FICHA DE TRABALHO 4 Declive e inclinação de retas. Produto escalar

NOME: _________________________________________ N.º:______ TURMA: _________ DATA: __________

1. Determine o valor, em graus, da inclinação da reta que, num referencial ortonormado, é definida pela equação reduzida:

a) y=x−2 b) y=√33x+5 c) y=−x+7 d) y=−√3 x−4

2. Determine o valor, em graus, da inclinação de cada uma das retas seguintes, sabendo que, num referencial ortonormado, são definidas pelas equações vetoriais:

a) ( x , y )=(−1 ,1 )+k (2 ,−6 ) , k∈ IR (aproximado à décima de grau)

b) ( x , y )=(−3 ,1 )+k (2,−2√3 ), k∈ IR

3. Determine a equação reduzida da reta que, num referencial ortonormado, tem:

a) 60° de inclinação e passa no ponto de coordenadas (2, 0) .

b) 135° de inclinação e passa no ponto de coordenadas (3, 1) .

4. No referencial o.n. da figura estão representadas as retas AB e AC.Sabe-se que:

B e C são pontos pertencentes ao eixo Ox; AB é definida por x+3 y=3 ; AC é definida por y=2x+4.

4.1. Determine a amplitude, em graus, aproximada às décimas, do ângulo BAC.

4.2. Calcule as coordenadas do ponto A.

4.3. Mostre que A⃗B=C⃗B – C⃗A e determine as coordenadas do

vetor A⃗B.

5. No referencial o.n. da figura estão representados uma circunferência, a reta r e o quadrilátero [OABC].Sabe-se que:

a circunferência tem equação (x−√3 )2+ y2=3;

a inclinação da reta r é π6

rad;

A é um ponto de interseção da reta r com a circunferência; B é um ponto de interseção da circunferência com o eixo Ox; C pertence à circunferência e tem a mesma abcissa de A.

Determine:

a) a equação reduzida da reta r. d) a equação reduzida da reta AB.

b) as coordenadas do ponto A. e) a inclinação da reta AB.

c) a área do quadrilátero [OABC] . f) o perímetro do quadrilátero [OABC] .

DIMENSÕES • Matemática A • 11.º ano • Material fotocopiável • © Santillana

6. Considerando como unidade de comprimento o lado da quadrícula, determine, para cada caso, u⃗ · v⃗:

a) b)

c)

7. O cubo representado na figura tem de aresta 2 unidades de comprimento.Determine:

a) A⃗B ∙ B⃗C d) H⃗F∙ G⃗C

b) A⃗B ∙ A⃗F e) A⃗B ∙ H⃗G

c) A⃗C ∙ A⃗G f) B⃗C ∙ H⃗E

8. Determine o produto escalar de u⃗ e v⃗ em cada caso:

a) ‖u⃗‖=2 ;‖v⃗‖=3 e (u⃗❑̂v⃗ )=30o b) ‖u⃗‖=10 ;‖v⃗‖=40 e (u⃗❑̂v⃗ )=5π6

9. Para deslocar um carro durante 50 metros, exerce-se uma força constante de 12 000 N num cabo que faz um ângulo de amplitude 60° no sentido do deslocamento.Indique a intensidade da força, em joules, que faz com que o vagão se desloque.

10. Dados os vetores u⃗ , v⃗ e t⃗ , explique porque não faz sentido a expressão u⃗ ∙ ( v⃗ ∙ t⃗ ).

11. Num referencial o.n. do plano, considere os vetores u⃗ (2,4 ) , v⃗ (5,0 ) e t⃗ (2 ,−1). Determine;

a) 3 u⃗ ∙ v⃗ b) 2 v⃗ ∙(−4 t⃗) c)−‖t⃗‖( v⃗ ∙ t⃗ )

12. Num referencial o.n. do plano, sabe-se que u⃗ (1 , a ) e v⃗ (3,4). Determine o valor de a, se:

a) (u⃗❑̂ v⃗=π4 ) b) (u⃗❑̂v⃗ )=π4

c) u⃗ e v⃗ forem colineares.

13. Considere, em referencial o.n. Oxyz, os vetores u⃗ (−1,2,3 ) e v⃗ (2 ,−3,3 ).

Determine, em radianos, a amplitude de (u⃗❑̂v⃗ ) aproximada às centésimas.

DIMENSÕES • Matemática A • 11.º ano • Material fotocopiável • © Santillana

14. Na figura está representada, em referencial o.n. Oxyz, a pirâmide quadrangular de base [ABCD] contida no plano xOy , e de vértice V, com cota 3, contido no semieixo positivo Oz. O vértice A tem coordenadas (2, 0, 0).

14.1. Mostre que A⃗C ∙ B⃗D=014.2. Determine:

a) A⃗B ∙ A⃗V b) B⃗D ∙ B⃗V c) A⃗V ∙V⃗B

14.3. Determine, em radianos, a amplitude de ( B⃗D❑̂ B⃗V ) aproximada às décimas.

14.4. Sejam M e N os pontos médios das arestas [AV] e [BV], respetivamente. Prove que:

a) M⃗N é colinear com D⃗Cb) M⃗N ∙ B⃗C=0

DIMENSÕES • Matemática A • 11.º ano • Material fotocopiável • © Santillana