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Title Sur le Coefficient de la Dispersion en Milieu Poreux

Author(s) Sato, Kuniaki

Editor(s)

Citation 大阪府立工業高等専門学校研究紀要, 1969, 3, p.91-101

Issue Date 1969-12-20

URL http://hdl.handle.net/10466/12983

Rights

Sur le Coerncient de la Dispersion en Mi1ieu Poreux

Par

Kuniaki SATO*

(Recu September 10, 1969)

1. Sommaire

On expose une consideration fondamentale, une d6termination exp6rimentale et la validitedu coeMcient de la dispersion qui est important a 1'6gard de la diffusion, la dispersion et le de-

placement pour le fluide miscible et fluide immiscible ou la particules petites comme le produit

radioactifdans 1'6coulement filtrant. A resoudre ces problemes on a deux approches; le m6thode

analytique et statistique, Le coeMcient de la dispersion elle-meme comprend beaucoup d' obscurit6s

sous la cr6ation de la modele correspondant au phenomene de la rencontre. Ici on discutebrievement deux approches et particulierement essuie chercher la signification physique des clis-

persions laminaires et turbulents. Comme bien connu, on peut definir le coeMcient de la dis-persion ainsi que le produit une vitesse et•une longueur par la th6orie du transport des matieres

dispersives, c'est-a-dire, la similitude de la d6finition pour la viscosite cinematique du fluide. Sur

cette d6finition, comment d'adopter deux quantit6s est demand6e. En la courbe du nombre deReynolds contre le coeMcient de la r6sistance on montre que la dispersion et le facteur de ia friction

ont mutuelement la relation, parce que le transport du fluide concerne en !a resistance d'6coulement.

A grand regret, parce que les techniqes d'experience restreind les conditions limitees etinitiaux de 1'equation de la dispersion, une technique est confinee par des observationspossibles. Par consequent, employer des appareils, lesquels on a fait, est inevitable afin demesurer la concentration de matiere miscible pour la structure commode. II semblait que lamethode experimcntale eut eu un'influence propre sur les resultats. On essayames une seried'experiences a participer les dispersions longitudinaux et lateraux, et 1'observation photographique

de la teinture dans 1'6coulement filtrant.

2. Synopsis

This paper gives a basic consideration, an experimental determination and the validity of the

dispersion coeMcient which rnay become important in co.nnection with the diffusion, dispersion and

displacement for the miscible and immiscible fluids or the fine particles like the nuclear product in

the fluid flow. To solve such problems we have two mathematic approches; analytic and statistical

ways. The dispersion coeMcient itselfincludes many obscurities related with the creation of model

cbrresponding to the phenomena encountered. Here we discuss briefly two approches and parti-

cularly try to seek the physical meaning of laminar and turbulent dispersions having been ignored

in past. As well known, we may dimensionally define the dispersion coeMcient as the product ofa velocity and a length by the transportation theory of dispersive matters ; "hich is similar to that of

the kinematic viscosity for the fluid. Based on this definition, how to adopt two quantities is

inquired. In the plot of Reynolds number against resistance coeMcient it is shown that the dis-persion and flow friction will be greatly related mutually, because the transportation of fluid is con- 'cerned with the flow resistance. Unfortunately, since any thechnque ofexperiments putarestriction

upon the boundary and initial conditions of dispersion equations, the technique itself is confined

* Department du G enie Civil

-91-

Kuniaki SATo

by possible observation. Therefore it is unavoidable to use the apparatuses as in past to measure the

concentration of misci,ble fluld for the corrveniefit structure. Th'ere seemed a geheral tendency that

the method gives properly obsecure influence on the experimental results. A series of experiments

including the lateral and longitudinal dispersions was canied out in addition to the photographic

observation of tracer substances in seeping flow.

3. introduuion

Les problemes de la dispersion dans milieux poreux ont 6t6 6tudids considerablement durant

passe d6cade. Les lin6aments frappants en cet 6gard sont sous tout champ d'art et la science, par

exemple, 1'art chimique, petrolier, et l'art civil, agricultural, etc. On a beaucoup de la publications

sur'le sejet de la dispetsion-diffusion''du fluicle courant dans milieu- poreux. En general, le cours

des phases multiples donne une liinite s6par6e entre 1es fiuides immiscibles ou 1es phases internes de

la concentration changeante des fluides miscible hors le cas de 1'exception. Le cas precedent vient

'pr'esq' ue entre 1'huile et 1'eau, et 1'autre entre Peau sa16e et 1'eau. L'etude presente montre la

-ma'niere dont dans 1'origine'1'interieur tranchant entre 1es liquides miscibles est change quand 1es

liquides subissent le cours constant dans un mMeux poreux. A la phase la distribution de la-eoncentration devient la forme normale'autour du plan de la limite perpendiculaire au cours moyen.

Ce ph6nomene est une propriet6 de.la diffusion ou. Ia dispersion dans le cours. 'Mais Ies quantitds

de la' distribution subissent 1'infiuence des rnilieux dans le champ du cours, par exemple, la tur-

bulence, la matiere solide et la dimension du cours. Ainsi, pour relier un phenomene et un modele

on veut un coeMcient experimenta1.

4. Expressions th6oriques

Afin d'etudier 1es equations th6priques pour la dispersion des matieres dispersives dans le cours

fi1trant, on.a deux methodes. L'un est de rdsoudre analytiquement un'6quation sous Ies conditions

limit6es et initiaux en vue de la conservation dc masse dans le volume infinit6simal de fluide.

L'autre est de definir la distribution de la concentration des matieres dispersives par la consideration

statistique d'une particule mouvant.

(1) M6thodeanalytique

Un'6quation de la conservation desincompressible

[]itld+vaaO.+v'aaC',+"tu

u == U+ u', v = Vt v',

matieres dans le volume infinitdsimal est pour le fluide

OoC. =-aa . (u'c')- aa , (v'c')- oO . (w'c'),

w= W+w', c== C+c',

(1)

(2)

oab u, v, w sont les vitesses des axes x, 1, z respectivement dans le volume petit de le milieu poreux,

' est le composant de la fluctuation, etttablit le temps moyen du quantit6. Ici on introduit 1escoeMcients de la dispersion par neuf quantitds en analogie de la loi premier de Fick,

u'c' = -(Dxx-Oag

v,c, = -(DJx OoCx

w'c' = -(Dtxi9o9t

+Dxr

+Dyr

tDer

ao'Ov

oabyoc- ,a, t

+Dxz

+Dsz

Dzt

-aCNOz v-

zg)

zci)

(2)

Les coeMcients de la dispersion comprend trois effets sinon que la matiere dispersive augmente ou

-92-

Sur le CoeMcient de la Dispersion en Milieu Poreux

decroit h point, la di,ffusion moleculaire, la dispersion laminaire, et la,.diffusion turbulente. Con-

sequemment, il est stir que on souvent obtent les r6sultats compos6s des deux ou trois effets par

1'experience.

(2) Methodestatistique

En caS que on traite la dispersion pat` la m6thode statistique, 1'irr6gularite de la composition

des pores est prise, et le mouvement d'une particule de la matiere dispersive est irregulier par-

faitement en milieux poreux. La probabilit6 de 1'existence d'une particule est la distributionnormale, si h va grandement en t=hd'; t=la temp de la duree, h= 1,2 ,•••, i= la dimension du pore.

QLuand on injecte la matiere dispersive de la concentration Co au point de (xo, lo), une concent-

ration C au point (x, 2) autour du point (x,+L',]o) en la direction de le cours moyen Uo est pour

deux dimensions, • ' y Milieu poreux m (x, y)

(xo,yo) O.'' .:-p,. .-:t:-

. Uo•

L' , '.'";

'o o

;-t

': t:-:t

.I• IQ:•,

'c,.•. -, . .'Yl V• .' :'

ta.- v"t-' t''' ''ny tt t-

,

:'ooo

I-

x o

Fig. 1. Dispersion de la concentration dans le cours homogene

C(x, 7; "o, 2o) == 2nagOtoy,'exp(- 2:i2,,-2:'y2,,), (4)

oU o.,oy=la deviation d'6talon de la dispersion au point (xo+L',7o), m'=x-(xo+U), n'=7-Jo•On a la deviation d'6talon de la dispersion par de josselin de Jong & Bear,

a.'=(2D,L')tf2, oy' == (2D,L')'12, (5)

oti Di, D2 ont la dimension de la longueur et sont concern6s la forme geometrique des milieuxporeux. En gen6ral, si le cours moyen Uo est changeant en le temps, la distance de la sommeL==L' par la superposition lineaire b chaque temps. En sens vaste Eq. (4) est ecrite

' ' C(x,]; xo, 7o) = 4.DC,eD,L• exp(- 41iilL-4B2,L), (6)

'oin m=x-(x,+L), n=2-pto. Par 1'integration la concentration C est donnee. Il fait attentionque le coefficient de la dispersion differe de Di et D2 naturellement.

5. Expressien physigue du coefficient de la dispersion

Scheidegger (1961) suppose que les coeMcients de la dispersion ont rapport h la forme geom6-trique du systeme poreux et la vitesse de la filtration par 1'experssion

Di,• -= 6algi, (i, J'; x, 7, z) (7)

oti 6 est une constant de la proportionnalite d6pendante de la forme de la particule et la distri-

bution de la dimension, g est une vitesse, et d• est la dimension moyene du grain. Par la viscosit6

cinematique du fluide y on donne

Di,•!y=flRe, Re=d•,iqllv. (8) -93 -

Kuniaki SATo

En rapport r6cent, Harleman & Rumer exposent la prdsentation g6n6rale par

Di,•lv ==aRe". (9) En Eq. (9), un'exponentiel n est 1-2 par 1'exp6rience, et a une constant.

Par la permeabilite intrinseque le coeMcient de la dispersion- peut s'6crire pour le cours laminaire

lllltti=fikii.2;ql. (io)

k== Cd2, (11) C; une constant de la proportionnalite, k; la perm6abilit6 intrins6que. Aussi la corr61ation entre le

coeMcinent de la dispersion et resistance peut s'ecrire

a. fi.v . D,i -4, (12)

oU a est une constant dependante du milieu poreux. Afin d'obtenir les constants P, a, on doit faire

1'experience de la dispersion et'perm6abilite en milieux poreux.

6 Determination exp6rimentale du coeffhient de la dispersion

(1) Appareils exp6rimentals et rn6thode

' La presentation sch6matique du appareil utilis6 est donnee en Fig. 2, Fig. 3 et Fig. 4 (a), (b).

D'ailleurs, le circuit electrique pour le mesurage de la concentration est montre en Fig. 5 par le

diagramme du bloc et la ligne. En premier, le mesurage de la dispersion longitudinale (Voir Fig. 2)

est execute par quatre sondes fixe a un cylindre transparent de 80 cm en long et 7 cm en diametre.

La variation de la vitesse ou la pression est accomplie par le mouvement vertical du reservoir de

debordement qui est fix6 sur la planche des piezometres.

Reservoir de la matiere dispersivePlancheduÅ~'pleozmetre

Cadret2I'"Up-?ortant---1111

-----F

]=

IiIIPiff.useur

.,-'ttrCdL.dre

ii.-'- -r-

: r=- 11

il

="pt= =.

ll1

Mesure t

6

;-

11Sondell-iPlaque

IIporeuseEII-J1--"

Reservoirde1'cau

L.-----------

Fig. 2. Appareil de la dispersion longitudinale

-94-

Sur le CoeMcient de la Dispersion en Milieu Poreux

Reservoir de la matiere dispersive IProvision de l' eau

"

T .'

Mesure

.Plaquesdespores

'.--

Sonde

iReservoir

vorumetriqMilieuporeux Planche

idiviser

Fig. 3. Appareil de la

(a) Detail de la sonde

dispersion laterale

Bouchon

Fil deconduite

.3"C SCLBaguette de la resine

(b) Sonde de 1' installation

Mur du cylindre Milieu porux •-1cm

Baguette

Fig. 4. Sonde de la conductivite

Amplificateur Sonden..• Oscitloscope

H-Pont Compensateur

Fig. 5. Block-diagramme du mesurage electrique

La m6thode experimentale est faite par la marche suivante. De prime abord, on emplit le milieu

poreux en la epaisseur de 30 cm dans la cylindre transparent qui est supportee par un cadre, et

installe quatre sondes h les positions donnees. Ensuite, pour empecher 1'entrainement des ecumes

d'air dans le milieu poreux on fournit inversement de reservoir de d6bordement en aval. Alors onjoint les sondes au circuit, et finit la pr6paration du registre sur le papier du oscilloscope. On donne

la difference de la tete de 1'eau par le reservoir, en meme ternps commence la venue de la matiere

dispersive, et continue le registrejusque le front du cours de 14 matiere dispersive (la limite de 1'eau

et 1'eau sa16e) passe une sonde en aval. Pour un milieu poreux meme mesurage est fait par ladifference diverse de la tete. Le taux du cours est mesur6 en chaque tete de la pression.

Mesurage de la dispersion laterale est da b quatre sondes; h des intervalle de 9.5 cm, qui sont

-95-

2-X'

t

Kuniaki SATo

fixees en un c6te de le contenant de 90 crn en long, 18 cm en hauteur et 4 cm en largeur. (Voir Fig. 3)

La variation de la vitesse ou la pression est faite par 1'operation des trois reservoirs. La marcheexp6rimentale differe de le cas de la dispersion' longitudinale, parce que la plan de la limite des 1'eau

et 1'eau sa16e est stationnaire. En premier, un milieu poreux est empli dans le contenant en long

40 cm, et quatre sondes sont fix6es. On fournit de 1'eau dans milieu poreux par les r6servoirs des

1'eau et 1'eau salee, et imm6diatement donne la difference de la pression par autre r6servoir. On

attend i faire stable sur la plan de la limite dans peu minutes. Onjoint les sondes au circuit et finit

la preparation du registre sur le papier du oscilloscope. Alors on mesure la distribution de laconcentration dans la section perpendiculaire ) la direction du cours moyen b des intervalles de 1.5 cm

par Ies sondes. Pour un milieu poreux meme mesurage est fait par la diff6rence diverse de Iapression. Le taux du cours est aussi mesure en chaque tete de la pression. Les milieux poreux sont composes des spheres du verre en les diametres des 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,

11 et 12 mm, et ils sont dix sortes au total; quatre sortes compos6es de meme diametre et six sortes

compos6es de la distribution normale (Voir Tabl. 1 pour Ies quantit6s de la propriet6 de la dis-

Tableau 1.

.

slgnes

oiSt

eo•OAAas

A

P (d, D. e)

O.7,O.5

O.7,L1O.7,1.7

O.7,2.4

O.7,3.5

O.7,5.0

O.1,O

O.3,O

O.5,O

1.0,O

Reservoir de la rnatiire dispersive

Contenant

Milieu poreux

ProvisionVMesure

tso

repandante

-

t

--L,..-

-"- o--epoi

Reservoirvolumetriq

T'injeetion

8OilII•]d",ya"

l11tlJl:t:tL

t '

be

ooe OOoPlanche • despores -

-o.--J -

• Fig. 6. Appariel de la dispersion de 1'injectitn au point

-96-

Sur le CoeMcient de la Dispersion en Milieu Poreux

tribution; le diametre moyen de la particule =d, la deviation d'6tendard=D.e.). La concentration

du sel est Co ==O.50/o. La diff6rence de la pression est dans 1'etendue du minimum 2 cm et maximum

30 cm pour dispersion lat6rale et longitudinale. Deux aiguilles de la sonde sont le platine dudiametre O.2 mm et 1'intervalle des deux aiguilles est 3 mm (Voir Fig. 4).

(2) L'estimation de la vitesse transversale

Il est important d'estimer la vitesse perpendiculaire au cours moyen, quand on determine.,lecoeficient de la dispersion laterale en milieu poreux. Mais il est diMcile que on mesure le composant

microscopique de la vitesse par la sonde du fi1 chaud dans les pores. Alors on peut discuter la vitesse

transversale par la dispersion stationnaire de la' teinture qui est inject6e continUment au point dans

le champ du cours. L'appareil utilise est donne en Fig. 6. La structure principale est; le contenant

du Milieu• poreux (55. I7•6 cm'la r6sine transparente), deux r6servoirs (20.20. 10 cm), un tuyau de

1'injection (le diametre O.05 mm), un reservoir volumetrique de la teinture (10.5.5 cm), et unreservoir volumetrique de 1'eau filtrante (10.10.50 cm). Pour la methode experimentale 1'obser-

vation photographique est adoptee. Les milieux poreux sont compos6s des spheres du verre, et ils

sont onze sortes au total (Voir, Tableau 2).

Tableau 2. (Md -- 1.75 cm)

Signes.

oeAAz-

Re

41.2

88.7

114.7

189.6

242.0

285.1

Signes

oÅ~

Re

322.7

363.0

7 Les solutions des 6quatins et un'6quation approximative de la dispersion i un'injection du point

Si le cours est une dimension (x-direction), D.. est constant, on obtient par Eq. 1 et Eq. 3

pour la dispersion longitudinale

6,C,-+U6,C.-=Dxx,O.29N (i4)

Avec les conditions limitees et initiaux la solution est

E.>Og';O.o.[(2,iogg,':=...8o,l(is' gl.:,tt;)(g.t-D(liit`)ui.t.,)(i6)

En 1'6quation (16) on peut negliger le terme secondaire, quand D../U.x<<1. Aussi pour ladispersion laterale Eq. 1 et Eq. 3 se reduire en

c7 g.C .. D., a,2.C (i7)

Avec les conditions limit6es et initiaux la so]ution est

-97-

Kuniaki SATo

(- oo <v-S O);C(O, ),) = CoN - :3<=pt<.+,.,ee2iC-,f-Oi,,j.J-8l(i8)• g,--lierfc(,.s;-...,.)•

La supposition 02C'16x2<<02C-/6y2 est experimentalement verifiee. QLuand on

tinQment la teinture constante du champ du cours stationnaire en deux dimensions,

supposer approximativement

/Y2 h2 --) xU

(19)

injecte con-

on peut se

(20)

ici x; la distance de 1'origin injectee au long de U, U; le cours moyen, v; la vitesse transversale, et

Y; la distance perpendiculaire au axe x. (Voir un resultat experimental en Fig. 9)

Si V, Y, et x sont connus, v s'obtient aisement.

8 La presentation et discussion des resultats exp6rimentaux

Un resultat du mesurage de la dispersion longitudinale est donne en Fig. 7. En cas de ladistribution normale P(O.7, O.5) et Re=: (d. Vlv) = 57.0, la corr61ation entre la concentration specifique

C-ICo et ie temps pass6 est presentee h la distance d'amont x=2.5, 7.0, 11.5 cm. La dispersion de

1'eau du sel augmente en 1'augmentation de la distance d'aval. Figure 6 est, en cas de la distribution

1.0

O.5

o

CICe Re==57

o

to

..

t

5 15 25 3545Fig. 7. Frofils des

P (O.7, 05)R ==57.0, L==30.0crn

x(cm) 2.5 7.0 IL5

t (sec.)

dispersions longitudinaux pour trois sondes

ctCo

P(O.7, 1.05)R,:= 208.e, b= 18,Ocm

O.5

1.0

O.5

o

.

.•

YIb

O,5

Fig. 8.

x (cm)

4.S 14.0 23.5 33.0

cOFrofils lateraux de la concentratio

-98-

Sur le CoeMcient de la Dispersion en Milieu Poreux

2

1

o

"i ag ygkeees e. ig?

`Sei'`tiie' SO`,i ,,,ji} al},,8'20 ,s, ,jii. i30

,sll,

Fig. 9. Dispersion de 1'injection au point

xt2d-

normale P(O.7, 1.05) et Re=208.0 a la distance x=4.5, 14.0, 23.5 et 33.0 cm, un resultat du mesurage

de la correlation entre dlCo et les quantit6s71b (b=la longeur du milieu poreux). On connaft que

la distribution est plate en 1'augmentation de la distance d'aval aussi bien que la dispersion longi-

tudinale. Donc, par les donees des dispersions lengitudinaux et lateraux, 1es coeMcients D.. et Dyy

sont calcu16s ais6ment. En la courbe de la solution; 1'6quation (I6), le terme secondaire estneglige, car il est petit assez par comparaison au terme primaire. De plus, le cours moyen U==X,lt, (Xo; 1'intervalle des sondes, to; le temps qui coupe la concentration sp6cifique CIC,=O.5), la

distance d'origine x sont donnes en outre de CICo au temps arbitraire t. On obtient la valeurnum6rale du D... Pour le coeMcicnt de la dispersion laterale on peut calculer les valeurs numeriquesde la courbe de la solution, car OIC, est donn6e au point arbitraire (x,!) immediatement. (Voir Fig. 8)

Fig. 10 et Fig. 11 presentent les corr61ations entre D..lv, Dyptlv et Re, oti les signes correspondent

d

Dxxlp•

1

Na~No

em

Atx 4lts.'o

1pt

A

7•

oti eed•i.agt-

'

lol AlA.t

D.tv=O.66R,

1of

Disp.d- Fric.Disp. dL D.ecP' 4OJo-oiO.3--"

O.7O.5O.71.1

SO,se-- O.71.7'107• i1.0n-o O.72.-

o-oo-•oO,73,5O.7S,O

-"--- O-Har[emanttRumer"loO lol 1ptRt=U.dlv

'

Fig. 10. CoeMcients de ladispersionlongitudinale et la factrice de la resistance

-99-

Kuniaki SATO

DJrlv

101

A.6ep•1ov

et.

Oo....6'''''.-Dsllv..o.o36

10" ip6' Disp• U-D.e:oRr.1ge,an&

oo.7e.smO.71,1e.O,71.7

10-2 o' O,72,4oO.73,5QO.7S,o

"vlol 1of' lo3Ri--U'dlu

Fig. 11. CoeMcients de la dispersion laterale

EE'iti'h-,v'

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opPe.eeeseeeee--.

-e-itNAoAts e1pt tsp+ ee

o

loi .`saeoSe

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'R.=tUTd)v

1oO

i

'lo-t loZ 1of

lo-2 J....-TFig. 12. Correlation entre Re et Re

- 100 -

Sur le CoeMcient de la Dispersion en Milieu Proeux

aux propri6tes des distributions des milieux poreux respectivement, et les lignes poidtil16es sont les

equations experimentaux de Haleman-Rumer. On peut connaitre que ils s'accordent avec lesvaleurs du mesurage quand meme Re a la valeur grande. Comme le fait attentionne, ily a larelation entre les coethcients de la dispersion et la r6sistance dans le cours. En Fig. 10 1'equation

experimentale de Schneebeli est montree avec les resultats du mesurage par la ligne brisee. Cesdonnees pr6sentent une validite de 1'equation (12) qui est introduite en la page 4, c'est-b-dire, le

coethcient de la dispersion et le facteur de la r6sistance sont inversement proportionnels en lamutualit6. D'ailleurs, Fig. 9 donne u'exemple de la dispersion iniectee a point en cas de diff6rent

Re et d==1.75 cm. Toutes ces dispersions sont approximativement lin6aries sinon le voisinage

d'origine des axes, la largeur dispersive s'augmente en augmentation de Re. Par ces donnees onpeut estirner la vitesse transversale i pour le cours moyen. Fig. 12 est une corr61ation obtenue sur

Re=V-d-fv et Rg=i.dlv. Cette relation s'6crit

(b'd) =KC V' dY, K.,. o.os67, n- i.i67. (2i) NVt XVtIl est diMcile d'abstraire les effets sur la dispersion laminaire et turbulente d'6quation (2l), car on

n'a pas les donnees en dessous Re=10. Mais on peut comprendre que la dimension du courstransversal est 5-60/o du cours moyen <U==au; Z; la porosite, u; le cours intrins6que). On peut

estimer la dimension des D.. et Dpts par 1'6quation (21) ; par exemple, pour l'6quation de Harleman& Rumer on a D..IDrs==5.8 quand Re=O.l, d'autre part, (V.dlv)1(b•d!v) =6.1 quand Re=O.1,car Ie transport de la matiere dispersive a relation h la vitesse.

9 Conclusions

En ce rapport il est stir que 1'estimation des D.. et Dvpt par la methode usee; c'est-a-dire, on

trouve la distribution de la concentration du sel en la corr61ation entre la concentration des ions chlor6s

et la conductance electrique, et calcule inversement les coethcients de }a dispersion par les courbes

de la solution, est ineMcacee, car on a besoin de la relation entre les propri6t6s des milieux poreux et

ces coeMcients. Mais il est valide que les 6quations de Harleman & Rumer tiennent aussi macros-copiquement en cas de Re haut. Par cons6quent le discrimination entre la dispersion turbulente et

laminaire est impossible par ces m6thodes. A 1'instar de Eq. (12), on peut prouver que le coeMcient

de la dispersion et le facteur de la rdsistance sont proportinnels en la mutualite par les experiences.

Finalement, il semble que la dimension du cours transversal est 5-60/. du cours moyen. On peut

estimer approximativement la dispersion laterale par 1'equation (21).

Cet auteur remercied'universite Osaka.

de 1'experience.

10 Reconnaissance

les suggestions utiles et la gouverne excellente du professeur Akira Murota

De plus, le remerciement est etendu pour Yoshikazu Sakamoto sur 1'assistance

1)

2)

3)

4)

References

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Jacob Bear: On the Tensor form of dispersion in porous media. .Journal of geophysical research,Vol. 66, No. 4, April '61.

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Kuniaki Sato: On the dispersion coeflicient of the tracer due to the seeping flow, Annual meeting of

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-101-