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Santander, 11 y 12 de febrero de 2008
¿Por qué juanito decidió aprender a sumar?
Rafael Pérez Gómez
UNIVERSIDAD DE GRANADA
Este título está inspirado en el del libro El fracaso de la matemática moderna. Por qué Juanito no sabía sumar. M.Klein, Ed. Siglo XXI
Desarrollo de la competencia matemática
Santander, 11 de febrero de 2004
PROBLEMAEva y Nico quieren saber cuántos animales palmípedos y cuántos animales equinos hay en un corral. Como sólo ven el suelo desde un agujero que hay en la pared, han contado las patas de todas los animales que hacen un total de 20. ¿Cuántos hay de cada clase?
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qué tio más peñazo
estoy deseando que acabe la
clase
A B C CH D E F G H I J K L LL M N Ñ O P Q R S T U VW X Y
Z
m f x r p q d c v i h l 2 $ a @ z g k y b 7 e n 3 w o r s
f m u q ch i d f e u a o p o z h n u q
A B C CH D E F G H I J K L LL M1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1530 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44
N Ñ O P Q R S T U V W X Y Z
16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 2945 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58
Y O T A M B I E N E S T O Y H A R T AG U A P O G U A P O G U A P O G U A Pf m u q ch i d f e u a o p o z h n u qf m u q ch i d f e u a o p o z h n u q
y 28
+ g 8
36 f
Problema:
Si un tren sale de Madrid hacia Bilbao a las 7:32 h. a 90 km/h, y otro tren sale de Bilbao hacia Madrid 3 minutos antes, y a la misma velocidad; teniendo en cuenta que el primero hace 183 paradas de 10 minutos y el otro no, ¿a qué hora se encontrarán?
Santander, 11 de febrero de 2008
Solución:
Déjate de problemas
¡y cómprate uno como éste!
Era Matusalén de 187 años cuando engendró a Lamec; vivió 782 años, y engendró hijos e hijas. Fueron todos los días de Matusalén 969, y murió. Era Lamec de 182 años cuando engendró un hijo, al que puso el nombre de Noé (...). Vivió Lamec, después de engendrar a Noé, 595 años, y engendró hijos e hijas. Fueron todos los días de Lamec 777 años, y murió (...). A los 600 años de la vida de Noé, el segundo mes, el día 17 de él, se rompieron todas las fuentes del abismo, se abrieron las cataratas del cielo, y estuvo lloviendo sobre la tierra durante 40 días y 40 noches.
ANTIGUO TESTAMENTO
Lamec nació a los 187 años de MatusalénNoé nació a los 182 años de Lamec
La edad de Noé el día del Diluvio era de 600 años
187
182
600
969
+
¿En qué consiste “leer”?
Autoría de la anécdota: H.S.M. Coxeter
Estando yo un día en el Alcaná de Toledo, llegó un muchacho a vender unos cartapacios y papeles viejos a un sedero; y como yo soy aficionado a leer, aunque sean los papeles rotos de las calles, ...(I,9)
Los libros que están impresos con licencia de los reyes y con aprobación de aquellos a quien se remitieron, y que con gusto general son leídos y celebrados de los grandes y de los chicos, de los pobres y de los ricos, de los letrados e ignorantes, de los plebeyos y caballeros, finalmente, de todo género de personas de cualquier estado y condición que sean, ¿habían de ser mentira, y más llevando tanta apariencia de verdad, pues nos cuentan el padre, la madre, la patria, los parientes, la edad, el lugar y las hazañas, punto por punto y día por día, que el tal caballero hizo, o caballeros hicieron? Calle vuestra merced, no diga tal blasfemia, y créame que le aconsejo en esto lo que debe de hacer como discreto, sino léalos, y verá el gusto que recibe de su leyenda. (I,50)
¿Qué aporta la formación matemática a la lectura?
Don QuijoteMario Orozco Rivera, pintor y escultor mexicanoEscultura en hierro y asbesto200 x 122 cms.
Sancho PanzaMario Orozco Rivera, pintor y escultor mexicanoEscultura en hierro y asbesto158 x 120 cms
Rectángulo de plata Rectángulo cordobés
Don QuijoteMario Orozco Rivera, pintor y escultor mexicanoEscultura en hierro y asbesto200 x 122 cms.
Sancho PanzaMario Orozco Rivera, pintor y escultor mexicanoEscultura en hierro y asbesto158 x 120 cms
2625 don 2446 del 2337 me 2259 como 2122 es 2072 yo 2040 más 1954 si 1927 un 1806 dijo 1719 al 1700 mi 1429 para 1399 porque
1356 ni 1325 una 1271 él 1235 tan 1199 o 1178 todo 1149 sin 1061 respondió 1057 así 1054 ser 1051 señor 1047 ha 1043 bien 1041 había 1038 sus 1016 pero
20470 que18040 de18027 y10253 la 9767 a 8152 en 8115 el 6287 no 4714 los 4658 se 4171 con 3875 por 3442 las 3419 lo 3386 le 3340 su
quijote =2154= sancho
La lectura constituye un factor fundamental para el desarrollo de las competencias básicas. Los centros, al organizar su práctica docente, deberán garantizar la incorporación de un tiempo diario a la lectura, no inferior a treinta minutos, a lo largo de todos los cursos de la etapa.
B.O.E. núm. 283, pág. 43055, art. 6.4, R.D. 1513/2006
Medidas en época de Cervantes: Longitud
La legua era el camino recorrido por una persona en una hora.
Un grado de meridiano tiene 20 leguas,
La legua aparece en más de 60 ocasiones en El Quijote.
¿Piensa vuestra merced caminar este camino en balde, y dejar pasar y perder un tan rico y tan principal casamiento como éste, donde le dan en dote un reino, que a buena verdad que he oído decir que tiene más de veinte mil leguas de contorno, y que es abundantísimo de todas las cosas que son necesarias para el sustento de la vida humana, y que es mayor que Portugal y que Castilla juntos?(I, 31)
1. Competencia en comunicación lingüística
El lenguaje de las Matemáticas aúna la precisión y el rigor
El lenguaje de las Matemáticas utiliza códigos con significado universal
¿Cómo llamamos a los términos de una fracción?
¿Qué dice Julio Verne en su Viaje de la Tierra a la Luna que hay que introducir en la nave espacial?
Fases de actuación en clase: la explicitación
La persona más pequeña del mundo es Gul Mohammed, de la India. El 19 de julio de 1990 fue examinado en el Ram Manohar Hospital de Nueva Delhi, la India, y entonces medía 57 cm (22,5 pulgadas).
NOTICIA DE PRENSA ESCRITA
Es curioso que el pie más grande de la historia tenga las mismas dimensiones (aproximadamente) que la persona más pequeña de la historia. Ambos obtuvieron los records
en la década de los 90, hubiera sido interesante y divertido ver a Gul dentro del zapato de Matthew...
El ciudadano de Pensilvania, EEUU, Matthew McGrory es la persona con el pié más grande del mundo. Utiliza un 63 como número de zapato.
Tenemos un número de calzado de 63:
63x2/3=126/3=42 cm.
Con un número de calzado de 89:
89 x 2/3= 178/3= 59.33333333333... cm.
Con un número de calzado de 41:
41 x 2/3= 82/3= 27.33333333333... cm.
A la manifestación de ayer acudieron tropecientas mil personas. ¡Todo un éxito!
Según nuestras fuentes, la manifestación de ayer fue un fracaso. Acudieron poco más de tropecientas personas. ¡Deben tomar nota!
3. Competencia en el tratamiento de la información
Esta competencia consiste en disponer de habilidades para buscar, obtener, procesar y comunicar información, y para
transformarla en conocimiento.
Disponer de información no produce de forma automática conocimiento. Transformar la información en conocimiento exige de destrezas de razonamiento para organizarla, relacionarla, analizarla, sintetizarla y hacer inferencias y deducciones de distinto nivel de complejidad; …
0
2
4
6
8
0
20
+
1
3
5
7
9
0
25
+
20 + 3 25 = 95
95 100
5
¿Qué significados tiene un número y una letra juntos?
Por ejemplo, ¿qué puede significar 7m?
•Si se lee siete eme, la letra puede formar parte de una fórmula en la que debamos multiplicar el número 7 por el valor que se dé a m. Se trata de un número generalizado.
•Si se lee siete eme y simboliza un número desconocido, aunque con un valor concreto que se puede hallar, se trata de una incógnita.
• Si se lee setenta y eme, la letra representa un conjunto de números no especificados (los comprendidos entre 70 y 80); la letra es una variable.
•Si se lee siete metros, la letra es la inicial de una palabra; actúa como abreviatura dentro de un código internacionalmente aceptado. No tiene valor numérico.
¿Cómo interpretas el código escrito así: 27?
¿Cómo interpretas el código escrito así: 2x?
La figura muestra un rectángulo de base desconocida, x, y altura 2 unidades. ¿Cuál es su área?, ¿y su perímetro?
x
2
¿Cómo interpretas los códigos escritos así: 2xy, 7up y 33cl?
Fórmulas
Observa detenidamente un recibo de la luz que corresponda al consumo de tu vivienda durante dos meses cualesquiera.
Calcula tú el importe total pagado.
¿Será de utilidad una fórmula para calcular el número de partidos que han de jugarse en cualquier Liga?
El signo igual
¿Qué número falta para que la expresión sea verdadera?
3/?=300/500
Sustituye el número que falta y calcula el valor resultante
9-3(12-10)+ x2-7=
¿Para qué números son ciertas las expresiones siguientes?
¿Para qué números es cierta la expresión siguiente?
3 +2 =(3+2) =5 ?
3 +2 =5
3 +2 =10
3 +2 =5
¿Tiene las frases siguientes la misma estructura sintáctica?
“María es electricista”
“Nueve es ocho más uno”
“La recta r es perpendicular a la s”
“El cuadrado de la suma de dos números es la suma de sus cuadrados más el doble de su producto”
Sustituye en este código de comunicación la palabra es por el signo = donde proceda.
Inventa un código que permita escribir las frases anteriores para que cualquier persona del planeta Tierra pueda entenderlas.
En general, en el lenguaje cotidiano y literario, el término igual se emplea con un sentido amplio:
•Todas las personas son iguales.
•En Andalucía, casi todos los cortijos son iguales.
•Libertad, igualdad y fraternidad.
•Me da igual.
•El profesorado de Matemáticas gana igual que los directivos de Telefónica.
En otros contextos, este significado es más preciso:
1º El signo igual en Aritmética.
2º El signo igual en Geometría.
3º El signo igual en programación de ordenadores.
4º El signo igual en Álgebra.
4º El signo igual en Álgebra.
•Reversibilidad.
•Propiedad conmutativa
•Propiedad distributiva y “sacar” factor común.
•Equilibrio.
•Transitividad.
a2+b2+2ab=(a+b)2 y (a+b)2=(a+b)(a+b) luego a2+b2+2ab=(a+b)(a+b).
•Una ecuación es una igualdad algebraica cierta para algún, o algunos, valores numéricos de las letras que intervienen.
•A las letras les llamamos incógnitas.
•Una ecuación puede tener, además de incógnitas, otras letras llamadas parámetros.
•La expresión algebraica que figura a la izquierda del signo = es el primer miembro de la igualdad.
•La expresión algebraica que figura a la derecha del signo = es el segundo miembro de la igualdad
•Los valores que toman las incógnitas para que la igualdad se cumpla son las soluciones de la ecuación.
3. Competencia en el tratamiento de la información
Esta competencia consiste en disponer de habilidades para buscar, obtener, procesar y comunicar información, y para
transformarla en conocimiento.
Requiere del dominio de lenguajes específicos básicos (textual, numérico, icónico, visual gráfico y sonoro) y de
sus pautas de codificación y transferencia, así como aplicar en distintas situaciones y contextos el conocimiento de los diferentes tipos de información, sus fuentes, sus posibilidades
y localización, así como los lenguajes y soportes más frecuentes en los que ésta suele expresarse.
Halita (sal)
Pirita Espinela
“Las Matemáticas parecen poseer el asombroso poder de explicar cómo funcionan las cosas, por qué son como son y qué nos revelaría el Universo si fuésemos capaces de escuchar”. (Cole, El universo y la taza de té. Las matemáticas de la verdad y la belleza, Ediciones B, 1999).
Desde las Matemáticas se explican, representan y predicen hechos.
Enunciado 1 (do Carmo, Geometría diferencial de curvas y superficies, Alianza Universidad Textos, 1976, Madrid): De todas las curvas cerradas simples en el plano con longitud dada l, ¿cuál es la que encierra un área máxima?Enunciado 2 (Roshdi Rashed et al., Histoire des sciences arabes, vol 2, Seuil, 1997): Se trata de demostrar que entre los dominios planos, con un perímetro dado, la circunferencia encierra un área mayor; de todos los sólidos del espacio que presentan igual área lateral, la esfera encierra el volumen mayor.
Con 3 metros de hilo de oro se desea remarcar el borde de un cuadro. ¿Cuáles serían sus dimensiones máximas?
Rafael Pérez Gómez et al., Construir las Matemáticas, vols. 1º y 3º E.S.O., Proyecto Sur, 1997.
De ente los cuadriláteros con igual perímetro, determinar el de mayor superficie.
Polya, Cómo plantear y resolver problemas, Trillas, 1981.
2. Competencia en el conocimiento e interacción con el mundo físico
… En definitiva, incorpora habilidades para desenvolverse adecuadamente, con autonomía e iniciativa personal en ámbitos de la vida y del conocimiento muy diversos (salud, actividad productiva, consumo, ciencia, procesos tecnológicos, etc.).
La reina DidoLeyenda sobre la reina Dido, fundadora legendaria de la ciudad de Cartago, que el poeta romano Virgilio (70-19 a.C.) narra en la Eneida, epopeya mitológica que está reconocida como obra maestra de la literatura latina. Dido, en la mitología griega, era una princesa fenicia hija de Belo, rey de Tiro, ciudad del sur del Líbano, junto al Mediterráneo, la ciudad más importante de aquellos fenicios que obsequiaron a la Humanidad regalándole un alfabeto. Su hermano Pigmalión asesinó al marido de Dido para quitarle todas sus posesiones y convertirse en rey. Ésta huye por mar hasta llegar a las costas de África. Era el año 900 a.C., aproximadamente.
El problema de la reina DidoQuiso comprar unas tierras al cacique local, llamado Jarbas de Numidia, donde pudiesen vivir ella y sus gentes. El trato fue difícil, no tanto porque Dido regatease demasiado sino porque Jarbas no estaba dispuesto a que se estableciera una colonia en su territorio, y se cerró con la condición de que no le vendería más tierra que la que pudiera delimitarse con la piel de un buey. Dido supo sacar el mayor provecho de lo acordado ya que hizo cortar la piel en finas tiras, las cosió una a continuación de otra y, aprovechando la costa, determinó una semicircunferencia.
Solución
Suponiendo que la piel fuese equivalente a la superficie lateral de un cilindro de 2 m de altura y 0.5 m de radio y que se cortasen tiras de 2 mm, la semicircunferencia que pudo construir Dido pudo ocupar algo más de 1 millón de metros cuadrados o, equivalentemente, más de 150 hectáreas de terreno.
Eso es lo que la Historia dice que fue la fundación de la ciudad de Cartago que, en la actualidad es un suburbio residencial de Túnez.
Mas no debemos ver un hecho aislado el uso que Dido hizo de esta propiedad de la circunferencia ya que Proclo (ca. 450) describe situaciones análogas en sus comentarios al primer libro de Euclides ya que indica que era frecuente encontrar embaucadores que basaban un trato sobre compra de tierras en la comparación de la extensión de terrenos con el tiempo de duración de su circunvalación, siendo conscientes de que había figuras que teniendo un perímetro menor podían tener mayor superficie.
Por último, cabe decir que el urbanismo medieval fue quien mejor imitó a la reina Dido, ya que no hay más que observar la forma de las murallas que rodean a ciudades como, por ejemplo, Sevilla que se construyeron en la ribera de un río.
Las Leyes, Platón
Proyecto teórico acerca del concepto de sociedad humana ideal y las formas de convivencia posibles en la polis.
Primero: Definición del concepto de valor.
Segundo: La importancia de las artes.
Tercero: Estudio e historia de las constituciones.
Cuarto: Descripción de los rasgos más sobresalientes de la ciudad ideal de Magnesia.
Quinto: Los rasgos del alma y su expresión en las leyes.
Sexto: Aspectos organizativos como la justicia, las leyes religiosas y sociales, etc.
Séptimo: Desarrolla la teoría platónica acerca de la educación como principal garantía de equilibrio en la vida en sociedad.
Octavo: Características de las costumbres y actividades humanas.
Noveno: A la Justicia
Décimo: Clasifica todas las formas de impiedad y su castigo.
Undécimo: Clases de contratos, relaciones familiares, y leyes diversas.
Duodécimo: Clasifica las leyes penales, tipos de juramentos, condiciones puestas a los viajes al extranjero, ceremonias funerarias y características del órgano supremo de vigilancia
(Consejo Nocturno).
Magnesia ocupará una posición central con respecto al resto del territorio. Posee puertos y está equipada con todo tipo de infraestructuras.
Magnesia debe tener como principal objetivo aspirar a la virtud y escoger la cuerda de la razón, de oro y sagrada, llamada ley general de la ciudad.
Esta elección consciente, que guía la vida de su habitantes, se produce gracias a la educación recibida desde la infancia.
El método constructivo.
1.El principio es la mitad de la obra (pensamiento heredado de Hesíodo). Solamente aquellas ciudades que han sido proyectadas con orden evolucionan adecuadamente.
2.El factor determinante del proyecto es la justa medida: (...) Hay efectivamente, un antiguo adagio que dice con toda verdad que la igualdad facilita la amistad; ... ha sido formulado con mucha exactitud y sentido de la armonía (reparto equitativo y reparto por sorteo). El número elegido como cifra ideal para Magnesia es 5040 pobladores, resultado de la progresión armónica de los números 1, 2, 3, 4, 5, 6, y 7 (1, 2, 6, 24, 120, 720, y 5040). Una de las expresiones geométricas de esta progresión son 7 circunferencias concéntricas y radios los términos de la misma.
Hay que dividir el territorio en 5040 lotes iguales de terrenos en la propia ciudad y en la periferia. Cada lote contará con un solar urbano, un terreno próximo a la ciudad y otro en su frontera exterior.
3.La ciudad tendrá un nombre relacionado con la existencia de algún elemento natural.
4.La forma de la ciudad estará relacionada con la circularidad del alma y del universo.
5.Se proyectará sin muralla. La cualidad moral de los habitantes de Magnesia hace que no resulte imprescindible construir murallas.
6.Colocación de la acrópolis.
7.Determinación de la vigilancia y los servicios.
Leonardo da Vinci
Durante el s. XV se alcanzó por vez primera la noción patrimonial de la ciudad como un organismo destinado a permanecer en el tiempo. Se construye, por primera vez, una imagen proyectada de las características funcionales de la ciudad.
El primer elemento de estudio para la Leonardo era la red de aguas, el aprovisionamiento y su distribución. Pero también se ocupa de la inserción de la ciudad en un marco territorial y físico mediante su límite circular, sin murallas, y la planificación de una red de caminos.
El sistema de trabajo era sobre un plano-relieve. Imagina el territorio desde el infinito.
Planta de la ciudad de Imola (1502)
San Cristóbal de La Laguna
1. El perímetro de los solares urbanos está definido por los cursos de agua que habrán de garantizar el reparto equilibrado del suministro.
2. El perímetro exterior de los terrenos comunales, a partir de la distribución de las salidas de la ciudad y su conexión con una red de caminos planificada a través de trayectorias radiales.
La forma física que adquiera deriva de la planificación de las actividades económicas.
San Cristóbal de La Laguna
5. Competencia cultural y artística
Corolario:Juanito descubre que las Matemáticas están unidas de forma indisoluble a la Belleza
