Sayısal türev ve integral

BÖLÜM 3

SAYISAL TÜREV VE İNTEGRAL

3.1 Bilgisayarla türev

3.1.1 Bölünmüş fark tablolarıyla türev

3.1.2 Eşit aralıklı veri noktaları için türev

3.1.3 Eşit aralıklı veri noktaları için veri noktalarında türev

3.1.4 Yüksek mertebeden türevler

3.2 Sayısal integral

3.2.1 Trapez kuralı

3.2.3 Romberg integrasyonu

3.2.4 Bir veri seti için Romberg integrasyonu

3.2.5 Simpson kuralı

3.2.6 İntegral formüllerinin farklı bir yoldan elde edilmesi

3.2.7 Gauss kuadratürü

3.2.8 Çok-katlı integraller

Bölüm 3- Sayısal türev ve integral

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- M.A. Yükselen, HM504 Uygulamalı Sayısal Yöntemler Ders Notları

3-1

BÖLÜM 3

SAYISAL TÜREV VE İNTEGRAL

3.1 Bilgisayarla türev

Bir f(x) fonksiyonunun x=a noktasındaki türevi

( ) ( )x

afxafdxdf

0xa ∆

−∆+=

→∆lim (3.1)

şeklinde tanımlanır. Aynı türev bilgisayar yardımıyla yaklaşık olarak

( ) ( )x

afxafdxdf

a ∆−∆+

≈

(3.2)

şeklinde hesaplanabilir. Türevin bilgisayarla hesaplanan değerinin gerçeğe ne kadar yakın olduğu ∆x ‘in hangi büyüklükte seçildiğine bağlıdır. Türevdeki hata, ∆x küçüldükçe önce azalacak, ancak bir süre sonra yuvarlatma hataları önemli olmaya başlayınca artmaya başlayacaktır.

Örnek

( ) xexf x sin= fonksiyonunun x=1.9 ‘daki değerini inceleyelim. Fonksiyonun türevi

( ) ( )' sin cosxf x e x x= + olup bu noktadaki gerçek değeri ( ) 1653826491 ..' =f dir. Aşağıdaki

tabloda EXCEL programıyla yapılmış hesaplama sonuçları yer almaktadır. Burada türevin sayısal hesabında ileri fark formülü kullanılmış olup, geri fark formülü uygulandığında benzeri sonucu elde etmek mümkündür.

f (x+ f ' (x) Hata Hata oranı0.05 0.1 ## 7 0 4.05010 1 -1.153E-01

0.05 / 2 0 ## 6 0 4.10956 2 -5.582E-02 2.1

0.05 / 4 0 ## 6 0 4.13792 3 -2.746E-02 2.0

0.05 / 8 0 ## 6 0 4.15176 4 -1.362E-02 2.0

0.05 / 32 0 ## 6 0 4.16200 5 -3.384E-03 4.0

0.05 / 128 0 ## 6 0 4.16454 6 -8.448E-04 4.0

0.05 / 1024 0 ## 6 0 4.16528 7 -1.055E-04 8.0

0.05 / 8192 0 ## 6 0 4.16537 8 -1.319E-05 8.0

0.05 / 65536 0 ## 6 0 4.16538 9 -1.647E-06 8.0

0.05 / 524288 0 ## 6 0 4.16538 10 -2.027E-07 8.1

0.05 / 4194304 0 ## 6 0 4.16538 11 -4.439E-08 4.6

0.05 / 33554432 0 ## 6 0 4.16538 12 -1.934E-07

0.05 / 268435456 0 ## 6 0 4.16539 13 4.575E-06

0.05 / 2147483648 0 ## 6 0 4.16538 14 -1.934E-07

0.05 / 17179869184 0 ## 6 0 4.16565 15 2.668E-04

0.05 / 137438953472 0 ## 6 0 4.16260 16 -2.785E-03

0.05 / 1099511627776 0 ## 6 0 4.17969 17 1.430E-02

0.05 / 8796093022208 0 ## 6 0 4.37500 18 2.096E-01

0.05 / 70368744177664 0 ## 6 0 0.00000 19 -4.165E+00

2.71828182845904 ###) = 6 4.16538

dx

-0.10

-0.05

0.00

0.05

0.10

0

dx

hata



3-2

Burada ∆x büyüklüğünün ilk değeri 0.05 alınmış, ikinci, üçüncü ve dördüncü değerleri bir önceki değerlerin yarısı, beşinci ve altıncı değerleri bir önceki değerlerin dörtte biri ve daha sonraki değerleri de bir önceki değerin 8 de biri olarak alınmıştır.

Bu tabloya göre ∆x küçüldükçe beklendiği gibi türevdeki hata önce azalmakta, ancak ∆x ‘in belli bir değerinden (0.05/4194304) sonra artmaktadır. Bu değere kadar hatadaki küçülme oranı yaklaşık olarak ∆x ‘in küçülme oranı civarındadır.

Sayısal türevin bu şekilde birinci dereceden bölünmüş farklarla hesaplanması sırasında ortaya çıkan hataların belli oranlarda değişmesi tesadüfi değildir. Bunu daha kolay görmek için ∆x yerine h alarak Taylor seri açılımını

( ) ( ) ( ) ( )' '' /2f x h f x f x h f h 2ξ+ = + +

şeklinde yazalım. Buradaki sonuncu terim hata terimi olup, x < ξ< x+h dır. Bu ifade f ’(x) için çözülürse

( ) ( ) ( ) ( )'''

f x h f x f hf x

h 2ξ+ −

= − (3.4)

buradaki ilk terimin sayısal türev için kullanılan ileri fark formülü olduğu, ikinci terimin ise sayısal türev alınırken yapılan hata olduğu söylenebilir. Görüldüğü gibi hata terimi h ile orantılıdır. Mertebe açısından düşünülürse hata O(h) mertebesindedir.

Yukarıdaki incelemeler f(x-h) Taylor serisi için tekrarlanırsa

( ) ( ) ( ) ( )'''

f x f x h f hf x

h 2ξ− −

= + (3.5)

Burada x-h < ξ< x olup, bu haldeki hata teriminin öncekiyle özdeş olduğu söylenemez.

Şimdi aynı Taylor açılımları bir üst mertebeden terime kadar sırasıyla

( ) ( ) ( ) ( ) ( )' '' '''2 3h hf x h f x f x h f x f2 6

ξ+ = + + +

( ) ( ) ( ) ( ) ( )' '' '''2 3h hf x h f x f x h f x f2 6

ξ− = − + −

şeklinde yazılıp yine birinci türev bu ifadelerden sırasıyla

( ) ( ) ( ) ( ) ( )' '' '''2f x h f x h hf x f x f

h 2 6ξ

+ −= − −

( ) ( ) ( ) ( ) ( )' '' '''2f x f x h h hf x f x f

h 2 6ξ

− −= + −

şeklinde çekilerek bu iki ifadenin de aritmetik ortalaması alınırsa

( ) ( ) ( ) ( )''''

2f x h f x h f hf x

2h 6ξ+ − −

= − (3.6)

elde edilir. Burada sağdaki ilk terim türevin merkezi farklarla sayısal yaklaşımını ifade etmektedir. İkinci terim de hatayı belirtmekte olup hata O(h2) mertebesindedir.



3-3

Bu incelemenin sonucu türev merkezi fark formülasyonunun daha iyi olduğunu göstermektedir. Nitekim yukarıdaki örnek fonksiyon için merkezi farklarla alınan türevler için bulunan hatalar aşağıda tablolanmış olup, sayısal türev almak için aynı miktarda hesap yapılmasına karşılık küçülen ∆x lerle birlikte hatanın daha çabuk küçüldüğü görülmektedir. Örneğin ∆x iki kat küçüldüğünde hata 4 kat küçülmekte, ∆x 4 kat küçülürken hata 16 kat küçülmekte, ∆x sekiz kat küçülürken hata 64 kat küçülmektedir.

dx f (x f f ' (x) Hata Hata oranı0.05 # # # # # 4.15831 1 -0.00707

0.05 / 2 # # # # # 4.16361 2 -0.00177 4.0

0.05 / 4 # # # # # 4.16494 3 -0.00044 4.0

0.05 / 8 # # # # # 4.16527 4 -0.00011 4.0

0.05 / 32 # # # # # 4.16538 5 -0.00001 16.0

0.05 / 128 # # # # # 4.16538 6 -4.317E-07 16.0

0.05 / 1024 # # # # # 4.16538 7 -6.749E-09 64.0

0.05 / 8192 # # # # # 4.16538 8 -1.547E-10 43.6

0.05 / 65536 # # # # # 4.16538 9 1.009E-09 -0.2

0.05 / 524288 # # # # # 4.16538 # 2.174E-09 0.5

0.05 / 4194304 # # # # # 4.16538 # -4.439E-08 0.0

0.05 / 33554432 # # # # # 4.16538 # -1.934E-07

0.05 / 268435456 # # # # # 4.16538 # 2.191E-06

0.05 / 2147483648 # # # # # 4.16540 # 0.00002

0.05 / 17179869184 # # # # # 4.16534 # -0.00004

0.05 / 137438953472 # # # # # 4.16260 # -0.00278

0.05 / 1099511627776 # # # # # 4.16992 # 0.00454

0.05 / 8796093022208 # # # # # 4.29688 # 0.13149

0.05 / 70368744177664 # # # # # 3.75000 # -0.41538

2.71828182845904 # = 6 4.16538

dx

-0.10

-0.05

0.00

0.05

0.10

0

dx

hata

Bütün bu incelemeler interpolasyon yaparken veri noktalarının, interpolasyon noktası bunların orta bölgesinde yer alacak biçimde seçilmesinin uygun olduğunu anımsatmaktadır.

Elde edilen sonuçlar ayrıca türev için ortalama değer teoremine de uymaktadır:

( ) ( ) ( ) bafabafbf

<ξ<ξ=−− ,'

f ’(x) türevinin değerini

- ileri fark yaklaşımı x ve x+h noktaları arasındaki

- geri fark yaklaşımı x-h ve x noktaları arasındaki

- merkezi fark yaklaşımı x-h ve x+h noktaları arasındaki

bir noktada vermektedir. Fonksiyon x noktası civarında anormal bir değişim göstermedikçe türevin hesaplandığı noktalar sırasıyla x+h/2, x-h/2 ve x noktasına yakındır.

Yukarıdaki incelemeler için seçilen örnekte bilinen bir fonksiyon kullanılmış olup bu fonksiyonun değeri istenilen noktalarda hesaplanabilmektedir. Genel olarak türevin doğru hesaplanabilmesi için fonksiyonun birbirine yakın noktalardaki değerlerinden yararlanılması gerektiği sonucu ortaya çıkmıştır.

Ancak pratikteki sayısal problemlerde çoğu zaman veri noktaları birbirine bu kadar yakın değildir. Bu bakımdan birinci mertebeden farklarla yapılan türev hesaplamaları o kadar doğru sonuç vermeyecektir. O halde pratikteki sayısal türev hesaplamalarında daha yüksek mertebeden fark formülasyonlarının kullanılması gerekir.



3-4

3.1.1 Bölünmüş fark tablolarıyla türev

Sayısal türev almanın bir yolu interpolasyonda olduğu gibi veri setine polinomsal yaklaşımla uydurulmuş olan bir fonksiyonun türevinden yararlanmaktır. Bunu, veri eşit aralıkla dağılmışsa basit farklar, aksi halde bölünmüş farklar yardımıyla yapmak mümkündür.

Bir fonksiyonun n ’inci dereceden bölünmüş farklar polinomuyla

( ) ( ) [ ] [ ] ( ) [ ] ( )( )

[ ] ( ) Hataxxxxxxf

xxxxxxxfxxxxfxfHataxPxfn

iin

n

+−+

+−−+−+=+=

∏−

=

1

0210

102100100

,...,,,...

,,, (3.7)

şeklinde ifade edilebileceği daha önce gösterilmişti. Bölünmüş fark polinomunun türevi alınarak

( ) [ ] [ ] ( ) ( )[ ] [ ] ( )∑ ∏−

=

−

≠=

−++−+−+=

1

0

1

02101021010

n

i

n

ikk

knn xxxxxxfxxxxxxxfxxfxP ,...,,,..,,,' (3.8)

elde edilir. Pn(x) fonksiyonundaki hata terimi de

( )( ) ( ) ( )!)()(

1

1

10 +ξ

−−−=+

nfxxxxxxHata

n

n (3.9)

şeklinde olup, türevdeki hatayı bulmak için bu son ifadenin türevini almak gerekir. Ancak bu ifadenin türevinde ortaya çıkacak olan

[ ])()( ξ+1nfdxd

terimi, ξ büyüklüğünün x e bağlı olması nedeniyle türevin alınmasını imkansız kılar. Bununla birlikte x büyüklüğü x=xi şeklinde veri noktalarından biri ile çakışık alınırsa türevdeki hata

( ) ( ) n

nn

ijj

ji xxnfxxHata <ξ<

+ξ

−=

+

≠=∏ 0

1

0 1,

!)()(

(3.10)

şeklinde elde edilebilir. Görüldüğü gibi türev noktası veri noktasıyla çakışık olmasına, yani interpolasyon fonksiyonu bu noktada f(x) fonksiyonuna uymasına rağmen hata sıfır değildir. Bununla birlikte veri noktasındaki türevin hatası ara noktadakinden daha küçük olacaktır.

Örnek:

Bir önceki örnekte ele alınan ( ) xexf x sin= fonksiyonunun çeşitli x noktalarındaki değerleri ve bölünmüş farkları aşağıdaki tabloda yer almaktadır.

Hatırlanırsa birinci dereceden bölünmüş farklar

[ ]ii

iiii xx

ffxxf−−

=+

++

1

11,

şeklinde ileri doğru hesaplanmakta olup, tabloda birinci bölünmüş fark sütununda yer alan değerler hizalarında bulundukları x noktalarındaki f ’(x) türevleri için yapılmış tahminlerdir.



3-5

Fonksiyonun gerçek türevi aşağıdaki şekillerde sürekli eğrilerle belirtilmiş olup, ilk grafikte türevlerin birinci farklarla hesaplanan değerleri de yatay doğru parçalarıyla belirtilmiştir. Doğru parçaları bu türevlerin hesaplanmasında kullanılan x değerleri ile sınırlandırılmıştır. Yani örneğin x=2.00 ve x=2.35 veri noktaları arasındaki birinci farkla hesaplanan f ’(x)=2.1182 türev değeri x ‘in belirtilen iki değeri arasında bir yatay doğru parçasıyla gösterilmiştir.

i x i f i f [x i , x i+1 ] f [x i ,..., x i+2 ] f [x i ,..., x i+3 ] f [x i ,..., x i+4 ]

0 1.70 5.4283 4.6311 -1.6469 -3.1137 -1.14921 1.80 5.8914 4.1371 -3.6708 -4.03312 2.00 6.7188 2.1182 -6.49393 2.35 7.4602 -1.1288 e = 2.71828182845904 1.9000000

4 2.50 7.2909 f ' (x) = 3.26684

1.4 4.6854 1.70 4.6311 1.70 4.79581.44 4.7351 1.80 4.6311 2.00 3.80771.48 4.7732 1.80 4.1371 1.80 4.87121.52 4.7985 2.00 4.1371 2.35 0.83341.56 4.8099 2.00 2.1182 2.00 4.39101.6 4.8063 2.35 2.1182 2.50 -2.10291.64 4.7864 2.35 -1.12881.68 4.7488 2.50 -1.12881.72 4.6923 4.6826

1.76 4.6155 4.6206

1.8 4.5169 4.5287 4.4276

1.84 4.3951 4.4069 4.3566

1.88 4.2485 4.2553 4.2468

1.92 4.0755 4.0737 4.0983

1.96 3.8745 3.8622 3.9111

2 3.6439 3.6209 3.6852

2.04 3.3820 3.3496 3.4206

2.08 3.0869 3.0485 3.1173

2.12 2.7570 2.7175 2.7752

2.16 2.3905 2.3566 2.3944

2.2 1.9855 1.9658 1.9749

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

1.4 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4 2.6 2.8x

f '

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8x

f '

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

1.4 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4 2.6 2.8x

f '

(3.8) denkleminin ilk iki terimi kullanılarak türevler ikinci mertebeden bir yaklaşımla

( ) [ ] [ ] ( ) ( )[ ]i1i2i1ii1ii2 xxxxxxxfxxfxP −+−+= ++++ ,,,' (3.11)

şeklinde elde edilebilir. Bu ifade, ikinci dereceden bölünmüş farkların hesaplanmasında kullanılan iki uç noktasında değerleri

( ) [ ] [ ] [ ]12112 ++++ −+= iiiiiiii xxxxxfxxfxP ,,,'

( ) [ ] [ ] ( ) ( )[ ]i2i1i2i2i1ii1ii2i2 xxxxxxxfxxfxP −+−+= +++++++ ,,,'

olan bir doğru parçasının denklemidir. Çeşitli aralıklar için elde edilen doğru parçaları yukarıdaki ikinci eğride fonksiyonun gerçek birinci türev eğrisiyle birlikte gösterilmiştir.

(3.8) denkleminin üç terimi alındığı taktirde türev için

( ) [ ] [ ] ( ) ( )[ ][ ] ( )( ) ( )( ) ( )( )[ ]1ii2ii2i1i3i2i1ii

i1i2i1ii1ii3

xxxxxxxxxxxxxxxxfxxxxxxxfxxfxP

+++++++

++++

−−+−−+−−+−+−+=

,,,,,,'

(3.12)

elde edilir. Dört veri noktasının kullanıldığı bu bağıntı ikinci dereceden bir polinom olup x0 ÷ x3 noktaları arasında



3-6

( ) [ ] [ ] ( ) ( )[ ][ ] ( )( ) ( )( ) ( )( )[ ]1020213210

01210103


−−+−−+−−+−+−+=

,,,,,,'

ve x1 ÷ x4 noktaları arasında da

( ) [ ] [ ] ( ) ( )[ ][ ] ( )( ) ( )( ) ( )( )[ ]2131324321

12321213


−−+−−+−−+−+−+=

,,,,,,'

şeklini alır. Bu fonksiyonlar da geçerli oldukları aralık için hesaplanarak üçüncü şekilde gerçek türev fonksiyonuna ait eğriyle karşılaştırılmıştır. Üç terim kullanılması halinde sayısal türevlerin gerçek türev değerlerine ne kadar yakın olduğu dikkati çekicidir.

Şayet ileri fark kullanarak bir veri setinin son noktaları civarında türev hesaplanmak istenirse interpolasyonda olduğu gibi polinomun derecesini düşürmek gerekecektir. Bu sorunu gidermenin yolu türev noktasına en yakın (ilerisinde veya gerisinde) noktaları sıralayarak işlem yapmaktır.

3.1.2 Eşit aralıklı veri noktaları için türev

Veri noktalarının eşit aralıklı dağılması halinde bölünmüş farklar yerine basit farklar kullanarak türev almak mümkündür.

Basit farklar kullanan bir interpolasyon polinomu

( ) ( )( ) ( )( ) ( ) Hata

nf

jsf3

2s1ssf21ssfsf

HatasPxf

in1n

0ji

3i

2ii

n

+∆

−++∆−−

+∆−

+∆+=

+=

∏−

= !!! (3.13)

şeklinde yazılabilir. Burada

xhhxx

s i ∆=−

= ;

( ) ( )( ) n0

1nn

0jxx

1njsHata <<

+∆

−=

+

=∏ ξξ ,

! (3.14)

dır. (3.13) ifadesinden türev alınarak

( ) ( ) ( ) ( )

∆

−+∆=== ∑ ∑ ∏

=

−

=

−

≠=

n

2j

in1j

0k

1j

kl0l

inn

n nf

lsfh1

dxds

dssdP

dxsdP

sP!

' (3.15)

elde edilir. Burada hata terimi yine bilinmeyen bir büyüklük içermekte olup, (3.14) hata teriminin türevi ancak veri noktalarındaki (x=xi, s=0) türevler için

( ) ( ) ( ) n01n

nn

xxf1nh1Hata <<

+−

= + ξξ , (3.16)

şeklinde hesaplanabilir.



3-7

3.1.3 Eşit aralıklı veri noktaları için veri noktalarında türev

Türevin veri noktalarında hesaplanması istendiği taktirde

0hxx

s ii =−

=

olup basit fark formülü daha da basitleşir:

( ) ( )

∆

−+−∆

+∆

−∆= −

nf

13f

2f

fh1xf i

n1ni

3i

2

ii' (3.17)

Bu durumda hata mertebesini de, seçilen mertebeye bakarak bir sonraki terim yardımıyla kolaylıkla tespit etmek mümkündür. Örneğin yukarıdaki bağıntıda sadece ilk terim alınarak türev hesaplanırsa

( ) ( )

−∆= ξ"' fh

21f

h1xf ii

olup hata O(h) mertebesinde, iki terim alınması halinde

( ) ( )

+∆

−∆= ξ'''' fh31

2f

fh1xf i

2

ii

olup hata O(h²) mertebesindedir. n adet terim alınması halinde ise hatanın O(hn) mertebesinde olacağı söylenebilir.

3.1.4 Yüksek mertebeden türevler

İkinci veya daha yüksek mertebeden türevler hesaplanmak istendiğinde normal olarak (3.8) veya (3.15) bağıntılarının türevleri kullanılabilir. Ancak bu yolla elde edilecek türev formülleri hayli karmaşık ve bilgisayar uygulaması zor olacaktır.

Burada daha pratik bir yöntem, kolay anlaşılması açısından eşit aralıklı nokta dağılımı hali için incelenecektir. Bu amaçla

x- = x0 - h f-

x0 f0

x+ = x0 + h f+

şeklinde tanımlanan eşit aralıklı üç veri noktasını ele alalım ve bu üç nokta yardımıyla f ’(x0) türevini hesaplamaya çalışalım.

Eksen takımı x0=0 noktasına çekilerek formülasyon daha basit bir hale getirilebilir. Böylece x değerleri sırasıyla –h, 0 ve +h olur.

f(x) fonksiyonuna bir yaklaşım olarak bu üç noktadan bir P(x) parabolü geçirilirse, parabolün P’(x) türevi de fonksiyonun f ’(x) türevinin yaklaşımı olur.

Türevin değeri x=0 noktasında aranmakta olup, bu türev veri noktalarındaki fonksiyon değerlerine

( ) ( ) +− ⋅+⋅+⋅=≈ fCfBfA0P0f 0'' (3.18)



3-8

şeklinde bağlanabilir. Burada A, B ve C bilinmeyen katsayılardır. Ayrıca P(x) parabolü için

( ) ( )'2P x ax bx c P x 2ax b= + + → = +

yazılabilir. Şimdi P(x) fonksiyonunun üç farklı durumu için P’(0) ‘a ait (3.18) bağıntısını inceleyelim.

1. Durum: P(x)=1

yaklaşım fonksiyonunun değeri bütün noktalarda aynı olup

( )P x 1= →( )'

, ,, ,

0

a 0 b P 0 0f 1

c 1f

01 f 1− +

=

= =

= = →

=

=

bu büyüklükler (3.18) de kullanılarak 01C1B1A =⋅+⋅+⋅

2. Durum: P(x)=x

yaklaşım fonksiyonu lineer bir değişme göstermekte olup

( )P x x= →( )'

, ,, ,

0

a 0 b P 0 1f h

c 0f

1h f 0− +

=

= =

= = →

=

=

bu büyüklükler (3.18) de kullanılarak ( ) 10 =⋅+⋅+−⋅ hCBhA

3. Durum: P(x)=x²

yaklaşım fonksiyonu parabolik bir değişme göstermekte olup

( ) 2P x x= →( )'

, ,

, ,2 2

0

P 0 0

f h f 0 h

a 1 b 0 c 0

f− +

= =

=

→ =

= =

=

bu büyüklükler (3.18) de kullanılarak 2 2A h B 0 C h 0⋅ + ⋅ + ⋅ =

elde edilen üç denklem matris formda yazılırsa

2 2

1 1 1 A 0h 0 h B 1h 0 h C 0

− ⋅ =

Buradaki üçüncü denklemden CA −=

Bu bilgi kullanılarak ikinci denklemden h

Ch

A21

21

=−= ,

Ve birinci denklemden 0=B

elde edilir. Bulunan katsayılar kullanılarak (3.18) bağıntısı

( ) →⋅+⋅+−= +− fh

ffh

f210

210 0' ( )

hff

f2

0 −+ −=' (3.19)



3-9

şekline gelir. Bu bağıntı, beklendiği gibi türev için merkezi bölünmüş farklar formülüdür.

Benzeri işlemler ikinci türev için de yapılabilir.

( ) ( )'' '' 0f 0 P 0 A f B f C f− +≈ = ⋅ + ⋅ + ⋅ (3.20)

( ) 2P x ax bx c= + + → ( )''P x 2a=

Yukarıdaki durumlar tekrar incelenerek

( )P x 1= →( ), ,

,, ''

,0

P 0 0fa 0 b 0 c

f 1 f1

1 1− +

=

= =

= =

=

=→ 01C1B1A =⋅+⋅+⋅

( )P x x= →( ),

, ,, '',

0

P 0 0fa 0 b 1 c

f0

h f 0 h− +

=

= − =

= =

=

=→ ( )A h B 0 C h 0⋅ − + ⋅ + ⋅ =

( ) 2P x x= →( ), ,

,

, ''

,2 20

P 0 2

f h f 0 f

a 1 b

h

0 c 0

− +

= = =

= = =

=→ 2 2A h B 0 C h 2⋅ + ⋅ + ⋅ =

denklemler matris formda yazılırsa 2 2

1 1 1 A 0h 0 h B 0h 0 h C 2

− ⋅ =

bulunur. Buradaki ikinci denklemden CA =

bu bilgi kullanılarak üçüncü denklemden 2

1h

CA ==

birinci denklemden 2

2h

B −=

ve bu katsayılar kullanılarak ikinci türev için

( ) 202

0h

ffff +− +−

='' (3.21)

elde edilir. Bu hesaplamadaki hatanın O(h²) mertebesinde olduğu gösterilebilir.

Herhangi bir x0 noktası için daha fazla nokta kullanarak benzeri işlemler yapılırsa

( ) ( )2221012

0 12163016

hOh

fffffxf +

−+−+−= −−''

( ) ( )232112

0 222

hOh

ffffxf +

−+−= −−'''

( ) ( )2421012

0

464hO

hfffff

xf ++−+−

= −−''

olduğu gösterilebilir.



3-10

3.2 Sayısal integral

Belirli integral iki sınır noktası arasında bir eğrinin altında x ekseniyle arasında kalan alan olarak bilinir. Sayısal integral teknikleri de genel olarak bu hususun üzerine oturur. x=a ve x=b gibi iki sınır arasında kalan bölge küçük şeritlere ayrılır ve bu şeritlerin alanları toplanarak integral değeri elde edilir.

3.2.1 Trapez kuralı

Bir f(x) eğrisi ile x ekseni arasında kalan alan küçük şerit bölgelere ayrıldığında eğrinin şeriti kestiği kısımdaki parçasına değişik yaklaşımlar yapmak mümkündür. Örneğin şerit bir dikdörtgen şeklinde kabul edilip dikdörtgenin üst köşelerinden birisi veya üst kenarının orta noktası eğri ile çakıştırılabilir.

Daha iyi bir yaklaşım eğri parçası yerine şerit kenarlarının eğriyi kestiği iki nokta arasında yer alan bir doğru parçası alarak şerit bölgeyi bir dik yamuk şeklinde kabul etmektir. Bu yaklaşım eğrinin birinci dereceden bir interpolasyon polinomu ile temsil edilmesi anlamına gelir.

xi xi-1 xi+1 xi+2

fi-1

fi

fi+1 fi+2

Bu durumda xi ve xi+1 noktaları arasındaki integral değeri

( ) ( )iiii

x

x

xxff

dxxfi

i

−+

= ++∫

+

11

2

1

şeklinde hesaplanabilir.

Trapez kuralının hatasını bulmak için interpolasyon polinomlarından yararlanılabilir. Bu amaçla xi ve xi+1 noktaları arasında birinci-dereceden Newton-Gregory interpolasyon polinomu hatırlanırsa

( ) ( ) hatafsfxPxf ii +∆+=≈ 1

Burada hxx

s i−= ve ( ) ( )ξ−= ''fhsshata

21

2

f(x) fonksiyonunun iki nokta arasındaki integralini P1(x) i integre ederek bulabiliriz.

( ) ( ) ( ) ( )

( )

i 1 i 1 i 1

i i i

1x x x 1 2i

1 i i i i i i ix x x 0 0

i 1 ii i i 1

fsf x dx P x dx f s f dx h f s f ds h f s f h f2 2

f f hh f f f2 2

+ + +

++

∆ ≈ = + ∆ = + ∆ = + ∆ = +

− = + = +

∫ ∫ ∫ ∫

Hata terimi de integre edilerek

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

−ξ=

−ξ=−ξ=ξ−= ∫∫

+

21

31

22321

221

31

0

2331

0

321

'''''''' fhssfhdsssfhdxfhsshatai

i

x

x



3-11

( ) ( )33

12hOfhhata =ξ−= ''

bulunur.

x=a ve x=b gibi iki nokta arasında bir fonksiyonun integrali, bu aralık ∆x=h olmak üzere n adet küçük aralığa ayrılıp her bir aralıkta trapez kuralı uygulanarak

( ) ( )( ) ( )222 1210

1

01 /// nn

n

iii

b

a

fffffhffhdxxf +++++=+= −

−

=+∑∫

şeklinde alınabilir. Bu durumda hata da lokal hataların toplamına eşit olacaktır.

( ) ( ) ( )[ ]nfffhhata ξ++ξ+ξ−= '''''' 21

3

12

Burada ξi lerin herbiri o indisle belirtilen aralığın içerisindeki bir noktadır. Şayet f’’(x) fonksiyonu [a,b] aralığında sürekli ise bu aralıkta öyle bir ξ noktası vardır ki bu noktada f’’(ξi) lerin toplamı f’’(ξ) ye eşittir. Ayrıca b-a=nh olup, buna göre

( ) ( ) ( )223

1212hOfhabnfhhata =ξ

−−=ξ−= ''''

elde edilir. Görüldüğü gibi lokal hatalar O(h3) mertebesinde iken toplam hata O(h2) mertebesindedir.

Örnek:

Tabloda değerleri verilen fonksiyonu x=1.8 ile x=3.4 noktaları arasında integre ediniz.

x f(x)1.6 4.9531.8 6.0502.0 7.3892.2 9.0252.4 11.0232.6 13.4642.8 16.4453.0 20.0863.2 24.5333.4 29.9643.6 36.5983.8 44.701

23.994

0

10

20

30

40

50

1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0x

f(x)

( ) ( ) 99442329642953324025938972050620 ./..../.. =+++++=∫b

a

dxxf

Tablodaki değerler aslında f(x) = ex fonksiyonundan üretilmiş olup integralin gerçek değeri

( ) 914423814343

81

....

.

=−== ∫∫ eedxedxxf xb

a

olarak bulunabilir. Bu durumda trapez kuralına göre yapılan integrasyonun toplam hatası 0.08 olmaktadır. Aynı hata sayısal olarak tahmin edilirse:



3-12

( ) 438112

3

..,'' ≤ξ≤ξ−= nfhhata

( ) ( ) ( ){ } ( ) ( ){ }032301598012

820 81433

... .. −÷−=÷××

−= eehata

bulunur.

3.2.2 Eşit aralıklı olmayan veri noktaları hali

Özellikle deneysel çalışmalardan elde edilen veri noktaları eşit aralıklı değildir. Bu halde de trapez kuralını uygulamak mümkündür.

( ) ( )∑∫−

=+

+ −+

=1

01

1

2

n

iii

iib

a

xxff

dxxf

Örnek:

Bir kanat profilinin alanını verilmiş nokta koordinatlarını kullanarak trapez kuralı yardımıyla hesaplayınız.

Burada örnek olarak aşağıda şekli görülen SD 7080 profili alınmış olup bu profilin verilmiş nokta koordinatları aşağıdaki tabloda soldaki sütunlarda yer almaktadır.

-0.10

0.00

0.10

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

İntegral için iki farklı yol izlenmiş olup, birincisinde doğrudan profil koordinatları kullanılarak integral

( ) ( )b n 1

i 1 ii 1 i

i 0a

y yy x dx x x2

−+

+=

+= −∑∫

şeklinde hesaplanmıştır. İkincisinde ise profil noktalarının x koordinatları için

( )cos , , sinHK 1 HKc cx x 1 c x x dx d2 2

θ θ θ− = − = − =

değişken dönüşümü uygulanarak integral

( ) ( ) ( ) ( ) ( )sinb b n 1

i 1 ii 1 i

i 0a a

f fcy x dx y d2 2

θ θθ θ θ θ θ

−+

+=

+= = −∑∫ ∫

şeklinde hesaplanmıştır.



3-13

SD7080 airfoil chord = 0.99997 pi = 3.141592654

i x y Trapez integrali cos θ sin θ θ y( θ )*sin θ Trapez integrali0 1 0 -1.00000 0.00000 -3.14159 0.000001 0.99671 0.00015 -0.0000002 -0.99342 -0.11453 -3.02681 -0.00002 0.000002 0.98689 0.00047 -0.0000030 -0.97378 -0.22750 -2.91209 -0.00011 -0.000013 0.97079 0.00076 -0.0000099 -0.94158 -0.33679 -2.79808 -0.00026 -0.000024 0.94871 0.00087 -0.0000180 -0.89742 -0.44118 -2.68468 -0.00038 -0.000045 0.92104 0.00069 -0.0000216 -0.84208 -0.53936 -2.57192 -0.00037 -0.000046 0.8882 0.00017 -0.0000141 -0.77639 -0.63025 -2.45972 -0.00011 -0.000037 0.85068 -0.00072 0.0000103 -0.70135 -0.71282 -2.34809 0.00051 0.000028 0.809 -0.00201 0.0000569 -0.61799 -0.78619 -2.23698 0.00158 0.000129 0.76376 -0.00366 0.0001283 -0.52751 -0.84955 -2.12646 0.00311 0.00026

10 0.71557 -0.00564 0.0002241 -0.43112 -0.90229 -2.01653 0.00509 0.0004511 0.66505 -0.00783 0.0003403 -0.33008 -0.94395 -1.90718 0.00739 0.0006812 0.61281 -0.01015 0.0004696 -0.22560 -0.97422 -1.79835 0.00989 0.0009413 0.55945 -0.0125 0.0006043 -0.11887 -0.99291 -1.68995 0.01241 0.0012114 0.50559 -0.0148 0.0007352 -0.01115 -0.99994 -1.58195 0.01480 0.0014715 0.45183 -0.01696 0.0008537 0.09637 -0.99535 -1.47427 0.01688 0.0017116 0.39877 -0.01891 0.0009516 0.20250 -0.97928 -1.36689 0.01852 0.0019017 0.347 -0.02059 0.0010225 0.30604 -0.95202 -1.25977 0.01960 0.0020418 0.2971 -0.02194 0.0010611 0.40584 -0.91394 -1.15290 0.02005 0.0021219 0.24962 -0.02289 0.0010643 0.50081 -0.86556 -1.04627 0.01981 0.0021320 0.20508 -0.02338 0.0010304 0.58989 -0.80749 -0.93988 0.01888 0.0020621 0.16397 -0.02337 0.0009609 0.67211 -0.74045 -0.83374 0.01730 0.0019222 0.12676 -0.02279 0.0008588 0.74653 -0.66535 -0.72796 0.01516 0.0017223 0.09383 -0.02156 0.0007302 0.81239 -0.58311 -0.62255 0.01257 0.0014624 0.06549 -0.01962 0.0005835 0.86908 -0.49468 -0.51746 0.00971 0.0011725 0.04198 -0.01694 0.0004298 0.91610 -0.40096 -0.41256 0.00679 0.0008726 0.02347 -0.01354 0.0002821 0.95312 -0.30260 -0.30742 0.00410 0.0005727 0.01016 -0.00948 0.0001532 0.97974 -0.20028 -0.20164 0.00190 0.0003228 0.00216 -0.00492 0.0000576 0.99574 -0.09221 -0.09234 0.00045 0.00013HK 0.00003 0.00061 0.0000046 1.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.0000230 0.00322 0.00763 0.0000131 0.99362 0.11278 0.11302 0.00086 0.0000531 0.01068 0.01558 0.0000866 0.97870 0.20530 0.20677 0.00320 0.0001932 0.02237 0.02383 0.0002304 0.95532 0.29558 0.30006 0.00704 0.0004833 0.03821 0.03203 0.0004424 0.92364 0.38327 0.39333 0.01228 0.0009034 0.05814 0.03983 0.0007161 0.88378 0.46791 0.48692 0.01864 0.0014535 0.0821 0.04699 0.0010401 0.83586 0.54895 0.58111 0.02580 0.0020936 0.10996 0.05334 0.0013976 0.78013 0.62561 0.67592 0.03337 0.0028037 0.14157 0.05875 0.0017716 0.71691 0.69716 0.77143 0.04096 0.0035538 0.1767 0.06312 0.0021406 0.64665 0.76279 0.86761 0.04815 0.0042939 0.21509 0.06641 0.0024863 0.56987 0.82174 0.96445 0.05457 0.0049740 0.25644 0.06858 0.0027909 0.48716 0.87331 1.06196 0.05989 0.0055841 0.3004 0.06966 0.0030385 0.39924 0.91685 1.16011 0.06387 0.0060742 0.34656 0.06969 0.0032162 0.30692 0.95174 1.25884 0.06633 0.0064343 0.39448 0.06871 0.0033161 0.21108 0.97747 1.35812 0.06716 0.0066344 0.4437 0.0668 0.0033349 0.11263 0.99364 1.45792 0.06637 0.0066645 0.49371 0.06404 0.0032717 0.01261 0.99992 1.55819 0.06403 0.0065446 0.54399 0.06052 0.0031314 -0.08795 0.99612 1.65886 0.06029 0.0062647 0.59402 0.05635 0.0029235 -0.18802 0.98217 1.75994 0.05535 0.0058448 0.64326 0.05163 0.0026585 -0.28650 0.95808 1.86137 0.04947 0.0053249 0.69117 0.04647 0.0023500 -0.38232 0.92403 1.96310 0.04294 0.0047050 0.7372 0.04097 0.0020124 -0.47438 0.88032 2.06506 0.03607 0.0040351 0.78084 0.03519 0.0016618 -0.56167 0.82736 2.16720 0.02911 0.0033352 0.82169 0.02919 0.0013150 -0.64337 0.76556 2.26969 0.02235 0.0026453 0.85943 0.02313 0.0009873 -0.71885 0.69516 2.37295 0.01608 0.0019854 0.89372 0.01728 0.0006928 -0.78743 0.61640 2.47743 0.01065 0.0014055 0.92413 0.01195 0.0004444 -0.84826 0.52959 2.58348 0.00633 0.0009056 0.95018 0.00743 0.0002524 -0.90036 0.43515 2.69139 0.00323 0.0005257 0.97133 0.00395 0.0001203 -0.94266 0.33376 2.80130 0.00132 0.0002558 0.98701 0.00162 0.0000437 -0.97402 0.22647 2.91315 0.00037 0.0000959 0.99671 0.00037 0.0000097 -0.99342 0.11453 3.02681 0.00004 0.0000260 1 0 0.0000006 -1.00000 0.00000 3.14159 0.00000 0.00000

0.0604433 0.06055

İki sonuç arasındaki farklılık ilk integralde hücum kenarı civarında trapez yaklaşımından meydana gelen kayıplardan kaynaklanmaktadır.



3-14

3.2.3 Romberg ekstrapolasyonu

Trapez kuralı ile alınan integraldeki hatayı Romberg ekstrapolasyon yöntemiyle azaltmak mümkündür.

Trapez yönteminde hata O(h2) mertebesinde olup, bir h değeriyle yapılan integral ile h/2 alınarak yapılan ikinci bir integralin sonuçları birleştirilerek integral için daha iyi bir tahmin yapılabilir:

n

Daha Daha Daha Daha az1iyi doğru doğru doğru

2 1tahmin integral integral integral

= + − −

Bu yöntem bilinen bir f(x) fonksiyonu için uygulanırken önce keyfi bir h değeri için integral alınır. Sonra h değerinin yarısı alınarak yeni bir integral hesabı yapılır. Bu iki integral sonucu yukarıdaki bağıntıda kullanılarak integral için hata mertebesi O(h4) olan daha iyi bir tahmin elde edilir.

Yapılan bu işlemler bir tabloda yerleştirilerek ardarda daha iyi integral tahminleri yapılabilir. Her bir ekstrapolasyon hatanın O(h4), O(h6), O(h8),... şeklinde azalmasını sağlar. Yakınsamaya bakılarak integral için optimum bir değer bulunabilir.

Adım uzunluğunun yarıya indirildiği her bir aşamada fonksiyonun bazı noktalardaki değeri bir önceki aşamada bilindiğinden bu noktalarda tekrar hesap yapmaya gerek yoktur.

Örnek:

f(x)=e-x2 fonksiyonunun a=0.2 ve b=1.5 noktaları arasındaki integralini Romberg yöntemini

kullanarak hesaplayınız. Başlangıçtaki adım uzunluğunu h = (b-a)/2 = 0.65 olarak alınız.

İntegral için ilk tahmin ( ) ( ) ( ) ( )/ /b

a

f x dx h f a 2 f a h f b 2= + + + ∫

. . .. / /2 2 20 2 0 85 1 50 65 e 2 e e 2− − − = × + +

662110.=

İkinci tahminde adım uzunluğu h = 0.65/2 = 0.325 alınırsa ( ) 659470.=∫ dxxfb

a

elde edilir. Ardarda yapılan bu iki integral Romberg formülünde kullanılarak

( ) ( ) 65859066211065947012

1659470 2 .... =−−

+=∫ dxxfb

a

bulunur. Aşağıdaki tabloda ardarda bölünmüş adım uzunlukları için elde edilen integral sonuçları yer almaktadır.

Değişik adım uzunlukları için elde edilen integral sonuçları ve bunlar yardımıyla yapılan çeşitli seviyedeki tahminler küçük tabloda özetlenmiştir. Herbir seviyede tahminler bir önceki seviyede tahmin edilen sonuçlardan hareketle hesaplanmaktadır. Kullanılan n üsleri de tablonun altında gösterilmiştir.



3-15

e = 2.7182818

h = 0.65 h = 0.325 h = 0.1625 h = 0.08125

x x² f(x) x x² f(x) x x² f(x) x x² f(x)0.20 0.0400 0.96079 0.200 0.04000 0.96079 0.200 0.04000 0.96079 0.200 0.04000 0.96079

0.85 0.7225 0.48554 0.525 0.27563 0.75910 0.363 0.13141 0.87686 0.281 0.07910 0.92395

1.50 2.2500 0.10540 0.850 0.72250 0.48554 0.525 0.27563 0.75910 0.363 0.13141 0.87686

Integral = 0.66211 1.175 1.38063 0.25142 0.688 0.47266 0.62334 0.444 0.19691 0.82126

1.500 2.25000 0.10540 0.850 0.72250 0.48554 0.525 0.27563 0.75910

Integral = 0.65947 1.013 1.02516 0.35874 0.606 0.36754 0.69244

Yeni tahmin = 0.65859 1.175 1.38063 0.25142 0.688 0.47266 0.62334

1.338 1.78891 0.16714 0.769 0.59098 0.55379

1.500 2.25000 0.10540 0.850 0.72250 0.48554

Integral = 0.65898 0.931 0.86723 0.42012

Yeni tahmin = 0.65881 1.013 1.02516 0.35874

1.094 1.19629 0.30231

1.175 1.38063 0.25142

1.256 1.57816 0.20635

h Integral 1. tahmin 2. tahmin 3. tahmin 1.338 1.78891 0.16714

0.65000 0.66211 1.419 2.01285 0.13361

0.32500 0.65947 0.65859 1.500 2.25000 0.10540

0.16250 0.65898 0.65881 0.65882 Integral = 0.65886

0.08125 0.65886 0.65882 0.65882 0.65882 Yeni tahmin = 0.65882

n = 2 4 8

3.2.4 Bir veri seti için Romberg ekstrapolasyonu

Yukarıda bilinen bir fonksiyon için uygulanan Romberg yöntemini, bilinmeyen bir fonksiyona ait tablolanmış veri noktaları için de uygulamak mümkündür. Ancak veri noktalarının eşit aralıklı olması gerekir. Ayrıca fonksiyon bilinmediğinde h adım uzunluğunu yarıya indirerek ara noktalarda veri değeri elde etmek mümkün olamayacaktır. Bu bakımdan tahminler bu defa h değeri ikiye katlanarak yapılacaktır.

Örnek:

Tablodaki veri noktalarını kullanarak x=1.8 ve x=3.4 noktaları arasındaki integral için iyileştirilmiş bir tahmin yapınız.

Bu veri daha önce trapez kuralının uygulanması için kullanılmış olup h=0.2 adım uzunluğuyla integral sonucu 23.9944 olarak bulunmuştur. h=0.4 ve h=0.8 adım uzunlukları için kullanılan veri noktaları ve elde edilen integral sonuçları tabloda verilmiştir.

x f(x) 0.2 0.4 0.8 h İntegral 1. Tahmin 2. Tahmin1.6 4.953 0.2 23.9944 23.9149 23.91471.8 6.050 6.050 6.050 6.050 0.4 24.2328 23.91812.0 7.389 7.389 0.8 25.17682.2 9.025 9.025 9.0252.4 11.023 11.0232.6 13.464 13.464 13.464 13.4642.8 16.445 16.4453.0 20.086 20.086 20.0863.2 24.533 24.5333.4 29.964 29.964 29.964 29.9643.6 36.5983.8 44.701

İntegral = 23.9944 24.2328 25.1768

h

h=0.2 ve h=0.4 adım uzunlukları için bulunan integral sonuçları kullanılarak daha iyi bir tahmin



3-16

( ) ( ) 91492312232824994423994423 2 .... =

−−

+=∫ dxxfb

a

şeklinde ve h=0.4 ve h=0.8 adım uzunlukları için bulunan integral sonuçları kullanılarak daha iyi bir tahmin

( ) ( ) 91812312176825232824232824 2 .... =

−−

+=∫ dxxfb

a

şeklinde elde edilir. Bu iki tahmin değeri kullanılarak daha iyi bir tahmin

( ) ( ) 91472312918123914923914923 4 .... =

−−

+=∫ dxxfb

a

olarak elde edilebilir.

Verilen tablo değerlerini f(x)=ex fonksiyonuna ait olduğu ve integralin tam değerinin 23.9144 olduğu hatırlanırsa, yapılan en son tahminin hesaplanan integral değerlerinden ve ilk tahmini değerlerden daha doğru olduğu görülür.

3.2.5 Simpson kuralları

Trapez yönteminde fonksiyon lineer polinomlarla temsil edilmektedir. Fonksiyona bir kuadratik veya kübik interpolasyon polinomuyla yaklaşılması halinde integrasyonun daha hassas sonuç vermesi beklenir. Simpson kuralları bu hususa dayanmaktadır. Simpson kuralları “1/3 kuralı” ve “3/8 kuralı” olarak bilinmektedir.

Simpson’un 1/3 kuralı ikinci dereceden Newton-Gregory ileri fark polinomu integre edilerek elde edilebilir. Eşit h aralığıyla sıralanmış x0, x1 ve x2 noktaları için Newton-Gregory formülü

( ) ( ) 20 0 0

s s 1f x f s f f

2−

= + ∆ + ∆

şeklinde olup, x0 – x2 aralığında integre edilerek

( ) ( )2 2

0 0

x x2

0 0 0x x

s s 1f x dx f s f f dx

2−

= + ∆ + ∆

∫ ∫

( )22

0 0 00

s s 1h f s f f ds

2−

= + ∆ + ∆ ∫

[ ]2 22 3 2

2 20 0 00

0 0

s s shf s h f h f2 6 4

= + ∆ + ∆ −

( ) ( )20 0 0 0 1 0 2 1 0

1 1h 2 f 2 f f h 2 f 2 f f f 2 f f3 3

= + ∆ + ∆ = + − + − +

( ) [ ]2

0

x

0 1 2x

hf x dx f 4 f f3

= + +∫



3-17

elde edilir. İnterpolasyon polinomunun hatası integre edilerek Simpson 1/3 kuralı için hata da

( )( ) ,5 40 2

1Hata h f x x90

ξ ξ= − < <

şeklinde tahmin edilebilir.

Simpson 1/3 kuralında ardarda üç nokta kullanılması, ardarda iki şerit üzerinde integral alınması olarak da yorumlanabilir. Buna göre bu yöntemin uygulanması için integral aralığının eşit aralıklı çift sayıda alt-bölgeye ayrılmış olması gereklidir.

Simpson’un 3/8 kuralı da benzeri şekilde üçüncü dereceden Newton-Gregory ileri fark polinomu integre edilerek elde edilebilir. Bunun için ardarda dört noktaya ihtiyaç vardır:

( ) ( ) ( )3 3

0 0

x x

3 0 1 2 3x x

3hf x dx P x dx f 3 f 3 f f8

≈ = + + +∫ ∫

Yöntemin hatası için

( )( ) ,5 40 3

3Hata h f x x80

ξ ξ= − < <

bulunabilir.

Simpson 3/8 kuralında ardarda dört nokta kullanılması, ardarda üç şerit üzerinde integral alınması olarak da yorumlanabilir. Buna göre bu yöntemin uygulanması için de integral aralığının eşit aralıklı üçle bölünebilir sayıda alt-bölgeye ayrılmış olması gereklidir.

Görüldüğü gibi 3/8 kuralının hatası 1/3 kuralına göre daha fazladır. Buna rağmen bazı hallerde 3/8 kuralını kullanmak gerekebilir. Şayet veri setindeki şerit sayısı çift değilse ilk bakışta 1/3 kuralının kullanılması mümkün değilmiş gibi düşünülebilir. Oysa integralin uygun bir kısmı 3/8 kuralı ile hesaplanıp kalan kısmında 1/3 kuralı uygulanabilir.

Örnek:

f(x)=e-x2 fonksiyonunu x=0.2 ve x=2.6 noktaları arasında sırasıyla trapez kuralı, Simpson 1/3

ve 3/8 kurallarıyla integre ediniz. Sonuçları karşılaştırınız.

Aşağıdaki tabloda ilk üç sütunda 24 nokta için x ve f(x) değerleri, dördüncü sütunun el altında 24 nokta ile trapez kuralı kullanılarak hesaplanan integral değeri yer almaktadır. Dördüncü ve beşinci sütunlarda Simpson 1/3 ve 3/8 kurallarıyla hesaplanmış lokal integraller ve sütunların en altlarında da bunların toplamları, yani integral sonuçları yer almaktadır. Daha sonraki sütunlarda sırasıyla 12, 6 ve 18 nokta ile yapılan benzeri hesaplamaların sonuçlarına yer verilmiştir.

Hesaplamaların sonuçları ayrıca alttaki küçük tabloda özetlenmiştir. Verilen fonksiyonun MATLAB ile hesaplanmış gerçek değeri 0.68865 olup bu değer kullanılarak elde edilen hata değerleri de aynı tabloda gösterilmiştir.



3-18

e = h = 0.1 h = 0.2 h = 0.4 h = 0.133333

i x x f(x) 1/3 3/8 f(x) 1/3 3/8 f(x) 1/3 3/8 x f(x) 1/3 3/80 0.20 0.96079 0.96079 0.96079 0.2000 0.96079

1 0.30 0.91393 0.3333 0.89484

2 0.40 0.85214 0.18229 0.85214 0.4667 0.80430 0.23753

3 0.50 0.77880 0.26392 0.6000 0.69768 0.33779

4 0.60 0.69768 0.15550 0.69768 0.33780 0.69768 0.7333 0.58404 0.18574

5 0.70 0.61263 0.8667 0.47184

6 0.80 0.52729 0.12252 0.19639 0.52729 0.46032 1.0000 0.36788 0.12619 0.21166

7 0.90 0.44486 1.1333 0.27680

8 1.00 0.36788 0.08915 0.36788 0.21165 0.36788 0.54925 1.2667 0.20100 0.07449

9 1.10 0.29820 0.12239 1.4000 0.14086 0.09711

10 1.20 0.23693 0.05992 0.23693 1.5333 0.09526 0.03821

11 1.30 0.18452 1.6667 0.06218

12 1.40 0.14086 0.03720 0.06388 0.14086 0.09710 0.18619 0.14086 0.64475 1.8000 0.03916 0.01703 0.03262

13 1.50 0.10540 1.9333 0.02381

14 1.60 0.07730 0.02133 0.07730 2.0667 0.01397 0.00659

15 1.70 0.05558 0.02792 2.2000 0.00791 0.00802

16 1.80 0.03916 0.01129 0.03916 0.03262 0.03916 0.12940 2.3333 0.00432 0.00222

17 1.90 0.02705 2.4667 0.00228

18 2.00 0.01832 0.00552 0.01022 0.01832 0.03814 2.6000 0.00116 0.00065 0.00144

19 2.10 0.01216

20 2.20 0.00791 0.00249 0.00791 0.00802 0.00791

21 2.30 0.00504 0.00313

22 2.40 0.00315 0.00104 0.00315

23 2.50 0.00193

24 2.60 0.00116 0.00040 0.00080 0.00116 0.00144 0.00395 0.00116 0.00959 0.04248

integral = 0.68897 0.68865 0.68865 0.68992 0.68863 0.68860 0.69378 0.68824 0.68723 0.68921 0.68865 0.68864

n integral hata integral hata integral hata

6 0.69378 -0.00513 0.68824 0.00041 0.68723 0.00142

12 0.68992 -0.00127 0.68863 0.00002 0.68860 0.00005

18 0.68921 -0.00056 0.68865 0.00000 0.68864 0.00001

24 0.68897 -0.00032 0.68865 0.00000 0.68865 0.00000

6 şerit 18 şerit

Trapez Simpson 1/3 Simpson 3/8

24 şerit 12 şerit

3.2.6 İntegral formüllerinin farklı bir yoldan elde edilmesi

Daha önce interpolasyon için kullanılan “bilinmeyen katsayıların tayini” yönteminin benzeri integral için de kullanılabilir. Burada yöntemi tanıtmak için en basit formüller ele alınarak x=x1 ve x=x2 noktaları arasında f(x) fonksiyonunun integrali için sadece f(x1) ve f(x2) fonksiyon değerlerinin kullanıldığı

( ) ( ) ( )21 xfBxfAdxxfa

a

⋅+⋅=∫

biçiminde bir formül elde edilmeye çalışılacaktır. Burada A ve B tayin edilecek olan katsayılardır.

x1, f(x1) ve x2, f(x2) noktalarından geçen birinci dereceden bir polinom

( ) ( ) baxxPxf +=≈

şeklinde tarif edilebilir. Eksen takımının başlangıç noktası x1=0 (x2=h=x2-x1) olacak biçimde kaydırılırsa işlemlerde kolaylık sağlanabilir.



3-19

Bu durumda iki farklı hal söz konusu olabilir:

Birinci hal: P(x) = 1 → b = 1, a = 0

( ) ( ) ( ) ( ) 11010

⋅+⋅=⋅+⋅=== ∫∫ BAhPBPAhdxdxxPha

a

İkinci hal: P(x) = x → a = 1, b = 0

( ) ( ) ( ) ( ) hBAhPBPAhdxxdxxPha

a

⋅+⋅=⋅+⋅=== ∫∫ 002

2

0

Bu iki denklem matris biçimde yazılırsa

=

⋅

20

112 /hh

BA

h

İkinci denklemden B = h/2

İlk denklemden A+B = h → A = h-h/2 = h/2

Böylece ( ) ( ) ( )[ ]212xfxfhdxxf

a

a

+=∫

elde edilir. Bu bağıntı bildiğimiz trapez kuralıdır.

Üç noktalı bir formül için x-1=-h, x0=0 ve x1=h noktaları alınır ve bu üç noktadan

( ) cbxaxxP ++= 2

şeklinde bir parabolün geçtiği varsayılırsa aranan formül

( ) ( ) ( ) ( )101 xfCxfBxfAdxxfa

a

⋅+⋅+⋅= −∫

şeklinde olup

Birinci hal: P(x) = 1 → c = 1, a = b = 0

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 111021 ⋅+⋅+⋅=⋅+⋅+−⋅=== ∫∫−−

CBAhPCPBhPAhdxdxxPh

h

h

h

İkinci hal: P(x) = x → b = 1, a = c = 0

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )a h

a h

P x dx x dx 0 A P h B P 0 C P h A h B 0 C h−

= = = ⋅ − + ⋅ + ⋅ = ⋅ − + ⋅ + ⋅∫ ∫

Üçüncü hal: P(x) = x2 → a = 1, b = c = 0

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )a h 3

2 2 2

a h

2hP x dx x dx A P h B P 0 C P h A h B 0 C h3−

= = = ⋅ − + ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅∫ ∫



3-20

Bu denklemler matris biçimde yazılırsa

=

⋅

−

3202

00

111

322 /h

h

CBA

hhhh

İkinci denklemden A = C

Üçüncü denklemden A = C = h/3

İlk denklemden B= 4h/3

Böylece ( ) ( ) ( ) ( )[ ]101 43

xfxfxfhdxxfa

a

++= −∫

elde edilir. Bu bağıntı da bildiğimiz Simpson 1/3 kuralıdır.

3.2.7 Gauss kuadratürü

Önceki bölümlerde geçen integral formülleri eşit aralıklı noktalar için geçerli idi. Üç terimli, üç parametreli en son formülde de eşit aralıklı noktalardaki fonksiyon değerleri ağırlık faktörleriyle çarpılarak integralin elde edilebileceği görüldü. Üç parametreli bu çözümün ikinci dereceden bir polinomun (derecesi parametre sayısından bir eksik) integraline eşdeğer olduğu bilinmektedir.

Gauss, eşit aralıklı belli noktalarda fonksiyon değerlerinin kullanılması zorunluluğunun ortadan kaldırılması halinde parametre sayısının üçten altıya çıkacağı düşüncesiyle farklı bir yöntem geliştirmiştir. Bu yöntemde fonksiyon değerlerinin ağırlık faktörleri yanında fonksiyon değerlerinin hesaplandığı noktaların x koordinatları da ilave parametreler olmaktadır.

Altı parametreli bir yaklaşım gerçekte 5 inci dereceden bir polinomun integraline eşdeğer olup daha yüksek mertebeden bir yaklaşım anlamına gelmektedir.

Bu prensibe dayanan yöntemler Gauss kuadratür formülleri olarak bilinmektedir. Bu yöntemler, x in istenilen değerlerinde f(x) fonksiyonunun bulunması gerektiğinden ancak f(x) fonksiyonun açık biçimde bilinmesi halinde kullanılabilir.

Burada örnek olarak basit halde dört bilinmeyen parametre içeren iki-terimli bir formül çıkartılacaktır:

( ) ( ) ( )21

1

1

tbftafdttf +≈∫−

Yöntem önceki bölümde izah edilen bilinmeyen parametrelerin tayini yöntemiyle aynıdır. İşlemleri basitleştirmek için başlangıç noktasına göre simetrik bir integral aralığı (-1 ile +1 arasında) alınacak ve integral değişkeni t ile belirtilecektir. Formülasyon 3. dereceden herhangi bir polinom için geçerli olacaktır.

( ) 32

31

1

1

33 0 btatdttttf +=== ∫−

( ) 22

21

1

1

22

32 btatdttttf +=== ∫

−



3-21

( ) 21

1

1

0 btatdttttf +=== ∫−

( ) badttf +=== ∫−

211

1

Üçüncü eşitliği t12 ile çarpıp birinciden çıkartarak

( ) ( ) ( ) ( )( )12122221

3221

21

32

310 tttttbtttbbtattbtat +−=−=+−+=

Bu eşitliğin geçerli olabilmesi için seçenekler

122 00 tttb === ,, veya 12 tt −=

olmakla birlikte, bunlardan sadece sonuncusu geçerlidir. Buna göre

12 tt −= → 210 btat += → ba =

ba +=2 → 1== ba

22

213

2 btat += → 5773031

12 .==−= tt

Böylece

( ) ( ) ( )57730577301

1

.. ffdttf +−≈∫−

elde edilir. Bu iki fonksiyon değerinin herhangi bir kübik polinomun t=-1 ile t=1 arasındaki integralinde kullanılması halinde integralin tam (exact) değerini vereceğini göstermek mümkündür.

Genel bir kübik polinom ( ) 33

2210 tatataatf +++=

İntegre edilerek ( ) ( )∫∫−−

+++=1

1

33

2210

1

1

dttatataadttf

1

1

4332210 432 −

+++= ta

tatata

( ) ( ) ( ) ( )114

113

112

11 3210 −+++−++=

aaaa

20 322 aa +=

elde edilir. Aynı integral yukarıda geliştirilen formülasyonla hesaplanırsa

( )2 3

1 0 1 2 31 1 1 1f t f a a a a3 3 3 3− − − − = = + + +



3-22

( )2 3

2 0 1 2 31 1 1 1f t f a a a a3 3 3 3

= = + + +

( ) ( ) ( )1

1 1 2 2 0 0 2 21

1 1f t dt w f t w f t a a a a3 3−

= + = + + + +∫

20 322 aa +=

şeklinde yine aynı sonuç elde edilir.

Şimdi integral sınırlarının –1 ve +1 değil de a ve b gibi olduğu genel bir hal dikkate alınırsa Gauss kuadratürü parametrelerinden yararlanabilmek için –1 ve +1 sınır değerlerinin bir değişken dönüşümüyle a ve b sınır değerlerine dönüştürülmesi gerekir. Şayet

( )2

abtabx ++−= ,

( )dtabdx2−

= , bxtaxt

=→+==→−=

11

değişken dönüşümü kullanılırsa ( ) ( ) ( )∫∫−

++−−

=1

1 22dtabtabfabdxxf

b

a

elde edilir.

Örnek:

∫π

=2

0

/

sin dxxI integralini Gauss kuadratürlerini kullanarak hesaplayınız.

İki terimli Gauss formülünün kullanılabilmesi için integral değişkeninin, sınır değerleri –1 ve +1 olacak biçimde dönüştürülmesi gerekmektedir. Nitekim yukarıdaki değişken dönüşümü uygulanırsa

( ) ( ) ( ) dtdxttabtabx4

142

02022

π=→+

π=

+π+−π=

++−=

//

Böylece verilen integral

( )∫∫−

π

+ππ

==1

1

2

0

144

dttdxxI sinsin/

şekline gelir. Gauss formülü dönüştürülmüş integralin değerini integrandın 31 /−=t ve

31 /=t noktalarındaki değerlerinin ağırlıklı bir toplamı olarak verir. Nitekim

( ) π=π

+−=

+−π=

+−

π=+

π 10566012

33331

41

31

41

4.t

( ) π=π

+=

+π=

+

π=+

π 3943401233

331

41

31

41

4.t

olup



3-23

( ) ( )[ ] 9984703943401056604

2

0

..sin.sinsin/

=π+ππ

== ∫π

dxxI

elde edilir. Verilen integralin tam değeri

[ ] [ ] 11020

2

0

=−−=−== ππ

∫ //

cossin xdxxI

olup Gauss kuadratürü ile yapılan hatanın miktarı 0.00153 tür.

Gauss yönteminin değeri integral için sadece iki noktada fonksiyon değerinin hesaplanmasının yeterli olmasıdır. Yine sadece iki noktada fonksiyon değerinin hesaplanmasını gerekli kılan trapez kuralı ile integral hesaplanmış olsaydı

{ } 785404

022

202

0

./sinsinsin/

=π

=

−ππ+

== ∫π

dxxI

elde edilirdi. Veya Simpson 1/3 kuralı uygulansaydı

( ) ( ) ( )[ ] ( ) 0022811828432012

2440342

0

../sin/sinsin/sin/

=++π

=π+π+π

== ∫π

dxxI

bulunurdu. Görüldüğü gibi her iki yöntemin hatası da Gauss yönteminden daha fazladır.

Gauss yöntemi iki terimden daha fazlası için de geliştirilebilir. n adet nokta için formül genel olarak

( ) ( )∑∫=−

=n

iii tfwdttf

1

1

1

şeklinde yazılır. Bu formül derecesi 2n-1 ve daha küçük olan polinomlar için tam (exact) dır.

Yukarıda 2-nokta için izah edilen yöntem n nokta için genelleştirilerek

−=+

−==+++

2242012

1253102211 nk

k

nktwtwtw knn

kk

,,,,,

,,,,,

şeklinde 2n denklemli bir denklem sistemi elde edilir. Bu yöntem çok aşikar olmakla birlikte elde edilen denklem sisteminin çözümü o kadar basit değildir. Ancak Legendre polinomları kullanarak daha kolay bir yaklaşım ortaya koymak mümkündür.

Verilen bir n değeri için ti ler n ‘inci dereceden bir Legendre polinomunun kökleridir. Legendre polinomları

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0121 11 =++−+ −+ xnLxxLnxLn nnn

( ) ( ) xxLxL == 10 1,

şeklinde bir rekürsiyon formülüyle tanımlanmaktadır. Buradan L2(x) için

( ) ( ) ( )21

23

213 201

2 −=⋅−

= xxLxxL

xL



3-24

elde edilebileceği görülmektedir. L2(x)=0 polinomunun kökü 5773031 ./ ±=± olup bu kökler tam olarak iki-terimli formüldeki t değerleridir.

Sonraki polinomlar için rekürsiyon bağıntısından

( )235 3

3xxxL −

=

( )8

33035 24

4+−

=xxxL

vb. elde etmek mümkündür.

Legendre polinomlarının kökleri, non-lineer denklem köklerini bulmak için kullanılan standart yöntemlerle elde edilebilir. Bu kökler bir kez elde edildikten sonra yukarıda iki-noktalı Gauss kuadratürü için yazılan denklemlerin benzerleri yazılarak ağırlık faktörleri için kolaylıkla çözülebilir.

Aşağıdaki tabloda 5 inci dereceye kadar Legendre polinomların kökleri yer almaktadır. Bu katsayılarla 9 uncu dereceye kadar polinomların karşılığı olan Gauss kuadratürlerini uygulamak mümkündür. Tabloda ilgili Gauss kuadratürlerine ait ağırlık faktörleri de sunulmuştur.

n t w geçerlilik derecesi

2 -0.57735027 1 30.57735027 1

3 -0.77459667 0.55555555 50.00000000 0.888888890.77459667 0.55555555

4 -0.86113631 0.34785485 7-0.33998104 0.652145150.33998104 0.652145150.86113631 0.34785485

5 -0.90617985 0.23692689 9-0.53846931 0.478628670.00000000 0.568888890.53846931 0.478628670.90617985 0.23692689

Burada Legendre polinomlarının bazı özelliklerini özetlemekte yarar vardır:

1. Legendre polinomları ortogonaldir. Yani:

( ) ( )

=>≠=

=∫− mn

mndtxLxL mn 0

01

1

Bu husus bir çok başka önemli fonksiyonların da özelliğidir. Örneğin ( ) ,...,,,cos 210=nnx fonksiyonları için de

( ) ( )

=>≠=

=∫− mn

mndtnxmx

001

1

coscos

olup, bu durum bu fonksiyonun [0,2π] aralığında ortogonal olduğu anlamına gelmektedir.

2. n ‘inci dereceden herhangi bir polinom Legendre polinomlarının toplamı olarak yazılabilir:

( ) ( )∑=

=n

iiin xLcxP

0



3-25

3. Ln(x) = 0 polinomunun n adet kökü [-1,1] aralığında yer alır.

Bu özellikler yardımıyla Gauss kuadratürünün 2n-1 ‘inci ve daha küçük derecedeki polinomlar için tam (exact) olduğunu göstermek mümkündür.

Örnek:

Dört terimli Gauss formülünü kullanarak f(x)=e-x2 fonksiyonunu x=0.2 ve x=2.6 noktaları

arasında integre ediniz. Sonuçları değerlendiriniz.

Hesaplanacak integral ∫ −=62

20

2.

.

dxeI x

olup ( ) ( ) 4121

220622062

2......

+=++−

=++−

= ttabtabx

dtdtdtabdx 212

20622

...=

−=

−=

değişken dönüşümü ile ( )( . . ). .2

1 41 2t 1 4

i ii 11

I 1 2 e dt 1 2 w f t− +

=−

= = ∑∫

elde edilir. Gauss kuadratürünün ilk terimi

1t -0.86114= , .1w 0 34785= ( ) ( )( . . ) . , .2

11 2t 1 41 1 1f t e 0 87422 w f t 0 30410− +→ = = =

olup, diğer terimlere ait hesap sonuçları da aşağıdaki tabloda verilmiştir.

t 1 = -0.86114 w 1 = 0.34785 f 1 = 0.87422 w 1 * f 1 = 0.30410t 2 = -0.33998 w 2 = 0.65215 f 2 = 0.37377 w 2 * f 2 = 0.24375t 3 = 0.33998 w 3 = 0.65215 f 3 = 0.03805 w 3 * f 3 = 0.02482t 4 = 0.86114 w 4 = 0.34785 f 4 = 0.00268 w 4 * f 4 = 0.00093

Integral = 0.68833

İntegralin tam sonucu daha önce 0.68865 olarak verilmişti. Buna göre 4 terimli Gauss formülü ile elde edilen sonuçtaki hata 0.00032 olup, Simpson 1/3 formülüyle 6 aralıkta ve trapez kuralı ile 18 aralıkta elde edilen integral sonuçlarından daha az hatalıdır.

Örnek:

R=0.4m yarıçaplı dairenin alanını çeşitli yöntemlerle hesaplayınız.

Dairenin denklemi 222 Ryx =+

olup, buradan 22 xRy −=

dxxRdxySR

R

R

R∫∫−−

−== 2222

y

xdx

y

bulunur. Veya ( ) [ ]( )R R t R Rb a t b a

x Rt2 2

− − + −− + += = = , dx Rdt=



3-26

değişken dönüşümü ile dttRRdttRRS ∫∫−−

−=−=1

1

221

1

222 122

elde edilir. Bu integral t ‘nin –1 ile +1 arasındaki eşit aralıklı 19 değeri kullanılarak trapez, Simpson 1/3 ve Simpson 3/8 formülleriyle ayrı ayrı hesaplanmış olup, sonuçlar aşağıdaki tabloda sunulmuştur.

R = 0.40000 pi = 3.141592654

S = 0.5026548 h = 0.111111111

i t f (t) Trapez Simpson 1/3 Simpson 3/81 -1.00000 0.00000 0.000002 -0.88889 0.45812 0.458123 -0.77778 0.62854 0.62854 2.461034 -0.66667 0.74536 0.74536 4.005345 -0.55556 0.83148 0.83148 4.441446 -0.44444 0.89581 0.895817 -0.33333 0.94281 0.94281 5.35751 6.870028 -0.22222 0.97500 0.975009 -0.11111 0.99381 0.99381 5.83660

10 0.00000 1.00000 1.00000 7.8492211 0.11111 0.99381 0.99381 5.9876212 0.22222 0.97500 0.9750013 0.33333 0.94281 0.94281 5.83660 7.8492214 0.44444 0.89581 0.8958115 0.55556 0.83148 0.83148 5.3575116 0.66667 0.74536 0.74536 6.8700217 0.77778 0.62854 0.62854 4.4414418 0.88889 0.45812 0.4581219 1.00000 0.00000 0.00000 2.46103 4.00534

S = 0.49571 0.49992 0.49932Hata = 0.00695 0.00273 0.00333

Değişik terim sayısıyla Gauss kuadratürleri kullanarak elde edilen sonuçlar aşağıdaki tabloda yer almaktadır. Aynı tabloda ayrıca dairenin sadece pozitif çeyreğinde

dxxRSR

∫ −=0

224

şeklinde hesaplanmış integral sonuçlarına da yer verilmiştir. Bu integral

( ) ( ) ( )122

002

+=−+−

=++−

= tRRtRabtabx dtRdx2

=

değişken dönüşümü sonucunda

( ) ( ) dttRdtRtRRS ∫∫−−

+−=+−=1

1

221

1

22

2 142

14

4

şekline gelmektedir.



3-27

R = 0.40000 pi = 3.141593S = 0.502655

n t w f (t) w * f (t) S / hata f (t) w * f (t) S

2 -0.57735 1.00000 0.81650 0.81650 0.52256 1.95483 1.95483 0.509510.57735 1.00000 0.81650 0.81650 -0.01990 1.22962 1.22962 -0.00686

3 -0.77460 0.55556 0.63246 0.35136 0.50932 1.98726 1.10403 0.504970.00000 0.88889 1.00000 0.88889 1.73205 1.539600.77460 0.55556 0.63246 0.35136 -0.00666 0.92239 0.51244 -0.00232

4 -0.86114 0.34785 0.50837 0.17684 0.50569 1.99517 0.69403 0.50372-0.33998 0.65215 0.94043 0.61330 1.88796 1.231220.33998 0.65215 0.94043 0.61330 1.48474 0.968270.86114 0.34785 0.50837 0.17684 -0.00303 0.73224 0.25471 -0.00106

5 -0.90618 0.23693 0.42289 0.10019 0.50429 1.99780 0.47333 0.50323-0.53847 0.47863 0.84265 0.40331 1.94602 0.931420.00000 0.56889 1.00000 0.56889 1.73205 0.985340.53847 0.47863 0.84265 0.40331 1.27793 0.611660.90618 0.23693 0.42289 0.10019 -0.00164 0.60537 0.14343 -0.00057

-R < x < R 0 < x < R

Görüldüğü gibi integral aralığı küçültülünce Gauss kuadratürleri daha iyi sonuçlar vermiştir. Buna göre verilen integrali önce

( ) RxxxdxRdxRxRdxxRSRR

/,/ =−=−=−= ∫∫∫1

0

22

0

2

0

22 14144

şeklinde boyutsuz olara yazıp, daha sonra da N adet aralıkta

xdxSSRSj

j

x

xj

N

jj ∫∑

+

−===

12

1

2 14 ,

şeklinde yazarak hesaplamaya çalışalım.

( ) ( )22221111 jj

jjj

jjjjjjj xx

nxx

mntmxxtxxabtabx

+=

−=+=

−+−=

++−= ++++ ,,

dtmdx j=

değişken dönüşümü ile ( ) ( )∑∫=

=+−=+ n

iiij

x

xjjjj tfwmdtntmmS

j

j 1

21

1

elde edilir. Aşağıdaki tabloda iki- ve üç-terimli Gauss kuadratürleri kullanılarak 18 aralık sayısıyla integral hesaplanmıştır.



3-28

R = 0.40 h = 0.0444444

S = 0.50265 pi = 3.1415927

x mj nj f (t1) f (t2) Sj f (t1) f (t2) f (t3) Sj1 0.00000 0.02222 0.02222 0.99996 0.99939 0.04443 0.99999 0.99975 0.99922 0.044432 0.04444 0.02222 0.06667 0.99855 0.99684 0.04434 0.99878 0.99778 0.99648 0.044343 0.08889 0.02222 0.11111 0.99516 0.99229 0.04417 0.99558 0.99381 0.99173 0.044174 0.13333 0.02222 0.15556 0.98976 0.98572 0.04390 0.99038 0.98783 0.98496 0.043905 0.17778 0.02222 0.20000 0.98233 0.97709 0.04354 0.98315 0.97980 0.97612 0.043546 0.22222 0.02222 0.24444 0.97281 0.96634 0.04309 0.97384 0.96966 0.96516 0.043097 0.26667 0.02222 0.28889 0.96114 0.95340 0.04255 0.96239 0.95736 0.95200 0.042558 0.31111 0.02222 0.33333 0.94725 0.93817 0.04190 0.94872 0.94281 0.93655 0.041909 0.35556 0.02222 0.37778 0.93103 0.92056 0.04115 0.93273 0.92590 0.91868 0.0411510 0.40000 0.02222 0.42222 0.91236 0.90041 0.04028 0.91431 0.90649 0.89827 0.0402811 0.44444 0.02222 0.46667 0.89108 0.87754 0.03930 0.89330 0.88443 0.87513 0.0393012 0.48889 0.02222 0.51111 0.86702 0.85175 0.03819 0.86952 0.85951 0.84904 0.0381913 0.53333 0.02222 0.55556 0.83991 0.82276 0.03695 0.84273 0.83148 0.81972 0.0369514 0.57778 0.02222 0.60000 0.80946 0.79021 0.03555 0.81263 0.80000 0.78680 0.0355515 0.62222 0.02222 0.64444 0.77528 0.75365 0.03398 0.77883 0.76465 0.74981 0.0339816 0.66667 0.02222 0.68889 0.73685 0.71245 0.03221 0.74085 0.72487 0.70811 0.0322117 0.71111 0.02222 0.73333 0.69345 0.66576 0.03020 0.69798 0.67987 0.66082 0.0302018 0.75556 0.12222 0.87778 0.59026 0.31725 0.11092 0.62189 0.47907 0.23311 0.1101019 1.00000

S = 0.50345 0.50293

Hata = -0.00080 -0.00028

3.2.8 Çok-katlı integraller

Bazı durumlarda iki-katlı veya daha çok katlı integrallerin sayısal hesabı gerekebilir.

( ) ( )∫ ∫∫ ∫

=

d

c

b

a

b

a

d

c

dydxyxfdxdyyxf ,,

integralini dikkate alalım. Buradaki integral bölgesi

x = a , x = b , y = c , y = d

doğrularıyla sınırlanmış bir dikdörtgensel bölgedir. Ancak her zaman dikdörtgensel bölge olmayabilir.

Bu tip integraller sayısal olarak hesaplanırken bir doğrultudaki değişkenin sabit değerleri için diğer doğrultuda integral hesaplanır.

Önceki paragraflarda izah edilen integral yöntemleri çok-katlı integrallere kolaylıkla adapte edilebilir. Herhangi bir integral formülü bağımsız değişkenin çeşitli değerlerinde hesaplanmış fonksiyon değerlerinin lineer bir kombinasyonudur. Diğer bir deyişle, bir kuadratür formülü çeşitli fonksiyonel değerlerin ağırlıklı bir toplamıdır. Buna göre iki-katlı bir integralde içteki integral dıştaki integral değişkeninin sabit bir değeri için fonksiyon değerlerinin ağırlıklı bir toplamı olarak hesaplanabilir. Bu şekilde hesaplanan toplamların daha sonra diğer doğrultuda ağırlıklı toplamları hesaplanarak integralin değeri elde edilir.

Şayet bir fonksiyonun değerleri sadece düğüm noktalarında biliniyorsa, hesaplamalar bu noktalarla kısıtlı olacaktır. Bu gibi durumlarda Newton-Cotes formülasyonunun kullanılması uygun olur. Çoğu zaman bütün doğrultularda aynı formülasyonun kullanılması uygun olmaktadır.

Örnek:

Tabloda verilen fonksiyon değerlerini (x=1.5, x=3.0, y=0.2, y=0.6) koordinatlarıyla sınırlı dikdörtgensel bölge içinde integre ediniz.



3-29

Bu örnekte y doğrultusunda Simpson 1/3 formülü kullanılacaktır. Ancak x doğrultusunda aralık sayısı çift olmadığından Simpson 1/3 kullanılamayacak olup, bu doğrultuda trapez kuralı kullanılacaktır.

Nitekim y ‘nin sabit 0.2, 0.3, 0.4, 0.5 ve 0.6 değerleri için x doğrultusunda integraller trapez kuralıyla

( )( ) ( )

( ) *,.,.,.

,.

+++⋅=

2203

520251 y

yyy

xy

fff

fhI

şeklinde hesaplanmış olup sonuçlar tabloda her bir sütunun altında yer almaktadır. Bu değerler y doğrultusunda Simpson 1/3 kuralıyla

[ ] [ ]605040403020 43

43 ...... III

hIII

hI yy +++++=

şeklinde integre edilmiş olup integralin sonucu en sağdaki hücrede yer almaktadır.

x \ y 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

0.5 0.165 0.428 0.687 0.942 1.190 1.4311.0 0.271 0.640 1.003 1.359 1.703 2.0351.5 0.447 0.990 1.524 2.045 2.549 3.0312.0 0.738 1.568 2.384 3.177 3.943 4.6722.5 1.216 2.520 3.800 5.044 6.241 7.3793.0 2.005 4.090 6.136 8.122 10.030 11.8413.5 3.306 6.679 9.986 13.196 16.277 19.198

3.3140 5.0070 6.6523 8.2368 9.7435 2.6446

trape

z

Simpson 1/3

Bu örnekteki integralin gerçek analitik çözümü 2.5944 olup elde edilen sayısal çözümün hatası büyüktür. Bunun nedeni x doğrultusundaki adım uzunluğunun büyük olmasıdır. Daha yüksek mertebeden polinomlar kullanarak çözüm hassasiyetini arttırmak mümkündür.

Yukarıdaki örnek de göstermiştir ki çift katlı integral ağırlıklı fonksiyon değerlerinin çift katlı bir toplamına indirgenmiştir. Yapılan hesaplamaları aşağıdaki biçimde gösterebiliriz:

( ) ∑ ∑∫= =

=m

j

n

iijij fwvdydxyxf

1 1,

( )[( )

( )]45352515

42322212

41312111

22

224

2223

ffff

ffff

ffffxy

+++++

++++

+++∆∆

=

Bu formülü sembolik olarak

( ) ijfxydydxyxf

∆∆=∫

14241284822848214241

23,



3-30

şeklinde de göstermek mümkündür. Burada matris içerisindeki büyüklükler fonksiyon değerleriyle çarpılacak ağırlık faktörlerini belirtmektedir. Ağırlık faktörleri birer doğrultudaki integrallere ait ağırlık faktörlerinin kombinasyonudur. Başka Newton-Cotes formülasyonlarının kombinasyonları da benzeri şekilde ifade edilebilir. Bu tip gösterimler elle hesaplar için çok uygun olup, daha yüksek boyutlu integraller için de uygulanabilir.

Çok katlı integraller için yukarıdaki biçimde yapılan düzenlemeleri bilgisayar programları için daha uygun hale getirmek mümkündür. Bu amaçla tek değişkenli bir nümerik integral formülü ele alınırsa

( ) ( )∑∫=−

=n

iii xfadxxf

1

1

1

Daha önce de gösterilmiştir ki bu tip formüller belli derecedeki polinomlar için tam (exact) yapılabilir. Yukarıdaki formülün s derecesine kadarki polinomlar için geçerli olduğunu varsayalım.

Şimdi

( ) ( )∑∑∑∫ ∫ ∫= = =− − −

=n

ikjik

n

jj

n

ki zyxfaaadzdydxzyxf

1 1 1

1

1

1

1

1

1

,,,,

şeklindeki bir çok katlı integral formülünü dikkate alalım. Bu formülün x, y ve z değişkenleri için yazılmış s derecesine kadarki bütün polinomlar için tam (exact) olduğunu göstermek istiyoruz. Bu tip polinomlar, α, β, γ büyüklükleri negatif olmayan ve toplamları s büyüklüğüne eşit veya daha küçük tam sayılar olmak üzere xα, yβ, zγ, biçimindeki terimlerin lineer bir kombinasyonudur.

( ) γβα= zyxzyxf ,,

fonksiyonu için integral

== ∫∫∫∫ ∫ ∫

−

γ

−

β

−

α

− − −

γβα1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

dzzdyydxxdzdydxzyxI

şeklinde bir boyutlu integrallerin çarpımı haline getirilebilir. Her bir integral ağırlık faktörleri ve fonksiyon değerleri cinsinden yazılarak

= ∑∑∑

=

γ

=

β

=

αn

kkk

n

jjj

n

iii zayaxaI

111

Bu toplamların çarpımının açılımının nasıl olacağını daha basit bir hal için kolaylıkla gösterebiliriz:

( )( )

( ) ( ) ( )

∑∑

∑ ∑

∑∑

= =

= =

==

=+++++=

=+++++=

+++=

=

3

1

2

1231322122111

3

1

2

1231322122111

21321

2

1

3

1

i jji

i jji

jj

ii

vuvuvuvuvuvuvu

vuvuvuvuvuvuvu

vvuuuvuI

Buna göre



3-31

∑∑∑= = =

γβα=n

i

n

j

n

kkjikji zyxaaaI

1 1 1

elde edilir. Bu bağıntı çoklu integral için başlangıçta önerilen ağırlıklı toplam formülünün geçerliğini göstermektedir. Bu formülü iç içe üç döngü kullanarak bilgisayar için kolaylıkla programlamak mümkündür. ai ağırlık katsayıları herhangi bir nümerik integrasyon formülünden elde edilebilir.

Örnek:

∫ ∫ ∫− −

=1

0

0

1

1

1

dzdydxezyI x

integralini x doğrultusunda üç-terimli Gauss kuadratürü, y ve z doğrultularında da iki-terimli Gauss kuadratürü kullanarak hesaplayınız.

Öncelikle y ve z için

( ) [ ]( )0 1 u 0 1b a u b ay

2 2− − + −− + +

= = ( ) ,1 1y u 1 dy du2 2

→ = − =

( ) ( )b a v b a 1 0 v 1 0z

2 2− + + − + +

= = ( ) ,1 1z v 1 dy dv2 2

→ = + =

değişken dönüşümleri yaparak integrali

( ) ( )1 1 1

x

1 1 1

1I u 1 v 1 e dx du dv16 − − −

= − +∫ ∫ ∫

şekline getirelim. İki- ve üç-noktalı Gauss formülleri sırasıyla

( ) ( ) ( ) ( ) ( ). .1

1

f x dx 1 f 0 5774 1 f 0 5774−

= − +∫

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )/ . / / .1

1

f x dx 5 9 f 0 7746 8 9 f 0 5 9 f 0 7746−

= − + +∫

şeklinde olup, yukarıdaki integral buna göre düzenlenerek

( )( ) k

2 2 3x

i j k i ji 1 j 1 k 1

1I a a b u 1 v 1 e16 = = =

= + −∑∑∑

yazılabilir. Burada

, / , /1 2 1 3 2a a 1 b b 5 9 b 8 9= = = = =

dır. Buna göre integralin bazı terimleri yazılırsa



3-32

( ) ( ) ( )( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )( )

( ) ( )

.

.

.

.

. . . .

. .

. . . .

. .

0 7746 0

0 7746

0 7746 0

0 7746

1 5 8I 1 1 0 5774 1 0 5774 1 e 1 1 0 5774 1 0 5774 1 e16 9 9

51 1 0 5774 1 0 5774 1 e95 81 1 0 5774 1 0 5774 1 e 1 1 0 5774 1 0 5774 1 e9 951 1 0 5774 1 0 5774 1 e9

−

−

−

−

= ⋅ ⋅ − + − − + ⋅ ⋅ − + − −

+ ⋅ ⋅ − + − −

+ ⋅ ⋅ + − − + ⋅ ⋅ + − −

+ ⋅ ⋅ + − −

Bu integralin sonucu

.I 0 58758=

olarak, analitik sonucu da

( ) .1a1I e e 0 587604

−= − =

şeklinde elde edilebilir.

Documents

Sayısal türev ve integral