Ver

sio

n 6

.3

Sa

mm

en

hæ

ng

e

Siderne vil gennemgå lineærvækst, eksponentiel vækst, logaritme funktioner og potensvækst. Der vil løbende være opgaver knyttet til de aktuelle områder. Der vil også blive beskrevet cirklens ligning som ekstra materiale. Der vil indgå supplerende stof udover kernestof.

Opgaver til hæftet kan hentes her. PDF Facit til opgaverne kan hentes her. PDF

Sct. Knud gymnasium Underviser: Henrik Hansen

Indhold Lineær vækst ............................................................................................................................................. 1

Sætning: Forskriften på en ret linje ....................................................................................................... 1

Sætning: Bestemmelse af hældningen a og skæring med anden aksen b .............................................. 2

Skæring mellem linjer ........................................................................................................................... 3

Påvisning af linearitet ............................................................................................................................ 6

Lineærregression ................................................................................................................................ 6

Proportionalitet ...................................................................................................................................... 7

Ligefrem proportional ........................................................................................................................ 7

Omvendt proportionalitet ................................................................................................................... 7

Rentes regning som introduktion til eksponentiel vækst .......................................................................... 9

Eksponentiel udvikling/vækst ................................................................................................................. 10

Sætning: Bestemmelse af konstanterne a og b ................................................................................ 10

Introduktion til logaritmer ....................................................................................................................... 12

Logaritmer ............................................................................................................................................... 12

Logaritmeregneregler .......................................................................................................................... 13

Sætning: Logaritmen til en potens ................................................................................................... 13

Sætning: Logaritmen til et produkt .................................................................................................. 13

Sætning: Logaritmen til en brøk ...................................................................................................... 14

Sætning: Logaritmen med grundtal a er proportional med titals-logaritmen .................................. 14

Tilbage til eksponentielle sammenhænge ............................................................................................... 15

Halveringskonstant .............................................................................................................................. 15

Sætning: Halveringskonstanten ....................................................................................................... 15

Fordoblingskonstant ............................................................................................................................ 16

Sætning: Fordoblingskonstanten ..................................................................................................... 17

Påvisning af eksponentielvækst........................................................................................................... 18

Eksponentielregression .................................................................................................................... 19

Sætning: Lineær sammenhæng mellem 𝐥𝐨𝐠𝒚 og x. ......................................................................... 19

Potensfunktioner ..................................................................................................................................... 20

Sætning: Beregning af konstanterne a og b ......................................................................................... 21

Sætning: Stigende faktor ..................................................................................................................... 23

Påvisning af potens sammenhæng ....................................................................................................... 24

Potensregression .............................................................................................................................. 25

Sætning: 𝐥𝐨𝐠(𝒚) af hænger lineært af 𝐥𝐨𝐠(𝒙) ................................................................................. 26

Cirkler ..................................................................................................................................................... 27

Sætning: Afstand mellem to punkter ................................................................................................... 27

Sætning: Cirklens ligning .................................................................................................................... 28

Henrik Søgaard Hansen, Sct. Knud Gymnasium 1

Lineær vækst Hvis den afhængige variabel (ofte benævnt som y) stiger/falder med den samme størrelse for

en bestemt vækst i den uafhængige variabel (ofte benævnt x), så er der tale om lineær vækst.

Nogle kender lineær vækst som: ”Når x stiger med 1 så stiger y med a.” eller ”𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏"

men det skal vi gøre lidt mere nuanceret . (video)

Sætning: Forskriften på en ret linje

En ret linje, der ikke er parallel med y-aksen, har en ligning af typen 𝑦 = 𝑎 ∙ 𝑥 + 𝑏. Konstanten a er

grafens hældning (𝑎 =∆𝑦

∆𝑥) og b er afskæring på y-aksen.

Bevis (video)

Vi opdeler beviset i tre.

1. 𝒂 > 𝟎

Vi tegner en ret linje (den blå) med positiv hældning. Skæringen med y-aksen betegnes b.

Nu tegnes en vandret linje (den røde), som skærer den rette linje i punktet A, og som går gennem b.

Vi kigger nu på andenkoordinaten til et vilkårligt punkt B(x,y).

Der må her gælde at 𝑦 = |𝐵𝐶| + 𝑏

Nu konstrueres trekant ADE, så den er ensvinklet med ABC.

Trekant ADE og ABC er nu ensvinklede (se noter for geometri) da de

har fælles vinkel i A og begge en ret vinkel. Dermed gælder der at 𝐵𝐶

𝐸𝐷=

𝐴𝐶

𝐴𝐷 ⇔

|𝐵𝐶|

𝑎=

𝑥

1⇔|𝐵𝐶| = 𝑎 ∙ 𝑥

Dermed bliver 𝑦 = |𝐵𝐶| + 𝑏 = 𝑎 ∙ 𝑥 + 𝑏.

2. 𝒂 < 𝟎

Vi tegner en ret linje med negativ hældning (den blå). Skæringen med y-aksen betegnes b.

Nu tegnes en vandret linje (den røde), som skærer den rette linje i punktet A.

Vi kigger nu på andenkoordinaten til punktet A(x,y).

Der må nu gælde at 𝑦 = 𝑏 − |𝐵𝐶|

Nu konstrueres trekant ADE, så den er ensvinklet med ABC. Dermed

gælder der at:

𝐵𝐶

𝐸𝐷=

𝐴𝐶

𝐴𝐷 ⇔

|𝐵𝐶|

𝑎=

𝑥

−1⇔|𝐵𝐶| = −𝑎 ∙ 𝑥

Dermed bliver 𝑦 = 𝑏 − 𝑎 ∙ 𝑥 = −𝑎 ∙ 𝑥 + 𝑏. Så 𝑦 = 𝑎 ∙ 𝑥 + 𝑏 gælder

stadig selv om a er negativ.

x

y

1A

b

B

CD

E

a

x

(x,y)

x

y

b

A

B

C D

E

-1

x

a (x,y)

Henrik Søgaard Hansen, Sct. Knud Gymnasium 2

3. 𝒂 = 𝟎

Hvis der ikke er nogen hældning, så er væksten 0, og vi

må få en vandret linjen. Uanset valg af x-værdi, så er

værdien konstant. Vi må derfor få 𝑦 = 0 ∙ 𝑥 + 𝑏 = 𝑏, og

passer derfor stadig i 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏

Hermed bevist

Sætning: Bestemmelse af hældningen a og skæring med anden aksen b

Linjen gennem to punkter 𝐴(𝑥1, 𝑦1) og 𝐵(𝑥2, 𝑦2) med 𝑥1 ≠ 𝑥2 har hældningen

𝑎 =Δ𝑦

Δ𝑥=

𝑦2−𝑦1

𝑥2−𝑥1 og b = 𝑦1 − a ∙ x1

Bevis (video)

Jeg benytter min viden om punkterne A(x1, 𝑦1) og B(x2, 𝑦2) og opstiller

følgende:

1. For punktet A gælder der at 𝑦1 = a ∙ x1 + b

2. For punktet B gælder der at 𝑦2 = a ∙ x2 + b

Isoler b i punkt 1 og 2:

1b. For punktet A er b = 𝑦1 − a ∙ x1

2b. For punktet B er b = 𝑦2 − a ∙ x2

Da b = b uanset valg af punkternes placering, så fås:

𝑦1 − 𝑎 ∙ 𝑥1 = 𝑦2 − 𝑎 ∙ 𝑥2

𝑎 ∙ 𝑥2 − 𝑎 ∙ 𝑥1 = 𝑦2 − 𝑦1

𝑎(𝑥2 − 𝑥1) = 𝑦2 − 𝑦1

𝑎 =𝑦2 − 𝑦1𝑥2 − 𝑥1

Her kan vi også se at hvis 𝑎 = 0 så må 𝑦1 = 𝑦2

Hermed bevist

b

x

y

y=b

A(x1,y1)

B(x2,y2)

x

y

(0,b)

y=ax+b

Henrik Søgaard Hansen, Sct. Knud Gymnasium 3

-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10

-10

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

10

f(x)=ax+b

y

x

g(x)=cx+d

-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10

-10

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

10f(x)=ax+b

y

x

g(x)=cx+d

-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10

-10

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

10 f(x)=ax+b

y

x

g(x)=cx+d

y

x

f(x0) = g(x0)

f(x)

g(x)

x0

Eksempelvis:

En ret linje går gennem punkterne A(3,5) og B(7,13). Bestem linjens ligning

Hældningskoefficienten er 𝑎 =13−5

7−3=

8

4= 2

Skæring med anden-aksen 𝑏 = 13 − 2 ∙ 7 = −1

Altså er linjens ligning 𝑦 = 2𝑥 − 1

Lav opgaver i hæftet

Skæring mellem linjer

Placerer vi to rette linjer (som ikke er lodrette) i et almindeligt koordinatsystem, så vil de altid gøre én

af følgende tre ting

1. Hvis hældningskoefficienterne er ens, men skæring med anden aksen forskellig, så er linjerne

parallelle. (graf 1)

2. Hvis hældningskoefficienterne er ens og skæring med anden aksen er ens, så er linjerne

sammenfaldende (de er også parallelle). (graf 2)

3. Hvis hældningskoefficienterne er forskellige, så er linjerne ikke parallelle, og der vil (uanset

skæring med anden aksen) være et skæringspunkt mellem linjerne. (graf 3)

Der er givet 4 linjer 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 3 og 𝑔(𝑥) = −3𝑥 − 2 og ℎ(𝑥) = 2𝑥 + 4 og 𝑖(𝑥) = −2 − 3𝑥

Hvilke kombinationer kan beskrives ved henholdsvis graf 1, graf 2 og graf 3?

Vi tager i det efterfølgende udgangspunkt i graf 3, altså at der er ét

skæringspunkt.

For at bestemme skæringspunktet, så skal vi først have en forståelse for,

at der i skæringspunktet gælder, at de to funktioner har samme værdi

altså at 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥).

Vi kan se på grafen til højre at der i skæringspunktet mellem de to linjer

må gælde at funktionsværdierne er lige store.

Henrik Søgaard Hansen, Sct. Knud Gymnasium 4

I praksis kan vi gøre det på følgende måde

1. For at bestemme x-værdien til punktet løses 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥)

Dette giver os nu vores første koordinat til punktet.

2. For at bestemme y-værdien til punktet indsættes den fundne første koordinat i en af de til

forskrifter og resultatet af dette er vores anden koordinat.

Eksempel:

Bestem skæringspunktet mellem 𝑓(𝑥) = 3𝑥 + 11 og 𝑔(𝑥) = 2𝑥 + 9

Først løser jeg 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) for at finde førstekoordinaten

3𝑥 + 11 = 2𝑥 + 9

𝑥 = −2

Så er førstekoordinaten bestemt, og andenkoordinaten findes ved at indsætte 𝑥 = −2 i enten f eller g.

𝑓(−2) = 3 ∙ (−2) + 11 = −6 + 11 = 5

Altså har vi bestemt skæringspunktet til (−2,5)

I TI Nspire kan vi løse det på to måder:

1. Grafisk således (video):

Indsæt en graf. Graftype skal være funktioner. Indskriv nu de ønskede funktioner. Vælg undersøg

grafer og derefter skæringspunkt. Nu vælges det område som indeholder skæringspunktet.

Henrik Søgaard Hansen, Sct. Knud Gymnasium 5

2. Analytisk

Vi benytter funktionen solve. Opretter en note. Vi definerer de ønskede funktioner. Vælger løs ligning

eller trykker blot ctrl+m eller på mac cmd+m, og indtaster ligningen og angiver hvilken variabel vi

ønsker fundet. Til sidst findes anden koordinaten ved at indsætte den fundne x-værdi i en af

funktionerne.

Lav opgaver i hæftet

Henrik Søgaard Hansen, Sct. Knud Gymnasium 6

Påvisning af linearitet

For at påvise en lineærsammenhæng mellem den afhængige variabel og den uafhængige variabel, så

indtegnes datasættet (variablerne) i et almindeligt koordinatsystem, og hvis der fremkommer en

tilnærmelsesvis ret linje, så gælder der lineær sammenhæng.

Efter at have konkluderet, at datapunkterne ligger pænt omkring en ret linje, så kan vi indtegne bedste

rette linje. Denne rette linje tegnes, så summen af den lodrette afstand fra punkterne og til linjen bliver

mindst mulig. Skal dette gøres systematisk, så benytter vi mindste kvadraters metode.

Eksempelvis:

Gør rede for, at der gælder lineærsammenhæng i tabellen

nedenunder, og bestem forskriften.

x 2 4 6 8 10 12

y 5.1 7.7 9.7 12.3 14.9 16.9

Jeg kan se at de ligger på en tilnærmelsesvis ret linje. (video)

Nu kan vi så manuelt indtegne bedste rette linje. Nu kan vi så

bestemme to punkter på den bedste rette linje og bestemme

linjens ligning ud fra disse. De to punkter skal ligge på linjen

(og helst langt fra hinanden hvis de blot er aflæst). Dette kaldes for lineær regression.

Lineærregression

Når vi i praksis skal lave lineærregression benytter vi os af TI Nspire.

Vi har altså bestemt bedste rette linje til de givne data, og herefter vist at den fundne funktion passer

godt med punkterne. Her er en video der regner en opgave med årstal (video)

Lav opgaver i hæftet

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 125

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

x

y

Henrik Søgaard Hansen, Sct. Knud Gymnasium 7

Proportionalitet

Hvis der gælder at sammenhængen mellem x og y opfylder enten 𝑦

𝑥= 𝑘 eller 𝑦 ∙ 𝑥 = 𝑘, for alle punkter

på grafen, så siges sammenhængen at være proportional.

Der skelnes mellem to former for proportionalitet

1. 𝑦

𝑥= 𝑘 ligefrem

2. 𝑦 ∙ 𝑥 = 𝑘 omvendt

Ligefrem proportional

Hvis der i en lineær funktion gælder at b = 0, så gælder der

ligefrem proportionalitet. Da 𝑎 =𝑦

𝑥 er konstant for alle

punkter på linjen. I dette tilfælde kaldes a også for

proportionalitetsfaktoren.

Som det ses på grafen til højre så er g(x) ligefrem

proportional, men f(x) er ikke…..

Det ses også at en ligefremproportional funktion går gennem

(0,0)

Lav opgaver i hæftet

Omvendt proportionalitet

Hvis vi har en hyperbel (𝑦 =𝑎

𝑥+ 𝑏) hvor 𝑏 = 0, så gælder der

at 𝑦 ∙ 𝑥 = 𝑘 er konstant for alle punkter på grafen. Dette kaldes

for omvendt proportionalitet.

Lav opgaver i hæftet

-1 1 2 3 4

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

y

x

f(x) = 4

g(x) = 2x

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

y=1/x

x

y

Henrik Søgaard Hansen, Sct. Knud Gymnasium 8

Ekstra: Hyperbel

Som nævnt ovenfor så er sammenhængen 𝑦 =𝑎

𝑥+ 𝑏 en hyperbel. Konstanten a angiver hvor ”hurtigt”

grafen aftager. Konstanten b angiver den værdi som funktionen nærmer sig når x bliver meget stor eller

meget lille (𝑥 → ∞𝑒𝑙𝑙𝑒𝑟𝑥 → −∞).

Alle hyperbler har y-aksen som asymptote og 𝑦 = 𝑏 som asymptote.

-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10

-10

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

10

y=1/x+2

x

y

y=8/x-3

y=0.2/x+5

Henrik Søgaard Hansen, Sct. Knud Gymnasium 9

Rentes regning som introduktion til eksponentiel vækst

Vi tager udgangspunkt i kapitalfremskrivningsformlen 𝑘𝑛 = 𝑘0(1 + 𝑟)𝑛

Hvor r er vækstraten, 𝑘0 er startkapital, n er antal terminer og 𝑘𝑛 er slutkapitalen efter n terminer.

(video)

Eks.

200kr i banken til 15% pr. år. Lad dem stå i 10år og vi har følgende stående

𝑘10 = 200 ∙ (1 + 0,15)10 = 809,112

Lad pengene blive i banken på ubestemt tid og lad os prøve at plotte hver termin for sig.

I en tabel ville det se således ud

Læg mærke til at for hver tidsenhed (år) stiger værdien med faktoren 1,15

200 ∙ 1,15 = 230, 230 ∙ 1,15 = 264.5 osv

Det ses tydeligt, at der i hvert fald ikke gælder linearitet i sammenhængen mellem funktionsværdien og

x-værdien.

Det skyldes selvfølgelig renters rente..

Lav evt. arket om ”Eksponentiel vækst 1”.

Lad slutværdien/funktionsværdien være 𝑘𝑛 = 𝑓(𝑥), dermed vil der også gælde at 𝑛 = 𝑥.

Lad startværdien 𝑘0 = 𝑏

Lad fremskrivningsfaktoren (1 + 𝑟) = 𝑎.

Nu har vi følgende formel 𝑓(𝑥) = 𝑏 ∙ 𝑎𝑥 hvilket kaldes en eksponentiel udvikling/vækst. Den rene

form f(𝑥) = 𝑎𝑥 kaldes en eksponentialfunktion.

Her gælder at a og b er faste tal og 𝑎 > 0, da vi i de reelle tal ikke kan tage kvadrat roden af negative

tal (eks. da 𝑎½ = √𝑎2

= √𝑎 ). Endvidere skal 𝑎 ≠ 1 og 𝑏 > 0.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

200. 230. 264.5 304.17 349.8 402.27 462.61 532. 611.8 703.58 809.11 930.48

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

Antal år

Indestående i kr.

Henrik Søgaard Hansen, Sct. Knud Gymnasium 10

Eksponentiel udvikling/vækst

En eksponentielvækst er på formen 𝑓(𝑥) = 𝑏 ∙ 𝑎𝑥,

𝑎 > 0, 𝑎 ≠ 1 og 𝑏 > 0

På grafen til højre ses tre eksempler på

eksponentielvækst.

Mange populationer vil have en eksponentielvækst.

Sætning: Bestemmelse af konstanterne a og b

For en eksponentiel udvikling 𝑓(𝑥) = 𝑏 ∙ 𝑎𝑥, gælder der, at man ud fra to punkter 𝐴(𝑥1, 𝑦1) og

𝐵(𝑥2, 𝑦2) på grafen kan bestemme fremskrivningsfaktoren/grundtallet a ved:

𝑎 = √𝑦2

𝑦1

𝑥2−𝑥1 (startværdien bestemmes ved 𝑏 =

𝑦1

𝑎𝑥1 eller 𝑏 =

𝑦2

𝑎𝑥2 )

Bevis: (video)

Jeg benytter min viden om punkterne 𝐴(𝑥1, 𝑦1) og 𝐵(𝑥2, 𝑦2) og opstiller:

For punktet A gælder der at 𝑦1 = 𝑏 ∙ 𝑎𝑥1

For punktet B gælder der at 𝑦2 = 𝑏 ∙ 𝑎𝑥2

Isoler b: For punktet A er 𝑏 =𝑦1

𝑎𝑥1 og for punktet B er 𝑏 =

𝑦2

𝑎𝑥2

Da 𝑏 = 𝑏 uanset placering af punkterne, fås: 𝑦1𝑎𝑥1

=𝑦2𝑎𝑥2

𝑎𝑥2

𝑎𝑥1=𝑦2𝑦1

𝑎𝑥2−𝑥1 =𝑦2𝑦1

𝑎 = √𝑦2𝑦1

𝑥2−𝑥1

Hermed bevist

(0,b) A(x1,y1)

B(x2,y2)

x

y 𝑓(𝑥) = 𝑏 ∙ 𝑎𝑥

Henrik Søgaard Hansen, Sct. Knud Gymnasium 11

Eksempelvis:

Vi skal bestemme forskriften for f, der løber gennem 𝐴(2,2) og 𝐵(4,8)

Fremskrivningsfaktoren

𝑎 = √8

2

4−2

= √4 = 2

Skæring med anden-aksen bliver

𝑏 =8

24=

8

16=1

2

Altså bliver forskriften 𝑓(𝑥) =1

2∙ 2𝑥, og vi kan se at den procentvisevækst er (2 − 1) ∙ 100% =100%

Lav opgaver i hæftet

Henrik Søgaard Hansen, Sct. Knud Gymnasium 12

Introduktion til logaritmer Tag udgangspunkt i følgende eksponentialfunktioner: 𝑓(𝑥) = 10𝑥 og 𝑔(𝑥) = 𝑒𝑥 (den naturlige

eksponentialfunktion). (video)

Vi kan se at begge funktioner er injektive dvs. de har en invers funktion. (VIGTIGT)

Den inverse funktion for f(x) kaldes for (titals)logaritmen til x og skrives 𝑙𝑜𝑔10(𝑥) = log(𝑥).

Den inverse funktion for g(x) kaldes for den naturlige logaritme til x og skrives ln(x).

Helt generelt gælder der, at til 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 er den inverse 𝑔(𝑥) = 𝑙𝑜𝑔𝑎(𝑥).

Grafisk set har vi i nedenstående indtegnet:

Logaritmer 1. "Ti-tals-logaritmen" log, som bruger 10 som grundtal.

2. "Den naturlige logaritme" ln som bruger e som grundtal. e har en talværdi på ca. 2,718281828

og kaldes for Eulers tal.

3. Generelt gælder der 𝑙𝑜𝑔𝑎(𝑥) = 𝑏 da 𝑎𝑏 = 𝑥. Her er et par eksempler:

log(100) = 𝑙𝑜𝑔10(100) = 2, da 102 = 100 (vi tæller blot nuller )

𝑙𝑜𝑔2(16) = 4, da 24 = 16.

𝑙𝑜𝑔4(64) = 3, da 43 = 64.

Lav opgaver i hæftet

-3 -2.4 -1.8 -1.2 -0.6 0.6 1.2 1.8 2.4 3

-3

-2

-1

1

2

3

f(x) = 10^xf(x)1 = x

f(x)2 = log(x)

Henrik Søgaard Hansen, Sct. Knud Gymnasium 13

Ved blot at huske på, at eksponetialfunktioner og logaritmer er hinandens inverse, fås

grundformler nemt ved at indsætte den ene funktion i den anden og omvendt (sammensatte

funktioner).

(1) 𝐥𝐨𝐠(𝟏𝟎𝒙) = 𝒙 og 𝟏𝟎𝐥𝐨𝐠(𝒙) = 𝒙

(2) 𝐥𝐧(𝒆𝒙) = 𝒙 og 𝒆𝐥𝐧(𝒙) = 𝒙

(3) 𝒍𝒐𝒈𝒂(𝒂𝒙) = 𝒙 og 𝒂𝒍𝒐𝒈𝒂(𝒙) = 𝒙

Logaritmeregneregler I de følgende logaritme regneregler vil jeg tage udgangspunkt i den grundformel, som siger at

10log(𝑥) = 𝑥, hvilket kan omskrives til 10log(𝑎) = 𝑎 og 10log(𝑏) = 𝑏. Herefter benyttes

potensregneregler. Til sidst benytter jeg at log(10𝑥) = 𝑥. Dette gør at udgangspunktet for beviserne er

ens. (video)

Sætning: Logaritmen til en potens

Man tager logaritmen til en potens ved at tage logaritmen til roden og gange den med eksponenten.

log(𝑎𝑥) = 𝑥 ∙ log(𝑎)

Bevis

log(𝑎𝑥) = log((10log(𝑎))𝑥) = 𝑙𝑜𝑔(10(log(𝑎)∙𝑥)) = 𝑥 ∙ log(𝑎)

Hermed bevist

Eksempelvis: Løs 3𝑥 = 7

3𝑥 = 7

log(3𝑥) = log(7)

𝑥 ∙ log(3) = log(7)

𝑥 =log(7)

log(3)= 1.77124

Hermed er x fundet til ca. 1.7712.

Sætning: Logaritmen til et produkt

Logaritmen til et produkt er summen af faktorernes logaritmer

log(𝑎 ∙ 𝑏) = log(𝑎) + log(𝑏)

Bevis

log(𝑎 ∙ 𝑏) = log(10log(𝑎) ∙ 10log(𝑏)) = log(10log(𝑎)+log(𝑏)) = log(𝑎) + log(𝑏)

Hermed bevist

Eksempelvis: log(8)

log(4)=

log(4∙2)

log(4)=

log(4)+log(2)

log(4)=

log(4)

log(4)+

log(2)

log(4)= 1 +

log(2)

log(22)= 1 +

log(2)

2log(2)= 1 +

1

2= 1.5

Henrik Søgaard Hansen, Sct. Knud Gymnasium 14

Sætning: Logaritmen til en brøk

Logaritmen til en brøk er logaritmen til tælleren minus logaritmen til nævneren.

log (𝑎

𝑏) = log(𝑎) − log(𝑏)

Bevis

log (a

b) = log (

10log(a)

10log(b)) = log(10log(a)−log(b)) = log(a) − log(b)

Hermed bevist

Eksempelvis: log(9)−log(3)

log(3)=

log(9

3)

log(3)=

log(3)

log(3)= 1

Lav opgaver i hæftet

Udgangspunktet i ovenstående kunne lige så godt have været 𝑎𝑙𝑜𝑔𝑎(𝑥) = 𝑥, hvilket kan omskrives til

𝑎𝑙𝑜𝑔𝑎(𝑢) = 𝑢 og 𝑎𝑙𝑜𝑔𝑎(𝑣) = 𝑣, samt at log𝑎(𝑎𝑥) = 𝑥. Så skulle a og b i sætningerne blot være udskiftet

til u og v. Beviserne kan ses HER. Strengt taget har vi vist, at reglerne gælder for alle

logaritmefunktioner, uanset grundtal.

Sætning: Logaritmen med grundtal a er proportional med titals-logaritmen

Logaritmefunktionen med grundtal a er proportional med ti-talslogaritmen. Dvs.

𝑙𝑜𝑔𝑎(𝑥) = 𝑘 ∙ log(𝑥) (𝑥 > 0)

Hvor 𝑎 > 0 og 𝑎 ≠ 1𝑥 og 𝑘 =1

log(𝑎)

Bevis

Da 𝑙𝑜𝑔𝑎(𝑥) er den inverse funktion til eksponentialfunktionen med grundtal a, kan jeg bruge at

𝑎𝑙𝑜𝑔𝑎(𝑥) = 𝑥, x > 0.

Dermed kan vi skrive

log(𝑥) = log(𝑎𝑙𝑜𝑔𝑎(𝑥)) = log𝑎(𝑥) ∙ log(𝑎)

Da grundtallet a er konstant, er log(𝑎) konstant. Da 𝑎 ≠ 1 er log(𝑎) ≠ 0, så vi kan dividere med

log(𝑎) og får dermed

𝑙𝑜𝑔𝑎(𝑥) =log(𝑥)

log(𝑎)= log(𝑥) ∙

1

log(𝑎)

Heraf fremgår det, at 𝑙𝑜𝑔𝑎(𝑥) er proportional med log(𝑥) , hvor proportionalitetsfaktoren er 1

log(𝑎)

Den naturlige logaritmefunktion ln(𝑥) er proportional med log(𝑥) hvor 𝑘 =1

log(𝑒) .

Hermed bevist

Henrik Søgaard Hansen, Sct. Knud Gymnasium 15

Tilbage til eksponentielle sammenhænge

Halveringskonstant

Hvis 𝟎 < 𝒂 < 𝟏 er funktionen aftagende. Med andre ord en negativ

vækstrate.

Halveringskonstanten er et udtryk for hvor lang tid der går før end

funktionsværdien er halveret. (video)

Den kan bestemmes som 𝑇1

2

= 𝑥2 − 𝑥1

Sætning: Halveringskonstanten Ud fra fremskrivningsfaktoren a i en eksponentielfunktion 𝑓(𝑥) = 𝑏 ∙ 𝑎𝑥, kan halveringskonstanten

bestemmes som

𝑇12=𝑙𝑜𝑔(

12)

log(𝑎)

Bevis (video)

Da halveringskonstanten er den tilvækst i x-værdier som resulterer i den

halve funktionsværdi, må der gælde at: 𝑓(𝑥2) =1

2∙ 𝑓(𝑥1)

Udfra forskriften 𝑓(𝑥) = 𝑏 ∙ 𝑎𝑥 fås:

𝑏 ∙ 𝑎𝑥2 =1

2∙ 𝑏 ∙ 𝑎𝑥1

𝑎𝑥2 =1

2∙ 𝑎𝑥1

𝑎𝑥2

𝑎𝑥1=1

2

𝑎𝑥2−𝑥1 =1

2

log(𝑎𝑥2−𝑥1) = log(1

2)

(𝑥2 − 𝑥1) ∙ log(a) = log(1

2)

𝑇12= (𝑥2 − 𝑥1) =

log(12)

log(a)

Hermed bevist

-4 -2

8

16(x1 , f(x1)) = (-4 , 16)

(x2 , f(x2)) = (-2 , 8)

T½ = x2 - x1 = 2

x

y

x1 x2

f(x1)

f(x2)=0.5*f(x1)

T1/2

𝑓(𝑥) = 𝑏 ∙ 𝑎𝑥

(0,b)

16

Udfra sætningen kan vi se, at da a er konstant i eksponentialfunktionen, da er halveringskonstanten

konstant uafhængig af valgt 𝑥1.

Eksempelvis:

Hvis vi har en eksponentiel funktion givet ved 𝑓(𝑥) = 4.3 ∙ (1

16)𝑥

, da vil halveringskonstanten kunne

bestemmes som

𝑇12=

log (12)

log (116)

=log(1) − log(2)

log(1) − log(16)=

0 − log(2)

0 − log(16)=

−log(2)

−log(16)=

log(2)

log(16)

Her benytter vi os at et lille trick. 16 = 24

𝑇12=

log(2)

log(24)=

log(2)

4 ∙ log(2)=1

4

Hermed blev halveringskonstanten 1

4

Hvis vi ikke kan lave det lille trick, må vi benytte os af TI Nspire eller lommeregner.

Lav opgaver i hæftet

Fordoblingskonstant

Hvis 1 < 𝑎 er funktionen voksende. Med andre ord en

positiv vækstrate.

Fordoblingskonstanten er et udtryk for hvor stor en tilvækst

i x-værdierne, der skal til før end funktionsværdien er

fordoblet. (video)

Kan bestemmes ved 𝑇2 = 𝑥2 − 𝑥1

17

Sætning: Fordoblingskonstanten

Ud fra fremskrivningsfaktoren a i en eksponentiel funktion 𝑓(𝑥) = 𝑏 ∙ 𝑎𝑥 kan vi bestemme

fordoblingskonstanten som

𝑇2 =log(2)

log(𝑎)

Bevis (video)

Da fordoblingskonstanten er den tilvækst i x-værdier som resulterer i den

dobbelte funktionsværdi, må der gælde at: 𝑓(𝑥2) = 2 ∙ 𝑓(𝑥1). Altså:

𝑏 ∙ 𝑎𝑥2 = 2 ∙ 𝑏 ∙ 𝑎𝑥1

𝑎𝑥2 = 2 ∙ 𝑎𝑥1

𝑎𝑥2

𝑎𝑥1= 2

𝑎𝑥2−𝑥1 = 2

log(𝑎𝑥2−𝑥1) = log(2)

(𝑥2 − 𝑥1) ∙ log(a) = log(2)

𝑇2 = (𝑥2 − 𝑥1) =log(2)

log(a)

Hermed bevist

Ud fra sætningen kan vi se, at da a er konstant i funktionen, da er fordoblingskonstanten konstant

uafhængig af valgt 𝑥1.

Eksempelvis:

Hvis vi skal bestemme fordoblingskonstanten for 𝑓(𝑥) = 3 ∙ 8𝑥, kan det gøres ved

𝑇2 =log(2)

log(8)

Her benytter vi os at et lille trick. 8 = 23

𝑇2 =log(2)

log(23)=

log(2)

3 ∙ log(2)=1

3

Lav opgaver i hæftet

x

y

x1

(0,b)

x2

T2

f(x1)

f(x2)=2*f(x1)

𝑓(𝑥) = 𝑏 ∙ 𝑎𝑥

18

1 2 3 4 5 6 7 8 9 100.5

0.75

1

1.25

1.5

1.75

2

2.25

2.5

2.75

3

3.25

3.5

x

log(y)

Påvisning af eksponentielvækst

Hvis vi skal påvise en eksponentiel sammenhæng mellem givne

dataværdier, kan vi indtegne dataene på et enkeltlogaritmiskpapir.

Her er 1. aksen en almindelig enhedsakse, men 2. aksen er en

logaritmisk akse (decade-akse). Se grafen til højre for et eksempel

på anvendelse af enkeltlogaritmiskpapir.

Prøv at aflæse 4 punkter på grafen og kontroller om det passer.

Lav opgaver i hæftet

Men vi behøver ikke sidde og tegne ind på et enkeltlogaritmiskpapir. Vi kan i stedet benytte vores

grafværktøj til at konstruere en lineær sammenhæng.

x 1 2 3 4 6 8 10

y 5,9 12 25 45 195 765 3070

Hvis vi f.eks. skal gøre rede for om følgende datasæt er eksponentielt fordelt, så gør vi følgende.

Da anden-aksen er en logaritmiskakse (se næste sætning), så kan vi

plotte punkterne (x,log(y))

Vi opretter vores data i to lister, og efterfølgende tager logaritmen på

y-værdierne.

Nu plotter vi vores x-værdier (x_list) og vores nye y-værdier (ylog_list)

Da punkterne ligger tilnærmelsesvis på en ret linje, så må der gælde eksponentielsammenhæng. (video)

Lav opgaver i hæftet

x_list := 1, 2, 3, 4, 6, 8, 10y_list := 5.9, 12, 25, 45, 195, 765, 3070ylog_list := log y_list

19

Eksponentielregression

Hvis vi skal bestemme forskriften for forrige tabel ved hjælp af TI Nspire, så gør vi følgende:

Vi kan se på grafen af regressionen og punkterne passer godt sammen, men det er ikke det samme som

at påvise en eksponentielvækst.

Her er en video der viser regression ved årstal (video).

Lav opgaver i hæftet

Sætning: Lineær sammenhæng mellem 𝐥𝐨𝐠(𝒚) og x.

For en eksponentielsammenhæng 𝑦 = 𝑏 ∙ 𝑎𝑥 gælder der, at der er en lineær sammenhæng mellem

log(𝑦) og x.

Bevis (video)

Der må gælde at:

𝑦 = 𝑏 ∙ 𝑎𝑥

log(𝑦) = log(𝑏 ∙ 𝑎𝑥)

log(𝑦) = log(𝑏) + log(𝑎𝑥)

log(𝑦) = 𝑙𝑜𝑔(𝑎) ∙ 𝑥 + log(𝑏)

Her kan vi se at der gælder en lineærsammenhæng mellem x og log(𝑦), og dermed en ret linje på et

enkeltlogaritmisk papir.

Hermed bevist

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

1.2

1.3

log(y)

x

20

1 2 3

1

2

3

4

f1(x)f2(x)

1 2 3 4 5

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

g1(x)

g2(x)

h1(x) h2(x)

Potensfunktioner

Vi skal nu se på potensfunktioner 𝑓(𝑥) = 𝑏 ∙ 𝑥𝑎 hvor 𝑥 > 0 og 𝑏 > 0

Værdierne a og b er faste tal. (video)

Hvis a< 0 er grafen aftagende.

Eksempelvis 𝑓1(𝑥) = 3𝑥−3 og 𝑓2(𝑥) = 0.2𝑥−0.4

Hvis a > 0 er grafen voksende, men der gælder yderligere at:

hvis 0 < a < 1 så vokser grafen degressivt:

𝑔1(𝑥) = 2𝑥0.5 og 𝑔2(𝑥) = 0.5𝑥0.8

hvis a > 1 så vokser grafen progressivt:

ℎ1(𝑥) = 3𝑥1.5 og ℎ2(𝑥) = 0.4𝑥3 eller

Særtilfælde

Hvis a = 0 er grafen en ret linje f(x) = b (konstant, vandret)

Hvis a = 1 er grafen en ret linje f(x) = b∙x (sammenhængen mellem y og x er proportional)

Der gælder for alle potensfunktioner, at de løber i gennem punktet P(1,b), hvor b er værdien fra

forskriften. Prøv at kontrollere med de ovenstående grafer.

21

Sætning: Beregning af konstanterne a og b

For en potensfunktion 𝑓(𝑥) = 𝑏 ∙ 𝑥𝑎 hvor 𝑥 > 0 gælder der, at man udfra to punkter 𝐴(𝑥1, 𝑦1) og

𝐵(𝑥2, 𝑦2) på grafen kan bestemme konstanten a ved:

𝑎 =log(𝑦2) − log(𝑦1)

log(𝑥2) − log(𝑥1) hvor 𝑥2 ≠ 𝑥1 (konstanten b bestemmes ved 𝑏 =

𝑦1

𝑥1𝑎 )

Bevis (video)

Jeg benytter min viden om punkterne 𝐴(𝑥1, 𝑦1) og 𝐵(𝑥2, 𝑦2) og opstiller

følgende:

For punktet A gælder der at 𝑦1 = 𝑏 ∙ 𝑥1𝑎 og for punktet B gælder der at

𝑦2 = 𝑏 ∙ 𝑥2𝑎

Isoler b: For punktet A er 𝑏 =𝑦1

𝑥1𝑎 og for punktet B er 𝑏 =

𝑦2

𝑥2𝑎

Da 𝑏 = 𝑏 fås: 𝑦1𝑥1𝑎

=𝑦2𝑥2𝑎

𝑥2𝑎

𝑥1𝑎=𝑦2𝑦1

(𝑥2𝑥1)𝑎

=𝑦2𝑦1

𝑙𝑜𝑔 ((𝑥2𝑥1)𝑎

) = 𝑙𝑜𝑔 (𝑦2𝑦1)

𝑎 ∙ 𝑙𝑜𝑔 (𝑥2𝑥1) = 𝑙𝑜𝑔 (

𝑦2𝑦1)

𝑎 =𝑙𝑜𝑔 (

𝑦2𝑦1)

𝑙𝑜𝑔 (𝑥2𝑥1)

𝑎 =log(𝑦2) − log(𝑦1)

log(𝑥2) − log(𝑥1)

Hermed bevist

x

y

A(x1,y1)

B(x2,y2)

(1,b)

y=b*x^a𝑓(𝑥) = 𝑏 ∙ 𝑥𝑎

22

Eksempelvis:

Bestem forskriften for grafen for funktionen 𝑓(𝑥) = 𝑏 · 𝑥𝑎, som går gennem punkterne 𝐴(2,20) pg

𝐵(4,160)

Hertil benytter jeg formlerne for a og b

𝑎 =log(160) − log(20)

log(4) − log(2)= 3

𝑏 =20

23=5

2= 2,5

Dermed er forskriften fundet til 𝑓(𝑥) = 2,5 · 𝑥3

Lav opgaver i hæftet

23

Tidligere så vi at lineære funktioner 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏 voksede med en bestemt enhed hver gang x steg

med 1.

Vi så senere at eksponentielle funktioner 𝑓(𝑥) = 𝑏 ∙ 𝑎𝑥 steg med en bestemt procent/faktor hver gang

x steg med 1.

Nu skal vi se at potens funktioner 𝑓(𝑥) = 𝑏 ∙ 𝑥𝑎 stiger med en bestemt faktor 𝑘𝑎 hver gang x stiger

med en faktor k. Hvilket er afbildet på grafen til højre.

Sætning: Stigende faktor

Funktionen stiger eller falder med en bestemt faktor 𝑘𝑎 hver gang x-værdien stiger/falder med en

faktor k.

Bevis (video)

Til 𝑥1 må høre 𝑓(𝑥1) = 𝑏 ∙ 𝑥1𝑎. Lad nu 𝑥1 stige med en faktor

k. Nu har vi at 𝑥2 = 𝑘 ∙ 𝑥1 Nu kan vi bestemme den dertil svarende funktionsværdi:

𝑓(𝑥2) = 𝑓(𝑘 ∙ 𝑥1) = 𝑏 ∙ (𝑘 ∙ 𝑥1)𝑎 = 𝑘𝑎 ∙ 𝑏 ∙ 𝑥1

𝑎 = 𝑘𝑎 ∙ 𝑓(𝑥1)

Hermed Bevist

Hermed kan vi se, at når vi går en procent ud af 1. aksen, så går

vi en procent op af 2. aksen

Eksempelvis:

Funktionen 𝑓(𝑥) = 3.2 ∙ 𝑥2.4 er givet. Hvis x øges med 34% hvor meget øges funktionsværdien så med

Jeg kender 𝑎 = 2.4 og den faktor som jeg ganger min x værdi med, nemlig 𝑘 = (1 +34

100) = 1.34

Dermed bliver den faktor som vi forøger funktionsværdien med 𝑘𝑎 = 1.342.4 = 2.019

Dette vil i procent svare til (2.019 − 1) ∙ 100% = 101.9%

Lav opgaver i hæftet

1 2 3 4 5

18

36

54

72

90

108

126

144

162

180

198

216

234

f(x2)=k^a * f(x1)

y

x

f(x1)

x1 x2 = k*x1

f(x) = 2*x^3𝑓(𝑥)

24

Påvisning af potens sammenhæng Man kan undersøge om sammenhængen mellem to variabler tilnærmelsesvis kan beskrives ved en

potensfunktion, ved at indtegne punkterne på dobbeltlogaritmisk papir og kontrollere om punkterne

med god tilnærmelse ligger på en ret linje.

Det dobbeltlogaritmiske papir har to decadeakser, hvor det enkeltlogaritmiske papir kun har en

decadeakse.

Hvis de ligger på en tilnærmelsesvis god ret linje, så gælder der potenssammenhæng mellem den

afhængige variabel y og den uafhængige variabel x.

På det nedenstående dobbeltlogaritmiske papir er tegnet tre potensfunktioner.

Lav opgaver i hæftet

25

Men vi behøver ikke håndtere det dobbeltlogaritmiske papir. Vi kan benytte vores grafværktøj.

Hvis vi for eksempel har givet følgende sammenhæng:

x 0,5 1 1,5 2 2,5 3 4 5

f(x) 1 4 9 16 25 36 64 100

Vi påviser potenssammenhæng ved at indtegne punk-

terne (log(𝑥) , log(𝑦)) i et almindeligt koordinatsystem

Vi opretter de to lister

Udfra disse opretter vi så to nye lister

Disse to plottes nu i et koordinatsystem som vist til

højre. (video)

Da punkterne ligger på en tilnærmelsesvis ret linje

gælder det potenssammenhæng mellem x og y.

Lav opgaver i hæftet

Potensregression

Hvis vi så skal bestemme forskriften for potenssammenhængen, så benytter vi os af potensregression.

Vi opretter de to originale lister og laver potensregression på disse, og bagefter gemmer ligningen som

f(x). Til sidst kan vi vælge at indtegne graf og punkter og se om de passer sammen. (video)

Lav opgaver i hæftet

x_list := 0.5, 1, 1.5, 2, 2.5, 3, 4, 5y_list := 1, 4, 9, 16, 25, 36, 64, 100

x2_list := logx_listy2_list := log y_list

-0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6

-0.4

-0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

log(x)

log(y)

26

Sætning: 𝐥𝐨𝐠(𝒚) af hænger lineært af 𝐥𝐨𝐠(𝒙)

I en potensfunktion 𝑦 = 𝑏 ∙ 𝑥𝑎 eller 𝑓(𝑥) = 𝑏 ∙ 𝑥𝑎, gælder der at log(𝑦) afhænger lineært af log(𝑥).

Bevis (video)

Der må gælde at:

𝑦 = 𝑏 ∙ 𝑥𝑎

log(𝑦) = log(𝑏 ∙ 𝑥𝑎)

log(𝑦) = log(𝑏) + log(𝑥𝑎)

log(𝑦) = 𝑎 ∙ 𝑙𝑜𝑔(𝑥) + log(𝑏)

Herfra kan vi se at der gælder en lineær sammen hæng mellem

log(y) og log(x). Se grafen til højre for eksempel.

Hermed bevist

I ovenstående bevis kan vi se, at hældningskoefficienten a er en konstant. Vores log(𝑦) er det tal, som

10 skal opløftes i for at give os vores oprindelige y, og 𝑙𝑜𝑔(𝑥) er det tal, som 10 skal opløftes i, for at

give os vores oprindelige x i vores potens sammenhæng.

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

0.25

0.5

0.75

1

1.25

1.5

1.75

2

2.25

2.5

log(y)

log(x)

27

A

By2

y1

x2

x

y

x1

a

b

Cirkler

Vi har i ovenstående beskæftiget os med funktioner, hvilket betød en entydig sammenhæng mellem y

og x (se eventuelt noterne om funktioner for mere viden.). Nu skal vi kigge på cirkler, som ikke kan

beskrives ved funktioner men ved en ligning. (video)

Inden vi viser cirklens ligning, så skal vi først kigge på afstande mellem punkter i koordinatsystemet.

Sætning: Afstand mellem to punkter

Afstanden mellem to punkter 𝐴(𝑥1, 𝑦1) og 𝐵(𝑥2, 𝑦2) er givet ved

|𝐴𝐵| = √(𝑥2 − 𝑥1)2 + (𝑦2 − 𝑦1)2

Bevis: (video)

Hvis vi kigger på de to punkter i et koordinatsystem, er det

åbenlyst, at vi kan skabe en retvinklet trekant med |AB|

som hypotenusen.

Ifølge Pythagoras kan vi nu bestemme afstanden| ved

𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2.

𝑎 = 𝑦2 − 𝑦1

𝑏 = 𝑥2 − 𝑥1

𝑐 = |𝐴𝐵|

Læg mærke til, at afhængig af placering af A og B, kan a

og b være både positive og negative, men da vi senere

sætter disse i anden, er det uden betydning.

Dette kan nu sættes ind i Pythagoras lærersætning

(𝑦2 − 𝑦1)2 + (𝑥2 − 𝑥1)

2 = |𝐴𝐵|2 <=> ±√(𝑦2 − 𝑦1)2 + (𝑥2 − 𝑥1)2 = |𝐴𝐵|

Da en længde ikke kan være negativ har vi √(𝑦2 − 𝑦1)2 + (𝑥2 − 𝑥1)2 = |𝐴𝐵|

Hermed bevist

Eksempelvis.

Bestem afstanden mellem punkterne A(2,3) og B(6,6).

|𝐴𝐵| = √(𝑥2 − 𝑥1)2+(𝑦2 − 𝑦1)2 = √(6 − 2)2 + (6 − 3)2 = √42 + 32 = 5

Afstanden mellem punkterne er altså 5.

Lav opgaver i hæftet

28

-2 2 4 6 8 10

-2

2

4

6

8

10

C(x1,y1)

P(x,y)

x

y

Eksempelvis

Bestem afstanden mellem punkterne A(3,2)

og B(6,6). (video)

|𝐴𝐵| = √(𝑥2 − 𝑥1)2+(𝑦2 − 𝑦1)2 =

√(6 − 3)2 + (6 − 2)2 = √32 + 42 = 5

Afstanden mellem punkterne er altså 5.

I Nspire kan vi også måle afstanden mellem

to punkter ved følgende:

Indtast de to punkter.

Vælg geometri -> Målinger -> Længde

Og herefter udpeges de to punkter, hvor til

afstanden skal bestemmes.

Nu kan vi vende os mod cirklen igen. Når

man skal tegne en cirkel med en passer,

vælger man en radius og et centrum, og

tegner derudfra cirklen. En cirkel er med

andre ord mængden af punkter med en

bestemt afstand (radius) til et givent punkt (centrum).

Sætning: Cirklens ligning

Cirklen med centrum i 𝐶(𝑥1, 𝑦1) og radius r har ligningen:

(𝑥 − 𝑥1)2 + (𝑦 − 𝑦1)

2 = 𝑟2

Bevis: (video)

Tegningen viser en cirkel med centrum 𝐶(𝑥1, 𝑦1) og en

radius r. Vi lader 𝑃(𝑥, 𝑦) være et punkt på cirkelbuen.

Afstanden |CP| kan via afstandsformlen bestemmes ved

|𝐶𝑃| = √(𝑥 − 𝑥1)2 + (𝑦 − 𝑦1)2 = 𝑟 <=>

(𝑥 − 𝑥1)2 + (𝑦 − 𝑦1)

2 = 𝑟2

Da P hele tiden ligger på cirklen, må et hvert punkt på

cirklen opfylde denne ligning.

Hermed bevist

29

Eksempelvis:

Cirklen med centrum i 𝐶(4,2) og radius 𝑟 = 3 har ligningen

(𝑥 − 4)2 + (𝑦 − 2)2 = 32

Eller. Hvad kan vi sige om (𝑥 − 2)2 + (𝑦 + 5)2 = 36?

Det er en cirkel med radius 6 og centrum i 𝐶(2,−5)

Lav opgaver i hæftet

I Nspire kan du tegne en cirkel ved at vælge at

konstruere en cirkel i et grafvindue. (video)

1. Når cirkel konstruktionen er valgt

trykkes ”(”. Herefter angives

førstekoordinaten til centrum. Tryk

enter.

2. Her efter vælges andenkoordinaten til

centrum. Tryk enter

3. Her efter angives radius

4. Tryk enter

Lav opgaver i hæftet