BASİT GAUSS İNDİRGEME METODU

denklemden çıkarılır.

GAUSS JORDAN YÖNTEMİ

KUVVET İTERASYON YÖNTEMİEn basit yaklaşık öz değer hesaplama yöntemlerinden birisi kuvvet iterasyon yöntemidir.

A =[ ], n*n tipinde bir matris ve (≠0) n bileşenli bir vektör olsun. Ardışık olarak =A , =A , ……, =A

vektörlerini hesaplayalım. Notasyonları basitleştirmek için yerine x ve yerine y alırsak genel olarak y=Ax yazarız. Eğer A matrisi reel değerli ve simetrik ise,bu durumda aşağıdaki teorem yaklaşık Öz değerleri ve hata sınırını verir.

1.Teorem. A =[ ], n*n tipinde reel değerli ve simetrik bir matris ve (≠0) n bileşenli ve reel değerli herhangi bir vektör olsun. Bundan başka, y=Ax, =x’x, =x’y, =y’y olsun.

Bu durumda (Rayleigh bölümü) bölümü yaklaşık olarak A nın bir λ öz değerini verir. Eğer

q=λ-ε olarak yazılırsa, bu durumda yapılan hata ІεІ≤ olur.1.Örnek. Aşağıda verilen A matrisinin yaklaşık öz değerini yanında verilen vektörünü

kullanarak kuvvet iterasyon yöntemiyle bulunuz. Ayrıca yapılan hatayı hesaplayınız. 8 -2 2 1

A= -2 6 -4 ve = 1

2 -4 6 1

Çözüm. Verilenlere göre gerekli hesaplamalar yapılırsa, 8 72 720 7776

= 0 = -32 = -496 ve = -6464 bulunur. 4 40 512 6496

X= ve y= alnırsa, =x’x=1026560 , =x’y=12130816, =y’y=144447488 elde edilir. Yukarıdaki teoreme

göre yaklaşık öz değerq= / =11.817 ve yapılan hata ІεІ≤ =1.034 olarak bulunur.Şimdi verilen A matrisinin yaklaşık öz değerini bulmak için gerekli olan iterasyon sayısının

nasıl bulunacağını görelim.Öz değerleri , ,…., ve bu öz değerlere karşı gelen öz vektörleri de ,…, olan

n*n tipinde bir A matrisini göz önüne alalım. Bu öz değerlerin І І>І І≥…….≥І І koşulunu sağladığını kabul edelim. Bu öz vektörlerin elde edilen herhamgi bir v vektörü v= + +……+

olsun. Bu durumda Av= + +……+ Av = + +……+

Av= ] olur.

İterasyonun k defa tekrarlanması sonucu

vektörü elde edilir.Öz değerler her i=1,2,…..,n için

Koşulunu sağladığından,iterasyon sayısı arttıkça= elde edilir.(k+1). İterasyonda bulunan vektörün elemanlarının bir

önceki iterasyonla bulunan vektörün elemanlarına oranını veren sayıların en büyüğü sistemin en büyük öz değeri olarak alınır. R=1,2,…,n için

elde edilir. Buradaki r vektörün r. elemanlını göstermektedir.

İterasyon sayısı

Oranına göre değişir.Eğer bu oran sıfıra yakınsa iterasyon sayısı çok azdır. Genellikle matrisin köşegen elemanları, diğer elemanlarından büyük iseler, yakınsaklık gerekli iterasyon sayısı küçük olur.Ayrıca iterasyona başlamak için gerekli olan v vektörü herhangi bir vektör olabilir ve bunun seçimi de iterasyon sayısını etkiler.

2.Örnek. Aşağıda verilen A matrisinin en büyük öz değerini bulunuz.

A= ,başlangıç vektörü .

Çözüm. başlangıç vektörü verildiğine göre,

=4

=15/4

=11/3 bulunur. Buradan da en büyük öz değer

λ=11/3=3.66 olarak elde edilir.

JACOBI İTERASYON YÖNTEMİ

Bu yöntem toplam adımları yöntemi olarak da bilinir. Bu yöntemde çözümün bulunabilmesi için

X(0) başlangıç vektörüne ihtiyaç duyulur.

Eğer ;

AX+ B = 0 denklemi , X = CX + D biçiminde yeniden yazılıyorsa ve X(0) başlangıç

durumu biliniyorsa AX + B = 0 denklemi takım iterative bir biçimde çözülebilir.

Yeni yaklaşık kökler:

X(1) = CX(0) + D işlemiyle bulunur ve işleme

X(2) = CX(1) + D

X(3) = CX(2) + D

.

.

X(k) = CX(k-1) + D

olarak devam edilir. ||X(k) – X(k-1)|| < E işlem sona erer.

X(k) bilinmeyen vektör elemanları

Bağlantısı ile verilir. Burada k, yineleme sayısını gösterir. Yineleme işlemine belirlenen yineleme

sayısı kadar veya ;

yakınsama kriteri ile belirlenir.

ÖRNEK 1:

1) 2X + Y = 6 X(0) = ½

X + 2Y = 6 Y(0) = ½

X = -1/2Y + 3 X(2) = - 1/2 ( ½ ) + 3 = 11/4 X(2) --> 13/8

Y = -1/2X + 3 Y(2) = - 1/2 (½) + 3 = 11/4 Y(2) --> 13/8

ÖRNEK 2:

Denklem sisteminin direkt yöntemlerle çözümü xT=[0.1667 0.4167 -0.0833 0.1667] dir.

Çözümde ondalık sayıdan sonra 4 hane verilmiştir. Aynı denklem sistemini JACOBI

iterasyonu ile çözelim. Denklem sistemini

şeklinde yazalım. i. bilinmeyenin k. Ve k-1. adımda hesaplanan iki değerinin farkı xik − xi

k-1

olmak üzere, Max | xik − xi

k-1 |≤ ε koşulu sağlanınca iterasyonu durduralım. ε=0.0001 seçelim.

Çözümde 4 ondalık hane kullanalım. Başlangıç için x =x(0)=[0 0 0 0]T alalım.

ÇÖZÜM=

Gauss-Seidel İterasyon Yöntemi

ÖRNEK: