Scattering in Meccanica Quantistica

Fabrizio Bianchi 2

Sommario

• Trattazione indipendente dal tempo dello scattering

• Sviluppo in onde parziali

• Teorema ottico

• Regola d’oro e scattering

• Esempio: potenziale di Yukawa

• Scattering elastico ed anelastico

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Formule Utili

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4)(cos)(cos

2

2cos

cos

cos

'

4 '

ldPP

i

eesenx

eex

isenxxe

isenxxe

llll

ixix

ixix

ix

ix

Formule di Eulero

Ortonormalita’ dei Polinomi di Legendre

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Scattering in MQ

• Diversi modi di descrivere i processi di collisione/decadimento:

• Modo indipendente dal tempo– Descrizione in termini di stati di scattering, analoghi a

quelli stazionari– Soluzione dell’equazione di Schroedinger, sviluppo in

onde parziali

• Modo dipendente dal tempo– Descrizione in termini di evoluzione temporale– Applicazione della regola d’oro

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Trattazione Indipendente dal Tempo (1)

• Diffusione di una particella da un potenziale di range finito.– A grande distanza gli stati asintotici saranno stati di particella libera.

• Fascio incidente ha direzione e momento ben definiti: onda piana progressiva lungo l’asse z: eikz

• Scattering elastico: cambiamento di direzione della particella incidente conservando l’energia.

• Fascio diffuso non ha una direzione particolare, ma conserva il modulo del momento del fascio incidente. Puo’ essere rappresentato da un’onda sferica uscente dal centro di diffusione: eikr/r

• Soluzione dell’equazione di Schroedinger sara’ una combinazione lineare dell’onda incidente e quella diffusa:

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Trattazione Indipendente dal Tempo (2)

• f(q) Ampiezza di Scattering, [L]

• Probabilita’ per unita’ di tempo che la particella diffonda nell’elemento di superficie dS=r2dW e’ dato dal flusso per dS (ossia |Y|2 per la velocita’ v per dS):

• Dividendo per v (flusso onda incidente) si ha la sezione d’urto differenziale:

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Sviluppo in Onde Parziali (1)• Soluzione generale dell’equazione di Schroedinger in

potenziale centrale, richiedendo simmetria assiale attorno all’asse z (direzione particelle incidenti):

• Pl sono i polinomi di Legendre. Le funzioni radiali Rl sono soluzioni dell’eq. radiale:

• Per kr>>1, hanno la forma asintotica:

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Sviluppo in Onde Parziali (2)• Lo sviluppo della slide 6 corrisponde ad analizzare lo stato di

scattering in autostali del momento angolare L. Possiamo scrivere:

• Un onda piana, nel limite asintotico si puo’ scrivere come:

• D’altro canto dall’espressione di Y della slide 4:ikz

ikr

er

ef )(

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Sviluppo in Onde Parziali (3)• Quindi:

1)(cos)12(2

11)(cos)12(

2)(

1)(cos)12(2

)(cos)12(2

)(cos)12(2

)(cos)12(2

)(cos)12(2

)(cos)12(2

)(

)(cos)12(2

)(cos)12(2

)(

222

2)2

(

)2

()2

(2)2

()2

(

)2

()2

(2)2

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(

)2

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()2

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(

)2

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(

ll

l

l

l

lll

ll

il

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ll

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lkrilkriilkrilkri

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l

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ll

l

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ll

lilkriilkri

ll

ilikr

lkrilkri

ll

llkrilkri

ll

l

ikr

ePlik

eePlik

if

eePlikr

i

eeeeePlikr

i

eePlikr

ieeePli

kr

i

eePlikr

ieeeePlei

kr

i

r

ef

eePlikr

ieePlA

kr

i

r

ef

• Ponendo Al=iledl

• Da cui:

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Sviluppo in Onde Parziali (4)• L’ampiezza di scattering e’ completamente determinata dagli

sfasamenti dl, a loro volta determinati dal potenziale.

• Il processo di scattering e’ descritto da un insieme (in principio infinito) di ampiezze parziali ognuna corrispondente ad un particolare valore di l. L’ampiezza l-esima e’ data da:

• La sezione d’urto totale :

• diventa, sfruttando la relazione di ortonormalita’ dei polinomi di Legendre,:

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Sviluppo in Onde Parziali (5)Poiche’:

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Regola d’Oro e Scattering (1)

Probabilita’ di transizione per unita’ di tempo:

Stati iniziale e finale: Onde piane

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Regola d’Oro e Scattering (2)

• Caso di diffusione elastica da un potenziale fisso

• Sezione d’urto differenziale:

• Eventualmente: Generalizzazione– Numeratore– Prob. di trans./Unita' di ang. solido, Energia, ..., Unita' di tempo

• Es. Onde piane con direzione entro dW a ( ,q f)

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Regola d’Oro e Scattering (3)

Probabilita’ di transizione verso un gruppo di stati del continuo:

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Regola d’Oro e Scattering (4)

Esempio: scattering elastico:

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Regola d’Oro e Scattering (5)

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Esempio: Potenziale di Yukawa (1)

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Esempio: Potenziale di Yukawa (2)

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Esempio: Potenziale di Yukawa (3)

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Scattering fra Particelle

• Esempio considerato: interazione particella – potenziale

• Esempi piu’ realistici: interazione particella – particella

• Regole generali per collisioni non relativistiche:

• Conservazione/Non conservazione energia cinetica totale– Scattering elastico/anelastico

• Conservazione quantita’ di moto totale

• Conservazione mom. angolare totale:– Scattering: Stati iniziale e finale non hanno di solito mom.

angolare definito– Decadimenti: Stati iniziale e finale hanno mom. angolare definito

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Scattering Elastico vs Anelastico

• Per collisioni e decadimenti in approssimazione non relativistica

• Scattering elastico:– Lo stato interno di proiettile e bersaglio restano invariati nella

collisione– Conservazione della massa– Conservazione dell’energia totale (cinetica)– Conservazione della quantita’ di moto totale

• Scattering anelastico:– Lo stato interno di proiettile e/o bersaglio cambia nella collisione– Conservazione della massa– Conservazione dell’energia totale (cinetica+potenziale)– Conservazione della quantita’ di moto totale