Sce Mokrani Ibtissam

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  • Rpublique Algrienne Dmocratique et Populaire

    Ministre de lEnseignement Suprieur et de la Recherche Scientifique

    MEMOIREDEMAGISTERPrsent Pour lObtention du Diplme de Magister en Mathmatiques

    Option: Analyse Fonctionnelle

    TThhmmee::

    Transformation De Fourier DiscrteEt

    Applications

    PPrrsseennttee PPaarr:: MOKRANI IBTISSAMSoutenu publiquement le: 20/01/2014

    Devant le jury compos de:

    Mr. BENAISSA AbdellahMr. NOUI LemnouarMr. DJEFFAL LakhdarMr. KADEM Abdelwahab

    M C A (U. de Batna)Professeur (U. de Batna)M C A (U. de Batna)Professeur (U.de Setif )

    PrsidentRapporteurExaminateurExaminateur

    Universit de BATNA

    Facult des SciencesDpartement de Mathmatiques

  • Ddicaces

    DdicacesJe ddie ce modeste travail :

    A ma mre, Dieu ait son me.A mon pre, que Dieu le protge.

    A mon mari pour son soutien.AMes frres.AMes surs.

    EtA tous ceux qui me sont chers.

    MOKRANI IBTISSAM

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  • Remerciement

    RemerciementJe remercie Dieu tout puissant de mavoir accorder la volont et

    le courage pour raliser ma thse.

    Jexprime ma profonde reconnaissance et mes vifs remerciements Mr.NOUI Lemnouar, Professeur au dpartement de mathmatiques l'Universit de Batna, pour mavoir guide et permis de terminercette thse.

    Un grand merci Mr. BENAISSA Abdellah, Matre deconfrences l'Universit de Batna, pour avoir accept deprsider ce Jury.

    Mes remerciements les plus logieux Mr. DJEFFAL Lakhdar,Matre de confrences au dpartement de mathmatiques l'Universit de Batna, et Mr. KADEM Abdelwahab, Professeur l'Universit de Setif, de mavoir honor par leur prsence au juryautant quexaminateurs.

    Je vous remercie :

    Mon pre, que Dieu le protge.

    Mon mari pour son soutien.

    Mes frres et mes surs, merci pour vos encouragements, avecune pense particulire ma grand-mre et ma tante.

    A tous ceux qui mont enseign, je vous suis trs reconnaissant.A plusieurs proches, et mes amis, qui ont contribues de prs ou de loin

    llaboration de ce travail, je ne serais les nommer toutes, mais jetiens leurs exprimer mes vives remerciements.

    MOKRANI IBTISSAM

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  • zTABLE DES MATIERESIntroduction................ ....... ................................................................................................01Chapitre 1 : Notions prliminaires sur les groupes1-Notions prliminaires sur les groupes .....................................................................031-1 Groupe ......................................................................................................................031-2 Sous groupe ..............................................................................................................041-3 Ordre dun lment et groupe cyclique.........................................................................051-4 Thorme de Lagrange ...............................................................................................071-5 Homomorphismes ......................................................................................................091-6 Groupe quotient ........................................................................................................101-7 Dcomposition des groupes abliens nis .....................................................................101-8 Indexation des lments dun groupe ablien ni .......................................................13Chapitre 2 : Les matrices circulantes2-Les matrices circulantes..............................................................................................152-1 Dniton.......................................................................................................................152-2 Algbre des matrices circulantes ................................................................................15

    2-2-1 Dniton dune algbre ......................................................................................152-2-2 Diagonalisation de .........................................................................................162-2-3 La transforme du Fourrier discrte .................................................................2022-4 Diagonalisation dune matrice circulante ..........................................................20

    2-3 Produit de convolution (discret) ................................................................................242-3-1 Dniton ..........................................................................................................242-3-2 Proprits du produit de convolution ................................................................25

    2-4 Matrices de Toeplitz .................................................................................................252-4-1 Dfinition ..........................................................................................................252-4-2 Proprits des matrices de Toeplitz ..................................................................29

    Chapitre 3 : Caractres dun groupe ni3- Caractres dun groupe ni ..................................................................................313-1 Dnition ..................................................................................................................313-2 Dual dun groupe cyclique: = ...............................................................................323-3 Dual dun groupe ablien ni ....................................................................................343-4 Lalgbre du groupe C [] .........................................................................................34Chapitre 4 : La Transforme de Fourier sur un groupe4 La Transforme de Fourier sur un groupe........................................................... .. 374-1 La transforme de Fourier ..........................................................................................37

    4-1-1 Dniton .................................................................................................... ........ 374-1-2 Thorme.............................................................................................................37

    4-2 Produit de convolution ...............................................................................................38

    TABLE DES MATIERES

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  • TABLE DES MATIERES

    Chapitre 5 : Variantes de la Transforme de Fourier5 Variantes de la Transforme de Fourier.................................................................405-1 La transforme de Fourier discrte .............................................................................40

    5-1-1 Reprsentation matricielle...................................................................................415-1-2 Discrtisation et quantication du signal ..........................................................41

    5-2 Transforme de Fourier rapide ..................................................................................435-3 Transformation de Fourier sur ..............................................................................455-4 Transformation dHadamard......................................................................................

    on de Fourier sur ........................................................................es corps nis.................................................................47

    5-6-1 Rappel sur les corps nis...................................................................................475-6-2 Exemple de construction dun corps ni .........................................................48

    5-7 les applications de la transforme de Fourier discrte ..........................................505-7-1 Produits de deux entiers ...................................................................................505-7-2 Compression d'images .....................................................................................515-7-3 Tatouage d'images .........................................................................................52

    .475-6 Transforme de Fourier sur l

    465-5 Transformati

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  • INTRODUCTION

    Introduction

    La transforme de Fourier et lanalyse frquentielle ou spectrale, sontdes outils fondamentaux pour la comprhension et la mise en uvre denombreuses techniques numriques de traitement des signaux et desimages. On la trouve dans des domaines trs varis.

    On peut citer toutes les applications o il est ncessaire de mettre enforme les signaux mesurs par des capteurs grce un filtrage.

    On lutilise par exemple dans le codage dbit rduit de la parole, lareconnaissance vocale, lamlioration de la qualit des images,lacompression, les transmissions numriques, les nouveaux systmes deradiodiffusion, dans les applications biomdicales (scanner, imagerie parrsonance magntique nuclaire), en astronomie (synthse dimage parinterfromtrie), en modlisation de propagation dondes, en analysespectrale pour ltude de structures molculaires ainsi quencristallographie. Son extension (calculs sur les corps finis) est utilise dansla theorie des codes lineaires concernant les mthodes de correctionderreurs en transmission numrique.

    Elle intervient aussi dans les mthodes envisages en informatiquequantique pour la factorisation de nombres.

    Lobjectif de ce mmoire est ltude de la transforme de fourrierdiscrte, notion utile en thorie et en applications.

    Dans ce mmoire on rappelle les notions mathmatiques ncessairespour aborder ce genre de question.

    Le premier chapitre est consacr aux groupes, groupes cycliques (enparticulier le groupe des racines nime de lunit), dcomposition desgroupes abliens finis.

    Dans le deuxime chapitre, on a introduit les matrices circulantes etleur diagonalisation, outils indispensables pour dfinir la transforme defourrier discrte, ensuite on a dfinit le produit de convolution discret et lesmatrices de Toeplitz .

    Au troisime chapitre les caractres dun groupe fini sont tudis afinde gnraliser la transforme fourrier un groupe quelconque, ce qui faitlobjet du quatrime chapitre.

    1

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  • INTRODUCTION

    Le dernier chapitre est consacr aux variantes de la transforme defourrier suivant le groupe de base, la transforme de fourrier sur le groupecyclique

    n , la transforme dHadamard sur G 2m; et plus

    gnralement sur ZnZ m .

    On termine par la transforme de fourrier sur les corps finis et ondonne quelques exemples dapplication savoir le calcul du produit dedeux polynmes et le produit de deux entiers.

    2

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  • Chapitre 1

    1-Notions prliminaires sur les groupes .

    Dfinitions :

    1-1 Groupe :

    G G Gx,y x.y

    on dit que G, . est un groupe si :

    1) . est un associative.2) il existe un lment neutre 1 : x G : x. 1 1.x x3) tout lment x G admet un inverse x1 : x.x1 x1.x 1 .Si de plus la loi . est commutative : xy yx pour tout x,y G , On dit que

    G est un group commutatif .

    Exemple :

    1) , est un groupe infini .2)

    x y

    un groupe dont llment neutre est la fonction nulle.7)

    n ; est un groupe dont llment neutre est 1.

    Proposition :

    Soit G; . un groupe alors on a les proprits suivantes :1. Llment neutre est unique.2. Tout lment de x a un symtrique unique.

    3

    Chapitre 1 Notions prliminaires sur les groupes

    Soit G un ensemble non vide muni dune loin interne .

    3) , . est un groupe commutatif multiplicatif infini .4) ; nest pas un groupe, X; non plus.5) 1; 1; est un groupe.6) Lensemble ; des applications de dans muni de la loi est

    n est un groupe commutatif fini pour le loi : +x y

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  • Dmonstration :

    Suposons quil existe e1 et e2 deux lments neutres de G, alorse1 e2 e1 car e2 est un lment neutree1 e2 e2 car e1 est un lment neutredonc e1 e2.Supposons quil existe un lment x ayant deux symtriques x1 et x2 donc

    xx1 e et x2 x e alorsx2. x.x1 x2.e x2

    mais par associativit de . on ax2. x.x1 x2.x.x1 e.x1 x1

    et doncx1 x2

    1-2 Sous - groupe :

    x,y H , x.y1 HSi le groupe G est additif , H est un sous - groupe de G si est seulement

    si x,y H x y H.

    Exemple :

    1 - nZ est un sous groupe de Z,.2- Lensemble des nombres pairs est un sous groupe de ; ; mais pas

    lensemble des nombres impairs.3- X : polynmes coefficients dans est un sous-groupe deX;.4- Soit u un vecteur (du plan ou de lespace) alors lensemble des

    vecteurs colinaires u :v tel que k ; v ku

    4

    Chapitre 1 Notions prliminaires sur les groupes

    Soit H une partie non vide du groupe G, . H est un sous - groupe de G si:

    est un sous-groupe du groupe des vecteurs (du plan ou de lespace) muni de l'addition .

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  • 1-3 Ordre dun lment et groupe cyclique .

    On va maintenant donner quelques dfinitions .

    *Ordre dun lment :

    Dfinition :

    Soit G; . un groupe, et soit g G, on note g le sous-groupe engendrpar g; donc g g2; g1; 1; g; g2; . . . . ;

    Proposition :

    Si G; . est un groupe fini, pour tout g G il existe un entier positif kminimal tel que gk 1 et alors g 1; g; g2; . . . . ; gk1

    k sappelle lordre de g et est not ordg. On a de plus ordg card g

    Dmonstration :

    Si G est fini, g est fini donc il existe a et b tel que ga gb donc g |ab | 1donc

    x ,gx 1 est non vide donc il admet un lment minimal : k.On a videmment 1; g; g2; . . . . ; gk1 g, rciproquement soit g un

    lment de gx, effectuons la division euclidienne de xpar k,on obtient x kd r o 0 r k et donc gk gkdr gkdgr grdonc gk 1; g; g2; . . . . ; gk1.Il reste montrer que card card g k et donc que tous les lments de

    1; g; g2; . . . . ; gk1 sont distincts, mais si on avait gx gyavec0 x y k 1alors on aurait gyx 1 o 0 y x k 1

    or ceci est impossible par dfinition de k.

    **Groupe cyclique :

    Dfinition :

    Soit G; . un groupe fini, G est dit cyclique si il existe un lment g de Gtel que G g. On dit que g est un gnrateur de G.

    5

    Chapitre 1 Notions prliminaires sur les groupes

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  • Exemple :

    Le groupe n ; est cyclique, en effet n 1.

    Il faut remarquer que dans un groupe cyclique tous les lments ne sontpas des gnrateurs par exemple dans 10 , 5 0; 5 et 2 0; 2; 4; 6; 8alors que 3 7 10 .

    On va maintenant donner le nombre de gnrateurs dun groupecyclique.

    Proposition :

    Soit G ; . un groupe cyclique de cardinal n. Le nombre de gnrateursde G est n.

    Dmonstration :

    Soit g un gnrateur de G et soit h un lment de G il existe donc unentier positif k n 1

    tel que h gk, on va montrer queG k k n 1

    ce qui donnera le rsultat puisque n est le nombre dentiers positifsinfrieurs n qui sont premiers avec n

    Si k n 1 daprs le thorme de Bzout, il existe deux entiers u et v telsque ku nv 1

    donc g gkunv hu1v hu, par consquent pour tout entier d on a hud gdet donc G h.

    Rciproquement :

    si G h alors il existe un entier u tel que hu g donc gku1 1 donc ku 1est multiple den donc il existe un entier r tel que ku 1 rn et on a doncku rn 1 et donc daprs le thorme de Bzout k n 1.

    Exemple :

    a ) Z5Z 0,

    1,

    2,

    3,

    4 est un groupe cyclique engendr par

    1 : 1

    1, 2

    1,

    31, 4

    1, 5

    1 0 .

    b) Z5Z Z5Z 0

    0,

    1,

    2,

    3,

    4 est un groupe cyclique engendr par 2

    Z5Z

    2 21, 22 4,23 3,24 1

    6

    Chapitre 1 Notions prliminaires sur les groupes

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  • Groupe des racines n ieme de lunitUn z / zn 1 e 2ikn , 0 k n 1

    est un groupe cyclique engendr par e 2ikn .z Un z e 2ikn k

    on montre que les gnrateurs de Un sont de la forme e 2ikn avec k et npremiers entre eux .

    dune faon gnrale si G x, xk est un gnrateur de G, . si estselement si k est premier avec n lordre de G. .

    le nombre de ses gnrateurs est calcul par la fonction deuler :n card k / 0 k n ,k,n 1 .

    si n p11p22 . . . . . .p est dcompos en produit de facteurs premiers , nest calcul par :

    n n 1 1p1 1 1p2 . . . . 1 1

    p .

    en particulier si n pk premier :n pk pk1

    Exemple :

    a ) G Z5Z on a 5 5 1 4 gnrateurs .b ) G Z4Z on a 4 22 21 2 gnrateurs .

    1-4Thorme de lagrange :

    Soit G; . un groupe fini, soit H un sous-groupe de G alors le cardinal deH divise le cardinal de G.

    Dmonstration :

    Soit la relation binaire dfinie sur G par :xy xy1 H , x,y G2

    a. Montrons que est une relation dquivalence :

    xx1 1 H xx , donc est rflexive.xy xy1 H (H sous groupe ) xy11 H yx1 H yx , donc

    est symtrique.xy et yz xy1 H et yz1 H xy1yz1 xz1 H xz , donc est

    transitive.Donc est bien une relation dquivalence.

    7

    Chapitre 1 Notions prliminaires sur les groupes

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  • La classe dquivalence dun lment a de G est, par dfinition :y G/ay y G/a1y H y G/h H,a1y h

    y G/h H,a1y ah aH

    Cet ensemble est appel classe gauche (de a) modulo H.

    b. Montrons que toutes les classes gauche ont |H| lments :

    Pour cela, on considre, pour tout a G, lapplicationfa : H aHh ah

    fah1 fah2 ah1 ah2 h1 h2, donc fa est injective. y aH , h H tel que y ah, donc fa est surjective.

    fa tant bijective, on dduit :a G |aH| |H|

    c. Montrons que toutes les classes gauche sont disjointes :

    Considrons deux classes aH et bH a ; b G2Et supposons

    aH bH Soit g aH bH. Alors :

    h H tel que g ah et h H tel que g ahOn alors :

    ah aha bhh1

    Tout lment ah" de aH scrit donc :bhh1h

    aH bHOn montre, de mme :

    bH bH

    8

    Chapitre 1 Notions prliminaires sur les groupes

    Or, hh1h H, donc tout lment ah" de aH est aussi lment de bH, do :

    IBTISSAMLine

  • On a donc :bH bH

    Ceci prouve que les classes gauches sont disjointes.Et enfinEn notant m le nombre de classes gauches, on a donc :

    G n1m anHDo :

    |G| n1

    m

    |anH| n1

    m

    |H| m|H|

    AlorsLordre du sous-groupe H divise donc lordre du groupe G.

    1-5 Homomorphismes :

    Exemple :

    2) Soit G, . un groupe, soit a G. Alors lapplication f : , G, . dfinie par :

    n fn an est un morphisme de groupes.3) Lapplication canonique

    n qui chaque lment x de associesa classe modulo x est un morphisme de groupes.

    4) On note GLn, le groupe des matricces inversibles n n coefficientsdans .

    Alors lapplication GLn, \0, qui tout M associe sondterminant est un morphisme de groupes.

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    Chapitre 1 Notions prliminaires sur les groupes

    le noyau de f est dfini par : f1G2 x G1 / fx 1 .et image de f est dfinie par : Im f y G2 / y fx,x G1 .si f est bijective on dit que f est un isomorphisme de groupes .

    1) Soit n0 . Lapplication f : donne par m fm n0m estunmorphisme de groupes.

    Soit G1, . et G2, . deux groupes et f une application de G1 dans G2 ,on dit que f est un homomorphisme si fab fafb pour tout a ,b G1.

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  • 101010

    1-6 Groupe quotient :

    Comme les groupes utiliss par la suite sont commutatifs , on dfinit lequotient dans le cas dun groupe commutatif G .

    GH x H, x G (appel ensemble des classes ,

    x x H ).

    cet ensemble est muni dune structure de groupe par la loix y

    x y

    (et on montre que la loi est bien dfinie , cest dire le rsultat obtenu nedepend pas du choix des reprsentants des classes x , y ).

    ce groupe ainsi obtenu est dit groupe quotient de G par H .

    Exemple:G , H 3 on a

    GH

    G3

    0,

    1,

    2

    1-7 Dcomposition des groupes abliens finis :[1] , [2]

    Thorme :

    Tout groupe ablien fini G est prouduit dun nombre fini de groupescycliques , cest dire

    G i1

    m

    n i

    Thorme chinois :

    Soient m et n deux nombres premiers entre eux alors le groupe mn estisomorphe m n .

    Dmonstration :

    Soient a et b deux entiers premiers entre eux. Si x dsigne un entier, onnotera clax la classe de x modulo a, clbx la classe de x modulo b.

    et clNx la classe de x modulo N ab. Soit f lapplication dfinie sur n , valeurs dans a b dfinie par clNx clax;clbx.

    Vrifions que f est bien dfinie.Soient x et y tels que clNx clNy. N divise x y, cest- -dire ab divise

    x y. Par suite, a divise x y et b divise x y.

    Chapitre 1 Notions prliminaires sur les groupes

    IBTISSAMLine

  • 111111

    On a donc clax clay et clbx clby et doncfclNx fclNy

    Montrons maintenant que f est linaire. Soient x; y .fclNx clNy fclNx y (dfinition de laddition dans N )

    clax y;clbx y(dfinition de la fonction f)

    clax clay;clbx clby(dfinition de laddition dans a et b )

    clax;clbx clay;clby(dfinition de laddition sur a b )

    fclNx fclNyDe mme, on montre que

    fclNx. clNy fclNx. fclNy.De plus,fclN1 cla1;clb1 etcla1;clb1 est lunite de a b .f est donc un morphisme danneaux.

    Montrons que f est injective. Soit x tel quefclNx cla0;clb0

    Alors clax cla0 donc a divise x.De mme, clbx clb0

    donc b divise x. a et b etant premiers entre eux, il en rsulte que ab divisex, cest- -dire clNx clN0. f est donc injective.

    Pour terminer,il reste montrer que f est surjective.Soit

    cla;clb a

    bOn cherche x tel que

    fclNx cla;clbcest- -dire x tel que x mod a et x mod b.

    Daprs le thorme des restes chinois, on sait quun tel x existe. f estdonc surjective.

    Remarque :Si m et n ne sont pas premiers entre eux lisomorphisme cit ci-dessus

    est faux .

    Chapitre 1 Notions prliminaires sur les groupes

    IBTISSAMLine

  • Exemple :

    Rsoudre dans le systme suivant :x 4mod 5x 3mod 6x 2mod 7

    5 6 7 1. On applique le thorme des restes chinois, avec n1 5;n2 6; n3 7; N 210; a1 4; a2 3

    et a3 2. On sait que ce systme admet une unique solution modulo 210,donne par x u1a1N1 u2a2N2 u3a3N3, o

    N1 Nn1 2105 42 , N2 Nn2 2106 35 , N3 Nn3 2107 30 , et u1; u2; u3 sontles inverses respectifs de N1;N2;N3 modulo n1; n2; n3.

    42 5 1. Daprs le thorme de Bezout, il existe u; v 2 tel que42u 5v 1. Lalgorithme dEuclide donne :

    42 5 8 25 2 2 12 1 2 0

    En remontant cet algorithme, on obtient successivement :1 5 2 2

    1 5 42 5 8 21 5 42 2 5 16

    422 5 17 1On en dduit que

    u1 2Un raisonnement analogue conduit u2 1 et u3 3.Par suite, x 2 4 42 13 35 3 30 2mod 210, cest- -dire x

    2

    2

    4

    en effet 4 est cyclique mais 2 2 ne lest pas .dans le thorme (1) si on choisit la suite n1, . . . ,nm de telle sorte que ni1

    divise ni pour tout i entier entre 1 et m 1 alorsla suite n1, . . . ,nm est unique , ses lment son dits facteurs invariants .

    12

    Chapitre 1 Notions prliminaires sur les groupes

    9mod 210 (aprs simplifications).

    IBTISSAMLine

  • Exemple :

    Un groupe dordre 96 : G 12 4 2 admet pour facteurs invariants :12,4,2 un groupe cyclique drdre 96 : G

    1-8 Indexation des lments dun groupeablien fini:[1],[2]

    On distingue trois cas :

    Premier cas :

    G est cyclique.G est isomorphe

    n , , ses lments sont prsents par 0,1, . . . ,n 1

    Exemple :

    G 4 est cyclique, ses lment sont : 0,1,2,3.

    Deuxime cas :G 2

    m

    dans ce cas on utilise lcriture binaire des entiers compris 0 et 2m 1 ,dune faon prcise tout lment u1,u2;. . . ,um de G et index par lentier

    u u120 u221 . . . .um2m1 i1

    m

    ui2i1

    Exemple :2

    2

    donc on a0,0, 0,1, 1,0, 1,1

    alors par exempleu1,u2 1,1 u120 u221

    1 1 1 2 3

    13

    Chapitre 1 Notions prliminaires sur les groupes

    96 , ses facteurs sont 96 .

    IBTISSAMLine

  • Cas gnral :

    Posons e1 1 et on dfinit e i pour i 1 pare i nj, 1 j i

    alors tout lment est reprsent par lentier

    u i1

    m

    uie i

    Exemple :2

    4

    0,0, 0,1, 0,2, 0,3, 1,0, 1,1, 1,2, 1,3e1 1,e2 1j2nj n1 n2 8

    alors par exemple u1,u2 u u1e2 u2e1, donc0,0 0

    0,1 0 1 1 8 80,2 160,3 241,0 11,1 91,2 171,3 25

    14

    Chapitre 1 Notions prliminaires sur les groupes

    IBTISSAMLine

  • Chapitre 2

    2-Les matrices circulantes .

    2-1 Dfinition :

    La matrice C c i;j de taille n n est dite circulante si elle est de laforme suivante :

    C

    c0 c1 c2 . . . cn1cn1 c0 c1 . . . cn2cn2 cn1 c0 . . . cn3

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    c1 c2 c3 . . . c0

    o les coefficients c i;j ; i; j 0,n 1 sont des lments dun corps K ,telle que chaque ligne se dduit de la ligne prcdente par une permutationcirculaire .

    Exemple :

    C 1 i 3

    3 1 ii 3 1

    est une matrice circulante dordre 3.

    2- 2Algbre des matrices circulantes :

    2-2-1 Dfinition dune algbre :

    En mathmatiques ,une algbre sur un corps commutatif K ousimplement une K-algbre est une structure algbrique A,, . , telle que :

    A,, . est un espace vectoriel sur K.La loi est dfinie de A A dans A (loi de composition interne ).La loi est distributive par rapport la loi

    15

    Chapitre 2 Les matrices circulantes

    IBTISSAMLine

  • Pour tout a,b dans K et pour tout x,y dans A.a.x b.y ab. x y

    Pour allger les notations , on dsigne par C ( c0,c1, . . . . ,cn1 ) la matricecirculante prcdente ( engendre par la premire ligne c0, . . . . ,cn1 ).

    En notant J C0,1,0, , 0, On peut constater que toute matricecirculante est un polynme en J : C ( c0,c1, . . . . ,cn1 ) c0In c1J cn1Jn1 .

    Exemple :

    C1, i, 3 j0

    2

    c jJ j

    c0J0 c1J1 c2J2

    J0 1 0 00 1 00 0 1

    ; J1 0 1 00 0 11 0 0

    :

    J2 0 1 00 0 11 0 0

    0 1 00 0 11 0 0

    0 0 11 0 00 1 0

    Donc

    C1, i, 3 11 0 10 1 00 0 1

    i0 1 00 0 11 0 0

    30 0 11 0 00 1 0

    1 i 3

    3 1 ii 3 1

    C2-2-2 Diagonalisation de J :

    L ensembles des matrices circulantes est une algbre pour l ddition etle produit des matrices et la multiplication par un scalaire.

    La matrice J vrifiant Jn I , elle est diagonalisable sur .Les valeurs propres sont des racines n-mes de lunit; elles forment un

    groupe cyclique pour le produit .On prend donc e 2in , une racine primitive de lunit qui est un

    gnrateur du groupe cyclique en question .

    16

    Chapitre 2 Les matrices circulantes

    IBTISSAMLine

  • En effet ; soit X un vecteur propre associ la valeur propre de J :On : JX X alors

    JX JX Xet

    J3 X 3 X

    dune facon gnraleJmX mX

    Alors pour m n on obtientX1 n 0 X 0

    donc n 1et est une racine n-mes de lunit.Comme les valeur propres i e 2ikn avec k 0; . . . ; n 1 sont distinctes

    alors J est diagonalisable sur .

    Exemple :

    Considrons la matrice

    J 0 1 00 0 11 0 0

    Cette matrice admet comme valeur propres

    0 1 : 1 1 i 32 : 2 1 i 3

    2 :

    Ou encore i 1, e 2i3 , e 2i3

    Les racines primitives troisimes de lunit sont :

    1 i 32 ,1 i 3

    2

    Ainsi J qui est de taille 3 3 a trois valeurs propres distinctes ,donc elleest diagonalisable sur .

    Si nous voulons diagonaliser J ; nous avons besoin de dterminer lesvecteurs propres correspondonts , par exemple ,

    On a :J X0 0 X0

    17

    Chapitre 2 Les matrices circulantes

    IBTISSAMLine

  • Alors

    0 1 00 0 11 0 0

    x1

    x2

    x3

    x1

    x2

    x3

    Alors

    x2 x1x3 x2x1 x3

    donc

    X0 x3111

    et posons

    V0 111

    J X1 1X1

    alors

    0 1 00 0 11 0 0

    x1

    x2

    x3

    e 2i3x1

    x2

    x3

    .et

    x2 e 2i3 x1x3 e 2i3 x2x1 e 2i3 x3

    et

    X1 x311213

    18

    Chapitre 2 Les matrices circulantes

    IBTISSAMLine

  • posons

    V1 11213

    Et de mme on obtient

    X2 x322223

    posons

    V2 22223

    La matrice de passage pour la diagonalisation est

    P 1 1 21 12 21 13 23

    On

    P1 JP 1 0 0

    0 e 2i3 0

    0 0 e 2i3

    0 0 00 1 00 0 2

    Pour le cas gnral on vrifie alors sans peine que pour tout entier k

    Vk

    1k2k

    n1k

    est un vecteur propre associ la valeur proprek e 2ikn k .K 0, . ,n 1

    Remarque :On peut choisir la matrice de passage P forme des vecteurs propres

    de sorte obtenir une base orthonorme.

    19

    Chapitre 2 Les matrices circulantes

    IBTISSAMLine

  • 2-2-3 La transforme du Fourrier discrte :

    K est un corps fini ou infini.

    A est une matrice circulante est une racines n-mes de lunitLa transforme de Fourrier Discrte est une application dfinie par

    TFD : Kn KnX fX AX

    o

    A

    1 1 . . . 11 . . . n1

    . . . . . . . . . . . .

    1 n1 . . . n12

    22-4 Diagonalisation dune matrice circulante :

    Rappelons la proposition suivante

    Proposition :

    Si A est une matrice de type n n ; une de ses valeurs propres :AX X

    etPX a0 a1X amXm

    est un polynme alors la matricePA a0I a1A amAm

    a pour valeur propreP a0 a1 amm

    cest dire il existe un vecteur non nul X tel quePAX PX

    Dmonstration :

    Premirement nous montrous que si est une valeur propre de A et p alors p est une valeur propre de Ap.

    Soient une valeur propre de A et V un vecteur propre associ a cettevaleur, donc

    AV V

    20

    Chapitre 2 Les matrices circulantes

    IBTISSAMLine

  • Donc il suffit de montrer lgalite suivante :ApV pV p

    par rcurrence. AV V donc la proprit est vraie pour p 1. Supposons la proprit vraie pour un certain rang n, cest--dire

    supposons queAnV nV

    AlorsAn1V AAnV AnV nAV nV n1V

    par consquentAn1V n1V

    La proprit est donc vraie au rang n 1.dou elle est vraie quel que soit lentier naturel p.Donc si est une valeur propre de A associe au vecteur propre V ,alors

    pest une valeur propre de Ap associe au mme vecteur propre V et lesvecteurs propres de A sont des vecteurs propres de Ap .

    CommepAV a0I a1A amAmV a0V a1AV amAmV

    a0V a1V ammVDonc, nous avons

    pAV pVEn conclusion si est une valeur propre de A associe au vecteur propre

    V ,alors p est une valeur propre de pA associe au mme vecteur propreV et les vecteurs propres de A sont des vecteurs propres de pA .

    Exemple :

    Soient I5 la matrice identite dordre 5 , A et B les matrices dordre 5 coefficients complexes dfinies par

    A

    0 0 0 0 11 0 0 0 00 1 0 0 00 0 1 0 00 0 0 1 0

    et B

    a e d c bb a e d cc b a e dd c b a ee d c b a

    21

    Chapitre 2 Les matrices circulantes

    IBTISSAMLine

  • Premirement prouvons quil existe un polynme Q de X tel queB QA

    On calcule

    A2

    0 0 0 0 11 0 0 0 00 1 0 0 00 0 1 0 00 0 0 1 0

    0 0 0 0 11 0 0 0 00 1 0 0 00 0 1 0 00 0 0 1 0

    0 0 0 1 00 0 0 0 11 0 0 0 00 1 0 0 00 0 1 0 0

    A3

    0 0 0 0 11 0 0 0 00 1 0 0 00 0 1 0 00 0 0 1 0

    0 0 0 1 00 0 0 0 11 0 0 0 00 1 0 0 00 0 1 0 0

    0 0 1 0 00 0 0 1 00 0 0 0 11 0 0 0 00 1 0 0 0

    A4

    0 0 0 0 11 0 0 0 00 1 0 0 00 0 1 0 00 0 0 1 0

    0 0 1 0 00 0 0 1 00 0 0 0 11 0 0 0 00 1 0 0 0

    0 1 0 0 00 0 1 0 00 0 0 1 00 0 0 0 11 0 0 0 0

    doncB aI5 bA cA2 dA3 e A4

    Do B QA avecQX a bX cX2 dX3 e X4

    .

    Donc par la proposition precedente on deduit que pour trouver lesvaleurs propres de B il suffit de calculer les valeurs propres de A

    Pour cela , on calcule le polynme caractristique deA : detA XI5 .

    On trouve :pcar,AX X5 1

    22

    Chapitre 2 Les matrices circulantes

    IBTISSAMLine

  • donc les valeur propres de A sont :

    0 1 ,1 e 2i5 , 2 e 4i5 , 3 e 6i5 , 4 e 8i5 , et comme la matrice Adordre 5 a cinq valeurs distinctes , donc A est diagonalisable ,et donc B estaussi diagonalisable et ses valeur propres sont :

    Q0 ,Q1 ,Q2 ,Q3 ,Q4

    donc les valeur propres de B sont :

    a b c d e , a be 2i5 ce 4i5 de 6i5 ee 8i5 , a be 4i5 ce 8i5 de 12i5 e e 16i5 ,a be 6i5 ce 12i5 de 18i5 e e 24i5 , a be 8i5 ce 16i5 de 24i5 e e 32i5

    Montrons maintenant que toute matrice circulaire C c0 , , cn1 estdiagonalisable ?

    Comme C c0 , , cn1 c0 c1J cn1Jn1 PcJavec

    PcX c0 c1X cn1Xn1Comme J est diagonalisable : JVk kVk alors

    C c0 , , cn1 Vk Pck Vkdonc k Pck Pck sont les valeurs propres de C et Vk sont les

    vecteurs propres de C . i U. c i, o U est une matrice de Vandermonde de dterminant

    non nul car les valeurs k sont distinctes; donc U est inversible , doc i U1 i et comme UU I alors :

    U1 U tUPosons :

    1n

    U u

    i U. c ialors

    c i U1 i

    et c i 1n

    u1 i et c i 1n

    ut i

    23

    Chapitre 2 Les matrices circulantes

    IBTISSAMLine

  • u 1n

    1 1 . . . 11 . . . n1

    . . . . . . . . . . . .

    1 n1 . . . n12

    c i 1n

    .

    1n

    1 1 . . . 11 . . . n1

    . . . . . . . . . . . .

    1 n1 . . . n12 i

    1n

    1 1 . . . 11 . . . n1

    . . . . . . . . . . . .

    1 n1 . . . n12 i

    alors c i 1n j0n1 j kj; cest la forme de la transforme de FourrierDiscrete inverse.

    2-3 Produit de convolution ( discret ) :

    2-3-1 Definition :

    En mathmatiques , le produit de convolution de deux vecteurs v et v senote gnralement par * et scrit : v v cm

    avec cm i0m aibmi ; avec v a0, . . . . ,an1 et v b0, . . . . ,bn1.

    Exemple :

    Soit :

    v a0,a1,a2 ; v b0,b1,b2alors :

    v v a0,a1,a2 b0,b1,b2 a0b0,a0b1 a1b0,a0b2 b0a2 a1b1

    24

    Chapitre 2 Les matrices circulantes

    IBTISSAMLine

  • 2-3-2 Proprits du produit de convolution :

    Le produit de convolution est commutatif :v v v v

    Le produit de convolution est distributif par rapport la somme.u v v u v u v

    v v F1Fv.Fv o F dsigne la transformation de fourier et F1 la transformation de

    fourier inverse. Lintrt principal de lutilisation de la transforme de fourier discrte

    est le gain dans le cot du calcul :le calcul du produit de convolution ( assez couteux) est remplac par un

    produit simple ( composante par composante ).

    2-4 Matrices de Toeplitz :

    2-4-1 Dfinition :

    En algbre linaire une matrice de Toeplitz ou matrice diagonalesconstantes est une matrice carre de type n n dont les coefficients ai;jvrifie lgalit

    ai;j ai1;j1 pour tout 1 i n et 1 j nExemple :

    La matrice suivante est une matrice de Toeplitz

    a b c d ef a b c dg f a b ch g f a bj h g f a

    25

    Chapitre 2 Les matrices circulantes

    Le produit de convolution de v et v correspond limage par F1 duproduit (discrt) des transformes de fourier des vecteurs v et v

    IBTISSAMLine

  • Toute matrice A m lignes et n colonnes de la forme :

    A

    a0 a1 a2 . . . an1a1 a0 a1 . . . .

    a2 a1 a0 . . . a2

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    am1 . . . . a2 a1 a0

    est une matrice de Toeplitz .Si llment situ lintersection des ligne iet colonne j de A est not A ij alors on a :

    A ij aij . Donc toute matrice de Toeplitz est de la formeT tij i,j0n1

    Remarque :

    La notion des matrices de Toeplitz est une gnralisation de la notiondes matrices circulantes.

    Les matrices de Toeplitz sont des matrices dont les entres sontconstante le long de leurs diagonales.

    Cette structure est trs intressante en soi pour toutes les propritsthoriques riches quelle entrane,mais en mme temps il est importantpour limpact considerable quil a dans les applications.

    Les matrices de Toeplitz se posent dans de nombreux domainesthoriques et applicatives diffrentes, dans la modlisation mathmatiquede tous les problmes o une sorte dinvariance de dcalage se produit entermes despace ou de temps.

    Cette invariance de changement se reflte dans la structure de lamatrice elle-mme o un dcalage vers gauche -droite des entres quitte lamatrice inchang.

    La structure Toeplitz peut se produire entre-sage,pour des problmesunidimensionnels ou bloc-sages,pour des problmes bidimensionnels, voire plusieurs niveaux imbriqus dans les problmes multidimensionnels.

    Problmes modliss par des matrices de ToeplitzLes problmes typiques modliss par des matrices de Toeplitz sont les

    suivants:La rsolution numrique de certaines quations diffrentielles.Certaines quations intgrales (rgularisation des problmes inverses);Analyse de srie temporelle.

    26

    Chapitre 2 Les matrices circulantes

    IBTISSAMLine

  • Traitement du signal et dimage.Les chanes de Markov et de la thorie de files dattente.Calculs des sries de la puissance et polynmes .Dautres problmes concernent les matrices Toeplitz-like ou des

    matrices ayant une structure de dplacement (Hankel, Bezout, Cauchy,Hilbert, Loewner et matrices de Frobenius).

    Il existe une correspondance entre les problmes impliquant la structuredes Toeplitz-like et polynmes (srie de puissance) qui permet un passagedalgorithmes de calcul pour Toeplitz-like des algorithmes de calcul depolynmes et vice-versa (srie puissance). De cette faon, Fast FourierTransform (FFT) devient un outil fondamental pour tous les calculsimpliquant des matrices Toeplitz-like.

    Exemples :

    A. Matrice de FrobeniusUne matrice de Frobenius est une matrice de forme spciale utilise

    dans des applications numriques. Elle possde les proprites suivantes :1. Tous les lments de la diagonale principlale sont des 1.2. Les lments dune colonne au plus sont arbitraires au dessous de la

    diagonale et les lments restant sont nuls.

    1 0 0 00 1 0 00 a 1 00 b 0 1

    est une matrice de Frobenuis dordre 4.

    On remarque que multiplier gauche une matrice A par une matrice deFrobenuis revient a utiliser une opration lmentaire de Gauss sur deslignes de A:

    1 0 0 00 1 0 00 a 1 00 b 0 1

    a11 a12 a13 a14

    a21 a22 a23 a24

    a31 a32 a33 a34

    a41 a42 a43 a44

    a11 a12 a13 a14

    a21 a22 a23 a24

    a31 aa21 a32 aa22 a33 aa23 a34 aa24a41 ba21 a42 ba22 a43 ba23 a44 ba24

    27

    Chapitre 2 Les matrices circulantes

    IBTISSAMLine

  • B. Matrice de HankelUne matrice de Hankel est une matrice H constante sur les diagonales

    ascendantes et dont les lments verifient la relationhi j hi 1; j1

    Par exemple une matrice de Hankel de taille 4 scrit sous la forme

    a b c db c d ec d e fd e f g

    On remarque quune matrice de Hankel carr dordre n est une matricesymtrique et que si on multiplie gauche ou droite la matrice Jn par unematrice de Hankel on obtient une matrice de Toeplitz :

    Jn

    0 0 0 . . . 10 0 0 1 00 0 1 . . . 0

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    1 0 0 . . . 0

    a b c db c d ec d e fd e f g

    0 0 0 10 0 1 00 1 0 01 0 0 0

    d c b ae d c bf e d cg f e d

    :

    0 0 0 10 0 1 00 1 0 01 0 0 0

    a b c db c d ec d e fd e f g

    d e f gc d e fb c d ea b c d

    28

    Chapitre 2 Les matrices circulantes

    IBTISSAMLine

  • 2-4-2 Proprits des matrices de Toeplitz : [4],[5]1- soit Ax b une quation matricielle.

    a/ Dans le cas gnral :

    Nous savons que correspond un systme de n quationslinaires.

    Il contient n2 informations .

    b/ Cas particulier : A est une matrice de Toeplitz :

    il ne contient que 2n 1 informations arranges dune manire bienparticulire .

    2- Le produit de deux matrices de Toeplitz nest pas en gnrale deToeplitz .

    Exemple :

    Soient T1 et T2 les matrices dordre 3 coefficients complexes dfiniespar

    T1 2 1 15 2 10 5 2

    et T2 1 0 34 1 02 4 1

    Alors

    T1T2 2 1 15 2 10 5 2

    1 0 34 1 02 4 1

    0 5 55 2 1624 3 2

    29

    Chapitre 2 Les matrices circulantes

    IBTISSAMLine

  • 3- Linverse dune matrice de Toeplitz nest pas une matrice de Toeplitzsauf pour les matrices triangulaires .[6]

    Exemple :

    Linverse de la matrice T1 donn dans lexemple prcdent est

    T11 137

    737 337

    1037 437 737 2537 1037 137

    mais linverse de la matrice de Toeplitz triangulaire suivante

    1 2 30 1 20 0 1

    est1 2 10 1 20 0 1

    30

    Chapitre 2 Les matrices circulantes

    IBTISSAMLine

  • Chapitre 3

    3- Caractres dun groupe fini .

    3-1 Dfinition :

    Soit G, . un groupe fini .

    Dfinition 1 :

    On appelle caractre de G tout homomorphisme de G, . dans legroupe multiplicatif :

    : G comme est un homomorphisme alors xm xm ,x G,n ,en particulier si |G| n alorsxn 1 1 xn donc x un le groupe des racines n-ime de

    lunit.

    Dfinition 2 :

    si G est dordre n , est un caractre de G si est un homomorphismede G dans un .

    soit lensemble des caractres de G ,on dfinit le produit dans par1 2 : G , 12x 1x2x.

    31

    Caractres dun groupe finiChapitre 3

    ceci nous conduit simplifier la dfinition 1 comme suit :

    alors il est facile vrifier que , . est un groupe , il est appel le dualde G .

    IBTISSAMLine

  • 3-2 Dual dun groupe cyclique: G n

    Proposition :Soit G 1; g0; g02; . . . . . ; g0n1 un groupe cyclique de cardinal n et de

    gnrateur g0.Soit une racine primitive nieme de lunit, par exemple e 2iknLes elments de sont de la forme, pour j 0; 1; . . . ; n 1 :

    j : G

    g0k jk e 2ijkn

    Dmonstration :

    Pour dterminer un caractre , il nous faut calculer sa valeur sur chacundes elments de G, cest- a-dire calculer gk pour k 0; 1; . . . ; n 1, ce quidonne

    gk gk

    jk

    Dans cette egalit on a not j g avec 0 j n 1 puisque cettequantit est racine n-ime de lunit. Donc est bien un des0; . . . ;n1.

    Rciproquement, on constate que pour j 0; . . . . ; n 1 les applications j sont bien des morphismes de G dans , et donc appartiennent bien audual de G.

    Le groupe est cyclique, dordre n, engendr par 1 (on a k 1k).

    Proposition :

    G et sont isomorphes.

    Dmonstration :

    On identifie les elments de n avec leur reprsentant j 0; . . . . ; n1 et on

    dfinit lapplication suivante :

    :n j j

    Cette application est un morphisme bijectif donc n G .

    Remarquons toutefois que cet isomorphisme nest pas canonique, car ildpend de la racine primitive de lunit choisie.

    32

    Chapitre 3 Caractres dun groupe fini

    IBTISSAMLine

  • Prenons lexemple du groupe cyclique 12 .On choisit ici comme racine primitive de lunit e 2i12 .On peut alors dfinir comme suit les caractres de ce groupe :

    0 : g0k 1

    1 : g0k e ik6

    2 : g0k e ik3

    3 : g0k e ik2

    4 : g0k e 2ik3

    5 : g0k e 5ik6

    6 : g0k e ik

    7 : g0k e 7ik6

    8 : g0k e 4ik3

    9 : g0k e 3ik2

    10 : g0k e 5ik3

    11 : g0k e 11ik6

    Pour determiner compltement ces caractres, il reste choisir ungenrateur de 12 .

    Les gnrateurs dun groupe cyclique additif n sont les classes

    dquivalences des elments premiers avec n.Ici on peut donc choisir 1, 5, 7 ou 11 comme gnrateur, mais nous irons

    au plus simple en prenant 1.

    Caractres dun groupe finiChapitre 3

    33

    IBTISSAMLine

  • 3-3 Dual dun groupe ablien fini :

    Thorme :[1] , [2]

    Soit G1 et G2 deux groupes finis.

    Lapplication :

    f : 1 2

    G1 G21,2 f1,2

    o f1,2 est dfini par: g1,g2 1g2g est un isomorphisme.Noter que le thorme dcrit explicitement les caractres de

    G1 G2 en

    fonction de ceux de 1 et de 2.

    Corollaire :[1] , [2]

    Le dual dun groupe ablien fini est (non canoniquement) isomorphe ce groupe; en particulier ils ont mme ordre.

    Par contre, on a un isomorphisme cette fois canonique entre un groupeG ablien fini et son bidual.

    3-4 Lalgbre du groupe G :

    1 laddition

    f.g : fgx fxgx3 et une loi externe :

    G G, f f

    34

    Caractres dun groupe finiChapitre 3

    On note G lensemble des fonctions f :G , on dfinit danscet ensemble deux lois internes :

    f g : f gx fx gy2 la multiplication

    IBTISSAMLine

  • SoitB x/x G

    Ox : G

    x 1y x xy 0

    B est une base nouvelle de G , tout elment f G secritxG fxx.

    Rsultat :

    On a :a) dim G card G

    f1, f2 1|G| xG

    f1xf2x

    donc B est une base orthogonale de G ,dans ce cas1,2 1|G| x G

    maintenant si on considre la deuxime base B et on suppose que G establien , B

    que 1,2 121, 1 En effet .

    1,2 1|G| xG

    1x2x

    1|G| xG

    1x21x

    1|G| xG

    121x

    121, 1

    35

    Caractres dun groupe finiChapitre 3

    b) Quand G est commutatif , lensemble des caractres de G formeune deuxime base B de G .

    il est possible de munir G dun produit hermetien comme suit :

    est une base orthonorm pour le produit prcdent :Il faut calculer 1,2 pour deux caractres de G. Remarquons dabord

    Alors il est facile vrifier que G est une algbre , on lappelle algbre du groupe .

    IBTISSAMLine

  • En posant 121 , il nous reste calculer , 1 . Lorsque 1, on a

    xG x |G| soit , 1 1. Supposons maintenant que 1. Il existedonc un lmentb G tel que b 1. Comme hG G, on a

    xG

    xG

    bx

    Soit S bS, que lon peut crire dans : 1 bS 0. Comme b 1on peut en dduire que S 0.On a donc dmontr que les lments de forment une famille

    orthonorme.Comme il y en a exactement |G|, ils forment bien une base .

    36

    Caractres dun groupe finiChapitre 3

    x bx S

    b x b S xG

    xG

    IBTISSAMLine

  • 373737

    Chapitre 4

    4. La Transforme de Fourier sur un groupe .

    On suppose dsormais que notre groupe G est ablien fini.

    4-1 La transforme de Fourier :

    Soit f G. On peut dcomposer f sur les deux bases orthonormesque lon connait: |G| x/x G et x/x . Cela donne:

    f xG

    fxx x

    c f

    oc f f,

    4-1-1Dfinition :

    On appelle transforme de Fourier de f et on notef llment de

    dfini par :f |G|c f

    xGfxx

    Lapplication transforme de Fourier, note F , est:F : G

    f f

    Cest bien sr un isomorphisme dspaces vectoriels.

    4-1-2Thorme :1 , 2

    Soit f,g G. On a: Formule dinversion:

    f x

    c f 1|G| x

    f 1

    Chapitre 4 La Transforme de Fourier sur un groupe

    IBTISSAMLine

  • 38383838

    Formule de Plancherel :

    xG

    fxxgx |G|x

    c fcg 1|G| x

    f g

    4-2Produit de convolution :

    Dfinition :

    Soient f1 et f2 deux fonctions dfinies sur G valeurs complexes. Laconvole de f1 et de f2 est la fonction complexe

    f1 f2 dfinie sur G parf1 f2x 1n

    yGf1x yf2y

    Il est facile de voir que f1 f2 scrit aussi :f1 f2x 1n

    yGf1yf2x y

    f1 f2x 1n yG

    f1yf2x y

    f1 f2x 1n uvx

    f1uf2v

    Thorme :

    La transforme de Fourier dun produit de convolution est le produit(ordinaire) des transformes de Fourier

    f1 f2

    f1

    f2

    Preuve

    f1 f2 1n uG

    f1 f2xu

    f1 f2 1

    n2uG

    abu

    f1af2bu

    f1 f2 1

    n2uG

    abu

    f1aaf2bb

    Chapitre 4 La Transforme de Fourier sur un groupe

    IBTISSAMLine

  • et la dernire expression correspond bien au produit de b

    f1 par b

    f2.Il suffit de revenir la dfinition pour voir que

    Le symtrique dun produit de convolution est le produit de convolutiondes symtriques

    f1 f2 f1 f2

    En utilisant les rsultats prcdents on peut galement vrifier que

    Thorme : [1] , [2]

    La transforme de Fourier dun produit de fonctions est n fois le produitde convolution des transformes de Fourier

    f1 f2 n

    f1

    f2

    Chapitre 4 La Transforme de Fourier sur un groupe

    39

    Thorme : [1] , [2]

    IBTISSAMLine

  • Chapitre 5

    5.Variantes de la Transforme de Fourier .

    5-1 La transforme de Fourier discrte :

    La transforme de Fourier discrte DFT est extrmement utile enthorie du signal. Cest en fait une transforme de Fourier sur

    n .

    Dfinition :

    Soit :wN e 2iN

    Lapplication DFTN est dfinie par:DFTN : N N

    f f

    o :f k

    n0

    N1fnwNnk

    Faisons le lien avec la transforme de Fourier dfinie au Chapitre 4.Le groupe G

    n a pour caractres les applications: k dfinies par:kn mod N wNnk

    Notons encore f lapplication de n dans associe f f0, . . . , fN 1,

    cest--dire fk mod N fk. Alors il est clair que:DFTNfk Ff f

    Pour cette raison, on note de la mme faon:f DFTNf Ff

    est inversible et que DFT1 est encore une DFT, o on a remplac wN par wN1.

    40

    Chapitre 5 Variantes de la Transforme de Fourier

    et on peut en calculer les valeurs par un algorithme rapide FFTanalogue .

    Les rsultats du Chapitre 4 sapplique en particulier la transforme deFourier discrte; ainsi, la fornmule dinversion (Thorme *) montre queDFT

    IBTISSAMLine

  • En termes matriciels, notons VwN la matrice de tailleN N dfinie par :VwN i, j : wNi1j1 pour tout 1 i , j N.La matrice de DFTN dans la base canonique de N est VwN et celle de

    DFTN1 est 1N VwN1 On a bien sr :

    VwNVwN1 N IdNLa formule de Plancherel (Thorme *) devient:

    k0

    N1fngk 1N

    k0

    N1 f ng k

    En termes matriciels, la matrice : 1N

    VwN est unitaire .

    5-1-1 Reprsentation matricielle :

    Soient X0, . . . . ,Xn1 des nombres complexes.La transforme de Fourier discrte est dfinie par la formule suivante :ou en notation matricielle :

    f0f1f2

    fn1

    1 1 1 11 2 n11 2 4 2n1 1 n1 2n1 n12

    x0

    x1

    x2

    xn1

    , e 2in

    5-1-2 Discrtisation et quantification du signal :

    A DiscrtisationSoit ft un signal analogique .

    La discrtisation de ce signal revient nen garder quun certain nombrede valeurs . . . , f1 , f0 , f1 , . . . correspondant aux valeurs . . . , t1 , t0 , t1 , . . . de lavariable t:

    On ne dispose donc plus, aprs discrtisation, que dune suite fnZ, o Zdsigne lensemble des entiers relatifs. On appelle cette suite un signaldiscret associ au signal analogique ft.

    41

    Chapitre 5 Variantes de la Transforme de Fourier

    IBTISSAMLine

  • Dans la quasi-totalit des cas, lchantillonnage est priodique,cest--dire que ... t0 t1 t1 t0 . . . Te, valeur quon appelle la priodedchantillonnage. On dfinit aussi la pulsation dchantillonnage par :

    we 2TeUn problme majeur en traitement du signal est le choix de cette

    pulsation dchantillonnage we :Si we est trop grand, on aura trop de donnes traiter et stocker.Si we est trop petit, la suite fnZ ne sera pas fidle au signal initial ft.Nous verrons un peu plus loin quil existe un critre optimal pour choisir

    cette pulsation, qui sappelle le "critre de Shannon".

    B QuantificationLa quantification est une opration qui modifie lgrement les valeurs du

    signal discret prcdent.Ceci vient du fait quen informatique, les supports dinformation ne sont

    pas analogiques mais binaires, et que donc toute valeur relle ne peut pastre mmorise.

    On obtient donc, aprs quantification, une suite fnZ telle que, pour toutentier n. fn fn

    Remarques :

    On dit parfois que la discrtisation est une "discrtisation en abscisse",alors que la quantification est une "discrtisation en ordonne".

    La quantification introduit une erreur dans les valeurs du signal, ce quene fait pas la discrtisation.

    La discrtisation fait-elle perdre de linformation ?On a vu quil tait trs simple de passer dun signal analogique f(t) au

    signal discret correspondant fnZ, pourvu quune pulsationdchantillonnage we ait t choisie.

    Notions :

    Modlisation de lchantillonnageLopration mathmatique associe cette discrtisation revient

    multiplier le signal ft par un peigne de Dirac Tet :ft ftTet ft t nTe

    42

    Chapitre 5 Variantes de la Transforme de Fourier

    IBTISSAMLine

    IBTISSAMLine

  • TFft.PTet Ff 1Te Ff fe 1Te fsoit :

    Ff 1Tek

    Ff kfe

    Echantillonner le signal ft dans le domaine temporel, revient donc recopier dans le domaine frquentiel son spectre Ff tous les we

    Notion de repliement de spectreOn remarquera que si le spectre du signal dorigine une largeur

    suprieur 2we on a ce quon appelle un repliement de spectre ce quonappelle un repliement de spectre.

    Sil y a repliement de spectre, il nest plus possible de retrouver lespectre du signal dorigine.

    Dans ce cas, lopration dchantillonnage modifie les caractristiquesdu signal dentre.

    Ainsi, si lon ne veut pas perdre dinformations par rapport au signal quelon chantillonne, on devra toujours respecter la condition : (we 2w max).

    Condition plus connue par le thorme de Shannon.

    Thorme de Shannon :[14] ; [15]

    On ne peut chantillonner un signal sans pertes dinformations que si :we 2wmax

    5-2 Transforme de Fourier rapide :

    Il existe divers faons proches les une des autres de calculer unetransforme de Fourier discrte.

    Toutes ces variantes sont des algorithmes de transforme de Fourierrapides FFT.

    Nous nous placerons ici dans le cas o le nombre dlments du groupeest n 2m et o le groupe G est Z

    n .Pour tout r 0 et tout 0 k 2r 1 posons

    W2rk e 2ik2r

    43

    Chapitre 5 Variantes de la Transforme de Fourier

    On peut ainsi calculer la transforme de Fourier du signal chantillonnen utilisant les proprits liant une multiplication temporelle qui danslespace frquentiel devient un produit de convolution :

    IBTISSAMLine

  • Remarquons queW2rk W2r1k 2 W2r1k2r2

    W2r1k W2r1k2r

    par exemple

    W81 W161 2 W169 2

    W161 W169On rappelle que si

    f a0,a1, . . . ,a2m1, et si pfX 12m a0 a1X, . . . ,a2m1X2m1

    alors

    fu au pf W2mu Pour tout polynme

    PX p0 p1X . . .p2r1X2r1notons

    P0X p0 p2X . . .p2r2X2r11et

    P1X p1 p3X . . .p2r1X2r11alors

    PX P0X2 XP1X2ce qui donne si

    0 k 2r1 1PW2rk P0W2r1k W2rk P1W2r1k

    etPW2rk2r1 P0W2r1k W2rk P1W2r1k

    Ces dernires formules vont nous donner un algorithme pour calculer lesvaleurs de la transforme de Fourier.

    44

    Chapitre 5 Variantes de la Transforme de Fourier

    IBTISSAMLine

  • 454545

    5-3 Transformation de Fourier sur n : [16]

    On se place donc dans le cas o G n . Dans ce cas les caractres de

    G sont les fonctionsuv e 2iuvn

    Ces fonctions sont indexes par les entiersu compris entre0 et n 1 sibien quune transforme de Fourier apparat ici comme fonction dun telentier.

    Plus prcisment si f FG, notonsau fu o u 0,1, . . . ,n 1

    Dans ces conditionsf v f,v 1n

    u0

    n1aue

    2iuvn

    fu v0

    n1 f ve 2iuvn

    En ce qui concerne la convolution, il est intressant de noter quellesinterprte laide du produit de polynmes.

    Pour cela si f est la fonction dont les images sont a0,a1, . . . ,an1, et h celledont les images sont b0,b1, . . . ,bn1, notons

    P fX 1n a0 a1X, . . . ,an1Xn1PhX 1n b0 b1X, . . . ,bn1Xn1

    On sait que

    f hu 1n ijun0in10jn1

    aibj

    doncP fh pfphmodxn 1

    Remarquons en outre quef u P fe 2iun

    Cette dernire remarque met en vidence un aspect trs important de latransforme de Fourier discrte : laspect interpolation. En effet il est facilede trouver grce ce que nous avons vu un polynme trigonomtrique

    Px u0

    n1ue iux

    Chapitre 5 Variantes de la Transforme de Fourier

    IBTISSAMLine

  • qui interpole une fonction donne aux points xV 2vnNous verrons par la suite le lien qui existe entre ce polynme

    trigonomtrique et les sommes partielles de la srie de Fourier de lafonction.

    La transformation dHadamard relve du cas particulier oG 2

    m Dans ce cas l a les caractres de G sont les fonctionsdfinies par :

    Wxy 1x,y(ces fonctions sont les fonctions de Walsh). Nous pouvons indexer les

    caractres en utilisant la dcomposition binaire des nombres.Ainsi on peut supposer que llment x x1,x2, . . . ,xm G reprsente le

    nombre entier compris entre 0 et 2m 1x1 2x2 . . .2m 1xm

    Comme cas particulier soit x 0,0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0o x j 1 et x i 0 si i j.On obtient alors la fonction de Rademacher dordre jo 1 j n

    rjy W2j1y 1 si y j 01 si y j 1Si besoin est on posera r0 1. Les fonctions de Walsh sont des produits

    de fonctions de Rademacher. Plus prcisment

    W j1

    n

    rj , rj rj si j 11 si j 0En reprenant la dfinition gnrale de la transformation de Fourier nous

    voyons que la transformation dHadamard scrit (trs simplement) sous laforme

    f x 12m y0

    2m1fy1x,y

    et

    fy x0

    2m1 f x1x,y

    A partir des fonctions de Rademacher on peut dfinir une autre baseorthonorme intressante : les fonctions de Haar.

    46

    Chapitre 5 Variantes de la Transforme de Fourier

    5-4 Transformation dHadamard : [16]

    IBTISSAMLine

  • Dans ce cas G est le groupe produit ZnZ m.

    Soit f une fonction complexe dfinie sur G, notons pour tout lmentu u1,u2, . . . ,um de G

    au1,u2,...,um fuet

    P fX1,X2, . . . ,Xm 1n uG

    au1,u2, . . . ,umX1u1,X2u2

    , . . . ,Xmum

    On sait que les caracteres de G sont indexs par les lments de G eton peut crire

    f u 1n

    vGave

    2iu,vn

    cest--dire encoref u P fe 2iu1n ,e 2iu2n , . . . ,e 2iumn

    Il est aussi facile de constater que si est lidal engendr par lespolynmes Xsn 1 (o s 1, . . . ,m) alors

    P fhX1,X2, . . . ,Xm P fX1,X2, . . . ,XmPhX1,X2, . . . ,Xmmod

    5-6 Transforme de fourier sur les corps finis :

    5-6-1 Rappel sur les corps finis :

    soit F un ensemble non vide et fini muni de deux lois internes : F est un groupe ablien . F; est un anneau o tout lment sauf 0 par admet un inverse .

    Exemple :

    p 0,1, . . . . ,p 1 avec p premier sont des corps fini de cardinal p .

    Proposition :[13]

    soit K un corps fini p lment alorsx K : xp x

    47

    Chapitre 5 Variantes de la Transforme de Fourier

    nZ m5-5 Transformation de Fourier sur Z : [16]

    IBTISSAMLine

  • Thorme :[13]

    pnp .

    5-6-2 Exemple de construction dun corps fini :

    a/ Reprsentation primitiveSoit 8 un corps fini , on a 8 23 , 2 0,1 prenons le polynome primitif

    fx 1 x x3Le corps admet huit lments donc il contient un lment dordre 7 qui

    est une racine primitive de lunit.8 0, ,,2,3,4,5,6,7 1 et est racine du polynme x7 1 mod 2

    1 x x3 0x3 1 xx4 x x2

    x5 x2 x3 x2 x 1x6 x3 x2 x 1 x x2 x 1 x2

    x7 x3 x 1 x x 1Donc

    8 2 x / 1 x x3

    et de mme on construit les corps suivants9 3 x / 1 x

    2

    16 2 x / 1 x x4

    b/ Reprsentation vectoriale ( polynomiale) :

    8a bx cx2/a,b,c 2

    0,1,x, 1 x, 1 x2, 1 x x2,x x2,x2,

    o x est une racine primitive 7 ime de lunite

    48

    Chapitre 5 Variantes de la Transforme de Fourier

    est le corps de rupture de tout polynme irrductible de degr n sur

    On :

    IBTISSAMLine

  • Remarque :

    Pour le calcul de laddition on prfere utiliser la reprsentation vectoriale,pour le produit on utilise la reprsentation primitive .

    Dfinition :

    Soit q un corps fini tell que q pm ; alorsTFD de long n n div q 1 n div pm 1 pm 1n

    On cherche le plus petite valeur de m tel que est vrifi.

    Exemple :

    Soient q un corps fini de cardinal n 27 alors :TFD de long n n divise q 1

    on :27 div pm 1 / q pm donc m? : 2m 127

    on :2 227

    22 427 23 827

    24 1627 25 527

    26 1027 217 1427

    28 1327 29 2627

    210 2527 211 2327

    212 1927 213 1127

    214 2227 215 1727

    216 727 217 1427 218 127

    49

    Chapitre 5 Variantes de la Transforme de Fourier

    IBTISSAMLine

  • 50505050

    Le plus petit corps fini dans lesquel on peut dfinir un TFD de longeur 27est 218 , 218 ,2

    181 1

    q 218 , 27 1 27

    u

    1 1 . . . 11 . . . 26

    . . . . . . . . . . . .1 26 . . . 262

    5-7 les applications de la transforme de Fourier

    discrte :

    5-7-1 Produits de deux entiers :

    Soit A et B deux polynmes de degr n N2En Ologn opration tel que

    A i0

    n1a ix i

    B i0

    n1b ix i

    et

    R A B i0

    2n

    r iX i

    On utilise une transforme de Fourier de taille N 2n avec les vecteurs :a a0, a1, , an1, 0, 0, , 0ntermes.

    b b0, b1, , bn1, 0, 0, , 0ntermes.Soit une racine primitive 2n ieme de lunit la transforme de a

    Fa 0, 1 ;2n1Nest autre que :

    a 0, a 1,a 2n1De mme pour b, de sorte que le produit terme terme des deux

    vecteurs :Fa Fb 0b0, 1b1, . . . 2n1b2n1.

    Chapitre 5 Variantes de la Transforme de Fourier

    IBTISSAMLine

  • 51515151

    Donne en fait les valeurs deRx AxBx T10b0, 1b1, . . . 2n1b2n1.

    en les racine de lunit c..d.FR, e

    2iN

    Dfinition de la CDTSoit :

    f0 : 0, . , N 1

    DCT f V CvN

    0nN

    fn cos

    Cv 2 sinon

    le principe :

    On choisit un paramtre q1, dit de ( quantification ) on divise lesvaleurs de DCTf par q et on arrondit lentier le plus proche . Cesnouvelles valeurs sont appeles valeurs quantifies Cela a pour effetdannuler les valeurs q2 , ce qui sera le cas pour le grandes de V. Pour uneimage, cela permet didentifier les zones contiges de couleurs voisines(mise en vidence de corrlations entre les pixels). Cela a aussi pour effetdintroduire un certain nombre de zros dans la reprsentation desdonnes que lon peut de nouveau compresser. (sans perte) via unemthode dagrgation de zros le principe en est le suivant :

    Supposons que lon ait une suite conscutive de m zros 0, 0, , 0

    Alors on lencode sous la forme m 0Ainsi, si lon a juste un zro, on ajoute une donne supplmentaire, mais

    gnriquement on rduira la taille.En complment, on appliquera aussi un codage de Hoffman qui permet

    de nouveau de faire une compression sons perte les formats MP3. Ogg.vorbis, speese (format audio utilis eu tlphonie).

    Chapitre 5 Variantes de la Transforme de Fourier

    5-7-2 Compression dimages : [17]

    v2n 12N

    1 si v 0

    m zros

    fn f0 reste de la division de n par Nalors pour tout v, n tels que . 0 v, nN.

    IBTISSAMLine

  • 525252

    JPEG,MPEG 1,MPEG 2Divx utilisent les procds dcritsci-dessus le format JPE.G2000 utilise des transformations par ondelettesau lieu de la DCT .

    Remarque :

    DCT est la partie rel de TFD tel que TFD est note :

    Xkn0

    N1f

    ne 2iknN

    Le calcul de la DCT se dduit de celui de la TFDDCT est plus prcis que TFD.Formule pour calculer la DCT sur une matrice NxN : 16DCTi, j 1

    2cicjx0N1y0N1pixelx, ycos i2x 12N cos

    j2y 12N

    5-7-3 Tatouage dimages :

    On a le plan suivant :Image originale I (hte) TFD I, on ajoute i a des valeurs particulires

    de I I1 image tatoue (elle contient le water mark la marqueWw1,,wn1

    Chapitre 5 Variantes de la Transforme de Fourier

    En pratique ( W contient des informations sur le propritaire ), donc letatouage est utilis pour la protection des droits dauteurs .

    IBTISSAMLine

  • Rsum :Dans ce travail, on sest intress ltude de la transforme de Fourier

    discrte, notion utile en thorie et en application.

    A travers ce thme, on a rappel les outils mathmatiques indispensables

    pour ce genre dtude.

    Ensuite on a utilis la notion de caractres pour gnraliser la transforme

    de Fourier un groupe quelconque, les diffrentes variantes de la transforme

    de Fourier son obtenues suivant le groupe de base, des exemples dapplication

    sont donns.

    Rsum

    IBTISSAMLine

  • Abstract :

    In this work, we are interested in the study of the discrete Fourier transform,

    this concept is useful in theory and applications.

    Through this theme, we recalled the necessary mathematical tools for this

    kind of study.

    Then we used the notion of characters to generalize the Fourier transform to

    any group, variants of Fourier transform are obtained according to appropriate

    group, and examples of applications are given .

    Abstract

    IBTISSAMLine

  • :

    .

    .

    IBTISSAMLine

  • Bibliographie

    [3] R. M. Gray, On the asymptotic eigenvalue distribution of Toeplitzmatrices,IEEE Transactions on Information Theory,Vol.18,November1972, pp.725730.

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