Schaum Circuitos

8/17/2019 Schaum Circuitos

1/40

Leyes

de los circuitos

3.1. INTRODU IÓN

Un ci rcuito o red eléctrica consiste en una serie de elementos simples,

o ~ o

los descritos en el Capítulo 2, conec

tados entre sí. El circuito debe tener al menos una fuente de tensión o una fuente de intensidad. La interconexión

de elementos condute a unas nuevas relaciones entre las corrientes y las tensiones en los mismos. Estas relacio

nes y sus ecuaciones correspondientes, junto con

la

relación corriente-tensión de cada eleñ1ento individual, per

mitirán resolver el circuito.

El objetivo fundamental de estudiar los elementos individuales, su conexionado en los circuitos

y

resolver las

ecuaciones de los mismos es analizar el comportamiento de dispositivos como motores, generadores, transfor

madores, transductores eléctricos y algunas partes de equipos electrónicos.

a

o l u i ó n

responde generalmente

a cuestiones acerca del funcionamiento del dispositivo bajo las condiciones impuestas por una fuente de energía.

3.2.

LEY DE RCHHOFF PARA LAS TENSIONES

Para cualquier camino cerrado dentro de un circuito, la ley

de kirchho.ffpara las tensiones

LKT) establece que

la sum algebraica de las tensiones es cero. Algunas de las tensiones serán debidas a fuentes yotras debidas a la

existencia de elementos pasivos, en cuyo caso se hablará de caídas de tensión. Esta ley se aplica igualmente a

los circuitos alimentados por fuentes constantes llamadas de comente continua), CC, por fuentes variables, v t)

e

i t),

y a circuitos alimentados por fuentes que se describirán en el Capítulo 9. El mé• J do de las corrientes de

malla, que

se

explicará en la Sección 4.2,

se

basa en la ley de Kirchhotfpara las tensiones.

EJEMPLO 3 1 Escribir

la

ecuación de la LKT para

el

circuito de

la

Figura 3.1.

R,

•

·

R

R

Figura 3 1

Comrnt.ando por

la

esquina inferior izquierda

y

sigutendo

la

dirección

de

la intensidad, tendremos:

4


2/40

CAPITULO 3 LEYES DE LOS CIRCUITOS 5

v. + v

1

+ v

6

+ v

2

+ v

3

= O

. + iR

1

+ v

6

+

iR

2

+ iR

3

=

O

v.

- v

6

=

i R

1

+

R

2

+

R

3)

3.3. LEY DE KIRCHHOFF PARA LAS CORRIENTES

La unión de dos o más elementos de un circuito constituye una conexión denominada

nudo.

La unión de dos ele

mentos se llama

nudo simple

y en él no hay derivación de corriente. La unión de tres o más elemc;.ntos se deno- .

mina nudo principal

y, en este caso, sí hay derivación de corriente. La

ley de Kirchhoffpara las corrientes

LKC)

establece que la suma algebraica de las corrientes en un nudo es cero. Expresándolo de otra m n e r ~ significa

que la suma de las intensidades que entran en un nudo es igual a la suma de las intensidades que sa len del mismo.

El método de las tensiones en los nudos, que se explicará en la Sección 4.3, se basa en las ecuaciones que se

plantean para los nudos principales de un circuito al aplicar la ley de Kircbhoff de las intensidades de corriente.

El fundamento de esta ley es el principio de conservación

de

la carga eléctrica. .

EJEMPLO

3.2. Escribir la ecuación

de la

LKC para

el

nudo principal indicado en

la

Figura 3.2.

i

1

- +

i

3

- i

4

-

i

5

=

O

;,

·

2

3.4. ELEMENTOS

EN

SERIE

i, + il =

¡2

+ i• +

is

- - - - : := . . ;

Figura 3.2.

Los tres elementos pasivos conectados en serie, como se muestra en la Figura 3.3, son recorridos por la misma

corriente eléctrica

i.

Las tensiones en los elementos son v v

2

y v

3

• La tensión total es la

suma

de las tres tensio

nes individuales: v

=

v

1

+ v

2

+ v

3

.-

..

Si los tres elementos son resistencias,

..

•

..

t

+

..

Figura

3.3.

V

=

R,

+

iR

+

iR

= i R

1

+

R

2

+

R

3

)

= iReq


3/40

6 CIRCUITO:? ELÉCTRICOS Y ELECTRÓNICOS

donde

R.q

es la resistencia equivalente de las tres resistencias en serie. La relación entre v e i sigue si

endo

la

misma.

Para un número cualquiera de resistencias en serie tendremos: Req = R

R

2

· ·

·.

Si

los

tres

elementos pasivos son bobinas

(o

inductancias),

V L

di +

L di

+

L di

1

dt

2

dt l dt

di

= (l, L

L¡

dt

L di


4/40

CAPITULO

3

LEYES DE L

S

CIRCUITOS

7

· ·

1

,

L 1

"'

'""

i =

;

+

i¡

+ i¡

Si los tres elementos pasivos son resistencias,

i

= . E . . . ~ ~

=(_ _+_ _+..l.)v

1

v

R

1

R, R, R

1

R

2

R, R..,

Para varias resistencias en paralelo,

_l_=_ _+_ _+· .

R '

R, R

2

El caso de dos resistencias en paralelo se presenta frecuentemente

y

merece una mención especial. La resis-

tencia equivalente de dos resistencias en paralelo es igual al producto de ambas dividido por la suma de dichas

resistencias.

R

1

R

2

R ' = R

1

+ R

1

EJE P O 3.5. Calcular la resistencia equivalente de: (a) dos resistencias de 60

n

en paralelo,

y

b) tres resistencias de

60 n en paralelo.

(a)

R _ (60)

1

.. -120=3on

b)

_L=_l_+_ _ 1

R.., 60

60

+

60

R.,. = 20 n

Nota: Paran resistencias iguales en paralelo,

la

resistencia equivalente viene dada por Rln.

Las combinaciones de bobinas en parale

1

:;

tienen expresiones similares a las de las resistencias:

_ _ =

__ __

+ _ _

L L L + Y para dos bobi nas

q 2

L,L,

L ' = L L,

EJEMPLO 3.6 . Se conectan en paralelo dos bobinas L

1

= 3 mH y L

2

= 6 m H. Calcular L ..

1 1 l

L,. = rnH +

6

mH y L. . =

2

mH

Con tres condensadores en paralelo,

i=C dv +C

dv

+C

dv = C

+C

+C

dv =C

dv

1

dt

2

dt

J

dt

1 2 l

dt

eq

dt

Para varios condensadores en paralelo resulta,

C""

= C

1

+ C

2

+ · · ·, que es la misma expresión que para

resistencias en serie.


5/40

28

CIRCUITOS

E L ~ T R I O S

Y ELECTRÓNICOS

3.6. DIVISIÓN DE TENSIÓN

Un conjunto de resistencias en serie, conectadas como muestra la F.igura 3.5, se denomina divisor de tensión.

Este concepto, que aquí se refiere a un conjunto de resistencias, puede extenderse a impedancias, como

se

verá

en el Capítulo 9.

. . ___...

1

R, u

R,

R¡

Figura

3.5.

Puesto que v

= iR

y v = i R

+ R

2

+ R

3

,

v

= v(R RJ

EJEMPLO 3.7. Un circuito divisor de tensión tiene dos resistencias cuya suma

es

50 n Si la tensión de salida es ellO

de la de entrada, calcular el valor de las dos resistencias.

de donde, R

= 5 .Q y

R

2

= 5 n

3.7. DIVISIÓN DE CORRIENTE

5.

=

.10

V

0,10 '

R,

50xlO'

Una organización de resistencias, como la mostrada en la Figura 3.6, constituye un divisor de corriente. La rela

ción entre la corriente i

1

por una rama y la corriente i muestra el funcionamiento del divisor.

Entonces

V

l ,

R,

R,

i=... ..+..E...+... ..

R, R, R

3

y

i

1

_

1/ R,

- -

11 R,

1 1

R

I/ R

Para

el caso de oo divisor con dos ramas tendremos:

i

1

_ R,

R,

R,

i

:... ..

' R,

Figura

3.6.

R

R

R

1

R

2

R

1

R

1

R

2

R

3


6/40

CAPÍTULO

3

LEYES E LOS CIRCUITOS

9

Esto puede expresarse de la forma siguiente: en un circuito con dos ramas en- paralelo, la relación entre las

int

en

sidades por una rama

y

la total es igual a

la

relación entre la resistencia por

la

otra rama

y la

suma de ambas

resistencias.

EJEMPLO 3.8. Una corriente de 30 mAse divide en dos corrientes de rama de

20

mA y 10 mA, mediante un circuito con

una n SIStencia equivalente mayor o igual a 1On. Calcular los valores de las r e s i s t ~ n c i s de ambas ramas.

20mA

R

30

mA =

R

2

lOmA R

30

mA =

R + R

R R >

10

n

R R -

Resolv1endo estas ecuaciones se obtiene R, 2: 15 Q y R

2

2: 30 O.

PROBLEMAS RESUELTOS

3.1.

Obtener el valor

de V

3

y su polaridad, sabiendo que la corriente/ en el circuito

de

la Figura

3.

7, es

de 0,4

A.

v

5(1 IOV

v

50V +)

)

< 2011

V

Figura

3.7.

Suponiendo que V

3

tiene la misma polaridad que

V

1

y aplicando la

LKT,

comenzando por la esquina inferior izquieT

da, se obtiene:

V

1

- /{5

- V

1

-

/(20) + V

3

=

0

50 - 2 - 1 - 8 +

V

=

0

V

3

= -30V

El terminal b es positivo respecto del

a.

3.2.

Ca

lcular las intensidades

I

·e /

2

en el circuito

de

la Fig

ur

a 3.8.

a

y

b

constituyen un solo nudo. Aplicando la LKC,

2 + 7 + 1

=

3 o

/

1

= 6 A

7

tA

.

4A

'

Fig

ura

3.8.


7/40

30 CIRCUITOS ELÉCTRICOS Y ELECTRÓNICOS

También

e y d

fonnan un nudo, por lo que:

4 6 = 1 2 1

3.3. Calcular la intensidad

1

por el circuito de la Figura 3.9.

2A

ji

o 1

2

= 9A

4A

Figura

3.9.

Las intensidades por el interior de

la

zona remarcada

no

se pueden calcular al no conocer los valores de las resisten

cias. Sin embargo, al aplicar

la LKC

a toda

la

zona considerándola como un nudo, se obtiene:

2 3 4 1=0

o

=

-5A

3 4

Calcular la resistencia equivalente del circuito de

la

Figura

3 1O

200

lOO

Figura

3.10.

Las dos resistencias de

20

Q en paralelo son equivalentes a una resistencia,

Reo.

= (20) (20)/(20+20) =

lO

n

Ésta

se encuentra en serie con

la

resistencia de 1O

Q

cuya suma será

20 n

Ahora, esta última calculada se encuentra

en

paralelo con

la

de

20 n y

así se obtiene que

la

resistencia equivalente es 1O

Q .

3.5. Calcular

la

inductancia equivalente de las tres bobinas en paralelo de

la

Figura 3.11.

L.

2 mH

Figura

3.11.

Las dos mductanc1as

de 20

mH son equivalentes a una de 10 mH. Ésta se encuentra

en

paralelo con

la de

10 mH,

siendo por tanto mH la equivalente del conjunto. Alternativamente, se puede obtener del siguiente modo:

_ _ =... . . .+... . . .+... . . .=_1_+_1_+_1_+=-

4

- o

L

=5mH

L .

L L

L OmH

20mH 20mH 20mH

"'

3.6. Calcular la capacidad total

de

los tres condensadores de la Figuril 3.12.


8/40

CAP

ITULO

3

LEYES

DE

LOS CIRCUITOS

31

_fn

[_ j

c

F

igura

3.12.

Para

C

y C

en paralelo, C '

=e

2

+ C.

Entonces para e,

y

Ccq en serie,

e

=_e_

_.

_ =e:..;.,

e-:':-+_c=-,

r e +C,.

e, +e,

+C,

3.7. El ctrcuito de la Figura 3.

13

es un divtsor de tenstón, también llamado atenuador Cuando se trata de una resis-

tencta única con un contacto deslizante se denomtna potenciómetro. Para comprobar el efecto de carga, provocada

por la resistencia R del voltímetro VM, calcular la relación V

.

V,.. para los casos: (a) R -oo, (b) 1 MQ, (e) 10

kQ,

d) l kQ.

(a)

250 ' 0,100

v. .tv

..

=

22

50+250

(b)

La

resistencta equivalente de R en paralelo

co

n la de 250 Q, será:

250 1 o > = 249,9 n

R

. = 250+

10

y

249,9 =0 ,100

v ..tv.

=

2250

+ 249,9

(e)

(d)

(250)(10

ooo)

= 200 n

R

. = 250+

10000

'-

y

y

V ..

IV. .

=0,098

v ..tv =0,082

Figura 3.13.

3.8.

Ca

lcular las intensidades que circulan por todas las ramas del circuito mostrado en

la

Figura 3.14(a)

.so

•

l ·

1,,

_,,

,._ ·l

11

12 11 8

13 ,7 A

b

(a)

41

6

R

Fi

gur

a 3.14.

9

,11

0

l ·

2

1) ,7 A

(b)

20


9/40

32

C I R C U I T O ~ eu:.CTRICOS Y ELECTRÓNICOS

Las resistencias equivalentes de las partes situadas a la izquierda

y

a la derecha

de

los nudos

a

y b

son:

R

.

=5+ (I

2

) S)

=9 8 Q

' ( •WI 20

R

_ (6)(3)

' ' '- 9

=20

Ahora. ut1ilzando el circuito

de

la Figura 3.14(b),

Util1zando el circuito origmal,

1

1

= 1__ 13.

7)

= .32 A

11,8

1

=2, (137)=1138A

11,8 . .

8

1,

=

20

(2. 32) =O. 93 A 1 = 2.32 O 93= 93 A

= ~ 1 1 , 3 8 ) = 3 . 7 9 A 1

6

=11.38-3,79=7.59A

PROBLEMAS SUPLEMENTARIOS

3.9.

Deduc1r la tensión

V

y

la polaridad

de

la fuente

de la

Figura

3 15

en los casos: {a)

1

=

2 A

y

(b)

1

=

2

A.

Solución: (a) 50 V, terminal

b

positivo; (b)

10

V, terminal

a

positivo.

3.10. Calcular la

Rcq en

el circuito

de

la Figura 3.16, para: (a)

R =

(b)

R

=O,

(e) R = 5 Q .

Solución: (a) 36 Q; (b) 16 Q;

e)

20 Q.

lOO

160

--..fVV

V

_______1:

fR

sn

Figura 3.15. Fig

ura

3.16.

3.ll.

Una

bobina de

8 mH

se encuentra conectada

en

serie con otras dos que están

en

paralelo,

de

valores 3 mH

y 6

mH.

Calcular L q·

Solución:

JO

mH.

3.12. Demostrar que la

q

de los tres condensadores Iguales de la Figura 3.1 7 es igual a 1 5 c

3.13.

Calcular los

valores

de

RH

y

R

del divisor

de

tens1ón

de

la Figura

3.1

8,

suponiendo

que

la corriente está limitada

a-

0,5 A cuando la tensión es

v.

= lOO V.

Solución: RH =

2

MQ; R = 200

MQ.

3.14.

Utilizando la d1visión

de

tensión, calcular V

1

y V

2

en el circUitO de la Ftgura 3.19.


10/40

CAPÍTULO

3 LEYES DE

LOS CIRCUITOS

33

1 MV

RH

u

o 1 .

1

o

r

r

-

Fig ura

3.

17.

Figu

ra 3.1

8.

So

lución: 11,4 V, 73,1 V.

3.15. Calcular la intensidad de la fuente y la potencia dis1pada en el circuito de

la

Figura 3.20

Solución: 6 A, 228

W.

740

16,4 o

Vo

120

60

tOS

V 103.2 O ,p v

' \

4A

1 • 1 t

4

o

l 2

o

28,7

o

Figura 3.1 9.

Figura 3.20.

3.16. Demostrar que para cuatro resistencias en paralelo, la corriente por una rama. por ejemplo la de R

4

viene dada en

función de la corriente

total/

por:

,

= l r ( R , ~ R )

,

R R R

siendo

R

=

R R R R R R

1 2 1 ] •

ota : este caso es similar al de una división de corrientes por dos ramas en paralelo, donde la otra resistencia se ha

sustituido por

R .

3. 17. Una línea de transporte de energía conduce corriente desde un generador de 6000 V a tres cargas, A, B y C.

Lascar·

gas están situadas a 4, 7

y

1Okm del generad

or y

absorben 50, 20

y

100

A,

respectivamente. La resistencia de la línea

es O,

1nlkm;

véase la Figura 3.21. (a) Calcular la tensión en las cargas A, By C. (b) Calcular el porcentaje

de la

caída

de tensión entre el generador y la carga C.

Solución: (a)

v

=

5928

V,

v

8

=

5889

V,

ve= 5859

V;

(b) 2,35 .

1

H m

1

3m

1

Jm

1

G d

0.40 0,3 0

0,30

r or

(6000 V) -

-- VV

\ r -- - .._- J V I I \ r -- +- . . J I J V u --

SOA l

OA

IOOA

3.18. En el circuito de la Figura 3.22,

R

=O e

í

1

e í

2

son desconocidas. Calcular

i

y v C

Solución: (

=

4 A,

v AC

=

24

V

3.19. En el circuito de la F1gura 3.22,

R

= 1

í

e í

1

= 2 A. Calcular í, í

2

y

v¡c

Solución:

í

=

5

A, í

2

=

-16

A,

vAC

= 27

V

Figura 3.

21.


11/40

34

CIRCUITOS a ~ T R I O S Y ELECTRÓNICOS

Q..i. A

__ _

B

40 JO

R

¡, o e ¡2

Figura 3.22.

3.20. En el circuito de la Figura 3.23, i,

1

= v,

2

= O

v

1

= 9V i,

2

= 12 A. Representar el circuito simplificado y calcular

iBA y AC en

los casos: a)

R

= O

b) R

= 6

n.

e)

R

= 9

n y

d)

R

= 10000

n.

Sugerencia: una

fuente

de

tensión cero corresponde a un elemento cortocircuitado

y

una fuente

de

intensidad cero

corresponde a un elemento en circuito abierto.

So

lu

ción:

a)

iB

=

7

A,

vAC

=

30 V.

b) iBA= 4,2 A, VAC = 21,6 V.

e) iB = 3,5 A,

vAc

= 19,5

V.

d) iBA

=

0,006A

O

VAC = 9,02 V 9

V.

3.21.

En el circuito

de

la Figura 3.23, v = v,

2

=O, i,

1

= 6 A,

i,

2

=

12 A.

Representar el circuito simplificado

y

calcular

iBA y AC

en

los casos: a)

R

=O, b)

R

= 6

n.

e) R = 9 n y d)

R

= 10000 n.

·Solución: a) iBA=

6A, vAc

= 36 V.

b) iBA = 3,6

A, VAC

= 28,8 V.

e) lBA

=

3 A, VAC = 27

V.

d)

iBA

=

0,005A O,

t Ac

=

18 V.

3.22. En el circuito

de

la Figura 3.23, v =O, v,

2

=

6 V i = 6 A,

i,

2

= 12 A. Representar el circuito simplificadoy cal

cular iBA y AC en los casos: a) R = O b) R = 6 n. e) R = 9 n y d) R = 10000 n.

So

lución: a) iBA = 5,33 A, VAc = 34 V.

b)

iBA

=

3,2

A, VAC =

27,6

V.

e) iB = 2,66 A,

v .c

= 26 V.

d)

iBA= 0,005A o VAC = 18,01 V 18

V.

~

;.

60

e

Figura 3.23.

3.23.

En el circuito

de

la Figura

3.24,

a) calcular la resistencia

de

entrada vista por la fuente

de

tensión,

R. =

vlz

como

función

de

a y b) ca lcular R. . para a O l,

2.

Solución:

a)

R. ,= Rl l -a ; b) R oo

-R.

3.24.

En

el circuito

de

la

Figura 3.24

, a) calcular la

p o ~ n c i a

P suministrada

por

la fuente

de

tensión como función

de a

y b) calcular P para a = O

1

2.

Solución:

a)

P =

v

2

1 -

a IR;

b) v

2

1R O -v l R.


12/40

CAPITULO 3 LEYES DE

LOS

CIRCUITOS 35

_ _

V

ai

1

Figura 3.24.

3.25. En el circuito de la Figura 3 24,

a

= 2. Se conecta una resistencia R en paralelo con la fuente de tensión y se ajus- ·

ta

su

valor dentro del rango O

R

0,99R, tal que la fuente de tensión suministra la mínima potencia. Calcular,

a) el valor

de R

y b) la potencia suministrada

por

la fuente

de

tensión.

Solución: a) R, = 0,99R, b) P = v21(99R).

i

V

Figura

3.25.

3.26. En el circuito

de

la Figura 3.25,

R

= O y

b

= 100. Dibujar el circuito simplificado y calcular

v paraR

= 1 k y

lOffi.

Solución: v =

1,1 V.

3.27.

En

el circuito

de

la Figura 3.25, R

1

=O

y

R

= 1 k Q Dibujar el circuito simplificado

y

calcular

v

para

b

= 50, 100,

200. Obsérvese que v es proporcional a

b.

Solución:

v

= 0,5; 1; 2 V.

3.28. En el circuito de la Figura 3.25, R

1

= 100

k

y

R

=

11

ffi. Dibujar el circuito simplificado y calcular v para

b

= 50, 100, 200. Comparar

con

los resultados obtenidos

en

el Problema 3.

27

y observar que, en este caso,

v

es

menos sensible a las variaciones

de b.

Solución: v = 0,9;

1;

1,04 V.

3.29. Un elemento no lineal está representado por la curva característica siguiente:

. {lOv p a r a v

r=

O,lv

p a r a v ~

Calcular la corrientepor el elemento si se conecta a

una

fuente

de

tensión con: a)

v

= 1 +

sen t y

b)

v

= - 1 +

sen t Véase la Figura 3.26 a).

Solución: a) i =

10

1 sen t ; b) i = 0,1 -1 sen t).

IQ

V

V

no l i n ~ a l

V

no lint l

a)

b)

Figura 3.26.


13/40

36

CIRCUITOS ELtCTRICOS Y ELECTRÓNICOS

3.30. conecta una resistencia de l Q en serie entre l elemento no lineal del Problema 3.29 y a fuente de tensión. Véase

la Figura 3.26 b). Calcular la corriente por el elemento si la fuente de tensión es: a) v l

sen

t y b) v 1

T

sen 1.

Solución: a)

i

0,91 l + sen

1 ;

b)

i

0,091 -1 + sen

1 .


14/40

étodos de nálisis

4.1.

EL MÉTO

DO DE LAS CORRIENTES DE RAMA

En el método de las corrientes de rama se asigna una corriente a

cada

rama de l circuito. Después se aplica la ley

de

Kirchhoff

de las corrientes a

cada

uno de los nudos principales del circuito y

la

ley de las tensiones entre los

nudos a través de

cada una

de las ramas.

Esto

proporciona

un sistema

de ecuaciones

que

permite calcular las

corrientes.

EJEMPLO 4 . Calcular las corrientes en cada rama del circuito de la Figura 4.1 utilizando el método de las corrientes

de rama.

s o 2

· ·

10 0

b

Figura 4.1.

Se asignan las corrientes /

1

, /

1

e /

1

a las

ramas,

tal como se indica en

la

Figura 4.1. Aplicando la LKC al nudo

a,

1

1

= 1

1

/

1

{1)

La tensión v puede escribirse en función de los elementos de cada rama; v

=

20 - /

1

(S), v = /

1

(lO) y v = 1

1

(2)

8. Por tanto, pueden escribirse las ecuaciones siguientes:

2 /

1

S)= /

1

( lO)

20 - /

1

S)

= 1

1

(2) 8

Resolviendo el sistema de las tres ecuaciones (1 , (2) y (3 , se obtiene /

1

= 2 1

1

= 1 A e /

1

= 1A.

(2)

J)

Se podían haber elegido otros sentidos para las corrientes de rani a, y con el signo obtenido en el resultado

final

se

deduciría el sentido correcto. Cuando la red es

más

compleja,

el

método

de

las corrientes de rama

es

difi

cil de aplicar, porque no se ve claramente el proceso de seleccionar las ramas y los nudos para obtener las ecua

ciones adecuadas al problema concreto. Además, pueden requerirse más ecuaciones independientes que las que

se

i t a n

con el método de las corrientes de malla o

el

de las tensiones

en

l

os

nudos.

37


15/40


16/40


17/40

40

CIRCUIT(I

E L ~ C T R I C O S

Y ELE TRÓNI OS

Análogamente,

R

1 =_l_IR,

D.•

R V

Ru

ll 1

V,

Ru

V

1

Rn

R,

R V

1

1

=_LIR

R

11

V

1

a.

R11

R

V

Un desarrollo de los determmantes por los adjuntos de los términos de tensión proporciona un sistema de ecuac1ones que

puede ayudar a entender el Circuito en función de sus resistencias de transferencia y de las tensiones de excitac1ón

1

=

V.

~ ) +

VD.,, +V

~ )

a.

tJ.•

t. .

(7)

1 = V . ~ ) +

V.

(D.

+V (D.

)

, a. , t.. , a.

8)

1

::V.

D.n)+

11

D.n)+

V

(D.n

)

,

a .

,

6

•

tJ.,

(9)

donde,

6./J es

el adJUnto de R elemento de ta tita

1,

columna}) de D.R. Deben tenerse en cuenta los signos de los menores

complementarios (véase et Apéndice 8).

4.4. EL MÉTODO DE

LAS

TENSIONES EN LOS

NUDOS

El

circUitO

de la Figura 4.4(a) llene cmco nudos, donde

el4 y e\5

son sencillos

y

el / ,

2 y 3

son principales. En

el método de las tens10nes en los nudos, uno de los principales se toma como nudo de referencia y se aplica la

LKC al resto de nudos pnnctpales. A cada uno de

e-stos

nudos se le asigna una tensión, entendiendo que se trata

de una tensión respecto de la del nudo de referencia. Estas tensiones son las mcógnitas

y

cuando se determinan

por un método aproptado, se obtiene la solución del circuito.

J

]

J

R .

r

R,

Ro

Ro

R .

R,

J rcf.)

(a)

(b)

Figura 4.4.

El circuito está representado de otra forma en la Ftgura 4 4(b), donde se ha tomado el nudo 3 como referen-

cta para las tensiones V

1

y V

2

•

La LKC establece que la suma de corrientes

en

el nudo

1

es igual a cero:

v;-v.

~

v;-v;

=O

R,. R

8

Re

Análogamente, las corrientes en el nudo

2,

deben anularse:

v -v;

v,

v -v.

0

- - --=

Re R

0

Rt


18/40

CAPITULO 4 M ~ T O O O S E ANÁLISIS 41

(Aplicar la LKC de esta fonna no implica que las corrientes reales por todas las ramas sean salientes

en

ambos

nudos. Evidentemente, la corriente por la rama

2

debe ser saliente en un nudo y entrante en otro). Poniendo

en fonna matricial las ecuaciones para V

1

y V

2

:

[

_)_+_ _+.... _

R ~ Re

¡¡

> ; V.IRA

1

l

.;. + i. [J[.,,.J

e

Observe la simetría de los coeficientes de la matriz. El elemento

1,1

es tgual a la suma de las inversas de todas

las resistencias conectadas al nudo ; el 1,2 y el 2,1 son iguales al valor de la suma

de

las inversas de las resis

tencias que se encuentran conectadas en las ramas que unen los nudos y

2

y con signo negativo. (En este cir

cuito solo hay una rama.)

El segundo miembro de la ecuación es la matriz de intensidades con VjR y V/Re que son las corritmtes de

las fuente

s.

Estos dos elementos se han tomado positivos porque ambos conducen corriente

hacia

el nudo. Más

adelante, en el Capítulo 9, se tratarán de fonna más completa estos elementos, cuando se estudie el llétodo de

las tensiones en los nudos para circuitos con ondas sinuosidades estacionanas.

EJEMPLO 4.5.

Resolver el

circutto del Ejemplo 4 2 usando

el

método

de las tensiones en los nudos.

El

ctreuito se ha dibujado de

nuevo

en

la Figura 4.5. Con

dos

nudos

principales

, sólo se

necesita

una ecuación. Si se supo-

nen

todas las corrientes

salientes

en el nudo superior

y

se toma el nudo inferior como

referencia,

V,-20

~ V,-8

=0

5 10 2

de

donde

V

1

'

10

V.

Entonces,

/

1

=

(10 - 20

)/5

=

-2

A

el

signo menos

indica que

la

corriente /

1

circula

bacía el nudc

1);

1

2

= 10-

8Y2

= 1

A

La corriente /

1

del Ejemplo 4.2 es la que se indica con linea de trazos.

2 V

td .

Figura

4.5.

4.5. RESISTENCIAS

DE

ENTRADA Y DE SALIDA

En los circuitos con una sola fuente es interesante con frecuencia conocer la resistencia de entrada.

La

Figura

4.6 muestra un circuito de ese tipo, donde la fuente de tensión se ha designado como V

y la intensidad corres

pondiente como 1

1

• Puesto que la única fuente es V

1

,la

ecuación de 1

1

es [véase la ecuación

(7)

del Ejemplo 4.4]:

1

= v . ( ~ )

La

resistencia de entrada es la relación tntre V

1

e

:

o

R - , = ~

....


19/40


20/40

CAPITUlO 4 ~ T O O S

DE

ANÁLISIS

43

4.7. SIMPLIFICACIÓN DE CffiCUITOS

Los métodos de las corrientes de malla y de las tensiones en los nudos son las técnicas principales de análisis de

circuitos. Sin embargo, la resistencia equivalente en las ramas en serie y en paralelo Secciones 3.4 y 3.5),junto

con las reglas de la divis1ón de

comente

y

de ten

s1ón

proporcionan otro método de análisis de circuitos. Es te

método es ted1oso

y

normalmente, requiere la representación de varios circuitos adicionales.

No

obstante, el pro-

ceso de reducir el circUitO proporciona una vis1ón más clara del funcionamiento completo del mismo en térmi-

nos de tensiones, comentes y potencias. La reducción comienza por una exploración para detectar las combina-

Clones de res1stenctas en sene y en paralelo.

EJEMPLO

4.6.

Calcular la potencia sumimstrada por la fuente de

60

V

y

la potenc1a absorbid a en cada resistencia del cir-

cuito de la Figura 4.8.

1 7

o

611V

12 0

R

=

+5= 12íl

R

= 12) 6)

=4í l

12+6

6

d

as

equivalentes de las dos ramas están en paralelo Figura 4.9) y darán:

4) 12)

=3íl

R•

= 4+12

o

7

b

Figura

4.8.

Además esta resistencia equivalente de

3

í l está en serie con la de

7

í l Figura

4.10),

así que para el circuito completo,

R '

=

1 +3 10 n

7 0

o

4

o

60V

O

d b

1

Figura

4.9.

Figu

ra 4.10.

La potencia total absorbida, que es igual a la suministrada por la fuente, puede ahora calcularse como,

v

_

60) =

360

w

Pr

=-¡¡--

10

Esta potenc1a está repart1da entre

R

1

y

R ¡

de

la forma siguiente:


21/40

)

44 CIRCUITOS E L ~ T R I O S Y ELECTRÓNICOS

7

P,, =

0

=

7

+

3

(360) = 252 W pq = 7 3(360)=108

w

La potencia P


22/40

CAPITULO

4

MéTODOS

OE

ANÁLISIS 45

4

4

47 o

l'i '

27

l

2JCl

27

l

oc

2.1

o

200V

(a) (b)

4

47

o

¡.,

V Il

JO

s.c

(e)

Figura 4.11.

La corriente total por la resistencia de 23

n

es,

lun = = 11,23 A

4 9 TEOREMAS

DE THÉVENIN

Y

DE NORTON

Un Circuito hneal

con

resistenc1as, que tiene

una

o

más

fuentes

de

tensión o

de

intensidad, puede sustitutrse por

una fuente de tensión y una resistencia en serie (Teorema de Thévenin) o por una fuente de intensidad y una

re >is-

tencla en paralelo (Teorema de Norton). La tens1ón

se

denomma Tensión equivalente

de

Thévenin, V , y la inten-

Sidad de comente de la fuente Corriente equivalente de Norton,

1 .

Las dos res1stenc1as son la misma, R . Cuando

los terminales ab de la Figura 4 .

12

están abiertos, aparecerá una tensión

entre

los mismos.

La tensión

V

del C

1rcu1t

o equivalente

de Thévenm

de la Figura 4.12(b) será

la

tensión entre aben circUitO

abierto.

Si

se cortocircuitan los terminales

ab

,

como se

indica mediante la línea

de

trazos

de

la Ftgura 4.12(a),

circulará una

corriente. Esta corriente será la

de la

fuente de mtens1dad 1

de

la Figura 4.12(c)

del

circuito equi-

valente de Norton. Ahora, SI los c1rcu1tos (b)

y

(e) son equtvalentes del mtsmo circuito activo, ellos serán equi-

valentes entre sí. Se deduce entonces que R = V /1 .

R

a

\

\

\

\

\

\

Red ' •col \

1

V

1

R

1

t ll •

1

J

1

1

1

b

b

b

(a) (b) Thévenin

(e) Norton

Figura 4.12.

EJEMPLO

4.8.

Obtener los circuitos equivalentes de Thévenin y

de

Norton del circuito de la Ftgura 4.13(a).

Con los terrnmales

ab

en vacío, las dos fuentes

y

as res1stenc1as de 3

n y e 6 n

estan recorridas

por

una

co

rriente en sen-

tido de las agujas del reloJ [Figura 413 b)) de valor·


23/40

46

CIRCUITOS E L ~ C T R

C O S

Y ELECTRÓNICOS

J O

. lO

•

1

• . . .

o a

f 1 Y h o

a

JO

1> 0 JO

on

2H

V

lO V

V

L o

h

< l

b

(a)

b)

1 {

1 1 o

.1 1

¡,{1

s.c s.c

(e)

Fig

ur

a 4.13.

/=20 10=30 A

3+6

9

Puesto que no Circula corriente por la resistencia de 3 Q de la parte superior, la tensión de Thévenin puede calcularse a

partir

de

cualquiera de las dos ramas activas:

o

v .

=V 2 0 - C ~ ) 3 ) = 10 V

V . = V = (

~ ) 6 - 1 0 = 1 0 V

•

La resistencia R se puede calcular cortocircuitando las fuentes de tensión [Figura 4.13(c)] y obteniendo la resistencia

equivalente del circuito entre los terminales

ab

R =

3+

3) 6) =

Q

9

Cuando

se hace un cortocircuito entre los terminales aparece una corriente

/oc

debida a las dos fuentes. Suponiendo que

la corriente circula desde

a

a

b

por superposición, tendremos,

1. = 1 = 6:

3

)[l+

; ~ 6

]-(

;

3

6

+

: ~ j ¡

l

2 A

En

la Figura 4.14 se

r e p r e s e n t ~ n

los dos circuitos equivalentes. En este caso. los valores

de

V ,

R

e 1 se obtuvieron de

forma mdependiente. Como están relacionados por la ley

de

Ohm, dos de ellos pueden utilizarse para obtener el tercero.

r

'

o

5

r . -o

a

2A

q¡

---

--

----

--

-

----

oh

.__

. . . _

_____

)

b

(a) Equivalente de Thévenin.

(b) Equivaleule de Norton.

Figura 4.14.


24/40

CAPITULO 4

M ~ T O O S

DE ANÁLISIS 7

La utiltdad de los circuit

os

equivalentes

de

Thévenin y de Norton está clara

cuando

se tiene que estudiar un

CirC

uitO

con

d1ferentes cargas,

cada

una

de

ellas representada

por

una resistencia. En la Figura 4.15 se tiene esta

s1tuaci6n, en la

que

varias resistencias R

1

, R

2

, •.• R.

se

pueden conectar una a

una para

obtener la intensidad y

la potenc1a

en cada

caso. Si esto se hubiese intentado con el Circuito

pnmltl

vo, la tarea habría sido tediosa y el

t1em

po

empleado

mucho mayor

V

. : ··

¡

·

Figura 4.15.

4.10. TEOREMA

E

TRANSFERENCIA DE

MÁXIMA

POTENCIA

A veces

se

qu1ere calcular la máx1ma potencia que

es

capaz de transfenr

un

c1rcuito activo a una res1stenc1a ex.tt:·

nor

RL

Supomendo

que

el circuito es lineal, se puede reduCir a un circuito eqUivalente como el de la Figura 4.16.

Entonces:

V

= -

R +Rt

y por tanto la potencia absorbi

da

por la carga es,

V

2

R

v 1[

(R -R

)

2

]

pt

=

R +R:)

2

=

4R

l R +R:

Puede verse que P

L alcanza

su valor máximo, V lf4R

,

cuando

RL

=R

, con

lo

que

la potencia absorb1da por

R es tamb1én

V l

f4R

.

En consecuencia, cuando la potencia transfenda es máx1ma, el rend1miento es del 50 .

R

1

vru·(. ~

R,

1

1

1

Figura 4.16.

bsérvese que la cond1

ción de

máx1ma potencia transf enda a la carga no es la m1sma que la condic1ón de la

máx1ma potencia suministrada

por

la fuente. Esto último sucede cuando RL

= O

en

cuyo caso

la potencia sumi-

nistrada a la carga es cero (es decir, es mínima).

1:. ~ S i : :

1

PROBLEM S RESUELTOS

¡

.,

4.1.

Utilizando el mélodo de

las

corrientes por las

ramas.

en

el circuito de la F1gura

4.17 ,

calcular la corriente que circ

u-

la por

la

fuente de 60

V.

La LKT y la

LKC

dan:

/z(l2)

- 1¡ 6)

JO)


25/40

8 CIRCUITOS EltOCTRICOS Y ELECTRÓNICOS

NIV

7 0

-

Sustituyendo

(JO)

y / /) en

(13),

Sustituyendo ahora ( /4) en (12).

,

·

12

o

1>0

2

( 12)

=

1,(12)

60 = 1¡ 7) + 1

2

(12)

1

1

=

1

2

+

3

+ 1

4

/

1

= /

2

+

21

2

+

1

=

41

2

lr·

12

o

60=((7)+F,(12)=10l

1

o

1,

=6A

4.2. Resolver el Problema 4 .1 por el método

de

las corrientes de malla.

Aplicando la LKC a cada malla (véase la Figura 4.18) resulta:

60 =

7 ,

+ 12 1) - 1,)

O

12(/

2

-

1

) +

6(1

2

-

1

3

)

O = 6(/

3

-

2

) + 121

3

Reordenando los términos y expresando las ecuaciones en forma matricial:

Figura

4.17.

191,-121,

=60

-12f, + 181,- 61,

=o

-61,+18 ,=0

o

[

19

-12 0][/ ]

[6 ]

- 12

18

-6 1,

=

o

o -6 18 f¡ o

Utilizando la regla

de

Cramer paraobtener 1,.

6o -t2 o l ¡ 19 -12 o

r,

=¡ o

18 -6

.. -12

ts

-61=17280+2880=6A

o

-6 18

o

-6 18

7 0

f"3 t·Z ,

Fig

ura

4.18.

/1)

(/2)

(13)

(14)

4.3. Resolver

el

circuito de los Problemas 4.1 y 4.2 por el método de las tensiones en los nudos. Véase la Figura 4.19.

Con

dos nudos principales sólo hace falta una ecuactón.

V -60

~ ~ ~ = 0

7

12

6 12


26/40


27/40

50 CIRCUITCS ELÉCTRICOS Y ELECTRÓNICOS

Por tanto,

[

19 7 7]

c..

= 7 13 7 = 2880

7 7

19

Obsérvese que en el Problema 4.2 también t R = 2880, aunque los elementos del determi nante sean d1fercntcs Todos

los cun;untos de mallas o bucles váhdos dan el

m1smo

valor de t.

.

Los tres detem1inantes correspondientes a los

numeradores son:

Por cons1guiente,

60 7 7

N,=l6o 13 71=4320 N

1

=8642 N

1

=4320

60 7 19

N,

_

4320

=

15 A

1,

= t. - 2880

=N, =3

A

c..

l =N¡

=

1,5

A

) c..

La corriente suministrada por la fuente de tensión

de 60

V es la suma

de

las tres corrientes

de

malla, 1

1

1 1

=

6A

4.7. Escnbir la ecuac1ón matricial del método de las corrientes

de

malla para el circuito de la Figura 4.21 utilizando para

ello el método

de

inspección

de

l mismo,

y

calcular las corrientes correspondientes.

Resolviendo,

Análogamente.

t

2

·

Figura 4 21

[

5 o][r] ¡ 2

]

-5 19

-4

r =

25

o -4 6 f¡ 50

-25

-5 01 1

7

-5 o

r

=

2s 9

-4 -5

9 -41= -700)+536=-1,3 1 A

50 -4 6 o

-4

6

N

1700 -

1 17 A

t = t ~ = 53 >

·

N

_

5600

=

10.45 A

1¡

=t.

- 536

4 8 Resolver el Problema 4.7

por el

método

de

las tensiones en :os nudos.

El Circuito se ha dtbujado de nuevo en la Figura 4.22, con dos nudos principales designados como y 2 y el terce

ro que se toma como nudo de referencia. Según la LKC, la corriente neta por el nudo debe ser cero.


28/40

CAPITULO 4 METODOS DE ANALISIS

5

1

o

rcf

Figura 4 22

V

-

25

V

-

v

=

o

2 5 10

Análogamente, en el nu9o

2,

v

-

V ::1.

+

v

50

=

o

10 4 2

Expresando las dos ecuaciones en forma matricial,

[

. .+. .+... ._

2 S 10

1

10

_... .._

l ]

0 '

1 1 1 -

10

¡

2 v

S

-2S

El determinante de los coeficientes y los determinantes del numerador son

De donde,

.1=1 0.8.0 -0,101=0,670

-0,10

0,8S

= =

1,75

1

5 -0,101

1

-2S 0,85

1

0,80 51

N =

= - 195

-0,10 -25 '

1,75

1 - O 670 = 2,61 V

V =-19 5

-

0,670=-29,1V

En función de estas tensiones, las corrientes de la Figura 4.21 se calculan como sigue:

-V

f=__ .= - l 3 l A

1

2 '

Y¡

-V,= 3,17 A

t = -,-0

v

50= 0,45

A

t =

·

-2 -

4 9

En el circuito

de

la Figura 4.23, calcular

el

valor de Vs que hace que /

0

= 7,5

mA.

Directamente, por observación del circuito, se escribe la ecuación matricial del método

de

las tensiones en los nudos.

Resolviendo para V

2

[

_. ._+. .+. .

20

7 4

4

l

- ±

~ ] [ V . ] =

V f20

¡ 6 6 v o

1

0,443

V = -0,250

l 1 0,443

-0,250

v ~ 2 o l

-o.2SO

1 =

0,0638

v.

0,583


29/40

5 CIRCUITOS E L ~ T R I O S Y ELECTRÓNICOS

40

V

r

Figura 4 23

Entonces

7,5xlo-' =

1

•

=v =

0,0638

6 6

de donde

V = O,705

V

4 10 En el circuito de la Figura 4.24, calcular la intensidad de corriente que circula por la resistencia de 10 n

lf lO

2

Figura 4 24

La ecuación

en

fonna matricial para los nudos, obtenida directamente de la Figura 4.24,

Entonces, = V/10

=

0,118 A.

[

l+.. ..

5 10

_l

5

t- J[J[J

1

2

-ü,201

V -6

O

70

- 1

18

V

- ¡

0,30 -0,20¡- ·

-0,20 O

70

4 11

En el

circuito

de la F1gura 4.25, calcular la tensión Vab·

Las dos mallas cerradas son independientes y

no

hay paso de corriente por la rama

de

interconex:ión.

/

1

=

A

1

=

30

=

3 A

2

10

v .

=

v

+ v.. . + v•

=

1,(5)-5+1,(4)

=

3

v

4.12. Para el Circuito en escalera de la Figura 4 26, obtener la resistencia de Jansferencta ex:presada como la relación entre

v. .

e /

4


30/40


31/40

54 CiRCUITOS ELÉCTRICOS Y ELECTRÓNICOS

La tensión

de

circuito abierto

Ve

es la tensión en la resistencia de

5 n, como se

indica en la Figura

4.28.

1 o

10

o

1

n

v_

· ·

O·

1?.

b Fi

gura

4.28.

[

15

-5

-5

20

o

-5

o]

[t']

¡ v ~ l

5

t = o

20 1¡

o

l

=

25 V .

=V . A)

5125 ISO

Entonces. la

f u ~ n t e

de Thévenin

V'=

Vea = /

1

(5) = v . 41. y

v

_ 1Q n

RTh

=¡ -

41

El c1rcuito equivalente

de

Thévenin

es

el

de la

Figura 4.29. Con

RL

conectada en tre

ab

la intensidad

de comente es

de

acuerdo con el Problema

4.12

V = ~

4t

1

141

1'"" A)

.. __ '. ' =41RL +150

Ir

1

511

o

4 1

G

R,

Fig

ur

a

4.29.

4.14. Utilizando superpos1ción.

calcular

la intensidad 1deb1da a cada fuente

de

tensión en el circu1to dt

la

Figura 4.30.

Las corrientes de malla se eligen de tal forma que por cada fuente circule solamente una

de

ellas.

[

5

-27] [ ]=[-460]

-27

7 t

=

200

HU

Figura 4.30.


32/40

CAPITULO 4

MÉTO OS DE

ANÁLISIS

De la fuente de tensión de 460 V

,

(-460)(74)=-10,42A

¡ =

1

= 3267

y de la fuente de 200 V.

-(200)(- 27) = 1.65 A

¡ ·= ¡ = 3267

Entonces. 1 =

/'

+ / = -10,42 + 1,65

=

-'6,77 A

15. Obtener la 111tens1dad de corriente por cada resistencia de la F1gura 4 31 (a). uulizando el método de reducción del

CirCUitO.

Como pnmcr a ~ o las

combinaciones

de dos resistencias

en

paralelo se sustituyen

por

sus equivalentes Para la

com

b1nac1ón de 6

Q

y 3 Q, R

4

= (6)(3)/(6+ 3) = 2 O. Para las dos resistencias de 4

Q , R q

= 2

Q .

A contmuac1ón, se

vuelve

a

representar

el Circuito

con

las resistenc1as que están

en

serie sumadas (Figura 4 .31(b)] Ahora. las

dos

reSIS-

tencias de

6

Q ,

que

están

en

paralelo, tienen un valor equivalente

R .

=

3

Q

y

a su vez,

ésta

se encuentra en serie

con la de 2

n.

Asi. R = 5

n.

como se indica en la F1gura 4.31 (e). La corriente resultante es

1

= 5 =

A

T

5

Ahora, para calcular las

comentes

por las ramas. se utilizarán los circuitos de la Figura 4.

3l(b)

y 4.3l(a).

V

2

r

25 V

60

(b)

le =

1

= ;1 = 2,5 A

/

0

=1,

=3lr

= .25 A

1

3

- 1 ,

=lA

A

6+3

3

1

6

- = QA

• 6+3 3

1,

2

-

,

Ir¡

4 0

¡

(a)

[ ]

S V,

S

O

ll

6 0

e)

Figura 4.31.


33/40

56 CIRCUIT'JS ELÉCTRICOS Y ELECTRÓNICOS

4.16. Calcul

ar

el valor de

la

resistencia regulable que proporciona la máxima transferencia

de

potencia a través de los ter-

minales ab del circuito de la Figura 4.32.

10

O 1

S

O

100 V

IS

o

R

b

Figura 4.32.

Primero se calcula el equivalente de Thévenin, obteniéndose V

=

60 V

y R =

11 O. De acuerdo con la Sección

4.1

O

la

máxima potencia transfenda se presema cuando

R =

R

= n , y

vale

V

P . .

=

4R

=

1, 2

W

\ -r

.,

( ,.

i •· :1

4.17. Aplicar el método de las corrientes de malla

al

circuito

de

la Figura 4.33

y

escribir directamente la ecuación matri-

cial. Obtener la corriente

1

1

mediante el desarrollo del determinante del numerador por los elementos de la columna

que contiene las tensiones de las fuentes, comprobando que cada fuente contribuye

al

valor

de

/

1

con una comente

de 2,13 A.

2

s

n

1n

8t,O

t·8

27

V

Figura

4.33.

4.18. En la Figura 4.34 se indican las corrientes de malla de un determinado circuito. Escribir la ecuación matricial y obte-

ner las tres intensidades.

Solución: 3,55 A,

-1,9

A,

-2,9

A.

5

3

8

2

n

1

~

\__

2

2 V

Figura

4.34.


34/40

CAP[TULO 4 MÉTODOS

DE

ANÁLISIS

57

4.19. El circuito del Problema 4.18 se ha V Jelto a dibujar en la Figura 4.35 para solucionarlo por el método de las tenstO·

nes en los nudos. Calcular las tensiones en los nudos V

1

y V

2

y comprobar las corrientes obtenidas en el Problema

4.18. .

Solución:

7,1

1 V, 3 96 V

20V

20

lO V

re f

Figura 4.35.

4.20.

En el circuito de

la

Figura

4.36 1

0

= =

7 5 mA. Utilizando el método de las corrientes de malla calcular el valor de

V

de la fuente de tensión.

So lución: 0 705

V

K 0 4 O

f

~ ¡n • ln .J

l l

Figura 4.36.

4.21. Utilizando el determinante adecuado del Problema 4.20 calcular la resistencia

de

entrada

vista

desde la fuente

de

tensión V . Comprobar el resultado por el método de reducción del c1rcuito.

Soluci

ón

: 23 5 Q

4.22. En el circuito de la Figura 4.36 calcular la resistencia de transferencia como relación entre la corriente /

0

y la ten-

sión V .

Solución: 94 n

4.23.

Obtener

las corrientes

de

malla del circuito

de

la Figura 4.37.

So

lución:

5

A;

1 A; 0 5

A.

180

sov

]

t 8 t·

8

4.24. Usando las matrices del Problema 4.23 calcularR .c

1

~ r ~ n s f e r Y ~ a n s f e r I J ·

Solució

n: 10

Q

50

Q

100

O.

4.25. Obtener las cuatro corrientes de malla del circuito de la Figura 4.38.

So l

ución:

2 11 A; 0 263

A;

-2 34 A; 0 426 A.

Figur

a 4.37.


35/40

58 CIRCUITUS ELÉCTRICOS Y ELECTRÓNICOS

5(1

n

O

:u

v

UIV

8 t

,O

l l

4 1

Fi¡:ur a 4.3 .

4.26. En el ~ t r c w t o la FlgurJ 4.39 .:alcular JI , 1 y R en los tcrn11nales al> uttltzando d método

de

las

comentes

de

malla o e

de

l,ts tcnstones en los nudos Suponer que el tenntnal

a

es postttvo resrecto del tcnntnal 1>

Solución : -6,29 V:

-0,667

A. 9,44 U

R l

lO

V

t2 V 2 O

5o

b

Figu ra 4.39.

4.27. Uultzando el método

de

las tensiones en los nudos. calcular V

e /

desde los termtnales

ah

del circuito de la Figura

440

.

Suponer que

a es positivo respecto de

b

So lución: -1 1,2 V;

-7

,17 A.

4 0

5 0

¡ _

. . 1 He:; ; O

a

20

2 o

lO

V

20V

,,

figura

4.40.

4.28. Calcular las tntenstdades

de

corriente por cada reststencia

dd

ctrcutto de

Id

Ftgura 4.41 por

ci

método de reducctón.

Solución: Por ia

resístencta

de

2,45

.Q, 3.1

A. por la

de

6,7

.Q,

0,855 A; por la

de 10 .

0.

466

A, por la

de 12 .Q,

0.38


36/40

CAPITULO

4

MÉTODOS DE ANÁLISIS

59

So

ludón

: 23,9n. 443

n

6.7

n

11 •1

n

6 30

n

Figura 4.41.

9SO

R,

t.s.on

Figura 4.42.

4.JO. l:n cm:tllto de

la

Figura 4.43. dos fuentes de intensidad proporcionan 1 e 1 . s1endo /

+

1 = l . Calcular estas

corncnlt.. S utilit ando

supcrplll\lción

Solución: 1.2A : 15'A; ló.2A.

xn

12 n :100

l A

Figura

4.43.

4.3 1 Calcular la c0rriente 1

en

el circuito de la Figura 4.44.

Solución : -121\.

4 32 Calcular los circuii\\S equivalentes de Théven

in

y de Norton de la Figu ra 4.45.

Solución :

1

=

30 V; '= 5

A;

R'

6

n.

4.33. En

el C1rcu110

de

la

Figura 4.46. calcular la potencia máxima que el circuito activo a

la

izquierda de los

te

rminales

o

p u ú ~ sumimstrar a la rcstslencta variable

R

Figura 4.44.

M, (V)

4 Q

•} ·

a_\\

1

){..

1

/·

n

1

·

1

d

b

20

V

Figura 4.45.


37/40

60 CIRCUITOS ELÉCTRICOS Y ELECTRÓNICOS

Solución: 8,44

W.

600

JO ll

b

Figura 4.46.

4.34. En condiciones de vacío,

un

generador de C.C tiene una tensión entre sus terminales de 120 V. Cuando suministra

una corriente de 40 A, la tensión entre sus terminales cae a

112 V.

Encontrar los circuitos equivalentes de Thévenin

y

Norton.

Solución: V = 120 V / = 600 A, R = 0,2 íl.

4.35. El circuito del Problema 4.

14 se

ha dibujado de nuevo en

la

Figura 4.47

y

se han señalado los terminales

a

y

b

Obtener

el

circuito equivalente de Thévenin o de Norton de

la

parte a

la

izquierda de los terminales

ab

y calcular

la

intensidad l.

Solución:

-8 77

A.

a

1

21

n

21

n

46 V b

Figura 4.47.

4.36. Método de las tensiones en. los nudos. En el circuito de la Figura 4.48, escribir las tres ecuaciones para los nudos

A, B

y

C, con el nudo D como referencia,

y

calcular las tensiones en los nudos.

¡

udo A: 5V -2 V

0

-3Vc =30

Solución:

NudoS:

-V. 6V

0

-3Vc=O

NudoC: -v. -2V, 3Vc =2

de donde

V

17 V,

V =

9

V Ve=

12,33 V

6V

o

Figura 4.48.

4.37. En el circuito de la Figura 4.48,

la

corriente que circula por la resistencia

de

3

Q

vale 3 A

y V

8

9

V.

Calcular

la

corriente , aplicando

la

LKT sobre la malla superior del circuito, asi como V y e·

Solución: 1 1/3 A; VA= 17 V; ve = 3713 V.


38/40

CAP TULO 4 MÉTODOS

E

ANÁLISIS 61

4.38. Superposición. En el circuito de la Figura 4.48, calcular la contribución de cada fuante a los valores de VA

V

8

Ve

y

comprobar que sumados dan los resultados obtemdos en los Problemas 4.36

y

4.37.

Solución: todos los valores

se

especifican en V).

Contribución de la fuen¡e

de

tensión

VA=

3

V

8

=

0

Ve=

1

Contnbución de la fuente de intenstdad de 1 A

VA= 6

VB

=

3

ve= 4

o n t n b u c t ~ n

de la fuente de intensidad de 2 A

VA=

8 V

8

= 6 ve= 28/3

Contribución de todas las fuentes

VA=

17

VB

=

9

ve= 37/3

4.39. En el circuito de la Figura 4.48, eliminar la fuente de intenstdad de 2 A y calcular la tensión V. . entre los nudos C y

D en circuito abierto.

Solución:

V

= 3V

4.40. Usar los valores de

Ve

y

V .

calculados en los Problemas 4.36 y 4.39 para calcular el equivalente de Thévenin del

circuito de la Figura 4.48 visto por la fuente de intensidad de 2 A

Solución: h

=

3 V; R h

=

14/3

0..

4.41. En el c i r ~ u i t o de la Figura 4.48, eliminar

las

dos fuentes de mtensidad y sustttuir la fuente de tensión por un corto-

circuito, convirtiendo el circuito en una red resistiva sin fuentes activas. Calcular la resistencia equivalente, R. vista

desde

los

terminales CD, y observar que la solución es igual a la reststencia de Thévenin obtenida en el Problema

4.40.

Solución: R = 14/3 0 .

4.42. Determinar el equivalente de Thévenin del circuito de la Figura 4.49 visto desde los terminales AB.

Solución: V h = 12 V; Rn = 17 0..

6V

~

s o ~ _ ;

Figura 4.49.

4.43.

Método de las corrientes de malla En

el circuito de la Figura 4.50 escribir las tres ecuaciones de ma

ll

a usando las

corrientes /

1

, /

2

e /J. Calcular dichas intensidades.

j

2

t

1

JV

2V

10

¡Q

Figura 4.50.

6 CIRCUITOS ELtO TRI OS Y ELECTRÓNICOS


39/40

Solución: Mal la 2: 2/

+51,

1

= 2

¡

alla : 41

1

+21,+1

1

=3

de donde

1

= 32/5 1 A, I = 9/51

A,/

3

= 7/51 A.

Malla 3: -1,

+21,

+21

1

=0

4.44. Su perposición . En el circuito de la Figura 4.50, calcular la contribución de cada fuente de tensión a los valores de

1

1

1

2

e /

3

, y comprobar que sumados dan

los

res

ul

tados obtenidos en el Problema 4.43.

Solución: todos los valores se especifican en A) .

Contribución de la fuente izquierda

1

1

= 36/51

/2

=

-9151

/J = 27/51

Contribución de la fuente derecha /

1

= -4/51

1 =

18/51

3

= -20/51

Contribución de ambas fuentes 1

1

= 32151.

/2 = 9/51

/J

=

7/51

4.45.

Método

de las tensiones en los nudos. En el circuito de la Figura 4.51, escnbir las tres e c ~ c i o n e s de los nudos

A,

B

y

C. con el nudo D como referencia,

y

calcular las tensiones en

los

nudos.

70

lAr

t

~

~

lQ

Q

Q

o

\

Figura 4.51.

¡

udo

A:

9V.

-7 V

0

- 2Vc = 42

Solucitln:

NudoB: -JV.+8V

6

- 2Ve=9

dedondeV,=9V,V

8

=5V , Vc=2V

Nudo

C:

-3V,

-7 V

8

+31 Ve= O

4.46.

Método

de las

corrientes

de malla. En el Circuito de la Figu

ra

4.51, escribir las dos

ec

uaciones de malla usando las

corrientes

1

1

e 1

2,

y

calcular l

as

intensidades

y

las tensiones de los nudos

.

{Malla ·

41

- 1 = 2 { I

=1A l =2A

Soluc

1ón: · de donde ·

Malla2:

1

+2 1

1

=·3 V• =9 V, V

8

=5 V, Ve =2 V

4.47.

Superposición.

En el circu1to de la Figura 4.51, calcular la contribución de cada fuente a los valores de

v

. V

8

y

Ve•

y comprobar que sumados dan los resultados obtenidos en el Problema 4.45.

Solución:

todos los valores

se

especifican en

V .

Contribución de la fuente de intensidad VA 7,429 V

8

= 3,143 V

=

l 429

e •

Contribución de la fuente de tensión

v.

=

1,571

V

= 1,875 ve= 0,571

Contribución de ambas fuentes

VA

9 VB = 5

Ve= 2

CAPITULO 4 MéTODOS E ANÁLISIS 6


40/40

~ . ~ H . Verificar que el circuito de la Figura 4.52 a) es equivalente al de la Figura 4.51.

Solución: over el nudo B de la Figura 4.51 hacia el exterior de la malla.

~ . • 1 · Calcular V y V

8

en el circuito de la Figura 4.52 b).

Solución: V = 9

V

V

8

V

Demostrar que los circuitos de tres terminales remarcados con linea de trazos

en

las F1guras 4.52 a)

y

b)

son

eqUI-

valentes en su relación con otros CirCuitos).

Sugerencia:

utilizar las propiedades de linealidad

y

superpos1cion, junto

con

los resultados de Jos Problemas 4.48 y 4.49.

D

a)

V

b)

igura 4.52.

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