Sc Reciprocation

7/23/2019 Sc Reciprocation

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配極的基本性質及其應用

配極（

Reciprocation ）的定義：

在平面上取定一個以O為中心，r 為半徑的圓!"#$"O的%一& P ，'一

()* l +* P 的,-. P ′/0("1)OP

234() l 為& P 的極)（ polar ），& P 為() l 的極&（ pole）

l

OP P'

l

O P

l

O

P' P

配極的基本性質：

1. 5 A在 B的極)上，6 B在 A的極)上

2. 5 P 在圓O78，* P '圓O的9:;)<圓O=;" M > N ，6 MN ? P

的極)

l

R

P

S

Q

M

N

3. 5*圓O8一& P '一()<圓O@" R>S ，)A RS B P 的極)=@"

Q，6 P >QCBDE R>S （FGHIJ R>S CBDE P >Q）KLMJ

SQ

PS

RQ

PR=

NO以 RS 為(徑的圓'為,-圓，6Q? P 的,-.

P 1Q，R 5Q



4. ST A> B>C > D?,-圓上U&， ABBCD（V其WX)）@" P ， AC B

BD（V其WX)）@"Q， ADB BC （V其WX)）@" R，6 P 的極)

為QR$Y R的極)為 PQ，"?Q的極)為 PR

B C

D

A

P

R

Q

性質的Z[：

1. T A′B B′D\為 AB B（!"圓O）的,-.，"?]

BOOB AOOA ′×=′× ，

^_ A> A′> B> B′U&R圓`以

A在 B的極)上 ⇔°=′∠⇔°=′∠⇔ 9090 A A B B B A B在 A的極)上

O

A A'

B

B'

O B B'

A

A'

O

A' A

B

B'

O A' A

B=B'

O A=A'

B

B'

P 2Q，R 5Q



2. TQ為OP B;&a MN 的@&，bcd MN OP ⊥ / PM OM ⊥ ，e1f

定YIg 2OM OQOP =× ，`以Q? P 的,-.， MN ? P 的極)

P

N

M

O QA B

hijk一&：5 A, B?()OP <圓O的9個@&，6 ( A, B, P , Q)?C

BUlm,75(徑 AB上]9& P , Qno ( A, B, P , Q)?CBUlm，

6 P >Qp為,-.

3. 為qZ[ PQCBDE RS ，23T S R ′′ 為()OP 上的(徑，r R R ′B

S S ′的

@&為 X （stuv X 為wxy&）， S R ′B S R′ 的@&為 Y ，以zZ[

XY ?& P 的極)e" S R ′′ ?(徑， °=′′∠=′′∠ 90S S RS R R ，`以 Y

? S R X ′′∆ 的0心，_/ OP XY ⊥

T XY @ RS "Q，@ S R ′′ "Q′以 R為{f中心，|Ulm S RQ P ′′′′ {fd() XY 上，}為UlmQQ′ XY ~以 S 為{f中心，I•UlmQQ′

XY {f€d()OP 上}為Ulm RS Q P ′′′′ 在9{f*‚中，Ulm

的@ƒ（Cross ratio）„…#†，`以@ƒ )()( RS Q P S RQ P ′′′′=′′′′ ，hF

G" Q P ′′ CBDE S R ′′ ^_Q′? P ′的,-.， XY ?& P 的極)

‡ˆ，bcdUlm PQRS ?Ulm S RQ P ′′′′ 的{f（{f中心為 X ），

`以 PQRS ‰?CBUlm， PQCBDE RS

O P=P'R'

R

S

S'

X

Y

Q

Q'

P 3Q，R 5Q



Š：其‹， S RQ P ′′′′ ?CBUlmh個Œ‹I以用Ž定YB‘’“

定Y”以Z[，h?一個–—的Z˜

4. ™šZ[ P 的極)為QRT()QR@ AB" E ，@CD" F ›*9

的中心{f（œ性質 3.的Z[）IZ[ PE CBDE AB，e性質 3.Ig

P 的極)* E ，$Y P 的極)* F ，`以QRž? P 的極)

ŸHIg PQ? R的極)，"?Q的極)* R（$Y* P ）， PR?Q

的極)

A

D

CB

Q

R

P

E

F

配極的應用：

¡一：U¢£ ABCD8;"圓，;&為 E > F >G> H ¤Z：() AC > BD> EG> FH R&

¥：5 EF // HG/ HE // GF ，6 EFGH ?¦£，§¨

©ª}«#¬ST EF < HG=@

T EGB FH @" X ，以zZ[ BD* X

r P 為 EF B HG的@&，6 P （!"g圓）

的極)* X （配極性質 4.）

®一¯面， B的極) EF * P ，`以 P 的極)* B

$Y， P 的極)* D

e" P 的極)$u* B> X > D°&，

P 4Q，R 5Q

H

G

E

F

A

B

C

D

P

X

H

F

E

G

D

C

B

A



± B> X > D°&R)（$Y A> X >C R)）

¡²：(CMO 1996P一³)T H ?´µ ABC ∆ 的0心，e A¶以 BC 為(徑的

圓';) AP > AQ，;&D\為 P >Q¤Z： P > H >Q°&R)

¥：™šbcd& A!"g圓的極)? PQ（配極性質 2.）

T AB> AC D\<圓@" X >Y ，©ª BY BCX @" ABC ∆ 的0心 H ，"?

A的極)* H （配極性質 4.）

`以 P > H >Q°&R)

B C

A

X Y

PQ

H

¡°：(CMO 1997PU³)U¢£ ABCD·¸"圓，其¢ AB< DC 的WX)@

"& P ， AD< BC 的WX)@"&Q，e Q'圓的9:;)QE BQF ，

;&D\為 E > F

¤Z： P > E > F °&R)

¥：e配極的性質 2.g¹&Q!"g圓的極)? EF ®一¯面e性質 4.Ig

Q的極)* P ，^_ P > E > F °&R)

P 5Q，R 5Q



A B

C

D

Q

P

E

F

P 6Q，R 5Q

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