Scalar - dirac.daegu.ac.krdirac.daegu.ac.kr/pub/vector/벡터의 기본 개념.pdf · 평행사변형법으로한다. a & b & 즉,

Scalar

743

© Prof. Byeong June MIN, Daegu University

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http://en.wikipedia.org/wiki/File:RomanAbacusRecon.jpg

http://en.wikipedia.org/wiki/File:Yupana_1.GIF

Vector

543

3

4

5

속도, 위치, 힘 등의 물리량의 덧셈은vector 처럼 더해짂다.

vector 량은 크기와 방향을 갖고 있다.따라서 vector 량을 기술할 때에는 크기와 방향을 모두 명시하여야 한다.

vector 량을 scalar 량과 구분하기 위해vector 량은 굵은 활자로 표시하거나위에 화살표를 표시한다.(예) 속도(velocity) v 또는v


Vector의 표현

크기 : 화살표의 길이

벡터 A

A

방향 : 화살표의 방향

(예) 속도 벡터 v

벡터를 평행이동하여도 의미에는 변화가 없다

][s

mvx

][s

mvy

또는, 벡터 의 x 성분과 y 성분을 밝혀도 된다.

yx AA ,

A


A

x

y

이 때 x 축에 수선을 그어보자.

수선이 x 축과 만난 지점만큼이벡터 A 의 x 성분이다.

xA

벡터 A 의 x 성분© Prof. Byeong June MIN, Daegu University

A

x

y

마찬가지로 y 축에수선을 그어보자.

수선이 y 축과 만난 지점만큼이벡터 A 의 y 성분이다.

xA

yA


A

x

y

벡터 A 는 직교좌표계에서x 성분과 y 성분으로 표현한다.

xA

yA

yx AAA ,

그림에서 한 칸이 1 이라면, 벡터 A 는 얼마인가?

2,5A


x

y벡터 A 와 벡터 B 의 덧셈은평행사변형법으로 한다.

A

B

벡터의 덧셈


x


A

B

즉, 벡터 A 와 벡터 B 를 평행이동시켜서 평행사변형을 만들었을 때, 대각선이 그 합이된다.

BA

벡터의 덧셈


x


A

B

즉, 벡터 A 와 벡터 B 를 평행이동시켜서 평행사변형을 만들었을 때, 대각선이 그 합이된다.

BA

그림에서 A + B 는 얼마인가?

2,5A

5,2B

52,25 BA

7,7

벡터의 덧셈


x

y

A

B

BA



1,4A

6,2B

x

y

A

B

BA


1,4A

6,2B

61,24 BA

7,6


(예) 일 때, 를 구하여라.

Vector 와 scalar 의 곱

A

A

2

A

방향은 변화하지 않으면서 크기만 바뀐다

5,3A

A

2 )10,6(2 A


x

y

벡터의 뺄셈 BA

A

B

BA

B

©2010. Prof. Byeong June MIN, Department of Physics, Daegu University

x

y

벡터의 뺄셈 BA

A

B

BA

B

BA

그림에서 한 칸이 1 이라면, A - B 는 얼마인가?

1,4A

3,2B


x

y

벡터의 뺄셈 BA

A

B

BA

B

BA

그림에서 한 칸이 1 이라면, A - B 는 얼마인가?

1,4A

3,2B

31,24 BA

2,2


벡터의 크기

yx AAA ,

A

x

y

xA

yA

앞에서 벡터 A 를 x-성분과y-성분으로 표현하였다.

이 때, 벡터 A 의 크기는바로 벡터 A 의 길이이다.

A

또는 A

22

yx AAA

그림에서 A 는 얼마인가?

2,5A

22 25 A

29


벡터의 크기

yx AAA ,

A

x

y

xA

yA

앞에서 벡터 A 를 x-성분과y-성분으로 표현하였다.

이 때, 벡터 A 의 크기는바로 벡터 A 의 길이이다.

A

또는 A

22

yx AAA

그림에서 A 는 얼마인가?

2,5A

22 25 A

29


단위 벡터 의 크기는1 이며, 차원이 없다.

단위 벡터

yx AAA ,

A

x

y

xA

yA

어떤 벡터 A 의 방향 성분만뽑아낸 것이 단위벡터이다.

22

yx AAA

단위 벡터의 크기는 1 이며,차원이 없다.

A

A

AA

ˆ

A

예를 들어, 속도 벡터 V 의경우, x-성분 Vx 나 y-성분Vy 의 차원이 (길이/시갂)이다.

V


단위 벡터

s

m

s

mA 2,5

A

x

y

xA

yA

어떤 벡터 A 가 속도 벡터라하자.

22

yx AAA

22

25

s

m

s

m

s

m29

A

A

그림에서 1 칸은 1 m/s 를나타낸다 하자.


단위 벡터

s

m

s

mA 2,5

A

x

y

xA

yA

s

mA 29

A

A

A

AA

ˆ

s

m

s

m

s

m

29

2,5

29

2,

29

5


x

y

연습문제. 그림에서 힘 벡터 A 방향의 단위벡터를 구하여라.

NA 5,7

NA 22 57

N74

A

AA

ˆ

74

5,

74

7


xx

yx 방향과 y 방향의 단위 벡터

x 방향의 단위 벡터를 x

y 방향의 단위 벡터를 y

라 한다.

y


라고 쓰기도 한다.

zyx ˆ,ˆ,ˆ

kji ˆ,ˆ,ˆ

대신,

x

y단위 벡터를 이용한 벡터의 표현

벡터 A 는 단위 벡터의 합으로표현할 수 있다.

x

y

yx AAA ,

xAxˆ

x 방향 단위 벡터를 Ax 배

y 방향 단위 벡터를 Ay 배yAyˆ

한 것을 더하면 벡터 A 가 된다.

yx AAA ,

yAxA yxˆˆ


x

y단위 벡터를 이용한 벡터의 표현

x

y

yx ˆ5ˆ7

그림에서 한 칸이 1 일 때, 벡터 A 를 단위 벡터로표현하여라.

5,7A

x7

y5


x

y

A

B

먼저, 벡터 A 와 벡터 B 를단위 벡터를 사용하여 표현하자.

BA

yBxB

yAxABA

yx

yx

ˆˆ

ˆˆ

단위 벡터를 이용한 벡터의 덧셈

yAxAA yxˆˆ

yBxBB yxˆˆ

yBA

xBABA

yy

xx

ˆ

ˆ

xAxˆ

yAyˆ xBx

ˆ

yByˆ


x

y

A

B

BA

연습문제.

그림에서 A + B 를 단위벡터로 표현하여 계산하라.

단위 벡터를 이용한 벡터의 덧셈

yxA ˆ1ˆ4

yxB ˆ6ˆ2

yxyxBA ˆ6ˆ2ˆ1ˆ4

yxBA ˆ7ˆ6


x

y벡터의 스칼라 곱

A

B

두 벡터를 곱하여 스칼라(숫자)가 나오는 것을 스칼라 곱또는 내적이라고 한다.

BA

내적을 표현하기 위해서는반드시 중갂에 점을 찍어야한다.

cosAB

cosBA

//AB

//B


예제. 다음을 계산하여라.

yx ˆˆ

xx ˆˆ

cosˆˆ yx 90cos11 0

cosˆˆ xx 0cos11 1

예제. 다음 그림에서 A = 1 , B = 2, = 30 ° 이다.

A

B

BA

cosAB

30cos21

3


x

y직교하는 두 벡터의 스칼라 곱

서로 직교하는 두 벡터

A

B

와

BA

cosBABA

두 벡터의 사이각은 90도이므로,

090coscos

0BA

직교하는 두 벡터의 스칼라 곱은 0 이다.


A

B

가 있다.

를 계산하여라.

x

y단위 벡터 자신과의 스칼라 곱 x 방향의 단위 벡터를 x

y 방향의 단위 벡터를 y

라 하자.

x

y

이 때 는 얼마인가?xx ˆˆ

cosˆˆˆˆ xxxx

단위 벡터 자신과의 사이각은0도이므로,

10coscos

1ˆˆ xx

단위 벡터와 자신과의 스칼라 곱은 1 이다.


단위 벡터의 크기는 1 이고,

x

y직교하는 두 단위 벡터의 스칼라 곱

yx ˆˆ

cosBABA

두 벡터의 사이각은 90도이므로,

090coscos

0ˆˆ yx


를 계산하여라.

x

y

를 적용하면,

cosˆˆˆˆ yxyx

벡터의 크기 yx AAA ,

A

x

y

xA

yA

A

또는 A

22

yx AAA

벡터 A 와 자기자신과의스칼라 곱은 얼마인가?

0cosAAAA

AA

2A

벡터와 자신과의 스칼라 곱은 벡터의 크기의 제곱과 같다.


단위 벡터로 표현된 두 벡터의 스칼라 곱

두 벡터의 스칼라 곱을 구해보자.


yAxAA yxˆˆ

yBxBB yxˆˆ

yBxByAxABA yxyxˆˆˆˆ

yByAxByAyBxAxBxA yyxyyxxxˆˆˆˆˆˆˆˆ

0ˆˆ yx

yyxx BABABA

이므로1ˆˆ xx

1ˆˆ yy

x

y

A

B

yyxx BABABA

yxA ˆ1ˆ6

yxB ˆ5ˆ3


단위 벡터로 표현된 두 벡터의 스칼라 곱

그림에서 한 칸이 1 이라면, A . B 는 얼마인가?

5136

23

예제. 다음 두 벡터의 내적을 구하여라.

)5,3,2(A

251312

)2,1,1(B

BA

zzyyxx BABABA

11


x

y

A

B

yxA ˆ1ˆ6

yxB ˆ5ˆ3


단위 벡터로 표현된 두 벡터의 사잇각 구하기

그림에서 A 와 B 의 사잇각은 얼마인가?

23 yyxx BABABA

cosBA

22 16 A

22 53 B

3437

23cos

57.49

(예제) 정육면체의 체대각선 두 개 사이의 각을 구하라.

0,1,1x

y

z

1,0,0

A

B

1,1,1 A

1,1,1B

3A

3B

1111111 BA

cosAB cos3

3

1cos 52.70


x

y벡터의 벡터 곱

A

B

두 벡터를 곱하여 벡터가나오는 것을 벡터 곱 또는외적이라고 한다.

BA

외적을 표현하기 위해서는반드시 중갂에 X 를표기하여야 한다.

sinAB

sinBA

ABB


A X B 의 크기 :

x

y벡터의 벡터 곱

A

B


A X B 의 방향 :

A

B

벡터 A 를 벡터 B 방향으로돌려주는 회젂을 오른손 네손가락으로 가리켜보아라.

이 때 엄지손가락은 지면을뚫고 나오는 방향이 될 것이다. 이것이 바로 벡터 곱의방향이다.

http://en.wikipedia.org/wiki/File:Phillips_screw_head.jpg

notation


오른손잡이 좌표계와 왼손잡이 좌표계


zyx ˆˆˆ

오른손잡이가볼 때 이 좌표계에서는

zyx ˆˆˆ

벡터의 외적


zyx ˆˆˆ xzy ˆˆˆ yxz ˆˆˆ

BA

zByBxBzAyAxA zyxzyxˆˆˆˆˆˆ

zByBxBxA zyxxˆˆˆˆ

zByBxByA zyxyˆˆˆˆ

zByBxBzA zyxzˆˆˆˆ

yzzy BABAx ˆ

0ˆˆ xx

zxxz BABAy ˆ

xyyx BABAz ˆ

벡터의 외적


zyx

zyx

BBB

AAA

zyx

BA

ˆˆˆ

yzzy BABAx ˆ

zxxz BABAy ˆ

xyyx BABAz ˆ

(예제) 이고 이다. 를구하여라.


zyx

zyx

BBB

AAA

zyx

BA

ˆˆˆ

zyxA ˆˆ3ˆ2

zyxB ˆ3ˆ2ˆ

BA

321

132

ˆˆˆ

zyx

xyzzyx ˆ2ˆ63ˆ4ˆˆ9

zyx ˆ7ˆ5ˆ11

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