Sbornik s Kz

Сборник курсови задачи по съпротивление на материалите за студентите от II курс на УАСГ

(с решени примерни задачи)

доц.д-р Светлана Лилкова-Маркова, гл.ас. Димитър Лолов

София

2011г.

2

I. Указания за изготвяне на курсовите задачи

по СЪПРОТИВЛЕНИЕ НА МАТЕРИАЛИТЕ

Изходни данни за курсовите задачи:

В началото на семестъра всеки студент получава номера на варианта

курсови задачи, които трябва да реши.

Данните за геометричните характеристики и натоварването в условието на

всяка задача са дадени в зависимост от цифрите на факултетния номер на

студента. - .4321 KKKK Ако номерът е трицифрен, то се приема .0K1

Изисквания за оформяне на курсовите задачи

Семестриалните задачи се пишат с молив на листа формат А4. Начертава

се рамка, отстояща на 1 cm от горния, долния и десния край на листа и на 2.5 cm

от левия.

На всеки лист с химикал се записват номерът на варианта ( в горния десен

ъгъл на рамката ) и факултетният номер на студента ( в долния й десен ъгъл ).

Полезно е преди решаването на всяка курсова задача да се проучат

лекциите и упражненията във връзка със съответната тема. Би било добре да се

усвои и даденият решен пример. По този начин на работа студентът ще реши по-

лесно и оформи по-добре своята курсова задача.

3

II. Условия на курсовите задачи

Курсова задача N1: Разрезни усилия на равнинно натоварена

права греда За показаната греда се иска:

а) да се определят опорните реакции;

б) да се запишат изразите за функциите на разрезните усилия във всеки

участък;

в) да се начертаят мащабно диаграмите на разрезните усилия;

г) да се извършат следните проверки: диференциална, за вида на

диаграмите, площна и с правилата за скоковете.

;mK.1,02c;mK.1,04b;mK.1,03a 342

.mkNK30M;kNK10F;m/kNK10q 342


конструкция с начупена ос За показаната конструкция се иска:



участък;



диаграмите, площна, с правилата за скоковете и с изрязване на възлите.

;m2d;mK.3,05,2c;mK.2,03b;mK.1,02a 234

;mkNK40M;kNK20F;m/kNK15q 234

.m/kNK10t 2

4

Курсова задача N3: Разрезни усилия в пространствено

натоварена конструкция За показаната греда се иска:



участък;


г) да се извършат следните проверки: с изрязване на възел B , за вида на

диаграмите, диференциална и площна.

;mK.1,04b;mK.1,03a 42

;/15;/12;/10 222 mmkNKmmkNKtmkNKq t

.mkNK30M;kNK10F 34

Курсова задача N4: Двумерно напрегнато състояние Дадени са напреженията върху две взаимно перпендикулярни площадки,

разположени безкрайно близо до точка от равнинно напрегнато тяло:

;cm/kNK1,031 24

3Kx ;cm/kNK21 2

42K

y

.cm/kNK.3,021 23

4Kyxxy

Да се определят аналитично:

а) главните нормални напрежения 1 и 2 , а също и ъглите 1 и 2 , които

нормалите на техните площадки сключват с оста x ;

б) екстремните стойности на тангенциалните напрежения max и min , а

също и нормалните напрежения med върху техните площадки;

в) нормалното напрежение и тангенциалното върху площадка, чиято

нормала сключва ъгъл 032K K251 с оста x .

Да се извърши и графично решение с окръжността на Мор. Върху нея да се

означат всички характерни точки, нормалите на съответните площадки и

векторите на нормалните и тангенциални напрежения, записани със стойности.

5

Курсова задача N5: Главни инерционни моменти и оси Да се определят аналитично главните инерционни моменти и оси за

показаната съставна фигура.

.cmK.1,012b;cmK.1,015a 42

Курсова задача N6: Чист опън / натиск при статически неопределими системи

1 зад. За варианти с номера от 1 до 15 и от 27 до 30:

Дадената идеално твърда греда е подпряна по начина, показан на схемата.

Прътите са стоманени. Прътът 1 е с площ на напречното сечение 1A , а прътът 2 –

с площ 2A .

Иска се:


б) да се оразмерят прътите, като най-напред се определи площта 1A . При

нея закръгляването да се извърши до десета от квадратен сантиметър;

в) да се определи в cm напречното на оста на гредата преместване на

сечение D ;

г) да се извърши проверка на нормалните напрежения с получените в б)

напречни сечения на прътите при отсъствие на външно натоварване, а промяна

на температурата на прът 1 с CK301t 042K . Коефициентът на линейно

температурно разширение на стоманата е C110 O

5t

, а модулът на линейните

деформации на стоманата 24 cm/kN10.2E . Дадено е и допустимото напрежение

за стоманата 2adm cm/kN16 ..

.

2 зад. За варианти с номера от 16 до 26:

Стоманената колона е натоварена съгласно схемата.

Иска се:

а) да се построи диаграмата на нормалните разрезни усилия N ;

б) да се оразмери колоната в двата участъка, ако е дадена зависимостта

между площите на напречните им сечения 1A и 2A . Да се определи най-напред

6

площта 1A . При нея закръгляването да се извърши до десета от квадратен

сантиметър.

в) да се определи в cm преместването на сечение B ;


напречни сечения в двата участъка при отсъствие на външно натоварване, а

промяна на температурата на колоната с CK301t 04

2K . Коефициентът

на линейно температурно разширение на стоманата е C110 O

5t

, а модулът на

линейните деформации на стоманата 24 cm/kN10.2E . .Дадено е и допустимото

напрежение за стоманата 2adm cm/kN16 .

За двата типа задачи са дадени:

;2,08,1;3,06,1;1,02 333 mKcmKbmKa

.mkNK30t,K.1,05,1

AA

;K30;kNK400F

222

1

o42

Курсова задача N7: Специално огъване За варианти 1 до 9 и 14 до 30:

За показаната стоманена греда се иска:

а) да се построят диаграмите на разрезните усилия;

б) да се извърши оразмеряване по IV-та теория на якост и да се построят

диаграмите на напреженията в изследваните сечения.

в) Определлете вертикалното преместване и ъгъла на завъртане на

сечение С чрез интегралите на Максвел-Мор решени с правилото на Верешчгин.

При напречно сечение, съставено от стандартни профили, да се определят

номерата им.

За нестандартните сечения да се определи параметърът d. При избора му

закръгляването да е до mm. 2

adm cm/kN16 ; ;cm/kN10 2adm 24 cm/kN10.2E

За варианти 10 до 13:


7


б) да се определи параметърът на натоварването q върху гредата, като се

приложи IV-та теория на якост. При избора на q закръгляването да е до цяло

число. Да се построят диаграмите на напреженията в изследваните сечения. 2

adm cm/kN16 ; ;cm/kN10 2adm 24 cm/kN10.2E

в) Определлете вертикалното преместване и ъгъла на завъртане на

сечение С чрез интегралите на Максвел-Мор решени с правилото на Верешчгин.

Курсова задача N8: Общо огъване За показаната греда се иска:


б) да се оразмери с правоъгълно напречно сечение от иглолистен дървен

материал. Размерите му да се определят, като се приеме отношение z

y

M

M

bh за

застрашеното сечение и да е в сила 2;5.0bh . Да се построят диаграмите на

нормалните напрежения x и на тангенциалните xy и xz в застрашените

сечения. Дадени са: 2adm cm/kN4.1 ; 2

adm cm/kN2.0

в) да се оразмери с нестандартно сечение от стомана и да се начертае

диаграмата за нормалните напрежения x в съответното застрашено сечение.

При избора на параметъра d, закръгляването да е до mm.

Курсова задача N9: Еластична линия на права греда За показаната стоманена греда се иска:


б) да се запишат кинематичните гранични условия за краищата на

участъците;

в) да се определят с аналогията на Мор вертикалното преместване в

сечение B и завъртането в сечение C. Дадени са модулът на Юнг

24 cm/kN10.2E ; cm/kNk315000I 41 и 32

1 k5.1II

8

;mK3,03b;mK1,06.2a 33

mkNK30M;kNK20F;m/kNK5q 234

Курсова задача N10: Специално огъване, комбинирано с опън или натиск. Интеграли на Максвел-Мор



б) да се оразмери участък АС с I - профил по IV-та теория на якост и да се

построят диаграмите на напреженията в изследваните сечения.

в) да се определи с интегралите на Максвел-Мор, решени с правилото на

Верешчагин, означеното обобщено преместване.

;mK2,02c;mK3,04b;mK1,03a 333

mkNK30M;kNK20F;m/kNK1.05q 234

24 cm/kN10.2E ; 2adm cm/kN4.1 ; 2

adm cm/kN2.0

Курсова задача N11: Нецентричен опън / натиск. Ядро на сечението

За варианти от 1 до 15

За показаната чугунена колона се иска:

а) при допустими напрежения 2, /10 cmkNcadm , 2

t,adm cm/kN5 да се

определи големината на опънната сила F , приложена в точка C0 от напречното

сечение, и да се построи диаграмата на нормалните напрежения x ;

б) да се начертае ядрото на напречното сечение.

;cmK2,03c;cmK3,05b;cmK1,04a 333

За варианти от 16 до 30

За показаната чугунена колона се иска:

а) при допустими напрежения 2c,adm cm/kN10 , 2

t,adm cm/kN5 да се

определи големината на натисковата сила F , приложена в точка C0 от напречното

сечение, и да се построи диаграмата на нормалните напрежения x ;


;cmK2,03c;cmK3,05b;cmK1,04a 333

9

Курсова задача N12: Устойчивост на центрично натиснати пръти

За варианти 1, 5, 8, 10, 13, 17, 18, 19, 20 и 29

За показаната стоманена колона се иска:

а) да се оразмери;

б) да се определи коефициентът на сигурност при загуба на устойчивост.

;kNK500F;a2b 3 2adm cm/kN16

За всички останали варианти


а) да се определи допустимата натискова сила F ;

б) да се определи коефициентът на сигурност при загуба на устойчивост. 2

adm cm/kN16

III. Решени примерни задачи.

Курсова задача N1: Разрезни усилия на равнинно натоварена права греда

За показаната греда се иска:



участък;



диаграмите, площна и с правилата за скоковете.

10

3 m

x

2

M=40 kNm

C Ah=0x x

F=20 kN

Rq=10x3=30 kN

B E

B=41

2

1.5

A

Av=9

q=10 kN/m

D

3

1.5

x

22

0.9

x

1.5

32

D

q=10 kN/m

--4040

9+

xx

3 m

Ah=0

Av=9

AC

M=40 kNm

M

Q

--17.95

40

2020

21

9

-

+

N

x

1.5

2

B=41

EB

Rq=10x3=30 kN

F=20 kN

а) определяне на опорните реакции

11

;0H ;0AH

;205B5;0B57.205,3.3040;0M A ;kN41B

;45A5;02.205,1.3040A5;0M VVB ;kN9AV

Проверка: ;0V .05050;02030419

б) определяне на изразите за функциите на разрезните усилия

участък СА: m3x0

x

40

C

MN

Q

;0H ;0N

;0V ;0Q

;0M s ;040M .40M

С индекса s се означава . сечение. В последното условие се записва сума

от моментите на всички товари за мястото на сечението.

участък АD: m2x0

A

Av=9x

C

40

3

Q

MN

;0H ;0N

;0V ;9Q;0Q9

;0M s ;0x940M ;40x9M

x [m] 0 2

M [kNm] 40 22

12

участък DB: m3x0

40

C

3

A D

q=10

Av=9

10x

2

NM

Q

x

x/2

;0H ;0N

;0V ;9x10Q;0Qx109

;0M s ;0x29402x.x10M ;22x9x5M 2

;0Q 3;0m9,0x;09x10 extrextr

Ако 3;0xextr , то за начертаване на М-диаграмата като трета стойност

на x се разглежда тази в средната точка на участъка, в случая би трябвало тя да

е m5,1x .

x [m] 0 9,0 3

Q [kN] 9 21

M [kNm] 22 95,17 40

участък BE: m2x0

2-x

QN

M E

F=20

;0H ;0N

;0V ;20Q;020Q

;0M s ;0x220M .40x20M

13

x [m] 0 2

M [kNm] 40 0

в) мащабно начертаване на диаграмите на разрезните усилия

Мащабите за всяка от диаграмите могат да са различни. Графиките на

кривите от втора степен да се начертаят с кривка. Характерните ординати от

диаграмите да се удебелят.

Правила за нанасяне на характерните ординати от диаграмите:

Стойностите им се нанасят напречно на оста на гредата. Положителните

стойности на M са от страната на пунктирната линия, а положителните стойности

на N и Q - от обратната й страна.

г) проверки

- диференциална проверка

.QxdMd;q

xdQd;t

xdNd

Интензивностите t - на осовите и q - на напречните разпределени товари са

положителни, когато съвпадат съответно с положителните посоки на разрезните

усилия N и Q за лява част от участъка.

t> 0q > 0

Q

MN

участък СА

;00;txdNd

;00;qxdQd

.00;QxdMd

участък AD

;00;txdNd

;00;qxdQd

.99;QxdMd

участък DB

14

;00;txdNd

;1010;qxdQd

.9x109x10;QxdMd

участък BE

;00;txdNd

;00;qxdQd

.2020;QxdMd

- проверка за вида на диаграмите

-

участък CA AD DB BE

q 0 0 const 0

Q const=0 const линейна

функция

const

M const линейна

функция

квадратна

функция

линейна

функция

t 0 0 0 0

N const=0 const=0 const=0 const=0

- площна проверка

.AMM;RQQ;RNN Qldqldtld

С lll M,Q,N са означени стойностите на разрезните усили в левия край на

участъка, а с ddd M,Q,N - тези в десния.

tR - равнодействаща на осовия разпределен товар в участъка. Тя е

положителна, когато съвпада с посоката на положителното разрезно усилие N за

лява част на участъка.

qR - равнодействаща на напречния разпределен товар в участъка. Тя е

положителна, когато съвпада с посоката на положителното разрезно усилие Q за

лява част на участъка.

QA - площ на Q -диаграмата в разглеждания участък

15


За подучастъка между сечението с екстремалната стойност на M и лявата

граница на участъка с равномерно разпределен напречен товар q се извършва

следната площна проверка:

;AMM Qlmax

05,405,4;29,0.9)22(95,17

участък tld RNN qld RQQ Qld AMM

CA 00

;000

00;000

00

;04040

AD 00

;000

00;099

1818

;2.94022

DB 00

;000

3030;30921

1818

;3.22192240

BE 00

;000

00;02020

4040

;2.20400

- проверка с правилата за скоковете

-

Граница

С Скок в M -диаграмата kNm40

А Скок в Q -диаграмата kN9

B Скок в Q -диаграмата kN41

C Скок в Q -диаграмата kN20

16


конструкция с начупена ос

За показаната конструкция се иска:



участък;



диаграмите, площна, с правилата за скоковете и с изрязване на възлите.

30°

323m

M=40 kNm

C

A

22

20 kN/m

B

30°

cossin

3

M=40 kNm

Ah=28.39Av=30.713

A

3m 2

C

17.32 kN/m10kN/m

22

Rt=51.96 17.32 kN/m

Bv=0.713Bh=23.57

B

20 kN/m10kN/mRq=30

KL

40 а) определяне на опорните реакции

17

1) ;0M A ;0B8B24.96,515,6.3040 VH ;42,26B4B VH

2) ;0M BCC ;0B3B25,1.30 VH ;5,22B5,1B VH

;kN57,23B;kN713,0B HV

3) ;0M B ;0A8A2405,1.302.96,51 VH

;46,94A4A VH

4) ;0M ACC ;0A5A440 VH ;10A25,1A VH

.kN39,28A;kN713,30A HV

Проверка:

;0H ;096,5196,51;096,5157,2339,28

;0V .0713,30713,30;0713,030713,30


участък AK: m5x0

NM

17.034

22.712

Ah=28.39

18.428

24.57 Av=30.713

x

y1

Q

A

1x

;0Fnp i1x ;604,41N;057,24034,17N

;0Fnp i1y ;284,4Q;0428,18712,22Q

;0M s ;0x428,18x712,22M .x284,4M

18

x [m] 0 5

M [kNm] 0 42,21

участък KC: m2x0

x

3mAv=30.713

AAh=28.39

NM

Q

4

K 40 kNm

;0H ;039,28N ;39,28N

;0V ;713,30Q;0Q713,30

;0M s ;03x713,304.39,2840M .421,61x713,30M

x [m] 0 2

M [kNm] - 421,61 0

участък CL: m3x0

(3-x)/2

Bv=0.713Bh=23.57

3-x

M

Q

N

17.32(3-x)17.32 kN/m

2

10(3-x)

B

10kN/m

L

;0H ;057,23x332,17N ;39,28x32,17N

;0V ;713,30x10Q;0713,0x310Q

19

;0M s ;02.57,23x3713,02x3x310M

;x713,30x5M 2

;0Q 3;0m071,3x;0713,30x10 extrextr

x [m] 0 5,1 3

N kN] 39,28 57,23

Q kN] 713,30 713,0

M kNm] 0 82,34 14,47

участък LB: m2x0

Bh=23.57Bv=0.713

B

2-x

N

M

Q

;0H ;0713,0N ;713,0N

;0V ;57,23Q;057,23Q

;0M s ;0x257,23M .14,47x57,23M

x [m] 0 2

M kNm] 14,47 0

в) мащабно начертаване на днаграмите на разрезните усилия





20

Стойностите им се нанасят напречно на оста на гредата. Положителните

стойности на M са от страната на пунктирната линия, а положителните стойности

на N и Q - от обратната й страна.

Rq=30

3mAv=30.713

AAh=28.39

0.71

3

30.7

13

30.7

13

++

4.284

23.57

23.57

61.4

21

+- 34

.82

4.284

21.42-

-

M

Q

-

47.14

47.1

4

+

Bh=23.57

10kN/m

3

Rt=51.96C

2

M=40 kNm

cossin

-

28.3

9

28.3

9

-

B

Bv=0.713

17.32 kN/m

22

N

+

+

23.5

7

0.713

K

L

41.604

41.604

21

г) проверки


.QxdMd;q

xdQd;t

xdNd

Интензивностите t - на осовите и q - на напречните разпределени товари са

положителни, когато съвпадат съответно с положителните посоки на разрезните

усилия N и Q за лява част от участъка.

участък AK

;00;txdNd

;00;qxdQd

.284,4284,4;QxdMd

участък KC

;00;txdNd

;00;qxdQd

.713,30713,30;QxdMd

участък CL

;32,1732,17;txdNd

;1010;qxdQd

.713,30x10713,30x10;QxdMd

участък LB

;00;txdNd

;00;qxdQd

.57,2357,23;QxdMd


участък AK KC CL LB

q 0 0 const 0

Q const const линейна

функция

const

M линейна

функция

линейна

функция

квадратна

функция

линейна

функция

t 0 0 const 0

N const const линейна

функция

const

22



С lll M,Q,N са означени стойностите на разрезните усили в левия край на

участъка, а с ddd M,Q,N - тези в десния.

tR - равнодействаща на осовия разпределен товар в участъка. Тя е

положителна, когато съвпада с положителното разрезно усилие N за лява част

на участъка.

qR - равнодействаща на напречния разпределен товар в участъка. Тя е

положителна, когато съвпада с положителното разрезно усилие Q за лява част

на участъка.

QA - площ на Q -диаграмата в разглеждания участък

участък AK

;RNN tld ;00;0604,41604,41

;RQQ qld ;00;0284,4284,4

;AMM Qld .42,2142,21;5.284,4042,21

участък KC

;RNN tld ;00;039,2839,28

;RQQ qld ;00;0713,30713,30

;AMM Qld .426,61421,61;2.713,30421,610

участък CL

;RNN tld ;96,5196,51;3.32,1739,2857,23

;RQQ qld ;3030;3.10713,30713,0

;AMM Qld .139,4714,47;3.2

713,0713,30014,47

участък LB

;RNN tld ;00;0713,0713,0

;RQQ qld ;00;057,2357,23

;AMM Qld .14,4713,47;2.57,2313,470

23

- изрязване на възли K и L

Векторите на трите разрезни усилия се нанасят за двете сечения,

разположени безкрайно близо до възела. Ако стойностите им са положителни, то

те се нанасят в посока на съответното положително разрезно усилие за

сечението. Ако стойностите им са отрицателни, то стрелките на векторите са в

обратна посока.

възел K

61.421

41.604

21.42 4.284

28.39

30.713

40 kNmK

;0H ;039,28sin284,4cos604,41

;039,288,0.284,46,0.604,41 .039,2839,28

;0V ;0713,30cos284,4sin604,41

;0713,306,0.284,48,0.604,41 ;028,3328,33

;0M K .0421,6142,61;0421,614042,21

възел L

0.713

47.1423.57

47.140.713

23.57

L

;0H ;057,2357,23

;0V ;0713,0713,0

;0M L .014,4714,47

24

Курсова задача N3: Разрезни усилия в пространствено

натоварена конструкция За показаната греда се иска:



участък;


г) да се извършат следните проверки: с изрязване на възел B , за вида на

диаграмите, диференциална и площна.

C=16

Bx=16Ay=60Az=55

Ax=0

x

4

5

t=30kN/m60 kN

Bz=245

q=10 kN/m

xm

z

x1

z1

y1

Rq=40

y

=20kNm/m


;X) 01 ;0CBA XX

;Y) 02 ;060AY ;kN60AY

;Z) 03 ;05.304.10BA ZZ

;M) X 04 ;04.5.302.405.60B4 Z ;kN245BZ

;M) Y 05 ;04.20C5 ;kN16C

;M) Z 06 ;0B4C4 X ;kN16BX

;kN0AX ;kN55AZ

Проверка: ;0M)1 1X ;05,2.602.5.30B2A2A5,2 ZZY

25

;05,2.602.5.30245.255.260.5,2 .0600600

;0M)2 1Y ;0C5,24.20B5,2A5,2 XX

;016.5,24.2016.5,20.5,2 ;08080

;0M)3 1Z ;0C2B2A2 XX

;016.216.20.2 .03232


- участък АB: mx 40

x

x/2

q=10 kN/m10x

yMy

QyAx=0

Ay=60

Az=55z

x

MzQz

MxN

=20kNm/mmx

;0F

iix ;060N ;kN60N

;Fi

iy 0 ;kN0Qy

;Fi

iz 0 ;0x1055Qz ;55x10Qz

;M x 0 ;xM x 020 ;xM x 20

;M y 0 ;02/x.x10x55M y ;xxM y 555 2

;4;05,5x;055x10dxdM

extry

;M z 0 .0M z

m.x 0 2 4

.kNQz 55 95

kNmM x 0 80

kNmM y 0 130 300

26

- участък BC: m5x0

y

x

MxN

QyMy

Qz Mz z

60

5-x

C=16

t=30 kN/m

;0F

iix ;0x530N ;150x30N

;0Fi

iy ;016Qy ;kN16Qy

;0Fi

iz ;060Qz ;kN60Qz

;0M x ;0M x

;0M y ;0x560M y ;300x60M y

;0M z ;0x516M z .80x16M z

mx 0 5

.kNN 150 0

kNmM y 300 0

kNmM z 80 0

в) мащабно начертаване на днаграмите на разрезните усилия





Стойностите на N , zQ , xM и yM се нанасят успоредно на оста z . Върху

положителната й част се нанасят положителните ординати на yM , а върху

отрицателната й ос – положителните ординати на N , zQ и xM .

27

Стойностите на yQ и zM се нанасят успоредно на оста y . Върху

положителната й част се нанасят отрицателните им ординати.

C=16

Bx=16Ay=60Az=55

Ax=0

x

4

5

t=30kN/m60 kN

Bz=245

q=10 kN/m

xm

z

x1

z1

y1

Rq=40

y

=20kNm/m

6055

N

Qz

My

+

60 -

60

-

95

+

60

-

-

130

300

300

150

Mx

Qy

Mz

16

16

-

80

80

-

-

28

в) проверки

- изрязване на възел В

y

1

2

z1

1x

95

16

300 B 245

80 60

z2

2x

150

16

300

8060

;0Fi

1ix ;06060

;0Fi

1iy ;01616

;0Fi

1iz ;024515095 ;0245245

;0M 1x ;08080

;0M 1y ;0300300

;0M 1z .00


участък yq yQ zM zq zQ yM

AB 0 const линейна

функция

const линейна

функция квадратна

функция

BC 0 const линейна

функция

0 const линейна

функция

29

участък t N xm xM

AB 0 const const линейна

функция

BC const линейна функция 0 const


;qxdQd;q

xdQd

;txdNd

zz

yy

.QxdMd;Q

xdMd

;mxdMd

yz

zy

xx

Интензивностите на товарите t и xm са положителни, ако имат посоката на

оста x на местната координатна система за участъка. Интензивностите на

товарите yq и zq са положителни, ако са с посоките на осите y и z съответно.

участък АВ

;00;txdNd

;00;qxdQd

yy

;1010;qxdQd

zz ;2020;m

xdMd

xx

;55x1055x10;QxdMd

zy .00;Q

xdMd

yz

участък ВС

;3030;txdNd

;00;qxdQd

yy

;00;qxdQd

zz ;00;m

xdMd

xx

;6060;QxdMd

zy .1616;Q

xdMd

yz

30


;RQQ;RQQ;RNNzql,zd,zyql,yd,ytld

.AMM;AMM;MMM yQl,zd,zzQl,yd,yml,xd,x

С l,zl,yl,xl,zl,yl M,M,M,Q,Q,N са означени стойностите на разрезните усили в

левия край на участъка, а с d,zd,yd,xd,zd,yd M,M,M,Q,Q,N - тези в десния.

tR - равнодействаща на осовия разпределен товар t в участъка. Тя е

положителна, когато посоката й съвпада с тази на оста x за лява част на

участъка.

yqR - равнодействаща на напречния разпределен товар yq в участъка. Тя

е положителна, когато посоката й съвпада с тази на оста y за лява част на

участъка.

zqR - равнодействаща на напречния разпределен товар zq в участъка. Тя е

положителна, когато посоката й съвпада с тази на оста z за лява част на

участъка.

mM - равнодействаща на осовия разпределен товар xm в участъка. Тя е

положителна, когато посоката на xm съвпада с тази на оста x за лява част на

участъка.

yQA - площ на yQ -диаграмата в разглеждания участък.

zQA - площ на zQ -

диаграмата в разглеждания участък.

участък tld RNN yql,yd,y RQQ

zql,zd,z RQQ

АВ 00

;06060

00;000

4040

;10.45595

ВС 150150

;5.301500

00

;01616

00

;06060

участък ml,xd,x MMM zQl,yd,y AMM yQl,zd,z AMM

АВ 8080

;4.20080

300300

;4.255950300

00

;000

ВС 00

;000

300300;5.603000

8080;5.16800

31

Курсова задача N4: Двумерно напрегнато състояние

Дадени са напреженията върху две взаимно перпендикулярни площадки,

разположени безкрайно близо до точка от равнинно напрегнато тяло:

.;cm/kN;cm/kN;cm/kN yxxyyx0222 30347

Да се определят аналитично:

а) главните нормални напрежения 1 и 2 , а също и ъглите 1 и 2 , които

нормалите на техните площадки сключват с оста x ;

б) екстремните стойности на тангенциалните напрежения max и min , а

също и нормалните напрежения med върху техните площадки;


нормала сключва ъгъл 030 с оста x .

Да се извърши и графично решение с окръжността на Мор. Върху нея да се

означат всички характерни точки, нормалите на съответните площадки и

векторите на нормалните и тангенциални напрежения, записани със стойности.

Нормалните напрежения се нанасят върху нормалата на сечението. Ако са

положителни, техните вектори са насочени навън от сечението.

Тангенциалните напрежения имат направление, успоредно на площадката,

за която се отнасят. За площадка с нормала x положителното тангенциално

напрежение се нанася, като векторът на положителното нормално напрежение се

завърти на 090 обратно на часовниковата стрелка. За всички останали площадки

положителното тангенциално напрежение се нанася, като векторът на

положителното нормално напрежение се завърти на 090 по часовниковата

стрелка.

Положителният ъгъл се измерва от оста x в посока, обратна на

часовниковата стрелка.

Положителните посоки на напреженията x , y , xy и yx са показани на

следната схема:

32

xy

yx

M

y

y

x x

В разглежданата задача векторите на напреженията са означени по-долу:

4 kN/m

Mx

23 kN/m

3 kN/m2

27 kN/m

y

2

а) определяне на главните нормални напрежения 1 и 2 , а също и ъглите

1 и 2 , които нормалите на техните площадки сключват с оста x ;

2221 22 xy

yxyx,

;

2221 3

247

247

, ; ;,,, 26565121

;cm/kN,;cm/kN, 22

21 76577654

Проверка:

;yx 21 ;;,, 334776577654

;xyyx2

21 .;.,, 373734776577654 2

;tg;tgy

xy

y

xy

22

11

33

.,;,

,tg

;,;,,

tg

022

011

30142550047657

3

7075922347654

3

Проверка:

;;,.,;tgtg 11125509223121

.;,,; 00000012 9090907075301490

75.7

0°

7.765 kN/m

n1

4.765 kN/m2

M14.30° x

2n2

б) определяне на екстремните стойности на тангенциалните напрежения

max и min , а също и нормалните напрежения med върху техните площадки;

;cm/kN,,,; minmax,minmax,221 2656

276577654

2

.cm/kN,,,; minmax,med221 51

276577654

2

Нормалите на тези площадки разполовяват правите ъгли между нормалите

на главните площадки.

26.265 kN/m

59.30°

6.265 kN/m

M

n3

21.5 kN/m2

30.70°

x

1.5 kN/m4

n2


нормала сключва ъгъл 030 с оста x .

34

;sincos xyyxyx

22

22

;cm/kN,

;sincos

2030

00030

8486

603602

472

47

;cossin xyyx

22

2

.cm/kN,

;cossin

2030

00030

2633

603602

47

3.263 kN/mM

30°

n

26.848 kN/m

2

x

35

Графично решение с окръжността на Мор 2cm/kN1cm1

;;S;;S xyy2

xyx0

.3;4S;3;7S2

0

S

S2

1.5n3

oS x714.30°30°T

n4

1.5

6.265

S6S4

C O

3

4.765

n1

75.70°

1S

n

S

6.265

S5S3

n

y

34

3.263

6.848

2n7.765

n

От окръжността се отчитат нормалните и тангенциалните напрежения в

характерните площадки и се сравняват със стойностите от аналитичното

решение.

36

Курсова задача N5: Главни инерционни моменти и оси

Да се определят аналитично главните инерционни моменти и оси за

показаната съставна фигура.

3.44.953

1

Y

Z

3.447

2.447

C2yC2

3z z2

3C3y

y1

6 cm

0.8

14.

5

1

1.580

1.2920.6320.983

z1

1C

Iy

z I

O

L100.63.10

От таблицата отчитаме следните характеристики за профил :10.63.100L

6.3 cm

1.58

10

L100.63.10

3.4

y

z

C

.cm65,48I;cm1,47I;cm154I;cm5,15A 4yz

4z

4y

2

1. Определяне на центъра на тежестта на фигурата.

37

;cm72,4z;cm4,11y;cm5,15A I1C

I1C

21

;cm15,3z;cm4y;cm4,503,6.8A I2C

I2C

22

;cm5,2z;cm3y;cm5,1325,4.6A I

3CI3C

23

;cm4,525,134,505,15A;AAAA 2321

;A

y.Ay.Ay.Ay

I3C3

I2C2

I1C1I

C

;A

z.Az.Az.Az

I3C3

I2C2

I1C1I

C

;cm447,64,52

3.5,134.4,504,11.5,15y IC

.cm782,34,52

5,2.5,1315,3.4,5072,4.5,15z IC

2. Определяне на осовите и на центробежния инерционни моменти за

осите Y и Z .

За намирането им се прилага теоремата на Щайнер. Всички отстояния,

които се повдигат на квадрат, трябва да бъдат котирани на чертежа.

;IIII 3,Y2,Y1,YY

;cm74,60938,0.5,151,47I 421,Y

;cm83,186632,0.4,50123,6.8I 423

2,Y

;cm38,37282,1.5,13365,4.6I 423

3,Y

;38,3783,18674,60IY ;cm19,210I 4Y

;IIII 3,Z2,Z1,ZZ

;cm25,534953,4.5,15154I 421,Z

;cm59,570447,2.4,50128.3,6I 423

2,Z

;cm40,187447,3.5,13366.5,4I 423

3,Z

;40,18759,57025,534IZ ;cm44,917I 4Z

38

;IIII 3,YZ2,YZ1,YZYZ

;cm66,120953,4.938,0.5,1565,48I 41,YZ

;cm94,77632,0.447,2.4,500I 42,YZ

;cm53.49282,1.447,3.5,13725,4.6I 432

3,YZ

;53,4994,7766.120IYZ .cm07,149I 4YZ

3. Определяне на главните инерционни моменти 1I и 2I и положението на

главните централни инерционни оси, определени с ъглите 1 и 2

спрямо оста Y .

2YZ

2ZYZY2,1 I

2II

2II

I

;

222,1 07,149

244,91719,210

244,91719,210I

;

;76,38382,563I 2,1

;cm06,180I;cm58,947I 42

41

Проверка:

;IIII ZY21

;6,112764,1127;44,91719,21006,18058,947

;IIIII 2YZZY21

.8487,1706142548,170621;07,14944,917.19,21006,18058,947 2

;II

Itg;II

Itg2Z

YZ2

1Z

YZ1

.43,11;2022,0

06,18044,91707,149tg

;57,78;946,458,94744,917

07,149tg

022

011

Проверка:

39

;11;12022,0.946,4;1tgtg 21

.9090;9057,77843,11;90 00000012

Y C

Z

z

y

78.57

°

40

Курсова задача N6: Чист опън / натиск при статически

неопределими системи

Примерна задача 1:

Дадената идеално твърда греда е подпряна по начина, показан на схемата.

Прътите са стоманени. Прътът 1 е с площ на напречното сечение 1A , а прътът 2 –

с площ 2A . В сила е 21 A8,1A .

Иска се:


б) да се оразмерят прътите, като най-напред се определи площта 1A . При

нея закръгляването да се извърши до десета от квадратен сантиметър;

в) да се определи в cm напречното на оста на гредата преместване на

сечение D ;


напречни сечения на прътите при отсъствие на външно натоварване, а промяна

на температурата на прът 1 с C30t 0 . Коефициентът на линейно температурно

разширение на стоманата е C110 O

5t

, а модулът на линейните деформации

на стоманата 24 cm/kN10.2E . Дадено е и допустимото напрежение за

стоманата 2adm cm/kN16 ..

3

60°

B

=333.30 kN

1

K"

K'

K

L'

L

D'

D

VB

4 2 m

=58.86 kNHB

F=432 kN1 2

1S2S30°

41


1) ;0S330sinS71.432;0M 20

1B ;0S3S5,3432;0M 21B

2) ;73

KKLL

I

I ;

3LL7KK

II

;2160cos

KKKK 0I

III ;KK2KK IIII

;3LL7KK2

IIII

;EA6.S

EAlSlKK

1

1

1

111

III ;EA

3.SEAlSlLL

2

2

2

222

I

.EA3

3.S7EA

6.S2

2

2

1

1

Последното равенство се умножава с 1EA и се отчита зависимостта

21 A8,1A . Получава се следната връзка между усилията в двата пръта:

21 S05,1S .

След заместването на този израз за 1S в условие 1) се намират

.kN72,64S;kN96,67S 21

3) ;06.432S4B7;0M 2VK ;kN30,333BV

Проверка:

;0432BS30sinS;0V V20

1

;0432432;043230,33172,6430sin96,67 0

4) ;0B30cosS;0H H0

1 .kN86,58B;0B30cos96,67 HH0

б) оразмеряване на прътите, като най-напред се определя площта 1A . При

нея закръгляването се извършва до десета от квадратен сантиметър.

42

;AS

adm1

11,x ;

AS

adm2

22,x ;cm/kN16 2

adm

;16A96,671

1,x ;16A72,642

2,x

;cm248,4A;1696,67A 2

11

.cm281,7A;1672,64

8,1A 2

11

Прието .cm056,48,13,7

8,1A

A;cm3,7A 212

21

;;cm/kN310,93,796,67

AS

adm1,x2

1

11,x

.;cm/kN96,15278,472,64

AS

adm2,x2

2

22,x

в) определяне в cm на напречното на оста на гредата преместване на

сечение D I

D DD ;

;3LLDD;

31

LLDD I

II

I

2

222

I

EAlSlLL ; ;cm239,0

056,4.10.2300.72,64LL 4

I

.cm0798,03239,0

D

г) проверка на нормалните напрежения с получените в б) напречни сечения

на прътите при отсъствие на външно натоварване, а промяна на температурата

на прът 1 с C30t 0 .

43

3

4

K'

K

2 m

L

L'K"

1

BS2

S1

21

30°

1) ;0S330sinS7;0M 20

1B ;S857,0S 21

2) ;73

KKLL

I

I ;

3LL7KK

II

;2160cos

KKKK 0I

III ;KK2KK IIII

;3LL7KK2

IIII

;6.30.00001,0EA6.Sl.t.

EAlSlKK

1

11t

1

111

III ;0018,0EA6.SKK1

1III

;EA

3.SEAlSlLL

2

2

2

222

I

;EA3

3.S70018,0

EA6.S

22

2

1

1

Последното равенство се умножава с 1EA и се отчита зависимостта

21 A8,1A .

;A.AS7EA0036,0S122

1211

;8,1.S73,7.10.2.0036,0S12 24

1 ;S857,0S 21 ;6,525S884,22 2

;kN68,19S 1 .kN97,22S 2

;cm/kN696,23,768,19;

AS 2

1,x1

11,x

.cm/kN663,5056,497,22;

AS 2

2,x2

22,x

44

Примерна задача 2:

Стоманената колона е натоварена съгласно схемата.

Иска се:

а) да се построи диаграмата на нормалните разрезни усилия N ;

б) да се оразмери колоната в двата участъка, ако е дадена зависимостта

между площите на напречните им сечения 1A и 2A 21 A2A . Да се определи

най-напред площта 1A . При нея закръгляването да се извърши до десета от

квадратен сантиметър.

в) да се определи в cm преместването на сечение B ;


напречни сечения в двата участъка при отсъствие на външно натоварване, а

промяна на температурата на колоната с . C30t 0 . Коефициентът на линейно

температурно разширение на стоманата е C110 O

5t

, а модулът на линейните

деформации на стоманата 24 cm/kN10.2E . .Дадено е и допустимото

напрежение за стоманата 2adm cm/kN16 .

100 kN 17.5x

3 m

100 kN

-217.5

217.5x

21A

B

A

A=217.7 kN N

CC=162.5 kN

2A 60 kN/m

162.5

+

а) построяване на диаграмата на нормалните разрезни усилия N

1) ;03.602.100CA;0V .380CA

45

участък m2x0:AB

N1

A

x1A A

.AN;0AN;0V 11

участък m3x0:BC

N

A2

A1

100 kN

2

x60 kN/m

A

A

B

2

100 kN

;A200x60N;0x602.100AN;0V 22

;0dxNAAdxN

3

02

2

12

01 ;0dxA200x602dxA

3

0

2

0

;003A032000330202A 22

;kN5,217A;1740A8 ;kN5,162C

;kN5,217N1 ;5,217200x60N2 .5,17x60N2

б) оразмеряване на колоната в двата участъка, ако зависимостта между

площите на напречните им сечения е 21 A2A . Определя се най-напред площта

1A . При нея закръгляването се извършва до десета от квадратен сантиметър.

mx 0 3

kNmN2 5,17 5,162

46

;ANmax

max adm1

11,x ;

ANmax

max adm2

22,x

;.cm/kN16 2adm

;.16A5,217max

11,x ;16

A5,162max2

2,x

;cm59,13A;165,217A 2

11

.cm31,20A;165,162

2A 2

11

Прието ;cm2,1024,20

2AA;cm4,20A 21

22

1

;;cm/kN66,104,205,217

AN

adm1,x2

1

11,x

.;cm/kN93,152,105,162

AN

adm2,x2

2

22,x

в) определяне на преместването на сечение B в cm

;EA

l5,217

1

1B .cm107,0

4,20.10.2200.5,217

4B

г) проверка на нормалните напрежения с получените в б) напречни сечения

в двата участъка при промяна на температурата на колоната с C30t 0 и

отсъствие на външно натоварване.

3 m

x

A

B

A

A1 2

x

CC

A2

47

1) .0CA;0V

участък m2x0:AB

x

A

A1

1N

;AN;0AN;0V 11

участък m3x0:BC

A

2

B

Ax

2

1A

2A

N

;AN;0AN;0V 22

;0llll.t. 2121t ;EAl.Nl;

EAl.Nl

2

222

1

111

;EAl.N

EAl.Nll.t.t 0

2

22

1

1121

;0EA300.A

EA200.A300200.30.00001,0

21

.0

EA300.A

EA200.A15,0

21

Това равенство се умножава с .EA1

;0AAA300A200EA15,02

11

Отчита се 21 A2A .

;2.A300A20000001,0.10.2.152,0 4 ;61200A800 ;kN5,76A

;kN5,76N 1 ;kN5,76N 2

48

;cm/kN75,34,205,76;

AN 2

1,x1

11,x

.cm/kN5,72,105,76;

AN 2

2,x2

22,x

Курсова задача N7: Специално огъване За показаната стоманена греда се иска:


б) да се извърши оразмеряване по IV-та теория на якост и да се построят

диаграмите на напреженията в изследваните сечения.

При напречно сечение, съставено от стандартни профили, да се определят

номерата им.

За нестандартните сечения да се определи параметърът d. При избора му

закръгляването да е до mm.

в) да се определят с интегралите на Максвел-Мор, решени с правилото на

Верешчагин, вертикалното преместване и завъртането в сечение C .

Av=2,52

4

A

5kN/m

20kNm

CAh=0

3

B=27,52

Rq=5.4=20

1

D

10kN

B

а) построяване на диаграмите на разрезните усилия

;0H ;0AH

49

;,;;..; kN527B110B4051022020B40MA

;,;;..; kN52A10A4011022020A40M VVVB

Проверка:

.;,,; 0303001020527520V

участък СА: m3x0

x20

CM

N

Q

;0H ;0N

;0V ;0Q

;0Mcs ;020M .20M

С индекса cs се означава cross-section (напречен разрез). В последното

условие се записва сума от моментите на всички товари за мястото на сечението.

участък АB: m4x0

20

C

3

A

5

Av=2,5

5x

NM

Q

x

x/2

;0H ;0N

;0V ;,;, 52x5Q0Qx552

;0Mcs ;/, 02x5x5220M 2 .,, 20x52x52M 2

;0Q 30m50x052x5 extrextr ;,;,

50

x [m] 0 50, 4

Q [kN] 52, 517 ,

M [kNm] 20 62520, 10

участък BD: m1x0

1-xEM

10QN

;0H ;0N

;0V ;; 10Q0Q10

;0Mcs ;0x110M .10x10M

x [m] 0 1

M [kNm] 10 0

51

+ Q

0,5

+

20 20

10-

+

20,625

17,5

M

-

2,5

Av=2,52

4

A

5kN/m

20kNm

CAh=0

3 m

1010

B=27,52

Rq=5x4=20

1

D

10kN

+

N

B

б) оразмеряване и проверка по IV теория за якост

- избиране на профила от удовлетворяване на условието

admy

yx σ

WM

σ max

max

Застрашено сечение е K с kNcm5,2062kNm625,20Mmax y .

52

;,;,;max 3

yyadm

yy cm91128W

1652062W

σM

W

C1Cy1

1z

y

z

;; ,max

1yyy

y I2IzI

W ;;max

,,

max

,

zI

WzI2

W 1y1y

1yy

;,;, ,,3

1y3

1y cm4564Wcm91128W2

Избираме профил 14U с характеристики:

;,,3

1y cm270W ;,4

1y cm491I .,,3

1y cm8400S

0,49

77

14 c

m

0,81

5,85,8

1,67

y

z1

1y

z

1C C

;.,4

1yy cm9824912I2I

;,;max

3y

yy cm29140

7982W

zI

W

53

./,,

,max adm2

x σcmkN701429140

52062σ

s t

1,1270,817

5,85,8

z |Qz|=17,5 kN

0,0952

xzBlK

x

14,70

My=20,625 kNm

Cy70,49

1,1271,484

0,095214,70

- проверка на тангенциалните напрежения

Застрашено сечение е това, при което разрезното усилие zQ по модул има

максимална стойност. В случая това е сечение lyavoB , за което ., kN517Qz

Стойностите на тангенциалните напрежения на нивата на характерните точки

в това сечение се определят по формулата

.y

yzxz Ib

SQτ

Освен центъра на тежестта на напречното сечение други характерни точки са

тези, в които се сменя ширината му b .

За избраното сечение 4y cm982I .

Статичните моменти на различните нива се изчисляват по следния начин:

0S20S 1yy ;

3y cm68184020S ,,. ;

32y cm9761

28107810611S ,,.,.,,

.

На нивото на всяка характерна точка от напречното сечение има скок в

тангенциалните напрежения. Причина за това са различните стойности на

ширината b над и под характерната точка. Тангенциалните напрежения при скока

са означени с индексите upper и lower съответно. горна и долна

54

Поради симетрията на напречното сечение спрямо оста y са определени

тангенциалните напрежения само в долната му половина.

;/,.,

,., 2Cxz cmkN4841

982980681517τ

;/,.,

,., 2g2xz cmkN1271

9829809761517τ

./,..

,., 2d2xz cmkN09520

9826119761517τ

- проверка по IV теория за якост

При тази теория на якост се изчислява редуцирано напрежение по формулата:

2xz

2x

IVred τ3σσ .

Застрашени сечения са онези, при които и стойността на yM , и тази на zQ са

големи по модул. В задачата застрашени са сечения lB и rA . С индекса l (left)

се означава сечение, разположено безкрайно близо наляво от точката ( в случая

от точката B ). С индекса r (right) се означава сечение, разположено безкрайно

близо надясно от точката ( в случая от точката A ).

За сечение lB трябва да се построи и диаграмата xσ .

;zIM

σy

yx

;cm/kN127,77.9821000σ 2

1,x

;/,,.,2

2x cmkN303681079821000σ

;/,,., 222IVred cmkN5996127133036σ

За сечение rA трябва да се построят диаграмите xσ и xzτ .

;/,.,2

1x cmkN261479822000σ

55

;/,,.,2

2x cmkN611281079822000σ

Стойностите на xzτ -диаграмата в сечение rA са получени, като стойностите

на xzτ -диаграмата в сечение rB са разделени на числото

.,, 752517

Q

QArz

Blz

s t sMy=20 kNm

14,26

x5,8

0,810,49

7 y C

z

5,8

7

ArBl

|Qz|=2,5 kN

0,1610,0136

xz

0,161

0,212

0,01366,303

7,127

x

7,127

6,303

My=-10 kNm

Ar

12,61

12,61

14,26

./,,., 222IVred cmkN61312161036112σ

в) определяне на вертикалното преместване на сечение C с интегралите

на Максвел-Мор, решени с правилото на Верешчагин.

13 4

1,5

11,523

- M

C

1

Ah=0

B=0,75Av=1,75

B DA

56

20

l=4

20

10++

10-

+=

+

20,625

+

10

;MdsMδEI Cv

;kNm1084.5

8qlf

22

;kNm1905,1.4.10.32

1.4.10.212.4.20.

215,1.3.20δEI

3

Cv

;kNcm10.964,1982.20000EI 27

.cm674,9kNcmkNcm

10.964,110.190δ 2

3

7

6

Cv

57

Курсова задача N8: Общо огъване За показаната греда се иска:


б) да се оразмери с правоъгълно напречно сечение от иглолистен дървен

материал. Размерите му да се определят, като се приеме отношение z

y

MM

bh за

застрашеното сечение и да е в сила 2;5,0bh . Да се построят диаграмите на

нормалните напрежения xσ и на тангенциалните xyτ и xzτ в застрашените

сечения. Дадени са: ;cm/kN1σ 2adm ;cm/kN2,0τ 2

adm

в) да се оразмери с нестандартно сечение от стомана и да се начертае

диаграмата за нормалните напрежения xσ в съответното застрашено сечение

при .cm/kN16σ 2adm

2 my x

z

F=62

q=2

-

-+

+

4

+

3

6

-

4

4

3

Qy

Mz

My

Qz

58


Натоварването на гредата е в двете равнини xy и xz . Това дава

възможност да се построят диаграми на разрезните усилия за две равнинни

задачи. След това се прилага принципът на суперпозицията.

б) оразмеряване на гредата с правоъгълно напречно сечение от иглолистен

дървен материал

Застрашено е сечението в средата на гредата, за което kNm6My и

kNm4Mz .

Изчислява се 2;5,05,14

6MM

bhk

z

y

.

Ако за параметъра k се получи стойност, по-малка от 0,5, то се приема

5,0k . Ако за параметъра k се получи стойност, по-голяма от 2, то се приема

2k .

Съпротивителният момент yW на правоъгълното напречно сечение трябва

да удовлетворява условието adm

zyy σ

MkMW

.

В горната формула огъващите моменти yM и zM са с дименсии kNcm .

14005,1600

Wy

; 3y cm1200W .

За правоъгълно сечение с размери b и h съпротивителният момент

6bhW

2

y .

Заместваме 5,1h

khb и тогава

9hW

3

y .

.cm73,14b;5,110,22b;cm10,22h;1200

9h3

Размерите b и h се избират да са максимално близки до предлаганите на

пазара стандартни сечения. В курсовата работа за b и h ще се приемат най-

близките до необходимите четни стойности.

Прието cm22h;cm16b .

59

Изчисляват се следните геометрични характеристики, като се закръгляват

до цяло число:

;cm1291622.16

6bhW 3

22

y ;cm939616.22

6hbW 3

22

z

;cm141971222.16

12bhI 4

33

y .cm75091216.22

12hbI 3

33

z

Максималното нормално напрежение в застрашеното сечение се изчислява

по формулата:

;WM

WM

σmaxz

z

y

yx ;

939400

1291600

σmax x

;cm/kN891,0426,0465,0xσxσσmax 2"'x

.σσmax admx

Уравнението на нулевата линия има вида yII

.MMz

z

y

y

z .

.15,52φ;287,1φtg;y287,1y7509

14197.64z o

nn

За тангенциалните напрежения застрашени са сеченията при опорите на

гредата. За тях .kN3Q;kN4Q zy

;cm/kN017,022.16

45,1

bhQ

5,1τmax 2yxy

.cm/kN0128,022.16

35,1

bhQ

5,1τmax 2zxz

;cm/kN0213,00128,0017,0τmax 222x

.ττmax admx

60

s

s

s

t

t

16 cm

0,42

6+

n

M52.15°y 6

x

n

0,01

7xy

x

IIx 0,891

0,891

+

-

0,42

6-

0,0128

xzI

0,465

0,465

+

-4 kNm

C 22

z

в) оразмеряване на гредата с нестандартното напречно сечение от стомана

C2

z'

O

1.2a

3.8a

z

Cy

2a2a2a

C1

4a2a

1.8a

1.2a

Определя се положението на главните централни инерционни оси и

инерционните моменти за тях.

;a21

z;a8A IC

21 ;a5

2z;a12A I

C2

2

61

;a20A 2

;OCa8,3a20

a5a12a2a8z 2

22IC

;a87,57a2,1a1212

a2.a6a8,1a812

a4.a2I 4223

223

y

.a67,38

12a6.a2

12a2.a4I 4

33

z

Нормалните напрежения при общо огъване се определят по формулата:

.yIMz

IM

σz

z

y

yx

За застрашеното сечение .ya67,38

400za87,57

600σ 44x

y34,10z37,10a1σ 4x

За точките от нулевата линия 0σx . Уравнението й е

.0y34,10z37,10

.92,44φ;9971,0φtg;y9971,0z:n onn

След построяване на нулевата линия се намират най-отдалечените точки

от нея – А и В. Техните координати спрямо главните централни инерционни оси са

a2,2;a3A и a8,3;aB .

За нормалните напрежения в тези точки се получават следните изрази:

;a

83,53a3.34,10a2,2.37,10a1σ 34A,x

34B,x a746,49a34,10a8,337,10

a1σ .

Необходимо е да бъде изпълнено admx σσmax , т.е. 16≤a

83,533 .

62

cm498,1a ≥

Закръгляването на a се извършва до mm . Прието cm5,1a ..

;cm/kN95,155,183,53σ 23A,x

.cm/kN74,145,1746,49σ 2

3B,x

Тези две стойности по модул са по-малки от .σadm

s

z

x

-

+

B

2aA

M

2a 2a

yC

4a2a

44.92°

n

n

2,2a

3,8a

15.95

14.74

Общо огъване има и в случая, когато натоварването е в една равнина, но тя

не е главна инерционна равнина. Пример за това е представен по-долу.

63

9

x

2

Av=9

-4040

x

3

Ah=0C

M=40

M

Q

---17.95

22 40

0.9

2020

21

9

-+

+

xx

1.51.5

23

B=41

EBDA

Rq=10x3=30

F=20q=10

F, q

Застрашено е сечение В с максимален момент по модул.

Векторът на момента M е перпендикулярен на равнината на натоварване.

Ако е положителен, той се насочва наляво от нея. Ако е отрицателен, този

вектор трябва да бъде насочен надясно.

В показания пример kNm40M .

64

F, qy

z

40My

Mz

.αsin40M;αcos40M zy

Курсова задача N9: Еластична линия на права греда За показаната стоманена греда се иска:


б) да се запишат кинематичните гранични условия за краищата на

участъците;

в) да се определят с аналогията на Мор вертикалното преместване в

сечение B и завъртането в сечение C . Дадени са модулът на Юнг

Дадени са: 24 cmkN102E /. ; 41 cm4500I ; .2

II

2

1

65

4

M =10

Ah=0

A

A1I

C=5

B

q=10

C

Rq=20

2I

F=15

112


;; 0A0H H

;0V ;020C ;kN20C

;;..; kNm10M0215120M0M AAC

Проверка:

;0110110;06.155.204.510;0MA

участък АС: m4x0

x

Q

MA

A

Ah=0

M =10

N

;0H ;0N

;0V ;0Q

;0Ms ;010M .10M

66

С индекса s се означава сечение. В последното условие се записва сума

от моментите на всички товари за мястото на сечението.

участък CB: m2x0

Rq=10 (2-x)

F=15(2-x)/2

2-x

N

M

Q

;0H ;0N

;0V ;;.( 60x10Q021015Q

;0Ms ;./. 0x2152x210M 2

.10x5x5M 2

;0Q 20m50x05x10 extrextr ;,;

x [m] 0 50, 2

Q [kN] 5 15

M [kNm] 10 2511, 0

67

+M

2

A

2

M =80

R =13,333

22,5

11,25

4

M =10

Ah=0

A

A1I

0,5 -

+

15

5

C=5

B

q=10

C

Rq=20

2I

F=15

112

Q

1010

-

101020

1R =40

C=40

C=40

2R =20

1

0,6672

BM =120

B=73.33

68

б) кинематични гранични условия за краищата на участъците

;;) 00α0α1 1A

;04w;0w)2 1лявоC

;00w;0w)3 2дясноC

.04;)4 21дясноC

лявоC

в) прилагане на аналогията на Мор

- определяне на равнодействащите на разпределените товари върху

фиктивната греда

;. 21 kNm40410R

+

=

20

R =13,333

2R =20

1 1

2

2022,5

0.667

;/. 22 kNm202220R

;... kNm1028210

II

8qlf

2

2

12

.,... 23 kNm3313210

32lf

32R

69

- определяне на опорните реакции на фиктивната греда

Греда АС

;;; 2kNm40C040C0V

;;.; 3AAC kNm80M0M2400M

Проверка:

;;..; 01601600240804400MA

Греда АС

;,;,; 2kNm3373C033132040B0V

;;.,,..; 3BBB kNm120M013313333120240M0M

Проверка:

;,,;.,.,,.; 06614666146023373120133136670200MC

- определяне на огъващия момент M в сечение на фиктивната греда, за

което се търси преместването, и на срязващата сила Q в сечение на фиктивната

греда, за което се търси завъртането.

0

BM120

73.333

;kNm120wEI;kNm120M 3B1

3B

QC

400

;; 2C1

2C kNm40αEIkNm40Q

70

;... 2741 kNcm1094500102EI

;,.

. cm3331109

10120w 7

6

B

.,,.

. 07

4

C 2550rad00440109

1040α

Курсова задача N10: Специално огъване, комбинирано с опън

или натиск. Интеграли на Максвел-Мор



б) да се оразмери участък АС с I - профил по IV-та теория на якост и да

се построят диаграмите на напреженията в изследваните сечения.

в) да се определи с интегралите на Максвел-Мор, решени с правилото на

Верешчагин, вертикалното преместване на точка A .

;cm/kN20000E 2

.cm/kN10τ;cm/kN16σ;m2,0A/I 2adm

2adm

2

71

I

IA

AC

4

4

3

10080

3

40kN/m

Bg

;6,0γcos;8,0γsin


IA

A100

45

60

45

43

4

100

3

220 4

10045

80

40kN/m

C

B

C

100

45

Системата е разчленена и са получени означените по-горе реакции и

компоненти на ставната сила.

участък АС: m4x0

72

45

60 x/2

NM

Q

x

40x

;0H ;45N

;0V ;60x40Qz

;0Ms ;0x602/x.x40My .x60x20M 2y

С индекса s се означава сечение. В последното условие се записва сума от

моментите на всички товари за мястото на сечението.

;4;0m5,140/60x;060x40 extr

mx 0 5,1 4

kNQz 60 100

kNmMy 0 45 80

участък CB: m5x0

73

45100

x

Q M

N

100

x

y

1

1

;0Fi

1x,i ;0γcos45γsin100N ;107N

;0Fi

1y,i ;24Q;0γsin45γcos100Q zz

;0Ms ;0x.γsin45x.γcos100100My

.100x24My

] mx 0 5

kNmMy 100 220

74

3 34

220

-

-

3107

45

43

N

Qz

+

-

24

-1,5

100

4

43

60

3

My

-+

- 100

45

80

44 -

75

б) оразмеряване и проверка по IV теория за якост

- избиране на профила от удовлетворяване на условието

admy

yx σ

WMmax

AN

σmax

Застрашено сечение е C с kN45N;kNm80Mmax y .

16W

100.80A

45σmaxy

x

75

;cm500W;16100.80W 3

yy

Проверяваме с I 30а с 3y

2 cm518W;cm9,49A .

admx2

x σσmax;cm/kN346,16518

100.809,49

45σmax ;

Опитваме с I 33 с 3y

2 cm597W;cm8,53A .

.σσmax

;cm/kN236,14400,13836,0597

100.808,53

45σmax

admx

2x

Остава I 33 с 3y

4y cm3390S;cm9840I .

Диаграмата на нормалните напрежения в сечение С се получава чрез

събиране на диаграмата, породена само от нормалната сила kN45N ,и тази,

породена само от огъващия момент kNm80My .

s s s t

y

13,34

0,836

12,56

12,50

0,7

14 cm

16,5

16,5

z

=+

N=-45My=-80

My=-80N=-45

x CII

x CI

x C

-14,24

+

13,40

13,40

0,836

0,836+

-

-

xz C

|Qz|=100

0,181

0,181

3,629

4,9223,629

2

1

- проверка на тангенциалните напрежения

Застрашено сечение е това, при което разрезното усилие zQ по модул има

максимална стойност. В случая това е сечение C , за което .kN100Qz

Стойностите на тангенциалните напрежения на нивата на характерните точки

в това сечение се определят по формулата

76

.y

yzxz Ib

SQτ

32,y cm94,249

212,15,16.12,1.14S

.

Поради симетрията на напречното сечение спрямо оста y са определени

тангенциалните напрежения само в долната му половина.

;cm/kN922,49840.7,0339.100

xzτ 2C

;cm/kN629,39840.7,0

94,249.100xzτ 2g2

2d2 cm/kN181,09840.14

94,249.100xzτ .

- проверка по IV теория за якост

При тази теория на якост се изчислява редуцирано напрежение по формулата:

2xz

2x

IVred τ3σσ .

Застрашени сечения са онези, при които и стойността на yM , и тази на zQ са

големи по модул. В задачата застрашено е сечение C .

;zIM

σ 2y

y''2,x ;cm/kN504,1212,15,16

9840100.80σ 2''

2,x

.cm/kN747,14629,3.3340,13σ 222IVred

в) определяне с интегралите на Максвел-Мор, решени с правилото на

Верешчагин, вертикалното преместване на точка A .

77

3 343

-

-

30,45

0,75

43

N

+

44 -

1,25

F=1

M

;kNm25,125625,1.5.75AI2.

25.2201.

25.100δEI 2

Av

;kNcm10.68,199840.20000EI 27

.cm0638,010.58,19

10.25,12567

4

Av

78

Курсова задача N11: Нецентричен опън / натиск. Ядро на

сечението. За показаната чугунена колона се иска:

а) при допустими напрежения 2cadm cmkN10σ /, , 2

tadm cmkN5σ /,

да се определи големината на натисковата сила F , приложена в точка 0C от

напречното сечение, и да се построи диаграмата на нормалните напрежения xσ ;


6

0C4

6 cm

4

а) определяне на допустимата опънна сила и построяване на диаграмата

на нормалните напрежения

79

66

0

5,74

26,

258

z'z

C44

yCC

y11

2y2C

3yC3

4,56

0

3,25

8

1,74

2

O

;cm698,1π34.4

π3R4

;cm4OCz;cm2426.8A 1

'1C

21

;cm936OCz;cm486.8A 2'

2C2

2

;cm302,10698,112OCz;cm13,2524.πA 3

'3C

22

3

;cm87,46A;AAAA 2321

.OCcm742,587,46

302,10.13,259.484.24z'C

;IIII 3,y2,y1,yy

;cm83,120742,1.24366.8I 42

3

1,y

;cm50,653258,3.48126.8I 42

3

2,y

80

;cm65,55056,4.13,254.1098,0I 4243,y

.cm68,223I 4y

;IIII 3,z2,z1,zz

;cm64488.6I 4

3

1,z

;cm256128.6I 4

3

2,z

;cm53,1004.3927,0I 443,z

.cm47,219I 4z

.cm683,487,4647,219i;cm772,4

87,4668,223i 22

z22

y

;i

zzi

yy1

AFσ 2

y

o2z

ox

258,6;4Co

;

772,4258,6.z

683,44y1

87,46Fσx

;763,0z

171,1y1

87,46Fσx

;0σ:n x

;1763,0z

171,1y;0

763,0z

171,1y1

Отрезите на нулевата линия от осите y и z са cm171,1ny и

cm763,0nz .

Най-отдалечените точки от нулевата линия са 742,5;0O и

258,6;4Co .

81

;F139,0763,0742,5

171,101

87,46Fσ o,x

(натиск)

;F269,0763,0258,0

171,141

87,46F

oσ C,x

(опън)

За чугунената колона са дадени допустимите напрежения 2

cadm cmkN10σ /, , 2tadm cmkN5σ /, .

;kN94,71F;10F139,0

;kN59,18F;5F269,0

Прието .kN18F

;cm/kN502,218.139,0σ 2o,x

.cm/kN840,418.269,0oσ 2C,x

n

4,840

n2,502-

+O

6,25

85,

742

Cy

4 4 0C

66 xs

б) построяване на ядрото на напречното сечение

.n

772,4n

iz;

n683,4

niy

zz

2y

oyy

2z

o

82

тангенти отрез yn отрез zn

yo n

683,4y

z

o n772,4z

точки

1n 828,3 742,5 223,1 831,0 1

2n 4 171,1 0 2

3n 258,6 0 763,0 3

3 4nn2

6

Cy54

21

n5n1

4nn2

n33n44

6

z

5n n1

83

Курсова задача N12: Устойчивост на центрично натиснати

пръти


а) да се определи допустимата натискова сила F ;

б) да се определи коефициентът на сигурност при загуба на устойчивост.

U20

L200.125.12l=2m

F=?

а) определяне на допустимата натискова сила F

20 c

m

2,07z

Cy

7,6

;cm113I;cm1520I;cm4,23A 4z

4y

2

84

20 c

mdC

z

y

2,83

6,54

12,5

;cm503I;cm482I;cm1568I;cm9,37A 4yz

4z

4y

2

20 cm

6,54

2,07

5,32

3

2y

9,24

7

1y

2,83

y'

3,28

7

z2

1

1zC

z

C

y

z'

C2

5,567

2,737 4,433

;cm96,51z;cm83,21y;cm9,37A 'C

'C

21

;cm57,142z;cm102y;cm4,23A 'C

'C

22

;cm3,614,239,37AAA 221

;cm567,53,61

10.4,2383,2.9,37y 'C

85

.cm247,93,61

57,14.4,2396,5.9,37z'C

;III 2y1yy

;cm49,891287,3.9,37482I 421y

;cm02.776323,5.4,23113I 422y

.cm51.166702.77649,891I 4y

;III 2z1zz

;cm92,1851737,2.9,371568I 421z

;cm84,1979433,4.4,231520I 422z

.cm76,383184,197992,1851I 4z

;III 2yz1yzyz

;cm97,843287,3.737,2.9,37503I 41yz

;cm17,552323,5433,4.4,23I 42yz

.cm14,139617,55297,843I 4yz

;I2

II2

III 2

yz

2zyzy

min

;14,13962

76,383151.16672

76,383151.1667I 2

2

min

;41.176664.2749Imin

;cm23.983I 4min

;cm005,43,6123.983

i;AI

i minmin

min

86

;cm400200.2l;lκl oo

;88.99005,4400

;il

min

o

Отчетено .600,0

;σAφF admadm ;kN48.58816.3,61.600,0Fadm

;10588.99 Прътът е нестроен.

;cm/kN21,1988.99.112,04,30;112,04,30 2crcr

;kN57,11773,61.21,19F;AF crcrcr

.248.58857.1177

;FF

adm

cr

Documents

Sbornik s Kz