𝑋𝑡 är en s.v. som kan anta värden 0,1,2… och 𝑋0 ≡ 0

Varje utfall (realisering) är en icke-avtagande högerkontinuerlig funktion

För varje följd av tidpunkter 0 = 𝑡0 < 𝑡1 < 𝑡2 < ⋯ < 𝑡𝑛 gäller att:

o 𝑋1 − 𝑋0, 𝑋2 − 𝑋1, 𝑋3 −𝑋2,… , 𝑋𝑛 − 𝑋𝑛−1 är oberoende s.v

För varje 𝑡 ≥ 0: 𝑃 𝑋𝑡+𝑕 −𝑋𝑡 = 1 = 𝜆 ∙ 𝑕+ 𝑂 𝑕 , då 𝑕 → 0

För varje 𝑡 ≥ 0: 𝑃 𝑋𝑡+𝑕 −𝑋𝑡 > 1 = 𝑂 𝑕 , då 𝑕 → 0

o 𝑂(𝑕) är en restterm som definieras enligt lim𝑕→0𝑂 𝑕

𝑕= 0.

Egenskaper:

Förutsättningar Resultat

0 ≤ 𝑡1 < 𝑡2 𝑋𝑡2

− 𝑋𝑡1 ~𝑃𝑜 𝜆 𝑡2 − 𝑡1

Speciellt: 𝑋𝑡~𝑃𝑜 𝜆 ∙ 𝑡

𝑋𝑡~𝑃𝑜 𝜆 ∙ 𝑡 𝐸 𝑋𝑡 = 𝜆 ∙ 𝑡

Hopptider 𝑇1,𝑇2,… ,𝑇𝑛 𝑇1,𝑇2,… ,𝑇𝑛 är oberoende och 𝐸𝑥𝑝(𝜆)-fördelade s.v.

Väntetider 𝑇1,𝑇2 − 𝑇1,… ,𝑇𝑛 − 𝑇𝑛−1 𝑇1,𝑇2 − 𝑇1,… ,𝑇𝑛 − 𝑇𝑛−1 är oberoende och 𝐸𝑥𝑝(𝜆)-fördelade s.v.

Fixt 𝑡0 ≥ 0

𝑌𝑡 = 𝑋𝑡𝑜+𝑡 −𝑋𝑡0 för 𝑡 ≥ 0

𝑌𝑡 , 𝑡 ≥ 0 är också en Poissonprocess med samma intensitet 𝜆

𝑋𝑡 , 𝑡 ≥ 0 med intensitet 𝜆1

𝑌𝑡 , 𝑡 ≥ 0 med intensitet 𝜆2

𝑋𝑡 och 𝑌𝑡 oberoende

𝑋𝑡 + 𝑌𝑡 , 𝑡 ≥ 0 är också en Poissonprocess med intensitet 𝜆1+𝜆2