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• Sardines et requins en Méditerranée
• Modélisation de la dynamique des populations Equations de Lodka Volterra
• Equilibre et dynamique des populations
Jean-Alain, Février 2013
Présentation donnéeà la soirée de la ComBio31
le lundi 18 février 2013
• Vous trouverez en commentaires de ce Powerpoint une partie des explications données à l’oral lors de la soirée.
• Reportez vous y pour une meilleure compréhension des planches.
Vito Volterra, les sardines et les requins
Pourcentage de poissons sélaciens dans la pêche
0
5
10
15
20
25
30
35
40
1910 1911 1912 1913 1914 1915 1916 1917 1918 1919 1920 1921 1922 1923
Trieste
Fiume
Trieste Fiume
1910 5,7
1911 8,8
1912 9,5
1913 15,7
1914 14,6 11,9
1915 7,6 21,4
1916 16,2 22,1
1917 15,4 21,2
1918 36,4
1919 19,9 27,3
1920 15,8 16
1921 13,3 15,9
1922 10,7 14,8
1923 10,2 10,7
Temps(année)
%
Guerre 1914-1918
Modélisation de la dynamiquedes populations
Un modèle simple
Une population libre de se reproduire
• L’ accroissement de la population est égal au nombre de naissances.
• Il est proportionnel au nombre d’individus.
• ∆ population = k x population
Un exemple simple
Temps Population Accroissement
1 1000 200
2 1200 240
3 1440 288
4 1728 346
5 2074 415
6 2488 498
7 2986 597
8 3583 7170
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
0 2 4 6 8 10
Population
Population
temps
Nombre d’individus
Un modèle plus compliqué
• Une population de proies et de prédateurs
U nombre de proies
V nombre de prédateurs
• Accroissement des proies ∆ U = a x U – b x U x V
• Accroissement des prédateurs ∆ V = - c x V + d x U x V
a, b, c et d coefficients constants et positifs
Un exemple plus compliqué
0
5000
10000
15000
20000
25000
0 2 4 6 8 10
Proies
Prédateurs
Temps
Populationdesproies
Populationdesprédateurs
Accroissementdesproies
Accroissementdesprédateurs
1 4000 2000 1120 280
2 5120 2280 1419 421
3 6539 2701 1785 653
4 8324 3354 2218 1050
5 10543 4404 2699 1769
6 13241 6173 3155 3146
7 16396 9318 3391 5925
8 19787 15243 2920 11760
a 0,3 b 0,00001
c 0,02 d 0,00004
Temps
Temps
Sens du tempsNombre de prédateurs
Nombre de proies
Temps
Nombre de prédateurs
Nombre de proies
Sens du temps
Lapins et Lynx
Statistiques de la compagnie Hudson Bay Company
de 1847 à 1903
Peaux de lapins et peaux de lynx rapportés par les trappeurs dans
la baie d’Hudson
Étudié par Charles Elton en 1924
Lemmings et Hermines :un cycle de 4 ans, dans un rapport de 1000 pour les lemmings
Sardines, requins et arrêt de la pêche
U nombre de proies
V nombre de prédateurs
• Accroissement des proies ∆ U = a x U – b x U x V
• Accroissement des prédateurs ∆ V = - c x V + d x U x V
• Arrêt de la pêche : a croît, c décroît
Arrêt de la pêche
Temps
Nombre d’individus
Arrêt de la pêche
Avant
Après
Nombre de proies
Nombre de prédateurs
Sens du Temps
Arrêt de la pêche
Temps
Ratio
Conclusion
• Equilibre
• Dynamique et variabilité
• Prévisibilité
Références
• Histoires de mathématiques et de populationsNicolas Bacaër, Coll. Le sel et le fer, Ed. Cassini
• Hors Série n° 42 de Tangente : Mathématique et biologie, l’organisation du vivant
• Wikipédia : Lodka, Volterra, dynamique des populations, …
• logiciel libre de calcul numériquehttp://www.scilab.org/
• Méthode d’intégration numérique d’ordre 3 de Runge-Kutta