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Sommaire
1- Généralités (p. 3)2- Quelle classe de filtre numérique linéaire ? (p. 6)3- Quel outil mathématique pour étudier
les filtres numériques ? (p. 8) 4- Relations entre TZ/TL et TZ/TF (p. 9)5- Fonction de transfert du filtre numérique (p. 10)6- Structures des filtres numériques (p. 11)7- Exemple simple (p. 12)8- Synthèse des filtres IIR (p. 14)
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1- Généralités (1/3)
Applications
Domaine grand public :Hifi, CD audio, lecteur MP3, téléphonie cellulaire...
Domaine secteur industriel :analyseur de spectre, analyseur de réseau vectoriel, carte d'acquisition (PC),correcteur PID...
ObjectifsObjectif n° 1 Objectif n° 2
graphe flots
écrire
équation de récurrence
déterminer
f.d.t. du filtre num.répondre
diagramme de Bodegain (dB) & phase (rad)
tracer
Étude
Réalisation
Filtre numérique pas conçu de la même façon qu'un filtre analogique pas de R/C (L) MAIS réalisé avec :
- registres à décalages (retard) ;- additionneurs ;- multiplieurs.
schématisés dans un graphe flots
coder composantprogrammable : DSP
p. ex.
cahier des charges du filtre num.
tracer
gabarits des filtres num. et analog. à transformer
déterminer
ordre & f.d.t. du filtre analog. (fct d'approx. de Butterworth) effectuer transformat° bilinéaire
équationde récurrence
f.d.t. du filtre num.déduire répondre
stabilité
tracer
diag. de Bode
Étude
coderstabilité
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1- Généralités (2/3)Synoptique d'une chaîne de traitement numérique
signald'entrée
signalde sortie
ADCAAF S/H
acquisition (analogique)
- AAF = Anti Alisasing Filter (filtre anti-repliement) de nature LPF, telle que
atténuer : parasite, bruit, et composantes fréq.rôle
- S/H = Sample/Hold (échantillonneur bloqueur)rôle
échantillonner tous les et maintenir chaque échantillons
- ADC = Analog to Digital Converter (convertisseur analogique numérique)
- amplificateur de puissancerôle
amplifier le signal si amplitude faible (p. ex. situé en amont d'un haut parleur)
- filtre de lissagerôle atténuer les effets indésirables de « marches d'escalier » du bloqueur
- DAC = Digital to Analog Converter (convertisseur numérique analogique)
filtre lissage
restitution (analogique)
DACx(n) y(n)
DSP
traitemt num.
- DSP = Digital Signal Processingrôle
calculer la relation de récurrence (déduite du filtre numérique)
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1- Généralités (3/3)Quelques avantages et inconvénients des filtres numériques
filtre numérique
- programmable => modifiable à l'infini ;- pas de dégradation dans le temps etavec la température ;- accroissement de la fréquence decalcul grâce à la miniaturisation des circuits ;- précision dépendant que de celle desADC/DAC
- construction pouvant donner des circuits complexes ;- nécessité d'utiliser des ADC/DAC => augmentation ducoût par rapport au filtre analogique ;- consommation électrique plus importante ;
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2- Quelle classe de filtre numérique linéaire ? (1/2)Réponses : deux grandes classes de filtres num. caractérisés par leur réponse impulsionnelle
a) Infinite Impulse Response (IIR) => filtre à Réponse Impulsionnelle Infinie (RII) ;b) Finite Impulse Response (FIR) => filtre à Réponse Impulsionnelle Finie (RIF)
par fainéantise d'écriture
Filtres régis par une « équation aux différences » ou « équation de récurrence »
hypothèse : très souvent
si
Interprétation : sortie dépend des entréeset des sorties précédentes => IIRégalement appelé « filtre récursif »
filtre analogique linéaire (cf. cours p.7)
Rappel
Interprétation : sortie dépend que des entréesprécédentes => FIRégalement appelé « filtre non récursif »
aveccaractérisel'ordredu filtre
(1)
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Quelques avantages et inconvénients des IIR & FIR
IIR(récursif)
- stable car pas de pôles ;- phase linéaire => pas de distorsion
2- Quelle classe de filtre numérique linéaire ? (2/2)
FIR(non récursif)
méthodede synthèse
- obtenu par transpositiondu filtre analogique ;- faible nombre de coefficients=> moins de calculs qu'avec un FIRà perf. Identiques.
- augmenter le nb. d'échantillons pouràméliorer la perf. ;- beaucoup de calculs / à un IIR à perf.identiques.
- présente des pôles => peut-êtreinstable- phase pas nécessairement linéaire=> distorsion de phase
transformat° analog./num. par équivalence : - intégration (bilinéaire); - dérivation (Euler);
- dvlpt en série de Fourier ;- méthode des fenêtres ;- méthode des moindres carrés ;- algorithme de Remez.
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3- Quel outil mathématique pour étudierles filtres numériques ?Réponse : Transformée en « Z » (TZ) outil fondamental pour étudier les systèmes discrets ; de la même façonque la Transformée de Laplace pour les systèmes continus.
Définition : pour des systèmes causaux discrets, la TZ monolatérale du signal discret
définie par la relation
avecou ou
Propriétés de la TZ utilisées dans ce cours !- linéarité
avec
- translation dans le domaine du temps vers la droiteou
« théorème du retard »
avec
- convolution
réponse impulsionnelle du filtre num.
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4- Relations entre TZ/TL et TZ/TFAprès démonstration...
régime harmonique
Propriétés de en régime harmonique
partie sup. du cercle symétrique de la partie inf.par rapport à l'axe de l'abscisse
Conclusion :
module phaseavec
(GBF)
ou pulsation réduite
décrit un
réponse harmonique du filtre num. sym. / à la droite d'éqt.
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5- Fonction de transfert (fdt) du filtre numériquefiltre num.IN OUT
Domaine temps discrétisé
Comment obtenir la fdt du filtre num. ?
Réponse : prendre la TZ de l'équation de récurrence (cf. (1) p. 6 ), après calculs...
Interprétation : rapport de deux polynômes de
ou chacun admettant et solutions zéros
pôles
variable
écrite avec pour écrire l'équation de récurrence (par TZ-1)
écrite avec pour répondre à la question de la stabilité (position des pôles)
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6- Structure des filtres numériquesExemple sur un IIR d'ordre deux
1re possibilité : structure D-N
IIR FIR
2e possibilité : structure N-D
IIRFIR
Réduction dunombre d'addition
même nombre de mémoiresmême nombre de multiplications
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6- Exemple simple (1/2)Problème : étudier le graphe flots donné ci-contre
multiplieur
additionneurretard
multiplieur
Autre symbole pour le retardrencontré dans la littérature
avec
c) stabilité
a) équation de récurrence
famille du filtre : IIR
De façon générale, filtre num. stable si
zone de stabilité en numérique :et son périmètre
(limite de stabilité)intérieur du
e) réponse harmonique
ordre du filtre : 1er
b) fdt du filtre num.
TZ avec sespptés (cf. p. 8)
d) nature du filtre
zéro :pôle :
départ
arrivéeLPF
module
phase
cutoff frequency
STABLE
car
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6- Exemple simple (2/2)
f) réponse harmonique
tracés
amplitude
droite d'éqt.
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7- Synthèse des filtres IIR (1/4)Objectif : déterminer les coef.
Comment ?Réponse : à partir d'une technique basée sur la transposition du filtre analogique ;
transposition reposant sur une transformation
et afin d'obtenir l'équation de récurrence, pour la coder dans un
1re solution
alors, pour un LPF du 1er ordre
Interprétation : pas de fraction rationnelle => impossible d'en déduire par TZ-1 les coef. et
Solutions proposées pour obtenir une fonction rationnelledeux types de transformation possibles :
1re solution
transformation bilinéaire ou transformation par intégrationtransformation par méthode d'Euler ou transformation par dérivation
calculateur numérique
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7- Synthèse des filtres IIR (2/4)Transformation bilinéaire
Idée : approximer une intégrale par la méthode des trapèzes
surface du trapèze
hauteur
grande base petite base
or fdt d'un intégrateur dans le domaine analogique
TZ
Relation entre pulsation analogique et pulsation numérique
Dans le cadre de la synthèse de filtre, utilisation de la variable de Laplace normalisée
fréq. de référenceanalogique
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7- Synthèse des filtres IIR (3/4)Procédure (méthode, recette...) à mettre en œuvre à partir de la transposition du filtre analogique
À partir du cahier des charges du filtre num. :
a) tracer le gabarit du filtre analogique à transformer
calculer les fréq. analogiques
b) déterminer l'ordre du filtre et la fdt du filtre analogique, dans le cadre de lafct d'approximation de Butterworth
d) déduire l'équation de récurrence
e) proposer un graphe flots
c) déterminer la fdt du filtre num. par la méthode de transformation
tracer diag. de Bode
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7- Synthèse des filtres IIR (4/4)Transformation par la méthode d'Euler
Idée : exploiter la notion de dérivée d'ordre 1
dans le cas discret
pas de notion de limite car plus petit intervalle de temps pour un signal échantillonné
TZ
or fdt d'un dérivateur dans le domaine analogique
Remarque :si dérivée d'ordre alorsInconvénient avec ce changement de variable
zone de stabilité réduite
STABLE
18
19
20
