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2

1

1

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SAMPLE○許可なしに転載・複製することを禁じます。

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○許可なしに転載・複製することを禁じます。

4 6

3 5**

2 3

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　次のデータは，生徒 5人に小テストを行って得られた得点である。　　　5，7，6，3，9このとき，次の各問いに答えよ。⑴　このデータの平均値を求めよ。⑵　このデータの分散を求めよ。⑶　このデータの標準偏差を求めよ。

　下の表は，Aと Bのテストを 5人の生徒に対して行って得られた得点の表である。Aと Bのテストの平均値が等しいとき，次の各問いに答えよ。ただし，テストAの得点を変量 x，テスト Bの得点を変量 yとする。

生徒 ① ② ③ ④ ⑤x 5 3 9 6 7

y 6 9 7 p 3

⑴　変量 yの標準偏差 sy を求めよ。⑵　変量 xと変量 yの共分散 sxy を求めよ。⑶　変量 xと変量 yの相関係数 rを求めよ。

　円に内接する四角形ABCDにおいて， 7 2AB= ， 8BC= ， 2CD= ， 45ABC c+ = とする。⑴　対角線ACの長さを求めよ。⑵　四角形ABCDが内接している円の半径 R を求めよ。⑶　辺ADの長さを求めよ。⑷　四角形ABCDの面積 S を求めよ。⑸　対角線 BDの長さを求めよ。（2012年　慶応大・表記変更）

8 10

7 9

**

*

4 5

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　表の出る確率が p，裏の出る確率が qである硬貨を用意する。ここで p，qは正の定数で，1p q+ = を満たすとする。座標平面における領域 D を {( ) }, ,D x y x y0 2 0 2E E E E= とし，

D 上を動く点 Qを考える。Qは点 ( , )0 0 から出発し，硬貨を投げて表が出れば x軸方向に 1+ だけ進み，裏が出れば y軸方向に 1+ だけ進む。なお，この規則で D 上を進めないときには，その回はその点にとどまるものとする。⑴　硬貨を 4回投げて Qが点 ( , )2 2 に到達する確率 P4 を求めよ。⑵　硬貨を 5回投げて 5回目に初めて Qが点 ( , )2 2 に到達する確率 P5 を求めよ。

⑶　P91

5 = のとき，pの値を求めよ。（2012年　岡山大）

　次の⑴，⑵が成り立つことを示せ。⑴　整数 nの平方 n2 を 3で割った余りは 0または 1であることを示せ。⑵ 　⑴を用いて，整数 a，b，cについて，a b c2 2 2+ = が成り立つとき，a，bの少なくとも一方は

3の倍数であることを示せ。

12 14

11 13

** *

6 7

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　太郎さんと花子さんのクラスでは，数学の授業で先生から次のような宿題が出された。　以下， A+ ， B+ の大きさをそれぞれ A，Bと表す。　　宿題　　　 60A c+ = の鋭角三角形 ABCがある。 ABCi の外接円の半径を

Rとするとき　　　　　 R B R B3AB sin cos= +

　　であることを証明せよ。

この宿題について，太郎さんと花子さんが話をしている。　花子：点 Cから直線 ABに垂線を下ろし，直線 ABとの交点を Hとすると　　　　　　　AB AH BH= +

　　　　となることは使えないかな。　太郎：線分 AHと BHの長さは AC，BC，A，Bを使って表されるよ。　　　　　　　AH = ア，BH = イ

　　　　だよね。だから　　　　　　　AB = ア + イ　……①　　　　となるね。　花子：正弦定理を使って，辺 ACと BCの長さを表してみると　　　　　　　AC = ウ，BC = エ　……②　　　　となることがわかるね。

　太郎：わかった！ A 60c+ = であることから，sinA　　　

　　　= ，cosA

　　　

　　　= なので，①と

②から　　　　　　　 R B R B3AB sin cos= +

　　　　となるね。ア，イについては，当てはまるものを，次の 0～ 7のうちから 1つずつ選べ。

　 0　 sinAAC 　　　 1　 sinABC 　　 2　 cosAAC 　　　３　 cosABC

　 4　 sinBAC 　　　 5　 sinBBC 　　　 6　 cosBAC 　　　 7　 cosBBC

ウ，エについては，当てはまるものを，次の 0～ 7のうちから 1つずつ選べ。

　 0　 sinR A　　　 1　2 sinR A　　　 2　 cosR A　　　３　2 cosR A

　 4　 sinR B　　　 5　2 sinR B　　　 6　 cosR B　　　 7　2 cosR B

オ～クについては，当てはまる数を答えよ。

60c

A

B C

オカ

キク

17

15 16*

8 9

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19 21

18 20** *

10 11

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　 ( )f x x x x x7 14 7 14 3 2= - + - + は，各項の係数が整数であり，x2 を中心として対称になっている。以下は，このような整式 ( )f x を各項の係数が整数である整式に因数分解する方法を考えているとき，Aさんと Bさんは次のような会話をした。ア～テに当てはまる数，または符号を答えよ。Aさん： ( )( )x x x x x x px qx r7 14 7 14 3 2 3 2a- + - + = - + + + （a，p，q，rは整数）　……（＊）　　　　と因数分解できると仮定してみよう。（＊）を xについての恒等式とみて定数項に注目す

ると， r 1a- = となり a，rは 1の約数であるから，a の候補は 1と 1- しかないよ。　　　　また，x a- を因数にもてば， ( )f 0a = になるよ。Bさん： x 1= を代入すると， ( )f 1 の値はア，x 1=- を代入すると， ( )f 1- の値はイウ

となるから， ( )f x は，x 1- ，x 1+ のどちらも因数にもたないね。　　　　だから，（＊）のようには因数分解できないことになるね。Aさん：次に， ( )f x は係数が整数である xの 2次式を因数にもつと考えてみよう。　　　　 x4 の係数は 1であるから　　　　　　 ( )( )x x x x x ax m x bx n7 14 7 14 3 2 2 2- + - + = + + + + （a，b，m，nは整数）　　　　これを xについての恒等式とみて定数項に注目すると，mn 1= となり，m，nは整数で

あるからm，nの組の候補は　( , ) ( , )m n 1 1= - - ，( , )1 1 となるよね。　　　　つまり　 ( )( )x x x x x ax x bx7 14 7 1 114 3 2 2 2- + - + = + + -- 　……①　　　　または　 ( )( )x x x x x ax x bx7 14 7 1 1 14 3 2 2 2- + - + = + ++ + 　……②　　　　となって，①，②を xについての恒等式とみて，a，bの値が整数であるものが存在すれ

ばいいんだよ。Bさん：①を xについての恒等式とみると，x3 の係数からは a b+ = エオ　……③，　　　　 x2 の係数からは ab = カキ，xの係数からは a b+ = ク　……④　　　　 ③，④を同時に満たす整数 a，bの値は存在しないから，①のようには因数分解できない

ね。　　　　 ②を xについての恒等式とみて a b+ = ケコ，ab = サシを解くと，a，bの値は整

数となるね。　　　　よって， ( )f x を因数分解すると　 ( ) ( 1)( 1)f x x x x x2 2　　　　　　= - + - + となるん

だね。Aさん：次は別の方法で， ( )g x x x x x2 5 8 5 24 3 2= - - - + を因数分解してみよう。　　　　まず，x2 でくくると

　　　　　　 ( )g x x x xx x

2 5 85 22 2

2= - - - +c m

　　　　ここで，xx

c1

+ = とおいて xx12

2+ を cを用いて表すと　xx

c12

22+ = - ソ

　　　だから， ( )g x は　　　　　 ( ) ( )g x x c c2 52 2 　　　= - -

　　　　　　　 (2 )( )x c c2 　　　　　　= + -

　　　となるから， ( )g x は　　　　　 ( ) (2 2)( 1)g x x x x x2 2　　　　　　= + + - +

　　　と因数分解できるよ。

スセ

タチ

テツ

テツ

23

22 24

**

* **

12 13

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26 28

25 27

**

*

14 15

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SAMPLE


30 32

29 31

*

**

16 17

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SAMPLE


34 36

33 35** *

18 19

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　座標平面上に，原点を中心とする半径 2の円 Cと点 ( , )0 4A がある。点Aを通る直線を lとし，直線 lが円 Cと異なる 2点 P，Qで交わるとき，線分 PQの中点を ( , )X YM とする。次の

ア，ウ～キ，ケには当てはまる式を，イには当てはまる座標を求めよ。

また，クには点Mの軌跡の概形として適当なものを，下の０～５のうちから一つ選べ。

⑴ 　直線 lが x軸に垂直なとき，直線 lの方程式はアである。このとき，直線 lと円 Cは異なる 2点で交わり，点Mの座標はイである。⑵ 　直線 lが x軸に垂直でないとき，直線 lの傾きをmとすると，直線 lの方程式はウである。このとき，直線 lと円 Cが異なる 2点で交わるようなmの値の範囲はエである。⑶ 　⑵のとき，2点 P，Qの x座標をそれぞれ ,a b　( )1a b とする。Xをmを用いて表すと

オであることから，Xと Yの関係式を求めるとカであり，Yの値の範囲はキである。

⑷ 　以上のことから，点Mの軌跡を太線で図示すると，その概形は下図のクのようになる。また， ( ) ( )T X Y2 22 2= - + + の取りうる値の範囲はケである。

　０　　　　　　　　　　　　１　　　　　　　　　　　　２　　　　　　

　３　　　　　　　　　　　　４　　　　　　　　　　　　５　　　　　　　

x

yA

O x

yA

O x

yA

O

x

yA

O x

yA

O x

yA

O

39

37 38

*

**

20 21

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41 43

40 42

**

*

22 23

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　Oを原点とする座標平面上に，円 C1：x y 92 2+ = と円 C2：x y 162 2+ = がある。点 Pは円 C1

上の第 1象限の部分にあり，線分 OPと x軸の正の部分とのなす角を 02

1 1i ir

c m とする。ま

た，点 Qは円 C2 上の第 2象限の部分にあり， 2POQ+

r= である。

⑴　点 P，Qの座標をそれぞれ sini，cosi を用いて表せ。 ⑵ 　点 P，Qから x軸に垂線を下ろし，交点をそれぞれH，Kとする。線分HKの長さ lを sini，cosi を用いて表せ。また，lを iの関数とみるとき，関数 lのグラフとして最も適切なものを，次の０～ 7のうちから 1つ選べ。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

l

iO r2

０l

iO r2

1l

iO r2

2l

iO r2

3

l

iO r2

4l

iO r2

5l

iO r2

6l

iO r2

7

45

44 46*

24 25

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　次のA～Fの 6つの式について，下の各問いに答えよ。　A　 x x x x23 56 3

# # = ア

　B　241x

x2 1

1

=+- +

c m イ

　C　( )( )2 3 1 3 5 0x x$ - - = ウ

　D　9 2 3 27 0x x 1$+ - =+ エ

　E　 (2 1) ( )log logx x 112 2+ + =- オ

　F　( )log logx x 1 032

93+ - = カ

⑴ 　A～Fの式について，ア～カに当てはまるものを，下の０～６のうちから一つずつ選べ。ただし，同じものを繰り返し選んでもよい。

　　０　式を満たす xの値は異なる正の数 2つである。

　　１　式を満たす xの値は異なる負の数 2つである。

　　２　式を満たす xの値は正の数 1つと負の数 1つである。

　　３　式を満たす xの値は正の数 1つだけである。

　　４　式を満たす xの値は負の数 1つだけである。

　　５　式を満たす xの値は存在しない。

　　６　０～５のどれも当てはまらない。

⑵ 　A～Fの式の少なくとも 1つを満たす xの値の中で最も大きい数はキであり，2番目に大きい数はクである。キ，クに当てはまる数を求めよ。 49

47 48

*

**

26 27

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SAMPLE


51 53

50 52

**

* *

28 29

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　xの関数 ( ) 8 8 9(4 4 ) 27(2 2 ) 26f x x x x x x x= + - + + + -- - - について，次の各問いに答えよ。⑴　 2 2t x x= + - とおく。 ( )f x を tの関数として表したものを ( )g t とするとき， ( )g t を求めよ。⑵　 2 2t x x= + - のとる値の範囲を求めよ。⑶　tが⑵で求めた範囲を動くとき，関数 ( )y g t= の増減を調べよ。⑷　 0xF のとき，関数 ( )f x の最小値とその最小値を与える xの値を求めよ。（2012年　鹿児島大）

55 57

54 56

*

**

30 31

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SAMPLE


59 61

58 60*

32 33

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SAMPLE


63 65

62 64

* **

* *

34 35

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　 ABCi において， 3AB = ， 5AC = ， 2 6BC = とする。 ABCi の外心を Oとし，Oから辺ABに下ろした垂線とABの交点をM，Oから辺ACに下ろした垂線とACの交点を N，直線AOと辺 BCの交点を Dとする。⑴　AB と ACの内積を求めよ。

⑵　 AO; ; の値を求めよ。

⑶ 　 1s sBD DC：：= - ， kAO AD= とするとき，MO とNO をそれぞれ，k，s，AB，AC を用いて表せ。⑷　AO を AB と AC を用いて表せ。（2012年　滋賀大）

67

66 68

*

* *

36 37

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　座標空間内の 3点 0 0 0( , , )O ， 1 2 1( , , )A ， 1 2( , , )1B - を含む平面を a とする。また tを実数として， 1 0( , , )tP - とする。⑴　OA と OB のなす角 i（0 180c cE Ei ）を求めよ。⑵　点 Pが平面 a 上にあるとき，tの値を求めよ。⑶ 　点 Pが平面 a 上にないとき，点 Pを通り平面 a に垂直な直線と平面 a との交点を Qとする。点 Qの座標を tを用いて表せ。（2012年　宮城教育大）

70

69 71

**

*

38 39

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　中心を Oとする半径 1の円 Oがあり，円 Oの周上に，反時計回りに異なる 3点A，B，Cがある。

OA OB 0+ = のとき， ABCi が直角三角形であることを以下のように証明した。（証明Ⅰ）　 0OA OB=+ より　OB OA=-

　よって，3点A，O，Bはこの順に同一直線上にある。　ゆえに，線分ABは，円 Oのアである。　よって， 90ACB c+ = である。　したがって， ABCi は， 90C c+ = の直角三角形である。（証明Ⅱ）　 0OA OB=+ より　OB OA=-

　ここで　 ( ) ( )CA CB OA OC OB OC$ $= - - ( ) ( )OA OC OA OC$= - - - OA OC2 2; ; ; ;=- +

　　　　　　　　　= イ

　 0CA] ， 0CB] だから　CA ウ CB

ゆえに， ABCi は， 90C c+ = の直角三角形である。（証明Ⅲ）

0OA OB+ = より　OB OA=-

　　　 2OB OA OA OBAB OB OA2 2 2 2$; ; ; ; ; ; ; ;-= = - +

　　　　　 = エ

　　 O O O O OB OBC C B C C B22 2 2 2$; ; ; ; ; ; ; ;= - = - +

　　　　 = オ

　　 O OA O O O OAAC C C C A22 2 2 2$; ; ; ; ; ; ; ;= - = - +

　　　　　 = カ

よって　 BC AC AB2 2 2; ; ; ; ; ;+ =

キより， ABCi は， 90C c+ = の直角三角形である。

次に，OA OB OA OC$ $= が成り立つとき， ABCi が AB AC= の二等辺三角形になることを調べてみよう。（考え方Ⅰ）

OA と OB のなす角，OA と OC のなす角をそれぞれ a，b（ ,0 180 0 180c c c c1 1 1 1a b ）とおく。　　 cosOA OB OA OB$ ; ;; ; a= = ク

同様に　OA OC$ = ケ

OA OB OA OC$ $= であり， ,0 180 0 180c c c c1 1 1 1a b だからコ

ゆえに， ABCi は，AB AC= の二等辺三角形である。

（考え方Ⅱ）　　　 2OA OA OBAB OB OB OA2 2 2 2

$; ; ; ; ; ; ; ;- += = -

　　　　　　 = サ

　　　 A O OA O O O OAC C C C A22 2 2 2$; ; ; ; ; ; ; ;= - = - +

　　　　　　 = シ

　OA OB OA OC$ $= より　ス

　ゆえに， ABCi は，AB AC= の二等辺三角形である。（考え方Ⅲ）　 OA OB OA OC$ $= より　 ( )OA O OC B 0$ - =

　よって OA BC 0$ =

　 ,OA BC0 0] ] だから　OA セ BC

　さらに，BCは円の弦であり，直線 OAは，円の中心を通る直線であるから，線分 BCと直線OAの交点をMとすると，Mは線分 BCのソである。　以上より，直線 OAは，線分 BCをタするので， ABCi は，AB AC= の二等辺三角形である。

⑴ 　アに適する言葉を答えよ。⑵ 　イに適する数値を求めよ。⑶ 　ウに適する記号を求めよ。⑷ 　エに適する数値を求めよ。⑸ 　オ，カに適する内積 OA OC$ と数値を用いた式を求めよ。⑹ 　キに適する言葉を答えよ。⑺ 　ク，ケに適するものを求めよ。⑻ 　コに適する等式を求めよ。ただし，cos は用いないで示せ。⑼ 　サに適する内積 OA OB$ と数値を用いた式を求めよ。

⑽ 　シに適する内積 OA OC$ と数値を用いた式を求めよ。⑾ 　スに適する等式を求めよ。⑿ 　セに適する記号を求めよ。⒀ 　ソに適する言葉を答えよ。⒁ 　タに適する言葉を答えよ。⒂ 　 0OA OB OC+ + = が成り立つとき， ABCi はどのような三角形になるかを調べよ。

72**

40 41

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74 76

73 75

*

*

42 43

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78 80

77 79** **

44 45

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　n，an，bn を自然数とし，(2 ) a b3 3nn n+ = + とする。

⑴　an 1+ ，bn 1+ を an，bn を用いて表せ。⑵　(2 ) a b3 3n

n n- = - となることを数学的帰納法を用いて証明せよ。⑶　(2 )3 n+ 以下の整数のうち最大のものを pa qn+ とする。pと qの値を求めよ。（2012年　京都府立大）

　自然数 nについて，an を n 以下の整数のうち最大のものとするとき，次の問いに答えよ。⑴　a1，a2，a3，a4 の値を求めよ。⑵　自然数mについて，S a a am1 2 2gg= + + + を，mを用いて表せ。（2011年　宮崎大）

81 82** **

46 47

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　A君と B君と先生が次の問題の解答について話をしている。次の会話文を読んで，下の問いに答えよ。【問題】　濃度が 20 %の食塩水が 100 gある。1回目はこの食塩水から 50 gを取って捨てた後に，濃度が 1 %の食塩水を 50 g加える。2回目は 1回目の後にできた食塩水 100 gから 50 gを取って捨てた後に，濃度が 2 %の食塩水を 50 g加える。このようにして，この操作を n回（n 1= ，2，3，g，20）繰り返した後の食塩水に含まれる食塩の量を an gとする。ただし，n回目には食塩水から 50 gを取って捨てた後に濃度が n %の食塩水を 50 g加えるものとする。このとき，a 1n+ と an の関係式を求め，an を nの式で表せ。

A君「まず，n 1= のときから具体的に考えてみようよ。」B君「そうだね。この操作を 1回行ったときを考えると，a1= アとなるね。じゃあ，a2 は

どうなるかな。」A君「a1 がわかったから a2 も求められるね。計算すると a2= イとなるね。」B君「a 1n+ と an の関係式も同じように考えれば求められるよね。」A君「そうだね。a 1n =+ ウ an+ エとなるよ。」B君「でも，これからどうやって an を求めればいいかな。」A君「よくわからないから，先生に聞いてみようよ。」先生「an の求め方は 2通りあるよ。まず，1つ目の求め方は，階差数列を利用する方法だよ。　　　　　数列 { }an の階差数列を { }bn とすると　b a an= -

　　　　　これより　b 1n =+ キ bn+ ク

　　　　　これを変形して　b 1n -+ ケ = キ (bn- ケ )

　　　　　これから，数列 {bn- ケ } が初項コ，公比キの等比数列になることがわかるから bn が求められ，an が求められるよ。

　　　次に，2つ目の求め方は，c a pn qn n= + + とおき，数列 { }cn が公比ウの等比数列となるような定数 p，qの値を考える方法だよ。

　　　　　c a pn qn n= + + 　より　c a1 1n n +=+ + サ

　　　　　これを変形して　c 1n =+ ウ { (cn+ シ )n+ ス }

　　　　　数列 { }cn が公比ウの等比数列になるのは，任意の nについて，　　　　　 ( シ )n+ ス 0= が成り立つときだから，p= セ，q= ソと求めら

れるね。これから，数列 { }cn が初項タ，公比ウの等比数列になることがわかるので，an が求められるよ。」

B君「2つの方法があるんですね。どちらの方法で解いても an= チとなりますね。」先生「ところで，この問題で食塩水の濃度が一番薄くなるのは何回目の操作の後かわかるかな。」A君「 a a2 11 だから 1回目より 2回目の後の方が濃度は薄くなっているよね。全部調べるのは大

変だから，どうすればいいのかな。」先生「a a1n n-+ を調べてみるといいよ。」

⑴ 　ア～チに当てはまる数または式を求めよ。⑵ 　下線部について，食塩水の濃度が一番薄くなるのは何回目の操作の後か求めよ。

オカ

83**

48

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