ALGEBRAMODERNA

Frank Ayres. Jr.

=

MEXICO.BUENOSAIRES. CARACAS. GUATEMALA. LISBOA. MADRID. NUEVAYORKSANJUAN. SANTAFEDEBOGOTA. SANTIAGO. sAo PAULO. AUCKLAND

LONDRES. MILAN. MONTREAL. NUEVADELHI. SANFRANCISCO.SINGAPURST. i.OUIS• SIDNEY. TORONTO

E~lItl0 ROBLEDO MONCADA

Profesor del Centro de eSflldilJ.1 .UFritlers/r(lrios. Mill/rid

Cbn la colaboracion- de

JESUS MARiA CASTANO

Profesor de Motemattcas de la Unicersidad (M Volle, rO/Qmhi(l

TRAOUCCION Y AOAPTACIUN

•

Formerly Professor Q,!dHead,Department of Mathematics

Dickinson Cotiege

FRANK AYRES, JR., Ph. D.

MODERNAALGEBRA

Esta obra se termini) deImBrimir;en Septiembredel 2003Prgg(am~s~E~uC:~tiv.os$.A.de C.'J..Calz.~,babacano"'Q.~85.;ACoLAstur(as C.P!~0685pMe)!:ico D.F.Empresa cectificada par 01instituto Moxicanode N,onnalizacion.y''Coni,ftcado kr;,. 8ajo l~Normtl>-I:SO.90~2, 1994/N!14X~C0Q4 1995 con~I n~m.de'r8gi-stro·RSC..(J48y bajo laNorma·ISO.1400~1:1996/SAA ..1998,. con:ol:num.de

, ,egislro RSAA.Q03.

Pri'nted in Mexic.otmpreso.en Me)(icQ'

09876542103130245Qr,1.l9

trasuciee de ra g.r:imerae~ici6n en ingl~s deSGHAUM'S,OUTLINE OFM00ERN Al.GEBBACopy,rlght© M6MLXV,'by McGraw-Hili, lnc. l).S.~ISBN Om-091522~9 -

ISBN968-422-917-8

OERECHOS RESERVAQOS @'1S91-19Q5,(especfo ala primera adicio.n en espanol porMcG.RAW-HILUlNTERAME'RICANA DE MEXlCO,. S.A.!;Ie C.V.

AUacomulco 499-501, Frace. Inet San Andres Ateto53500 Naucalpan de'JlIat'ez, Eoo. de Me5CicpMiembro. de la Camara N~cfonal de la Industria Eeitorlal, Beg; Num. 1890

ProhiblQa la reproducclon tolal Q J')arcialde esta obra,pel( cualquier medio, sin la aut0fizacipn escrTtatiel editer.

ALGEBRA MODERNA

·-

296663

FRANK AYRES._JR_

Este libro, dedicado al estudio de sistemas algebraicos, tiene por fin servir de complemento a lostextos corrientes 0 bien ser utilizado cornd le,((o; por 'si solo•.en cursos de algebra abstracta modernaa nivel medio y superior. Como tal•.su propesito, mas que ofrecer un estudio en profundidad de uno 0

mas sistemas algebraicos, es proporcionar -solidos fundarnentos para cl ulterior estudio dc toda unaserie de ellos.

En los dos primeros capitulos se trata de los componentes fundamentales de los sistemas algebraicos- conjuntos de elementos. relaciones, operaciones, aplicaclones -. EI 'plan del libro ha quedado asiestablecido.

I) presentacion concisa del tema,2) amplia variedad de ejemplos,3) demostraciones de la raayoria de los. teorernas entre los problemas resueltos,4) una serie de ejercicios propuestos cuidadosarnente escogida.

£1 Capitulo 3 comienza con los postulados de Peano para los numeros naturales. a los que siguela interpretacion de los diversos sistemas de numeros algebraicos y se completa con la deduccion desus propiedades mas sobresalientes. Siguiendo este orden de exposici6n no solamente se introduce allector en el desarrollo detallado y riguroso de estos sistemas de numeros, sino que se Ieprovce dc la prac­tiea necesaria para la deducei6n de propiedades de los. sistemas abstractos que siguen a continuaci6n.

EI primer sistema algebraico -el grupo- se cstudia en el Capitulo 9. Se exarninan las c1ases late­rales segun lin subgrupo. los subgrupos invariantes y sus grupos cocientes; y el capitulo termina conel teorema de Jordan-Holder para grupos finites.

Los Capltulos 10-11 tratan de los anillos, dominies de intcgridad y cuerpos. A continuaci6n, enel Capitulo 12, se estudian los polinomios sobre anillos y cuerpos a la vez que algunos conceptos de lateoria elemental de ecuaciones, En todosestos capitulos se presta rnucha atencion a los anillos finites.

EI Capitulo 13 tra·ta de los espacios vectoriales. EI algebra de las transformaciones lineales cn unespacio. vectorial de dimension finita conduce naturalmeute .al algebra d€ matrices (Capitulo 14). Lasmatrices se emplean, pues, para resolver siste.masde ecuaciones.Iineales y proporcionar asl solucionesmas simples a ciertos problemas relacionados con los espacios vectoriales. En el Capitulo 15 se tratanlos, pollnornios de matrices como un ejemplo de anillo de polinomios no conmutativo. Se define luegoel polinomio caracteristico de una matriz cuadrada sobre un cuerpo. Las raices caracteristicas y losvectores invariantes asociados de las matrices simetricas reales se utilizan para reducir las ecuacionesde las conicas y de las superficies cuadricas a la forma canonica. En el Capitulo 16se definen forrnalmentelas algebras lineales y se consideran brevernerue otros ejemplos. .

En el capitulo final sc exponen las algebras boolianas y se indican las importantes aplicaciones quetienen en circuitos clectricos simples.

EJ autor aprovecha esta oportunidad para expresar su agradecimiento al personal de la SchaumPublishing Company, en especial a Jeffrey Albert y a Alan Hopenwasser, por su cooperacion incoa­dicionaL

Prologo

5)ZA~'f'1Tl'('?1C 6(,)

75

65

60

49

38

30

15

Pag.I

Grupos. Propiedades seneillas de los grupos. Subgrupos. Grupos ciclicos Gre.o-""Ihde perrnutaciones. Homomorfismos. Isomorfismos. Oases laterales segun 1:- ~

grupo. Subgrupos invariantes, Grupos cocienres. Producto de subgrupes, Scr Jccomposicion.

GRUPOS , .. - - - .9Capitulo

EI sistema de los numcros complejos. Adieion y muttiplicacion. Propicdades de losnurneros cornplejos. Sustraccion y division. Represcnracion trigonomerrica. Rakes.Ruices primitivas de la unidad,

LOS NUMEROS COMPLEJOS .8Capitulo

lntroduccion. Cortaduras, de Dedekind. Cortaduras positivas, Simctricos rnultipli­cativos. Simetricos aditivos. Multiplicacion. Sustraccion y division. Relacioncs deorden. Propiedades de los numeros rcalcs. Resumen.

Capitulo LOS NUMEROS REALES .7

Los nurneros racionalcs. Adicion y mulriplicacion. Sustraccion y division. Racio­nales enteros. Racionales de orden. Rcduccion en terminos minimos. Rcpresentuciondecimal.

Capitulo LOS NUMEROS RACIONALES , .6

Divisores. Primos. Maximo comun divisor. Enteros primos relatives. Factures pri­mos. Congrucncias. EI alge.§1ade las clases rcsiduales. Congruencias lineales, No­tacion de posicion de los. entcros,

Capitulo ALGUNAS PROPJEDAD.ESDE LOS ENTF.ROS ,"", .5

Introduction. Relacion binaria ._. Adicion y multiplicacion. L.oscntcros positivos.iii cero y '105 cnteros negatives. Los cnteros. Relaciones de orden. Sustraccion. Valorabsolute. Otras propicdades de los enteros. Multiples y potencies.

Capitulo LOS ENTEROS '.d ••••••••••••••• , •••••••••••••••••••••••4

Los postulados de Peano. 'b-'CIic~6n.Multiplicacion. lnduccion rnaternatica. Rela­clones de orden. Mllltfi;>los y p(llencias, Conjuntos isomorfos.

3' LOS NUMEROS NATU~A'_'ES , .C~pitulo

Relaciones. Propiedad de las relaciones binarias. Relac:iones de cquivalencia. Clu­scs de equivalencia. Orden de' un conjunto. Opcraciones. Propicdadcs de las opera­clones binarias. Relacion de equivalencia compatible COil una opcracion. Isomer­fismos. Permutaciones. Transposicioncs Sistemas algebraicos.

RELACIONES Y OPERACIONES .2Capitulo

Conjuntos. Conjuntos iguales. Subconjuntos de un conjunto. Conjuntos universa­les. Iruerseccion y union de conjuntos. Diagramas de Venn. Operaciones con con­juntos. Conjunto producto. Aplicaciones. Aphcaciones inyectivus y biyeciivas.Biyeccion de un conjunro sabre si mismo.

Capitulo CONJUNTOS .1

Tabla de materias

INDICE DE SfMnOLOS.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 24S

INDICE , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239

Algebra booliana. Funciones boolianas. Forrnas normalcs. Cambio de forma de unafuncion booliana. Relacion de orden en un algebra booliana. Algebra de redes elec­tricas. Sirnplificacion de redes,

17 ALGEBRAS BOOLlANA$........................................ 222Capitulo

Algebra lineal. Un isornorfisrno.

ALGEBRAS LlNEALES ' '.' . . . . . 219Capilulo 16

POLINOMlOS DE MATRICES................................... 198Matrices con elementos polinornios. Transformaciones elernentales. Forma normal.Polinomios con coeficientes rnatriciales. Algoritmo de la division. Rakes y vectorespropios de una matriz, Matrices scmejantes. Matrices simerricas reates. Matricesortogonales. Conicas y cuadraticas.

15Capitulo

MATRICES. . . . . . .. . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . 164lntroduccion. Matrices cuadradas. Algebra matricial total. Matriz de orden m x n.Soluciones de un sistema de ecuaciones lineales. Transformaciones elcmentales deuna matriz. Matrices triangulares superiorcs, triangulares inferiores y diagonales.Una forma canonica, Transformaciooes elementales de columna. Matrices clemcn­tales, Inversas de matrices elementales, Inversa de una matriz regular. Polinomiominimo de una matriz cuadrada. Sisten{as de ecuacioncs lineales. Deterrninanie deuna matriz cuadrada. Propiedades de los determinantes. Calculo de determinantes.

14

Introduccion, Espacios vectoriales, Sube:spacio de un espacio vectorial. Dcpendcn­cia lineal. Bases de un espacio vectorial. Sebespacios de un espacio vectorial. Es­pacios vectoriales sobre R. Transformacioaes lineales. Algebra de las iransforma­ciones lineales.

13 ESPACIOS VECTORIALES...................................... 143Capitulo

POLINOMIOS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124lntroduccion. Formas polinorniales. Polinomios monicos. Division. Anillos con­mutativos unitarios de polinomios, Sustitucion de la indeterminada. EI dominiode polinomios ~[xJ. Polinomios primos. Eldominio de polinomios C(xJ. Maximocomun divisor. Propiedades del dominio de polinomios '[xl

Capitulo 12

DOMINIO DE INTEGRIDAD, CUERPOS.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114Dominios de integridad. Elementos inversibles, asociados, divisorcs. Subdorninios.Dominies de integridad ordenados. Algoritmo de Ia division. Factorizacion (mica.Cuerpos.

Capilulo 11

Pag.ANILLOS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101Anillos. Propiedades de los anillos. Subaoillos. Tipos de anillos. Caracteristica.Divisorcs de cero. Homomorfismos e isqmorfismos. Ideales, Ideates principales,Ideates primos y maximales. Anillos cocientes. Anillos euclidianos.

TABLA DE MATERIAS

Capitulo 10

Vcase Problema 1puntos.

Los conjuntos que se van a introducir aqui seran siempre bien definidos, esto es, que siempre seraposible deterrninar si un objeto dado pertenece o no a un cierto conjunto. Los conjuntos del primerparrafo vienen dcfinidospor enunciados precisos en palabras. A veces se da un conjunto en forma ta­bular, escribiendo sus elementos entre Haves, por ejemplo:

A = {a} es el conjunto que consta del solo elernento a.8 = {a, b} es el conjunto que consta de Jos elementos a y h.C = {1. 2. 3~4} es el conjuntodc numeros naturales menores que 5.K = {2. 4, 6, .. ,} es el conjunto de todos los nurneros naturales pares,L = { .. '. -IS, -10. -5, 0, 5. 10. 15.", } es el conjunto de iodos

los enteros divisibles por 5.Los conjuntos C. K Y L, dados antes. se pueden definir tarnbien como sigue:

C = {x: x IE N.. \' < 5}K = {x: x EN; x es par}L = {x: x E Z .. ,x es divisible 'por 5]

Aqui eada conjunto consiste en todos los objetos x que satisfacen las condiciones que siguen a los dos

((/) lEN Y205 EN puesto que I y 205 son numcros naturales; !. - 5 r! N ya quc] y - 5 noson numeros naturales.

(h) EI simbolo E indica pertenencia y puedc leerse «en». «esta en», «estan cn», «elemen tode» segun el contexte. Asi, «Sea I' EQ» puede leerse como «Sea r clcmcn to deQ»;.y «Paracualesquiera p, q e: Z» se puede leer «Para cualesquiera P y q en Z", Escribiremos a vecesn l' 0 E 2 en vcz de ./1 + 9.. II·!= Z: tarnbien p j o. 'qE Z en vez de p. q E Z con p 1< 0,

Ejemplo I:

N para denoiar el conjunto de todos los numeros naturalesZ para denotar el conjunto .de todos los enterosQ para denotar el conjunto de todos los numeros racionalesR para denotar el conjunto de todos los numero~ reales

Cllalquier coleccion de objetos como (a) los puntos de un segrnento dado, (h) las rectas que pasanpor un punto en el espacio ordinario, (c) los numeros naturales menores que diez, (d) los cinco chicosRodriguez y su perro. (e) las paginas de este libro .... se dice un conjunto 0 clase. Los puntos; las rectas,los meaeros. los chicos y el perro, las paginas .... se diran elementos de los conjuntos rcspectivos. Por10 general, los conjuntos se denotan con letras mayusculas y los elementos cualesquiera de los conjuntosse den;etan con rninusculas,

Sea A un conjunto dado y sean p )' q ciertosobjetos. Si p es un elernento de A. se indicara esto es­cribiendo p: E A; si tantoecomo q son elementos-de. A. se escribira p. q E A en vez de pEA Yq E A;cuanda q no es clemen to de A, se escribe q ¢ A.

Si bien en gran parte de' nuestro estudio no tendra nada que verel tipo de los elementos. en muchosde los ejemplos y problemas aparecen naturalmente conjuntos de numeros, Por comodidad. se reser­van desde ahora.

CQNJlJNTOS

Conjuntos

Capitulo 1

Si U +- 0 es un cicrto conjuruo cuyos subconjuntos estan en consideracion, sueIe decirse que elconjunto dado es un conjunto universal.

CONJUNT.oS UNIVERSALES

Hay un mimero par de subconjuntos y, 'por tanto. un numero impar de subconjuntos propiosde un conjunto de '3 elementos. ~Es esto cierto para un conjunto de 303elementos'! i,De 303 000elementos'?

(a. bJ y lc!{b. c] y fa}

Sea S·un conjunto dado. Se dice de cualquier conjunto A cada uno de cuyos elementos es tarnbienelemento de S, que esta contenido en S y se Ie llama subconjunto de S.

Ejemplo 3: Los FonloOlos A = :2}. B = [I, 2. 3: y C = {4.5} son subconjuntos del S = (1,2.3.4, 5}.Tarnbien D = II. 2. 3. 4. 51 = 5 es subconjunto de S.

EI conjunto E= 'I.!. 6' no es subconjunto de S puesro que 6eE pero 6", S.Sea A un subconjunto de S_ Si A S se dice que .4 es "D sU9conjunCO prQJl.iiJ.-de-s. 'f se cSC<.ribe.

A-U (lease «A es subconjunto propio "deS,,_ 0 bien ~ esui propiamente coruenido en S»j. Mas fre­cuememente, y en particular cuando no se exelaye la posibilidad A = S_ escribiremos A C S (lease«A es suhconjunlo de S·) 0 bien .'_" esta contenido en S" 1_ De todos los subconjuntos de unconjuntodado S. solamente S mismo es impropio, es door, no es subconjunto propio de S.

£.jempIo 4: Para los conjunios del Ejemplo 3 se poede escribir A C S. BC S. C C S. DeS, E ([ S.Los enunciados precisos son. desde luego, AC5, Be S. CC S. D~ S. E(f s. -

N6tese bien que € vincula un clemente y un conjunto. en tanto que eye vinculan dosconjuntos, Asi. 2 E S.y {2J C S son enunciados correctos. pero 2 C S y {2}E S no 10 son.

Sea A un subconjunto propio de S. S contiene, pues, los elementos de A junto con ciertos elementosque no estan en A. Todos estos ultimos elementos. 0 sea las que no esran en A, constituyen otto subcon­junto propio de S que sc llama complemento del subconjunto A en S.

Ejemplo 5: Para el conjunto S = {I, 2, 3. 4. 5} del Ejcrnplo 3. el complemento de A = {2} cn S esF = {1.·3.4. 5). Asirnismo,B = {I. 2. 3}y C = {4. 5}son subconjuntos complementarios en S.

En nuestra discusion de, los subconjuntos complementarios de un conjumo dado se da por senta­do que estos subconjuntos son propios. La razon es que, hasta aqui, hemos estado dcpendiendo de laintuicion en loque respecta a los conjuntos; es decir, que hemos supuesto tacitamente que rodo con­junto debe tener al menos un elemento. Para librarnos de esta restriccion (y rambien para que el sub­conjunto impropio S de S tenga complemento) introducimos el conjunto oado 0 nulo 0 como el con­junto que carece de elementos. Se sigue facilmente que

o es subconjunto de todo conjunto S.o es subconjunto propio detodo conjunto S +- 0.~~~-- ~~~~~~.--~-'EjempJo 6:L;~~~~~~~~~~~~~~~~~~~a~.~b~I~la~.~c~}\~I~.h~.~cT:~~I~«~.h~.~c~}~y~~~.

SUBCONJUNTOS DE UN CONJUNTO

Conjuntos iguales

Cuando dos conjuntos A y B constan de los mismos elementos, se dicen iguales y escribiremosA = B. Para indicar que A y B no son iguales, escribiremos A =F B.

Ejemplo 2: ' (i) Si A = {Maria, EIe~a, Juan) Y 11= {Elena, Juan, Maria}, entonees A = B. Obser­vese que una variacion del orden en que se presentan los elementos de un conjunto notiene influencia.

(ii) Si.~ = {2, ~,4} Y B = p, 2, 3. 2,4), cs A = B, pues cada elemento de A esta en B ycada elcmento de 8 esta ell A. Cbservese que un conjunto no se altera porque se repi­Ian uno 0 mas elementos suyos.

(iii) Si.A = {I, 2} y B = {I, 2, ), 4}. entonces A';' B porque 3 es elernento de B perono de A.

[CAP. ICONJUNTOS2

(e)(b)

Fig.!-!

(a)

u a uo

DlAGRAMAS DE VENNComplemento, intcrseccion y union se pueden representar mediante los diagrarnas de Venn. En

Ios diagramas de abajo el conjunto universal U esta representado por puntos (que no sc indican) en elinterior de un rectangulo y cualquiera de sus subconjuntos no vacios por puntos denlro de las curvascerradas. (para evitar confusion, convendrernos en que- ilingun elemento de U esta representado perun punto del contorno de alguna de estas curvas.) En la Fig. l-l(a), los subconjuntos A y B de U sontales, que A CB; en la Fig. I-I,(b), An B = 0; en la Fig. l-l(C')o' A~nen al menos un elementocornun, de modo que A nB 1= 0,

Vcanse tarnbicn los Problemas 2-4.--- -_ - - - -.. - --___.."LD~s,92nJu nto.s.A....y..8.se.l.laman.tliJjun.t.a.s..sino li~!!.~gJLn...demen I0 cO!!!Jlrl. cs~r ..si,.A..QB =0.En el Ejernp!o 6, cada dos de los conjuntos {aJ, {b}, {r} son disjuntos ; asirnismo, los conjuntos{a, b} y {r}, los {a, e} y {b} y los conjuntos {b, r] y {a} son disjuntos.

Sean A=:1,2.3.4: y 8=:2,3.5.8.10:; enronccs AU8=p,2.3.4.5,l!.IO: yA (1 B = {2, 3}.

Ejemplo 8:

Escribiremos mas a menudo, sin embargo,

;{UB = {!: x E A 0 X EBrQue da 10 rnismo, ya que todo clemento de A r1 B 10 es de A,

EI conjunto de todos los elementos que pertenecen ya a A. ya a B, ya a ambos A y B se llama unionde A y B. Se Ie denota por A U B (lease «union de A y B». 0 bien «A' union B»). Asi que,

A U B = {x: :( E A () x E B o X E A n B}

INTERSECCIONY UNION DE CONJUNTOSSean A y B eopjuntos dados. fil conjunto de todos los elementos que pcrrenecen tanto a A como

a iJ se llama interseccion de A y B. Se le denotara por A (\ B (lease «interseccion de A y B» 0 bien «Ainterseccion B.), 0 aim {(A inter B»). Asl, pues,

A PI B = {x: x E A Y ,\' E B}

cuyo conjunto solucion, es decir, el conjunto cuyos elementos son 1,1s rakes de la ecuacion. csS .. (-_I. 3/2. -4/3. ji. -fl, t, -i) si el conjunto universal es cl conjuruo de los numc­ros complejos. No obstante, SI ci conjunto universal es iR, el conjunto solucion cs II =: -I, 3{2, -4fJ. ft. -JT}. i,Cmil es el conjunto solucion si el conjunlo universal es Q'!(,Si es Z~ i,Si es N~

Si, por el contrario, se nos dan dos conjuntos A = {I, 2, 3} y B = {4. 5,6,7) y nada mas, sabe­mos poco del conjunto universal U del cual aquellos son subconjuntos. Por ejemplo, U podria serfl, 2; 3, ,7}, {x;: x eN, x ~ lOOO'},N, Z, ... No obstante, cuando se trata de ciertos conjuntos;" B, C, , siempre los eonsiderarernos como subconjuntos de cierto conjunto universal U no ne-cesariarnente definido de manera explicita. CODrcspecto a este conjunto universal. los complementosde los subconjuntos A, B, C, ' , , , se denotaran A', B', C .... , rcspectivamente,

(x + 1)l2Y - 3)(3x + 4)(x1 - 2)(x2 + I) = 0

3

Ejemplo 7: Sea la ecuacion

CONJUNTOSCAP.IJ

(A - B) U (B - ,A) = (A U B) - (A n B)

Hay que cntender, no obstante. que si bien cualquier teorema 0 propiedad se pucdc ilustrar con un dia­grama de Venn. ningtin teorerna se puede demostrar con cl diagrama.

En los Problemas 5-7 se han empleado diagrarnas de VeRH para ilustrar algunas propiedadcs delas operaciones con conjuruos. Por ejemplo. la Fig, 1-3 sugiere que

Reciprocamenre. supongase An B = 0. Eruonces A - S' = 0. ACB'. An S' = AY A - B = A. .• -

(a) A - B = {x: X E .1. XES} -= {x : x E A Y K E B'} = An B= {x: x e A', x E In ~ 8' - A'

(bl Supongase II - B - 0, E.nt9I1ccs. ppJ" (/7). II n B' = 0. cS(Q cs If.Y fJ' son disjuruos.Ahern bien. 8 y S' SOil disjantos: luego. COIllO 8 U B' -= U. se tiene II C B.

Rcciprocarnente, supcngase. ;J (_ B. EnlOIlCCS II n B' .. 0. Y t1 - B ~ 0·(d Supongasc vt - S - .4. Entonces A (\ R' = A. esio es, A ~ B', Luego. por fh),

An fB) = An B = 0

Dcmostrar: (a) A - B = An B' = B' - A': (b) A - B = 0 si. )' solamente si, A C B:Ie) A - H = A si, y solarncme si. A n B = 0. -

Ejcmplo 9:

Fig. 1-3

uA - 8 = A n8' = B' - A'A - B = 0 si, Y solo si. A C BA - 8 = 8 - A si. y solo si..- A = BA - 8 = A si, Y solo si. A n 8 = 0

Adernas de la cornplernentacion. LImon e LDI<:TSeCC!On. que Jlamarcmos operaciones con conjun­tos, defimmos:

La diferencia 4 - B. en ese orden. de dos conjuntos A ~ B n el conjunto de todos los elementosde A que no pertenecen a B. esio es.

A - B= {x: xEA. X'E HIEn 103Fig. 1-3. A - B se represent a por el area sombreada yB - A por el area de doble rayado. De aqui se sigue

OPERAClONES CO!'. CONJlJ''TOS

Pig. 1-2(b)lal

Veanse Problemas 5-7,

Supongase ahora que en el diagrarna anterior se sombrea el interior de U cxcepiuando el interiorde A. En cada case, cI area sornbreada represeruara el conjuruo complernentario A' de A en U.

La union A U 8 y la interscccion A n 8 de los conjuruos A y B de la Fig. I-I (c) sc representanpor el area sombreada en las Figs. 1·2(0) y lb). respectivarnente. En 103Fig. I-::!Ial. el area no sombrea­da representa (A U 8)'. cornplcrnento de A U Ben U: en la Fig. 1-2Ib). el area no sornbreada repre­serua (A n 8)'. De eSIOS diagrarnas. como tarnbien de las definiciones de U y (>. se desprende clararnen­te que A U B = 8 U A Y A n B = B n A.

CONJUNTOS [CAP. I4

CO!'lJUNTOPRODUcrOSean A :; {a, h} y B = fh, c, d}. EI conjunto de pares ordenados distintos

(: = {(o, b), (a, c), (a, d), (b, b), (b, c), (b, d)}en que-cl primer componerne de cada par es urr elemento de A en tanto que el segundo es un clemen­to de B, se llama conjunto producto C = .4 x B (en.ese orden) tie los conjuntos dados, Asi que. 51 .f _' Bson conjunios cualesquiera, definimos

A x B = {lx,y)::.c EA. Y E B}

Veanse Problemas 8-16,

(1.11') \AnB)' :: A'uB'

(1.12') A - (BnC) = (A - B) u (A - C)

(1.11) (/Iu8,'=A'nB'

(1,12) A - (BuC) = (A - B) n (A - C)

Leyes de De Murgan

(1.10') An(Bue) = (An8)u(AnC)(UO) Au (BnG) -z: (Au8) n (AuG)

Leyes distributivas

ley6 cJlnmulati~as(1.9') A n B = 8 n A(L9~ A u B = B uA

(1.8') (AnS) () C = An (BnC).(1.8) IAu8) u C ~ Au tRuC)

leyes asociativas

(1.7') AnA' -= 0

I'

An U = A(104')

(1.5')

(1.6')

A - 8 = A ()8'A -(21 = A,

(1.1) (A')' -:: A

(1.2) 0':: U(1.3) A - A = ~j,

(1.4) A u 0 = A(I$) Au U = U(I~6) ALJA = A

(1.7') A uA' = U

/A ~ l l.-~:-'.: :s l-t_ ).

U' = 0(I.n

(EYES OF. OPERACf()NES CON CONJlJNlOS

Para rcfercncia posterior, damos aqui una lista de las leyes mas importantes que rigen las opera­clones' con conjuntos. Aqui, los conjuntos A,' B, C son subconjuntos de U, el conjunto universal.

Ejemplo lu: Demostrar : (A - 8) U (B - A) = (A U 8) - (A n B),La demostracion ,cons,is,tc,enprobar que iodo elemento de rA - B) U (B - A) es cle­

menta de (A U 8) - (A n 81 y\ reciprocamente, que todo elemenro de (A U 8) - (A n 8)es elemento de (A - 81 U (8 - ~ I. Cada paso sc da a partir de una definicion previa y sedeja al lector la jusrificacion de ellos,

Sea x e (A - 8) U (8 - A.): enionces x e A - B 0 bien x e B - A. Si x e A - 8, sesigue que x e A pero XE 8: si x e 8 - A, es x E B pero xtj A. En cualquier caso, xe AU Bperu x~A n 8. Luego, xE(A U B) - (A n 8) y

(A - 8)U (8 - A) ~ (A U B) - (A nB)

Reciprocamente. sea x E (A U B) - (A n B); entonces ~'E A U B pero x rt An 8," Ahora b'ie'o, 0 es x EA pero :nf B. es decir x EA - B, 0 bien x E 8 pew x IiA, es decir.

XE B - A. Portantc. XE (A - B) U (B - A) Y (A U BJ - (A n 8) C (A - B) U (B - A).Por ultimo, (A - B) U (B - A) C (A U m - (A n 8)y(A U B)-:" (A n B) C (A - 8)

U (B - A) implican (A - 81 U (8 = A) = IA U B) - (A n B), -

5CONJUNTOSCAP. LJ

«: a -+ I, b ... 2, (' .....2

es una aplicacion de A sobre B (cada elemcnto de 8 es imagen], en tanto. que

p: 1-0.2 ....h

es una apricaciond~ B en A. pero no sobrc A Ino todo clemento de A cs imagen).

Considerese el conjunto H = {hI' Ill'113, __ •• "s} UI!todas las casas de una manzana que dan ala calle Mayor y el conjunto C = fe" c20 l') •.•• , G'3'1l de todos ios nines que viven en la manza­na en dicha calle. Parece natural asociar cada nino de C con la casa de H en la cual vive ese nino. Su­pongamos que se tiene asi asociados ('1 con hl_ C'l con 1I~0 £'3con "2, C4 COillis, Cs con hs, ... , "3'1 COJl113,Una asociacion semejante de elementos 0 correspondencia entre elementos de C y H se dice aplicacionde C en H. EI eleruento tinico de H asociado con cualquier elcmento de C se llama imagen de aquel ele­mento (de C) en la aplicacion.

Se presentan dos posibilidades en esta aplicacion: (1) todo elemento de H es imagen, eSLOes, encada casa vive por 10menos un nino; (2) al menos un elemeruo de H no es imagen, es decir, al menosen una casa no viven nines. En el caso (I) diremos que la correspondencia es una aplicacion sobreyec­(iva de C en H, 0 que se trata de una sobreyeccion de C ('1/ H 0 bien, simplemenie, que se tiene una apli­cacion C sabre H. Asi, pues, 1a presencia del «sobre» indica que en la aplicacion todo elemeruo de Hes imagen. En el caso (2). se dice que la correspondencia es una aplicacion de Cell H simplernente, perocuando se dice que «(X es una aplicacion de A en 8>1 ne se excluye la posibilidad de que IX sea efectiva­mente una aplieacion de A sabre B. Solo cuando se precise distinguir entre dichos casos habra que es­cribir «ees una aplicacion, de A sobre B» 0 bien «0; es una aplicacion de A en B, pero no sobre B».

Una aplicacion IX de un conjunto en otro se puede definir de varias rnaneras. Por ejemplo, la apli­cacion de C en H anterior se puede dcfinir enumerando los pares ordenados

a = {(cl' 112), (CZ' hs), Cc3· 112), (1'4' lis), «-5' lis), ... , (C'39,IlJ)}

Se ve ahora claro que IX es simplemente un cierto subconjunto del conjunto producto C x H de C y H.Asi que definimos:

Una aplicacion de un conjunto A en un conjunto B es lIll subconjunto de A x B, en el cualcada elemento de A aparece una vez, y solo una ver, como primer componente en los elementos delsubconjunto, .

En toda aplicacion IX de A en' B, el conjunto A se llama dominio de deftnicion y el conjunto B se llamacodominio de IX. Si la aplicacion es sobreyectiva, B se llama tambien dominic tie imagenes de IX; en otrocaso, eJ dominio de imageries de a es el subconjunto propio de B formado pur lasimagenes de todoslos elementos de A.

Una aplicacion de un conjunto A en un conjunto B tambicn so puedc poner de manifiesto median­te una flecha ..... que vincule los elementos asociados.

Ejemplo 12: Sean.4 = {a, b, c} y 8 = {L 2}. Entonces

APLICACIONES

Fig. 1-4

o

• • •\1. II <2.1) (3.1)

• • •(1.2J (2.2) (3.2)

• • •<1.3) (2.3) (3.3)

• • •(I ••.) (2. oJ (3.4)

IIIEjempJo J J : Idcntificar los elementos de X = {I, 2. 3) como coor­denadas de punros sobre el eje x (vease Fig. 1-4) con­siderado como escala numerica, y los elementos dey ". -[I, 2. 3.4: como coordenadas de puntos sobreel eje y considerado c6mo escala numericu. Entonccs 10Selementos de.x x Y son las coordcnadas rcciangularesde los 12puntos indicados. De igual manera, si X = Y =N. el conjunto X x Yes el de Ius coordenadas de iodoslos puntos del primer cuadraruc que uenen coordenadasnaturales.

[CAP. IC(,)NIUNTOS6

r

Diremos que ap cs el producto de composition de las aplicaciones exy p en ese orden, 0 que es la aplica­cion compuesta de exy p. Desafortunadarnente, la notacion no esta todavia normalizada, de maneraque rI/i se utiliza a veces para denotar el efecto de la aplicaci6n p seguido de la aplicacion a.

(4~: a(,,(3)::: (aa)(3. a E A

6 sea como el subconjunto particular de X x Ydeterminado por la «regia» (i), considerando esta comotal. En gran parte de este libro diremos mejor aplicacion que Iuncion y asi se utilizara poco la notacionfuncional,

Sea IX una aplicacion de A en B y sea II una aplicacion de Ben C. Asi, pues, el efecto de (1. es 'aplicara E A en act.E B Yel cfccto de B es aplicar aexEBen (aa)p E C. EI resultado final de aplicar ct. y en se­guida fJ es una aplicaci6n de A en C que definimos por

f = (x, 2x+l~: xEXlo bien

f = {(x,y): y=2it'+1, XEX}

Se dice que aqui y esta definida como funcion de X. Hoy es usual distinguir entre «funcion» y «funcionde». Asi, en cJ ejemplo, definiriamos la funcion I por

(i) Y = f(x) := 2x + 1

Las aplicaciones de un conjunto X en un conjunto Y. especialmente cuando X y Y son conjuntosde numeros, son mejor conocidas del lector como funciones. Por ejernplo, definiendo X = N Y Y = Men el Ejemplo 13 y emplearrdoIen vez de ex,fa aplicaeion (funci6n) se puede expresar en notacion fun­cional como

M {z: r'E N, .r. impar}

o bierr

a: 1«= 3. 2a = 5, 3a = 7. <Ii! =< 9.

O.mas brevememe. a: 11:1 = 2n + I, 11 ENAqui es N eJ dominic de definicion (tarnbien es eJ codomiAio). pero no es el dominio de ima­genes de la aplicaci6n. Estc es eI subconjunto propio M ~e N dado por

M {z : ~:= 211+ 1. ~'E N}

Una aplicacion semejantc se definira con frecuencia asi:

at: n -+ 211+ I, 11 E No mas brcvcmcnte,

Considercse la aplicacion at de N en si mismo. es dccir. de N en N.

a: 1 .....3. 2 -+ 5. 3 -+ 7. 4 .... 9....

Ejemplo 13:

Una tercera manera de denotar una aplicacion viene en el

Fig. 1-5

En la.aplicaci6n a, A es el dominio de definicion y B es el codominio y tarnbien el domi­nio de irnagenes. En la aplicaciorr IJ, B es el dominio de definicion, A es el codominio yC = {a, L.>} C A es el dominio de imAgenes. '

Si es COriO el numero de 'elementos que intervienen, se puedcn uulizar vemajosamen­te los diagramas de Venn. La Fig. 1-5 muestra las aplicaciones a y P de este ejemplo.

7CONJUNTOSCAP. 1)

aplicacioncs biyectivas de R sobre si rnismo. Como para todo x E RIX: x ......x + I, p: x H ;3.'1'. )/: x.......2x - 5, (j: x .....x --Sean

BIYECCIQN DE UN CONJUNTO SOBRE SI MJSMO

de N sobre el subconjunto propio M = {x: x EN, x es par} de N es inyectiva y sobreyectiva, pero aho­ra N es un conjunto infinito : asi que se puede definir un conjunto infinito como el conjunto aplicablebiyectivarnente en un subconjunto propio suyo ; es decir, entre un conjunto infinito y un subconjuntopropio del mismo puede haber una biycccion.

Se dice que un conjunto infinito es enumerable si hay biyecci6n entre ese conjunto y el conjunro Nde los numeros naturales.

i{: 11':1. = 211; 'n ENLa aplicacion

Se dice que dos conjuntos A y B tienen el mismo numcro de elementos si. y solamente si, existe unabiyeccion entre A y B. Se dice que.un conjunto A tiene n elementos si hay una biycccion entre A y el sub­conjumo S.= {I, 2. 3, .... n} de N. En este caso, sc dice que A es un conjunto finito,

SOil ejcmplos de aplicaciones biyeciivas ern re A y B.

y "2: a ~ r. b ~ p, c ~ q, a H S(H)

(j1 "I: (l ~ p, b +r.«, c ~ r. fl ~ s

(a) La aplicacion :t del Ejemplo 14 no es una biyeccion de A en B (los elementos bye. dife­rcntes, de A. tiencn la misma imagen).

(b) La aplicacion /) del Ejemplo 14es una inyeccidn de Ben C. pero no es sobreycecion (g E Cno cs imagen).

(e) Si A = {a. h. c, df y B = (p. q. r. s].

Ejemplo 15:

Una aplicacion a -4 0' de un conjunto A en un conjunto B. se dice aplicacion inyectiua de A en B,e inyeccion de A en B, si las imagenes de elementos diferentes de A son elementos distintos de B; si, "de­mas, cada elernento de B es imagen. 0 sea, si la aplicacion es iambien sobreyectiva, se dice que esta apli­cacion es biyectiva, 0 que es una biyeccion de A sobre B 0 biycccion entre los dos conjuntos. Anterior­mente solia decirse que 1a aplicacion era una correspondenciabiuuiooca entre los conjuutos A y B; estoes clare, pues Ja aplicacion 0 -+ 0' induce una aplicacion (I' -> a de B sobre A y se pueden combinarambas aplicaciones en la forma a +-+ a',

APLICACIONES lNYECfIVAS Y BlYECfTVAS

Fig. 1·6

"f): a(,,/1) = (a"l/3 = d/3 -= t, b(af1) = e{J = 11, cloP) = hEnionces.

dfJ = I, ef3 = hf!:(la=-'d, b,.\=f!t ('(I = e"':

Sea A =!o,b.c}, B={d.c}. C=f/.g,h.i}},[jemplo 14:

[CAP. ICONJUNTQS

9

(IJ) Aqui A consia de todos los numeros naturales (a E N) entre 1 y 6: asi, pues, A = p. 4: 5!.(h) B consiste en los numeros naturales irnpares menores que 10: de modo que: 8 -= : 1.3. 5. 7. 9'(e) los elementos de C son las ruices enteras de _2x! + X + 6 = (2x - 3)(x + 2) = 0: asi que C =

I. Mostrar en forma tabular (a) If = {il: a € N. 2 < a < 61. (h) B = [p: p € N. P < 10.pes par],(c) C = {x: .\' € Z, 2X2 + X - 6 = O}.

Problemas resueltos

En el Problema 20 se dernuestra el

Teorema Il. Si ()(es una aplicaci6n biyectiva de un conjunto S sobre un conjunto T. y /] es una apli­cacion biyectiva de T sobre un cbnjunto U, cnionces es la(j)- J = Ir 1 • a-I.

En el Problema 19 se demuestra e1

Teorema I. Si a es una aplicaci6n biyectiva de un conjunto S sobre un conjunto T. :x tiene entoncesuna reciproca (mica. y al contrario.

es decir, que 0 anula el efecto de ~ (0 tambien, 7 anula el de <>)! En vista de (iii). 0 se llamaaplicacion reclproca de IX y se escribe ()= 'X-I: iambien eS!I(la reciproca de 0 y se escribe :x = 0-1•

Vease Problema 18.

as = 5", = j(i ii)Asi que

6 sea. que IJ. seguida de c5 (0 tarnbien, b seguida de a) aplica cadav € R en' si mismo. Denotando porJ la aplicacion identica (neutru),

(.:t- 1)0' = :I:y

~:t+ 1)8'Anora bien.

(i i)Asi, pues.

y

en tanto que

y

XIS '= (2:1: - 5)S = 2x - 6

.ta((8) = (x + IjyS = 2(.r + 1) - 6 = 2x - 4

.roy - (x + l)y = 2.r - 3

;r(c~i')S .i: (2.1; - 3) - 1 = 2.r - 4

No obstante.

u{3 F {3a(i)vcmos que

xo{3 := (:r·+ l)fi = 3(.1' + 1)

1:(10' = (3x)(1' = 3x + 1en tanto que

C0l'(JIJNTOSCAP. I]

Sea x E (A V 8)V C. Entonccs x E A V B 0 bien x E C, de modo que x E A 0 bien x E B 0 bien x EC. Six EA, entonccs x E A V (B V C): si x E 8 0 bien XE C, entonces x EB V C y, por tanto, x EA V (8V C).Asl. pues, (A V 8)V C ~ A V (B V C).

Demostrar que (A U B) U C = A U (B U e).I

Supongase A !I8 = 0 con referenda a Ia Fig, 1·1(b). Pero A C 8'; luego A !I8' = A.Supongase A!I B + 0 con referencia a 13.Fig. 1-1(('). Pero A ([. D'; luego A !I8' "" A.Asi, pues, A !IB' = A si, Y solo si. A !IB = 0,

(c) A V 8!1 Cse podrla interpretar ya como (A VB}!I Cya como A V (B!I C). Ahora bien, (A U B) !IC=D U H U J, rnicntras que A U (8() C) ;". A U (D U .1) = A V J. Asi, pues, A U 8!IC es ambiguo.

(d) A' = GV J UK V L Y c: = E U FV GU L; de donde, A' !IC' = GU L.

7. Sean A y B subconjuntos de U. Ilustrar con diagramas de Venn: A n B' = A si, Y solo si,AnB = 0·

BuC = EuGuDuHuJuK Y A = EUFuDuH

A u (8 u C) = E u F u G u D u Ii u J u K = A u B u CAsirnisrno.con 10 que

Fig. 1-7

de modo que(A u B) u C = E u F u G u D u H u J u K

= AuBuC

o

C = DuHuJuKy

(c) A U B n G es ambiguo(d) A' n G' = G U L

(a) E = (A n B) n G'(b) A UBUG = (A UB) U G = AU (B UC)(a) A" B = DuE Y C' = E u F u G u L; luego

(A nB) n C' = E

(bJ A u B u C = E u F u G u D u H u J u K. Ahora,AuB = EuFuGuDuHuJ

6. COD el diagrama de Venn de la Fig. 1-7 comprobar que:

(a) (A U 8)' = A' n B', (b) (A n BY = A' is B',(al A' n B' = (E u F) n (D u F) = F = (A u B)'(b) A'uB' = (EuF)u(DuF" = (EvF1uD = C' = (AnB),

(a) .Como A V 8 = {a, b, c. d, g} y C= {c. g, m,n. pI, se tiene (A V BJV C= {a, b. c, d, g, 111, n, pl. ComoA = {a,b, c, d} yB V C"" {a, c.g, m, n,p},setieneA U (BV C)= {a, b, c,d,g.m, n,p} = (A U B) V C.

(h) Como A !l8 = {a, c}. se tiene (A n B) n C = {c}. Como 8!1 C = (c,g). se tiene A!I (8 !IC) = {e}= (A !I8) !Ic.

5. En la Fig. l-I(e), sean C = A n B. D = An B', E = B n A' yF = (A U B)'. Comprobar que':

2. Sean A = {a,b,c,d}, B= {a,e,g}, e= {e,g,m,lI,p}. Hajjar:

AuB = {a,b,c,d,g}, AuG = {a,b,e,d,g,111.,rI.,1J'}, BuG = {a,c,g,1Il,n,p};AnB = {a,e}, AnG = {e}, BnG = {e,g}; ,An(BuG) = {a,c};(AnB)uG = {a,c"g,m;11,p}, (AUB)nG = {c,g}, (AnB)U(AnC) = An(BUC).

3. Sean los subconjuntos K = {2,4, 6, 8}, L = {I, 2,3, 4},M = {3,4,5,6, 8}de U = {I, 2, 3, ... , 10}.(a) Poner K', L', M' en forma tabular: (b)Mostrar que e«U L), = K'n L'.

(a) K' = {J.3, 5, 7. 9,10), L' = {5, 6, 7, 8, 9,JO}, M' = (I, 2, 7,9,10).(b) K V L = {I, 2. 3, 4, 6. 8} y asi (K V L), = {S, 7,9, IO}. Con 10 que K' (\ L' = {5, 7, 9, 10}= (K U L)'.

4. Para los conjuntos del Problema 2. mostrat (a) (A U B) U G = AU (B U C), (b) (A nB) n G =An(Bne).

[CAP. 1CONJUNTOS10

Mediante (1.10') Y (1.7'), pagina 5, hallarnos que

(AUB)nB' = (A nB') U (B ~ B') ~ A nB'

Hay que demostrar, pues, que: An B' = A si, y solo si, An B - 0.(il) Supuesto A'() B = 0, es A ~ B' Y An B' = A.

fb) Supuesto A n B' = A. es A,~ B' 'i A A B = 0·As! que (A \,J 8) n B' = A. si (por (il)) y solo si (p.0T(b» A n B = 0·

14. Demostrar: (A U B) nB' = A si, y solo si, A nB = 0·

Sea xE(A-B)n(A.-C). Como'xEA-8 y xeA-C, es decir, xe-A perc x¢B y x¢C.Se uene x € A pero.-! rt B U C, asi que .r EA - (8 U C) Y (A - B) n (A - C) C A - (B U C). De modoque A - (B U C) = ()I - B) n (A - C) segun 10 afirmado. -

Sea x e-A - (B U C). Como x E A y x e B U C, se tienc, x e A pero x ¢ B Y x ¢ C. Entonces x e A - BY X EA - C, con 10 que x e (A - B) n (A - C) Y A - (B U C) ~ (A - B) n (A - C).

13. Demostrar: A - (B U C) = (A - B) n (A - C).

por (1,9), pagina 5.

por (1.10), pagina 5. ICU (A n B) - (C U A) n (C U B)

(A n BJ U C - (A U C) n (B U C)Y entonces

12, Demostrar : (A (\ B) UC = (A U C) n (B UC).

Sea x E (A UBJ'. Como x ¢ A UB. entonces x t! A Y x If B. 0 sea, que x EA' Y X EB', esto es,xEA' n B'; luego (A U sv ~ A' rvs:

Sea ;q=A' n B'. Como x e A' y x EB', se tiene x If A Y x Ii B. Entonces x t! AU B, de modo quex E (A U 'B)'; luego A' n 8' ~ (A U' BJ'. Asl que (A U BY = A' n B' como se afirmaba.

11. Demostrar: (A U BY = A' nB'.

Sea x EA r\ (8 U C). Entonces x EA Y )C EB U C (x EB 0 .YEiC), de modo que x EA Y X EBo xEA y XEe. Si xEA y x e s. entonces xEAnB y ast xe(AnB)U(AnC); de igual modo,si x E A Y X e C,'es x E A n C yasiX E (A n 8) V (A n C). Con IQ..qu~.ffi.~v..q_~_C\~LI.d,_iA n.CJ,

Sea xE(AnB)U(AnC), con 10 quc xeAnB 0 xeA(\C. Si xEA(lB, entonces XEA.yx e B de modo que x e A y x e B U C; analogamente, si x e A nC, eutonces x e A y x e C con 10 quex E A Y X E B UC. Asi, pues, x E A n (B U C) Y (A n B) U (A n C) CAn (B U C). Por ultimo,A n (B U C) = (A n B) U (A n C) segun 10 afrrmado. - -

10. Demostrar: An (8 u C) = (A n B) U (A n C).

9. Demostrar: (A (1B) n C = An (B n C).

Sea x E (A n Bj n C. Entonces x E A n B y x E C: de modo que x E A y X E 8 y x E C. Comox E B Y X e C, entonces x E B n C; como x E A Y x E B n C, cntonccs x E A n (B n C). Asi, pues,(A n B) n C ~ A n (B n C).

Sea x EA n (B n C). Entonces x EA Y X EB n C, con 10 que x e A y x EB Y X Ee. Como x e Ay X e B, entonces x E A n B; como x E A n B y x e C, entonces .\'E (A n B) n c. Asi que A n (B n C)~ (A n B) n C y (A n B) n C - A n (B n C) como se afirmaba. Asi, A n B n C es inequfvoco,

Sea x EA U (B U C). Entonces x EA 0 bien,x 'EB U C, con 10que x EA 0 x ~ Box EC. Si x e A 0 x e B.esxeA U ByentoncesxE (A U B) U C;sixe C,esxE (A U B) U C. As!que A U (BU C) ~ (A U B)U C,

Pero (A U Bj U CC A U (B U C) y A U (B U qC (A U B) U C implica (A U B) U C = A U (B U C)como se afi~maba. Asi,-pues, A U B U C es inequlvoco.

CONJU'NTOS

(Aui2> -; \jc. ;; A o( ~vc)( A 1\ Q,") () C :::c A (\ C I>(\C)

lAv~::._l\. f.I...(\f><---1\ 11CAP. 1]

B'

se .siguc que

y

p: tfJ ~ sAhora bien. S(2P) = «IX)P = ,p == r: tuego '7./1 "" .f y P cs una reciproca de IX. Suponiendo que csta reciprocano es (mica. sea }' otra rcciproca de IX. Puesto que

Siendo , unico. se siguc que '% induce una aplicaci6n inyectiva

Supongase que IX cs una aplicacion hiycctiva de S sobre T; entonccs, para eualquicr s € S, sc tiene

S-+5,%=I€T

19. Demostrar : Si :x es biyeccion entre S y T. IX tiene tina reciproca (mica y al contra rio.

(a) ESI3claro 4UCx + 2 E II' si x € N. La aplicacion no es sobreyectiva puesto que 2 no es imagen.

(b) Evidentemente. 3x - :2 EQ si x EQ. Y iambien iodo J' EQ cs imagen de x "" (f + 2)/3 EQ.

(I') Claro esquc x! - 3Xl - xe Rsix€ R.AsiquesirE R.x3 - 3X2 - X'= r tiene siempre una rair real x cuyaimagen cs r. Si r "" - 3, xl - 3X2 - X == r tiene 3 raices rcalcs J( = - I. 1,3. Como cada una de estastiene r == -3 por imagen. la aplicaci6n no es inyectiva.

18. Demostrar: (a) x -+ x + 2 es inyeccion. pero no sobreyeccion, de N en N. (b) x ~ 3x - 2 esbiyeccion de Q sobre Q. (e) x -> Xl - 3xZ - x es sobreyeccion de R en R pero no inyeccion,

Fig_I-SA'

es la biyeccion buscada, pucs cada punto de A 8 tiene una imagen unicaen A'8' y cada puruoA es la imagen de un unico punto de AB.

c- c:

Sean los segmentos A 8 y A 8 de la Fig. 1-8. Vamos a demostrar que A:...:,.-_--; 7'

siernpre cs posible una biyeccion entre ambos. Uamando P la intersec­cion de A8' y 8A'_ dudo cualquier punto C de AB sea C' la iruerseccionde CP con A'8. La aplicacion

17. Demostrar que dos segmenios cualesquiera tienen tames puruos el uno como el otro,

por (I.10), pagina 5

por (1.10)

por (Li)

por (1.4')

por (1.9)

por (I.11 ')

(A - 8) u (8- A) :::: (A n B') u (BnA')

:: f<A n B') u BI n I(A n B') u A'I

:: I(A u'B} n (B' u B)I n rcA u A') n (B' u A ')1

:: ICAuB)nu/nIUn(B'uA'JI

: (AuB)n(B'uA')

(A uB) n (NuB')

:: (A U 8) n (A nBy

(A u 8) - (A nB)

Tenemos

~6. Dernostrar la identidad (;I - B) U (B - A) := (A U B) - (A n B) del Ejernplo 10 usando laidentidad A ,- .B = A n 8' del Ejemplo 9.

15. Dcmostrar: X ~ }' si, y ,010 si. }'"~ X'.

(i) Supongase XC Y. Sea y' e Y'. Eruonces y'l$ K como y' f Y; de donde y' E X' Y Y' eX'.(iiI Rcciprocamerue. supongasc Y'~ X'. Ahora. por (i). (X')'QCY't'; de donde X~ Y.-

CONJU TOS [CAP. I12

13

2!1.. Demostrar las leyes de (J.8)·(J.12'), p;iltina 5. que no se han tratado en los Problemas 8--13.

r. Si «lIlnl» significa <<II es factor de JIm, dados A = {x: Xi:N, 31x} y B = {x: 'I'EN, 51x} cnurnerar Ios .: ~ros de cada uno de 105 conjuntos ,4', B', .4 U B, A II B. AU B', A n B', _4' U B'. donde A ) B >oOG kJs=­plerncntos respectivos de A y B e!1 N,

26. Con los conjuntos del Problema 3. cornprobar : (a) (1\')' = K, (h) (K n L)' = 1\' U L.', kl (1\ U l.U \JK' II L' (\ M '. (d) K (\ (I.U AI) = (K II J:) V (K (\ .AI).

25. Con los conjuntos del Problema 2, comprobar:(a) (A U B) U c = AU (8 U ci (b) (A II BI n ('= A n (B II Cl. (c) (A U B) (\ C +- AU (B (\ C),

U. Dcmostrar 4uC los subconjuntos propios de- S = fa J, IlZ' ' • , ,an} son 2" - I ell numero.

23. Dar los 15 subconjuntos propios de S = {II, b. C, df',

n. Comprobar : (a) {x: xEN, x < I} = 0, (h.J {x: x s Z, 6.x2 + 5x - 4 = O} = 0,

Respucstaparcial: (a) {-5,-4,'-3,-2,-1}, (d) {l,2,3,6;9,18}, (f) {l,2,31, (ill {-2)

(/) {p: pEN, If! < 101

(0) {b: II E N, 3': b = 8}

(h) {z : xE I, 3xt-t 7.t~ 2 = O}

(i) {z : .t E Q, 2%2 + 5x + 3 = O}

21. Indicar en forma tabular:

«(I) el conjurno de los enieros negatives mayores que -6,

(h) cl conjunto de los enteros entre -3 y 4.

(e) el conjunto de los enreros cuyos cuadrados son rnenores que 20,

(tI) el conjunto de todos los factores positivos de 18:

kl cl conjuruo de todos los factores positives cornunes de 16 y 24,

"" ~-.)~

~\b .........C\V\\ '\ ~ \(~,\.,)'~ Problemas propuestos

Como (a/l)({r I •Ix- ') = a(/I' {J-' )Ix-' = a' a-I = ,I. P-' . a- I es una rcciproca de a{l: y por cl Pro.blerna 19 una reciproca sernejante es (mica; luego (a{ll-I = Ii'I . ",-I.

20. Dernostrar: Si (X es una biyeccion entre S y T Y P es biyeccion entre T y U, entonces(a/J}-',= {I-I .(X-I,

Asi, pues. /1 ... ;': In rcciproca de a es unica,Y al contrario, sea a-' la reciproca (mica de la aplicaci6n a de S en T. Supongase que para s,. S1ES. con

s,., S1 se tenga .f,a - $1(1. Entonces (s,:IC)!L.-' = (S2:IC)!L-'. de modo que 5,(a'a-')= s2(a'a-') Y s, = 51

en contradiccion con 10 supuesio. Asi, pues, a es una aplicaci6n inyectiva. Y como para todo 1E T, se tiene(I<)(-'):x ~ I(a-' . a) = I' .f' = I, es ( la imagen de 5 = la-' E S y la aplicacion cs sobreyectiva.

pay

Play)

(po)y

flay

CONJUNTOSCAP. I]

(a) tX{J = p:x = $. luego fJ = a-I; (hJ0:)'= ,oa = fJ; Ie) at5 f. .):r; (d) 0:2 = CUt = ;'; (l') yl - .I, luego ,;.-1 = i';(I) (/,4 = .~,lucgo a3 = 0:-': (.1:') (a2)-1 = (a-I)2.

36. Dadas las aplicaciones sobreycotivas

- !J: 1..1 = L, 23 = 2, 3,9 = 3; 4.!1 = 4

a: 1", = 2, 2.. 3, 3" = 4, 4...= 1

[1: 1{J = 4" 2{J = I, 3/J 2, 4[1 = 3

y: 1y = 3, 2y 4, 3y 1, 4y = 2

Il : IS = 1, 2S :: 4, 3S := 3, 48 = 2

de S = p.2, 3. 4} sobrc si mismo. cornprobar :

35. (a) Si E es eI conjunto de todos los enteros pares positives, demostrar que .v.....» + I• .\'E 1:: no es una aplica­cion sobrcyectiva de E en el conjunto P de todos los positives impares.

(b) *E* cs cl conjumo que consisie en el cero y todos 10$enteros positives pares (0 sea los cnteros no ncga­~VQs'). demostrar que X"" x + I. x EE* es una sobrcyeccion de E· en F.

Resp, (i). (ii); (al. (b). Cd). (e)34. Igual que el Problema 32 con R en Vel: de 2.

Resp. (i). (ii); (aJ. (b). (d)33. lgual que el Problema 32 con Q en vez de Z.

32. i.Cuales de la:~siguicntes aplicaciones de 2 en 2:

(0).\'-x+2. (b)x~3.\'. (c)x .....x2. (d)x-4-x, (e)x->x3• (f)X_A,2_X

SOil (i) aplicaciones de 2 sobre 7., (ii) biyecciones de 7. sabre 21 Resp. (i), (ii): (a). (d)

I

31. Dadas las aplicaciones 0:: 11 ->, ,,2 + Y fi: ,,--> 311+ 2 de N en N, hallar : aey.= /14 + 2112 + 2. /1f1. o:fi =3n2 + 5, y. /1(/,.

Ie) II(A' (\ 8' (\ C) = 172

(d) n«(A (\ B) U (A (\ C) U (B (\ C») = 340

(a) n(A n B (\ Cj = 40

(b) n(A' (\ 8(\ C) = 30

29. Sean A y B subconjcntos de un conjunto universal V. Demostrar:(0) AU B = A (\ B si, y solo si. A -= B,

(b) A (\ B = A si. y solo si. A ~ B.

(c) (A (\ B') U (A' (\ B) = A U B si, y solo si, A (\ B = .0.

30. Dados ·n(V) = 692. II(A) = 300. n(8) = 230. nrC} = 370. II(A (\ B) = )50, n(A f') C) = 180, n(B (\ C) = 90.n(A (\ 8' (\ C) - 10 sicndo 11(5) cl numero de ,elementos distintos del conjunto S, hallar :

[CAP. 1C0NJUNTOS14

15

Se dice que una relacion fJi sobre un conjunto S es reflexioa si a .'Ji a para todo a ES.

PROPJEDADES DE LAS RELACIONES BINARJAS

c i!If (/ signifies (II. /., E.~ Y no (c, a) E ,N

ahora ya se veque esio concuerda con la idea de que toda ecuacion y - I(x) no es mas queuna relacion binaria especial.

kJ Fxaminese ahora iff = l(-Y, .1'): ?x -: .r = 6, -YE et}. Geornetricamente, cada (x. y) E9l'es un punro del grafo dc.la ecuacion 2,,' - J' '" 6. Asi. pucs, si pudo purecer exlraiio uruesdccir que

(II) SC~ S '" :2. 3,5. 6: y' dcsc a Jf el significado «divide a»,C0l110 2 41 2. 2.1f 6. :\;'R:\, :'\.11 6. 5 df 5. 6.11 Ii. se ticnc

,~ '" [(2, 2/, ~,2). (3,·3" (6,3), (5.5), (6,'6))(hi Sell S = :I. 2, 3, ... ,20} y rJi signifique «es triple de».

Eruonces 3 ai' I. (,& 2,·99£ 3, 12 9Y4, 15 al' 5, 18.!if. 6 y..~ '" :(1,3), (2,6). (3.91, (4, 12), (5. 15), (6.18):

Ejemplo I:

RELACIONESSea el conjunto P = {a, h. f .... ,/l de todas las personas que viven en una determinada man­

zana que da a la calle Mayor. Tratarernos en esta section de enuneiados, tales como «(I es hermano dep», «c es el padre de gil, ... , que se llaman relaciones sobre (0 en) el conjunto P. Analogarnente, «espara lela a», «es perpendicular a», «forma un angulo de 45" con» .... , son relaciones en el conjuoto Lde todas las rectas de un plano.

Supongase en el conjunto P anterior que 10;,; unicos padres son <" d. g y que

c es el padre de (I, g. n1. p, qd cs cl padre de]' .x es el tiaare ete 1i,11

Enronces, haciendo que .~ signifique «es el padre de», podemos eseribir

c.1.?(I, c.r~g, ('.'Jim, ('~p, cfifq, dfifj, g~h, gf?t11

Pero c.OJ a puede mirarse C01110 la determinacion de un par ordenado, bien sea (a, c) 0 bien (C, al, delconjunto producto P x P. Si bien se emplean ambas maneras, aqui sicmpre asociaremos

c d,£ a con el PaT ordenado (a,.c)

Esio supuesto, ~ dctcrmina en P el conjunto de- pares ordenados

(ti. d. (g. c). (/1/. f), (p, C), (q, e), if. d). (II. g), (11,g)

Asi como ocurrio con el terrnino funcion en el Capitulo I, definimos la relacion 9i diciendo que es estesubconjunto de P x P. Asi. pues,

Una relacion 9f sobre un conjunto S (con mas precision, una relacion binaria sobre S. pueses una relacion entre pares de elementos deS) es un subconjunto de S x S.

Relaciones y operaciones

Capitulo 2

[CAI',2

CLASES DE EQUIVALENCIASean un conjunto S y una relaci6n fiJi de equivalencia sobre S. Si a E S, los elementos yES que

verifican y.q£ a constiruyen un subconjunto, [ll]' de S, llamado close de equioalencia. As], pues,

[aJ = {y: yeS, yi?ia}[Observese el empleo de cor~hetes para indicar c1ases de equivalencia.)

Ejemplo 8: Considerese el conjunto T de los triangulcs de un plano y la rclacion de cquivalencia (veaseProblema 1) «es congruenie con», Sicndo (I. bET cntenderernos por [a] cl conjunro 0 clasede equivalencia de todos los triangulos de T congruentes con el triangulo a, y por [bJ el con­junto 0 clase de todos los triangulos congrucntes con el triangulo b. Notcmos de paso que eltriangulo a esta incluido en [a] y que si lID triangulo c esta tanto en [aJ como en [6). enton­ces [a] y [b] no son inas qlle otras dos malleras de dcnatal' la clase Ccl

Veanse Problemas 1-3.

Ejemplo 7: Se sigue del Ejemplo 3(b) que «es hermano de» no es simetrica y que. por tanto, no es una rc­lacion de equivalencia sobrc P.

Ejemplo 6: i.La relacion «ticne el mismo nombre que» sobre el conjumo P del Ejemplo 3 es una rclacionde equivaJencia?

Habra que verificar la validez dc 10 que se establece en seguida entre elementos arbitra­rios x, y, Z E,P:

(i) x tiene cl rnismo nombre que .r.

(ii) Si x tiene el mismo nombre que )I. entonces Y tiene eI rnismo nombre que x.

(iii) Si 'x tiene cl mismo nombre que j/ y si y tiene el mismo nombre que z, entonccs x tieneel mismo nombre que 1,

Como todo esto es cierto. «tienc el mismo nombre que» cs (i) reflexiva, (ii) simetrica,(iii) trunsitiva y, por tanto, se trata de una relacion de equivalencia sobre P.

Ejemplo 5: La relacicnso= » sobre el conjunto Res indudablemente la relacion de equivalencia mas familiar.

RELACIONES DE EQUIVALENCIA

Una lfaci6n !Jl sobre un eonjunto Sse llama relation de equiualencia sobre S si fiJi es (i) reflexiva,(ii) simetrica, y (iii) transitiva,

(b) Para el mismo conjumo S, sea 9t «es perpendiculur a». Como de (/ perpendicular a h yde h perpendicular a c resulta 0 patalela a c. esta 9t no es transiuva.

Ejemplo 4: (0) Sea S eJ conjunto de todas las rectas de un plano y sea fit «es paralela a». Es claro quesi 0 es paralcla a by si b es paralela a otra recta e. entonces II cs paralela a (' y 9f cs tran­sitiva,

Una relaci6n 9i sobre un conjunto Sse dice transitiua si de a fJl by b 9t c se sigue a fiJi c.

Ejemplo 3: «(I) Sea Pel conjunto de personas que habitan en una manzana sobre la calle Mayor, y sea!it «tiene el mismo nombre que», Si x ticne el mismo nornbre que y, y tiene el mismo nom­bre que x: asi que x 9t y implica y!R x y 9t es simetrica,

(h) Para el mismo conjunto P, sea la 9t «es hermano de». 'Con x!R y, y pucde ser hermanoo hermana de x; asi que x!Jl y no implica necesariamerue y i1t.\' y (it'no es simetrica.

Una relaci6n &f sobre un conjunto S se dice simetrica si,cuando a &f b tarnbien b &f a

Ejemplo 2: (0) Sea Tel conjunto de iodos los triangulos de un plano y dese a (it el significado «es con­grucnte com), Como todo triangulo IE; T es congruente consigo mismo, I ge I para todoI E; T_ Y !1t es reflexiva,

(b) Para el conjunto T sea (it «tiene doble area que», Es claro que ( fA IY !R no es reflexiva,

RELACIONES Y OPERACIONES16

-----""""'='

Vease tambien Problema 1.Un conjunto Sse dice parcialmente ordenado (no .se excluye la posibilidad del orden total) por=

relacion binaria 9t si para cualesquiera a, b. C E S.

(i) 9t es reflexiva. esto es, II 9t a(ii') 9t es antisimetrica, es decir, a Jt b y b·9t (I si, y solo si, a = b(iii) 3t es transitiva, es decir. a ~ b y b.;Jt l: implican a!Jf c

Es de espcrar que el diagrama de un conjurno totalmeme ordenado sea siernpre una linea recta. La Figu­ra 2-2 ilustra cl orden parcial de A efeciuado por la relacion (I ).

fig. 2-2Fig. 2-1

3

I == 2 == 3 ,: 4 == 12

Sea cl subconjunio A = {2, 1,3,12, 4} de N. AI escribirlosc ha cvitado exprofeso seguir la natural inclinacion de enun­ciarlo como A = {I, 2.3,4, 12} para indicar que esta ultimaversion rcsulta de valcrsc de la relacion binaria (,:) definidasobrc N. Esta ordenaei6n de los elementos de A (0 sea de N)se dice /0101. ya que para todo a.b e A ~m.IJ e N) se tieneo bien a < h. 0 bien (/ = b. 0 bien a > b (m < 11, m = n: in > /I).PQr oira parte. la rclacion binaria (I), (vease Problema :;'7.Capitulo' I) produce solamente una ordenacion parcial de A. esdecir 214 pero 2.~3. Estas ordenaciones de A se pueden ilustrardel mejor modo con diagrarnas. La Fig. 2-1 mucstra la orde­nacion de A efectuada por (==.). Se cornienza en eJ punto masbajo del diagrarna y se siguen las flechas para obtener

Ejemplo 9:

Ejemplo 10: Y todo clemente de Z se encontrara ya en A ya en B. pero no en ambos. Asi, pues. A U B = Zdel S = [I. 2. 3..... 251.Es'evidente.qucAU BU C = Syquc An 8 =An C = 8n (' =0.as! que jA. 8.cl esuna particiondeS. La relacion de equivalenciu Queda lugar a esta pani­cion cs <Idael mismo rcsto dividido por J que».

Para dernostrar el Teorema I (vease Problema 6). se utilizaran las propiedades que siguen de laselases de cquivalcncia:

(I) a Era](2) Si b E: [a]. es [h] = [a].(3) Si [a] (I [b] i- 0, es [a] = [b].

La primera resulta inrnediatamente de la propiedad reflexiva a fit a de una relaei6n de equivalencia.Para las otras. vcansc Problemas 4-5.

ORDEN ~ UN CONJUNTO 1212

Se dice que dos enteros tienen la misrna paridad si ambos son pares 0 si ambos son imparcs.La relacion «ticnc la misma paridad que» sobre Z cs una relacion de equivalencia. (Dcmues­trcse.j La relacion da lugar ados subconjuntos de Z:

A = Ix: xeZ. x cs par} y B= [x: x e Z, x es irnpar]

Y rodo clernento de Z seeuconuara ya en A ya en B. pero no en ambos. Asi. pucs. A U B = ZY A (\ 8 ee 0. de modo que la relacion efectua una partition de Z.

Teorema I. Una relacion de equivalencia 9t sebre un conjunto S produce una partici6n de S y. re­ciprocamente, una particion de S define una relacion de equivaleneia sobre S.

Un conjunto lA, B. C, ... I de subconjuntos no vacios de un conjunto Sse llama partirion de Ssi (i) A U 8U CU, .. = S y si (ii) la intcrseccien de cada dos subconjuntos distintos es "ada. EI re­su1tado principal de esta seccion es el

17RELACIONES. Y OPERACIONESCAP. 2)

Adicion, multiplicacion y division son ejemplos de operaciones binarias en Q+. (Observese que seme­jantes .opcraciones son simplemente aplicaciones de Q+ x Q+ en Q+.) Por ejemplo, la adicion asociaa cada par a, b E Q'" un elemento a + b EQ1'. Aqui es a + b = b + a, pero, en general, a: b +- b : (/;de manera que para tener la seguridad de una imagen (mica, es necesario considcrar estas operacionescomo definidas para un par orderiado de elementos. Asi, pues,

Sea Q+ = {x: x EQ, x e- OJ. Para cualesquiera a, b EQ+. se tiene

a -I- b, h + a, a' b, b :a, a: b, b: (/ E Q+

OPERA ClONES

Si un conjunto ordenado S tiene la propiedad de que cada uno de sus subconjuntos no vacios tieneprimer elemento, se dice que esta bien ordenado. Por ejernplo, considerense los conjutitos N y Q orde­nado cada uno por la relacion (~). Se veque N es bien ordenado; pero, dado que el subconjunto {x: x EQ,x » 2} de Q no tiene primer elemento, Q no es bien ordenado en cambio. l.Esta Z bien ordenado porla relacion (~)? ;,Esta A = {l, 2, 3, 4, 12} bien erdenado por la relacion (I)?

Sea S un conjunto bien ordenado por la relacion ge. Entonces, para cuaIesquiera a, b E S, el sub­conjunto {a, b} de S tiene primer elemento y, entonces, 0 bien a (jl b 0 bien b (jl a. Queda demostrado elTeorema IT. Todo conjunto bien ordenado es totalmente ordeuado.

Fig. 2-4Fig. 2-3a

./ b

eed

Ejemplo 11: (0) En las ordenaciones de A dc las Figs. 2-1 y 2-2, el primer clemento es 1 y el ultimo ele­mento es J 2. Asimismo, I es un clemente minimal y 12 es un elemento maximal.

(h) En la Fig. 2-3, S = {a.h, c, d} tiene un primer clemente a, pero no tiene ultimo. Aqui aes un elemento minimal, en tanto que c y d son elementos maximales.

(e) En la Fig. 2-4, S = {lI, b, c, d. e} tiene un ultimo -elemcnto e, pcro carece de primer ele­mente. Aqui a y b son elementos. minimales, mientras que e es un clemento maximal.

Se deja al cuidado del lector verificar que estas propiedades las cumplen lasrelaciones (~) y ( I )50-bre A y que las propiedades contienen una redundancia porque (ii') 'implioa (i). La redundancia se haintroducido para que se yea perfectamente clara la diferencia esencial entre las relaciones de esta sec­cion y las de la precedentc .:

Sea S un conjunto parcialmente ordenado con respecto a d1i. Entonces:

(I) Todo subconjunto de S esta tambien parcialmente ordenado con respecto a!Jt ala vez que algu­nos subconjuntos pueden estar totalmente ordenados. Por ejemplo. en la Fig. 2-2, el subconjun­to {1;2, 3} esia parcial mente ordenado, en tanto que el subconjunto {I, 2, 4} esta total mente or­denado por la relacion (I).

(2) EI elemento a ESse dice un primer elemento de S si a 01i x para todo XES.

(3) EI elemento g 'E S se dice un ultimo elemento de S si x dIi g para todo XES.

[El primero (ultimo) elemento de un conjunto ordenado, si existe, es unico.](4) EI clemente a E.$ se dice un elemento minimal de S si x ge a implica x = a para todo XES.

(5) EI elcmento g ESse dice un elemento maximal de S si g fJl x implica g = x para todo XES.

[CAP. 2RELACIONES Y OPERACIONES18

ta opcracion no es asociativa.Un conjunto S esta dotado de elemento neutro iidentidad 0 unidad, tarnbien se dice) coo respeclO

a una operacion binaria 0 sobee S si existe un elemento u E S con la propiedad de que u v x = x 0 u = xpaea todo XES.

Ejemplo IS: (11) Un elemento oeutro de Q con respecto a la adieion cs 0 porque 0 + x = x - I = rpara lodo x EQ; un clemento neutro de Q con resjJecto a la multiplicacioo es L pueslOque l'x = x'l = x para todo XE.Q.

pcro(a 0 b) • C = (ll + 2/Y) 0 (' ~ CI + 2h + 2c

a 0 (h 0 c) = a» (h + 2c) = (/+ 2(h + 2c) = II + 2b + 4('

Como

Una operacron : binaria 0 sobre un conjunto S se dice conmutatiua si x 'j Y = )'=x paratodo x, yES.

Ejemplo 13: ((I) La adicion y la rnultiplicacion .son opcraciones binarias conmutativas en tanto que la/ division no es una operacion binaria conrnutariva sobre Q+.

(h) La operacion 0 sobre A de la Tabla 2-1 es conmutativa. Esto se vcrifica facilrncntc no­tando que (i) cada lila (b.c.d, e. 1I en la segunda fila. por ejemplo) y la columna con igualencabezamiento (b, c,d, e.Q, en la segunda columna) sc lcen exactarnente 10 mismo:o bien porque (ii) los elementos de Sestan situados sirnetricamentc con rcspecto a 101 dia­gonal principal (linea de rrazos] que va de la izquierda superior a Ia derecha inferior dela tabla.

Una operacicn binaria 0 sobre un conjunto S se-diccasociatioa si (x c y)" z = x 0 (.I'" z) para cuales­quiera x, y,» E S.

Ejemplo 14: (a) La adicion y la multiplicacion son operacioncs binaries asociativas sobrc Q+,(h) La operacion ~ sobrc A de la Tabla 2-1 es asociativa. Se encuentra, por ejcmplo. que

(Ii 0 d ,d = (i 0 d = Q y (jueb ok. d) = b.0 a = b ; (d o~)0 If = cod = (I Y II.· Ie! 0 d) =d. c = a; , , .. La prueba cornpletaseria en extreme tediosa, pero se sugicrc al lector quehaga otras cuantas verificacioncs al -azar.

k) Sea 0 una operacion binaria sobrc R. definida por

1I " Ii = a + '4b para cualesquiera a, be R

PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES BINARIAS

(e) La Tabla 2-1 adjunta, que define una eierta opera- Tabla 2-1cion binaria 0 sobre el conjunto A = {a, b. c. d, c}ha de leer asi: Para cada par ordenado (x, y) de A x A sc encuentra x • yen el crucc dela fila encabezada x y la columna' encabezada y, Por ejemplo, el clemente marcado conun circulo es d Q e (no e o d).

El hecho de que 0 sea una operacion birraria sobre-un conjunto S se suele indicar por el enunciadoequivalente: El conjunto S es cerrado con respecto a la operacion Q. El Ejernplo 12(a) se puede cxpre­sar entonces asi: El coojunto de los numeros naturales pares es cerrado con respecto a la adicion ; elconjunto de los numeros naturales impares no es cerrado con respecto a la adicion.

abc 'd

,a 'b, ®,dd

c e ba

(lbb

ecu db

dcbo

Una operacion binaria «0» en un conjunto no vade S es una aplicacion que asocia a cada par Of­

denado (a, b) de elementos de S un elemento definide unico a o b de S. Dicho brevemente, una opera­cion binaria en un conjunto S es una aplicacion de S x S en S,

Ejemplo 12: (a) La adicion es una operacion binaria en el conjun­to de los numeros naturales pares (la suma de dosnurneros naturales pares es un numcro naturalpar), pero no cs una operacion binaria en el eon­junto de los nurneros naturales impares (Ia sumade dos numeros naturales impares es un numeronatural par). .

(h) Ni la adicion ni la multiplicacion son operaeionesbinarias en S = {O, 1,2.3. 4}. pues, por cjcmplo,2 + 3 = 5¢S Y 2' 3 = 6 r! S.

19RELACIONES Y OPERI\CIONES,

CAP, 2]

Se dir.a que la r,ela¢r6n de equivalend\l rlI, es '('()l}Ipalible con la'0pera'Ci6h binaria Et), y que.¢htQnc~s laoperacion ffi esta' pien definid'a si se verifi~a ('c), es decir, qU\l

[P] $. [r] = [q] $ [5] ""'[a] Ell [b],siclhpre que (c) se, v.cril'ique y ,sdlo entonces,

Ejemplo 18: La rdadon «1Iael mismo TestocU,andose divide'por C):,quel.reparte /'J'en nueve c1asesdeequi­valelK'ia ~I].[2]. p].,.. ,[9l Si.o se il)lerprcta s.o'mo adi~i6n eft N es facil ver qu'e.m q,uedahiendefiniClwtleaeuer<la.c'On10dicho aritha, Porcjemplo. $iC¥,:y,E N; 9x + 2 E [2] y!)y + 5 E ~iiJenton~s [2Jr$ [5J = [(9x + 2-).'+Wi' + S-11 = [9.b: + yl'+.7] = [7] = [2 + 5], etc, .

(e)

RELACION DE EQUrVA.LENCIA COMPATiBLE CONUNA OPERACIONSea S = {a, b, e, ... } un conjunto en el cual -seha definido una 'opetaeion <. y sea una relacion

9'<,equivalencia .~ que produce en S 11! partici(m en el cO.lljunto de'cta,ses de' equivalencia E = {[q], [b],[c] •... ']. Si se define sobre E una operacion binaria $ P,9T

[a] $ [b] = [ll" h] para cualesquiera [oJ .[li] E ENO. se ve de, inmedia'to que para cualesquicra p. q E [d] Y para Gualesquiera. r, S E [b J, se tenga

[P"f] = [{(Os] = [bob]

Si se verifican tanto (a) cornu (b), se dice si'mplemente 'que 0 es distributiua ton respecto 1! o. Notese queIes segundos miernbros de- (a) y (h) son iguales si 0 es conmutativa.

Ejemplo 17: (a) En el.~njunte ~ ,en~eFos,Ja mUlti'plic;acJon(0 = .) es Clistribu~vacon respecto aJa.adfclon (-e = +J. ya que x' (Y + Z) = x :y + X' Z para todo x, y. .z e Z.

(0) En el conjunto de los enteros, sea ',' la adicion ordinaria y 0 la operacion definida porN c::l Y = x2 • 1. = x2y para cua)esquiera x, y'E Z

0gin.o (l 0 (b+ c) "= a~b+ (/2'c'= III 6-b) + (a.0 c)o es distributiva ~ la, izquierda. con respecio=a. +, Como

(b+.c) 0,(1 = all + Zab«:+ ac2:f (b 0 II,) + (e 0 a) = hi,o + cia.• 0 no es distributiVa a la derecha respecto de +,

(b)

(<I)a 0 (n., e) = (a 0 Ii)" (a.d 'r) 'paraeualcsquiera a, b, C E S

Y se dice .disfribuav.Q 0 to deFed/([ con respecto a 0 si

(h ~c) t:l a = (b 0, a}'o Ie 0 oj pa'ra cualesquier(:l 'a.h, c E'S

1M N no ticnc clemente neutro con respecto .a la adicion. ~ro' I es-un elemento neutro res-PeCIO. de la multipiicacii>n.·· .

(c) Un elernento neutro del conjumo A del Ejemplo 12(<:.)eon respecto-a o es a. Notese quehay solamerue. uno., '

En el Problema 8 derrrosiramos e]

Teorema lit EI elemento neutro, si existe. de un conjunto S'COll respecte a una operacion binaria0' sobre S es .union;.

Sea un conjuntoS que poseeel-elernento n~elltro u con resp,<ctcj"auna operaciof binaria " Un ele­mente s E S se dice simetrico de x E ,S si X" y = Y" x = u.

Ejemplo 16: ((/) EI simetrico con respecto ala adicion. o-sea eJ simetrico aditioo de XE z es -x porque..>; + (- x,) = Q, que es ~I elemenjo ncutro aditivo de Z:. EI simetrico aditivo se suele lIa­mar opuesto. Enigeneral, J(E.:? no tiene simetrico multiplicative;

(b) En el Ejernplo 12(c'), Ios simetricos de iI. b; c. d. <' son. respectivamente, a. e. d. c; h.No es dificil demostrar el

Teorema IV. Sea e una operaciorr, bin ada sobreun conjunto S. EI simetrico.con respeeto it -,del XES.si existe, es unicoi

Por ultimo, sea S. un conjunto C'OI)dos Clper.aci0nes binarias = y 0 definidas sobre 61. La operacionc::t se dice distributioa a la. izquierda con respecto a " .si

[CAP. 2RELACIONF.S Y:OPEIMCIONES20

(4) Definanse en 19Soonjuntos ordcn ados A y.B de (2) las respectivas operaciones binarias • ) = COt;

las tablas de. operaeion

WC1V ~ xo.y.

(leaSe.~.«iven A corresponde a x en j3 y v en A corresponde a Y en B»), entonces

vE.A _ yEBywEA _ xEB

Se puede verifioar facilrnente que la aplicacionr: l'~s, :r~p, 3~1', 4~g

es·una biyeccion-entre A y .R que preserva las operaciones, es decir, que siempre que

A B0 2 3 4 c: I R q r S.

;2 3 4 .P q -r P'

2 2 4 3 Y. q~ 'I' P q

3 3 4 .2 r 1) q r

4 4 3 2 II P q 'r s

Tabla 2-2 Tabla 2-3

Fig. 1";6

'r

es una oiye.¢IOil entre A y B que preserva lasrelaciones cfe orden; -es decir, para cualesquierau, l' E Pi .~ ;"(, ..j!' E B con u +-+ x Y II +-+ Y entonces

u ~' II implioa x /!t.YY reciprocamerrte,

(3) Deflnanse en 'Ios conjuntos-noordenados A y..B las operaeiones binaries respectivas o y D, por lastablas de operacion

3'

8

p(2) Sean A ordenao'6 por la relacion 9f ~ ( I) y Bordenado por la relacion ~', como' se Indica enel diagrama de 1aFig. 2~5.Como el diagrama para Aes como se muestra en la Fig. 2-6, es.claro que laaplicacion

.es una de las veinticuatro que establecen una biyeccion entre.A y B.

a: 1 ~ p, 2 e q, 3 ~ r, 4. - s('1) La aplicacien

Y:a que.se ban mtroducido las relaciones de orden, habra tendencia aqui a-poner.el orden familiar aldar los elementos de cada conjunto, Lo indicarnos para advettir al lector contra esto de atribuir aun cenjunto cualquiera propiedades que no estell explicitarnente establecidas. En (I) consideramosA y B como conjuntos arbitni'rios de cuatro elementos cada uno y nada mas; por ejemplo, podrlarnosescribir {*, +, $,%} como A 0 como.B; en (2) introducimos relaciones de orden sobre A y B peronolas mencionadas arriba; en (3) definirnes operaciones binarias sobre los conjuntos no ordenados A y B;en (4) definimos operaciones binarias sobre los conjuntos 'Ordenados de (2).

B = (p, g, r, sl.yA = n, 2, a,4}

I,SOMOJlFJSMO$'En toda esta secoion utilizarernos los dos conjuntos

21RELACl0NES Y OPERACI(')NES,CAP. '2)

= 11 )

In

2 3

Sea S = {I. 2. 3, ... , n} y cxaminese el conjunto S. de las n! permutaciones de estos n simbolos.(No se da especial significacion al hecho de que sean numeros naturales.) La definicion de productode cornposicion de aplicaciones en el Capitulo I lIeva naturalmente a definir una «operacion perrnu­tacioru 0 entre los elementos de S•. Ante todo varnos \l introducir notaciones mas cornodas para laspermutaciones:

Sea il> i2, /3' ... , in una cierta ordenacion de los elementos de S. Usaremos una notacion en doslineas para la permutacion

PERMt)TACIONES

Consideremos con mas detalle los dos sistemas A y B de (3). La operacion binaria 0 es asociativay conmutativa; asimismo, con respecto a esta operacion A tiene I como elemento neutro y rodo elernen­to de A tiene simetrico. Es de sospechar que la Tabla 2-2 es algo mas que un vacio ejercicio de construe­cion de un cuadro en que ningun elemento se presente dos veces en la misma fila 0 columna. Conside­rando los elementos de A como digitos y no como sirnbolos abstraetos, es faeil vcrificar que la opera­cion binaria 0 se puede definir asi: para cualesquiera x, YEA, x Q y es el resto de dividir x: y por 5.(Por ejemplo, 2 . 4 = 8 = I . 5 + 3 y 2 ., 4 = 3.) Mas aun, el sistema 8 no es mas que una version dis­frazada 0 en clave del A, siendo la clave en este caso la biyeccion y.

Emplearemos los isomorfismos entre sistemas algebraicos de dos maneras:

(a) Descubiertas ciertas propiedades de un sistema (por ejemplo, las de A ertumeradas antes) node­mos sin mas trasladarlas como propiedades a cualquier otro sistema isomorfo con el.

(b) Siempre que sea mas comedo. podemos rernplazar un sistema por otro isomorfo con el. Ejemplosde esto se encontraran en los Capitulos 4 y 6.

(i)(ii)

es una biyeccion entre A y B que preserva tanto las relaciones de orden como las operaciones.

Por sistema algebraico S entenderemos uo conjunto S junto con cualesquiera rclaciones y opera­ciones definidas sobre S. En cada uno de los casos (l )-(4) anteriores, se trata, pues, de una cierta corres­pondencia entre los conjuntos de los dos sistemas. En cada oaso diremos que.Ia aplicacion de que setrata es un isomorfismo de A sobre B 0 que Jos sistemas A y' B son isomorfos respccto de la aplicacion ;asi, pues:

Dos, sistemas S y T se dicen isomorfos si

existe una biyeccion entre los conjl.iros S y T, Ycualesquiera relaciones y operaciones definidas en Ius:conjuntos se -conservan en la biyeccion.

Se puede verificar facilmente que la aplicacion

[CAP. 2RELACIONES Y OPERACIONES

A B2 3 4 0 Jl q r R

2 3 4 P r s p q2 2 4 3 y q e p q r3 3 4 2- r )) q r

A 4 3 2 q 8 P

Tabla 2-4 Tabla 2-S

22

Se introduce' ahora otra notacion ,para las perrnutaciones. La perrnutacion

IT = G:!,;~)del Ejernplb 19~sepuede escribiren no,tacl0ii tiiclica de I~ manera siguiente: (12345), interpretandoseel-eiclo (L13.45)~cQmo que I se~al;nbia Pc;>.t2, 2,secambia por S, 3 par 4,4 per 5 y 5 ppr l. La permutacion

y (1 2 3 4 ,5),,1,2 4 5 3' '

puede eseribirse como (345), significando el ciclo (34'5.)que 1 y2, los simbolos quefaltan. no se cam-

pues (I. 0 CI" I = (X - I "(1."= ,jl', Ademas. es ,cvidcnte que todo clemente de .5'5 (iene un si­rit'Hticq,

(123,15)\ 5 1 2 13 ;4"(

2 ;3 4 5 1)1 2 3 4 5,

Por ultimo, intcrcambiando las dos lineas de (X'. tcnemos

2 o· (~ = '1'0.1 = «,

-r. ,. (2 3 4 ,5 1\ ,Averigue el lector W'?'1:0 4 2 3 5 1) Y compruebe que, (x" IiI O)! = (x, (P,' yJ. Asi,

pues, «-csasociativa en esie ejemplo, Ahora es [<lei! demostritr que ,,85 asociauva sobre 85 yrambicn sobre S., '

L.a, perrnutacion he,utra 0 identica es6 = .(!, .~ ~,: ,~) ya que evidentcmcntc

(1 2 3 4 5')4 2 Il 5 1

Demodo que.» no esconmuiativa.

Escribiendo ''\I como (3 2 5 4 1) ,_se tiene que",' 42351'

I

(Il: '0 ,m <;> y ( 1 2 3 4 5) ,b (3 2 5,3 2 5 4 1 ' 4' '2 3

tres de las ?! permutaciones del conjuntoS; dC,rd.daS fas~otaCi~Des de S = p,~;3; 4" ~},Como, el orden. de las columnas en c\lalqUler0.J:lermu{'l'ci6n no imperta, se -puede escribir

tam bien p como ri C: ~'.: !,i) en la que la llnca-superior de p es la inferior de (I.:

Enionces

(1 2 3 4 5", 0 (':2 3 .4 5 1) ('I. 2 3 4 5)

(l. 0 (d 2 3 4 5 1) 3 2 5 4 1 ' 3 2 5 4 1

De igual rnodo.escribiendo.e corno (1 ~ 2 5 4),'Se',elicu'CJltl'aque/3 0 a~ (1 2 3 4 55')24.3 1 5 2 4 e 1

, (1 2 3 4 ,5)''y= 1245.3( 1 2 (3 4 5)

fJ=13254'(1 2 3 4 5)'

a:: 2~' 4 5 1, 'Ejemplo I~:

De' iID,l~1modo, .siJ.,.h,Ji" ' , , ,j. es otra ordenaeion de los elementos de S. escribrremos

P Gl ':2 ;3 ;.)Poj P~Oduct()oco p, entenderemos que 0( Y' fJ se han de hacer en eseorden, Asi, Rues, una reordenacioncfe'cllal{Il,!iererdenacion de los elementos de'S es simplemente otra ordenacion de estes. De-modo que~ar,acualesquie-ra ie, PES., ,OC'OP:ES. y entonces es o una operacion binaria sobre S.:

":quenb es aias, que una variacion de lit notacien para la aplicacion

23RELACIONE~ Y' OPERM,T)NES

Gran parte del resto de este libro se consagra al estudio de diversos sistemas algebraicos, Talessistemas se pueden cstudiar de una de estas dos maneras:

(a) Se ernpieza con un conjunto de elementos (por ejernplo, los numeros naturales 0 un conjunto iso­morfo a este), definiendo las operaciones binarias adicion y rnultiplicacion y derivando las leyesconocidas que rigen las operaciones con estos mrmeros.

(b) Se empieza con un conjunto S de elementos (no identificados); se define una operacion binaria 0;se establecen ciertos postulados, por ejernplo, que (i)0 es asociativa, que (ii) hay un elemento ncutro,en S con respeeto a 0, (iii) que todo elemento de S tiene un sirnetrico respccto de 0 en S; y se de­ducen los teorernas consiguientes.

IAmbos procedimientos se ilustraran aqui. En el capitulo proximo seguirernos el (a) al estudiar los

numeros naturales.

SISTEMAS ALGEBRAICOS

Teorema vn. Un cicIo de In simbolos se puede escribir como producto de m - I transposiciones.

Para una demostraci6n. vease Problema 12.

Una permutacion se dice par (impar) si se puede expresar como producto de un numero par (impar)de transposiciones. En el (bte1ffi. . se dem~e-Stra el .

Teorema VI. De las n! ~mutaclOnes de n simbolos, la mitad son pares y la rnitad impares.

EI Ejemplo 20 ilustra'i'ahlbien-el

irnpares.

Este ejemplo ilustra elTeorema V. Si una permutaci6n a de n simbolos sc expresa como producto de r transposiciones y

asimismo como producto de s transposiciones, entonces r y s son ambos pares 0 ambos

(a) (23) = (12) 0 (23) 0 (13) = (12) 0 (13) 0 (12)

(b) (135) = (13) 0 (15) = (15) 0 (35) = (15)" (13) 0 (15) 0 (13)

(c) (2345) = (23) 0 (24) 0 (25) = (25) 0 (34) 0 (35)

(d) (12345) = (12) 0 (IS) 0 (14) 0 (15)

Ejemplo 20: Expresar las siguientes perrnutaciones:

«(l) (23).. (b) (135). (0) (2345). (d) (12:145)

en S = {I, 2, 3,4, 5} como resuliado de las transposicioncs

Se llama transposicion una permutacion tal como la (12)0 la (25), ...• en que-se intercambian sola­mente dos de los n sirnbolos de S = {I, 2, 3, ... ,n}. Toda perrnutacion se puede expresarjai bien noen forma unica, como producto de transposiciones. I

TRANSPOSICIONES

bian, en tanto que 3 se cambia por 4,4 por 5 y 5 por 3. La permutaci6n P se puede escribir (23)(45). Lainterpretaci6n es clara: I no cambia; 2 se cambia por 3 y 3 por 2; 4 se remplaza por 5 y 5 por 4. L1a­maremos a (23)(45)producto de ciclos. Notese que estos ciclos son disjuntos, esto es; que no tienen sim­bolos en comun. Asi, pues, en notacion ciclica es de esperar que una permutacion de n sirnbolos con­sista en un solo cicio 0 sea product.o de dos 0 mas ciclos mutuamente disjunios. Claro que (23) y (45)son permutaciones de S = {I, 2, 3, 4, 5: y, por tanto, P = (23) e (45), pero seguiremos utilizando layuxtaposici6n para indicar el producto de ciclos disjuntos. EI lector vcrificara que a 0 f1 = (135) y que{loa = (124). En esta notacion.Ta permutaci6n identica 0 neutra oF sera denotada por (1).

Vease Problema 11.

[CAP. 2RELACIONES Y OPERACIONES24T

Como n e cpJ.,.es·daro que~S'es·la,un16nde todos los subconjuntos disuntos T". Tb• 'T~•. ,. inducidos por ,qt. Petepara todo par de eSI9,S subconjuntqs, C0ll10 T; Y T., tencmos 7bn T, = fJ· porque si no 7~= 7'~,segun el Pro­blema S. Ast, puc's, cr.> Tb> T" ".' , } e~ Ja parlici,on de S efectuada por fA..

Reciprocamcntc. sea {T;,;Tb• "4. , .. }.una pa:J:licioii de S: [)~l'ina$e S.obre S 1<1reladol1 binaria 9f pOl' fI YI, q~i, Y.$.91a"ll1,ehte;;·i. hay un "TI ~l1"l_apa'rticion tal qlle 1).'q E t;. lis daro que 9l"es reAexiva y simctrIGa ..Supor)g.ascp~iftit y ~r(if,:; ej)tbtJCes, por Ia ''defi:riiciorl.dc .qt, exisien suO:cO.rijun!o~T).y T~(no'necesariah1~llte dislint9';) ratalos cu~lesp, t/,E tj y q, r'E 7;. Pef() como ij.(1 T" t ¢..entonces·1ij = t~.'(~omo p. ,. E 71,.ent~Hll'CS{J'i:)? r y ';'f#. ~smfhsit'iva. Asl que fJP. €is u;r1arelacjoo de 'eq,uivalcT]l::ia..

6. Demostrar que una rela¢i611 de cquivalencia ~;'sO:breurr Q0njunl(j'6 prO,d.uce una parucion de S.yteciprop,lmente, una partij.:.i6n. de S define una. relacion de equi'vaF~ncla .sobre S.

.,~~a rJt una relacion ;.le equivaleni:ia'S'Ob.re S'y'dcl1'hM"e para cada p.e·S,

S. Demestrar que si [a] n [b] =F 0., enrences [a] == [bj.Suponiendo que [a] (\ [b] = {r"s •.. , } se tienc [r] = [a] y [r] = Ib] (por-'eJ Ptoblem"i] 4.), y [a] = [b]

(por la prepiedad transitiva de =').

4. Demostrar que si b E [4], entq)1<;es [bJ == [a].Sea £it la relacion de equivalencia que define [ciJ. Por ?ell(licion, be [a] implies ii·fA (I y x E [b) impliea.,e (if. h.

EntQnces.,·!ft a,para todo x E [b] (ppr la propiedadtransiiiva) y [b] C [flJ. Repitiendo. ~Irazonamientocon (I'y?' b'(que resulta de la propiedad simetrica de .9f) y y 9't a (siempreque-j: elu}) resulta [a] C [bJ As], rues. [b] = [a):como ~eafirrnaba, ~ -

3. Sea fJf una relacion de equivalencia y s-Upongase que em aye Yf. h. Derriostrar 'qHC {J /~, h,Como 6' 9ia_; tambien a.1P c [por Iiipropiedad simetrica). Como{l~ c y c!f£b, emonccs a [Jf b (por [a prtr-

piedad' t!'\insilivJi), . .' .

(i) '<'a < (/» para todo a EZ no-es cicrto.(ii] «Si ,0'<; b, es h < a» lamp,CcQ .es cierto.(iii) «Si a < b Y b«; c, entonces a-e: (:» es cierto.As) que «<» no es una relacion'.de equivalencia·:eli. Z. (N'Olcscc.que'~(i)i:> (iii)es.;s'uilcichte,)

2.

[i] «(/ es congruente Con a para todo a E T}) ~,'i cierto.(ii) «Si a- es congruentc coli b, entonces b es cohgrue.rife con a», es cihtb.(iii) «Si a es c;ongr,[Jenlc eon b y b. 10 es con \.,.entdilces·a es congruentc coli 6>. es cieno.Asi. pues, «es congruente eon» es una relacion de .equivalcncia sobre T.

Dernostrar que «<» en Z no es una relacion de.i:

I

I. Demosrrar que «es eongruente .con» en el cqnjuntp T d~ I0.Striangulos de un plano, es-una telaecion de equivaleneia.

Problemas resueltos

25R&:tACIONES .. Y OPERAC10NB.S~AP. 2]

10. Determinense las propiedades de las operaciones binarias ., y Cl definidas sobre S = {a, b, c, d}por las tablas siguientes:

0 a b c d Q It b c d

It a b c d a d ~ c b

b b c d a b a 0 b d

0 c d a b c b d a c'd d a b c d c b d a

Tabla 2-7 Tabla 2.;8

0 I 1 -1 -i

1 -1 i -i

-1 -1 1 -i

-i -1 1

-i -i -1

Tabla 2-6

EI lector puede dernostrar facilmente que la multiplicaci6n sobre Ses asociativa y conmutativa, que I es el elemento neutro y que los sime­tricesde I. -I, i, -i son, respectivamente, 1,,-1, -i, i.

9. Demostrar que la rnultiplicacion es unaoperacion binaria sobre S = {I, -1, i, -i} siendo i =FI.La manera mas simple de haccrlo es formar la tabla adyacente, no­

tando que eada cabeza de linea 0 columna es un elemento unico de S.

EI orden en que se pongan los elementos de S encabezando las en­tradas es indiferente, pero siempre es algo ventajoso utilizar el mismoorden en ambos sentidos.

8. Demostrar que el elemento neutro, si existe, respecto de una operacion binaria 0 sobre un con­junto S es unico.

Supongase 10contra rio, es decir, que ql y q2 sean elementos neutros de S ..Como q, es un elemento neutro,se tiene. ql 0 q2 = Q2' pero como q2 tambicn es elemento neutro, se tiene asimisrno ql e q2 = ql' ASi, pues,q 1 = 9·,0 'Q2 = q2; y eJ elernento ncutro es unico.

Estas figural; no necesitan mayor elaboracion una vez comprendido que se ha de emplear un numero mi­nimo de segmentos. En la Fig. 2-7. por ejemplo, 0 no se une directarnente a {a, b, c}, puesto que 0 C {a, b, c}viene indicado por el camino 0 C {a} C fa, b} C {a. h. c]. Analogamente, en la Fig. 2-8, los scgmcntos queunen 2 a 8 y 5 a 45 no son neeesanos. -

Fig. 2-8Fig. 2-7

2

{a, b}

{4}

{a,b,o}

7. Hagase el diagrama del orden parcial de (a) el conjunto de subconjuntos de S = {a, b, c} indu­cido por la relacion binaria (C), (b) el conjunto B = {2, 4, 5,8,15,45, 60} inducido por la relacionbinaria (I ).

[CAP. 2RELACIONE$ Y OPERACIONES26

Denotense las -permutaciones pares por PI> P2. Pl' P. Y las impares por ql' ql, Q3, . , .• qc- Sea I unatransposici6n cualquiera. Entonces 10Ph I • Pl' 10P3' lop. son permutaciones de n simbolos, que son dis-tintas porque PI' P2.Pl' ... ,P. son distintas y son impares; as! que n "" u, Tarnbien I0 q" I0q2, t 0 q3•... , I0 q.son distintas y pares; asi que v"" u. Luego u = V =4n!

13. Dernostrar que de las n! pennutaciones de n simbolos, 1amitad son pares y 1amitad impares.

(Z._I - zn)

Una transposici6n (u. (1,), donde u < v, sobre A tiene el efecto siguiente: (1) cualquier factor en que no en­tren rii' x. ni x, permanece invariable, (2) solo el factor x. - x; cambia de si!1,1l0"(3) los restantes factores, losque contienen X. 0 X., perc no ambos, se pueden agrupar en parejas, (x. - ~·..)(x. - X.,), donde u <- v < w,(x. - x,,)(x .. - x.) donde u < w < v y (X., - x.)(X., - x.) con w < u < v todos los cuales permanecen inva­riables. Asi, pues, el efecto 'de la transposicion sobre A es cambiar su signo,

Ahora bien, el efecto de a sobre A es dar (-i1A 0 (-I)'A segun que 0 se escriba como producto de r 0de s transposiciones. Como (-IrA = (-irA, tenemos A = (-1),-' A,0 sea que s - res par. Asl, pues, r y sson ambos pares 0 ambos impares.

12. Demostrar: Sea una permutaci6n IX de n simbolos expresada como producto de r transposicionesy tambien como producto de s > r transposiciones. Entonces r y s son ambos pares 0 ambosimpares.

Utilizando los slmbolos diferentes x" Xl, X3 •••• , x•• se forma el producto

A (ZI - Z2)(ZI - za)(zi - z.) (ZI - zn)

(Z2 - Za}(Z2- z.) (z2 - Z,.)

( 3 4 1 5 25) (1 2 3 4 5)La inversa de (13)(245) es 1 2 3 4 = 3 s 1 2 4 = (13)(254).

(23).(,11-2 3 4 5)

324 5La inversa de (23) es (~~;!:)(c)

(12453)234415(13)(245) 0 (23)

y

(13452)= G ~!~i)= (~!~::)=

:)o(~~!~i)n 0 (~ : i~~)

(112 3 4

3 2 4

(;(23) 0 (13)(245)(b)

(1 2 3 4 5)

(13)(245) = S 4 1 ,5,2y(23)(a)

La operaci6n binaria 0 definida por la Tabla 2-7 es conmutativa (verifiquese que las casillas estan situadassirnetricamente respecto de Is diagonal principal). y asociativa (otra tarea). Hay un elemento 11!utro0 (los en­cabezamientos de columna son tambien los elementos de 1.11primers columna- y los encabezarnientos de fila sontambien los elementos de la prirnera fila). Los simetricos de 0, b, c, d son, respectivamente, 0, d, c, b (000 =bod = c. c= do b = 0).

La operaci6n binaria c definida por la Tabla 2-8 no es conmutativa (0 c c ""c, ceo = b) ni asociati­va (0 Cl (b Cl c) ~ 0 Cl b =·0, (0 Cl b) c c = ace = c). No hay elemento neutro y. por tanto, ningun ele­rnento de S tiene simetrico.

Como a Cl (d 0 c) = 0 * d = (0 0 d) e (0 Cl c) y (d 0 c) 0 a * (d 0 0) 0 (c 0 0), c no es distributiva nia izquierda ni a derecha con respecto a .; como do (e 0 b) = c '" a == (d 0 c) c:J (d 0 b) y o es conmutatlva, 0 noes distributiva ni a izquierda ni a derecha con respecto a} c:J •

(a) Escribir las permutaciones (23) y (13)(245) con 5 simbolos en notacion de dos Hneas.(b) Expresar los productos (23) 0 (13)(245) Y (3)(245) 0 (23)"en notacion ciclica.(c) Expresar en notaci6n ciclica las simetrieas de (23) y de (13)(245).

11.

27RELACIONES Y -QI'ERACIONESCAP. 2]

0 a b c d e 0 a b c d ea a d a d e a. a. c c a. a.b a IJ b d e b c c c b b0 a. b c d. e e 0 c c e .0

d d d d d e ' d a b e d d

e e e. e' e a b c d

Tabla 2-9 Tabla 2.10

22. Sea S = {A. B. C, D} doude :4 = 0- B = {il}. ,e = Ca.bl, D = {a •.b. r].(a) Construyanse tablas para demostrar que U y (\ son opcraciones binarias sobre S.(h) Supongase la asoc'atividad para cada operacion e investiguense todas las dernas propiedades.

21. Para las operaciones binarias 0 y CJ dcfinidas sobre S = 10. b. c. d, e) por las Tablas 2·9 y 2-10. supongase queson asociativas e invesriguense todas las demas propicdades.

20. Sea S = {A. B. C. D} donde if = 0. 8 = {a. hI. C = {a. c]. f) = la,b. e]. Construyansc tablas que mues­tren que U es lIn[~opcracion binaria sobre S pero que '(\ no In cs.

19. Demostrar que:(a) la multiplicacion es una operacion binaria sobre S = {I. -11. pero no sobre T = {I. 2}.(b) la adicion cs una operation binaria 500rc S = {x: x e Z, x < O}, perc la rnultiplicacion no.

18. Verificar:(III el conjunto ordenado de subconjuntos de Sen cI Problema 7(~) tiene 0 como primer elemento (rarnbien

como elcmcnto minimal) y S como ultimo elemeruo (tambien como elemento maximal).(h) el conjunto ordenado B del Problema 7(h) no tiene primcro ni ultimo clemente. i.Cuales son sus elementos

minimal y maximal",(c) el subconjuruo C = {2. 4.5. IS, 60} de B del Problema 7(hl carece de prirnero y ultimo elemcnto. i.Cu;\les

son sus elementos rninirnales y maxirnales?

17. Sea S = {a. b. c. d. e./} ordenado por la retacion 9t como se ve en laFig. 2-9. (a)Enumerar todos los pares x, yeS para los que x {if y. (h). Enu­merar los subconjuntos de ires elementos queesten totalmente ordenados.

inducida en cada uno por la relacion II).(c) C =- {I,.3, 5,l5, so. 45}y

(a) A = {l,2,3,6}(b) B = {l, 2,3,5,30, GO}

16. Hacer el diagrama del ordcn parcial de

15. (a) Demostrar que «es factor de» en N es reflexive y transitiva, pero no simetrica;(b) Dcm?strat que «cucsta dolar mas 0 menos» para zapatos de hombres cs renexi\a y simetrica, perc no

transiuva.(c) Dar un cjcmplo de relacion sirnetrica y transiriva, pero no reflexive.(d) Deducir de (al, (h). (c) que dos propicdades dc las reflexiva. simetrica, transitive de una relacion binaria

no implican la otra.

14. i.Cuales de las siguientes soil rclaciones de equivalencia?(a) «Es sernejante a» para el conjunto T de todos los triangulos de un plano.(b) «Tienc igual radio que» para todos 'los clrculos de un plano.Ie) «Es el cuadrado de» para el conjunto N.(d) «Tiene el mismo nurnero de vertices que» para el conjumo de todos los poligonos dc un plano.(e) «~» para ~, conjunto de' conjuntos S = {A. D, C .... '}.(f) ".,;;» para el conjunto R.

Resp, (a), (b), (d).

Problemas propuestos[CAP. 2RELAcrONES Y OPERACIONES28

31. Formar la tabla de operacion (produeto) para el conjunto S = {(I), (1234), (1432). (13)(24)}de permutacioaesde cuatro simbolos. Mediante la Tabla 2-3 mostrar que S es isomorfo a B.

30. Esctibir en notacion ciclica las 6 permutaciones sobre S = {I, 2, 3), denotarlas en cierto orden por PI, P2. P3, ' , . ,P6 Y forrnar una Labl~ de productos PloP},

29. Demostrar que los ciclos (1357) y (2468) del Problema 28(b) son conmutativos. Establecer et teorema co­rrespondiente.

Nota: POT comodidad, - se ha suprimido al indicar los productos de transposiciones,

Respuesta parcial. (a) (1234) = (12)(13)(14)

(0) (13)(246)(5!!) = (13)(24)(26)(58)

(d) (28)(346) = (28)(34)(36)

(/) (1637845) = (16)(13)(17)(18)(14)(15)

6 7 8) (c) (1 2 3 4 5812 34168

(n (135)0 (3456) 0 (4678)

6 7 8) (b) (1 2 3 4 5678 34567

(c) (15)(2468)0 (37)(15468)

(a) (1 2 3 4 523415

(d) (2468) 0 (348)

28. Expresar cada una de las siguientes perrnutacioncs de 8simbolos como producto de ciclos disjuntos y como pro­ducto' de transposiciones (eii nurnero mlnimo).

a' '" (b' '" e') = (a' '" b') °t:'implicaoo(boc) = (aob)ocy

a.o(boc) +-,) a'o(b'oc'),

Sugerencia: En (a). sea aEA ~ a'ED, b ~ 0', e +-,) e': Entonces

27. Sean A y B conjuntos dotados de las operaciones respectivas 0 y ea. Supongase que A y B son isornorfosy demuestrese:(a) Si la ley asociativa (conmutativa) se verifiea en A, tambien se verifica en B.(b) Si A tiene un elemento neutro u, entonccs su correspondicnte u' es el elemento neutro en B.(c) Si cada elernento de A tiene un simetrico con respecto a a, 10mismo ocurre con los elementos de B respec­

to de o.

26, (a). Demostrar que el conjunto N de los numeros naturales respecto de la Lici6n y el conjunto M = {2x: x to N}respecto de la adicion, son isomorfos, Sugerencia: Utilizar n EN .... 2n eM_

(b) Elconjunto N respecto de la adicion, ~es isomorfo al conjunto P = (2;'C- I: x e,N} respecto de la adicion?(c) EI conjunto M de (a), i,es isomorfo al conjunto P de (b)7

CAP. 2] RELACIONES Y OPERACIONES 29

23. Para la operacion binaria sobre S = {a, b, c. d. e.]. g, h} Q a b c d f 9 h.definida por la Tabla 2-1t, dese por scntada la asocia-

It b d e f II.lividad e investiguense todas las otras propiedades. a c 9b b d a h 9 t tc c d a b f e h g

24. Demuestrese que 0 definida en el Problema 23 cs una h.operacion binaria sobre los subconjuntos So = {aJ; d d a b c g, f e

SI = {a, c}, S2 .. {a, c}, S) = {a,f}, S4 = {a, g}. e e 9 f h: a e b dSs = {a, h}, S6 = {a, b, c, d}, S, = {a, c, e, f}, f f h e 9 e a d bS8 = fa, c, g, h}, pero no sobre los subconjuntosT1, = {a,.b} y Tz = {a, I. g} de S. (J 9 f 11, d b a e

h h e 9 f b d e a

25. Dernostrar el Teorema TV. Sugerencla: Suponer que y Tabla 2.11yz son simetricos de.r y considerese a-Lr ey) = (zox)o y.

30

A3• Ley asociativa m + (n + p) = (m + 11) + pA.. Ley de cancelacion Si m + p = 11 + p, entonees m = 11

n + m eN1I+m=m+n

AI. Ley de clausuraA2• Ley conmutativa

Se demuestra que la adici6n esta regida por las leyes siguientes:Para cualesquiera m, n,peN,

La adicion sobre N se define por

(i) 11 + 1 = n" para todo 11 e N.(li) 11 + m" = (n + m)· siernpre que n + m este definido.

ADICION SOBREN

Primero veremos que, efectivamente, estas son propiedades bien conocidas de los numeros na­turales. Los Postulados I y II no requieren mas explicacion ; el III establece que hay un primer numeronatural, ell; el IV dice que distintos numeros naturales m y n tienen distintos siguientes m + 1 Y11 + I;el V dice en esencia que cualquier numero natural puede alcanzarse comenzando con 1 y contando lossiguientes consecutivos,

Se observara que en las definiciones de adicion y rnultiplicacion sobre N que siguen no se acudea nada que sobrepase estos postulados.

es el mismo N.

Hasta ahora hemos supuesto las propiedades de los sistemas de numeros que son necesarias paraproporcionarnos ejemplos y ejercicios en los primeros capitulos. En este capitulo nos proponemos cons­truir el sistema de los numeros naturales suponiendo solamente unas cuantas de sus 'propiedades massimples. Estas propiedades mas simples, conocidas como postulados (axiomas) de Peano.por el mate-.rnatico italiano que los enuncio en 1899, se pueden establecer como sigue: \

Sea un conjunto N no vacio, tal que

Postulado I: leN.

Posmlado TI: Para cada 11 eN existe un unico It- eN. lJamado siguiente de 11.

Posmlado ill: Para cada 11 eN se tiene 11* 4= 1.

Posmlado IV: Si m. n e N y m" = 11-, entonces m = 11.

Posmlado V: Todo subconjunto K de N que tenga las propiedades

(a) I e K(b) k· e K siempre que k e K

LOS POSTULADOS DE PEANO

Los nnmeros naturales

Capitulo 3

sy que para todo k. EN, Nk) cierro iinplique P(k*ycie.rto

Las diferentes leyes AJ~A4' Mt-M4, D}-.D2 se pue..denQ!lsar en la induceion matematica. Asi seestablecen Ar en e.1Ejemplo l,&3 en el Problema 1, Ai en Jes Problemas 2 ~ 3 y D2.en el Problema 5.

frincipio de induccion matematicaUna proposicion P(mY es cierta para to(l6 meN siempre que:

PCI) s~a dei-to

es verdadero y entonces k* EK.. Asi, plies, K,tiene,Jas dos.propiedades enunciadas en el Postulado V;de modo que K = N Y la .proposicion es valida para todo m EoN.

Al establecer la validez de la proposicion anterior, hemos probado a] mismo tiernpo el siguiente

P(k*) :

es declo; Pero si (k*)* = k* sesigue.por el Postulado lv'que k* = ken contradiccion ton (a'). Por tanto,

k* ~ kP(k):(a)

Sea ahora k cualquier elemento de K; entonees

y

Entonces

(Postulado I)

(postulado IU)

K = {k: keN! P(k.) es cierto}

I eNpI< + i

P( 1) es eierto y I E K

Como

PJm): in* =F m, para Iodo meNDemostraremos ahora como se puede' establecer esta proposicion solamente mediante los.Postu­

lados I-V. Definarrros

Sea la proposicion

INDUCOON MATEM)\ TICA

\La acticiop,y la multiplicacion siguen las leyes qi.stt.ibu:ti'l(~~'

Para cualesquiera m, n,p e i'f.,O't. m·(n.+p) = 'm"1i+'m'pDtr (n+pj'm = u"m+p·1t~

Mt· Ley de clausura n i m eN

M2• Ley conmutativa m"!'· = n: mM3· Ley asociativa rn : (n' p) = (in' n)' PM4. Ley de cancelacion Si m :p == n :p, entonees m = n

MDLTIFLICACION SOBRE NLa rnultiplieaeion se define por

(iii) n : 1 = n.(iv) n' m* '= n . m + It siempre que n . m este ~efinidQ.

Se demuestra que la multiplicacion se rige por las leyes siguientes:

Para cualesquiera m, n, pEN

31LOS NUMEROS NATURALES€AP,3J

Para una dernostracion, vease cl Problema 10.

0tras consecuencias de las relaciones de orden son los Tcorcmas 11 y II':

Teorema II. Si m, n E N Y m < n, entonces para todo pEN(a) m + p < n +, P (b) 111' p < n . p

y. reciprocamente, si (a) 0 (b') son ciertas para algun pEN, entonces m < n.

m > n si, y solamenre si; n < In(viii)

De aqui se sigue

La ley de tricotomia: Para cualesquiera m, n EN se verifica una, y solo una, de las siguientes relaciones:(a) m = n, (b) m < n, (e) m > n

Para cualesquiera. m, n EN definimos «.>)) por

Para cualesquiera m, n EN definimos ««;» por

(vii) m < n si, y solamente si, existe algun pEN tal que m + p = n.En el Problema 8 se demuestra que la relacion < cs transiriva, pero no reflexiva ni simetrica. Por

el Teorema I,

RELACION]:S DE ORDEN

1 < n para todo n:f= I

n < n" para todo n E N, y por (i) y (vii),

N6tese que para una suma 0 producto de tres numeros naturales se pueden insertar parentesis a vo­luntad. La suma de cuatro nurneros naturales seexamina en el Problema 4. EI caso general se deja comoejercicio.

En el Problema 6 demostrarnos el

Teorema I. Todo elemcnto n :f= 1 de N es el siguiente de algun otro elemento de N.

(vi)y

En vista de las leyes de clausura AI y Mlo la adicion y la multiplicacion son (vease Capitulo 2) ope­raciones binarias sobre N. Las leyes A3 y M3 sugieren como aefiniciones para suma y ~roducto dc treselementos ai' a2>G3 EN, J

(v) al+a2'!l.:! = (al+~)-a3 = u,. + (uz+a,,)

es cierto puesto que n + k* = (n'+ k)* (por (ii)l y (n + k)* EN siempre que n + keN (porel Postulado II). Asi que. por induction, P(m) es cierto para todo m e N y como If era cual­quier numero natural, queda probada la ley de clausura para la adicion.

P(k") : If + k· e Nse deduce enionces que

P(k) : 11 + k e N es cierto(a)

es cierto puesto que n + = n* (por (i)l y n* E N (por el Postulado JJ). Supongase en seguidaque para algun kEN

n+l E N1'(1) :Como

n + mEN, para 10<.10 in e: NP(m):

Demostrar la ley de c1ausura: n +mEN para cuatesquiera m,'1fE N.

Tenernos que dernostrar que n + m esta definido (es un numero natural) por (i) y (ii) paracualesquiera III, n E N. Supongase que II sea cierto numero' natural fijo y considerese I" pro­posicion

Ejemplo 1:

[CAP. 3LOS NUMEROS NATURALES32

y? es evidente que el cpnjuntg {1, 1*, (1*)*,,: . ; } aota~o de la,~,QPtplc;i!).nes Yrelaeiones en eI'de­j\nidas!.sQlo d~fierePOf los s~!RbQ~oSefl1plea~os del {a,?,ililp"sistem1t.{1",,2,3~,.•. 1dotado ~e las opera­ciones. y relaciones .usuales. Si un romano hubiese e~r-itthestecapitulo e,s clare que habria UegaOO ala rrrisma <;oDGJu.sion C0n~su ~istema {T,JI;.III, ... }. Se..,s:!i:ce~iri;lpl~iJ1enteqn.e-jo.stres son isomenos.

CONJ1JNTOS ISOMORFOS

(xi)' au,,bn(xi) np..+nq = n(a + b)

y, si + y . son cohmutativas. sebre S,

(x)" «P')'" = .am.n

(Ix) 1n.a+ na = (m'+n)a

(x) 'm(nq) = (?Ii' n)(2

Debe tenerse.en cuenta aqui que en el Ejernplo 2 el. +.'e,o 1 + 1Y el + en.a + a hap de.conside­rar~e per complete distintos, .pues el pn)1lero derrota aclic(on t;n IV y cJ segundo en.§. (Podria ser utildenotar las operaciones S por:$ y o.i En particular, ka = a + a + ... + a es un multiple de a yse puede escribir como, k . a solamente si k E S.

Mediante el prineipio de inducciou, se pueden dernostrar las' :siguientes propiedades para' cuales­quiera G! b E S y cualesquiera m, n Ii: N:

ata'ta

Ejemplo 2: 'Como in = a. Y al ='u, se tiene2a = (1+ l)a Ia + la. a + a y

3a = (2 -+' 1)(1, = 2a + Ia = it + ,a,+ a. yetc.

siempre que ka y ak esten definidos para kEN.

tk: + 1.)~ =- ka + (~y

ald = d

MULTIRLOS V POTENCL<\s I

Sea a E S, sobre el eual se han definido las op'er!Jl?ionesJnarias + y ','y ihagase

Sea;4 un si{.b,conjpntocualquiera de.N (esto e~,.A eN). Un clemente p de A se iiic'e. 'elementoml­nimo de )t si p ...:a para todo a Ii: ,A,. Notese 'que en eUengu~jede Ios.conjuntos, pes el primer elemen­to de A con respecro al orden ...:.En el Problema 12 se demuestra el

Teorema m" EI conjunto N e~ bien ordenado.

m ,,:i'-,ll S1 m<: n 0 si m = nin ;:"/2 si m = Ii 0 si m > fI

Para ni. n EN,

(c) in+p > n+,p(lj) 111,'1)'> 'n'p

'/ reciproeamente, S1 Ca) y (/J,) son ciertas para algun P Ii: N, -enjonces m > 1.1,

Como tilTeorerna III no-es-mas que el Teorema Ilcon my 1.1 cambiadas, esclaroque la demostra­cion de una parte del TeoremaIl (veaseProblema 11) demuestra la parte correspondiente delTeorema II'.

Las relaciones «menor 0 igual que» (,~:) s «mayor o igual que» (;:,.) sedefinen como. sigue:

Teorema II:. Sj m, 1.1 ~ N Ym > 'n; e.ntoil"es para-tcde P E,N

LOS ,NUMEROS NAT,URALESCAP. 3]

El lector comprobara cuidadosamente que la sucesion de igualdades anterior se obtiene utilizando (mica­mente las definiciones, postulados, las leyes de la adici6n demostradas y, desde luego, la suposici6n basica de queP(k) es cierto para algun valor arbitrario keN. Tanto en esta demostraci6n como en las que vengan luego, se so­brentiende que cuando no se cite el porque de un paso dado en la demost ....acion, el lector ha de suplirlo.

n + k*k" + nP(k·) :Asi, pues,es cierto y se sigue Az.

(n+k)·k + n* = (k + n)*k* + n = (k + 1) + n =: k + (1+n) = k + (n+ 1)

Entonces

3. Dernostrar la ley conmutativa A1:m + n = n + ~ para todo' m, n e N.Sea n un numero natural dado, pero arbitrario, y considerese

P(m): m + n = n + m para cualquiera meN

Por el Problema 2. P(I) es cierto, Supongase que para algun kEN sa verifica

P(k) : k + n = n + k

1 + k" = 1 + (k+ 1) = (1+ k) + 1 = (k + 1) + 1 = k" + 1

Asi que P(k.*) es cierto y queda demostrada P(n.).

Mediante la aplicacion sucesiva de la definici6n de k", de A~. de la suposicion que P(k) es cierto, y de la defini­ci6n de k", se tiene

k* + 1 = 1+ k*-P(k") :

2. Demostrar que P(n): n + 1 = 1 + n para todo n eN.

Evidentemente, P(I) = J + I = I + I es verdad. Supongase ahora que para algun k e N,

P(k) : k + 1 = 1+ k

sea cierto. Hay que dernostrar que esto implica

Entonces, siempre que P(k) sea cierto,

m+(n+k)· = [m+(n+k)j· = [(m+n)+kJ· = (m+n)+k* jy PCP) es cierto. Asi, pues, PCp)es cierto para todo peN y como m y n son cualesquiera numeros naturales, que­da demostrada A3•

y

m + (n + k*) = m + (n + k)* = [m + (n + k)]·

(m + n) + k* = I(m + n) + k]$

es verdad. Por (il),

m + (n + k") = (m + n) + k·P(k·):

Hay que demostrar que esto implica que

P(k) : m + (n + k) = (m+ r) + k

y P(I) es cierto.En seguida, supongase que para algun keN se verifica

m + (n+ 1) = m + n· = (m + n)" = (m + n) + 1

Sean m y n dos numeros naturales dados y considerese 1a proposicion

PCp): m + (n + p) = (m + n) + p para cualesquiera peN

Primero verificamos la validez de P(l): m + (n + I) = (m + n) + 1. Por (I) y (ii). pagina 30.

1. Demostrar la ley asociativa A3: m + (n + p) = (m + n) + p para cualesquiera m, n, pEN.

Problemas resueltos[CAP. 3LOS NUMEROS NATURALES34

1L + 8 == (m+ T) + ,8 = in + (r + 8) = P

Con 10 'que m <:: p y <. es:'t(al)'Siliva.

8. D~mosti:ar que < es transitiva, 'pero no refiiixiva ni simetrica,Sean 111,h,.p E N y sl}p6ngaseque m <"n'y-n -c p.. Por (vl1),existel).r.•s. EN'tali:s, que m + r = n y n + s= p­

Entonces

P(k~) : 'k* + 1t '" k'

es cierto Y el teorema queda dernostrado.

Ahora bien, (Ie ;f- 1'1). +)[.* pues j>Q.r til Postulado.Iv, (k.+ n)* = k* implica If. + n = k en contradiccion con (a).Asi, pues,

PJk): k + n ...p k(a)

7. Demostrar: m + n -+ m -para cualesquiera m, 11 ~ N,sea nun numero dado y ",qnsidereseP(fIi):m + n 4: iff'para todo In EN. Por el Postulado III, pel): 1 + n f;

es cierto. Supongase que 'par-a algun kEN se. verifica

6. Demostrar que: Todo elemento n ::f 1 de N es el. siguiente de algun otro elemento de N.Primero observamos que,eI Postulado HI excluye el-I :c.omosiguiente. Denotese por K el conjunto formado

, P9r el elemento 1 ,y todos los elementos de N que .son.siguientes, es decir,

K = {'k: KE fir: k = -1 o k = m· para alguIi m,E N}

Pero todo k EK tieneun siguiente unico, k* '? N (Postl!,ladpII) y como k* es un siguiente, tenemos "*,E K, En­tonces K = N (Postulado V). Luego, para todo n EN se tiene 0 bien n = 1, 0 bien n = m· para algun mEN.

es cierto y queda. demostrada D2,

P(k*) :Asi, pues

(n+,1l!·k = n·k + p'/(.

(n+p)·k+(n+p)::: n'k+"~"'k+n+p

11.-' k + (p. k + 11) +. p ,= n' k + (en+ po k)-+ P'

(it· k + ,n) + (p' k + 1?)' = 'It' k* + P • k*

(n+pj'k~ ::: n·k,. + p,',fcli

j>(~):

(n+ p) 'le"Entonces

Mediante' Al Y (iii) se ve que es cierto

P(i) : (n+p)'l = n + p ::: 'n' 1+ p'1

Supongase que para algun k E"N se verifica

(-n+'p')'n~::: n'm+p'mparatodo?ItENP(m) :

5. Demostrar la ley distrib1.\t'ivaD2: (n + p J: . m = n .-m +p . m para cualesquiera m, n, pEN.Supongase dados n y p y considerese

4~ (a) Sean al> 42."a3; t74,eNy defmas¢ al + a2 + 12'3+,ik= (121+ a2 + a3) + a4' Demostrar quese pueden intercalar parentesis a voluntad en a.i + a2 + 03 + 11'4'

Utilizando (v), tenemos al + a2'+ a3 + a~ =. (a'l + a2'+ (3) +. a4'::: (al + a;i) +- aa +'a4 ::: (a, + (2) +(a3 rI--a.) = al + az + (c/-i + (4) ::: a, + (~2+a3 +' (4). etc. '

(b) Para b,a"a~"a3 E N, mostrar que b· (a,+a2+ a-3) ::= b "a, + be.a2 + b : a3.b • (a, + az + ail) == b ·«al +,(2) +aaJ = '0' (a, + az) + b-' a3 = 'b' al + b' az + b' 113

35LOS' NUMEROS" N~TU~LESCAP: 3]

12. Demostrar que el conjunto N es bien ordenado.Sea un subconjunto cualquiera S =fo 0 de N. Hay que dernostrar que S tiene un clemente minirno. Esto

es cierto si I E S. Su~ongase quc I f{c S: entonces I < orpara todo orE S. Designese por K el conjunto

K = {k: k e N, k "" s para rodo S E S}

Como t e K. entonces K t- 0.Adernas. K =F N; p'Ortanto. debe cxislir lin 'E K tal que r' Ii K. Pero este rES,pues si no, r < s. y entonces ,. :SO oS para lodo .I' € S. Pero con ello se tendda ,. E K, .en contradiccion con 10sup.uest9 r-espectode r. Asi que S tiene un elcme.lit.ominimo. Y como Sera cualquier subeonjullto no vacio de N,se tiene, pU,es,qlle todo subconjunto no v.acio'ue N Lieneun elcmcnto minimo y, por I.anto"N os bien ordenado.

Para la'reciproca, supongase m + P < n + p.. Entonccs, 0 bien m = n, o bien til < II, 0 bien m > n. SiIn = n, entonces In + P = II + p ; si m> n. entonces 111 + p > n + p (Tcorerna 11') Como esto contradiceI" hipotesis, se concluye que III < n.

m+p<n+pY cntonces

(m+ p) + kn + p = (m+ k) + p = m + k + p = m + p + k

11. Demostrar que: sim, n € Ny m < n, entonces para todo p € N, m + p < n + p Yreciprocamente.

Como m < n existe algun kEN tal que til + k = II. Luego

Sea m cualquier elernento de N y construyansc los subconjuntos

Nt = {7n} , Nz = {z: z E N, x < m}, Na = {e : x E N, x > m}

Vamos a demostrar que {N" N1•N3} es una particion de Neon respecto a {=, -c , >}.(1) Suporrgase m = I; cntonces N, = {I}, Nz = 0 (Problema 9) y N) = {x: XE N, X::> I}. Es claro que

N, U Nt U N3 = N. Para complctar, pues, la demostracion en este caso, solo qucda por comprobar queN, IiN2 = N, (\ N) = Nz (\ N3 = 0·

(2) Supongase til =fo I. Como I ENz, se sigue que lEN, U Nz U Nl. Tornese ahara cualquier II =fo I e Ni UNzU N3• Hay tres cases posibles por cxaminar: f(i) II eN,. Aqui, n ~ m y entonces 11·E N3•

Iii) n e Nz dernostrar que n + p = mpara algun pEN. Si p = I, esn* = In e NI; si p '" J de modo quep = J + q para algun q EN. es n* + q = m y entonces II" e N z-

(iii) IIEN3. Aqui 11* > n > In Y asi n*eN3'Por consiguiente, para todo II E N,

II E NI U s, U N3 implica n* e N, V N. U N3

Como-I EN, U N2 U N3 se concluye que N = N, U N2 U N3•

Ahora bien, m ~ Nz• porque III f m; luego N, (\ N2 = 0. Del mismo modo, m * m, y cntoncesN, (\ Nz = 0· Supongase que Nz (\ N3 = {PI para algun peN. Entonces, p < m y p > m 0, 10que es10 mismo, p < m y m < p. Como < es transitiva tenemos p < P. que es una contradiccion. Asl, pues, he­mos de concluir que N. (\ N) = 0 y Ja demostracion queda completa para este caso.

(c) m > n(b) m < n(a) 7n = n

10.. Demostrar la ley de tricotomia: Para cualesquiera m, II EN se verifiea una de las siguieotesrelaeiooes y solo una

9. Dernostrar que 1 ::: n para todo n EN.Si n = i.1a igualdad se verifica; para otro caso, por el Problema 6. n = m· = m + 1. para algun mEN

y se tiene la desigualdad.

Sea n EN. Ahora bien, n < n es falso, pues si fuera cierto, existiria algun kEN tal que n + k = n en contradel resultado obtenido en el Problema 7. Asi, pues, < no es reflexiva.

Finalmente, scan m, /I E N y supongase m < n y n < m, Como < es transitiva. se sigue que In < m en con­tradiccion can 10'visto en el parrafo anterior. Asi que < no es sirnetrica.

[CAP. 3LOS NUMEROS NATURALES36

27. Demostrar cada una de las siguientes formas diversas (lei principio de induccion.(a) Sea una proposicion P(nl asociada a cada n E!if: Entonces PIn) cs eierta para rode n E N si:

(i) P(J) es cicno,(ii) Para rodo II! E N la suposicion de que.P(k) es cierta para todo k < m. impliea que P{m) cs dena.

(h) Sea b un cierto numero natural dado. y sea una proposicion PIn) asociada con cada numero natural n ~b.Entonces pen) es eierta para rodos los valorcs de n siemprc que:(i) PCb) sea cicrta,(ii) Para todo III > b la suposicion de que P(k}es'cierta para todo kEN tal que" ~ k < "' implique Platl

es cierta,

26. Con (I" a2• 03• ' .• ,a. eN deflnase (/, + 1/1 + 11) + .. : -i- at = (a, + a2 + a) + ... + ak_') + (I. para k =3, 4. 5.. , , ,II. Demostrar:(al a, + {I~ + o~ + . , , + {I. = (a, + a2 + a'3+ ... + lIy) + (ad' + a'+2 + (/,+3 + ' , , + 0.)(b) En una suma de n numeros naturales sc pucaen intercalai; parentcsis a voluntad.

25, Dcmostrar por inducci6n que para todo n EN:(1I) I + 2 + 3 + ... + II = tn(" + J)(h) 12 + 22 + 32 + + III = i"(,,+ 1)(211 + 1)(c) )3 + 23 + 3J + + ,,3 = ~,,2(1/ + 1)2

24. Con m. n E N rnostrar que (a) ml < til' II < ;,2 si 111 < II. (h) ml + 111 > 2111 'II si m '" II.

23. Para todo mEN delinir m' = m y m,+l = m" m siernpre que m" este definido. Si III, II,p, q EN. dernuestrese:(a) mP' m' = m,TO. (h) (m')" ~ m"'", (e) (m' /If = m" nP. (d) (1)" = I.

22. Demostrar A4 y M. con la ley de tricotomia y Jos Teoremas 11. pagina 32. 'y II', pagina 33.

21. Seanm, II E N. Dernostrar: (a) Si 111 = II,entonces e"> m > n para todo kEN. (h) Si k" • m = n para algun kEN.entonces m < II.

20. Si m.lI, p, q EN Y si m < /I Y p < q dernostrar: (II) III+ p < II + q, (b) m' P < /I' q.

19. Identifiquese S - {x: x E N. n <. x <. 11* para todo n EN}.

18. Sean m, n, p, q '" N Y deflnase In' n •p . q = (m' n :p). q. (If) Dcmcj;\~ar que se pueden intercalar parentesisa voluntad en m :n . P • q. (h) Demostrar que III' (n. + p + q) = '1IIi; II + m . p + m . q.

17. Dernostrar: (a) (m+n)·(p+q) = (m·p+m·q)+(n·p+n·q)(b) m' (n+ p)' q = (m·n)·q +mo'(p. q)(c) m* + n· = (m+n)* + 1(d) m·· n* = (m·n)· + ?It + n

16. Demostrar: (e) (m+n+)+ = m+ + '1·(b) (m·nO). = m'n +.".(c) (m*·u·l+·= m* + m'n +",;*

siendo m,u E N.

15. Demostrar: (a) D, siguiendo el Problema 5. (h) 01 mediante M1.

14. Demostrar por inducci6n: (a) MI. (h) M1• Ccl M3•

Sugerencla: Utilizar el resultado del Problema 13 y D1 cn (b).

13. Demostrar por inducci6n: I'" = n para todo "E N.

Problemas propuestos37LOS NUMEROS NATURALESCAP. 3]

Vamos a demostrar ahora que el conjunt.o J de clases de equivalencia de L respecto de - es, apartelos simbolos empleados, el conjunto ya eonocido Z de los enteros.

38

(s,m) ~ (t,n)si. y solo si,[s, m) = [t, n]

Recordemos del Capitulo 2 que (s, m) E [s, m] y que si (c, d) e [s, m], entonces [c, d] = [s,mJ. Asi,pues,

[s,m) = (a, b): (a, b) E L, (a, b) - (s, nt»)

Entonces - es una relaci6n de equivalencia Nease Problema I) que induce en Luna particion enclases de equivalencia J = {[s, m], [t, n], ... } donde

RELACION BINARIA -Sea la relaeion 'binaria «-), lease «equivalente», definida para cualesquiera (s,m), (I, n) E L por

(s, m) .....(I, n) si, y solo si, s + n = t + mEjempJo I: (a) (6,2) - (9,6) pues 5 + 6 = 9 + 2

(b) (6,2) + (8,4) pues 5+ 4 "'" 8 + 2(c) (r, r) - (8,8) pues r + 8 = 8+ r

(d) (r·, r) - (8",8) pues r· +8 = 8· + r

(e) (r", s") - (r,8) pues r* + 8 = r + s"

siempre que r,« E N.

No se din! ahora, por ejemplo, (s,m) es una solucion de m + x = s. Pero quede claro que se precedecomo si ese fuera el caso. N6tese que si (s, m) fuera solucion de m + x = s, entonces (s, m) seria tambiensoluci6n de m* + x = s*, que a su vez tendria como solucion (s·, m*). Esta observacion sugiere laparticion de L en c1ases de equivalencia tales que (s, m) y (s·, m*) sean elementos de la ~isma clase.

L = N x N = res, 'In): 8 EN, mEN}

EI sistema de los numeros naturales tiene un defecto manitiesto en que dados m, sEN, la ecua­ci6n m + X = s puede tener 0 no tener solucion. Por ejemplo, m + x = m carece de solucion (veaseProblema 7, Capitulo 3), mientras que la m + x·= m* tiene la solucion x = 1. lis sabido que esto seremedia aiiadiendo a los numeros naturales (llamados entonces enteros positives) el cero y los enterosnegativos para formar el conjunto Z de los numeros enteros.

En este capitulo se muestra c6mo puede construirse el sistema de los enteros a partir d~1sistemade los numeros naturales. Con tal tin se forma el conjunto producto I

INTRODUCCION

Los enteros

Capitulo 4

En vista del isemorfismo (1) el conjunto Z'i- puede l>l}stituJrse..por el conjunto N donde quiera que esteultirno resulte. mas comedo, . . .

z' = {;[-!, tnJ: [8,m] E$, 8> m.}

Asi que (1)' es un isomorfisrno del subconjunto {[n"", 1]: n EN} de j sobre N.

Supongase ahora que [S:1m] = (r*,1]' E'ntonces (s,m.)-,. (r*, 1)18 = r + m y s> m. Lo eualsugiere definir el conjunto zt de los enteros positives 'por

y

Para esta transformacion encontrames

[1'*,1) + [8*',1] = [(r*+s*), (1+1)] = [(r+s)*,1] ~·t+s

(1)[n"',1J~n, nEN

Sea r EN. De 1 + r = r* se sigue que r es solucion de 1 + x ;:; r". Considerese ahora la apli­caci6n

LOS ENTEROS POSITIVOS

EI Teorema I tambien se 'puf!tleenunciar como sj~e: La adicion y Ja multiplicacion sobre J soncompatibles con la relacion de, equivalencia y, pot tanto, bien definidas.

Mediante: las leyes'conmutati va y asociativa para la, adicion y la Tnultiplica'cionsobre N" no 'eS'.di­ficil demostrar que la 'adicion y Ja,.mult!piic:acl9n·'so,]?,re:J 'obedeeea a las mismas leyes. La ley asocia­t'iva pa'ta la adicion y una de las leyes distributivas se demuestran en los-Problemas 4 y 5,

[a,b] + [e,f] = [c,d] + [g,h] = [s,m] + It,.n]

[a,bl.·[et!l =/[c,dJo[u,hj = (s,m.)·[t,n]y

sino tambicn por cl Tcorcma r

(e, f), (~, h) E·'!t.l1. no solo se tiene

[s.,nil y [e;l) = [u, h] = [t,.n]

Si (a, b), (e, d) E [s, m] y

[a, b] = [c, d]

EjelJiplo 2:

Teorema I. La clase de equivalencia a la que pertenece la suma (producto) de 40s elementos pertene­eienies a seIii:las .clases de equivalencia de '" es independiente de los elementos particu­lares elegidos.

En el Problema 3 se demuestra elpara cualesquiera _l', Y E J.x·y eJ

y

La inspeccion de los segundos.mietnbros de .(i).:y (ii) muestra que se cumplen las leyes de clausura

A1. X' +.y .EJ para cualesquiera x, y EJ

(i), [s,?n] + [t,n] = [(s + t), (m + n)]

(1i) [s,vj..]"[t~?iJ = [(s"t+in"1i),(s"n+m:·t)]

para-eualesquiera, [s,m],lt,n] E /)"

ADICION' Y MULTIPLICACION SOBRE J

La adicion y. la multijilicacion sobre J. se definiran, respectivamente, por

39CAP. 4]

Ep el, Problema 8 se demuestra Ja ley tie tricotomia : p,ara cuales,Q,uiera{I; b e Z. se verrfica l,I.oa.y solo una, de las siguientes relaciones •

(a) a = ,b, (h) a < b. (e) a > h

a < b sl, y solo si, (5 + n') < (I + 111)a > b si, Y solo, si, ts + ;) > (I + m)y

Para.,a, lJ E~, sea a,~ [.r,m] y b tt [1.. I)]. L~~relacipnes.de '9r4en; «;<::» y «c- »;eht~e los enterosse definen por

l{ELACIONES DE ORDEN

Veausei-Problemas 6-7.resulta 'que

Sean p: q eN. Per la ley de tricetomia para los numeros 'naturales, hay rres pesibilidades

(a) P =, q, de donde [Po q] = [q,pJ +-+ O.(b) p < q, lie mode que.p +a= q para cualquiera a eN; entonces p +'a'"= q+ 1Y[q, pJ = [ll·, 1]+-+~.(e) p >- q, de modo que p = 'q + a para cualquiera a E N y [p,4] +-+ a.

SUpOngaS6-;que [p, q.] t-+ n 'eN. Com0 tq;pJ = - [fl-, q], introduciieQ1os el simbolo -n parad~no~ar el opJiest6~den EN 'Y.,es~,dbirem0SCq,o] ('-> =n. As], cada elase de e-glliYa1e,nciade J,S¢ apli­ea ahora-sobre un elemento ~nieo de Z = ;fO,±l, ±21 ••• J Que J y Z'son isomorfos se sigue inme­diani'Tnenteuna vez estaUle.cic,l'a,s,las J'lropi¢dades conooidas del signo=menos, Sin embargq, aldemos­trar III ma.y.orJa,dy las RJ;pp'ied~d~s':nlt)~amllntale.sd~ l~s!,el1teros,suele ser conveniente- el utilizar lascorrespondientes clases de equivalencia ae

Ejemplo 3: Sean a.b,e'Z.Mostrar que (-ti)· b = -(a' b.). Sea i/ M [$, m]de modo que -0<,0;> em, 'Slysea b,- [r. /I]. Entonces

,(~a)' b+~ [m, 8]' [t!:nj = [(,,,,,,.'t + 8''''). (m:' n + 8,·'t);].

y tt·,b<-+[~,ml·[t.1I1 = ('8·t+m~;n), (8·n:+m·t)]

Como -'(a·b) ~ [(s·n+m.·t). (8.t+m·n)] ,+-+ H-a).~]

LOS ENTEROS

Se deneta [b)-a] ppr - tq.}] y se le llama opl;t~s,tqde.[12,b]. Lei relaciqp (2) sl.\gi,ereIa .de_sIgna<::ion[bi (1](;) - [Q; b] como el simetrico 'adiLivo de Ea, b).

(2)[a, b] + ['b, dJ ::;; [r;r.) ~ 0

demostradas en los Problemas 2(b)'y 2.(c), La prirnera de estas es Ia que lleva ~ designer el cere-comoelemento neutro de la adici6n.

POT ultimo, definimos el conjunto Z- de los enteccs negatives por

z:' ::;; '{[$;,?n]: [sonil E (91 s < m)

Se sigue ahora que para cada entero [a, bJ, a + 'b.existe un ilniCoentero [b, a] til'! que [vease Proble­ma 2(d)]

[s,m]' [1', r] = [1.',1.']yIs,em] + ,(1.', 1:] = [s, mJ

EL CERO Y LOS ,ENTE~OS]'IjEGATIVOS

Sean r, seN. Se tieneque [r, r]'= [s, s] para cualesquiera r y s y [r, 1'] ={s, t] si, y solo-si, l = .s.Definimos el entero cera, 0, como el que, corresponde it la clase de equivalencia [r, r],.r 'e N. SUSpro­piedades conocidas son

(CAP. 4LOS ENTEROS,40

l\siq,l!e"Gpn c,'i'O, a-(~-c),,« (d-,Q)-,c.

ver'? ,a - b' =, cd (-b) ~'[(8 + n), (m+ my (a-oj-c = (a,+b)+(-o) ~ (s+it+p),(m+t+u))

a,+ (-(b - c>l ~ [(8+ n + u),. (m+ t +p)ja-(b-'o)y

b - ~ = b + (-c) _ I(t +p), (n+ u)j

-(0 ~ e) ~ {(n:+ u), (t+ p),]

Ejemplo,4: Dernostrar : 'q. - (0 - 0) ,.. (a - 0) - 0 eon ,a,o,o E Z y. c,.. O.

Sean a ~ is,mj, b',- [t,nl, y c,+7 [l~"p]. Entonces.

.Se define, en z.,Ja, sustraccion ,~(-» por a - b = 'Q + (-0); La sustracciori es evidentementeuriaoperacion binaria sobreZ, -Sin embargo, no 'es conrnutativa rri asoeiativa, si 'bien Ja multiplicaciones distributiva respecto de la sustraccion.

SUSTRACCION «-})

De esta ordenacion de, los, enteros se=infiere el

Teorema III, NQ exi~{e'ningul! n E Z+ tal que 0' '< n < I.

Este teorema (vease Problema 12' para una demostracion) es una consecuencia del hecho de queel.conjunto z+ tic los enteros positives (por ser isomorfo al fl.) es bien ordenado.

Fig. ":'1'3,2o-1,

----r------r-------r------~~--_.~----_r------,_--~L

Si (I, b, C E Z, se tiene:

(I) a + c < b + c si, -y s910 S1, a < Q.en '(I + C, > b + c si, y solo si, a > b.(2 'b' I') Si C'> 0, es (1'£',< ·c SI, y.soro '81, a < b.(2') Si P > O, es a . C > k.. e si, Y solo si, a > b.(3) Si C < 0, es a . C < b . c si, y solo si, a > b.(3') Si c < Q, es a . o > b . c -si, y solo si, a < b.

Para las demostraeiones de' ('1') y (3), veanse Problemas 9~1O.La ley de cancelacion para 1a multlplicacion sobre Z,

M4. Si Z' =1= 0 y si x . z = y . z, es .x = y

puede, demostrarse ahora.Como consecuencia inmediata, se tiene el

Teorema n. SI a, b E Z Y si a' b = 0, entonces 0 bien a = ° 0 bien b = 0., ' P~ una demostracion, vease Problema '11.

Las retaciones ,dl$or.den permiten escribir 1'0.s·eJjt~f0S en, el orden: aeostumbraao,

,." -5. -4, -3, -2, -1,. 0; i.2",,3,4,5, , ..y. -surepresentacion P9r puntos igualrnente espaciados en un{l recta. Bntonces «(1 < b» significa <{a 'e~taa: la. izquierda de b» y '«a> h» -significa «a,esia a la derecha de.b».

41LOS EN'fEROSGAP: 4]

sin :apel~r' a la ley cdnmutativa de la mul\iplicaclon.. Se tiene.

Ahara bien. per ~2' ,.0,., a =, a . .0 = .0 como se requiere, Pero, por razones que solose aclararan posteriormente, vamos a demostrar que

.0 = (10'.0,

(c) a(b-.c) = ab - ac

y

Entonces,

(9) a(-b) ::::-(ab)

a +.0 :::: a

a' It. + .0 == Ii,' a :::: 'a(a+ .0)

«(1,)

(a) a' .0, = .o. a :::: .0

Demostrar: Para todo a, h. C EZ;Ejemplo 5:

OTRAS PROPIEDADES DE LOS ENTEROS

Ciertas propiedades delos enteros se han establecide mediante 1as c1ases de equivaleneia de :/.No obstante, una vezestablecidas.Ias reyes fundamentales; t<lda'slas demas pF.oj5iedades se pueden ob­rener utilizando los elementos de Z mismos.

Pot'el Teorema Ill, CapituIO,2. el elem'erl~oneutro en As y'e) elemenlo n~utToefi I\1s soh uriicos;por el Teorema lV, Capitulo 2. cada simetrico aditivo en A6 es unico:

He aqui dos propiedades <ie Z que, no tenia N:As. Exis,te un elernento neutro, Q e.Z para la adicion, tal que n + 0 = 0 + n = n para

tode nEZ,

A6• Para rode n e Z existe un simetrico aditivo, - neZ, tal quC'n + (- n) = (- n) + n = 0y que se Ilarne opuest0' de,n 'Y etta propiedad cornun 'a.N y. Z. '

1\1'5' Existe un elerilento ile\JlrO, 1 E 2', respeclo de lii:..m,ultiplicacion.tal que l.: n = n: 1,= npara tP~o n eZ.

ADICION Y MULTIPLfCACION SUBRE Z -

, Las operad~~es de adi~iQn y rnultiplicacion sobre Z siguen las leyes:A1-A4, MI-/,.4 YDr-D2 delCapitulo .3, (enunciadas para emer6s,) 'con la anica inodificacion siguiente:

M4• Ley de cltn~Jacion: Si m 'J p. = n • p y si p 1= 0 e Z, enrcnces rn = n para- cuales­quiera in,neZ,

Se pueden dernostrar para. cualesquiera a, ir .8Z considerando los cases separados en los Preble­mas 14 y 15.

(2) la.·hi = lo,l'lbl(3') ja+ bl ~ I'll + IhlW) la- bl ::. laj + Ihl

(1) -Ial~' a ~ lal(3) la! - Ibl ~ 10,+ bl(4) lal-Ibl ~ la- bl

Asi, Rues, excepto cuando (/ = 0" lal e Z+ ,Cuando al rnenos uno de los ii, b es 0, las, siguientes leyes so.n evidentes

a=Oa< 0

sisi

r a;:;1 l-a

VALOR, ABSOLUTO lalSe define el valor absolute «Ial)} de un entero, q por

[CAP, 4LOS ENTEROS42

8_+ .·r T[8, m1 pues If' r*' + 111 • r + 111(e) [s,ml'[r",rl = [(s·r·+m·r). (s'r+m'r')jm• r- = 8· r· + m • r· .

(0) [s,m]'[r,rl = {(8'r+m'r), (s'r+m'r)1 = (r,r) pues 8'r+n~"T+r

(d) [8,m] + [m, sl = [(8 + 111), (8 +m)1 = [1",rl

(a) (r+p),p) - (1"",1) pucs r+p+1 = r"+p.Luego {(r + p), pJ = [r", tl como se afirmaba.

(0) [s, ml + [T, r1 = [(8 + r), (m + r)l. Pero «8 + r), (m + 1")) - (8, nt) pues (s + r) +m = s + (m+ ,.-),Luego [(8+ r), (m + r).l :: [8,ml + [1",rl = [8,mI.

[s,m}(Ii) [s,m]·[r·,r)(c) [s, m] , [r, T) = [T, r](d) [s,m] + [m,s) = [7',1']

(a) [(r+p),p] = [r*,11(b) [s, rn) + [r,1'} = Is,m)

2. Si s, m, p; r E N. demostrar

1, Demostrar que .....sobre L es una relacion de equivalencia.

Se~11 (s, m), (/, nl, (u,p) e L. Se tiene(a) (s, m) - (05, ml pues s + m = s + mj - cs reftexiva.(h) Si (s, m) - (I, n), es (I, nl"" (s, m) pues las dos exigen s + tI = I + m; - es simetrica,(c) Si (s, m) - (I, tI) Y (I, n) - (II, pl, es or+ n = I + m, I + p = II + n, y s + n + I + p =

I + m + u + n. Por A4 del Capitulo 3. pagina 30. la ultima igualdad se puede rempla­zar par s + p = m + II; asi que (s,ml - (u, p) y - es transitiva.Con 10 que, -. por ser reftexiva, simetrica y transitiva es una relacion de equivalencia.

Problemas resueltos

MULTIPLES Y POTENCIA8La seccioa que tiene este nombre en el Capitulo 3 (pagina 33), se puede repetir cambiando N POT z' .Es de notar que, para el caso S = Z, podemos ahora identificar ka con k •a.Ademas, como Z con­

tiene el simetrico aditivo de cada uno de sus elementos, ~ verifican (ixHxi). pero no (ix)'-(xi)' paracualesquiera m, n EO Z. Lo cual es ciertamente trivial, P1es cuando a, b, m, n EO Z, las propiedades(ix) y (xi) SOD entonces las leyes distributivas.

No/a: En (c) se ha remplazado a' by -(a' c) par las formas mas corrientes ab y -ac.respectivarnente,

(DI)

((b) arriba)

alb + (-e)1 = ab+ a(-e)

= ab + (-ao)

ab - ae

a(b-c)(c)

(Teorema IV. Capitulo 2)at-b) = -(a' b)

asi que aC-b) es un simetrico aditivo de a . b. Pero - (a' b) es tambien un simetrico adi­tivo de a- b, luego

0= a·O = alb + (-b)1 = (1'b+a(-II)(0)

O'a = a'Oy

a • a + 0 = a' a = (a+ O)a

o = O'apor tanto.

43lOS ENTEROSCAP. 4)

lIs + I), (m + 11)) • (u, pI[«s+t/'n + (n!.>+n)~p~, (ls+t)·p +.(11l+ ll)".lI)J((S'lt + t '1( + 1)1 • 'P + 11' r,,), (8 ....P' + t.. P +.?n ·tt + n' u)][(is '!L +")~'1») ;- (L'u + n' p»), «(s'P + ?n,·.n) + {t ',J!;- 'n'''u»)]

[(s:·u.+m·p), (s·p+.in·lI)) + [U'u+n'p), (t·p+n.·lI))= [S;1;1)' [u,p] + ltin]' [u,p]

5; Demostrar la ley distributiva D1,;'

(f·~"m) -I-' [~;n))' [1£,])] = [s,~l' [u,.vj + [t, nJ"[u,'pJpara cualesquiera [s, m]. [t.llJ, lu,p) EA.

Tcncmos

"fs.ml + [tt+ u), (1l'rl- p,)]

[Is + t+u)" (?It+n+ p)Ji(s -I- t,j- nt (m+ n +p))

((s + I), 011+11.»)+ [u, p1([~.;m~+ (t, tip + [u., p] ,­

y. por otra pa(l~. l-?> m], + d(,~]-I-,lll,pj)Y resulta la le,y

fs, mJ + ([t"n] + lu,·pn4. Demostrar' ia ley aseciafiva para la aoici'(5n:

([s,1nJ + [i, n.Ji + [u" p,)para cualesquiera I~',1nl~[t, 'Ii), f!-l, p] E it

.Hallamos que-

Enronces.

(0 • C + b • d) + (s" n + )It· t) = (S" t + 'In,,' 11) + ('a ',d + b ':c)

«(a'c'+b'a), (i,.d+b·c)') - «s':t,+m'n), (8·n+'1n·t))[(a'c + b'd), (a·d·+.b·c») [\8·'t.+1n.,~), (8;'11 +.fn·tll

[,a, b] • [e,dJ = [S,11l]' ft. 111ya,-;L pues,

Z(a;·9, + b..' t.i + S'7I +m • i), + (P,.,t + m' ~+ .s:··d,+~~'11.) + is' C + 11.' 9- +,!? t + 11.1"4)= gta '-d + ~. c+ 8 ~H"m·· n) '+ (I\" t +"m' CiT s···d+ b • ttl + (s.· ~ + 11.' (i+ b» t+'1!t • d)

Y POf las Jeycs de cancelaei6il. erc! Capitulo 3 a Ta .idcnti(l<ld rcquerida, 1(p) For (Ii) tenemes

3.. Dernostrar : La c1ase de equivalencia 'a que pentcnece, la surna (producto) de dos elementos desendas clases de equivalencia de .f. 'es independienie de 16s elementos; elegidos.

Sean [r/, q] = [so mJ y [(" d] = [I. III Entonces la. h) - (s. m) ~ (c, eI) ~ (I, n) de. modo que II + III = S + by (' + 11 = 1+ d. Dernostraremos: .

I

(a) Cu.b] + [c, eI] = [S.I11] + [I. n]. prirnera parte dcl tcorcma:(Q) (/' c+ b· 4. + S· n + Ill' I = (I' d + h ··r + s : I + 111 . n. un 'lerna nceesario :((') [q. h] . [t'. eI] = [S.II1] . [I. II]. segunda parte del teorerna.

(a) Como (/ + III + c + .11= S + b + I + d,(~+ c) + (m+ n) = (8 + t) + (b,+ (I)

«~ -h a), (b + d)) ~ «8 + t), (m+~))[(~+c)! (b+d») (8+t), (m+n»)

y [a, b I + Ic, d] [s, n~] + (t" n)(b) ,Comeri2:amos pof til iguaJd'ad evidente

(~+?I~) ·'(c+.t) + (s+b)· (d+n.) + (c+1i)' (~+8) + (d+l) • (b+m).= (8+bY·(c+t) + (a+7rt)'(d+n) + (d+~)·«t+s) + ((d11)·~b+m)

que se reduce a

[CAP. 4UDS ENl'EROS44

(t+u) + (m+p)

(t+m) + (u+p)

y(s+u) + (11+1')

(s + n) + (u + p)o bien

o bien

Asi que par el Tcorema 11'.Capitulo 3. pagina 33. (05 + 11) > Ie + m) 0 [som] > [c, n] y a> b. como se afirmaba.

Supongase ahora que a > b 0 bien [.~,mJ > [I. n]; entonces, (s + 11) > (I + mI. Para comparar ahora

a + C ~ 1(' + u), (m+ p>l y b + e +-+ I(t +u), (n+ p)J

sc comparan [(8 + u), (m + p») y [It + u). (It + p)]

(, + u) + (11 + p) > (t + u) + (m + p)

[(8 +u), (m+ p)] > I<t +u), (1'1. + pI)

10 que, a su vez, implica

Pero esto implica

9. Si a, b, C E Z, dernostrar: a + c> b + c si, y solo si, a > b.

Tornando a ......[S.II1J, b ......[I.IIJ Y c ......[u, p). Supongase. ante todo, que

a+c>b+c o bien ([s,m] + [1I,p]) > ([I,ll] + [1I.p])

Sean a .... [som] y b .... [I.n]: entonces, por la ley de tricotornia del Capitulo 3. pagina 32. es cierta una. ysolo una, de las (a) s + n = I + m y a = b, (b) of + n < I + m y a < b. (c) s + 11 > I + In Y a > b.

es cierta.

8. Demostrar la ley de tricotomla. Para cualesquiera a, b e Z una, y solo una, de Jas relaciones

(a) a = b, (b) a < b, (c) a > b

(-a) • (-b) = a' b

(-a)' (-b) +-+ [m,s)·[n.t) = ~m.n+B.t).(m.t+B.n»)

a·b +-+ (s.m)·(t.n) =' I(s·t+m·n). (B·n+m·tl)

[(m·n + 8' t), (m· t + "1'1.)] = [(B·t + m'n), ("1'1. +m' t)]

(-a) + (-b) ~ 1m,s] + [1'1., tJ = [em + n), (s + t)J

a+b ~ [s,mJ+[t,t.t] = [(s+t),(m+n»)

-(a + b) +-+ [em + 1'1.), (8+ t)J ~ (-a) + (-b)

(-a) + (-b) = -(a+ b)

(1)

y

De otro lado

Y

(2)

y

Pero

y

Sea a ......[s.m] y b ......[I,nJ: entonces -a .... [m. 5] y -b ......[II.I].

7. Si a.b EZ. demostrar: (I) (-a) + (-b) = -(a + b). (2) (-a)'(-b) = a·b.

(b) SI X + a = b con a, b e Z, mostrar que x = b + (-a).

Si x = b + (-a). x + a = (b + (-a)) + a = b + «(-a) + (I) - b ; asi que x = b + (-a) es so­lucien de la ecuacion x + a = h. Supongasc que hay una segunda soluci6n y. Entonces y + a = b = x + ay por A•. y = x, Luego la soluci6n es (mica.

Sea a .... [s, mJ; entonces -a .... [m. 5).a + (-a) ..... [S,II1) +.[II1.$J = [Is + 111),(m + s)) "" Cr. r) .... O

IY(I+(-a)=O ..

45LOS ENTEROS

6. (a) Demostrar que a + (- a) = 0 para iodo a EZ.

CAP. 4)

14. Dernostrar : 10+ hi ~ lal + Ibl para cualesquiera a, b E Z.

Supongase II> 0 Y b » 0; entonces la + bl = a + b = lal + Ibl.Supongase 11.< 0 y b < 0; entonces la + bl = -(a + b) = -a + (-b) = lal + Jbl.

Sean a +-+ [so m] y b .... [I, II]. Entonces

a - b = a + (-h) .....[so IIIJ + [II. f] = [Is + n). (m + I)]Si a < h. es S + II < III + f Y a - b < O. Reciprocamente. si a - b < 0, es s + n <: In + f Y a < h.

13. Demostrar: Si a, b EZ, es a < b si, y solo si, 0 - b < O.

12. Demostrar: No existe ningun n E Z+, tal que 0 < n < I.

Supongase 10contra rio y sea In E Z· el minimo entero con lal propiedad. De 0 < m < I, se tiene por (2),pagina 41, 0 < ml < In < I. Ahora bien. 0 < ml < I Yml < m contradiccn Ja hipotesis de que In es elminirno, con 10 que qucda el teorerna demostrado.

Supongase a 1= 0; entonces a' b = 0 = a' 0 y por M•• b = O. Amilogamente. si b 1= 0 es a = O.

11. Demostrar: Si a, b E Z Y U' b = 0, entonces es a = 0, 0 bien b = O.

(b) Suporrgase u > b. Invirtiendo simplcrnente los pasos en (a). se tiene a' C < b '<c" segun 10afirmado.

Asi. pues.

(s• It + m' II +m' k + t» u + t· k + 11·' ul < (t • u + 11 • U + n' k + 8' U + 8' k + m•u)

de dondc ",,·k + t·k < n·k+s·k

(m+t)· k < (n + 8)' k... \

m + t < n + B

8 + 11 > t + m

(t > by

CQIDOII < p. existe un kEN tal que u + k = p. Remplazando, pues. p en la desigualdad anterior,se ticne

(s'u+m'p), (s·p+m·u)] < [(t'u+n'p), (t'p+n'ul)

(s : u + m' p) + (t· p + n' u) < (t· u + n' p) + (s> p + m' u)y

(a) Sup6ngase (/' C < b : c: entonces

10, Si a, b, C E Z, demostrar: Si C < 0, es a : c < b . c si, Y solo si, 0 > b.Tornese a .... [5,m], b .... [f, n] y c .... [u,p], en donde u < p. ya que c < O.

(s +n) + (u +p) > (t+m) + (u+p)

Entonces, (8+ u) + !n+p) > (t+u) + (m+p)

((8+ u), (m+p» > (t +u), (n + p»)

y a + c > b + ccomo se afirmaba.

Como (s + n) > (f + m). se sigue el Teorema II', Capitulo 3, p:igina 33, que

[CAP. 4LOS ENTEROS46

24. Con a, b, c e Z " demostrar a . (b - c) = a . b - a . c.

23. Con a. be Z. dernostrar (1), (2). (2') y (3'), pagina 41, de las relaciones de orden.

22. Con be Z·, mostrar que a - b < a + b para todo a e Z.

21. Si a. be Z. demostrar: (a) - (-a) = +a. (b) (-a)( -b) = 0 •b, (c) (-a) + b = -(a + (-b».

20. SiaeZ,demostrar: (o)"'O=O'a=O, (b)(-I)'o=-a, (c) -0=0.

19. Demosrrar: [r*, r].,...l y [r, r·] .-. -1.

18. Enunciar y demostrar: (a) la ley asociativa para la multiplicacion, (b) la ley conmutativa para la adicion, (e) laley conmutativa para la multiplicacion, (d) la ley de cancelacion sobre ~.

(d) (r·, r) + (r, r·)(e) (r·,r) + (8,.S·)

U) (r··s· + 1, r* + s·) - (r-s)·, 1)

17. Demostrar : Si r, s e N,(II) (r, r) - (8, s) - (1,1)

(b) (r·, r) - (S·,8) - (2,1)

(c) (r, r·) - (e, s·} - (1,2)

Problemas propuestos

16_ Demostrar que si a y b son enteros tales q~ a . b = 1, entonees a y b son ambos. 1 0 ambos -1.Primero se ve que ni 0 ni b pueden ser celo. Ahora bien. la· hi - lal- Ibl= 1 Y por el Problema 12,

lal;:", I y Ibl ;:",I.Si lal > 1 (tambien si Ibl> 1), lal-Ibl + I.Luego lal = Ibl= I yen vista del Problema 7(b),se sigue el teorerna.

15. Demostrar: la· bl = lal'lbl para cualesquiera a, b EZ.

Sup6ngase a > 0 y b > 0; entonces lal = a y Ibl = b. Con 10 que la' bl = a . b = lal' Ibl.Sup6ngase a« 0 y b < 0; entonces lal = -a y Ibl= -b. Como a' b > 0, es !a' bl = a' b =

(-a)' (-b) = lal·lbl.

Supongase a> 0 y b < 0: entonces lal = a y lbl = -b. Como a' b < 0, la' bl = -(a' b) =a' (-b) = lal-Ibl-

EI caso a < 0 y b > 0 se deja como ejercicio.

EI caso a < 0 y b > 0 se deja como ejereicio,

Sup6ngase 0> 0 y b < 0 de modo que 101 = a y Ibl= -b. Y abora, 0 bien a + b = 0 y la + bl =o < lal + Ibl 0 bien

a+o<O y la+bl=-(a+b)=-a+(-b)=-lal+lbl<lal+lbl

o bien, a.+b>O y 1,,+bl=a+b=a-(-(1)=lal-lbl<lal+lbl

47LOS ENTEROSCAP. 4]

...

(a) -(-4) = 4

(6) (-4)(-1» = a.b(c) (b-c) = (6+4)- (C+O)(d) 4(1) - e) = ab - ae(e) (0.+ li)(c+ d) (=+ ~ + (Jlc+ lid)(!) Ja-Irb)(c~d) = (ae.+bc) - (4d+bc().(~) (a -,'6)(" -'d) = (ae + bd) - (Cd+ bet

31. Demostrar sin utilii.ar clases de equivalencia (vease Ejemplo 5):

30. Demostrar: (a) rn1> 0 para todo entero m *O.(b) ml > 0 para todo entero m » O.(c) m3 < 0 para todo entero m < O.

29. Definir sumas y productos de "';:. 2 elementos de Z y muestrese que en tales sumas.y productos se pueden inter­ealar parentesis a.vchmtad,

I

leAp.. 4

28. Demostrar la ley de cancelacion pari! la .multiplicacion,

1:1, Demostrar que las .relaoioues de orden 'soil bien definidas.

26: Demostrar: Si a,b, c, d·.E Z;

(il) -a> -'b si a < b.W a+c<b+dsia<byc<~(c) Si a < (b + c), entonees a - b < <:,(d) a - b = e - d si, y solo si, a + d = b + c.

2S; Demostrar-quessi a,b e Z y a < b, existe entonees algun CEZ .. ,tal que a -I; C1,.=: b.

Sugerencia: Para a.y b representados como en el Pr.q.blema7 tomese c .... [(I + m), (il + $)]'

LOSi EN-TJ;!ROS48

(a) ±1,.±2.,±3, ±4, ±I>, ±1·2 son divisores comunes de 24 y 60..(6) ± tz son ~a~imos t~munes i:livlsoie:s ae '24 y 60..(c) Los maximos comunes divisores de.b = Q y.c *.0 Son ±c.

49. .296663

~jeinplo 3:

Si a Ib~ydie se. dice que a es un diiiisor comJ-ln'de b y c. Si, ademas, todo divisor comun de b¥ c es tambien divisor de a, se dice que zi-es el ma*imo comun divisor de b y c.

MAXIMO COMUN DIVISOR

Como do 1= (-a).( -1) = a para'todo·.a E Z, se sigue .que ± 1 y ±.a son divisores de a. Un en­_terop =F 0, ± 1, se dice primo si, y solamentesi, &US unicos divisores son ±l y ±p.

Ejemplo 2: (a) Los enteros 2 y - S son primos~ ell tanto que 6 = 2' 3- y -39 = 3\ -13) no sonprimos.

(&) Los primerosHl primos positivos son 2! 3, 5, 7, II, 13, 17, 19,23. 19:

Bs claro que - p·e's prime si, y solamente si, p 10es, En to sucesivo nos.referiremos sobre todo alos primos positives. En e.1 Problema-s se dernuestra que:

EJ njimero de primos positives es infinite.Si ,a = be con Ihl > ly It I > 1, se diceque a es compuesl,d.. Al'i, pues, todo entero a =1= 0, ± 1 o

es ;prim!) '0 es cornpuesto.

PRIMOS

DIV1SORESUh entero i1 =1= 0' se llama. divisor (0 fiictor) de un eritera D (to eiial' se eScnoe «a I b») si existe un

entero'c tal que b = ac, Cuandozr Ibjt; d.iici tambien que b es un rnu'tiplo entero de (1.

E,lemplo 1: tal 2 16 pues 6·1,"2 "3(b) -31 t~:pues·~i:§= (-3)(-5)(c:) a 1QJ para tGdp If:e z, Rues 0 = a' q

Para demostrar la necesidad tie la restric~i6n ~ =1= Q, supongase que 01 b. Si 'q =1= ° se debe tener'b.= O· C para algun C E Z, 10 cual es imposible imientras que si b = 0, se tendrla 0 = ° 0 c, que escierto pal'lt diafquier C E Z.· .

Dados b,c;:x,y E Z el entejo b,.x·+ C:Y ~e dice una combinacion lineql de by c. E~ el Problema 1se demuestra que:

Teorema I.. Si a I b y a I c entonces a I (bx + cy) para cualesquiera x, y. eZ, .Veanse tambien Problemas 2 y 3.

A.I~~s propiedades· de los enteros

Capitulo 5

242t3) + 32.32(7) + 18.18(1.)+ 1414(1) + 4'4(3} + 22(2)

7582423218144

se concluye~qu$. (758,242) = 2.f., : •. l#~ '\

,,1 ' .....~

Ca) En el Ejemplo 5(b), 51 ¥ ti9, Procediendocomo en 9), hallarnos que ii9 = 51(2) + 17.Como 171 ~l: luego, (-2805,11.9) = 17.

(h) En el Ejernplo 5(d), 32p42. Dc las igualdades. sucesivas

E~o 6:

0,< Tk-I <"r.k.,.2

0< Tk < r.k-I

(8)

/

T~-2':qk:"'1 + ·1'k~1

·r.k,-I',qk + 7'k

Tk··qk+1 + 0

(k)(k + 1')(k*Z)

Entonces (a,b)

y (a"b) = (Q, r) =. Cr,rl) = (1'1, T:i)..

Como. los residuos r I' /'2" ..• , suponiendo que elproceso se continue, constituyen un conjuntode enteros.decrecientes no negatives, debe. habet alguno nulo. Supqngase que el proceso termina con

¥ nuevamente, 0 bien r, Ir y (a, b) == 1'1 0, empleando elalgoritmo de la division,

(~)

De (I) se sigue,que,b Ia yea, b) = b si; y solamenre si, r = Q.. Si r +- 0, es fat;ilaeroostrar que undivisor c;omu~ de a Y'b ~i:\(ide tambie~ a r y que un djvisor cpmlm d~ l4~y r. divide tambien -a a.Entonces (a, b).1 (b, r) y (b,,r) I (~,0) de modo: que, por el.Problema 3, (a, b) = (h, r). Ahora bien, 0rib (ve.anse Ejemplos 5(a,) y 5'(0)) 0 rib '(veanse Ejemplos 5'(b) y 5(d). Eh 'este case, empleando el al­goritmo de la divi$ion. se Herre

Para 'una demostraeion., vease Problema 5.

(e) '826 = 25·33 + 1M 758 = 24?'(3) + 32

Ejemplo 5: (a)' 78(j = -48(-16) + 12(b) -28'05 = 1i'9(-2~) + 51

En el Ejemplo 4 henios supuesto tacticamente (4) que todo par de enteros no nulos tienen un maximocomun divisor positive, Y (/J). que todo entero a > 1. tiene una factorizacion (mica, excepto en el ordende los factores, COplO producto de primos positives, Desde lue~o? en (b) debe entenderse que, cuandoa es prime, «un producto de-primos 'positivosz consiste de un Solo primo, Despues, se demostraran estasproposieienes, Por el momento. vamos a expo~er otra rnanera de hallar el maximo cornun divisor dedQS enteros no nulos. Empezamos con el

Algoritmo de III division. Para ciralesquiera enter,os no nulos a,y b existen enteros. tinicos q y rllamados, respectivamente, coeiente y residuo; tales que

(1)a. = bq + T, 0 ~ 1'.< Ibl

Sean 0 y d dos maximos comunes divisoresdistintos de' a =1= Q Y. /J =fo 0, Entonces.c I d y die;, luego,por el Problema 3;. 0 Y d difieren solarnente en signo, Por eornodidad, en- 10 que. sigue'limitaremos nues­tra atencion al maximo cornun divisor positive de.des enteros a y b y utilizaremos do bien (a, b) paradesignarlo . .Asi, pues, d' es ciertamente el entero mas grande (maximo) que divide a ambos a y b.. . f . . . .

Ejemplo 4: Un procedimiento familiar para. encontrar (2.10,5.10)eonsiste, en expresar cada entero comoproducro de. ,s\is factores primos, esto es, 2lO == 2" 3' 5' 7, ~10,= 2 .J . 5' 17, Y formarel producto 2 ':),' 5 = 30 de sus factores comunes,

[CAP. '5'ALOUNA-S'PROPIEDADES DE LOS ENTEiws50

... uu.. m. Cualquier.conjunto no vacio K de enteros cerrado con respecto a las operaciones bina­rias de adicion y sustraeei6n 0 bien es {O} 0 consiste en todos los multiples de su minimoelemento positivo.

He aqui un esquema de la demostracion cuando K'I= {O}. Sup6ngase que K contiene el enteroComo K es cerrado con respecto a la adicion y la sustraccion, se tiene:

C - Q = 0 EK.- a = -a e K.

X eoadene por 10 menos un entero POSltJVO.~ coatieae un positivo entero mlnimo, sea e.fa :.nducci6nsobre n, K contiene todos los miiltiplos positives ne de e (demuesrrese).

eoanene todos los multiples enteros me de e.Sf - E K, entonces b = q . e + r donde 0 ~ r < e; luego r = 0 y entonees todo elemento de Ka _ multiple entero de c.

cd = cma + cnb = btma + aanb = ab(tm + 8ft)y ab Icd.

Una segunda consecuencia del algoritmo de la division es el

Demostrar: Si a I c, si b Icy si (a, b) = d, entonces ab I cd.Como a Icy b I c existen entonces enteros s y I tales que c ~ as = bt, Por el Teorema II

existen m, n E Z tales que d = rna + nb. Entonces

EjempIo 8:

La importancia del Teorema H se ve en elVease Problema 6.

NOla 1. El procedimiento para obtener m y n aqui es una alternativa del que se uso para obtenerct Teorema II.

NOla 2. En (a, b) = rna + nb los enteros m y n no son unicos: en realidad, (a, b) = (m + kb)a- (n - k,a)b para todo keN. '

Asi, pues, m = 11 Y n = -29.

Se obtiene11 77 - 22· 3 = 77 - (99 - 77) • 3

77' 4 - 99' 3(176 - 99)·4 - 99· 3176· 4 - 99· 7176. 4 - (275 - 176)• 7176• 11 - 275' 7(726 - 275• 2) • 11 - 275· 7

= 11·726 + (-29)' 275

De726 = 275' 2 + 176275 = 176'1 -I- 99176 99'1 + 7799 77' 1 + 2277 22' 3 + 1122 11' 2

Hallar (726,275) y expresarlo en la forma del Teorema II.Ejemplo 7:

TeoremalL Si d = (a, b) existen m, n E Z tales que d = (a, b) = rna + nb.

Asi, pues, tenemos

y siguiendo asi se obtiene finalmente

1'1 ==

1"2 ==

a-bq = a+(-q)b = ?n)a+n.b; y

b - Tql = b - (m,a +n,b)q,-mll},a + (1- n)q,)b = 'm2a+ n2b

l' - 1'.qz = (m.a +nib) - (mta + n2b)q2(m. - qim2)a + (n. - q2n2)b = m:ICI + n.19.

sustituyendo en (3)

Despejando ahora en (1) rsustituyendo en (2)

51ALGUNAS PROP-IEDADES DE LOS ENTEROSCAP. 5)

0tra definicion, mas utiI' con frecuencia que Ia original, es a =, b(mo.dm) 5\, y solamente si, .a y bdejan el mismo residuo. al ser divididos pot ,m. '

Como consecuencias iamediatas de- estas deiinicione~_tenemos:

Teorema vi. Si a = b(mod m)! entonces, para todo n E Z; mn.+ a -= b(mod m) y reciprocamente.

(l1~ 24 % 3(mO.d ii) porque $121f[) 24~ ft=. 167(mod 7) porque 7 J 76,(g) Todo entero a es congruente me­

dulo. m 'con el resto de la 'divisionlie II por m,

(a,) '89 == ZS(moQ ~) porque '41 (~9 - 25) = ~,

,Cb.) '89 "" l(mod 4)pofcjue 4.18'8(c), '25 "" I.(mod 4) porque 4124(d) t53 "" -7(mod 8) porque 8.1160

Ejemplo l~:

(:ONGRUENc:IA,SSea m up m\mero 'po~itivo, La relaci.6ncongruente modulo m (= ,(mod ml) se define,para todos los

pares a, b € Z por a == b(mod m) si, y solamente -si, m I (a - b).

Expresar cada uno de los numeros 2,24'1,756y 8,.560,0J4 come producto de primos positi­ves y averiguar soumaximo comu!l divisor.

2;241,756 = 22'. 34 • 11 . 17 '~37 y 8,566,074= 2 ' l~ . 1)2. 19' 23Su maximo cornun divisor es .2 . )4 . II,

Ejemplo 9:

'don de. cada O(i "'" 1 y los primos. PI' P2, Ps,.· , , ;Ps son distintos.

Ademas, como los p de (a~ no son neeesariarnente distintos, 'podemos escribir

en un pro,duc,iQ:de primos positi.vos,Evidentemente. si (~) da Ia faetorizacion de, a, entonces

-a = -(PI' P2 • P3 •. , , • Pn'

tx; = PI' PZ • P3' , " • P.(q)

FA'CfORES PRiMOSEn el Problema 9 se demueslra el

Teorema y. Sj P es primo; y. si-P I ab donde a, b. E:Z, entonees p Ia 0' bien p I b..Aplicando reiteradamente el Teorerna. V, se tiene, el

Teorelil'a V'. Si P es prime y siop es divisor del produoto a . b : C • , ••• ( de n: enteros, entonces p esdivisor de uno ,al menos de estos enteros. _

En el Problema '10 se demuestra

EI teorema de factorizac1on unica. Todo entero a :;:.1 tiene una factorizacion utica' salvo en.el orden,

En el- Problema 8 se rremuestra el

Teoremas IY. Si (a, s) = (b, s) = I, entonces tab, s) = 1.

Vease Problema 7,

EN'rEROS PRIMOS RELA]'IYOSPara a, b E Z dados, supongase que existen m,.n E Z tales; que am + bn = 1, Anora bien, todo

factor comun de {i 'y b~es,factor del segundo miembro 1; luego (a,b) = 1. Dos' enreros a y b para loscuales (a,.b) = 1 se dicen primos relatiuos,

[CAP, 5ALGUNAS PROP-IEDADES'DE bOS ENTER@S52

donde, PQr:.Comooid;ad,[0], [1], [2], [3] se ban. remplazado pp;r'0., t, 2, 3.

ffi, 9 ,I ,2 :3 o 0 1 ,l! 3

0 0 i 2, 3 Ci 0 0 '0 0

1 1 2 3 0. y 1 0 1 2" 3,

2 2 3 0 '1 2 () -2 0 2

3 3 0 1 <2 3 0, 3 2- 1

Ta,bla 5,;1 'Fabla- So2·

EL ALGEB~A DE LAS CLASES R~IDUALEsSean «E9» (adieion) y «0» (multiplicacion) definidas. entre los elementos de Z/(m) de Ia manera

sigulenl'e':' --,

ra] ffi [b] = fa + fJ]

[a]0[b] = [a'b]para toda [c], [b] E Z/(m). ,

Como. EB'y 0 sobre Z/(m) se han definido respectivamente POI'+ Y. sobre ~, se ,si~e inmedia­tamente que $ Y 0 siguenIas leyes AI-A4, M1-M4 y D1-D2 .segun Ia modificacion del Capitulo. 4, pa­gina 42.

EjemplQ 11: 'Las tablas suma y multipli~ci6n para Z/(4) son:

Deriotaremos el conjunto .de todas Jas elases residuales modulo m poi'Z/(m). Por ejemplo, ZI(4) =;{[O],[1], [2], [3]} Y 'Zi(m) = {[OJ"~[1], [2], (3], ... " [m - I]). Es claro q~e E~] ~Z/(4) =[:3] E Z/(m) si, y soiamenie si, m = 4. Dos propiedades fundamentales de las clases residuales modu-lo m son: ,

Si a y b son elementos de la misma clase. residual [.sJ, entonces a == b(mpd m).Si [.r] y [t] son. clases residuales distintas con a, E [s] 'I b E [t1 es a ¢ b(mod m).

[3] = {... , -13, -.9,,-5, -1,.~, 7, 11, 15,.19•... }

[t) = fa: aE Z.a= ?'(modm)}

EjempIo 1I" Las clases residuales m6dulo 4 son:

[0) = (~'".,·r:1-6, -12, -8, -4, 0,,4,·8,'12,16, }

[11= { , -1&; -H, -7, -3, 1;5,9; U,17, }

(2) = { , -U, -10, -6,. -2,2,6;1.0, 14, 18, }

La relaei6n == (mod ni) sobre. Z: es una relacion de equivalencia e induce una partici6n de los en­teros en m elases de eqwVaiencili, [0); (1], [2], ... , [m - 1], que se lIaman clases residualesmodulo M;

siendo '

Sea (c;.m) = 1. Si' ea == ep(mod m), entonces es a. == b(mod m) y reeiprocamente.Teorema X.

Como case e~~il!l del Teorema IX :ten<;mos

Para una demostracion, vease Problema 12.

Teorema vn: Si ,a == h(mod m), es para todo x, 'E Z, a + x == b + ,x(mod m') y ax == bx(mod m).

Teorema VIll. Si a == b(mod m) y e == e(mod m), es.a + c == h + e(ptod m), a - e == b - e(mod m),ae s;. be(m~. m). '

Vease Problema 11.

Teorema IX. Sea (c,m) = d Yescrfbase m = Tn),d.Si ea == ch(mod m) es entonces a == b(mod ml)y reciprocamente.

53ct\P. 5)

Vease Problema 14:

de [Xl], [a totalidad de las. soluciones de ~'IX == bl(m04 md. Demostraremos ahora que no hay doselementos de S congruentes modulo m (asi, pues, (b) tiene por 10menos d soluciones incongruentes),en tanto que carla.elemento de LXI] - S es congruente module m con algun elemento de S (a51que (b)tiene a 10 mas d soluciones, incongruentes).

Sean Xl + sml YXol + tm, elementos distintos de S. Ahora bie_n,sixi +' sm; == XI + tml(mod m)entonces m I (s -: i)ml; luego d I (s - t) y s = I en ce'lltradiCcioti"cO.n10 supiresto de. que s =fo. t. Demodo que lo.selementos de S son incongruentes mO,dul<;>/11, COJlsid.ereseahor~ cualquier elemento de[Xl] - S, sea Xl + (gd + ·r)ml clonde q ::.:'1 Y 0 ~ r < a. Se tiefie 'Xi + (qd + r)ml = XI + rml +qrh == Xl + rin1 (mbd h:l) Y X I + hi! I e S. Asi, pues; la congruenti'a (b), con (a, m) = d Yd I b, tieneexactamente d soluciones incongruentes ..

y toda, solucion de (c)1o -es de (b). Ahora bien, (ai' m,l)= 1, de modo que. (c) tiene una sola solucionincongruente y,. pot tanto, (b) tiene soluciones. Hemos demostrado la -primera parte del

Teorema XI. La congruencia ax == b(mod m) tiene solucion si, y sole si, d.= (a,m) es un divisorde. b. Si d I t»; Ia congruencia -tiene exactamente d soluciones incongruentes (4 clasesde congruencia de soluciones).

Para completar hi dernostracion, sea el .subccnjunto

(c)

Volviendo a (b) supongase que (a, m) = 1 = sa + tm. Entonces b = bsa.+ btm. Y XI = bs essolucion, Supongase ahara que X2 t xlCrtrod m) sea o,tra .soluciou. Como q.XI == b(mod m) ydX2 ~ b(mo.d m),' se sigue de la.propiedad transitiva de. == (mod.m) que qXI == aX2(mod m). Entoncesm I a(.Xi1:- :X'~) Y lXf == >x2(modm) en contradiccion con nuestra-hipotesis. Asi que (b) sole tiene unasdludon Incongruente, x.l" 'If la clase residual [XI] eZI(nt), tambien Ilamada clase de congrueneia,contiene todas las- soluclones.

Ahora supongase que (q, m) = 4 = sa + tm, d » 1. Como a = dId Ym = mid se sigue que si(b) tiene una solucion ,x = x~, entonees: a~1 - b = mq = msdq Y que 'd liT, Reciprocarnente, supon­gase que d = (a, In.) es un divisor de b.y'eseribase b =. bid. Por-el Teorema.Ix, pagina 53;,toda solucionde (b) es solucion de

(a). :La1:pngrueIJCia2x == 3.(m094}Carecedesoluci6n, pues ninguno de los 2' Q - 3.2' 1 - 3,2· 2 - 3, 2' 3 - 3 es divisible por 4. '.' .

(b) La congruencia 3 == .2(mod 4) .tiene la solucion 6).'. por la.litp.,todos' Ios elementos de[2].e t/(4).son soluciones. No hayotras, .

(e) La congruencia 6x == 2(~od 4) tiene 1 y 3 como soluciones. Como 3 ¥:. Ifmod 4),.dire­mos que 1 y ·3son soluciones. incongruentes de la congruencia, Desde luego, todoslos .ele­rento.s de [1], [3}e 2/(4) son soluciones y no ha-y otras,

Ejemplo 1,3:

en donde ", b, m. son enteros dados.con m > O. Se <licesolution de la cengruencia un entero x = .X Ital que m I taxI - b). Pew SLXl es pna solucion de (b) tal que m I (axi - b), entonees para cua1quierk E Z, m I (a(xi + km) - b) YXl + km es otra sohicion. Asi, pues, si >'(1 es una' solucion tambien 10es cualquier otro elemento de.la clase residual [XI] modulo m. Si la"cbi.lgiilen~ja lineal (h) Jiene, pues,soluciones,. est,as -son los elementos de una 0 mas c1ases.residuales de Z/(h1,).

ax == b(med m)(b)

Exarninese hi congiuencia lineal

CONGRUENCIAS LINEALFS

[CAP. 5ALGUNAS PROPIEDADES DE LOS EN1'ERPS34.

1. Demostrar: Si a I b y b + 0, es Ibl ~ lal·Como a I b tenernos b. = ac para algun C 'E Z, Entonces 1111= 101' lei con lei ~ 1. Como I¢I "'" I, SO! sigue que101' lei"" lui, esto es Ibl "" lal·

Como a Ib y a Ic, hay enteros s, I tales que b "" as y c = at. Entonces bx + cy = asx + aty = a(sx + ty) yIII (bx + cy).

1. Demostrar que 5i a I.b y a [c, entonces a I (bx + cy) donde x, y € Z.

Problemas resueltos

+ 0 2 3 0 2 3

0 0 2 3 0 0 0 0 0

1 1 2 3 10 Y 0 1 2 3

2 2 3 10 11 2 0 2 10 12

3 3 19- 11 12 3 0 3 12 21

Tabla 5-3 Tabla 54

Vease Problema 15.

N6tese que en esta representacion los sirnbolos 'I utilizados pertenecen al conjunto {O,1,2, 3, ... , 9}de residuos m6dulo 10. (i,Por que es (mica esta representacion t) . .

En el parrafo anterior hemos escogido el entero particular to, lIamado base, porque nos lIeva anuestro sistema de representaci6n; pero el proceso es independiente de la base y cualquier otro enteropositive se puede utilizar para ello. As!, tomando 4 como base, cualquier entero positive vendra repre­sentado por un guarismo con las cifras 0, 1, 2, 3. Por ejernplo, el entero que en base )0 es ISS,es 155 = 43• 2 + 42• 1 + 4' 2 + 3 = 2123 (base 4).

La adicion y Ia multiplicacion se efectuan de la misma manera, no importa cual sea la base; pero bayque utilizar tablas distintas para cada operacion, Para la base 4 estas tablas son:

Lo que no es mas que una aplicaci6n de las propiedades de congruencia de los enteros. Porque, supon­gase que a es un entero positivo. Por el algoritrno de la division a = 10' qo + '0, 0 ~ '0 < lO.Si qo = 0,se escribe a = '0; si qo > 0, entonces qo = 10' ql + '1' 0 ~'I < 10. Ahora bien, si 'Ql = 0, entoncesa = 10"1 + '1. Y se escribe a = '1'0; si ql > 0, entonces qI = 10· q2 + '2, 0 :';!'2 < 10. Y otravez, si q2 = 0, entonces a = 102"2 + 10"1 + '0 Y se escribe a = '2'1'0; si q2 > 0, se repite el pro­ceso. Del hecho de que los q constituyen un conjunto de enteros no negativos decrecientes, se sigue queel proceso debe terminar y se tiene

: 827,016 = 8· 105 + 2' 104 + 7· 103 + O· 102 + 1'10 + 6

Ya es bien sabido que

NOTACION DE POSICION DE LOS ENTEROS

55ALGUNAS PROPJEOAOgs BE LOS ENTEROSCAP. 5]

9. Demostrar: Si p es primo y si pi ab, con a, b E Z; entoncesp Ia 0 bien pi b.Sip Ia se tiene el teorerna. Sup6ngase que pIa. Por definicion, los unicos divisores de p son ± 1 Y ±P; en­

tonces (p,a) = I = mp + /IQ para ciertosm, n e Zix1rel Teorema II. Pero b = mph + nab ycomo p I(mpb + nab),se sigue que p Ib.

Supongase 10 contrario, 0 sea que (ab, s) = d » J Y sea d = (ab, s) = mab + ns. Entonces d Iab y dis.Como (a, $) = I, se sigue que d I a; luego, segun el Problema 7. d Ib. Pero esto contradice a (b,s) = 1; asi que(ab, s) = l.

8. Demostrar: Si (a, s) = (b,s) = 1, es (ab, s) = 1.

De 1 = ma + nc resulta b = mab + ncb. Como e es divisor de mab + ncb, es divisor de bye Ib como sepedia.

7. Demostrar: Si c lab y si (a, c) = l , entonces c lb.

Se obtieoe55 - 2'2765' 82 - 167' 27389' 82 - 167' 191

De

389 :: 167' 2 + 55167 :: 55' 3 + 256 2· 27 + 12 1'2

Asi, pues, (389,167) = 1 = ~2' 389 + (-191)(167).

6. Encontrar (389, 167) y- expresarlo en la forma 389m + 167n.

entonces b'q' + r = bq + r 0 sea b(q' - q) = r - ,'·10 que implica b I~r - ,') y como I' - "I < Ibl, se tiener - r' = 0; entonces q' - q = 0 porque b 10. Asi que,' = T, q' = q y q y r son unicos.

O::!i r' < Ibla = bq' + r',

Dcfinase S = {a - bx: xe Z}. Si b < 0, esto es, b ~ -I, entonces iJ 'Ial ~ -Ial ~ a y q - b ·Ial'" o.Si b > 0, esto es b ." 1, entonces b . (-Iall ~ -Ial ~ a y a - b( -Ial) ." O.Asl, pues, S eontiene enteros no ne­gativosj denotese con r el menor de estes (r "" O)ysup6ngase r = a - bq. Ahora bien, si r "" Iblentonces, - Ibl "" 0y r - Ihl = a - bq - Ibl= a - (q + 1)b < r 0 Ii - (q - 1)b < r contra nuestra eleccion de r como el me­nor entero no negative eS, Luego r < Ibl.

Supongase que hubiera otro par q', r' tal que

a = bq + r,

5. Demostrar el aigoritmo de la division: Para dos enteros no nulos a y b existen enteros unicos q y rtales que

Supongase 10contrario, es decir, que hay exactamente n primos positivos Pt, Pl, Pl, ... , P. escritos por ordende magnitud. Formese ahora el producto a = p, 'P« •P3 ..... P. Yconsiderese el entero {/+ 1. Como ningunode los p es divisor de a + 1, se sigue que {/+ I es un primo >POI 0 tiene un factor prime mayor que P., en con­tradiecion con la hipotesis de que p; es el mayor numero prime. Asi, pues, no hay ningun primo positive maximoy su numero es infinite. •

4. Demostrar: EI namero de primos positivos es infinito.

3. Demostrar que si a I b y b I a, entonces b = a 0 b = -a.Como a Ib impliea Il 1 0 y b Ia implica b 1 .0, se tiene b = ac y a = bd donde c, de Z..Ahora bien a . b =

(bd)(ae) = abed y, par la ley de cancelacion, 1 = cd. Entonces, par cl Problema 16. Capitulo 4, c =.1 0 - I Yb = ae = a 0 -a.

[CAP. 5ALGUNAS PROPIEDADES DE LOS ENTEROS56

(0) Como (13.25) = '1, la congruencia tiene. por el Teorema XI, una solucion incongruente simple.

14. Hallar las soluciones positivas minimas incongruentes de

Por eJ teorerna del binomio (0 + b,! = u" + p( .', . ) ;!- !JP Y cl teorerna es inmediato.

(e) 222x'", 12(rnod 18)(c) 259x == 5(mod 11)(d) 'l» == 5(mod 256)

(a) l3x ... 9(mod 25)(b) 207x :.. 6(mo<;l18)

13. Demostrar que, si a, b, p > 0 E Z, (a + bY' = a" + bP(mod pl·

I12. Demostrar: Sea (c, m) = d Y escrlbase m = mJd. Si co = ("h(mod m), entonces a = h(mod ml)

y reciprocamente.Escrlbase c = clddemo.do.que(cl' mJl = I.Sim IC(ll-.(»'esto.es.simld I (',iI(a - b)enlOnCesml I cl(a-b)

y, como (el.m'> = 'I, tnl I (a - b) Y a;: b(mod ml)'Para la reciproca. supongase que u ;: b(mo.d md, Como 1111 I (a - b) se sigue que ml ICI(O - bl Y

nIld Icldlu - b). AS! que III IcIa - h) y ('u == cb(mQd til).

IJ. HalJar los menores enteros positives modulo. 5'c(>n los cualesson congruentes l~, 288, 19· 288y 19J• 2882•

Hallarnos que19 = 5 '.3 + 4; luego 19 = 4(mod5).

288 = 5· 57 + 3; lucgo 288 = 3(mod5).19, 288 = 5~(···}+ 12; luego 19" 288 == 2(mod 5).

193• 2882 = 5("') + 43• 32 = 5("') + 676; luego 193,2882 ;;; l(mod 5}.

Repitiendo este razonarniento las veces suficientes se encucntra que III ... n y que la tactorizacion es unica.

Aho.ra bien, ql es divisor de PI . Pl' P3 ... p.; luego, por el Teorema V·.ql es divisor de alguno de Ios factores P,digamos de PI' Entonces, ql = PI' ya que ambos sen primes positives y por M4 del Capitulo. IV.

a = p,' pz • P3 •..• - Po = ql' qz • q.' ...• qm

qz • ~3 •.•.• q",P2 • P3 ••..• Po

a = p,' pz • P3 •...• Po

Para dernostrar la unicidad, sup6ngase que hay dos representacioncs

Y asi sucesivarnente.Pero los elementos del conjunto B = {hI> h2' b), ... } sen tales que b, > b2 > b3 .•• ; luego B tiene ele­

mente rninimo bn que es primo. P« Y se tiene por ultimo.

Reuerando el razonamiento se tiene a = p, .PI .Pl' 0. bien

Entonces, 0. bien b, es prime, digarnos P2. yo =p, .P2,' 0. bien b., siendo cornpuesto, tiene un factor prirno P2 Y

ISi a es prime, la representacion es inmediata de 'acuerdo con cl teorerna. Si 'a cs compuesto. considcrese el

conjunto S = {x: x >' I, x Ial..EI elemento' minime s.de Sno· tiene mas facto.res positives que 1 y s: luego s esprime, llamemoslo 'p'l, Y

a = Pl' P2 • Pa' ...• PII

10. Demostrar: Todo entero a > I tiene una facterizacion (mica (salvo el orden de los factores) enproducto de primos positivos.

57ALGUNAS PROPJEQADES DE LOS ENTEROSCAP. 5)

(e) 237,81 Resp, 3 = 13' 237 + (-38)' 81(b) 616,427 Resp, 7 = -9 • 616 + 13· 427(c) 936, 666 Resp, 18 = 5·936 + (-7)' 666(d) 1137,419 Resp. 1 = 206 •U37 + (-559)' 419

21. Demostrar: Si s oF 0, entonces (sa, sb) = lsi' (a, b).

20. Hallar el maximo comun divisor de cada par de enteros y expresarlo en la forma del Teorema Il :

19. Demostrar: Si a = b : q + r donde a, b, q, re Z, entonees todo divisor comun de a y b divide tarnbien a r, ytodo divisor comun de b y r tambien divide a a.

18. Enumerar todos los primos positives (a) <50, (b) <200.Resp. (a) 2;3,5,7,11,13,17,19,23.29,31,37,41,43,47.

17. Dernostrar que si a Ib entonees -a Ib, a I -s y -a I -b.16. Mostrar .que la relacion (I ) es reftexiva y transitiva, pero no simetrica.

Problemas propuestos

EI producto is 11032320en base 4 y 21432 en base 10.11032320

0000101222031

10122

Multipliquese por 0;Multipliquese por 2; 2' I = 2; 2· 3 = 12. se escribe 2 y se lleva I; etc.Multipliquese por I:Mullipliquese por 2:

Producto

As! que la suma es 10211 en base 4 y 293 en base 10.

I + 0 = I; 3 +.2 = II, se escribe 1 y se lJeva 1: I + 1 + 0 = 2; 2 + 2 = 10Suma

15. Escribir 141 y 152 en base 4. Hacer su suma y producto y comprobar los resultados.

141= 43 '2 + 42• 0 + 4· 3 + I; la representacion es 2031.152= 43 • 2 + 42 • 1 + 4· 2 + 0; la representacion es 2120.

Solucion I. Si:c I es la soluci6n, es claro entonces que x I es un entero cuya cifra de las unidades es 3u 8; asi, pues, XI e p. 8.13. 18.23}. Ensayando estos numeros, se encuentra que XI = 18.

Solucion II. Por el proceso del maximo comun divisor se encuentra (13, 25) = I = -1 . 25 + 2 • 13.Entonces,.9 = -9' 25 + 18' 13 Y 18 es la solucion requerida.

(b) Como 201 = 18· 11 + 9,207 ;; 9(mod'18). 207x == 9x(mod 18) y, por transitividad, la congruencia dadaes equivalente a la 9x e 6 (mod 18).Por el Teorema IX, esta ccngruencia se puede reducira 3x ;; 2(mod 6).Pero (3,6) = :3 y 3 [z. luego Ino hay solucicn.

(c) Como 259 = II . 23 + 6, 259 e 6(mod 11) Y la congruencia dada es equivalente a la 6x ;;; 5(mod II).Esta congruencia tiene una sola solucion incongruente que a simple vista es roo

(d) Mediante-el proceso del maximo cornun divisor se encuentra (256.7) = 1 = 2· 256 + 7(-73); asi, pues,5 = 10' 256 + 7(-365). Ahora bien, -365;;; 147(mod 256) y la soluci6n requerida es 147.

(e) Como 222 = 18· 12 + '6, la congrueneia dada es equivaJente a la 6x;; 12(mod 18). Como (6, 18) = 6y 6112, hay exaetamente 6 soluciones incongruentes. Como se muestra en la demostracion del Teorema XI,estas 6 solueiones son los primeros 6 enteros positivos en el conjunto de todas las solueiones de X E 2(mod 3),es decir, los 6 primeros enteros positives en [2] eZ/(mod 3). Son entonces 2.5.8. II, 14, 17.

[CAP. 5ALGUNAS PROPIEDADES DE LOS ENTEROS58

39. Dernostrar 'Ia primera parte del teorema de factorizacion ·iallicautilizando el principio de induccion estabJccidoen el Problema 27, Capftulo ~, pagina 37.

38. Expresar 89 y 111 en distintas bases, hacer la suma y el producto y comprobar los resultados.

st. Expresar 212 en las bases (a) 2, (b) 3. (c) 4. (d) 7 y (e) 9.Resp. (a) 11010100, (b) 2L212, (c) 3110. (d) 422, (e) 255

36. Demostrar: Si [s], [I] E Z/(m) y si a e [s] y he [t]. entonces a == b(mod ml si, y solo si, [sJ = [I].

35. Demostrar : Si [s]eZ/(m) y si a.be[s], entonces a == b(mod mI.

34. Construir tablas de adicion y multiplicaci6n para 2/(2), Z/(6}, 2/(7), Z/(9).

33. (a) Construir las tablas de adicion y multiplicacion para Z/(5).(h) Mediante la tabla de multiplicacion obtener 32 '" 4{mod 5). 345 I(mod 5), 38", I(mod 5).(c) Obtener 3256 '" l(mod 5). 3'14 '" 4(mod 5). 31024 == l(mod 5).

31.. (a) Interpretese a == b(mod 0).(b) Muestrese que todo .x E 2 es solucion de ax '" b(mod I).

31. (a) Demostrar: Si a + x 5 b + x(mQd m), es a == h(m.od mI.(b) Dar un contraejemplo numerico como prueba en contrario de: Siax == bx(mod m), entonces ax 5 b(modm).(c) Modifiquese este establecimiento falso de (b) para obtener uno verdadero.

30. Demostrar: Si a ". b(mod m) y c 5 h(mod mI. entonces a == c(mod mI. Veanse Ejemplos lOCal. (b). (c), pa­gina 52.

28. Hallar todas las soluciones de:

(a) 4% == 3(mod 7) (e) 158%:iii 6(mod '12)(b) 9% ". ll(mod 26) (f) %+ 1 == 8(mod 7)(c) 8%+ 1 '" 4(tnod 5) (g) 8% == 6(mod 422)(d) 8% == 6(mod 14) (h) 363% '" 345(mod 624)

Resp. (a) [61. (b) (7). (C;) [1]. (d) [6}, (18). (e) (2), [6}. [10]. (I) [21. (g) [159). [870). (h) [128}. [331]. [539}

29. Demostrar: Teoremas V, VI, VU, VIII.

1:1. Demostrar: Si m> 1. m I a, m t b, entonces m I (a - b) implica a - mq, = r = b - mq.2' 0 < r < m, y reociprocamente.

l6. (a) Escribir los enteros a = 19.500 y b = 54.450 como productos de primos positives,(b) Hallar d = (a, b) y e = [a, b]..(c) Verilicar d- e = a • b(d) Demostrar la relacion en (c) si a y b son enteros positivos cualesquiera.Resp, (b) 2· 3 . 52; 22 • 32 • 53 . 112 . 13

Resp. (a) 21, (h) 12. Ie) 143025. Hallar: (a) [3,7], (b) [3,12], (c) [22.715]'

24. El entero e = [a, b] se llama mlnimo comull mulliplo de los..ente.ros positivos a y b si (1) a ley b Ie, (2) si a I.~y b loX, entonces e] x,

23. Demostrar: Si el prime p es divisor de a' b· c, entonces p Ia 0 p Ibop Ic.

l2. Demostrar: (a) Si a Is, b Is y (a, b) = I, entonces o/J Is.(b) Si m = elml y si m IamI> entonees d Ia.

59ALGUNAS PROPIEDADES DE LOS ENTEROSCAP. 5)

60.

y los simetricos

(aditivo): -[s,mJ=[-s,m] para todo [s,m] E.F

(multiplicative): [s,m]-I = Em,s] para todo [s,m] E.1 si s 1= o..En forma analoga a (a del Capitulo 4, es facil probar que la adicion y la multiplicacion siguen las

leyes A1-A6, MI-M5, D1-D2, tales como se establecieron para los enteros.Una propiedad de .1 pero no de Z es:

M6: Para todo x :1= 0. EJ existe un simetrico multiplicative X-I E.1 tal que x . X-I =x" I •X = I, que se llama inverso de x.

Estas operaciones asi definidas en terminos de operaciones bien definidas entre enteros son (vease Pro­blema 1) bien -definidas ellas mismas.

Definimos ahora dos numeros racionales especiales:

cero: [0, m] .....0. uno: [m, m] .....1

[s,m] + [t,n) [(sn+mt),mnj

[8. m] • ft. n] = [st, mnJ

(i)

(ii)y

La adici6n y la multiplicaci6n sobre J se definen respectivamente por

ADICION Y MULTIPLICACION

Las c1asesde equivalencia de .1 se llamaran numeros racionales y en 10que sigue se vera que oF es iso­morfo al sistema Q tal como se Ie conoce.

[s,m]

// = {[s.m], [t, n.l •... }

{ (a, b): (a, b) E K, (a, b) - (s, m)}dopde

(Observese cuidadosarnente que 0. puede aparecer como primer componcnte, pero nunca como segun­do en cualquier (s, m).)

Pero entonces - es una relacion de equivalencia (probarJo) y as! efectua en K una particion encIases de equivalencia

sn = mtsi, y solo si,(s,m) - (t, n)

y se define una relacion binaria - entre los (s,m), (I, n) E K por

EI sistema de los enteros tiene un defecto manifiesto en que, dados dos enteros m :f= 0. y s, la ecua­cion mx = s puede 0 no tener solucion. Por ejemplo, 3x = 6 tiene la soluci6n x = 2, pero la 4x = 6no tiene soluci6n. Este defecto se remedia afradiendo a los enteros otros numeros (llamados comun­mente fracciones) para formar el sistema Q de los numeros racionales. La construcci6n dada aqui esen 10 esencial la que se utilize en el .Capltulo 4.

Se parte del conjunto de pares ordenados

K ['X(l-{o.)) = {(s,m):sE[,mEI-(o.l}

LOS NUMEROS RACIONALES

Los mimeros racionales

Capitulo 6

Considerese cualquier [s, mJE..Ji con- s_-+ 0. S,~aa :elmaximo com tin divisor (positive) de s. y my eseribases = -ds], m = dm1, Come (s.,m) ~ (sl,mjJ,.se sigue que [s,m] = ['l,mi], es decir, ques/m = sdmj. As! que cualquier,numero racional =F ° se puede escribir de rnanera urtica_en la formaalb donde a y.b son primos relatives; Cuando slh} sJ:remplaza por alb se dice que sjm ha sido reducidoa .sus terminos minimos, con 10 que ahora es jrreducible. En 10 sucesivo, todo n(II)1¢!-eracional que in­iervenga -en cualquier discusion se considerara come irieducible:.

R·EDUCCION A TERMINOS' MrNIM()S

(c) x » y(b) x <.J!(q) x = y

Un clemente .•:t: :e ,Q, es'decir, x <;-'> [s, m] E.~ ~s~ llama posttivo si, y solamente sj', '$ • in > O. EIsubconjunto de todos los elementos positives de Q se designa por Q+ yel subconjunto correspondientede. .f por .~+. Analogarnente; [s, mJ se llama n.egaliiJO si, y solamente si,..s· m <.e', EI subconjunto detodos los elementos negatives de Q se designara por Q- y el ,su.bcpnjunto correspondiente de.f por f-.Como por la ley de tricotomla del Capitulo 4, 0 es s . m > 0, 0 es s . m < '0, 0 es s: m = 0, se sigueque. cada elemento 'de f escpositive, 0 rregativo, 0 nulo. . .

Las relaciones de orden < y > sobre Q se-definen como sigue:

Para todo par de elementos ,Y, y != Q,x < y si, y solo si, x - y < °x > y -si, y solo si, ., - :Y > 0

Estas relaciones sen transitivas, pero DO reflexivas ni simetricas.{2 tambien cumple la

Ley de (r.icotomia-: Si x>.J E Q, ~:everifica una, y solo una, .de las. relaciones

~ELACION DE ORDEN

y;, en particular, [s~m] por slin,

es un isomorfismo de un cierto subconjunto deJsobre el conjunto de 10~ enteros. Se puede, PUtS, siem­pre;que'sea mas.comodo, remplazar el subcofijunte f"l< = {[I, 1] : [t, 1] E f} por Z. Para completer'la identificacion de .f con Q no hay mas que, remplazar .

X' y.- I por ;></y

La aplicacion

RACIONALES ENTEROS

respectivamente.Estas operaciorres no son ..ni asociativas rii 'conrnurativas (demuestrese esio), P.ero, 10 rnismo que

en, Z, la rnultiplicaeion es distributiva con respecto a In sustraccion.

(iii) ~'-y=x-+ (-y) para cualesquiera x,5' E':Ys

(iv) x:y = -1 para cualesquiera E,f, y =F ° efX'y, -J:

Ltt susiraecion y la ,tlivision sobre j se Uetlnen'por

SUSTRACCION Y DIVISION

Por el Teerema IV, Capitulo 2, el inverse definido en, Ml; es unico.En el Problema 2 se; dernuestra el

Teorema J. Si x y Y soonelemeritos no nu,los tie ,;:, entonces (x; yr I = y- I . x" I

61LOS NIJMER0S IM@.IONA.1.,ES

,10,,'6 8'7+4:

y 25/7 "" 3,571428571428 ....

10' 5 7· 7 + I:10'1 1'7 + 3;10,3 4' 7 + 2;10·2 .2'7 + 6;

1 •6 + 5; qo = I, TO = 5

8' 6 + 2; ql = 8, T. = 23· 6 + 2; q2:: 3, 1'2:: 2' :::TJ

Ejemplo 1: (a) 5/4 = 1,25

(b) 3/8 = 0,375

(c) Para 11/6 se encuentra11

10.'5Hj'2

Y 11/6 = 1,833333....

(d) Para 25/7 se encuentra25

Asi que todo numero racional se puede expresar como un numero decimal que. termina 0 que es pe­riodico.

en donde qz < 10. Si '2 = 0, entonces '. = i~b de modo que '0 = ia b + ~ b y la representacion

decimal de alb es qO.Qlq2; si '2 = 'I la representacion decimal de alb es el numero decimal periodicoQO,qlqZQ2QZ"'; si '2 =1= 0, '., se repite el proceso.

Pero los distintos residuos '0. 'I' '2.... , son elementos del conjunto {O,1,,2,3, ... ,b - I} delos residuos modulo b, de modo que, en el peor de los casos, 'b debe ser identico a alguno de los'0, 'I, '2-, ... , rb-I, oigamos al r., y la representacion decimal de alb es el decimal periodico

Como '0 < b s. por tanto, q.b + 'I = 10'0 <-IOh, se sigue que ql< 10. Si 'I = 0, entonces

'0 = ib b, a = (job + fa b y i= qo + ql/IO. Se escribe alb = qo,ql Y se dice que qo,ql es la repre­

sentacion decimal de a/b. Si '. i= 0, se tiene

s« ::: 3, TO = 4

q. = 5, '. = 5q2 = 7, '2 =1qa = I, TS:: 3

q4 = 4, 1'4 = 2q$ = 2, T~ ::: 6

qa = 8, Ta = 4 = TO

3'7 + 4;10•4 ::: 5· 7 + 5;

10TOy

o ~ "0 < bqob + Toa

REPRESENTACION DECIMALConsiderese el numero racional positivo alb con b > I. Se tiene

Propiedad arquimediana: Si x y y son nurneros racionales positives existe un entero positivo p talque px > y.

y

feorema II. Si x y )' son racionales positives con x < y, se sigue que I/x > I/y.

En los Problemas 4 y 5 se demuestra:,Propiedad de densidad: Si x.Y y con x < y son des numcros racionales, existe un numero racional z

tal que x < z < y

En el Problema 3 se demuestra:

[CAP. (lLOS NUMEROS RACIONALES62

y multiplieando per !, x < !(,,,..+ y) '" y, Asi, pues. H,~+. .1') es uno de 10..$numeros z buscados,

2x<x+y<2,rEntcnces-'

:h~= x + .r < X'+)' y x + y < y + .v = 2.1'

4. Demostrar : Si x y y con x < y Ion.. dos numeros racienales, existe un numero racional z tal que,x < z <y.

Como x < y, tenemos

3; Demostrar: Si x y }' S0l1 racionales positivos con x < y, entonces 1/:': > l/y.Sean x .... [s •.m] y:)'H[I.·n)~ entonce.$.SIII> O.ln>O, y SI1·<ml. Y asl, para.ljx=[''!:-+[m ..f] y

ify +-+ ['1; I). la desiguaidad 1111> sn implica 1/.'(·> J/r, como se-afirmaba.

2. Dernostrar: Si x,.v soil numeros racionales no nulos, entonces (x' y)-1 = y-J . X·-I.Sean X·"" [s,'m]Y'Y .... [t, n), de modo que :y-I....em. sly y-I ......[iI, I).. Entonces .v: y ......[so m] . [I. /1] =

[sl.llin] y [x :yr I .....[mil, SI] = en, I]' em. s] +->y-l 'X-I.

y la muliiplicacion es bien definida

[uc,5d! lac· 11111, b!L·nm][am· Cll, bd •mnl lb.s. dt; btl» .mnJrb~('st, b!l' mnl [st, mm)[.8,lItl • It, nJ

AsimiSI11O.

[(am.' d.n + en' bm), ·b_d·mnl[(bs' <l1.t + cit.· b.m). bil > ninl[hd(sn+ tm),·bd'·lIIl!.j

[s:n'+ tm, 1nnl [s..1111 + [t, IIIY 111adicion es bien <.Iefini\hi

[(ad + bc)mn. btl » I1In1lead + be), bdlra.,.lil -I- [r.. <11

I. Deriiostrar que la adiciony la multiplicacion sobre .1 :estan bien definidas.Sean'Ca,b] = [s.m] y [c.d] = [I. til Entonces (a,h) - (~.III' Y. (C. d) - (I.n)~ de modo. que alii = bs y

m = di. CQl)1o.

Problemas resueltos

Reeiprocamente, clare esta que' todo. decimal que termina es un numero racional. Por ejcmplo,Q,I7 = 17/100 y Q,1]5 = l75/1000 = 7/40.

En el Problema '6 se demuestra e.l

Teorema m. Todo decimal -periodico es urr 'Tiumc;rQ racional.La demostracion ernplea los dos teorernas prelirninarcs:

(i) Todo decimal periodico se puede escfibir como. surna de una' progresion geometriea infinita.(ij) La suma de una pr.qgresion geometrtca infinilii cuya razon r es tal que ITI< I. es un nurnero

finito.

En cualquiei libro de algebra que trate las progresiones se encuentra el estudio de estes teorernas.

63LOS 'NUMEROS RACION.A.LF.~S

17. Demostrar: Si (I, b e Q+ ?I a < b, es (/2'.< ab'< Jj2.• i,Culil.es la desigualdad correspondiente si 'l1; b E lIr?

16. 81' .W, x,y, z EQ eon xz + 0 en (a) y (b), y x:yz *·0 en (c): dernostrar:(a) (w:= x) ± (y: z) = (!!Iz.± XJl.): xi(0) (w: x) . (y: z) = wy: xz .'(e) (w: x) : (y : z] = wz: 'X)'

15. Si x, y, Z.E Q, dernostrar :(q) x + z <y + z si, y solo si, x < y;(b) si '2.> 0; x:Z < yz si, y solo ..si; ;i.'~ -)I;(c) si z.< 0, xz < yz si, y solo si, x > y,

12. Demostrar : Si x, r EQ Y x :y = 0., es.x = 0 0 y = 0,

13. Demostrar: Sib.J' EQ~entonces (a) - (x + y) = -x - y y ('Ii) - (--x) = ».

'14. Demostrar la ley de tricotomla..

11. Demostrar: (a) f- es cerrado eon respecto a la adicion, pero no eon respecto a Jamultiplicaei6n.(b) 8i [s, m] e ..F tambien 10.es [s, m]-l, ('

9. Enunciar las leyes A1,A/" M1-Ms, 'D,-D2 del, Capitulo 4 para numeros racionales y dernestrarlas.

10. Dernostrar: (a) J+ es cerrado 'con re;sj)'c6tb' a.la adicio'n y la multiplicacion.(b) .Si [s, m}e_.P, tam bien lo res [s,m]-l.

rS;1n) + [s, ~mJ(e) [s, m) + [-8;11\) = [P,1J'](dj' [s, lit.) • [?n,~81 :; .[n,nl

8., Verificar ; (~) [S,.li:t,] +: [O,n} ;:! [8,,111,.](~) [8,~!(.[O,nI :; [O.,nt

Problemas propuestos

7: Expresar(a) H en base 4; (b) -! en base 5,. , .,__ .(a) 27/32 = 3({) + ·3/32 = 3(±) ,+ 1(±)2 + 1/32

La representacion pedida -cs 0,312,

(b) 1{3 '= 1(1.) + rl; = let), + 3(-;\)2+ Ins= 1<*) + 3(~y+ 1(})'I + 2/,375= l(t),f- 3(*)2 -f, 1(~)'l+ 3(.:Y + 1/1815

La representacion pedida es OJ313J·3 ... , ..

\ . '

x.yz defdef ... = x,yz + j),DO.tI.ej'+ Q;ODD09dqf+ ; ..

Como ~,yzes un decima Iimitado quetermina. es una fr~cqio,n racional, en tanto qll~'O,OO~cif'+O,QQOQOdej+ ...es una progresion ~eom'e!riea infinita cuyo primer termtno es.a = :O,ODdef, de:r.'azon r = 0,0.0'1ycuya suma es

, S = ~ = D"O,Od'ef = de! una f[accion racional1 - r 0,999 9-990.0.I

AS), pues, sierrdo Ia.suma de dos nurneros racionales, el decimal periodico es un numero racional.

6. Demostrar: Tedo decimal periodico -representa. 1I.n numero rJlctional.Sea el 'decimal periodice

5. Demostrar: Si ex y y son racionales positivos, existe un enter.o positive p tal que px > y.Sean x +-+.[s,ni] y y .... [I, n] donde S; m, I, n son enteros PQsitiv.os.,Aho~a Dien,p.~-> y si, y'solarnente si, psn > mt .Como sn "" 1 Y 2sn > l, la desigualdad queda ciertamente satisfecha si tomamos p = 2m(,

[CAP. (LLOS NU.MEROS RACJON;<>;EES.

65

Fig. 7-1

r--L3

r 2,•.//fI.

.» ,---1 T

"-".......---_---

La situaeion que. se presenta ahora no es que Q tenga un defecto solo, pues mas bien tiene muchosy tan diversos que el pfocedimi'etito .de los capitulos anteriores no los remedia todos, Mencionarnosdp§ solarnente :('1) La ecuacion x3 = J no tiene solucion en Q, Borque supongase locentrario y que 61racional alb,

ya reducido, sea, tal que, (alb)2 = 3, COlnO' a'2 = 3h2, se,sigue que.J I a2 y, por el Teorerna V, Ca- .pitulo/~, que 31'a, Escnibase (r= 3tl1; entonces 3ai = q~con 10que 3,Ib2 y" por tanto, 31 b. Peroesto eontradice la hipBtesis de que- alb era irreducible.

(~)' La cireunferencia c:de: un circulo de.diametro it E Q no es un elemento de Q, esre es, en c = nd,1t ¢ Q, Mas aun, 1t2 ¢ Q demoqq ql;le1t no. es sQlllPJonde. x2 = q para ningun q e Q. (En efecto,It no es ralz de ninguna ecuacion de la forma aX! + bxn- I + .. , + sx + t = 0 con a, b>' .. J

S•• t E Q.)

HI'in-etdao que se ititr6auc¢ en la seccion siguiente para ampliar los nameros de racionales a reg­le$'.sedebe al rnaternatico aleman R, Dedekind. Con el fin de motivar la' definicion det:co~l!~eptofunda­mental de cortadura deDedekind, 0 -clecortadura simplemente enlos numeros racionales, vamos a dis"eutirlo 'primero en terrninos no algebraicos.

Considerese el eje racional de la Fig, 7-1, es decir,una, recta L en, hi .que los elementos no riulos de. Q seasignan a puntos siiuades a distancias apropiadas (en es­Cala) del origen; que se-designa con el O.Por t6friodiaad,llamese punt-;_"racional todo pun to. de 1-. 1!1q,ue se hayaasignado un numero racienal. (No todo punto de Lespunto racional, pues si P e~'lIna de las intersecciones' delcircule, de centro en Q y radio 2 unidades, con la para lelaa La, 1 unidad por encima de esta y se traza por P, laperpendicuiar a L que la cotta en T, entonces, por 10dieho en (1) antes, T no es un pl!nto racional.) Supon­gase la recla L divi'dida en dos·partes en alguno de sus(?i.rntos.Se presefitan dos pasibifidiltles:

Los Capitulos 4 YGcornenzaban eon la observaClon de que el 'sistema X de numeros estudiadosha:St~entoucestenia un~defe¢t!i>manifiesto, defecto Que se rernediaba ampliande el sistema X. Para 10c.u,a}se definia en el eonjunto de pares ordenados de elementos de X una ,relacion de equivalencia, et­cetera. De ese modo se formaron a partir de N sistemas Z y Q que cumplen NeZ C Q, Para 10 quesigue, es de irnportancia tcner presente que cada JH)9 de-los nuevos sistemas Z y Q posee una (mica ca­raeteristica simple, a saber:

~ Z es el menor conjuriro en el cual, para elementos arbitrarios m, sEN, la ecuacion m + x = S

liene siempre una sO!USiQD.

'Q es el ~111~norconjunte en el cual; para enteros cnalesquiera m =F 0 Ys, l:a eeuacion mx = sHeile siempre una solirciorr,

INTROD.UCCION

Los numerus reales

Capitulo 7

Teorema III. Si C es una cortadura y r E Q+, hay un b ECtal que r + b € C.

En el Problema 4 se demuestra el

Teorema II. Si C es una cortadura y r e Q+, entonees(a) E = {ra: a € C} es una cortadura y (b) E' = {ra': a' .6 C}

Ahora es faeil dcmostrar el

Teorema I. Sr C es una cortadura y r e Q, entonces(a) D = {r + a: a E C} es una cortadura y (b) D' = {r + a': a' E C}

En el Pnoblerna 3 se demuestra eJ

Lo eseneial de estas propiedades es que una eortadura no tiene ni elemento minima (primero) nielemento maximo (ultimo). Pero las razones para esto difieren bien claramente: una cortadura C no tieneelemento minimo porque si C E C, todo numero raeional a < C es elernento de C. Por otra parte, sibien hay elementos de C mayores que eualquier elemento dado C E C, existen tambien numeros raeio­nales mayores que C que no pertenecen a C, es decir, que son mayores que todo elemento de C.

Ejemplo 1: Sea run numero racional arbitrario. Demostrar que C(r) = {a: a EQ, a < r} es una conadura.Como Q no tiene ni prirnero ni ultimo elcmento, se sigue que existen un r E Q tal que 1'1 <,

(luego C(r) =/: 0) y un '2. E Q tal que r2 :> ,. (luego C(r) =/: Q). Par 'tanto, C(r) es un subcon­junto propio no vacio de Q. Sea C'E qr), csto cs, C < r. Entonces, para todo-a E Q tal quea < c. se tiene a < c < t; asi, pues, a E C(r) como 10 cxige (i). Y siendo Q denso, existed e Qtal que c < d < r;can 10 que d :> c y d e qr) como 10 exige (ii). qr) cs, pues, una cortadura.

La cortadura definida en el Ejemplo J se dira cortadura racional, 0, con mayor precision, cortaduraen el numero rational r, Para un ejemplo de cortadura no racional vease el Problema 1.

Cuando C es una cortadura, se denota por C el eomplemento de C en Q. Por ejemplo, si C = C(r)del Ejemplo 1, entonees C' = C'(r) = {a' : a' E Q, a' ~ r}. Asi, pues, el complemento de una cor­tadura raeional es un subconjunto propio de Q que tiene elemento minimo, pero no maximo. EI com­plemento de Ia cortadura no racional del Problema 1 carece de elemento maximo, evidentemente; enel Problema 2 se demostrara que no tiene elernento minimo.

'i

Por cortadura C en Q se entiende un subconjunto propio no vacio de Q dotado de las propiedadessiguientes:

CORTADURAS DE DEDEKIND

(i) si c € C y a E Q con a < c, entonces (/ E C;(ii) para todo C E C existe b € C tal que b > c.

(a) EI punto en que se divide L no es un pUDtOracional, Entonees, todo punto raeional de L esta enuna de las dos partes, pero no en ambas.

(b) EI punto en que se divide L es un punto racional. Entonces, con excepcion de este punto, eual­quier otro pun to racional esta en una/de las partes, pero no en ambas. Convengamos en situar elpunto excepcional siempre en la porcion derecha.

En eualquiera de los dos cases, el efecto de seccionar L en uno de sus puntos es la determinacionde dos subconjuntos propios no vacios de Q. Como estos subconjuntos.son disjuntos en tanto que suunion es Q, cada: uno define al otro, y as! podemos lirnitar nuestra atencion al subconjunto de la izquier­da. Vamos a definir este subconjunto de la izquierda algebraicamente, es decir, sin referencia a ningu­na recta.

(CAP. 7LOS NUMEROS REALES66

se sigue que X es cerrado con respecto a la adicion y la multiplicacion segun se definen en (i),

Ejemplo 2: Cornprobar: (a) C(3) + C(7} = C(ro), (b) C(3}C(7}= C(21).Denotese con C(3) y C(7}, respectivamente los subconjuntos de todos los racionales po­

sitivos de C(3) y C(7). Solo hay que verificar entonces que

C(3) + C(7) = C(10) y ((3) . C(7) = C(21)

(a) Sean ", E C(3) Y ('2" C(7). Como 0 < Cl < 3 yO < ('2 < 7, tenernos 0 < (', + ('I < 10.Con 10 que (', + Cl E C(tO) y [(3) + ((7) C C(10). Supongase ahora que c~ E C(lO).Entonces, como 0 < C3 < 10. -

J 7o < 10(."3 < 3 y 0 < JOel < 7

3 7 3 7 C' O· . ((3 C' (7)'I<$~ocS'lOC'3 E C(3) y IOc) E .[('n. Pero' C3 = Tl{J + 16(.'3; luego, .(1 ) ~ . ) + .Asi, pues, ((3) + ((7) = (IO) segun se afirmaba.

(b) Para c, Y (2 como en (a). tenemos 0 < "I' (2 < 21. Entonces, CJ' C2 e ((21) y

(3)' [(7) ~ (.'(21). Ahora supongase ('3 E (.'(21) de modo que 0 < C3< 21 )' 0 < ;~=q < I. Escribase q = q, 'Q2 con 0 < ql < I Y 0 < (/2 < l. Entonces c3 = 21q­(3Q.)(7q2) con 0 < 3q, < 3 yO < 7th < 7, esto es, 3Q. E (3) Y 7qiE ((7). Entonces,C(21)~ ((3)' C(7) y (3)' em = C(2I) como se afirmaba.

Las leyes A l·A,,, M l-M4, D, "D2 sobre f + se 'siguen inrnediatamente de las definiciones de Ia adi­cion y la multiplicacion sobre J(+ y del heche-de que estas leyes rigen en Q+ y, POf tanto. en Jff.Por otra parte, se demuestra facilmente que C(J) es el neutro multiplicative, de modo que M; tambienes valida.

= {a: a E. C, . C2~ a > O}y

Es facil ver que tanto Cl + C2 como C1 • C2 son elementos de $'<. Ademas, como

(i)

Q- U {OJ U (CI'C)

J c. +C2 = fc, +C2: c, Ee" c2 E C2}

lc.·c2 = {C,·C2:CIEC..C2EC~}con

para cualesquiera C,. C~E 'K.~

Denotese por g el conjunto de todas las cortaduras de los numeros racionales y por ;K"" el cm.­junto de todas las cortaduras (Jlamadas cortoduraspositioasi que eontienen uno 0 mas elementos de Q­Repartanse las restantes cortaduras de g en la cortadura.O, 0 Seala 0 = C(O)= {a: a EQ-} y el con­junto .1(- de todas las cortaduras que contienen algun elemento de Q-, pero no todoss Por ejemplo.C(2) E\.:f{+, rnientras que C( - 5) E.:f{-. Por ahora.limitaremos nuestra atencion solo a las cortadu-ras de x: para las cuales es facil demostrar el .

Teorema IV. Si C E«: Y r> 1 EQ+, existe un C ECtal que rc E C'.Cada C «x : consiste en todos los elementos de Q-, 0 y (vease Problema 5) en una infinidad de

elementos de Q+. Para cada C Eg+ definase C = {a: a E C, a> O}y denotese el conjuoto de todoslos C por $. Por ejemplo, si C = C(3) entonees C(3) = {a: a E Q, 0 < a < 3} y C se puede escribircomo C = C(3) = Q- U {O}U ((3). Notese que cada C E.:f{+ define un unico C E$ y que. re­ciprocamente, cada C E£' define una unica C Eg+. Acordemos la convencion de que si Cj E.:f{-.entonces c, = Q- U {OJU C·

Se definen la adicion (+) y la rnultiplicacion C·) sobre x : como sigue:

C, + 02 = Q- U {O} U (C, + ('2)

CORTADURAS POSITIV AS

LOS NUMEROS REALESCAP. 7)

c = C(O) C e .i{+ -C E;Y('+

MULTIPLICACION SOBRE.it'

Para toda C E ;Y(', se define

C> C(O) si, y solo si, C E j(+

C < C(O) si, y solo si, -C e%'"

En el Problema JOse demuestra la

Ley de tricotoinia. Para toda C e x', se verifica una, y solamente una, de las relaciones

En el Problema 8 se demuestra que - C es 'ciertarnente una cortadura, y en el Problema 9, que - Ces la simetrica aditiva de c. Entonces, las leyes AI-A4 se cumplen en ;Y('.

si re Q- C(r) = C(-r)

Anora, para cada C E .~, definase

-C= {x: x eQ, x < -a para algun a eC}

Para C = C(-3). se tiene -C = {x: x E Q, x < 3} porque -3 es el elementominimo de C. Peroesta es precisamente C(3); luego, en general,

Ejemplo 3: Comprobar que C(3) + C(-1) = C(-4).Sea "1'+ C2 E C(3) of C( -7). donde CI E C(3) y C2 E C{-7). Como "I < 3 y C2 < -7.

se sigue que c1 + c~ < -4 de modo qUHI + C2E C(-4).Asl, pues, C(3) + C( -7) <;;; q-4).Reciprocamente, sea C3 E C(-4). Entonces, c) < -4 Y -4 - C3 = d e Q+. Ahora bien,

C3 = -4 - d = (3- td) + (-7 - ¥I); entonces, como 3 - tde C(3) y -7 - !de C(-7),se sigue que cJ e C(3) + C( -7) y cs C(-4) C C(3) + C(-7). Asi que C(3) + C( -7) =C( - 4) C0l)10 se queria. -

La definicion de la suma de dos cortaduras positivas es equivalente a

C1 + C2 = {ci + C2: CI 1;CI, C2 E C2}. CI, C2 E;Y('+

Se generaliza la definici6n para abarcar todas las cortadutas asi:

SIMETRICOS ADITIVOS

Sea ahora una cortadura cualquiera C = Q- U {O}U C E;Y('+ Y definase

C1 = {b: b EQ+, b < a-I para algun a EC'}

En el Problema 6 se demuestra:

Si C = Q- U {OJU C entonces C-I = Q- U {OJU C-1 es una cortadura positiva,

En el Problema 7 se demuestra:

Para toda C E;Y('+, su simetrica multiplicativa es C-I E;Y('+.

Ahora se puede elegir entre dos vias para sumergir ;Y('+ en un sistema en que cada elemento tengatin sirnetrico aditivo:

(I) Repetir 10 del Capitulo 4 poniendo ;Y('+ en Iugar de N.(2) 0 bien identificar cada elemento de ;Y('- como el simetrico aditivo de un elemento unico

de ;Y('+. Procederemos de esta manera.

SIMETRICOS MULTIPLICATIVOS

[CAP. 7LOS NUMEROS REALES68

(1)

PRo.PIEDADES DE LOS NUMEROS REALESDeflnase ,)f'* =; {e(r): qi') EX, r EQ}. Se 'deja:al lector La dernostracion del

Teorema V. La aplicacion C(t.) E,$"* -+ r E Q es 1;111isomorfismo d.tr ~* sobre Q.Los. elementos de, j( se Haman i'!uiriefbs reales, y cuando, qujera que. sea mas comedo, .7{ se rem­

p!/l-zara'PQfel familiar -R,-, mientras 9lie·A, B, ... , denotaran elementos arbitrarios de R. Ahora. bien,iji C R:; .Ips elementos del compleraento 'ae Q en R se llamau iJ!imerd,s irracioriales.

En los'Problemas F2 ¥ '13 se demuestran IaRropiedad de densidad. SiA,B' E,Reon:i1 < p,existe unnumeforaciorialCf-Ital que'A < qr) < B­y. I~.pfopiedad. ar~uiniediana. Si AlB JEeR'" e~isk un .enteto positi,'io C(1~-)ta) que' G;(n~. .:i :> B_

R,ELACIONES DE ORD~NPara cualesquiera d:.Q~eortaduras distintas Cl~.c2 E.7{ se define

C, < C2! 0 tambien O2 > C" significa C, - C2 < C(O)

En el Psoblerna 1I, se demuestra que

<::, < C2, 9 tarnbien C2:> C,' si, y solo si, C1 C C2

Se sigue. facilmente la

L~y de trtcotomia. P~ra cualesquiera C1, Ci E.7{ se verifica una, y solo una, de las siguientes rela­crones:

NOll:Z. Nos encontramos a esra altura en la iri:GorilOda situaciori de-disponer de dos signifieadoscernpletamentediferemesde C, - Ci-. En todo este capitulo convendremos, pues, en considerar C J - C2

Y. e~'n ('2 6omo expr~~iones con significad'os diteren'tes.· .

(3)

(4)si

_Cl - 02 = C, + (-Cz)

'~US~RACCIQN Y _DIVISION

En forma .analoga a I~ de lao secci6r\ correspondiente del Capitirlo 6, se d,efine para cualesquiera0'1> C2.. ~'.Jf

si 0 < C(O)yFinalmente, para C ¥ C(O).. definimos

0-1.= 101-1 si C> (7(0)

Ie,.G2 = C(O) si C, = 0(0) o Bien 02'= C(O) (2)1C, ' 02 = IGII! 10tJ si G1)o 0(0) y C2 >C~O) o s5 OJ <C(O) y C2 <; C(o)

p, .92:= -(l.q.'1·1<:;~2!) si C;J ">, CW) 'i C.2 < C{o), .0 si 0, <(:;,(0) y c,> C(O),.

lei = -0 si e -:C(O)AsL ICi ~ {Z(O) , .e.sde~irl lei = d(,d), 0 191~ (',

IPara todo C" G2 E '/(,se defina

69[CAP.. ?

Otras propiedades de R SQn:

(1) Para. todo 0: 'E R+ y todo n' E Z+ existeun unico (J E R+ tal que (J' = Ct.,

(2) Para' numeros reales a> 1 y p, definase (j,P como el extreme-superior de {o:r: r E Q, r < {J}, En-tonces, 'til' e,$tadefinida para (0:<10 IX > OfP $ R haciendo a." = (lfti) - P si 0 <C.O; < I . .

Sup6iigase on = ·(Ldonde IX; (J E R+ Y il E Z+, Se dice que e es Ill' [aiz enf!simaprincipal de IX y seescribe O·= «'!" _Entonces, para r = min 'E,Q se-sigue q4e,o:~= W.

Propiedad de plcnitud. Todo subconjunto no vaclo de R que tenga un mirtorarlte (rnayorante) tiene unextrema inf.erlor (superior),

Teorema VI', SiS:es_un subconjunto no vacio de .Y(: y S tiene 'un 'miuoranteen J(, tiene un extremeinferior en %,

Asi, pues, el conjunto R de los' nurneros reales tiene la

Analogamente, ,s~tiene el

Teorema. VI. 'Si S es un subconjunto no, vacie de .Yi YSl S tiene jrn mayorante en £" tiene un extre-mo superior en f. . .

Para. una demostraeion, vease Problema 14,

EI Ejemplo 5,(cl ilustra e)

(a) EJ conjunto T del Ejernplo 4(q.) tiene :e13j2como extreme superior yei - 5' como extremeinferior.

(b) Sea Q el conjunto universal. La cortadura € del Problema 1 careee de minorantes y, p()'rtanto, de extreme inferior. Si bien tieae m~yotantes, no tiene extreme superior porque Cno tiene elernento 'maximo y C' no ticne elemento minimo.

(1;) Sea R .el ~0ll.iui'ltouniversal, Siendc cualqujer cortadura C"" ~ I,!nsubconjurrto de Q,. es un subconjjmio.de R, La coriadura qr.) tiene entonees may,oiimies en R'y r E R comoextrema superior. ASJmismo,Ja cortadura C del Problema I tiene rnayorantes en Ii y.j3E R, como extreme superior.

Ejemplo 5:

'Siel conjunto de todos los mayorantes (minoranies) de un subconjunto T de un conjunto S contie­ne un elemento minimo [un elemento maximo) e, se dice que e es el extrema superior textremo infe­rior) de T.

Sea Q e1conjunto -universal y considerese la cortadura raeioaal C(r) E -:f. Como r es el elementomlnimo de C'(r), todo oS "". r en Q es un mayorarite de.q;) y todo I ~ T en Q es un minorante deC'(i'), A$i, pues, res el extremo superior de c(d y el extJeI:Il'Oiliferior de C{r),

(!l) Si S = Q y r =.{ -5, -1,6, I, 3/2}; entonces 3(1.,2. 102, ... son mayorantes de T., entanto que -5, -17/3, -100,.. ,·" son min:orantes de L

(b.) Si S = Q y T = C E ~ entonces T no ti.~!leminorante en tanto (we cl.,IlI;lquiert' E T = .C'es"un mayorante. Por otra pa:i:te, T' earece de mayoranre, mienlr~ .que cualquier iE Tes un minorante.

Ejemplo 4:

A fin de establecer en 10 que sigue una importante propiedad de los DUmerQsreales que no: existepara los numeros racionales, se hace la definicion:

Sea S =1= 0 un conjunto en el cual esta bien definida 1a relacion de orden <, Y sea T cualquiersubconjuntopropio de S. Un elementos E S, si existe, tal que s "" / para todo t E T (s "'" t para.todo t E T) se llama mayoranie iminorantes de T,

[CAP, 7LOS NUMEROS REALES70

Primero que todo, S .\!~.un subconjunto propio.de Q, pues 1e'8 y 2 ¢S, Err-segundo lugar, sean i'ESy a E!Qcon a·< c. Evidentemente. a e S si a ",,·0 y tambien si (' "" 0',

Par,) ~Icase res (ante (0 :< a < c). 0'2 :< pi: < '.(? < '3; luego a2 <1 y d~.scomb se requiete en (i), pagiria 66.La propiedad (i'i), pagina 66, queda eurnplida por b = 1sir <'f~; entonces S·sera unacortadurasiernpre que para'c:ilda .(. > 1), 'c:~n ('2 $:3 pli~aa hallarse siernpre urr m E Q+ tal que .(t + n'i)2 < '3. ~c pueden ~implifi~r un tanto- r'a~ c'osas ri'olandb que 's'i p!g, dQnde p. q e'Z+ ha de ser un In se'inejante, tambien'10 es Ilq. f!ero q ~ 1-: luego

( C+ !).~= 'c2 + 2c +. \ ',,;: c2 +:2~ + 1; as!, pu,~§.,(. c + .!.)2 -< 3 s(eiDpi~ qu'e''2c +1 <; 3- c2, esibq. qq q. g q

-S§, ~iempy;~que (3 - ('2)q,> 2e. + J, Comp 0, - c~)ie Q+ Y,(?(+ l)i; Q'-t;,,la ¢Xistenc'ta.pe,"q'&'Z'" qu~~,ufnpla,llIultima tlesi'gualdad vle.ne a's'egurai:la pop la propiedad lirq,uimediana i:leQ+, I\si, pucSj S es una coMadufil.

I. Demostrar que el conjunto S formado por Q.-, ceroytodos los S E Q+ tales qUy S2 < 3, es unacortadura. " . ,

(Q)

(Q)

(iV,Z, Q)

(Ql

ProbleqJ:is 'resueltos

1'odo subconjunto no vacio ·de·~ .que tenga un minerun­te (mayorillltej tiene lin extreme inferior (extrerno supe-nor). \

n : > s,Para todo r s:e R'·, con, < s, existe n E'2" tal que" < t < s.Para rodo r, S'E! R,. coil r < s, exisie f e Q, tal que

~ara cualesquieni r, s; i j: R"

r • (s + L) = r ·.S + r : i(S+I)·r='.1·]+((·;

Para cada r fOe R existe un unico simetrico multiplica-tive f-I''E 'R tal q~e' r >/,-'1= ,,-I . r = I. '

Sim' P'= n: p:entarices;h = n'para¢ualesquiera'm, 11E R,yp:fOeR, (N,Z,Q)Existe un clemente ncutro multiplicative unico I E R talque I . r = r . I =' I"-par'! todo e R" (N, Z. Q)

(N. z, Q)(N. z. Q)(N;Z"Q)

(2, Ql

(Z,Q:)

(N. Z, Q)(N,Z,Q)(N,Z, QJ(N,Z.Ql

r ; ..r'e S, para cualesquiera r, ',~'eR,.r •s> s : r, para cualesquiera r, S E!R

r : (-s' n = (Y- s.)· t, para ¥ualc;~qu~erar, :;,,/ E R.

r + s'e R, para cualesquiera r, S E R.r + s: = s +- r para cualcsquiera t, s e R:.r+ (s + /) = (t + s) + t; para cualesquiera r,s, I e R,.Si r + 1 = !; + I, es:r = ,I'!para cualesquiera r .r, t:e RExiste un elernento neutro- aditivo- unico 'de R tal quer + 0 = 0 + r = 1;, para todo re R,Para 'o;ada r E R existe un (InicQ simetrico aditivo, llama­db opuesto, ":'r e R tal que, + (_:',)= (-,) + r =9·

Propiedad arquimediana

Pro{lieijad de dl!i1sidad

LR)'(~S·dislribut.iw,s

Mp' Simetrico multiplicative.

1\15' Neutro multiplicativo

MiJltipli'i'ai.'iOnM1, Ley de clausuraM2• Ley conmutativa.

LYh, Ley !\$OC.,illtivaM4• Ley de cancelacion

A~. Simetrico aditivo

.Adieion

'A\' ~y de clausuraAz.. Ley conml1tat!vaA3• Ley asociativaA~. Ley de cancelacion. }<-5' Neutro aditivo

Como resumen parcial hasta el1l'lomento:,'lie.«qui :ul1alista de las projiiedades fundamentales.delsi~t.emaR'de IQS numeros reales. A Ia ·der.~Fh,~Je':!.trt;cpai"~iJ1e~is,.·s~indie'ln otros sistemas, N, Z, Q, enldf que rlge cada pri)pleda'd dada.. ;

71

RESl,.tMEN

'€I¥P. 7]

Sea C = Q- U {O}u C de modo que C-' =; Q- U {OJ U C'. Entonces C' Ct. = (-C' b: eE C. bE C'l·Pero b < dol para ~Igun d e C' y entonces bd < I; asimisrno, c < a de modo que be < J. 'Por tanto,C: C' ~ C(I).

Sea" e C(I) tal que 11- L> I. Por el Teorema IV. exisle c eCtal que c . ,,- LEe. Para eada a ECtal quea > c.setienen : a-i < n ' c-' = (e' n-' )-' ;asiquell . (1-' = e e C-I.Luegon = aee C, col ye(l) C C ' Col.Por consiguiente, C· C' = C(I) y C· C- I = C(I). Por el Problema 6, es c-I E,*,+. -

7. Dernostrar : Para cada C Ex:", su simetrica multiplicativa es C-1 e x:".

Como C =I' Q+ sesiguc que C' -+ 0ycomo C '" 0, rcsulta que C' -+ Q+.SeadE C'. Entonces(d + 1)-1 e Q+y (d + 1)-' < d-I de modo que (d + 1)- E:C-' y C' {= 0.Asi, si C E C, entonces para todo a e C se tieneI! < a y c-1 > a-'; luego c -I ¢(-' Y C-1 f Q+. Asi que C-, es un subconjunio propio de Q,

Sean c e C -e I y r e Q+ tales que r < c. Entonces r < c <: d" 1 para.algun dEC' y r e C -, como se requie­re en (i), pagina 66. Asimismo, como c -+ d-' existc s EQ+ tal.que c < .i' < r' y SEt -I como se requiere en (ii).De modo que C-, es \IDa cortadura positiva.

6. Dernostrar: Si C = Q- U {O}U C E.Jf'+, entonces C-I = Q- U {O}U C-1 es una cortadurapositiva.

S. Demostrar: Si C E x+, C contiene infinitos elementos de Q+.

Segun elProblema 3, D = {r + 0": a e C} es una cortadura. Como r > 0, se sigue que C C D.'Sea q e Q talque p = r + q e D pero no de C. Entonces q EC pero r + q EC'. Asi, pues, q satisface los requisites de b en elteorema.

4. Demostrar: Si C es una cortadura y r E Q+, existe un bEe tal que r + b E C.

(b) Sea b' e C'. Entonces r + b''; D porque b' ¢C; luego r + b' e D'. Por otra parte, si q' = r + p' E D' enton­ces p' ¢C, pues si perteneciera tendriamos D ('\ D' {= 0. Asi que D' es 10 definido.

(a) D -+ 0 porquc C f 0; ademas, para todo c' EC, r + c',~ D y D '* Q. Lucgo D es un -subconjunto pro-pio de Q. .

Sea b e C. Para cualquier SEQ tal que s < r + b, se tiene s - r < b de modo que s - r E C yentoncesS ., r 10 (s - r) ED segun la condicion de (i). pagina 66. Asi que para be C existe un elemento c eCtal quec > b; luego r + b, r + C ED Yr + c > r + b como se pidc en (ii), pagina 66. De modo que Des una cor­tadura,

3. Demostrar: Si C es una cortadura y r EQ, entonces (a) D = {r + a: a EC} es una cortadura y(b)D' = {r + a': a' E C}.

Para todor e S' = {a: a e Q+, a2 ;;" 3}. vamos a demostrar que se puede hallar siempre un numero racio­nal positive m tal que (r - m)2 > 3, esto es. que el r que se elija nunca podra ser elemento minimo de S'. Comoen el Problema I, por simplificar, se busca un m de la forma I/q con q EZ ". Asi se tiene( ,. _.!.Y

( )

'> • q_ ? 2r 1 > 2,' • 1 -. 2,·- r- - - +2' > r- - -; luego ,. - - > 3 slempre que - < ,2 - 3. esto es siempreque (.,2 - 3)qq q q q q ,

> 2r. Como en el Problema I, la propiedad arquimediana de Q+ asegura la existencia de q e Z~ que satisfaga laultima desigualdad. Asi que S' carece de elemento minimo.

2. Demuestrese que el complemento S' del conjunto S del Problema carece de elernento minimo.

72 LOS NUMEROS RE:<'.LES [CAP. 7

Como C E:f(+ existe al menos un r e Q' tal que r e C. Entonces para todo q eN se tiene rlq e C. Asl, pues,ningun CE~" contiene solamente un numero finite de racionales positivos.

Sea S = ,[C';, C1, t3.... } e.I dicht1 subconjul1to y C un l11ayonlnte. La Uliion l/ = C, U e l LJCJ U ...de'las ..cortuauras de S·es.ella misma una cor.~aduraE %: asimismo. como C, !; U. Cl ~ U. C3'~ U..... U esuri rnayor;tnte de S. Pcw C, ~ c.. Clo ~ C. C3, ~ C. ... ; Illego U ~ C' y U .rs cl c~tre'll1o superior de S.

14.' DemOSI'rar, Si S es un subconju 1110 no vacio dC'-J( YSI S fiene· un mayoran'te (en f), tien6. e'xtre­mu. sUPerior en .1f.

,(;(')1110 se ped fa.

elli)' A ~ -('(n)' (V) ~"qs) >. B

Como esto,es u:iviaJ para A "" B. 'supongase A < B. Sean r, s numeros rac'iona,ies posltivos tales que r E ,11Y.q: B': enton:ces Cit) <- A y CIs) >. B. PO·r la pt\)pi~dad arquirnedi.an,a <;IeQ c~i$te Uil numero POSilivq_11 tal que111''> SI cs .dec iI', '('(11)" C(r) ;> 'C(S), [.ue~o

13. DemO.slrar: 'Sf A, B E R+ existe un- entcro. p'Qsji~v() .e(n) tal que ('(Ii) , A > B.

;Como A < .B, eXiSICtl· nunieros racion;!les: r y ,f con ,. < S tales que 't,S E B. pen} de A, Enlonces,A ..: .C(s) -< qr) < B, como se pedia.

12. Dembs~iar.: Si A, B E R con A' < B e)(i~;tcun J1umei'o rilcit1l1al elf) 1<:\1 que A < Or) < B.

11. Demostrar : Para dos cortaduras cualesquiera Ct, C2 E J(' se tiene Ct < C2 si, ¥soio si, C1 C C2•

Supongase Cj C ('2' Elijase 0' E C2 II t;; y luego b e (:2 tal que b > 0'. Como -h « =a', se siguc quc- be - c.. Pcro - r, cs una cortadura: lucgo bi.sJe un elemento« E - ~', tal que c > - b. Enionces b +' (' > 0y b + t·E C1 + I -C,) = C2 - C, de modo que tl - C, E ,:::f'+. Asi, pues, C2 -e- .('j > t(O) 'y C, < ·Cf.

ParaIa reclproca.jsupongase C, <; ('2' Entonccs, ('2 - (',.> ('(0) y Ci - (', E ..>(+. Elijase dEQ~ t.alqued E,t2 - Ct yescribascd = b + aconb. E C2!1a E -C,. Emonces. -b < .-.0' porqued > 0ycomo,« E - C,podernoselegir un a:e ('; tal que a ~ -.0'. Pem - b' < -a'; ent~)n.ces,.a: < h. dCJ110do que q ¢ C", YaSi"p,u!:s.('2 q; C',. Ahora consid~rese cualquier x E ('" 'Eiil'()l1ces~ x i.b de modd'que x EC2 y, pOI' ta.t:l!O, C1 C ('2'

Es.claro que ni C'(Q) ni - ('(QJ E Jr~'. $.up9vgase. ahora .que' C =f CIO) y C ~ .;!f:+. Como todo c E C es unnumero racional negative pero C'* Q-. existe 'c:E'Q~ tal, que ..c'seC', Como c' < 1c' < 0, se .sigue queo < -1'"" <. -C'. Enronces. -k' € - C y asi CE .x ", Por cl conirario, si C E ,.:t"+, todo C' EC' es tarnbien.EQ+. Luego todo elerneruo de',-.C esnegativo y -Cliff+.

10. Dernostrar I~ leyde uicotornia: Pant C E $' se verifica una. y solo una. de las relaciones

-c E f'+''(' E £"+C = C(O)

Sea c + x E C + (-C); con C«c Y XE -'C Ahora bien, si x < -c' para ~'€ C, se tiene c + x.< c -_c' < 9 puesto que c < c', Entonces, (. + (- C):c (,(0) .. Reeiprocamentc, sean y; 7.E C(,O) con z > y. Enton-,ces, pOI' el Teoremalll.existcncECyc.EC.niTesqitec+(z-.v1 ,;, e', Como z· - c' < - c', se sigue quez - c' E - C.As!quej'= e + (z - () EC + (- C) ¥ CIO,,)~C + (- C),Luego C + (- C) = - C + :(' = ('(0):

9.. Demostrar que - C del Problema 8' es 13'.simerrica aditiva de C, esto es, que 'C + (- C) = -'C +C·= ('(0),

8. Si C E.%. dernostrar que, - C CS una cortaduna,

Notese prirnero que - C =f. 0 puesro qiie C' = J2J. Sea ahora C E t; enionces - (' ~ - C pues si 10 fuera setendria - c '< =,c: (para algun c' EC') demode que c < c, una conrradiccion. Ast que - C es un.subconjuntopropiode Q. La propiedad (i), pagina 66, es tnniediata. Para dernostrar I" propicdad (ii), sea x € ~c, esto. esx < -c' para 'algun {"€ C. Pero x < ~(x - c') < - c'. Asi. pues. tlx - c"l > x y {(x - c') E - C.

73L.O? NUMER,QS RE.ALESCAP. 7J

29. Demostrar el Teorerna V, pagina 69.

n. Demostrar: Si r, seQ con r < s existe un numero irracional (I tal que r < (I <: S.

S . Co 'd' +,-rugerencta: DSI erese a = r V2 .28. Demostrar: Si A y B SOD numeros reales COD A < B. existe liD numero Irracional « tal que A < IX < B.

Sugerencia: Utilicese el Problema 12 para demostrar: Si A y D son numeros reales CQD A < D, existen nume­ros racionales I y r tales que A < CIt) < qr) < B.

26. Demostrar: (a) Si cex ', entonces C-le~+.(b) Si c e x=, entonces C-'e,%'"-.

25. Demostrar: (a) Si C" Cl e ~. entonces C, + C2 y !Cd'!Cll son cortaduras.(b) Si C", '" C(O). entonces IC,!-' es una cortadura.(c) (c-I)-I = c para todoC + qO).

24. Dernostrar: -(-C) = C

23. Demostrar: (a) Si cex+, es -Ce:f-.(b) Si Ce x», es -C ex:".

21. Sea r e Q, pero no de C e x', Demostrar que' C ~ C(r).

26. Dcmostrar el Teorema IV. pagina 67.

19. Dernostrar: Si C es una cortadura y r e Q+, entonces C ~ D "" (a + r: a e C},

18. Demostrar el Teoremall de la pagina 66.

17. Demostrar: Si A y B son cortaduras, entonces A CD implica A 4- B.

16. Demostrar: qr) C qs) si, y solamente si, r < s.

15. (a) Definir q3) y C(-.1). Demostrar que cada una es una cortadura.(b) Definir C'(3) y C'(-7).(e) Situar-10, -5,0, 1,4 como E o ¢ de C(3), q-7), C'(3). C'(-7).(d) Hallar 5 numeros racionales de C(3) que no esten en q-7).

Problemas propuestos

(CAP. 1LOS NUMEROS REALES74

(c) qr) + qO)= qr)(d) qr)' ern = qr)

22. Demostrar: (a) q2) + CIS) = q7)(b) C(2)' qS) = C(IO)

75

Los numeros reales son un subconjunto propio de los numeros complejos C. Porque si en (i) y (ii)hacemos b = d = 0, se ve que las primeras componentes se combinan exactamente como los numerosreales a y c. Asi, pues, la aplicacion a .....(a, 0) es un isomorfismo de R sobre un cierto subconjnnto{(a, b): a ER, b = O} de C.

Los elementos (a, b) E C en los que b i= O' se dicen numeros imaginaries y si a = 0, (a, b) es unnumero imaginario puro,

Para cada nurnero complejo.z = (a,b) se define el numero complejo z = (a, b) = (a. -b) que sellama conjugado del z. Evidenternente, todo nurnero real es su propio conjugado en tanto que el con­jugado de un imaginario puro es su 0pUCSIO.

PLOPIEDADES DE LOS NUMEROS COMPLEJOS

Vease Problema 1.

Los calculos necesarios para demostrar que estas operaciones siguen las leyes A I-A4, M I-M4'DI-D2 del Capitulo 7, cuando se las enuncia en terrninos de C, son de' rutioa y se dejan al lector. Esfacil verificar que (0,0) es el elemento neutro para la adicion y que (1,0) es el elemento neutro para larnultiplicacion; tambien que el simetrico aditivo de (a, b) e5 el elernento - (a, b) = (- a, - b) Y que

el simetrico multiplicativo de (a, b) i= (0,0) es el (a,b)-' == (a~:b2' a2-!b2).ASi, pues, el con­

junto de los numeros complejos tiene las propiedades As-A6 YMs-M6 del Capitulo 7, enunciadasahora en terminos de C.

En la seccion siguiente demostraremos que R C C; Yse podria esperar entonces que C tenga to­das las propiedades fundamentales de R. Pero esto no es cierto, puesto que no es posible generalizara C (definir en C) la relacion de orden « -c» de R para todos los elementos de C.

(a+ c, b +d)

(cc - bd, ad + bc)

(a, b') + (c,~)

(a, b) • (c, d).

(i)

(ii)para cualesquiera (a. b), (c, d) E C

La adicion y la multiplicacion sobre C se definen respectivamente por

ADlCION Y MULTlPLlCAciON SOBRE C

r

(a, b,) = (c, d) 51, Y solo si, a = c y b = d

Como ahora cada una de las clases de equivalencia resultantes no contiene mas que un solo elemento,denotaremos estas clases (a, b~en vez de [a, b] y denotarernos en 10sucesivo R x R por C.

El sistema C de los numeros complejos es el sistema de numeros del algebra ordinaria. Es el mi­nimo conjunto en que, por ejemplo, la ecuaci6n x2 = a se puede resolver cuando a es un elemento cual­quiera de R. Para construir este conjunto C, comenzaremos con el conjunto producto R x R. La rela­ci6n binaria «=» se define asi:

EL SISTEMA C DE LOS NlJMEROS COMPLEJOS

Los ntimeros complejos

Capitulo 8

Fig. 8·1.El segundo miembro de esta igualdad se llama forma trigonome­trica (forma polar) de z, EI numero real no negativo

y

x = r .cos e, y = r sen 0z = x + yi = r(cos 0 + j sen 8)de donde

del conjunto C de los numeros complejos sobre los puntos del plano real. Podernos, trues, hablar delpunto Pix, y) 0 P(x + yi) como mcjor convenga a nuestro proposito del momento. EI empleo de unasola eoordenada simplifica, a menudo, muchos calculos que de otro modo serian tediosos. En seguidase discute un ejemplo deello y otro se esquematiza brevemente en el Problema 20.

Considerese en la Fig. 8-1 el punto P(x + yi) i= ° cuya dis- II

tancia r a 0 viene dada por r = Jx2 + y2. Si (J es el angulopositive que OP haec con el eje positivo de las x; se tiene

x + yi ......(x, y)

La representacion de un numero complejo z por (x, y) y por x + yi sugiere la aplicacion (isomer­fismo)

REPRESENT ACION TRIGONOMETRICA

para cualesquiera w =1= 0, Z E C(iv)

La sustracci6n y la division sobre C se definen por

(iii) z - w = z + (-w) para cualesquiera z, WEe

SUSTRACCION Y DIVISION SOBRE C

el conjugado de Z = :I; + yi es z = x + yi = :r. - yipara todo Z = x + Vi. Z 0 Z = X2 + y2 E R

para todo z ;" °+ 0 0 i = ° Z-I. = .!. = ~ = __x_ - --y-i. , Z Z 0 Z :tot+ y2 X2 + y2 .

z = x + yi es -z = -(x + Vi) = -x - yiel opuesto de

En esta notaci6n mas familiar, x se llama parte real y y parte imaginaria del ntimero complejo. Resu- .miendo:

y, para todo (x, y) E C,

CX,y) = (x,O) + (0, y) = (x,O) + (y, 0) 0 (O,~1) = fC + yi

(y, 0) 0 (0, I) = (0, I) 0 (y, 0) = (O,y)

Ademas, (0, 1)2 = (0, 1) 0 (0, I) = (- I, 0) +-+ - 1 en la anterior aplicacion, de modo que (0, 1) es unasolucion de Z2 = - 1.

Definiendo (0, I) como la unidad imaginaria y denotandola por i, se tienep. = -I

y, en particular,

De aqui se sigue facilmente:

. Teorema L La suma (producto) de des complejos conjugados es real.

Teorema II. El cuadrado de todo numero imaginario puro es·un mnnero real negativo.Vease tambien Problema 2.

EI papel especial del numero complejo (1,0) sugiere investigar el de otro, (0, I). Se tiene

(x, y) 0 (0, I) = (- y, x) para todo (x, y) E C

[CAP. 8LOS NUMEROS COMPLEJOS76

z" = A = p(cos (p + i sen 4>jemero ~.c;>sitiv9>Y'A es cualquier ruimero c(}mplej'€i,uene exactamente n rakes como se

:r.~da.. Si',zr:= n(cos,'g+ i sen OJ es una deestas, se tiene por el Teorema Vj.n(c'os nO + \i sen, nO) = p(eos ijJ + i sen cfi)

f!' = p y nO =- ijJ + '2kn (k, e-rileroj,.= pll" Y 0 = ',¢In + 2kn/n

[!'(cos 0'+ i sen 0))" = r"(cos nO·+ j sen nO)

,;;)eonsecuencia del Teorema IV. se tiene

Sin ~s,un eniero positive

(a) Si _'~I = 2(c(,)s,~/t-+ i_~enb:) ,YZ,z = 4,(co'S'ht + i sen .in). se riene'ZI • z~ = ilt10~ ~/t + iscn!:!tJ' 4(9,0.5i~H- isen ~1t.}

= 8(eos 7r+ i sen ,.J = -'8;;'Z/41 = 4(~os in + i sen b):2(~9S'fn, + i sen !-;r)

= 2(<:os !rr + i sen flrJ = 2iZj/Z2 = i(C(l$ (-irr) + i .sen (-in)} = t(cos 3.!fC/~+ i sen Jir[4) = -i;

'(b) Si z = 2[.::os n/6 -I- 'i sen /t/6).

Z2' = Z • ,Z = 4(cos rt/3 + i sen ny.Ji = i(l + i.;(5)Y. Z3 = ZZ • Z = gIcos In + i sen h:) = ,8f

EjempIo 2:

TeRema W~ EI valor absolute del eociente. de des numeros, complejos ;es el cociente de, SU,S valoresabsolutes y el angulo del cociente.es ,el angulo del numerador menos el ahgulo del de-nominador. '

Se'sigue CLue.dos numeros complejos son iguales si"y solo .si, sus valores absolutes son iguales ys: SUs:<\ngUlbsdifieren (in un 'multiplo entero de'Zn, e:S'foe~, si sori,cp.rigtu.entesmodulo 2n,.

En los i?roblem?sAy 4 se demuesjran elYeorem8.m. EI valor absoluto del producto de.dos numeres complejos es el producto de sus valores

absolutes y el angulo del producto es la suma de sus angulos.

-.J3 + 1.= ';l.(cos ,5'fr,!6+ i sen 5/t/6i

Expresar (a) '1 + 'L (b) -.J3 + i en forma trigonometrica.((1) Se tiene I' = J(,+I' = }2. Corne tg 0 = 1 y'cos, Q'= 1/j1., tomamos-para 0. el

angulo del primer cuadrante 45° = 7r/4: A~i,.pues: 1+ i = ,fi (cos.n{4'+ i sen /t/4).

(b) Aqui es r- =.)3+1= 2, tg b = -1/.)3 Y GOS Ij == -ifi. Tornando para Ii el 'an-,gu1.9del segundo cuadrante 5/t/Q se tiene .

To = Izl = ~i = yxz-+ 1(7

.se Il,a,ma.~MulQ.'(vajw aqsp~u_to)pe,z.. y, (} .se lia.ma .a1m<t4Jafnpiituq 6 argumenlQ) de z. Como 0 es talque x = r. cos e~y = r sen 0, tg 0 = y/x ycualesquiera dos de estos determinan 0 dentro de un mul­tiplo aditivo de ~1t. Por 10 general se escoge e, coma el meuorangulo positive. {Nota. Si Pesta 'en 0,~tien:e r = 0 y e arbitrario.)

"77LOS .NtJMEROS/CQ.MRLE'J,bSCAP. 8-]

Para una derriostracion vease Problema 6.De aquj se sigue el

Corelario, Las raiees n primitivas de Lson aquellas raices-enesimas, y solo aquellas, p, p2, p3, ... , p"de 1 cuyos exponentes son primos relatives con n.

Ejeniplo 4: Las-raices 12-mas. primitivas de 1 sbn

fl: cos 2",/12'+ iseq:Z.../12 = t-13 + tip5 = cos5 ../6 + .is~n0],/6 -t-13 + 1ip7' cos 7../6 +.j!\en 7irtp = -1-13 - ~i

pll,= CQslbr/6 + i.senH",/6 = t-13 -·ii

Una taiz:'cnesima r de 1 se dice plimitivQ si, y solamerite si, z" ;/= I eon 0 < m .< 11.Mediante losresultados d'~1Problema 5 es facil mostrar que p y pS son rakes sextas primitivas de 1, en tanto. que p2,p3, p\ p6 no. 10 son. Esto ilustra el

Teorema VD. Sea..p = cos 2rc/n + i sen 2rc/n. Si (m, n) = d >'1, eiltopt:es pm es una rail de ordennid de I.

Rl\.I€ES PRIMITIVAS, DE LA LJNIDAD

Teorema VI. Las h. raices ~he$if1iasde. la, unidad son

p = cos 21'1'/n+ i sen.2."./n.; e2! p3; p4, .. " p~-l, pn = 1

.(a) Una raiz de Z4 = 1 es r1 = 1 = cos 0 + 'j sen-O. .Aumeritando el angulo sucesivamenteen 2'rr./4 = Ti/2, .se encuentra r.l = C.OSin + i sen ~ '3 = COS 1t + j sen n Y '4 = cos31111 + j sen 3n/2. Notese que si hubieramos comenzaClo con otra- raiz, digamos -I =COS.n + i sen n, habriamos obtenido cos Sn12 + i'sen ~Tif2. cos 2n + i sen 2n = cosO'+ iseq 0 y cos tn +. i sen tn: Estas so'il;des.(le'liJego,las misyr{a's lJi'aices .oolehidils antessolo que en orden diferente.

(h) Una de las rakes de Z6 = -4-13 - 4{ = ~8~cos7:"./6+ i sen 71t/6j es

rl = V2 (cos 711'/36+ (s~n711'/36)

Aumenla.nClo sucesivarnente el ·anguio en '2n/6. lenemos

rz V2 (~.o"s·'l9"./;!6 + iS.en 19.-/36)

ra -v(2 (cos 31"./3:l>+ isen31"./3~)

r4 12(cos 4'3../36 + i sen 43",/36)

,rs V2 (cos 55",/36 + i·sen 55lT/36)

r6 V2 (cos 67 tr/36 + isen 67"./36)"

-Corno consecuencia ,del Teorema 'II lie tiene. el .

Ejempio 3:

Estas n rakes son coordenadas de n puntos equidistantes sobre ef eirculo -de centro en el qrJgen y deni.diq·:VlAT.Si entonees z = ViAl (90'S 0 + i sen '0) es cualquierade las raices ei1e~imasde A, las otrasrakes se obtendran sucesivamente aumentando el angulo 0 en z:n!n y reduciendo modulo 21t cuandoquieta que el angulo sea mayor que 21t. '

I .p"n [cos (<pIn+ 2k"ln) + t sen (",In + 2kr.ln)], k = 0,1,2,3, ... ,n-1

EI numero de rafcesdistintas es el de angulos del conjunto {¢In + 2krr:/n} que no terminan en el mis­mo lade. Para cualquier eiJtero posifiy.o k = nq + m, 0 6'm < n, es clare que <p/n + 2kn/-n. y41th + "2m'1!.!rr tienen lades terrninales coincidentes, Asi, pues, hay exaotamente n rakes distintas da,edas por

[CAP. 8LOS NUMERO'S' COMPLEJO'S78

p~ = t·()~4"./.3 + i sen 4"./3 -4 - !V3-iI'~ Cos 5"i{j + rsen 5,,/3 ~ - kv'3 i6 - cos 2"" + iscn21r 1p -pa cos 'II' + i sen IT = -1

De,e.sta,s, pJ = ~l 't'p6 = I son raices cuadradas de J y p'i = _,t +- t:fl t. /)4 = -1- !J3 i, Y p6 = Json taices cubicas de I.

5. Hallar las 6 ralces sexras de 1 y demostrar que entreelias eSlan 'las raioes cuadradas y las raices cu­bicas: de I.

Las raices sextas de 1 son

p' cos,rr/3 + i,sen",/3 = k'+,~V3ip2 cos 2"./3 + isen'2r.18 = -!+ ~v'3i

1'1 [( , , ):; ,cos 01 cq,S02"+ sen s, senOi'2~+[cos (81 -02) -+ i sen (8, - 82)11'2

?'I(COSIII + i sen ol)(COS'Of- i,sen,o~),r2(C'os 02 + ,i.sen 82)(cos 8,2 i sen 8:1\

1',(cos 0'1+ h;en 01)l:'2(COS,02 + i sen 82\

Para los numeros conrplejos ZI Y a2 del Problema 3,

3. Demostrar: EI valor absolute del products de dos numeros complejos es el producto de sus va­lores absolutes y el angolo ijel producto es la suma de sus angulos,

Sean ,ZI ~ rl (coss, + i sen 8tl y Z2 = r.2,(cos 8'2 + isen 0'2)' Entonces

.2'1' Z2 = rlr~[!S:OS'81,' cos 82 - Sen III . ~n 2) + i(sen 8, . cos 1/2 + sen,lil • cos Od]= rlr2[cos' (IIi +"Oil + isen (81 + 02i]

4. Dernostrar: E~valor absolute del cociente de, dos numeros complejos :es ~I cocierrte de.sus. valoresabsolutos y el angulo del cociente es el angulo- del numerador menes el angulo del denorninador.

z, •~2 (Xj:r:2 YiY2) + ('t'tY2 + X2!!I)i = (XIX2 -lilY:!) - (;r,Y2+ Xi!/I)i

- (XI -Ylij ..··(x2 -1l2i) ;: :<I':ZZ

y

(Xl + X2) + (YI +Y2)i

(Xl - lili) + (X2 - !i2i)

(Xl + Yrt~ + (:1:2'+ Y2i)

(x, + %2) - ('Ii, + Y2)i

Vamos a demostrar que la adicion y la multiplicacion se preservan.en la-aplicacions [0 cual se sigue de quesiendo para

5 - i (5 _0 i)(2+3i)(e) 2 - 3i' = (2 - 8i)(2'+ 3i)

(f) ia ::;:: i2'i '" ~i = 0 - i

(a) 3- 2Ft = 3- 2i

(Ii) 3 +R = 3 + 2i

(c) 5A":. 5 V}li ~. i 1)(~4. 3-4:i L-p,4iL 3 .4 ..(d) tf"4:PZ, (3'tiO(3--4i) '\' 25";J- 25- 25 t

, . _;:tJ.l':,Qi.,1;:l· (. \. ~ i (J.,~. Dernostrar: La aplicacion z' +-+ E, Z E ,C es un.isomorfismo de C sobre C.

t. Expresar enrla forma x + yi:

'(!.L) 3 - 2-el, (b) 3 + -q, (c) 5 (d) 1 (e) 5 - i (/')f3.v - ~ V -'t ". ' '3+4i:' 2 - 3i '

Pro»lema~ resaeltos

79LOS NUMEROS,C@MPLEdOS6~P. '8]

16. Dernostrar: La suma de las IJ raices enesimasrdistintas de 1 es cera.

15. Hallar (a) las raices quintas primitivas de I, (b) las rakes octavas primitivas de I.

14. Hallar las raices cabicas de: (a) 1, (b) 8, (c) 27i, (d) -Bi, (e) -4va - 41.. 3Ya 3.

Resp, (a) -i ;!; t..fii i, 1~ (-II) -1 ;!; va i, 2; (c) ;!; -2-+ '2t, -3i; (d) 2i, ±V3 - i; (e) 2 cis 10-/18,2 cis 19;0/18, 2'cis 31:1/18

(a) 5 cis 60° (e) (2 cis 25°)· (3 cis 3350)(b) 2 cis 90° (I) (10 cis 10()O)• (cis 1400)(c) cis 1500 (u) (6 cis 170°) : (3 cis 50°)(d) 2 cis 210° (h) (4 cis 20°) : (8 cis 800)

Resp. (a) 5/2 + 5V3 i/2 (c) -tV3 + ti (f) 6 (g) -l+V3i(b) 2i (d) -V3 - i (f) -5 - 5V3 i (k) i-lV3i

13. Expresar en la forma a + bi:

siendo cis e = co~.8+ Isen 8.

12. Expresar en forma trigonometriea:

(a) 5 (c) -l--{3i (e) -6 (g) -~ + vai (i) l/i •(bl 4 - 4i (d) -3; (I) VZ+V2i (~) -1/(1+ 1)

Resp. (a) 5 cis 0 (d) 3 cis 3"./2 (g) 2'1/3cis 5:;/6(b) 4V2 cis 7 ../4 (e) 6 cis e (h) ..;2/2 cis 3:r/4(c) 2 cis 4../3 (f) 2 cis r./4 (I) cis 3"./2

11. Situar todos los puntas cuyas coordenadas son de la forma (a) (a + O· i). (b) (0 + bi) donde a, bGR. Demues­trese que cada punta z y SIL conjugado son simetricos respecto del eje x.

10. Demostrar : Para todo % "" 0 E C, (z-') = (Z)-I.

9. Demostrar: EI conjugado del conjugado de z es z mismo.

8. Dar los conjugados de: (a).2 + 3i, (b) 2 - 3;, (c) 5, (d) 2i.Resp, (a) 2·- 3/; (b) 2 + 3i, (e) 5, (d) -2/

(h) (4 +H) + (3 - 2..;=5),2+ 3; 5 - 2i

(I) 5-2i" (g) 2+3;' (k) ;4,(c) (4 +H) - (3 - 2.;::5), (d) (3 + 4i)' (4 - 5i),(i) is, (jl e, (k) i8•Resp. (a) 2 + Y5 i, (b) 7 - 15 i, (c) 1 + 315 i, (d) 32 + i, (e) 2/13 + 3i113, if) 4/29 + 19i/29,

(g) 4/13 - 19i/13, (II) 1 + 0 • i, (i) 0 + i, (j) -1 + 0 •i, (k) 1 + 0 • i

7. Expresar los siguientes numeros en la forma x + yi: (a) 2 +R,1

k) 2 - 3;'

Problemas propuestos

·6. Demostrar: Sea p = cos 2n/n + i sen 2n/n. Si (m, n) = d » 1. entonces p" es una raiz de ordenn/d de 1. .

Sean m = mid Y n = n,d. Como p" = cos 2m'1ljfl + i sen 2mn/n = cos 2mllljfl, + i sen 2m11l/n1 y(p"r' = cos 2m17! + / sen 2m(7! = I, se sig~e que p" es una raiz nl = n/d..esima de 1.

[CAP. 8LOS NUMEROS COMPLEJOS80

(el) Comprobar: -La ecuacion de-toda-paralela-a AiA. tieneIa "forma Z + ZjZkZ ="1 demostrando que los pun­tos .~e4i,o~ Bi Y B.. de A;Aj 't A;A" estan sobre Iii recta, ...+ tj='~= 'Hz; + Zj +.z;, + ?,z_;Z.,),

(d) Cornprobar: La eeuacion de toila recta perpendicular a Ai4.k tiene la forma Z - Z'j'x== II demosrrando- que ,0 y el p,uilto rnedio de AjAx. estan sobre la recta .~- :o:j;k~ = 0,

(e) Utilizar z = Z;~n ~- z;.~ = /l'pari\, obtener la~CI.1..a.cj0lJz -.~ ~kZ =~;,-%~ik 9'~la-altura por Ai de A IAzA 3'Luego eliminar z entre las ecuaciones de dos 'aliu'ras cualesquiera- para obtener su punio de. intersectionH(zl + Z2 + Z3),' Demuestrese que !j tambien ~st,~,en I~ tercera altura,

Fi,g.8,3.

Fig.~.2.

il

81

(f.l) Encontrar que- la ecuaeion de K es z : Z= 1.

. . ax] + bX.k(b.) Oem ostrar que P,(x,,,y,) dopde!.l'_. = a+ b

y' s- = ay~: :Yk , divide el ~gmetJto A1.141 en Iii. " (az;+ bZk)razon 9; a, Luego, como Aj, A~ y P" ~

estan en la tecta A,j,4b comprobar que la ecu~Ci(Hlde esta e-s =,+ zf~z'= Zj + z.,

20. Sea en el plano real K ill circulo. con centro en 0 y ra­dio.l y sea A1;4'2A'J' donde··A;(.x;j,yj) = AiZj) = A'iXj'+y.j~»-i = I. ,2;:\ es un triangulo inserito, Denotese por]>(z) = Pix + yi) un punto cualquiera variable del plano,

(a) z". Z (c) .z - it

19. Describir geometricamente las aplicaciones

i8. Si,. es una ratz cubiea cualquiera de a,e C, entoncesT, 'fr, o.h donde -w = -J ++j3 i y (1)2 son las 'rake;cubicas imaginaries de 1, son las tres raices c;,u]jicasde a.

(a) Iz, + z21 "",jz,1 + IZ21{b) I~, - z21 =r Iz,l - k'21

1,7. Utilizando la Fig;, 8·2 demostrar:

LOS NUMER.QS CpMPLEJOSe~p.'8]

82

Veanse tarnbien Problemas 1-2.

Tabla 9-1

Nota 2. Los capitulos precedentes contienen muchos ejemplos de grupos para la mayoria delos euales la operacion de grupo es corunutativa. Es de notar aqul que el hecho de que la operacion seaconmutativa no se requiere en las propiedades enumeradas arriba. Si la operaei6n es eonmutativa, elgrupo se dice abeliano, pero por el momenta no haremos distincion entre grupos abelianos 0 no abe­Iianos.

(existencia de elemento neutro)P3.: Par"! cada a E <§ existe un a-I'E f§ tal que a 0 a-I = a-loa, = U

(existencia del simetrico)

Nota 1. No ha de haber lugar a confusion por el ernpleo en P3 de a-I para denotar el simetricode a respecto de la operaci6n e, La notacion, ba side simplernente sacada de la que se utiliz6 antes parala multiplication. Cuando la operacion.del grupo es la adicion se ha de interpretar a-I como el sime­trico aditivo -a_

U0 eonjuoto no vaclo <§ sobre el eual se ba definido una operacion binaria 0 se llama grupo coorespecto a esta operacion si para cualesquiera a, b, C E <§ se verificarr las propiedades siguientes:

PI: (a 0 b) 0 C= a P (b ° c) (ley asociativa)p 2: Existe un U E f§ tal que a 0 U = U 0 a = a

GRUPOS

Grupos

Capitulo 9

EIconjunto Z de los enteros forma un grupo con respecto a la adici6n; el elemento neutroes el 0 y el simetricode Q E Z es el -a 0 sea, el opuesto de Q. Asi que en 10sucesivo po­demos hablar del grupo aditivo Z. Por otra parte, Z no es grupo multiplicative, ya que,por cjcmplo, ni 0 ni 2 tienen simetricos multiplicativos.

(b) E1conjunto A. del Ejemplo t2(c), Capitulo 2, es un grupo con respecto a e. EI clementoneutro es a. Averiguese el simetrico de cada elemento.

(c) EI conjunto A = {- 3, '- 2, -I, 0, I, 2, 3} no es grupo con respecto a la adicion sobre Zsi bien 0 es elernento neutro, cada elemento de A tiene simetrico y la adicion es asociativa.La razon es, naturalrnente, que la adicion no es operacion binaria sobre A, es decir, queel conjunto A 'no es eerrado con respecto a la adicion.

(d) EI eonjunto A = {Q)t = -J + tfi i, Wl = -t - !fi i, W3 = I} de las ralces cu­bicas de 1 forma grupo con respectoa la rnultiplicacionen el conjunto de los numeros complejos C ya que (i) elproducto de dos elementos cuaJesquiera del conjuntoes un elemento delmisrno, (ii) se cumple la ley asociati-va ~n C v, por tanto, en A. (iji}W3es el elemento neutroy (iv) los simetricos de w.,Col' 00) son, respectivamente,(.010 W1,tU"

Esto es tambien evidente por (ii) y la tabla de ope­racion adjunl~;

EjempIo 1: (a)

Los dos siguientes teoremas son utiles para determinar cuando un subconjunto de un grupo r§de operacion de grupo 0 es 0 no subgrupo del ~.

Ejemplo 2: (a) Un subgrupo propio del grupo multiplicative <;§ = {I, - J, i, -I'} es ~' = {I, -l}. (<.Hayotros?)

(b) Considerese el grupo multiplicativo l§ = {po p2. pl, p' •.p5, p6 = J} de las rakes sextasde la unidad (vease Problema 5, Capitulo 8, pagina 79). Tiene como subgrupos propios~' = {pJ, p6} Y ~" .;. {p2, p\ p6J,

Sea f§ = {a, b, c, ... } un grupo respecto de o , Cualquier subconjunto no vacio f§' de ~ se llamasubgrupo de f§ si f§' es el mismo un grupo con respeeto a 0', Evidentemente f§' = {u}, donde u es el ele­mento neutro de r§ y r§ mismo, son subgrupos de cualquier grupo r§. Se les llamara subgrupos impro­pios; otros subgrupos de ~, si los hay, se llamaran propios. Es de notar de paso que todo subgrupo deun grupo ~ contiene a u como elemento neutro. '

SUBGRUPOS

Teorema V. Para cuaJesquiera a,b, ... ,p, qeq, es (a0 b o· .. 0po q)-I = q-I 0p-I o· .. 0 s:' 0 a-I.Para cualquier a E t§ Y cualquier m EZ+, se define

a'" = 'a o.a 0 a o· •. «a de m factoresaO = u, el elemento neutro de t§a-1ft = (a-I)", = a-loa-I 0 a-I 0 ••• 0 a-I de m factores

De nuevo se ha tornado' la notaci6n de la utilizada cuando la operacion es la multiplicacion. Si la ope­raci6n es la adicion, d' con n > 0 se ha de interpretar como na = a + a + a + ... + a con n termi­nos, aO como u y a?" CODlO n( -a) = -a + (-a) + (-a) + ... + (-a) con r: terminos. Observeseque na es simplemente, pues, una abreviatura y no 'se ha de considerar como producto de n E Zpor a E t§.

En eLProblema 5 se dernuestra la primera parte del

Teorema VI. Para todo a E t§, (i') a'" 0 d' = ado, y (ii) (a"'t = a"'", con m, n EZ.

Se entiende por orden de un grupo t§ el numero de elementos del conjunto f§. EI grupo, aditivo L.del Ejemplo t{a) es de orden infinito; los grupos del Ejemplo 1(b) y I (d) son grupos finitos de orden 5y de orden 3, respectivamente.

Por arden de un elemento a E f§ se entiende el menor entero positive n, si existe, para el cual d' = u,el elemento neutro de f§. Si a =1= 0 es un elemento del grupo aditivo Z, entonces, puesto que na =1= 0para todo entero positivo n, el orden de a es infi.nito. EI elemento (1)1 del Ejemplo 1(d) es de orden 3,pues (1)1 y w~ son diferentes de 1 rnientras que (I)~ = I, el elemento neutro.

Teorema IV. Para cualesquiera a, b E t§, (a 0 b)-I = b-I 0 a-I.

Para demostracion, vease Problema 4.Teorema m. Para todo a E q, el simetrico del simetrico de a es a, es decir, (a-I )-1 = a.

Para demostracion, vease Problema 3.Teorema H. Con a, b E t§, cada una de las ecuaciones a 0 x = b y yo a = b. tiene una solucion

unica.

La unicidad del elemento neutro y del simetrico de cada elemento del grupo fueron demostradasen los Teorernas III y IV, Capitulo 2, pagina 20. Se deduce facilmenteTeoremas I. (ley de cancelaci6n). Si a, b, C E f§, de a Q b = a 0 c (tambien abo a = Coa) se sigue

b = c.

1PROPIEDADES SENCILLAS DE LOS GRUPOSL

83GRU"POS,CAP. 9]

HOMOMOaFISMOSSeati dos grupos, <'§' con la operacion Q, y r§' con la eperacion CJ. Se llama homomorfismo de r§' en

C$' una aplic-adon

(a) S4 = {(l), (12), (13), (14), (23), (24), (34), !X = (123), !X2' = (131), P = (124),,;' . p2 -:f (.142):-' y' = {I 3.4), " yt:= (143), (f = (23.~)" ,~}-= (243), {!~.== (1234),

pol = (13)(2~), pl = ('1432-), 'a = (1243), ,/1' = (14')(23); (13. = (1342), 't =(1324), T2 = (12)(3'4)" T·3.= (1423)).

(b') Los subgrupos de S4: (i) {(I), (l2J}; (ii) {(,I), IX, £X2}" (iii) {(l), (12); (34), (12)(34~, y(iv) A4 = {(l), IX, 1X2, p" {Jr, )', l,8; (52; pl,' (12, -(-t}, son ejemplos de grupos de permuta­tion de 4 simbolos. (A4 consiste en todas.Ias ~rinutacidn~s pares de, 8.. y se Ie corrocecomo grupo alternante. de '4 simoolos. ~C:ualesde los anteriores subgrupos son ciclicos?i,cnales abelianos? Dar otros subgrupos. de $4' '

Vean~e Problemas 9-10.

Ejemplo 4:

CRUPOS DE' PERMUTACIQNES'En el Capitulo. 2 se estudio el conjunto S~ de las n! .permutaciones de n simbolos. Este conjunto

results ser un grupo con respecto a la operaci6ri de permuiaeioa 0, Como 0 no es conmutativa, este esnue.~trOprimer ejemplo de un, grupo no abeliano. '

Es costumbre llamar a] grupo Sn,grl!Po simetrico de n simbolos.'Y·ljcu~lqujer subgrupo de S. grupode permutacion de n simbolos.' ", ,

Teerema XU. Todo subgrupo, de am grupo eiclico es el'mistno un grupo eiclieo.

nilefementQ:ti de un grup,o ciclice,finite r§ de ,.pEde~nesun.generador de r§ si, y solosi (n, t) = f.

En el Problema 8 ,S~demuestra -el

Ejemplo ,3: (a) E1 grupo aditivo Z es ciclico eon generador a ,=<1, pues para todo moE OZ, d" = ma = m.

(17,) E,I gropo multiplicativo de las-.raices quintas de 1 es 'CiClico:A'diferencia del grupo de(a), .que solo tiene 1 y -1como generadores., este-grupo puede. ser-generado por cual-quiera de sus elementos excepto ell. '

(eJ, EI grupo ~. del l§iemplo 2(b) es cftlico. Sus generadores son p ':f pS.

Los Ejeml'ies 3(b') 'f 3(c) ilustran el

Un grupe ~ se dice eiC/ieo,si, para algun q /#~, todo x E r§ es de la forma ii", donde 111 E Z. EIelemento a se llama entonces un generador de i§. Ev.identemente, todo grupo elclico es' abeliano.

Para .demostracien, vease Problema 7.

GRUPOS CICLICOS

Teorema IX. Sea a un element~ de un grupo r§. El eonjunto .r§' = fan: n E Z} de todas las peten-cias' enteras de a es un sub~rupo de <'§. ' ,

Teorema X. Si S eg cualquier c,onj!lnto de subgrupos de un grupo ;9~lainterseccion de estes sub­grupos es tambien un -subgrupo d~ r§.:

De 10 que se sigue el

Un subconjunto r§' no vacio de un grupo r§ es suj)gt'up.o~de~~gi,yselamente S1,(i) C§!.es cerrado con res.Qectoa 0; (ii)~' c:on.tieneel simetrico de.cad.lV1;lnode' sus ·'elementos.

Un subconjunto rg' no vaeio de -un.grupo i:§. es subgrupo de t'§. si, y solamente si, paracualesquiera a, Q /E W, ~-I 0 b E r§'. '

Para, demosQ'a<;ion,vease Problema 6.. . . ~

[CAP. 9.GRUPOS

Teotema VIll.

Teorema VU.

84

f§:"::' f§' : 0-+ I, ,j _. 3, 2 -> 4, 3 _,. 2

es un isornorfismo. Per ejemplo, '1 = '2 +·3 -+ 4·2 = '3, etc.Rehacer J~ lab/a de operacion de 'I' para mostrar que

<fj -+ '1':0 .... l, 1'7,2,,2 -+ 4; 3 -+ 3es. otro .isomorfismo de qf sobre f§'.' ~Ha:(,otro?

.en las que.porcomodidad se han remplazado [0], [1]", t : , por 0; J, ' , . Se-ve:claramepte quela aplicacion

j;; g'

+ 0 2 3 3'*

2

~ 3. 1 3 4 2.1 2 3 ,,0 ,3' 3. 4 2

.3- 0 1 A 4. 2 1 3

0 2 2 2 3 4

tabla 9-2 Tabla 9-3:

Mostrar que 1!J, el grupo aditivo 2/(4) es isomorfo a 'I',eFgropo mulliplica!ivo de elementosno nulos de Z/(5).

E~aminen~ las'tllbl$ de .operacion,

Ejemplo 6:

ISOMORFISMOSSi fa ,;lplicac:;i,on de fa seccion anterior es biyectiva, es decir, si

lrt-'t g'se dice que ~ y. '§: sop isomorfos y la -aplicacion 'se llama isomorfismo.

En el Problema 12 .se-demuestra ellleorema xm. En cualquier honfomot.fisnio e'liire dos .grupcis '§ Y '§.! los elementos neutros se co­

rresponden, y six EC<§. y x' .E, c;j' se;corresponden, 10.rnismo ocurrecon Sussimetrlcos,

Se-sigue-de esto que

Teorema XIY. L~, imagen homOlp9rfa 'cie todo grupo ciclico es clcliea.

Vease Problema u.

es tin homomorfismo de 'I s09re'~' en ~pt.o ql:!¥,Ia apJJc<i9ion

a"-+a'i

es un homornorfismo de .'1' en ~. 'simplemente.

y se preservan las operaciones de :!lrupo.

(b) sean el:grupo ciclico ~ = {(a,1i2, a3.",., al2 =, II} Y su subgrupo rJ' = {a2; a4, a6",.,all} Se ve facilrnente que laaplicacion

(i'·~>a2.1t

(a) Sea la aplicaciorr n 4. i" del grupo aditivo Z sobre el grupo multiplicarivo de las raicescuartas de LEs. un homomornsnlo;puesto que

Ejemplo 5:

(i) tod6 g ~ ~ .tiene una itri~g~ii uni;ca ,~' '~"§'(ii) si,a~a' y b=s b', en~on~e&oadb'-4~(i rrJ,S'

Si adernas Ia aplicacion es sobreyectiva, esto ,es; si

(iil) todo g' 6 W' es imagen

se tiene-un homomorfismo de ~ sabre/§.' y, .se dira que "§/ es una imagen homomorfa de ,§,

tal que

85'

y la 'clase: ~Lla izquierda.aH = {(1432!0 (1), (1432) 0 (12), (1432) o (?4)" (1432) a (12)(34)}

W432), (143), (132)" (13)}Aiexarninar las propiedades de las clases laterales, por IQgenerill nei limitaremos a las elases a la

derecha y dejamos al euidado del lector el formular las propiedades correspondientes de las c1asesa laizquierda. Lo primero, n6tese que a EHa puesto que u, el elenienio neutro de r§., es tambien e) ele­Mento neutro de H, Si H contiene m elementos, tambien los contiene Ha, 'pues Ha contiene it 10 masm y hi «a = h2 «a para cualesquiera hI>h2 EH implica hi = hi.. Por ultimo, si C, designa el con­junto de todas las clases a la derecha diferentes' segun H'en t;;" entonces H E Cr porque Ha. = H cuan-do a. EH. '.

Considerense ahora dos elases-a Ja dereoha 'Ha y Hb, a =1= b segu9 11. en @, Supongase que c es unelemento comun de estas clases de .modo que para algunos hi, h2 EH se tiene i:: = h1 co a = h2 ., h.Entonces, a·= I:f11dli2.o b) = (hi I 0 h2) 0 b y «omQ hl';' 112 .f. H (Teorema VIII), s,e sigue q,ueq E Hb y'que Ha == Hh. Asi. pues, C~.<;opsisteen. clases a Ill'derecb~~de'.~~mutuamente disjuntas y,por tllnto, es una partki6n de <§: Se dirs que C; es u'rta iJe:vcomposici6n de r§ 'en elaSes a Ill'derecha'segun el .sub~rupo 8.

EI subgrupo H = (O), (12), (34). (12)(P4)}.y el elemento q = (1432;) de S4 generan Ja claseit. Ja derecha" .

Ha = {q) 0 (143,2~,(t2) 0 (1.432), (34) b (1432), (12)(34) 0 (1432)}((1432), (243), ~142), (24)}

Ejemplo 8:

y clase a la izquierda segt'm e/ subgrupo H de i'§,generada por a, al subconjunto ali de <§

aH = fa a l?: ·h:E Ii}

s« = {haa: hER}

Sea.~ un grupo finite 'con la..operacion de grupo 0; sean fllln 'supgrupo -de ~ y a un elementocualquiera de <§, Se llama elase a la derecha segun el subgrupo H de <§'!generada por a al subconjuntoHa de'i'§

CLASFS LATER*LES SI;GuN l)N SUBGRUPO

Se sigue facihnente que <§es isomorfo-a P = {P·I.' P'j, P~. P"'·,Ps., P6} donde PI = (1), P: =(12)(36)(~~), P3 = (13)(25)(46), P4 = (1.4.)(26)(3~)•. As,= (1:561(234), P6 = (165)(243) por laaplicacidn . .' ..

Ui. +-+ Pi. (i = 1.2, 3", .. ,6)

P5,

a, 0.4 U.s, U.s ill f/2 Os

'Us' '0.5 g4 ·.g2· e« glS (fl

e« .g~ gs g4 g'2 gl gs'

TaW. 1).4(156)(23'i)(

gl g'2 i?;a o« gs DS),gs g3 0.4 02 0.6 gl -

{h g'2

g~ 0.3

g·1

EJemplo 7: Considerese la tabla de operacion adjunta parael grupo:<§= ,{1>l> gz;:gJ;g4,gS,g6} con la opera-ci6n de grupo CJ,' .

Los elementos de cualquier columna. de la .ta­bla,digamoslaquinta:g, 0 gs = gS;g2 c g5 = g3'&O~=~.c~-b~c~=~~bg~ = g, son los elementos de la fila deencabeza­mientosIo sea los-elementos del grupo ~J 'en OtTOordea. Esta-permutacion se indicara por

En el Problema 13 se demuestra la primera parte delTeorema XV. (4) Todo grupo ciclico de orden infinite .es isnmorfo al gnipo aditivo Z,

(b) Todo grupo ciclicc (Ie, orden finite n es isomorfo. aJ grupo>aditivo Z/(n).El resultado. mas notable. de esta seceion es et

Teorema 'XVI (Cayley). Todo grupo finite de or.den n,'es isoilrorfo a un grupo de permutacien de~ simboles, '

Como la demostracion, quese da en el Problema 14, consiste en ver como se construye de hechoun grupo de permutacion, el lector querra examinar ante. todo el.

[CAP. 9GRUPOS86

(i,;,) para todo .g ..E r,g Y cada h-e H, existe algim .kCEH tal que, g - I 0k.; g = h 9 biep!c",g=go/L

Se demuestra que (1;) implica (i;.r Considerese clJ.f1Tquier h E H. POT (i1), lr:.-I)-' "hc~-I =g.o.h "$.-1= k EH, pues g - I E(Il; entonces; g -I 0k 0.$ = h como se pide, Hemos dernostrado el

y que

Perc (i') requicrc que

0; i para todo g_ E,t§.y cualquier h .E H\ g- I ~h o,g Eo H

para todo g E r;(i')

Como g-I E (fj si g E t§, (i) se puede rernplazar por

papa todo g E '!lgH = Hg(0

~UBGRUPOS INVARIA.NTESUri subgrupo H de un grupo f§ se llama subgrupo inoariante (tambien subgrupo distinguido, sub-

grupo normal 0 diuisor n'ormal) de .f# si .'

Todo grupo de orden prime es ciclico,

y

Teo(eina XIX.

T~i'emlJ XVI". Si t§ es un grupo: finitQ de orden n, entonces el orden de cualquier elemento a E. r,g.(es decir, el orden .del subgrupo ciclico generado por a) es divisor de n.

Como conseeuencia. se ticnen los

Sea .t§ lin grupo finite de orden n y sea Hun subgrupo de t§ 'de orden m. EI numero de clases di­ferentes Stla,derecha seg~n Hen C& (llarnado indice de Hen .(fj) es» con n = mt; por consiguiente:

Ted'rema XVII (Lagrange). Etlorden de cada subgrupo de un grupo finito t§ es divisor del orden de r;.

A51, pues, G = H!J H(2) UH(23) = H V 02-)H U (2,3,)H. Aqui Ia descomposicionde rIJ cs diferente segun $e utilicen la~ clases.a la,derecl:ia 0 las clases a la izquierda, segun H.

{(II, (1'~3:4)"n3.)(2'4), (1432), (i2)(34), (14.)(23), (13), (24)}

{(i'2) , (134), (1423}. (243), (34), (1324), (123,), (142»

{(23), (124), (13421, (14~.), (12,43,),(14), (132). (234)}

H(12)H

(-23)11'

y las difcrentes clases a la izquierda segun N, SOh

H {(r), (1234), (13i~24), (1'432), (12.i(34i, (N)(Za); (13), (24)}

H(l2) ((12), (.234), (1324), (143), (34), (1423), (132), (124»

H(23) «(;23), (1.34-),(124~), (142), (1?4~), (14), (123), (24S)}

(a.) Sea 0"= Z'el grupo aditjvo de IQs'enierO$y H eJ subgrupo de losenteros divisibles.por 5.La descornposicion:de "§ en .clasesa la derecha segun H consta de las cinco clases res'i­dualcs m6dul<H, esto es, H = {x: 51 x], HI = {x: 51 (x - i)),'H2 = {x: 51 (x - 2)},H,3 = (x: 51 (x - 3J{; Y H4_=.{x: 51 (x - 4).). No hay que distinguir entre clases ala derecha y cJases ·a' la izquierda p,l!cst6'qu~' <f1 es grupo abeJial'ro ..

(hi Sean ,W',= S4, Y"H = ~4 elsubgrupo de las perrnutaciones pares de S4" Entonces haysolamente dos- clases a la derecha (izquierda) de <f1 respcctode H, a saber, A. y el can­junto de las permutaeiones irnpares de S4' Aql!i tampoco hay distincion entre clases a'Ia derecha Y, a la izquierda, pero notese que S~no es abeliano.

(cl. -Sean "§ =. s. 'y If el grupo octal del Problema .9. Las difcrenies clases a Ja derecha segunH. son .

Ejemplo 9:

87g~uposrtAP·.. 9]

Ahora, para ·"1. el ereme.nto neufto de C!, (Hu;)(Ha) =: {Ha)(Hu} = H(}" de modo que.Hu = H es el ele.­ment9 neutro. d~ ~jH. Ppr ultimo, com,Q (Ha)(Ha-') = (il(J(' I)(ila) = Hu = H, S'e sigue que rtf/Hcontienela inversa Ha-l *toda Ha E:rtf/H.

El grupo rtf1H se llama grupo ed'Ci'enle fgrl'PO fac_tor:) de·@ pCYr H.

EntOnces,. (8a)(Hb) = Hta 0 b) s= fjJH

((Ha)(Hb)](Hc) = H[((Z o:b) 0 c] = H.~a.o (P.!' el] = (Ha) ['(Hq.)(He)]y

hlotaoh~)ob = h,o(hao<z»ob(h. 0 lt3) 0 (a o.b) = h40 (a 'l.b), ha"lL, E H

y en el Problema 16 se demuestra que esta eperacion es bien definida:Pero 'i/H es un grupo con respecto a la operacion que- se acaba de definir. Para demostrar esto

observarnos primero que . .

para todos los.Ha, Hb E rtfjH

mWPQs COCIENTES'Sea H un ~ubgrup~oinY~;ldant~.de lin~grupo r§, con la operacion d~ grupo 6 y denotese por rtf/H el

conjunte de clases laterales (d'iferentes) segun H en ·rtfi.es decir,

rtflH = {Ha., Hii.H«; ... -}

Se define el «producto» 'de pares' de estas clases POJ

Teorema X.XI. En (.pdbhornomorfismo de ungrupo '§ con ~peraci6n de grupo o' y elernento neutro uen un grupo 'rtf' de operacion de grupo Cl y elernento neutro u'; el subconjunto S deJos elementos de rtf que se aplican sebre' u'''es un SUQgrupb'iiiva.riante de Cd.

Este subgtup'o' invariante de rtf, asi definide se llama nudeb del homomorfismo.

. En el Ejemplc510(b.)se vio que tOGO grupo.s' tiene {u} y (§"rrii'smo como subgrupos invarianfes. Seles llama irrlp}!ppiIJJ.sal pl,t~0.(lut Qtr9s subgrupos invariantes q~:~,si IO's.hay, se llaman propios. Un gru­po .'§. que carece de subgrupos invariantes propios se llama simple.

EjemplQ 10: (a) Toc;lo subgrupo H <1; un '.gnfp.9. a?eliano:c;§' ~$ un ~}lbgrupo invariante de c;§'puesto que. g_ 0 Ii "" h Qg para ~tbdo g,E <'§ Y todo he H.

(q) TodQ:'gl'l.!po\<'§ tiene, por lo'rnenos, dos SJlQgrupbs irivarlantes: {M}, porque a 0 g = g Q apara todo ¥. E f§; y <'§ mismo ya que" para cualesquiera .g, h E <'§ se tiene

g.,ph=goh,.(g-'Qg)=(g,Qh~g-l)og=k<>g y k.=gohag-le<'§

(cj Si H es un subgrupo, de indice 2 de c;§'[vease Ej~mplo 9(b)), las «lases laterales generadaspor H.con.sisten en H Y'f§ _ If: Luego Ii es ulf,sJlb'grupo"ihy.arianu; de <'§.

(d) ., . rfZ._ { 2 3 12 _ } b {i. ~ '. lO'} {' 3 6 9}, ..,ara" - a, q, , a , ... , a _ usus su grlJp0S; 'If, a " a·, ... , a ., 'a. a •a , a •{a.•a4; a8} Y {a. a6} son irivariantes,

(c) Para el gtup,9 octal (Problema 9),ltl. p? ~~. t2}, {a.lif ..b. eb {~,p,p2, p3} son subgru­pos invariantes de' orden-c.en tanto Clue {a, p2} es un subgrupo invariante de orden 2.(Empleese 1a T~bla &-7p~ra comprobarlo.)

(/) El grupooctal P no es un subgrupoinvariante deS~ porque.para.o = (1234)ePy (12)ES4.se tiene (12)-1 p. (12) = (13~2)¢,P.

En el Problema .t5 se demuestra (It

Teorema XX. Si H -es un subgrupo de un grupo rtf y. si"_g-,l 0 h'1>,t .EH para todo s E rtf Y todohEN, entonces H es un subgrupo invariante de (§.

[cAp. 9GRUPOS88

f§. H. J. K. .... U = :11':se llama serie de composicionde '11 si cada elcmento, excepto el prirnero, es subgrupo invarianre maximal

:- de su precedente, Los grupos '!JIll, HIJ, .IlK •...• se diccn cntonccs los grupos cocientes de fa scrie ~C'

ff composicion.En el Problema 18 se demuestra

Teorema XXVII. Todo grupo finite tiene al menos una serie de composicion.

Para cualquier grupo 'lJ una sueesi6n de sus subgrupos

(a) A4 del Ejemplo 4(b) es un subgrupo invariante max~nal de S. porque es un subgrupod~ indice 2 eo S4' Asimisrno, ~u.p2, (J2. r.2} es un sul(lrupo invariantc maximal de A4.(Dcmuesircse. )

(b) _EI &r4po eielico '!J = {u. n, a'7-, ., .', n"} tienc los If = {li. (/2. (/4•... ;a'D} y K = {II. (I~,a6: a9} como subgrupos invariantcs maximales. Asimisnio. J '" {II. n". a~} es un sub­grupo invariante maximal de Hen tantoque l. = {II. (/'1 es subgrupo invariante rriaximaltamo de H como de K.

EjempJo 12:

Un subgrupo invariante H de un grupo f§ se llama maximal si no exisie ningun subgrupo invariantepropio K de '§ del cual H sea un subgrupo propio.

SERlE DE COMPOSICION

En los Problernas.Sd-S? se ride ul lector estudiar tales productos y. en particular, dernostrar el

Teorema XXVI. Si H Y K Son subgrupos invarianres de un grupo 'd, tambien 10 es flK.I

Sean H = {hI' h2' ... , h,} y K = {bl, bz •...• hpJ subgrupos de un grupo '§ y definase el «pro­ducto»

PRODUcrO DE SUBGRUPOS

EI anterior ejemplo ilustra el

Teorema XXU. Si H de orden m, es un subgrupo invariante de '§. de orden n, el grupo cociente ~(j/Hes de orden nlm.

De (Ha)(Hb) = Hia 0 b) E '!J/H obtenido antes. se sigue

Teorema xxm. Si H es un subgrupo invariante de un grupo '!J. la aplicacion

'lJ ~ '§/H: g -> Hg

es un homomorfismo de 'lJ sobre ,§/H.En el Problema 17 se dernuestra el

Teorema XXIV. Todo grupo cociente de un grupo dclic() es ciclico.

Dejamos como ejercicio la demostracion del

Teorema XXV. Si H cs un subgrupo invariante de un grupo '§ y si H es tarnbicn lin subgrupo de unsubgrupo K de '!J, entonces H es un subgrupo invariante de K.

(a) Si ~ es el grupo octal del Problema 9 y 11= lu. pl, b. e}, es f§/H = {fl. Hp}. Esta reopresentacioDdef§/H noes unica, desde luego. El lector dernostrara quc~/H = {H. Ifp~ ={H. HCT2} = {H, flt2} = {H. Hp}.

(b) Para los mismos q; y H = {u. pl}, seticne

Ejemplo 11:

89GRUPOSCAP. 9)

'el subconjunto de r& cuyos elementos:son lospr elementosdistintos (de~) que pertenecen a las c1asesde P.Supongase ahora que 'P es un subgrupo de indice t de S. Entonees n = prt Yalguno de ·105b, di­

gamos 6'J, es el eleniento neutro It de<§·.Se-sigue que X'es un subgrupo de.1ndiCezde \§ y que P = KIHporque

(i) Pes cerrado .con respecto a la multiplieacion de clases..luego K es cerradcecn-respecro a ia ope-racion de grupo sabre ~.

(Ii) La. ley asociajiva rige para t§ y, por tantd, para K.(iii) H E P, luego ue K.(iv) P contiene la inversa Hbj-'J de.cada clase Hb, E P.; Iuego K contiene la inversa de cada uno de

sus 'elementos.(v) K es de .orden pr; luego K es de Indice I en i§. \

Reciproeamente, supongase que K es un subgrupo de indiee I de ~ que contiene a H, UJ:} subgrupoinvariante de <,§, Entonces, por el Teorema XXV, H es un subgrupo invariante de K y asi P = KIH esde Indice t en S = ~IN.

Se ba demostrado el

Teorema XXIX. Sea H un subgrupo invariantede un ~rupo finito ~. Un conjunto P de las clases la­'terales de S =@/He.s un subgrupo de indice t de S si, y solamente si, K, el conjuntode. elementos del grupo que perrenecen a las clases laterales de P, es un subgrupo.de Iodice I de \§.

Supoiiiendo -ahora que b, = u en (2) y ,(3) arriba! se establece el

Teorema XXX.. Sean <'§ tin grupo de orderi n = rpt, K un subgrupo de orderr rp de r§ y H un sub­.grupo invariante de orden r de ambos Ky \§. Entonees K es un subgrupo invariantede (q si, y solamente si, P = K/H es un subgrupo invaria.nte de S = q;/H.

Para demostraci6n, vease Problema lb.

(3)K = in,UHb2.U ni,» ... Un»,

(2)

(1)S = (J/'B = .{Ha.l, Hc«, Haa, ... , Has}, a, E (j

donde, por eOJI)oclidad,se ha bechQ (2J = u, Sea, adernas,

P ::::;{JIbl, Hb2, H/J'3, ' . " libp}un subconjunto eualquiera de S y designese por

En el Problema.19 se ilustra el

Teorema ,<XVIII (teorema de JQrdim~Holder). En todo grupo ftnito con .9'istirit<;i~series de composi­cion, todas las series son de.la misma longitud, esdecir, tienen igual numero de ele­mentos. Ademas, los grupos cocientes para cualesquiera dos 'Seriesde composicionse pueden apliear biyectivamente entre si, de inotiQ.que los grupos cocientes corres­pondientes so~ isomorfos.

Antes de intentar ul'!a demostracion del Teorema XXViII (vease Problema ~3) sera preciso exa­minar ciertas relaciones que exi~teh entre los subgrupos de un grupo r& y los. subgrupos de .sus gruposcocientes, Sea, pues, l,{ de orden i" un subgrupo invariante de un grupo r§. de, orden n y esceibase: '

S.j., A4, {(I), .0,\ U2~,,2}, ((I.), p~t,U = f{1)}" Ii,Es cada elemento a'e' la .serie de composicion un subgrupo invariante de ?§?

(c) Para el grupo ciclico del Ejernplo 12(h), hay Jres!,erjes, de composicion: (i] .~, H, J; V,tii) ~, 1(, L, U, (iii)'t§, 71, L, (J. i..Estodo clemente de eada serie de composicion un sub-grupo de f§? .

la) EIgr\1P·~ciclic9~= .{u,~, a~"ft3 .a~} ti~ne$olamet_iteunaset.iedecomposicipn~~, U= {u}.(h) Una serie de composicion de ~ = 'S.. es

Ejemplo 13:

[CAP. 9GRUPOS90

4. Demostrar: Si 01 b E ~> las eeuaciones a»» = b y yea = b tienen solucion unica.

Se'qbtielre-_facilmerite,.:.= a- J ~ b~yy = boa-I qomb.soluGjon~s.Para.probar-ta uiijd(j'ad."~upOMainosque x"y.y' sean otras soluciones, Bntonces a·o.'x.= 0 <>.x':yasimismo ? ¢ a =,y' C (.I, dedonde, por elTeorema I, x = x'y y=y'. -,

Sea a.? b·= a Q. c. Operando.a Ja Izquierda pelf 0- I f= (f, se tiene 0 -I Q (0 Q b) = a- 1e (a 0d. Por Ia ley aso­ciativa, (trl a a)" q = (0-1 a 'a}n c; IjJcgo';J d b = 110 c:y resulta b = ~.Del mismo modo,'(b ad) <) a,-1 = (C'o 0) «a" I

se reduct: a b = c.

'i3" Demostrar: Si a, p, C,E:r§,. a e b = (2'<> C (tambien b» a = C <J a) implica b. = c.

De: la Tabla' ~-2 del Ejemplo 12, Capitulo' 5',pagina,5~..se saca que e~t~s«lases,residuales no forman grupocon respecto ala rnultiplicacion.

t. "Forman grupe-respectea la multiplicaeion las cIases residuales modulo 4, excluyendo la clase O?

se deduce claramente que Z/(3.) ·co.nStlll.lyeun grupocon respecto a iii adicion, E.Ielemento neutro-.es0 y 10.5sirne­tricosde 0, I, 2.son, respectivarnente, 0,:2, I,Tambieil se ve 'que si bien estas ~ses residuales no forman grupocon respecto 11la multiplicaci6~l sise :x?luye la clase 0, sl 10 forman. Aqu! eLel.~cnto neutro es 1 y qada U1)Odelos elementos 1, 2 es :.50 propio simeirico ..

-l' 0 1 .:2 0 1 2

0 (j 2 0 0 0 '0

2 Q 0 22 2 .0 1 2 0 2 1

Tabla 9·5 Tabla 9-(,

I. EI conjiinto de clases residuales '2/(3), modulo 3, l.fol'ma grupo con respecto a la adici6nZ~ i.conrespecto a la muitiplicacipn?' . '

De las tabla's de adicion Ymultiplicacion pataZ/(3), en.las.que [I)J, [I], [2] so-han remplazado por Q, 1,2,

Problemas resueltos

Teorema XXXI. SeanR y K subgrupos-invariantes de-I~>'Sieb.d~Hsubgrupo invariante deKl YseanP = T}.!H y S';; '1J1H, Eht9ri~~S.It;lsgrupos cocientes SIP y rI/K son isomorfos.

Para dernostracion, vease Problema 21.

Teorema XXXII.' Si II es un subgrupo invariante maximal de un grupo rI, '§.IH cs simple y reeipro­camente.

TC.9remaxxxm Sean H y K subgrupos Invariantes maximales diferentes all un grupo ~(j.Entonces,

(4) D = H n If. es 11U subgrupo invariante de 'fJ, Y(b) HID es isornorfo a 'fJ/I(, y KID es isomorfo- a '1J/H.

Para demostracion, vease Problema 22,

91GRlJRQS~~P. 9]

, //-, I /'1/

A I- - - /-¥'O - - B/ I ,

/ I -,L/ I "1 D 2

Fig. 9.1

Considerese el cuadrado (Fig. 9·1) con los vertices numerados I.2. 3, 4; ira­cense las diagonales 103 Y 204. las paralelas medias AOS y COD.Vamos a exarninartodos los rnovirnientos rigidos (rotaciones en el plano en torno a 0 yen el espacio entome a las diagonales'y las paralelas medias) tales que cl cuadrado parezca el mis­rno que antes despues del movirniento.

Denotese. por p la rotacion en sentido contrario a las .agujas del reloj del cua­drado en torno a 0 de 90·, Suoefecto es llevar 1 a .2. 2 a 3, 3 a 4 y 4,a I; asi. pues.p = (I234). Ahora bien, p2 = p. p = (13)(:24)es una rotacion de l80° en torno

EI subconjunto {u = (1), p, p2, p3, 0'2, t2, b = (13), e = (24)} de S4 es un grupo (vease la Tabla 9·7)que se llama grupo octal de un cuadrado 0. grupo diedrico, Vamos a demostrar que este grupo de per­mutaciones se puede obtener por propiedades de sirnetria de un cuadrado.

4 ..-- __ Cr-_-..3

9.

Como ambos am y c/ E '§' se siguc que or E '§'. Pero como r < m. r = O. Asi, pues, k = mq; todo.elemento de f§'es de la: forma (a'"'f y '§ es el grupo clclico- generado por ant.

y, por tanto.

tenemos

O"'r<l1lk = mq + r,

8. Demostrar: Todo subgrupo de un grupo ciclicc es un grupo clclico.

Sea f§' un subgrupo de un grupo ciclico '§ de generador Q. Sup6ngase que In es el minimo entero positivo parael eua! a'"E'§'. Siendo entonces todo elernento de '§. un elcmento de '§. es de la forma c/, k E Z. Escribiendo

Sean a y b elementos de la interseccion y. por tanto, elementos de cada uno de los subgrupos que forman S,Por el Teorema VIlI, a-lob pertenecc a cada subgrupo y. por consiguiente, a la interseccion. Asi, pues, la in­terseccion es un subgrupo de '§.

7. Demostrar: Si S es un conjunto de subgrupos de un grupo <:', 1a interseccion de estos subgrupos estarnbien un subgrupo de ~.

Supongase que f§' es un subgrupo de '§. Si a, b € f§', entonces a-I e '§' y. por la ley de clausura, lam bien 10es a-lob.

Reciprocamente, supongase que f§' es un subconjunto no vacic de '§ para el eual a- lob E'§' siernpre quea,b E'§'. Como entonces a-I. a = IIE~", es u. a-l = a-I E'§' Y todo elemento de.f§' tiene un inverso en '§'.

Por ultimo, para eualcsquiera a, b € f§', (a-I )"'1 0b = a 0 b E '§'. Y se cumple la ley de clausura. Asi que '§' es ungrupo y. por tanto, un subgrupo de '§.

6. Demostrar: Un subconjunto no. vacio ~' de un grupo ~ es un subgrupo. de'~ si, y solarnente si,para cualesquiera a,b E <'§', a-I•o b E <'§'.

Los otros casos se dejan al lector.

si B :!!: rsi B < r

(a-104-lo",oa-I)0(a040"'Oa)amOaft = a-rOa' = (a-1)'oas

Si m :: -r y n = 5, de donde r y s son enteros positives,

m factores n factores m +n factores~~~.amOa" = (aoao",oa)o(aoao",oa) = aoao· .... oa = am+.

Consideremos los casos segun que m y 'n sean positives, de distinto signo 0 uno de ellos nulo. Si ;" y n sonpositives,

s. Demostrar: Para todo a E~, a'" ° if = a'"tn con m, n E~.

[CAP. 9GRUPOS92

Considerese el grupo ciclico infinite q; generado por a y sea la aplicaci6nn=s o", n e Z

de Z en~. Esta aplicacion es cvidentemente sobreyectiva y, adernas, inyectiva, pues si para s > / se tuviera s.-. a'YI....0' con 0$ = d, entonces a'-' = u y q; seria finite..Por ultimo, S + / ....0'+' = a$ • a. y la aplicacion es unisomorfismo.

11. Demostrar: La aplicacion Z -+ Z/{II): m -+ [m] es un homomorfismo del grupo aditivo Z sobreel grupo aditivo Z/{n) de los enteros modulo n.

Como [m] = [r] siempre que m = IIq + r, 0",;, r < n, es evidentc que la aplicacion no es inyectiva. Noobstante, todo m e Z tiene UDaimagen (mica eo el conjunto {[OJ,[I], [2], ... , [n - I]} de las clases residua­les m6dulo n, y todo elemento de esic ultimo conjunto es imagen. Asimismo, si o'_ [rJ y b -+ [s], entonceso + b -+ [rJ + [s] = [/]]a c1ase residual modulo n de c = f1 + b. De modo que las operaciones de grupo sepreservan y la aplicacion es un homomorfismo de Z sobre 2/(n).

12. Demostrar que en un isomorfismo entre dos grupos rJ YrJ' los elementos neutros se correspondeny si x E rJ Y x' E r§' se corresponden, 10 mismo ocurre con sus inversos..

Denotesc el elemento neutro de ~ por u y el de '1' por u', Supongase ahora que u -+ u' y que para x + u,x -> x', Entonces.x = u 0 x -+ u' c x' = x' = u' c x',de donde, por la ley de cancelacion, v' = u' y tenemosJa primera parte del teorema.

Para la segunda parte, supongase x -+ x' YX-I -+ s: Entonccs, u ~ x. x" I -+ x' CJ v' = u' = x' c (x't I

de modo que y' = (x')" 1.

13. Demostrar: Todo grupo ciclico de orden infinite es isomorfo al grupo aditivo Z.

10, Un grupo de permutacion de n simbolos se dice regular si cada uno de sus elementos excepto elneutro mueve todos los n simbolos. Hallar los grupos de permutacion regulates de 4 simbolos.

Utilizando el Ejefnplo 4, los grupos que se piden son:

(4) terminese la tabla,

Para formar la tabla(1) llenar la prirnera fila y la prime~a columna y cornpletese lit parte superior izquierda de'4 x 4 easitlas.

(2) cornpletese la segunda fila, (p 0 ,,2 = (1234) 0 (14)(23) = (13) = b, ... )

y luego la tercera y cuarta filas,(p2 0 a2 = p 0 (p 0,,2) = p 0 b = .,.2, ••• )

(3) completese la segunda columna y luego la tereera y cuarta columnas,

(a2 0 p2 = (a2 0 p) 0 p = eo p =.,.2, ... )

La tablade operacion para este grupo cs

u P 1 p~ . q2· .,.2 b ep

u 1t P p2 p3 ,,2 '7':2- b Cp2 p3 It b 2 172P P 'T

p2 p2 p~ U P '1'2 172 e bp3 p3 It P p2 e b 172 .,.2

172 ,,2 e '1'2 b U p2 p3 P,.2 ,.2 b 172 e p2 tl P p3

b b ,,2 C '1'2 P p3 u p2

e e .,.2 b 172 3 P p2 Up

Tabla 9-7

a 0, pl = (1432) es una rotacion de 2700 y p. ='(1) = u es una rotacion en torno a 0 de 360° 0 de 0'. Lasrotaciones de 180c en torno a los ejes medios AOB y COD dan lugar, respectivamente, a tf2 = (14)(23) Ya r2 =(12)(34) mientras que las rotaciones de 180· en torno a las diagonales 103 y 204 dan lugar a e = (24) Y ab = (13).

93GRUPOSCAP. 9]

P,iJ<;stoque tooo elemel),toq,e'''§jH'es 9~_)a. fotnia Hal para algun (iE "§ YHd = (HaY. (demueslrese), se sigue,que todo .elemento de ,&jH es potencia de,!-b= Ha. Luego G{H es ciclico.

dende H es un subgrupo invariante de ~, es bien definide.

Ante todo, demostrarnos: 'Para cualesquiera x, x' E,"§" es Hx' = Hx si, y solamente si, x' = vox paraalgun [J E H. Supongase qut,Rx' = Hx. E,ntonGeLt'.,EHx requiere.que x' = Iio;q~ara algun P,E H. Reciproca­mente. si x' = vox ton V Elf; entonces Hx' = H(.v 0 x) = (Hvlx = Hx.

Sean,ahoraHafy Hb' otras representacionesde Ha y Hb, respectivafnente.con a' = a o'r,b' = b» sy r, S EH.En (/{a')(Hb') = {[hi 0 (a" r)] 0 [h1 0 (b o,s)] ; hi,. hz E If} se tiene, mediante (i~),pagina 87,

[711" (a?1')] ;, (h2 Q (0 0 s)j (Tii,o,a) o (r ° li2) " (b 0 s)(hla,a) oh-;),o (tob) (k'toa) o'(haot) ° b(hi 0 a') o. (h,,:o 0,) pero h~,~;h4 E H

Entonces. (Ha'j(HI;l) = (H.a)(Hb)

yeJ producto (HaJ(Hb) esta bien definido

17. Denrostrar: Todo grupo cociente de, un -grupo ~(cljc,o.(§ e.s ciclico,Sea H un suggrupo c1ialquiera (irlvariante) del gnipo ciciico "§ = {'u. a. aZ, ••• ,d} y considerese el,ho­

momorfismo

J>.aratodo .Ha; FIb E (§jH

16'. Demostrar: 'EI producto de. elases. laterales

(Ha)(Hb) = {(h;. 0 a) 9 (h2" b): Ii:f;hz. ,E-H},

y (a) es un isomorfismo de ~ sobre P. Notese que Pes, regular,

15. Demostrar: En cualquier homomorflsmo de un .grupo (§ con operacion de grupo o Yelemento neu­teo u en un grupo ~' de operaoion de grupo 0 y. elemento neutro u', el subconjunto S de los ele­mentos de :(§ que se apliean, sobre u', es un subgrupo' invariante de (§,

'Como consecuencias del TeoreTtla XIlI, se tienen

(a) u ->,u'; Iuego, S no es vacio.Cb) Si a'ES, es a"J --> (ui)-J ='u:; fuego'. a-I E8:(0) Si~.b6S,esa-1 ob -+:'u~CI u' =u''lltiego. a-I o be S.As) 'que, S es un. subgrupo de, "1.

Para cualesquiera a.E S_y g E '&,

~-I oaog-+,«()-I CI U' C1:g: = u'

de' tal modo que g-,I 00'0 g ES. Y por el Teorerna ;X.X,'S es un subgrupoinvariarite de '§_, como se afirmaba,

(U, )

UiOUj

Si OJ = s, C1Us' luego Ut <:-> p, 0 P., de modo que

Ut ~ (Ui~igJ0 (, ~;U.)= (Ui ~g,) ° (Uj~;r~ y.)

i= 1,2,3~""nOj~' p.('.(a)

LQSelementos de Ja segunda fila de p, son los,de Ja columna encabezada por gj -en la tabla de .operacion de "1y, por tanto, constituyen una permutacion de los elementos que 'ericabezan las filas. Asi, pues,P = {PI> Pz» P» ' , , ,Po} es un subconjunto de los elementos del grupo' simetrico S. de n simbolos. Sedeja al lector demostrar que P cumpie las condiciones delTeorerna VIIp_ara ser un grupo. Considerese ahorala 'biyeccion

(j = 1,2,3, ... ,n)a; ) ,, CJ~.,U": UJ

_ ( Ur \ _U; CJ u.dPi

14. Demostrar : Todo grupo. finite de orden n es isomorfo a un grupo €Iepermutaoion de n simbolos.

'Sea (g,= tgp 8'2,.g3' ' .. ,g~l con la operaeion de grupo Cl )( d~tlnase

94

(

,

Asi, pues, K es un subgrupo invariante de f§.

Reciprocamente. supongase que X es un subgrupo invariante de f§. Entonces, con solo invertir los pasosanteriores, se concluye que P es un subgrupo invariante de S.

gK= Kg

(iv)

y

(v)

Ademas, (Hg)(Hb.;) = (Hbj)(Hg) = CHg)(Hb.) impliea Hb, = fib •. Entonces,

(iii) Hb, = (Hg- I)(Hbj)(Hg) = s:' (Hbj)g

(Hg)(Hhd = (Hbj)(Hg)(ii)

Asi, pues. para todo Hb, E P existe Hb, E P tal que

Scan g un elemento cualquiera de W y K = (bL, bz, ... ,b,.).Sup6ngase que P es un subgrupo invariante de S. Para Hg E S, se tiene

(Hg)P = P(Hg)(i)

20. Demostrar: Sean r§ un grupo de orden n = rpt; K un subgrupo de r§ de orden rp y H un subgrupoinvariante de orden r tanto de K como de <§. Entonces, K es un subgrupo invariante de <'§ si, y solosi, P = K/H es subgrupo invariante de S = <§/H.

pQ;j~ <-'> No9Ua4~ <-'> Nal1

K04 +-+ MoJa2 +-+ UO:IIIHa +-+ Pais

U-NK-MJ-UH-I'

Entonces en la biyeccion f§IH <-+ NIP, HIJ .... PIU, liN .....'1IM, KIU +-+ MIN. los grupos cocientes correspon­dientes son isomorfos por las aplieaciones

(jIM - {M, Mu,M«2:, MIN = {N, No", No6, Na9, Na12}. NIP = {P,p(l.I~}. PIU = {U, Ua~n}y

Los grupos cocicnrcs son:C;IH -= {Ii, /fa}. IiIJ: {.J, Ja2}, JIK = U<. Ka4, K(I~}. KIU = {U, Ual2, Ua.-24,[;1a:IO, Ua48}

y

19. 'Considerense dos series de composici6n del grupo cicllco de orden 60: (j' = {u., n, a2, ' .. , a59}:

q,H _ {u,a2,a4, ... ,a~s}. J = {IL,a\a6, ... ,a',G}, K = {u.aI2,a2I,a36,a4"}, U = (u}

(i) Sup6ngase que '1 cs simple: entonces '1, U es unaserie de composicion.

(ii) Sup6ngase que f§ no es simple: eutonces existe un subgrupo invariante H '" '1, U de f§. Si If es maximalen '1y U es maximal en H, entonees f§, If. U es una serie de cornposicion. Sup6ngase que H no es maxi­mal en f§ pero que U si es maximal en H; hay entonces un subgrupo invariante K de f§ tal que H es sub­grupo invuriante de K. Si K es maximal eo f§ y H.e~maximal en K, enionces '1.K. H. U es una serie de com­posici6n. Supengase ahora que H es maximal ens', pero que Uno es maximal en H; existe entonces unsubgrupo invariante J de H. Si J es maximal en H y U es maximal en J, entonces f§, H,J, U es una seriede cornposicion. Supongase ahora que H no es maxima! en 'I y que Uno es maximal en H: entonces ...Como '1 es finite. hay solamente un nurnero finito de subgrupos y, por ultimo, debe llegarse a una serie decomposicion.

18. Demostrar: Todo grupo finite <§ tiene al menos una serie de composicion.

GRUPQS 95CAP. 9]

dos series de composicion distintas de <§. Ahora bien, el teorema es cierto para todo grupo de orden uno. Acep­temos que es cierto para todos los grupos de orden menor que el de f§. Consideramos dos casos:

(i) HI = KI. Despues de guitar ~ de (a) y (h) quedan dos series de composicion de HI para las cuales, por hi­potesis, el teorema se verifiea. Oesde luego, tambien seguira verificindose cuando ~ se pone en cada una.

(a)

(b)

Sea

(Dhi)(DhJ) = D(hjohj) +-+ K(h;o"i) = (Khi)(Khi)

y HID es isomorfoa f§1K.Se deja al lector la dernostracion de que K/D y f§IR son isornorfos.

23. Demostrar: Para un grupo finito con distintas series de composicion, todas las series son de iguallongitud, es decir, ·tienen el mismo numero de elementos. Ademas, 16S grupos cocientes para cua­lesquiera pares de series de composicion pueden ponerse en correspondencia biunivoca de modoque los grupos eocientes correspondientes sean isomorfos.

(i=1.2,3, ... ,n)DII, +-+ Kh,

Por el Teorerna XXVI, HK = KH es un subgrupo de fII. Entonces, como H es un subgrupo propio de HKy. por hipotesis, es :un subgrupo invariante maximal de <§, se sigue que HK - f§.

De (i) y (ii) se obtiene

HID = {Dh,. Dh2•••• ,Dh.} Y f§IK = {KhI' Kh2, ••• ,KlI.}Por la aplicacion biyectiva

KH : Kh, U Kh2 U ... u.Kh"(ii)

entonces, como K(Dh,) = (KD)h, = Khr• (i.Por que?)IIiER(i)

(b) Por el Teorema XXV, D es un subgrupo invariante de Hyde N.. Suponiendo

(a) Por el Teorerna x.. D es un subgrupo de '&. Como H y K son subgrupos invariantes de f§. tenemos para cadade D y todo ge<§.

g - 1 e d P g e H, g -1 ° dog E K Y as! g - 1 0 d ~g e D

Asi, pues, para todo g e fII, g-1 Dg = D Y D es un subgrupo invariante de '&.

22. Demostrar: Sean H y K subgrupos invariantes maximales distintos de un grupo ,C§. Entonces,(a) D = H () K es un subgrupo invariante de r:§ y (b) H/D es isomorfo a C§/K y K/D es isomorfoa C§/H.

S/I' = {P(Hc,), PtHC2), ... , P(Rc,)}

(jl/( ~ SIP: Kc, +-+ P(HcilLa aplicacion pedida es

Pero los elementos de '1J que constituyen el subgrupo K por la particion en clases laterales segun H, forman P.De modo que cada c. se encuentra en una, y solo una, de las Harr Por tanto, reordenando Jas clases de SIP sifuera neeesario, podemos escribir

Por el Teorema XXX, F-es un subgrupo invariante de S; asi que P haee una particion de S en I elases lateralesde modo que se puede escribir

Ci E (j

Sean n = rpt, rp, /' los respectivos ordenes de ,&, K, H. Entonces K es un subgrupo invariante de indice Ien f§ y definiendo

21. Demostrar: Sean H y K subgrupos invariantes de C§ con H .subgrupo invariante de K y seanP = K/H Y S = ~/H. Entonces los grupos cocientcs S/P y C§/K son isomorfos.

[CAP. 9GRUPOS·96

32. Cornpletar la demostracion del Teorerna YI. p{tgloaJi'3.

3'1. Demostrar; (l-m= (am)-I.m·EZ.

Jtl. Demostrar el Teorema Y·.pagina 83.

-29, Dernostrar el Teorem~ IV. R<igiha 83;.Sugerencia; Considerese (Il 0 b) r, ((/-' 0 (J -') =.a 0 (h «b - J ) 0,(1- ,

;28. Dernostrar el Teorerna ill, i'agii\~ 83.

Sugercncia: (/~ I 'oX = 1/ tiene x ='a' y X =. (a-' )-1 como soluciones ..

11. (l. "u. u. a b e

a if,

b b c

0 .1; b a

Tabla 9-8

1'7: GOnSJderese el sistema de 'cocrdenadas reciangulares (:1) el ,~sPI'~io. Denotese,Ror a. b. c, r~spectivl\m~n~e;la.~rotaciones en ..sentido .de l\ls.agujas del relojde f80° en. torno a los cIc's X, Y. Z Y por 11 la p6sici6n original. Completerla tabla adjunta para que .se vea -que I'll.a.b, e} es un gru.po .. el grupocuaternario de Klein.

26. i.Cua,le.~de los siguicnies subconjuntos de Z/( 13-)formangrupo con respecto a la molriplicacion: (a) {[ 1J, [12]};(b) ([I), [2]. [4]. [63, C8]i [10.],[i2Jl; Ie) ([I], [5J, [8]. Cf2W Resj). (aI, \d.

2.5. Dcmostrar que I!!s clases residuales "9 nulas mQdl)',o.p forman un gr6po con respecto a la multiplicacion si, ys61O,.si.: P es prime,

2't. Cuales de Iq~ siguierues c~)njuntos Iorrnan grupo. con respecto a la operacion que se indica;(a) S = {x: xeZ ...x < q}; adicion(b) S = {§x: x eZ}; adicion(c) S = {x: x E Z, x es unico}: multiplicaeion(d) Las n: raiees 'n-simas de I: multiplieacionte) S =: 1-'2-, -1, I. 21: multiplicacion(f) S= {I, -1; i., -.i}, mLilfiplicaci6n(g) EI conjuruo de clases residuales m; adicion(h) S = ([a]: [ciJeZ/.Lrn), .(1, InJ = 11; 111U1tiplita:6Qn(i) S= {7: ZEC~ Izl = I}; mllltip'!jc~ci6nResp, (al, (c). (e), tr9. 10 son.

Problemas propuestos

los grup0s,€ocjen{es'c~rre$pohdielite:~son isomb.'rfos ..esdecrr, 't?/H, Y '<-tiD, NtfD y'r§/K" DID, y DjD" ... '.son isomorfos,

Per.o pbt (i) losgruposcccicntes definidos por (rib (f/.) [tambieb.por (b) y (b')J 'se pueden poner en corres­pondencia biunivoca 0 biyeccion, de modo que 10$grupos eocientes correspondientes sean isomorfos. Asi, pues,losgr.upo.s' cocicritcs deflnidos POI'.(a) v (b.j son isoli1.orfos en dert6 orden, cO'rna se reilue~ia. .

Dc_.I/D, ,

'f;j!RI,. ?111D., DIDI, D,ID~, .DjD'l'

.K/D, GIK,. DIDI• D.II'[)2, 1)2/°3'

y

\ Si .se escribcn los gr!l!?OS.cocientes en el ordcn

(0') G.HI• D, f)I', i5:!, 6". .... D, UY

Ul') D, D~,q. te; DI• D'.!) ., ., D, u

(ii) H,·f· K,. Eseribase D = Hj nK,. Cerno '!fIH, (ta.rhbl~ri ~1lK,) es.simple y, por el Tcorema XXXIII,es isomorfo a KdD (tarnbien f§IK, ()S iS0I1H,lr.foa HJDl entonces KilD (y-tambicn H,/D) es simple. LuegoD··es el subgrupo invarianre maximal de' ambos ''H, y K, Y·.asf"(gticne las ':series de composicion

976 Rl1PQS

57. Demostrar el Teorcma XXV. pagina 89.

44. Demostrar la segunda parte del Teorema XV. pagina 86. Sugerencia: 'emplear [m] _ 0"',

45. Demosfrar Queel grupo cuatemario de Klein es isomorfo al subgrupo P = {(I), (12)(34),(13)(24),(14)(23)}de S•.

46. Demostrar Que el grupo del Ejemplo 7 es isomorfo al grupo de permutacion

P = ((I), (12)(31»(4(;), 1l4)r25)(36), (13)(2(i)\45), (156)(243), {1(5)(234l}

de seis slmbolos.47. Demostrar Que los elementos no nulos de Z/(13). con respecto a la multiplicacion, forman un grupo ciclico iso­

morfo al grupo aditivo 2/(12). Hallar todos los isomorfismos entre los dos grupos.

48. Demostrar: Losunicos grupos de orden 4 son el grupo ciclico de orden 4 y el grupo cuatemario de Klein.Sugerencia: '§ = {u, a, b, r} 0 bien tiene un elemento de orden 4 0 todos sus elementos excepto U tienen orden 2.En el ultimo caso, a 0b 4= a, b. U por las leyes de cancelacion,

49. Sea S un subgrupo de un grupo fJ y deflnase T = {x~.x e fJ, Sx ~ xS}. Dernostrar QueT es un subgrupo de '§.

SO. Demostrar : Dos clases a la derecha Ha y Hb segun un subgrupo H de un grupo '§ son identicas si, ysolo si, ab-' e H.

51. Demostrar : a e Hb implica Ha = Hb donde H es un subgrupo de ~ y a, be '(q.

52. Enumerar todas las clases del subgrupo {(I), (J2)(34)} en el grupo octal.

53. Formar la tabla de operacion para el grupo simetrico S3 de ires simbolos. Enumerar sus subgrupos propios yobtener las clases a la derecha y a la izquierda para cada uno. i.E' S3 simple?

54, Obtener el grupo sirnetrico del Problema 53 utilizando las propiedades de simetrla de un triangulo equilatero,

55. Obtener el subgrupo {u. p2, a1, t1} de S4 utilizando las propiedades de sirnetria de un rectangulo (no cuadrado).

56. Obtener el grupo alternante A4 de S4 utilizando las propiedades de simetria del tetraedro regular.

(c) '~(l), (12), (34), (12)(34), (13)(24), (14)(23), (1423), (1324))(d) ~(I),112).134), 112Wl4)}

Resp, (a) «1),113),114),1:l4}.1134),(143)~(h) {(I), (l3)}

43. Determinar el subconjunto de S. Que deja (a) el elemento 2 invariante, (b) los elementos 2 y 4 invariantes,(e) X,X2 + :CJX. invariante, (d) X,X2 + X3 + x .. invariante.

40. Verificar Queel subconjunto ..4. de todas las permutaciones pares de S. forma un subgrupo de Sa- Demostrar Quecarla elemento de A. deja invariante el polinomio del Problema 12, Capitulo 2, pagina 27.

41. Demostrar Que el conjunto {x: x e Z, 51 x} es un subgrupo del grupo -aditivo Z.

42. Formar una tabla de .operacion para investigar si (I), (l2)(34), (13)(24), (14)(23) es un grupo de permutacionregular de cuatro simbolos.

39. Averiguar el orden de los elementos (a) (123), (b) (1432). (c) (l2)(34) de S".Resp, (a) 3, (b) 4, (cl 2.

es un subgrupo de '§.

37. Demostrar : Todo subgrupo propio de un grupo abeliano es abeliano. Establecer la reciproca y demostrar conun ejemplo que es falsa.

38. Demostrar: 81 orden de a e '§ es ei orden del subgrupo clclico generado por a.,

33. Demostrar los Teoremas.Ix y XI de ta pagina '84 y el Teorerna XIV de la pagina 85.

34. Dernostrar: Todo subgrupo f'J' de un grupo '"f§ tiene el elemento neutro it de '(q, como elemento neutro.

35. Enumerar todos los subgrupos propios del grupo aditivo Z/(18).

36. Sean '§ un grupo con respecto a ~ y a un elemento cualquiera de '§. Demostrar Que

H = {x: xe'§, x e a = aox}

[CAP. 9~GRUPOS98

70.. Demo.strar que S4, A4, iU,.IP, (12, 'r~), {II. (12}" ~ e~ l!na serie de eompoS'ieioll de S4' Hallar otra adcrmis de la delEjemplo l'3(b), pagina 90. ~

e_ Para rj y"§' del Problema 6&,definase-L' = {u} y U' =. {u'}. Asilllismo;.~~ = ~~x U' ySi' = u x "S. Demostrar:

(a! ..4 '! 'l' son subgrupos invariantes de j.lb)' J/r§ es isornorfo a U x'~' y Jliff-' a .'1 x u:(e) ~ y (g' tienen solamente (u, u') en comu]),(d) Todo elemento de ~ conmuta· c.on todo elemento de @'.(e/ TO-do eJementcl de .T se p.uede.exprcSar oe I;naner.a (111ic;,a.como produeto 'de~un ·elem~nto ae ~ pm .ufi''ele­

mento de <§'.

son isomorfismos.

S""+'!I:: (g,u')~.g y T-'§'; (l1,g')-+j(

(a) Demostrar ql!~J es un grupo respec~ode Ia -operacion definida en (i).(q) D~~mosttar que S = {,(g,V'):.g ..e rg.:) y T = {(II, s'v.s' €iW} son subgrupos de J.(c) Demostrar q uc las aplicacioncs

(1(,g')(h, h') = (g" Ii,g' CI h')(i)

b'efinase. el «producto»- de pares de elementos (;.;,g~~.(Il, h') e J por

,J = rg x ~IJ'= {(g.,g'): g€i '!I, g! to~'l

68. Sean r§ -con operacion de :grupo " y clemente ncutro II, X~, con ··operaci6n de .grupo C) y elemento ncuiro II'

do's grupos <jades y (0~mesc . .

61. Demostrar : Si H .y K soh subgrupos invarlantes de ~~, tarnbicn 10:es HK.

Qi: Demostrar: Si H = {Itt, hz •... , It;} y K = {bi> b2• , •• 1 bpI son subgrupos de un grupo rg. y uno de ellos esinvariante, entonces (a) n« =~KH: (b) H'K cs un subgrupo de ~;:' . .

64. Establecer un homomorfismo del grupo octal sabre {u..·a}.

65. 5i.H = {a, a, cc2:}y,k = (u; Pr:p2J son. subgrupos de S4' dernostrartque HI( + KU. Utilizar HI\. y «n para ve­rificar q~c<, en general, el.p~odUj;tP· 9.~dos .subgrupos de un ,grupo ~. no es un sl:l>bg[up\~de ~tj..

63. Deinostrar: En un homomorfisrrio de ungrupo (g sobre-un grupo '1'; sea H eI conjunto de todos los elementosde ~ que se aplican en u' €i <dl• Entonces el grupo cociente de rg/H es isomorfo a '1f',

I (I),~2,';2,.1'2 -> u,'. 0' {32 Y 82 -+ a , ~

62. Demostrar que la aplicacion I' " define un homomorfismo de .114 sobre '!I = {u,·a.a2l. N6te-... ~, fJ, ')'2. ~ .... 0.2

se que el subconjunto de A4 que se .aplica sobre el elemento neutro de rg' escun subgrupo. invariante d.c,Aa-

~9. Utilizar K,,= /{Il, p2,.(12, or'}, subgrupo, ipvar(irt_\e Oe:.84 y H = tv, a'}, subgrupo invariante.de K~para .dcmos­trar que un subgrupo invariante propio deun subgrupoinvariante propio de un grupo ~"no es neccsariamenteun s~bgrupo -invariante de ~. .

60. Demostrar: EI grup'o aditivo Z/(rn) es un ~upo cociente del 'grupo aditivo Z.

6£. Dernostrar: Si if es un subgrupo invarianre de un grupo e. el grupo cociente (if!H cs olclico si el indice de H en ~es prime.

SR. Demostrar que K-= {u,~p2, (12,'(2} es un 5ubgbJPO invariante.de .')4' Obtener S4/K y escriblr complete el homo­morfismo 84. -> S'4/K:, x -> Kx. .RelP~e:S(ap'iirCidl. U"':' K, M) .....KfI'2.), (13) ~ K(ll), .....• 04) .....'K(D). q4) ~ K(l2), ....

99

75. 'e(lnS.trilii' las tablas dcoperacion para, elida uno de los groPo.s no. conmutativos de 6.elemenlo.s.

76. Consider-esc S= {I!; a, ti2• a'; b. ab, aib, if!>}' con q'" = u. Vetificar:.(a) Si b2 = u. entonces 0. bien ba = ab 0. bien ba = alb ..Escribanselas tablas de operacion A8 cuando ba = ab

yJ/s cuando, (j'(l = a"_b 'de los grupos que resultan. .(b) Si b1 = a o b? "'" 93".les. IVupes Clue resultan .sPn isernerfos a C8• el' grupo ciclico de arden 8..('c.) Si 1/ = il2, entonees 0. bien ba = ab 0. bien ba·= a~b. Escribanse lastablas de operacion A's, cuando ba = abj Qs cuando IJa.= a3h.

(ei.) As Y >48, son. iso.rt]dtfos.(t;) Ds. eS is.emcrfo al grupo octa].if) Qs. es isomorfo al gtupo .Q, (eu';l;lc!'miO)d~! Broblema 7J.($:) Qs tiene solamente una 'serie de composicion.

77. Obtenerotro ;par de series de cornposicion del grUpG del Problema 19; establecer una biyeecion entre Io.sgruposcociemes y escribir las aplicaciorres' PQe'las .que grupos cocientes correspondientes son isomorfos.

74. Demostrar : Un grupo no cornnutativo <g' con operacion 'de grupo.« ilene, <tlmenos scis elementos.

Sugereflcla.: (I l. 'rJ tiene a 10.menos 3 elementos: el neutro, u, Y ?QS elementos, -a >j b, que no. conmutan.(2.) r§ tiene por 10 rnenos .5 elementos: u, a. b, (lob.. b ,,'u. Supongase que tiene solo 4. Entonces

a 0 b '* b «a. irnplica, que a <. b 6 bien b ~ a deben ser iguales a uno de los Y" a.]».(3) <§' tiene al mends 6 elementos II,a. b;« 0 b. p' a. Y 0. bien il2 0. bien a e ,b «.a,

72. Demostrar el Teorema XX;XII. pagina 91.

73. Escribir la tabla .de .operacion para rnostrar que Q = {1, - i. i, - i,if ,-l- k; -k~ con ji = / = 1(2 = -I.i) = k = -ji.jk = i = -k). ki =) = -ik forma un grupo,

11. Para el grupo ciclico <§' de ordcn 3,6 generado por a:(i) Demostrar 'que a", 03• (l4. a6• 49, q'12~(118, generan subgrupos; invariantes, ~IS' ~i.2'<§'9>'cg.6'~4' f§3"~'i.

respectivamente, de f§.

(ii) f§, -f§ IS' 'rJ9, f§3. Ues una seriede cornposicion ..de,<§',Hay seis.series de.eomposicion de'~ en total; enumerense,

[CAP. 9GRUPO_S100

(b) EI conjunto T = {a, b. c, tI} con adicion y multiplicaci6n dcfinidas por

+ a b c c{

n"b c' d

a a b c d a a a ab b a. d c y 4 b a. bc c d a b <l- e 4· c

d d c b (l a cl a dcs un anillo.

101,

es un anillo.

y

(a + bVS + cW)(d + eW + iW) = (ad +3bl + 3a) + (ae;' bd +3cf)\13

+ (al + be + cd)Vs E S

Se ve en seguida que se cumplen P" P2' PrP, puesto que S es un subconjunto del anillo R.Por ultimo, 0 ~ 0 + Oy3 + 0\i'9 da cumplimiento a p) y para cada x + yyi + z.y'9 ES,existe -x - )'\i''3 - zY'9E S, 10 cual cumple P4' .Asi, pucs, S tiene rodos los requisitesde un anillo.

EjernpJo 3: (a) EI conjunto S = {a, b} con adicion y multiplicacion definidas por las tablas

y

Ejemplo 2: EI conjunto S = {x + Yd3 + z19; x, y, Z E Q} es un anillo con respecto a la adici6n ymultiplicacion en R. Para probar esto, primero se dernuestra que S es cerrado con rcspectoa estas operaciones. Se tiene para .

a+b~+cW, d+cZt3+/VD E S,

(a+bW+cW)+(d+eT3+/V9) = (a+ll) + (b+I!)VS+ (c+f)V9 E S

Ejemplo 1; Dado que las propiedades enumeradas son solo unas cuantas de las propiedades comunesa Z, Q, Rye dotados de la adici6n y multiplicacion ordinarias, se sigue que cstos sistemasson ejemplos de anillos.

(leyes distributivas)

P4: Para todo 0 E9t existe -0

Ps: (00 b) 0 c = 00 (b 0 c)

P6: 00 (b + c) = a 0 b + a 0 C

P1: (b + c) 0 a = boo + C 0 a

(existcncia de un neutro aditivo (el ceroj)

E 9t tal que a + (-0) = Z

(existencia de sirnetricos aditivos)

(ley asociativa de la multiplicaci6n)

(ley conmutativa de la adicion)P2: o+b=b+o

.P3: Existe lin. Z E 91. tal que' 0 + Z = a

ANILLOSSexdice que un conjunto no vacio ~ forma anille con respecto a las operaciones birrarias de adi­

ci6n (+) y multiplicacion Co), si para cualesquiera a.b, c E 9t se verifican las siguientes propiedades:

PI: (0 + b) + c = 0 + (b + c) (ley asociativa de la adici6n)

Anillos

Capitulo 10

SUBANILLOSSe,a un an1'110,&to Un subconjunto no vadQ S del conjunto ~~ que sea a su vez.anillo respecto de

las operaciones binarias de fJ1t,. se dice subanillo de 6f .. Si S es un. subanillo de un anillo ~. es evidenteque S es subgrupo de! grupo aditivo !J¬ . '

EjempJo 5: (a~ Del Ejemplo i se sigue que Z~s un subanillo de los anillos Q, R, C; ql!e,Q es un subanillode R, C;, Y'que R es un subanillo de C.

(b) En el Ejemplo 2, S. es un subanillo de R,

(c) Enel Ejemplo 3(b),T, = {aj, T2 = {a, b} son.subanillos de T. i;Por que no es T; = {a,b, c}subanillo de T?

Los subanillos [z}y fJ1t mismo de un anillo ~,se dicen impropios, otros subaniUos, si los.hay en Ii,se llaman propios." ,

Se deja al lector lit demostracion del

Teorema I. Sea fJ1t un anille y sea S un subconjunto propio del conjunto [J1t, S es entonces un subani-110 de fJ1t si, ,y solo si,

(a) S es cerrado respecto: a las operaciones del anillo,

(b) para todo aESse 'tiene -a E S.

(vii) a' (-0) = -Cab) = (-a)' b.

(iv)

(v)(vi)

(i)

(ii)

Todo ariillo' es un grupo aditivo abeliano.

Exisfe un eJemento neutro aditivo enica, z (el cera del anillo),Vease Teorema IiI, Capitulo 2, pagina 2b.

Cada elemento tiene un simetrico aditivo, unico (iH opuesto de dicho elemento).Vease Teorema IV, Capitulo 2, pagina ,20.

Se cumple la ley de caneelaclon para la' adicion.

- (~a) = a, - (a~+ b) = (-a,) + (-b) para cualesquiera o,.b del anillo.a . z = z: 4. = z. Para demostracion, vease Problema 4.

(jii)

PROPlEfrADES DE LOS ANILLOSLas propiedades elementales de los anillos son arralogas a las de Z, que no dependen ni de la ley

conmutativa de; la multiplicacion ni de la existencia de un neutro multiplicative. Anotamos algunasde estas propiedades:' ,

'Ejem!,l~ 4: Considereseel conjunto de los numeros racionales Q. Es claro que ($)'como adicion y (0).como multiplicacion definidas por

a ffi b = a' b y a G.b = a + b' para cualesquiera £1, b EO 9donde + y . sen la adicion y multiplicaci6n ordinarias con mimeros racionales, sell opera­ciones binarias sobre Q.,Y se ve que PI' P2 Y P, se verifican de .inmediato; asimismo, se ve­rifica P 3 con.z = 1..Demuestre el lector que P 4' P 6 YP 1 no se verifican y que, por tanto, Qno es anillo con respecto a ffi yO,

Para .estos anillos el elernento cero es a y cada elernento es su propio simetrico aditivo.

Ve.anse tambien Problemas 1-3.

En los Ejemples 1y 2 las operaciones binarias en los anillos (lasoperaciones de anillo) coincidencon la adicion y multiplicaeion ordinarias 'en los, distintos sistemas numericos que intervienen ; en elEjemplo 3 carecen de significado fuera de las tablas dadas. En este ejemplo no puede haber confusionPO! el uso de simbblos familiares para derrotac las 'operaciones de.anillo. Sin e~b.argo" cuando haypo­sibilidad de confusion, emplearemos, los signos E9y Q para .indicar las operaciones de anillo,

[CAP. 10ANIL.J,,9SlQ2

Ejemplo 11: Considerese el anillo £If = {a, h. c. d} con tablas de adicion y multiplicacion

Un homomorfismo (isomorfismo) del grupo aditivo de un anillo rJt en (sobre) el grupo aditivo deun anillo Bt' que preserva tambien la segunda operacion, la rnultiplicacion, se llama homornorfismo(isomorfismo) de Bt en (sobre) fjt'.

HOMOMORFISMOS E [SOMORFISMOS

Ejemplo 10: (lI) Los anillos Z, Q, R, C no tienen divisores de cero, cs decir, en cada sistema ab = 0 irn­plica siempre 0 bien (I = 0 0 bien b = O.

(b.) Para el anillo del Problema 3; se, vio en el Ejemplo S(c) que (I. O. 1,0) Y (0.0,0, I)son divisores de cero.

(c) EI aniilo del Problema 2 tiene divisores de cero porque b • e = a. Hallar todos los divi­sores de cero de este anillo.

Sea Bt un anillo con elemento cero z. Se dice que un elemento a of z de fJe es un divisor de cera.si existe un elemento b =F z de Bt tal que a' b ~ Z 0 bien b· a = z.

DIVISORES DE CERO

Sea Bt un anillo can elemento cero z y supongase que existe un entero positive n tal que na =a + a + a + ... + a = z para todo a EO Yl. EI menor entero positive n con tal propiedad se llama carac­terlstica de !ii. Si no existe un entero semejante, se dice que !ii tiene caracteristica cera.

Ejemplo 9: (0) Los anillos Z, Q,R. C tienen caracteristica cero, pues para estes anillos na ~ II' a.(b) En el Problema I se tiene a + 0 = b + b = ... = h + h = (I, el cero del anillo, y la

caracteristica es entonces dos.

(e) EI anillo del Problema 2 tiene caracteristica cuatro.

CARACfERISTICA

(c) EI aniilo del Problema 3 tiline como unidad el 11.= (1,0,0, I). (Dernuestrese.] Como(1,0, 1,0)(0, O. 0, J) = (0,0,0,0) mientras que (0, 0, 0, I)(J, O. 1,0) - (0, O. 1,0). el aniiloes no conmutativo. La existencia de simetricos multiplicativos se estudia en el Problema 5.

Un anillo dorado de elemento neutro multiplicativo tetemento unidad) se llama anlllo unitario,Ejemplo 7: Para cada uno de los anillos de los Ejemplos I y 2 la unidad es I. La unidad del anilJo del

Ejemplo 3(u) es b ; el anillo del Ejemplo 3(h) carece de unidad.

Sea Bt un anillo con unidad u. II es entonces su propio simetrico multiplicative (u-1 = u), perootros elementos no nulos de Bt pueden 0 no tener simetricos multiplicativos. Ahara bien, cuando lossimetricos multiplicativos existen, son unicos.

Ejemplo 8: (a) EI anillo del Problema 1 es un anillo no conmuiativo sin unidad.

(b) EI anillo del Problema 2 es un anillo conmutativo con unidad Ii = II. Aqui los elcmen­ios no nulos b, e.f no tienen sirnetricos multiplicativos ; los simetricos de c, d. g. II song, d, C. h, respectivamente.

Un anillo en que la multiplicacion sea conmutativa se llama anillo conmutatioo,Ejemplo 6: Los anillos de los Ejemplos 1,2, 3(D) son conrnutativos ; el del Ejemplo 3(h) no es conmuta­

tivo, esto es b : c ~ a, pero c· b = c.

TIPOS DE ANaLOS

103ANll.LC)SCAP. 10]

(ar, as, br, bs) • (111, n, p, q) = (a(mr +ps), a(nr + qs), b'(mr + pB), b(nr + qs») E K,

Sea [}t un anillo con elemento cero z, Un subgrupo S de fJt que tiene la propiedad de que r 'x € S(x'r € S) para todo XES Y r E [}t, se llama ideal a la izquierda iderechas de fJt. Es claro que {z} yat mismo son ambos ideales a izquierda y a derecha de [}t; se les llama ideales impropios a la izquierda(derecha) de ge. Todos los demas ideales a la izquierda (derecha) de at, si los hay, se lIaman idealespropios.

Un subgrupo ./ de fJt que es ideal a la izquierda y a la derecha de :ft. es decir, tal que para todox EJ y r E 9t se tiene r : x E..f y x : r E$, se llama ideal (subanillo inuariantei de fJt. Es claro quetodo ideal a la izquierda (derecha) de un anillo conmutativo fJt es un ideal de fJt.

Para todo anillo 9l, los ideales {z} y ge mismo se lIaman ideales impropios de 9l, como ya se dijo,y todos los demas ideales de 9l se dicen propios: Un anillo que carece de ideales propios se llama anillosimple. - --

Ejemplo 12: (a) Para el anillo S del Problema I, {a. b, c, d} es un ideal propio.a Iii derecha de S (exami­Denselas primeras cuatro filas de la labia de multiplicacion), pero no es ideal a la izquier­da (exarninense las primeras cuatro columnas de la misma tabla). Los idcales propiosde S son {a, c}, {a, e}, {a,g} y {o, c, e. g}.

(bl En el anillo conmutativo Z. el subgrupo P de todos los multiples enteros de cualquierentero p es un ideal de Z.

(c) Para cualesquiera a, b e Q dados, el subgrupo J = {(ar, br, as,bs): r, seQ} es un idealala izquierda del anillo M del Problema 3 y K = {(or, as, br, bs): r, seQ} es un ideal ala derecha de M porque para cualesquiera (m,n. p, ql EM,

(m, n, p, q)' (ar, br, as, os) = (a(mr + ns), b(mr + ns), a(pr + q8). 6(pr + q8») E J

IDEALES

II = e > d E-+ s > P = q, etc.Asi que fft y rJt' son anillos isomorfos.

Utilizando los anillos isomorfos ge y :ft' del Ejemplo II, es facil verificar el

Teorema n. En todo isomorfismo de un anillo ge sobre un anillo fli':(a) si z es el cero de ge y z' es el cero de Bl', se tiene z ......z',(b) si fJt ......Bl': a ......a', entonces -a ......-a'.(c) si u es la unidad de 9t y u' es la unidad de at', se tiene u ......u',(d) si 9t es un anillo conmutativo, tambien 10 es at'.

104 ANILLOS [CAP. 10

+ a b c d a b c d

a a b c d a a a a ab b a d c b a b de (I I (I. b c a c d bd d b (I c( Q d 0 c

y el anillo dt' = '{p, q, r, s} con tablas de adici6n y multiplicacion

+ p q r s p q r 8

p r p q p s p qq s T g P q p q r. 8

r p q r s r r r r T

I; q p s r S q 8 r pLa biyeecion

a. ~ T, b <-+ q, C +-+ 8, d_p

apJica !Jit sobre 9t' (tambien fft: sobre 9l) preservando las operaciones binarias; por ejemplo,d = b+c E-+ q + 8 = P

y

Ejcmplo 14: (a) En el anillo S del ProblemaI el subanillo (a, g} cs un ideal principal a la derecha de Sgenerado por el clemente g (vease la fila de la labia de multiplicacion opuesta a g). Comor : g = (I para todo rES (vease la columna de la labia de multiplicacion encabezada gl,{a. g} no cs ideal principal a la izquierda y, por tanto, no es ideal principal de S.

{bl En cl anillo conmurarivo S del Problema 2 el ideal 1(1, h. I'.fl de S es un ideal principaly sc Ic pucde consid~rar como gcncrado pOI'b, 0 por f

(c) .En el anillo S del Problema I el ideal ala derecha la, h, c, d} de S no es ideal principal.a [a d~rcch<l,pues no p.uede ser g~nc.rado pur ninglll,lo de sus elementos.

(d) Para cII..lquicr mE Z. J ,= {.IIlX; x EZ} es ideal principal de Z.,.

Sea 9i un anillo y K un ideal a la derccha de gp con la propiedad adernas

K "" {a' r: r Ii: .IJP., a es un elemen to dado de K}Se dira entonces que K es un ideal principal a la derecha de fJf y que es generado por e) -elernento a de K.Analogarnente so definen los ideales principales a la izquierda y los idea les principales,

IDEALES PRINCIPALES

Se pucdc dcmostrar como cn (a) que K cs un anillo conmurativo unitario, pero que notiene diyisO;cs de cero.

tc :: (IOJ, Ill, liJ. [2].\2i]. [1 + i]. [2+ il. [1+ 2il. (2+ 2iJ)

I(

Considerese el anillo G ~ to + hi: a, b e Z} del Problema !I.I

(a) EI conjunto de clases residuales modulo '2 de G es H = {[OJ.[J], [i). [I + ill. (N6Ie·se que I - i: Wi I -I i(mod 2).) De las tablas de operacion para adicion y multiplicaci6nmodulo 2. resuha que H es anillo conrnutativo unitario ; asi, pues, fI tiene divisores decero aunque G no los ienga.

La aplicacion G....., H: g ..... [g] es un homornorfismo en el cual S = {2g: g EG}.ideal de G. se aplica sobrc [0], ~l elernento cere de H.

(h) EI conjunro de clases residuales modulo 3 de G es

Ejemplo 13:

Para una dernostracion, vease Problema 9.

En el Ejernplo 12(a). cada elemento x del ideal a.la izquierda {a, c, e, g} tiene la propiedad de serun elemento de S para cl cual ,. . X ::. a, el elemento cero de S. para todo rES. Esto ilustra el

Teorema IV. Sea!Jll. lin anillo con elernento cero z ; eruonces

T = {x: oX E: r1t, r : x = z (x' r = z) para todo r E 9t'}

es un idea) a la izquierda (dcrecha) de 91.Sea P,Q, S, T, ... una clase cualquiera de ideales de un anillo !1l y definase j = P () Q () S

() T () .... Como cada ideal de la clase es un grupo aditivo abeliano, entonces por el Teorema X,Capitulo 9, pagina 84, tambien 10 cs .I. Ademas, para todo x E.I Y r EBf, los productos x . r s r : xpertenecen a cada ideal de la clase y, por tanto. a .}. Hernos demostrado cl

Teorema V. La interseccion de cualesquicra ideales de un anillo es un ideal del anillo.

En el Problema. 10 sc demuestra

Teorema VI. En todo homomorfismo de lIll anillo 9f sobre otro anillo 91.', el conjunto S de elemen­tos de rft que se aplican sobre z', el elernento cero de fJt', es un ideal de !JlI..

EI Ejemplo 12(b) ilustra el

Teorema III. Si p esun clemen to cualquiera de un anillo conrnutativo EiP., entonces P = {p' r: r E 9t'}es un ideal de !1l.

105ANILLOSCAP. 10)

Como el grupo aditivo de un anillo 9t es abeliano, todos sus subgrupos son subgrupos invariantes.As! que cualquier ideal f del anillo es un subgrupo invariante del grupo aditivo fft y el grupo cocienteat/J = {r + J:'r e al} es el conjunto de todas las clases laterales distintas de :F en Yi.

ANILLOS COCIENTES

Ejemplo 16: (a) EI ideal J del Ejemplo 1Ses un ideal maxrmat de Z, puesto que el unico ideal.de Z que con­tiene propiamente a J es Z mismo.

(b) EI ideal K del EjempJo 15no es ideal maximal porque K esta contenido propiamente en Jque, a su vez, esta conteoido propiamente en Z.

El Ejemplo 15 ilustra elTeorema Vll. En el anillo Z un ideal propio f = {mr: r E Z, m =fo O}es un ideal primo si, y sola­

mente si, m es un entero primo.Un ideal propio f de un anillo conmutativo Ye se dice maximal si no hay en Ye ningun ideal propio

que contenga prepiarnente a J.

Ejemplo IS: En -el anillo Z,

(a) EI ideal J = {7r: /' EZ}, que lambien se escribe J = (7), es un ideal primo porque sia' b e J 0 bien, 71 a 0 bien 71 b; con 10 que a e Job e J.

(b) EI ideal K = {J4r: r e Z} pK = (14) no es ideal primo pues por ejemplo, 28 = 4· 7EKpero ni 4 ni 7 estan en K.

Se dice que un ideal f de un anillo conmutativo Ye es un ideal primo, si para elementos cualesquie­ra r,S de 9t! r'SEf implica relf 0 bien s e J,

IDEALES PRIMOS Y MAXlMALES

EI anillo Z es un anillo ideal principal

Pero e . q E f; lueg_o,.r = 0 y b = e . q. As], pues, J es un ideal principal de Z y hemos demostra­do que

q, r E Z. 0 O!: r < eb = e : q + r,

En el anillo Z, considerese el ideal principal K generado por el elemento 12. Es claro que K tambienes generado por el elemento - 12. Como K no puede ser generado por ningun otro de sus elementos.definase como ideal principal generado por 12. EI generador 12 de K, ademas de ser un elernento deK. es tambien elemento de cada uno de los ideales principales: A generado por 6, B generado por 4,C generado por 3, D generado por 2 y Z mismo. Ahora bien. K CA. K C B. KC C, K CD, K C Z;adernas, 12 no pertenece a ningun otro ideal principal de Z. Asl que K es la interseccion de todos losideales principales de Z que tienen a 12 entre sus elementos.

Se deduce de inmediato que cualquier ideal principal de Z generado por el entero m esta conte­nido en todo ideal principal de Z generado por un factor de m. En particular, si m es primo, el unicoideal principal de Z que contiene propiamente al ideal principal generado por m es Z.

Todo anillo Ye tiene al menos un ideal principal, a saber, el ideal nulo {z} donde z es el elementocero de Ye. Todo anillo unitario tiene por 10 menos dos ideales principales, a saber, {z} y el ideal at ge­nerado por la unidad.

Sea Ye un anillo conmutativo. Si todo ideal de gp es ideal principal, se dira que fft es un anillo idealprincipal. Por ejemplo, considerese cualquier ideal f =fo {O}en el anillo de los errteros Z. Si a =fo 0 EJtambien 10 es -a. Luego f contiene enteros positivos y como Z+ es bien ordenado, contiene un en­tero positivo rninimo, sea e. Para cualquier b eJ se tiene por el algoritmo de la division del Capitulo 5,pagina 50,

(CAP. 10ANILLOS106

En el capltufo siguiente trataremos de varios tipos de anUIos; por ~Jemplo, de Io.saniHos conmu­tativos; .aniHos u'nitaries, anill6s sin di"is0res' de 'cero, aru110s.cQninutativos unitarios, ... , que se "ob­tienen aifadientlo a Jas"',pl'opiedaties f1;]U'damentalesdel annlo una b mas pt.C!.pied.acless~plemenl'arias(veaS'epagina 71) de &it. Hay otros tipos de anlllos y vamos a terminar este capitulo. con un breve,eStu-dio de uno de esos 'tipo~que··es.'deI~s airilloseucliiiidnos~ ,

S~ !.lama ,aniUo euclidiano o,ualqujer ~niUo ¢QllIputativo ~ que tiene Ill.propiedad de que acada x E ~'se IC?puede aSignar 'l:I'nentero nQ negativ0 e.(xj tal que

;p

ANILLQS EtiCLIDIANOS

(a + .f)' (b + .f) = a .f? + .f =.J

indica que q . b ·EO.7, no .implica necesariamente que a i:.f 0 que b EOJ-.

E'I Ejemplo 11 ilustra el

Teorema vrn. Si J es un ideal de un anillo 9t, el grupo cociente ~/$ es un anillo con respecto a laadicion o multiplicacion de 'Claseslaterales.Iclases residuales) segun se acaban.de definir,

Es costumbre designar este anillo por PlijJ y llamarlo antllo COCi(!1'1le0 anillo.factor de :9i con respec­.to a, $0.

De las' definiciones de c,rdiciqny muJt!p,fica~it)~de slases~residuales se' si'gueque(a) La aplicaoion 'fIt -+ .tfl/.£: a -+ a +# es un homomorfismo de £it sobre ~/ ..I..

(b) .J es el elemento cero del anillo ff/$.(c) Si £it es un anillo eonmutativo, tambien 10 es ~/J.(d) &i ~ tiene elemento unidad u,' tambierl-",iotiene £itIJ y es u + $:(e) .Si P/I, careee de divisores decero, Bt/Y. pueJ&\Q no tener divisores de cero, Pues, si bien

Ejemplo 17: Considerese.el ideal f = {3r~ r e Z} del. anillo 2 .en el grupo cociente 'zjJ = V.l + $,f + fl..Es clare...que los elementos. de Z/~ son spnplemente las clases residuales de 2/(3)y asl, pues, constituyen un. anillo con respecto a la .adici6n y muliiplicacion modulo 3.

= + $ = (x +,s) + J.. = ix· + J) + (3+$)= x:+ $-se sigue que s (y .analogamente <iU~ L.) E$..Entof,l~~s,

(x' + .!) . (y' + $) = (x" yl.) + $ = L(x' i) + (x - f), + (3' y) + (j: t)] +.J = {t· y) + $

puesto que X' I, S •y, 3 . ( E J.. y la multiplicaeion esta bien: definida. (Hemos seguido llamando claselateral a ~ + $; en la teoria de, anillos se la llama clase residual de f.. en el anillo ~.)

y demostramos 'que tarnbien esta bien definida, Para ello supongase que x' = x + s y y' = y + t sonelementos del grupo aditivc ~ ta:le'~que x' + " yy"+ J'Sonotras representaciones de'::"+ $ yy + J~respectivamente. De

(x + ~J' (y+ f) = .(x· y) +$

(Nata.. El emplep de r + j en ~e.l:del farp'iij*r r.J. para una clase lateral.es en.cierto.sentido june­cesario ·porque) por definicion! r& = '{r c a': a E¥:} y [a ioper~c;j6n es aqui I~adicion, Sin embargo,la usaremos.) Ba la seccion Grupos tociente$:defDapitulo. 9" pagina 88" la adid'6ii (+) sobte las clasesIaterales (de un grupo aditivo) fue bien definida por' '.

(-¥.+ .F) + (g +../) = (,x. + y) + .Y'

Defmimos alrora la multiplicacion (0) sobre las clases laterales pOT

€AP, 10]

.:

cfb

1c-

3. Demostrar.; Bl-conjunto M = {(a, b, c, d)" a, b. c,-d E Q}'con adicion y mulriplicacion definidaspor

(.ii,b,c;.,d) + (e,f,{f,h) = (a+e,'b+f,c"f-g,d+h)

(a, b,», d;)(e, fig, h) = (a.e.+"Qg, 4f:+ Q'h, ce + flu, cf + d:h)para redo (a,g, c, d), (~,[; g, I!) E.M es un anjllo;.,

bh

e

d

!dd .fl

g hIi1

ea

f-e ea.

fbd Q.a

e·da

e-

/

ce

d.b

f

ba

efh

e

u.

ee,

a

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a

hIa (L(L

b

l» (L.9b

a a.

.e

ah

ab

db

r{I

h.

'f {I

e II.h. a

9 .b.b -c

e

u.Uh.

ht

es un arrillo, (,Cual es el elemento cefo? J::taHiit el srm~tticQ aditivo cit; cada elemento.

b

i'[J

II

(! dd, l)-

ii eg h

l {I-I' .(, b

a a Iib b a.e c d.d ({ c

e J

2. EI conjunte S del Problema 1 con ,adiCion y multiplicacion oefinidas por

f'{/

h

c

~,s ul1 anillo, La verifioacicn cxna.pstiva de que se cumplen Pi y P5-P7' pagina lOr, es una tarea 00n­siderable, pew se encarece al rector hacer unas cuantas comprobaciones salionas. EI elemento cero -es a y cada elememo cs -su 'propio simeuico. aditivo.

0. d .(1. d

c£ ,e a. e'

c£ 1 a fa: g. a 9~ fi. a h

c

eda tI

a. 'Q. a £ib a .b .a

ba

eil

Ih. a-II bb. It

q, 4i( c

lg e

aIi

bab'

aa

aa

iI.

c

a

a g

a' It

g. .e:a. f(1. ,g

a. IJ..

d

f s: Ii.t· . h' 9

h f

('

9f

Itci

Iicd

f·eh

9

oh

fbc

b'. eit {!'

¢ ab 'b

\1. El conjunto, S = {a, b, c, d. e_,j; s,h} con adici6n ¥ multipli.c'~ci6n definidas por

+ abc d 'C' f f! h a. .b 'C ([ _. 1__ g._I.:

Problemas resueltos-.

Te~re~a IX Todo anillo euclidiarrc ~ es un anillo ideal principal:

Teorema X. Todo, anillo euelidiano es unitario,

Se de~uce tarnbien

Ejcmplo 18: Z esun .anillo e~c:lioiano. Se ve faoilrnente,poniertdo (I'(x) = Ixl para todo XE Z.

Ye'.lsq tambier» Problema f2.

q, r E.9f" 0 ~'O(i') < OCr).x = y ..q 1+ r

(it O(X,) = 0 sr, y. sa]}}. si, x = z; el 'elernento Gem de !:It,(ii) 8(x . ,v) "" (i('x) si ;r' Y + z.(iii) Para todo x E;/J£ y y =F Z E'~,

ANILLQS108

Pero los grupos'aditivos de P y Z son nornomorfos. (i,Por que no isomorfos?) Sin embargo, como ac - bd,* ac,en general, los anillos P y ~ no son 110momorfos p.or esta aplicaci6n.

(a, b,-p, «). (c, d,-d, c) .... (to - bdY

Considerese la aplicacion (a, h, -6, a) -> a del anillo P del Pro,blema 6 en cl anillo Z de losenteros.

EI lector dem.ostrani que la a.plicaci6n es tal que

(a,b,-b, a) + (c,d, -d, c) ... a + c

es un subanillo conmutativo del anillo no conmutativo M del- Problema 3.Lo primero notamos que P es.un subconjuruo de My que las operacioaes definidas sobre P son precisamenie

las definidas sobre M. Ahora bien, P es cerrado respecto de estas operaciones ; adcmas, (-(I, - b, b. -a) e Psiernpre que (a, b, <b, a) e P, Asi, pues, por el Teorerria I. Pes un subanillo de M. Por ultimo, para cualesquiera(a; b, - h, a), (c, d, -d, c) E P se liene

la, b,-b, a)(c,c/, -d, c) =< (c,d, -d, cHa,b, -b, a)y P es un anillo counlUlalivo.

(a, b, -b, a)(c, d, -d, c) = (ac - bd, ad + be, +ad: - be, ac - bd)y

Demostrar que P = {(a, b, =b, q): a, b E Z} con adicion y multiplicacion definidas por

(a,b,-b,a) + (c,d,-d,c) = (a+c,b+d,-b-d,a+c)

(a. b, c. el) E M para los que ad - be '" 0, poseen simetricos muhiplicativos.

{aq + be = 0cq + de = 1

(ii)

la unidad de M y examinense las ecuaciones

{ap + br = 1

(i)cp + dr = 0

en cuanto a soluciones p, q, r, s.. d -c.

.Por (i) se tiene iad - belp = d, asl que siempre que ad - be *' 0, P. -= -d--h- Y /; =i -::---dbe' Analoga-\ ., a-e a-t-0 a

mente, por (ii) se tiene que q = --- y s = ---. Se deduce que solamente aquellos elementosad - be ad.>- he

'Investigar la posibilidad de que existan sirnetricos multiplicativos de elementos del anillo M delProblema 3.

Para cualquier clemente (a, b. c, d) i: (0,0, 0,0) de M hagase de

(a, b, c, d)(,I, (/,1', s) = ('a'p+ bl', aq + bs,.cp + dr, aq + ·(8) = (1,0,0,,1)

o • a = (0 + z)a = (0 . 0) + Z ' a

Como a' a ~ (a '0) + z; en tonces, , (a' 0) + z : a = (a; a) + z. Y utilizando la ley de cancelacion, tenernos.z : a = z, Analogamente, a' a = a(a + z) = a' (I + a' Z yo' z = z.

Demostrar: Si !ft es un anillo con elemento cero z, entonces para todo a E [Jt, a . Z = Z ' a = z.Como a + z = 0, sc sigue que

Los calculos que se requieren para verificar las leyes distributivas se dejan al cuidado del lector.

para todo (a, b, c,d), (c,/,g, h), (i, i,k,l) E M.

[(a, b, c, d)(c,l, U,h)J(i, i,k,/)(ae + bgH + (a] + bh)k, (ae + bg)j ;.. (al + bh)(, (co + dg)'i + ic] + dll)k, (cc + dg)j + (c] + dll)l)

(a!<'i + /k) + b(gi + Ilk). /i(ej + fI) + b(uj + hl), c(e! + Ik) + Illui + hk), e(ej + II) + ({(gj + hi»);; (a, b, c, dHei +[k, c; +It, o! + hk, oi + 11/)

= (a. b. c, d)l(c, I, g. II)(i,;, k,l}J

Las leyes asociativa y conrnutativa para Ja adicion en el anillo son consecuencias inmediatas de las asociati­va y conmurativa de-Ia adicion en Q. El elemento cero de M es (0,0, 0, 0) y el simetrico aditivo de (0, b, r, d) es(-0, =b, -c, -d)£M. La ley asociativa para la multiplicacion en el anillo se verifica como sigue :

109AN1LtOS10]

[(x + f) + !J: + J')]. (w + J;) = (x +}), (re -fC#) + (Y. + &'J' (w +..1)

y, &: manera parecida.

Como .7 ·e·sun sul;igrupoinvarianle de.!grup'o {JP.; se.sigu~ que {JP.jJ es un gfuPO.c9n respecto ala adicion.Es claro por la defiilici(Snde la mulfiplicacion que se:cuiilple la ley'de c1ausura. Queda:,pues, por dem6strar quela ley asocialiva )' la dislributiv:a se .cumplen. Se'encuenLra para cualesquiera ~}+ f; x + f,y.+~ e·{!;ljJ,

[(u; + tI)· (x + 5)] . (y +.1) = (1/:.' x· + .1). {I; + J) = (u,:. x) . y + :1'.= u>' ex' Y) + )= (Ie + J) . (x' y + $) = (w. + .f). [(x, + J) . (y + $)],

(w + .:f}. [(.r + f·) + (y + J)] = (II' + ,1)' [()(+ Ji) + .,f) = [W' (.l.:+ Jil] + J= (w ••,. +,w 'i) + J = (w' x + .$) + (w' .Y + .f)= (Il' +.!,,) . (X'+- .Y. ) + (II' + ,f) .·lv + .f)

'para todo x + J,y. + § E R/f(x + j), (y + f) = (x' y) + .:f

y

11. Demostrar: Ei conjunto ~/§ = {r + ,j: r E ElJ de las clases laterales de un ideal ..Ien un ani-110.~ es el .mismo tin .anillo con rcspecto a la adlciO'n y mult.iplicaei6n detinidas por

(,y + .$) + (},+&) = (x + y) + J

~si que S es un idea) de lifo

10. Dernostrar ; En todo' hotnoinorfismo de un anillo PA con murtipli'cacion denotada por ' , en otroaniltp ~' COD Irtulti'pli'c1!cion denotada por 0, el conjunto S d~ elementos de ge. .que se aplioan so­bre ,z', el cero <k ~', es un id\<al de ~.

Par el Teorema'XXI, Capitulo 9, pagina 88, S es un subgrupo 'de 9£'; luego para cualesquiera a,b, C E Sse' cumplen las propis:d!ld~spl-J?4' pagirra IQJ, Yla adicipn del anillo es 11l)a,·o.peraciOnbinaria .sobre S.

Como todos los elementos de S son elementos de lif se verifican las propiedades PS-P7' Ahora bien, paracualesquiera (i., bES, a' b ~ z"; lueg~ (i • be S 'I hi multiplication del anillo es una operacion binaria sabre S.

Por ultimo, -para todo a e S y iE'~ se tiene

-Ji) p : r+ .p : s = P' (t + s)e P, porque r + s e {!;l; asi.. PlJC!s;P es cerrado can respecto a la adicion.(ii) '_(p' r) =w (-r):e P siempre que p' rEP porque -r.E ~ si~r E: {JP.; por el Teorema VII, Capitulo; 9,

pagina 8'4,. P es un subgrupo del .grupo aditivo,(iii) ip : r) . S = P' (r . sl e-P porque (r' ,\'.)E~.

Y' la demostradsi:n qucda completa,

9. Demostrar i'Si p es un elementocualquiera de.unanillo conmutativo ss, entonces P = {p' r : re 9i?}es tin ideal de ~.

Vamos a demostrar que P es un subgrupo del grupo aditivo {JP. tal que (p . r) , S E P para todo S E (Yi.

Para cualesquiera r, of E (!;l, se 'liene

g . a -l g' CJ z.' = ~~.y. a' g ~ z' p g' = z'

(ae- bil, u~+ lie, -acl- be. ac,- Ii.d) ,_,(ac-bd) + (aH+bc)i := (a+6i)(,,+4;)

todas las opcraciones binarias se preservan. Asi, pues. P y .G SO-I) isornorfos.

(a, b, +b, ir)(c, d, -d,c)y

8. Un numero complejo a +- bi.cen G, b E Z.se liama entero.gGussian@. (En el Problema 29 el lee­tOT ha de dernostrar 'que el conjunto G = :fa+ bi : G; b e Z} dcfoebs los.enteros gaussiarios esun arrillo con respectoa la adicion y rnultiplieacion $fi;hrlarias sobte c.). Demuestrese que el ani-110 P del Problema 6 't G'son isomorfos,

Sea la aplicacion .(~f b. =b, (lJ -+.a + bi de P en (i..La aplicaCion es ciertamente biyectiva y, ade-mas, "como •

\

(a. 1>, -o,a) + (c,d,-d,e) .", (a+ c, b + d, -Ii - d, a+.c) -.;

(a + c). + (b+d)f = (a.+bi) + (c+di)

(CAP. JOANILLOS110

Demuestrese que 9l es un anillo conmutativo unitario .•

A0B=A(\B

19. Considerese fJt, el eonjunto de todos los subconjuntos de un conjunto dado S y definase para todos los A.BE Bl.

18. Demostrar que en todo anillo fJt,

(a) -(-a) = a para todo aefJt(b) a( -b) = - (ab) = (-alb para todos los a, b EBl.Sugerencia. (a) a + [(-a)- (-a)] - a + z = a

17. Demostrar que Q = {(ZI;,Zl, - z2' zd: ZI' z2 e C}"COIJ adici6n y muleiplicacion definidas como en el Proble­ma 3, es un anillo no conmutativo cob unidad (I, 0, 0, 1). Verificar que -cada elemento de Q con excep­ci6n del elemento cero (ZI = Z2 = 0 + Oil tiene un simetrico multiplicative 0 inverse de la Coma {zd6, -Z2/6,12/6, z,/6} donde 6 = IZlll + IZ21zy que entonces los elementos no nulos de Q forman un grupo multiplicative.

es un anillo.lCual es la unidad? lCualla caracteristica? i,Tienedivisores de cero? i,Es un anillo simple? Demos­trar que es isomorfo at anillo Z/(7).

Problemas propuestos

13. Dernostrar que S = {2x: x EZ} con adicion y multiplicacion definidas como en Z, es un anillo, en tanto queT = {2x + 1: x E Z} no 10 es.

14. Verificar que S del Problema 2 es un anillo conmuiativo con unidad = h.

JS. Con a, b e Z definase a (g b = a + b + 1 Ya 0 b = (L+ b + abo Demostrar que Z es un anillo conmutativocon respecto a EBy 0. i,Cu:il es el cero de este anillo? i,Tiene un clemente unidad?

16. Verificar que S = {a,b, c,d, e.f, g} con adicion y multiplicacion definidas por

+ IX b c d e f g IX b e d e f 9

0, IX b c d' f 9 a. a a. a. a. 0, 0: IX

b b c d e f 9 IX b IX b c d e f 9c d e f 9 a. b c IX e e 9 b d fd d e f 9 a b c d a. d 9 c f b e

e e f 9 a. II c d e IX e II f c 9 d

f f 9 a b c d e f a f d b 9 e e

9 9 IX b c d e f 9 a 9 f e d c b

8[:>; - y(e + dill,(r) 81z - yes + til + y(8 +.1iL - lI{e+ di}19[y{{S -e) + (t - d)i}1 ~ t'(II) < '(y)

Asi, pues, se compte (iii) y G es un anillo euclidiano.

U. Demostrar: El anillo G = {a + bi: a, b E Z} es euclidiano.Definase 8(a + PO = 1X2 + p2 para todo IX + I!i E G. Se verifica facilmente que las propiedades (i) y (ii),

pagina 108, del anillo euclidianc se cumplen aqui. (Notese tambien que 0(0 + bi) es simplemente el cuadradode la amplitud de a + bi y que, por tanto, esta definide para todos los elementos de C.)

Para tcdo XE G s v '" Z E G calculese X' y-I = oS + ti. Ahora, si todo s + tt E G, el teorema se seguiriafacilmente: no obstante. no es este el caso, como el lector;puede demostrar tomando x = 1 + i Yy = 2 + 3i.

Supongase entonces para un x y un y dados que s + ti ¢.G. Sea c + dt EG tal que [c - sl "" !y Id - II dii *Y escribase x = y(c + di) + r, Entonces, se tiene

111ANILtosCAP. 10)

32. Verificar queelconjunto Z/(n) de los enteros modulo n es un anillo conrnutativo unitario. i,Cmtndo el anillo ca­rece de divisores de cero? i,Ctial es III caracteristica del aniUo Z/(S)? i,La del ~nillo. Z/((»?

~l- Demostrar: Un s.u~(.)Jljuntc5.Sde un anillo 9t es unsubanillo de ..91 si 'a - b y a' be S.sicmpre que a? be S.

30. Demostrar: Todo subanillo de un anillo 9l es un subgrupo del grupo aditivo 11..

29. Enumerar todos los 15 subanillos de S del Problema 1.

28; (a)" Verificar que 11.. = {(ZI'ZZ. Z3' z~): Z" Z2c'Z3, ~... e C) con adicion Y multiplicacion definidas .como en elProblema 3, es un anillo coil unidad (1,0,0, 1). i,Es anillo. conmutativo'j

(I?) Demostrar que el subeonjunto S = {(?"'Z2, -Z2. zd: .21'.2Z eel de ·EJt con adicion y multiplicacion de­finidas como en '!Jt, .es un subanillo :de 9t.

27. Demostrar el Teorema I, pagina 102:.

26; Demostrar que G = {a + bi: a, b e Z}, con respecto ala adicion y multiplicacion defmidas sobre C, es un sub-anillo <lei anillo C. .

25. Demostrar que {a}, {a. b}, {a, b. C; d} son subanillos del anillo S del Problema 1.

24. Sea fit. un anillo unitario y, ~eafiq'f b eleme'1tos de 9l con inverses (sirnetricos multiplicativos) .4- I Y b-I h respec­tivamente, Demostrar que (a' b)-I =. b-I •a-I.

23. Q.emos~!ar.: ~ifiI es-un anillo boohane.seutonces (a) su caracteristica es dos, (b) es un anillo conmutativo:Suggrencia; C6nsiderese (x + y;)'L.= X + .Y para Y. = x y para y +- x. .

i;Es fJI un .anillo conmutativo? i,Tiene elernento unidad? i,Cual es su caracteristica? Verificar que x2 = x paratddo x··e.fJI. Un anillo que tiene esta R;opiedad se llama ..anillo booliano.

22. Completer las tab las de operacion del. anillo ~ = fa; b, c, d} :

+ a. b c d .a b i:; d

.tt a b -c d a a a a ab .b, Ii ~ 'c b c, bc c. d. a b 'C a c

d d c b a d a b c

i.Es 9l. un anillo conmutativo? i.Tiene unidad? i,Cval es .SI.! caracteristica?Sugerencia. c - b = (b + 4)' b; c : c =-. c· (b + d); etc.

2.1. Completar las tablas de 'operaciOn del ·aniilo. EJt = {a, bsc, d}:

+ <t, k f d ,f! b c: d

'a a b c d a a a a ab l!. a. d ~ b a bc ~. d. ct. b c a ad d c b. Ii d .q. b ~

20. Demuestrese que S = {(a,b, -.b, a): :a, b e QJ. con adicion y multiplicacioli .definidasj'~omo en el Pr9t:;.lema'~€,es un anillo. ~Cu'aIes el cere? i.La.unidad? i.Es·un.anillo conrnutativo? Ptoc.e:dirsecomo 'en el Problema 5 parademostrar q~etogo elemento excepto 10,;0, 0, q) tiene un Slmetril?9multiBlicaiiv~.

[CAP.. roANILlOS112

40. Dernostrar el Tcorema X. pagina 108.Sugerencia:Supongase que 91 es generado por a; entonces a = a' S = s· apara algun s E 91. Para cualquier be!!t. b = q . a == q • (a . s) = b . S, etc.

39. Dernostrar el Tcorerna rx, pagina 108.Sugorcncia: Para todo ideal.l oF {z} de IiJl elijase el minimo O(y), sea O(b).para todos los elementos no nulos y e .~. Para todo x E .I escribase .r = b . q + r con q, r E.~ Ycon r = z .0bien aIr) < O(b).

(a, r) E9 (6,8) = (a + b, r + 8)

(a,r) 0 (b,8) = (a' b + rb + sa,r8)

Iii) [Jt x Z tiene (;::,0) como cere y (z, I) como unidad.(iii) 9t x Z cs un ranillo con respecto II EEly 0.(iv) .41 x {O:. es un ideal de fH x Z.(v) La aplicacion ,~, +-+ at x {O:: x +-+ (x. 0) es un isornorfismo.

38. Sea !:If un anillo con operaciones de anillo + y '. y (a. r). (h, s)E rJt x Z. Dernostrar que(i) tit x Z es cerrado con respecio a la adieion (m) y a la rnultiplicacion (0 ) definidas per

37. Sean a, b elementos conrnutables de un anillo tit de caracrerisuca des. Demostrar que (a '+ b)z = 02 + hI =III - h)2.

36. Demostrar : En todo homomorfismo de un anillo !Jf sobre un anillo 91' cuyo elernento neutro es z', sea

.I = {x: xe.(jl" .\.~ a}EI anillo iJtj.J es entonces isomorfo al f!;f'.Sugerencla. Considerese la aplicacion /I + .I -+ a' dondc a' es la imagen de a E {fl, en.el homomorflsmo.

(d) Hallar un hornomorfismo de M, en otro de sus subanillos y, como en k), obtener otro ideal propio de M r-

(t') Demostrar que el subconjunto {(O.O.y. 0): y e Q} de elementos de M, queen (b)sc aplican en (0, O.0, 0) e M 2'

es un ideal propio de M r-

,(a) Demostrar que M 1 = {(a, 0, c, d): a. r,u e Ql '/ M 2 = {(a. O.O.d): a, dE Q} con adicion y multinlica­

cion definidas como en el Problema 3, sen subanillos. de M del Problema 3.

(h) Dcmostrar que hi aplicacion M I - M 2: (x~0, J', U;) - (v, 0, 0, w)es un isomorfismo.

35.

Dcmostrar el Teorerna II, pagina 104.34.

33. Dernostrar que el anillo 2/(2) es isomorfo al anillo del Ejemplo 3(0).

113ANILLOSCAP. 10]

114

Aqui es necesaria una advertencia. EI termino dominie de integridad se emplea a veces por algu­nos para denotar cualquier anillo sin divisores de cero y por otros para cualquier anillo conmutativosin divisores de cero.

Vease Problema 1.La ley de cancelacion para la adicion resulta valida en todo dominio de integridad ~, pues todo ele­

mento de !i) tiene simetrico aditivo. En el Problema 2 se demuestra que la ley de cancelacion para lamultiplicaci6n se cumple tambien en ~ si bien los elementos no nulos de ~ no tienen necesariamentesimetricos multiplicativos. En consecuencia, «carecer de divisores de cero» en la definicion del domi­nio de integridad se puede cambiar por «verificarse la ley de cancelacion para la multiplicacion»,

En el Problema. 3 se demuestra el

Teorema I. Sea ~ un dominio de integridad e'" un ideal de {/J. Entonces {/J/J es un dominio de in­tegridad si, y solo si, J es ideal primo en ~.

es un dominio de integridad. Notese que los elementos no nulos de S forman un grupomultiplicativo abeliano. Veremos luego que esta es una propiedad comun a los dominiosde integridad finitos.

+ a b c d c f g h a II e d e f g It.

a a II e d e f g h a a a a a a a a ab b a d If f e It. g b a b e d e f g he c d a II "g. h. e f c a c h f g e b dd d e II a It. g f e d a d f g e II h ee e f g It. a b e d e a e g e d h f II

f f e h g II (l d c I a I e II h e d gg g It. e f c d a II g a g II h f d e e

It It g f. e d e b a h a It. d e b g e fTabla 11-1

(a+by'I71 + (c+dy'I7) = (a+c)+(b+dlY17 E S

(a+by'I7)(c+dy'i7) = (ac+ 17bd)+ (ad+bc)\/i7 E S

para cualesquiera (0 + bfo), (e+ dfo) ES. Como S es un subconjunto de R, Scarece de divisores de cero; y, ademas, se cumplen las leyes asociativas, conmutativasy distributivas. EI cero de S es 0 E R Ytodo 0 + bfo e S tiene simetrico aditivo, quees -0 - b.jfi e S. De modo que S es un dominic de integridad.

(d) EI anillo S = {a. b. c, d, e.], g, h} con adicion y multiplicaci6n definidas por las tablas

(0) Los anillos Z, Q, Rye: son dominios de integridad.(b) Los anillcs de los Problemas 1 y 2, Capitulo 10. pagina 108. no son dominios de integri­

dad, pues, por ejemplo, en ambos es I:e = a, el cero del anillo.(c) "EI conjunto S = {r+ sfo: r,S E Z} con adicion y multiplicacion definidas como

en R, es un dominio de integridad. Que S es cerrado con respecto ala adicion y la mul­tiplicacion, resulta de

EjempIo I:

Un anillo conmutativo unitario ~ sin divisores de cero se llama dominio de integridad.

DOMINIOS DE INTEGRIDAD

Dominios de integridad, cuerpos

Capitulo 11

Un subconjunto g' de un dominio de integridad 9), que es, a su vez, un dominio de integridad conrespecto a las operaciones de anillo de !lJ, se dice un subdominio de ~. Se deja al cuidado del lector de­rnostrar que z y u. el cero y el elernento unidad de !lJ, son tarnbien los elementos cero y unidad decualquier subdominio de ~.

Uno de los mas interesantcs subdominios de un dominio de integridad PJ (vease Problema 6) es

~' = {nu~ n E Z}donde nu tiene el mismo significado que en el Capitulo 10.Pues si 9)" fuese otro subdorninio de g, en­tonces !it' .scria un subdominio de !?}" y. por tanto, segun la inclusion, {i}' es el minima subdominiode !!}. Asi, pues,

Teorema UJ. Si ~ es un dominio de integridad, el subconjunto {i}' = {nu: n EZ} es su mlnimo sub­dominio.

Por caracteristica de un dominic de integridad ~ se entiende Ja caractedstica del anillo !?} definidaen el Capitulo 10. Los dominies de intcgridad del Ejemplo I(a) son. pues, de caracteristica cero, peroel del. Ejemplo 1(dl tienc caracterlstica dos, En el Problema 7 se demuestra elTeorema IV. La caracteristica de un dominio de intcgridad es cero 0 un primo.

SUBDOMINIOS

O(a' b) = O(a) si, 'f solo si, b es inversible en 9)

Un elemento a de {i} es un divisor de b E q) si existe un elemento c.de fi) tal que b = a • c. Todoelemcnto no nulo b de 9) tiene como divisores sus asociados en fi) y los inversibles de fi). Estes divisoresse lIaman triciates (illlpropiQS); todos los otros divisores, si los hay. se dicen no trioiales tpropios). Unelemento no nulo no inversible b.de~, que solo tienedivisores triviales, se llama primo ielemento irredu­ciMe) en {i}. Un elernento h de ~. que tiene divisores no triviales, se dice elemento reducible de ~. PQrejemplo, 15 tiene divisores no triviales en Z. pero no en Q; 7 cs primo en Z, pero no en Q.

Vease Problema 5.Se sigue el

Teorema n. Si!lJ es un dominio de integridad que tambien es anillo euclidiano, entonees para a =F z,h =F z de ~,

De Jax + 17b"= 1 b . a -blbx+all =0 se o Ilene z = a~-17b2 y ,,= a2-17b2' Como

x + yj'0 E~, eSIOes, x. y e Z si, y solo st. 02 - 17b2 = ± I ; luego IX es inversible si,y solo si.c" - 17h2= ±I.Asi, ±1,4 ± fo. -4 ± fosonelementosinversjblesen~en tanto que 2 - fo Y -9 - 2yIi7 ~ (2 - j17)(4 + fo) son asociados en ~.

(c) Todo clemento no nulo de Z/(7) = {O. 1.• 2,3,4,5, 6} .es clemento invcr~ible de Z/(7)ya que 1 . I '" I(mod 7). 2' 4:; I(mod 7), etc.

Vease Problema 4.

(a+bv'!7)(x+IIV17) = (ax+. 176y) + (bx+crll'lM = 1 = l+Oy'i7

EjempIo 1: (a) Los unicos elementos inversibles de Z son ± I; los nnicos asociados de a e Z son ±a.

(h) Considerese el dominio de intcgridad!j = {r + sfo·: r, S EZ}.Pues« = a + bfo E!j,es inversible si, y solo si, existe x + yfo e ~ tal que

Sea!!) un dominio de integridad. Un elemento v de ~ que tenga simetrico multiplicativo 0 inversocn ~ se dice inoersible 0 regular de {i}. Un elemento b de 9) se dice asociado de a E9) si b. = V • asiendo v un elemento inversible de q).

ELEMENTOS INVERSIBLES, ASOCIADOS, DIVISORES

115OOMINIOS DE INTEGRIOAD. CUERPOSCAP. II]

ALGORITMO DE LA DIVISIONSea ~'un dominio de integridad y supongase que d E ~ es un divisor comun de los elementos no

nulos a, b «e. Se dice que des un maximo comun divisor de a y b si para cualquier otro divisor comund' E~ se tiene d' Id. Si ~ es tarnbien un anillo. euclidiano, d' Ides equivalents a.O(d) > O(d').

y elTeorema VIi Aparte la notacion, el anillo de los enteros Z es el unico dominio de integridad orde­

nado cuyo conjunto de elementos positivos es bien ordenado.

Teorema VI. Dos dominies de integridad erdenados 9). y ~2 tales que sus respectivos conjuntosde elementos positives e; y e; son bien ordenados, son isomorfos.

Teorema V. Si 9) es un dominio de integridad ordenado con ~ + bien ordenado, entonces(i) 9)+ = {pu: p eZ+}

(ii] ~ = {mu:' m e Z}

Por otra parte, la representacion de cualquier a e ~ comb a = mu es (mica.Se deduce, el

como a > z significa que a E ~+ ya < z significa que -a e ~+, se sigue que si a + z, es entoneesa2 E ~+'. En .particular, u e ~+. .

Supongase ahora que ~ es un dominic de integridad ordenado con ~+ bien ordenado; entoncesu es el elemento minimo de 9) ". Pues si hubiera un a E ~+ con z < a < u entonces z < a2 < au = a.Pero a1 e ~+, de modo que 9)+ no tiene elemento minima en contradiccion con 10 dicho.

En el Problema 8 se demuestra el

Sea ~ un dominio de integridad ordenado y para cualesquiera a, b E fIJ definasea > b si a - b E'~+

a < b si, y solo si, b > ay

Los dominios de integridad del Ejemplo I(a) son dominios de integridad ordenados. En cadauno, el conjunto !!)+ 'consiste en los elementos positives como se les definio en el capitulo enque aparecio por primera vez el dominic.

Ejemplo 3:

Los elementos.de ~+ se dicen elementos posilivos de~: todos los otroselerrrentos no nulos de ~ sedicen elementos negatiuos de ~.

a = g' -a E~-I;

DOMINIOS DE INTEGRIDAD ORDENADOS

Se llama dominio de integridad ordenado un dominic de integridad fIJ que contlene un subconjuntofIJ+ dotado de las propiedades:

(i) ~+ es cerrado con respecto a la adicion y multiplicacion definidas sobre ~.

(ii) Para todo a e ~ se verifica una, y solo una, de las relaciones

es un isomorfismo de .z/(P) sobre ~'.

Si ~ tiene caracteristica cero, la aplicacion es.un isomorfismo de Z sobre fIJI; luego podemos rernplazarsiempre fIJ' por Z en fIJ. Si ~ es de caracteristica p (un prime), la aplicacion

Z/(p) .....~/: [n] -+ nu

Z -+ fIJ': n -+ nuSea fIJ un dominio de integridad y su minimo subdominio fIJ' y sea Ia aplicaci6n

[CAP. IIDOMINIOS DE lNTEGRIOAD. CUERPOS116

I Hay autores [principalmente en lengua inglesa) que tlaman anillos de dil)ision0 seudocuerpos (Scllil!jk,;rpn, ske ..' fields)a los cuerpos; y a estes, cuando SOD conmutauvos, les diccn campos. Nos atenemos a la nomenclatura mas gcneralizada hoy endia (Van der Waerden, Bourbaki). N. del T.

(a) Los anilles Q. Rye son cuerpos; y por ser conmutativa la multiplicacion son cuerposconrnutajivos.

(h) EI anillo Q del Problema 17, Capitulo 10, es un cuerpo no conmutauvo.(c) EI anillo Z:'no es cuerpo. (lPor que~O

Ejemplo 4:

CUERPOSUn anillo g cuyos elementos no nulos forman un grupo multiplicative, se llama cuerpo, Todo

cuerpo tiene un elemento unidad y todo elemento no milo del cuerpo posee un inverse (simetrico rnul­tiplicativo); si la multiplicacion es conmutativa, el cuerpo se dice conmutativo 1.

Como consecuencia del Teorema IX, se tiene

En un dominio de integridad !!G en que sea valido el teorema de factorizacion unica,todo elemento primo de !?} genera un ideal primo.

Teorema X.

Teorema IX. Sean a, b, P E f) 'Un dominio de integridad que tambien es anillo ideal principal, ta­les que p Ia-b. Entonces, si P es un elemento primo en f), P Ia 0 bien p I b. .

Una demostracion de que el teorerna de factorizacion unica se cumple en un dominio deintegri­dad que tambien sea anillo eucIldi~;n'o(llamado tambien a veces domini~ euclidiano) se da en el Pro­blema 11.

En el Capitulo 5 se demostro que todo entero a > 1 se puede expresar de manera univoca (aparteel orden de los factores) como producto de primos positives. Supongase que a = Pi . P2 •P3 es unafactorizacion semejante. Se tiene entonces

-a = -P.·P2 'P3 = P,(-P2)P3 =PI 'P2(-P3) = (-I)p,'P2 'P3 = (-l)p,' (-I)P.2· (-1)1'3y esta factorizacion ell factores primos se puede considerar como (mica aparte el empleo de elementosunidad como factores. Se puede, pues, enunciar otra vez el teorema de factorizacion (mica para los en­teros como sigue:

Todo elemento no nulo y que no sea inversible de Z se puede expresar de manera unica (apartedel orden de los factores y del ernpleo de elementos inversibles como factores) como producto deelementos primos de Z. En esta forma demostraremos luego que el teorema de factorizacion unicavale en cualquier dominio de integridad que sea a Ia vez anillo euclidiano.

En el Problema 9 se demuestra el

Teorema vm, Sean J y K, ambos distintos de [z}, ideales principales de un dominic de integri­dad !?}. Entonces, J = K si, Y solo si, sus generadores son elementos asociados en @.

En el Problema 10 se dernuestra el

FACfORIZACION UNICA

Vease Problema 5, Capitulo 5.

o ".;:OCr) < 9(q)b = q' a + r,

(Para demostrar que esta definicion concuerda con la de maximo com(m divisor de dos enterostal como se dio en el Capitulo 5, sup6ngase que ± d son los maximos comunes divisores de a, b f'_2y sea d' otro divisor eomun cualquiera. Como para 11 EZ, 8(n) = Inl se sigue que O(d).= O(-d) peroO(d) > O(d').)

Para un dominio de integridad que sea a la vez anillo euclidiano se establece el

Algoritmo de la divisi6n. Sean a =F z y b elementos de !?} un dominic de integridad que tambienes anillo euclidiano. Existen entonces q, r E!?} unicos, tales que

117DOMINIOS DE INTEGRIDAD, CUERPOSCAP. II]

ALGORITMO DE LA DIVISIONSea q) un dominic de integridad y supongase que d E 1) es un divisor comun de los elementos no

nulos a, b E!i). Se dice que des un maximo comun divisor de a y b si para cualquier otro divisor comund' E1) se tiene d' Id. Si 1) es tambien un anillo euclidiano, d' Ides equivalente a O(d) > O(d').

y -el

Teorema VII. Aparte la notacion, el anillo de los enteros Z es el anico dominio de integridad orde-nado cuyo conjunto de elementos positivos es bien ordenado. -

Teorema VI. Dos dominios de integridad ordenados q)1 Y 9}2 tales que sus respectivos conjuntosde elementos positivos e; y e; son bien ordenados, son isornorfos.

Teorema V. Si !iJ es un dominio de integridad ordenado con 9}+ bien ordenado, entonces(i) q)+ = {pu: p E Z+}

(ii) q) = {mu~ m E Z}

Por otra parte, la representacion de cualquier a E q) como a = mu es unica.

Se deduce el

como a > z significa que a E q)+ ya < z signifiea que -a Eq)+, se sigue que si a 4= z, es entoneesa2 E!i)+. En particular. U E!i)+, ,

Supongase ahora que 9} es un dominio de integridad orden ado con q)+ bien ordenado; entoncesu es el elemento minimo de 9}+. Pues si hubiera un a E!?d+con z -< a < u entonces z < a2 < au = a,Pero a2 E 9}+, de modo que p)+ no tiene elemento minimo en contradiccion con 10dicho.

En el Problema 8 se demuestra el

Sea !iJ un dominic de integridad ordenado y para cualesquiera a, b E 9} definasea > b si a - b E .1) +

a < b si, Y solo si, b > ay

Los dominios de integridad del Ejemplo I(a) son dominies de integridad ordenados. En cadauno, el conjunto ~+ consiste enlos elementos positivos como se les de6ni6 en el capitulo enClueaparecio por primera vez el dominie.

EjempIo 3:

DOMINIOS DE INTEGIUDADORDENADOSSe llama dominic de integrldad ordenado un dominic de integridad $ que contlene un subconjunto

q)+ dotado de las propiedades:

(i) !iJ+ es cerrado con respecto a la adicion y multiplicacion definidas sobre !i),

(ii) Para todo a E q) se verifica una, y solo una, de las telacionesa = 'Z a E!iJ+ - a .,=!i) +

Los elementos de !i)+ se dicen elementos pasiiivos de q): todos los otros-elementos no nulos de !iJ sedicen elementos negatioos.de q),

es un isomorfismo de .2/(P) sobre 1)',

Sea q) un dominio de integridad y su minimo subdominio q)' y sea la aplicaci6nZ --+ q)': n --+ nu

Si q) tiene caracteristica cero, la aplicacion es un isomorfismo de Z sobre'q)!; luego podernos remplazarsiempre q)' por Z en q), Si P) es de caracteristica p (un primo), la aplicaci6n

Z/(p) .....'p)'; [n] --+ nu

[CAP, IIDOMINIOS DE INTEGRroAD, CUERPOS116

I Hay autores [principalmente en lengua inglesa] que lIaman anlllos de division 0 seudotuerpos (Schit!jkiirper, skew fi~/ds)a los cuerpos; ya estos, cuando son conmutativos, les diccn campos. Nos atenernos ala. nomenclatura mas generatizada hoy endfa (Van der Waerden, Bourbaki). N. del T. .

CUERPOSUn anillo S" cuyos ejementps no nulos forman un grupo multiplicative, se llama cuerpo, Todo

cuerpo tiene un elemento unidad y todo elemento no nulo del cuerpo posee un inverso (simetrico mul­tiplicativo] ; si la multiplicacion es conmutativa, el cuerpo se dice conmutativo I.

Ejemplo 4: (0) Los anillos Q, Rye son cuerpos; y por ser conrnutativa la multiplicaci6n son cuerposconmutativos.

(b) EI anillo.Q delProblema 17. Capitulo 10, es un cuerpo no conrnutativo.(e) EI anillo Z no es cuerpo, (;,por que?)

En un dominio de integridad ~ en que sea valido el teorema de factorizaci6n unica,todo elemento prirno de ~ .genera un ideal primo.

Teorema X.Como consecuencia del Teorerna IX, se tiene

Teorema IX. Sean a, b, P e·!7$un dominic de integridad que tarnbien es anillo ideal principal, ta­les que p Ia . b. Entonces, si p es un elemento primo en !'), P I a 0 bien p I h.

Una demostracion de. que el teorerna de factorizacion ~nica se curnple en un dominie de integri­dad que tambien sea anillo euclidiano (llamado tambien a veces dominio euclidiano) se da en el Pro-blema 11. - .

En el Capitulo 5 se demostro que todo entero a > 1 se puede expresar de manera univoca (aparteel orden de los factores) como producto de primos positives. Supongase que a = Pi • P2 • P3 es unafactorizacion sernejante. Se tiene entonces .

-a = -Pl' P2 'P3 = fd-P2)PJ =PI' f2(-P3) = (-I)pI . P.2· P3_= (-I)PI' (-1)P:2' (-l)P3

y esta factorizacion en factores primos se puede considerar como (mica aparte el empleo de elementosunidad como factores. Sepuede, pues, enunciar otra vez e] teorerna de factorizacion unica para los en­teros como sigue:

Todo elemento no nuloy que no sea inversible de Z se puede expresar de manera unica (apartedel orden de 19§Iactores y del empleo de elementos inversibles como factores) como producto deelementos primos de Z. En esta forma dernostraremos luego que el teorema de factorizaci6n (micavale en cualquier dominie de integridad que sea a la vez anillo euclidiano.

En el Problema 9 se demuestra el

Teorema vm. Sean J y K, ambos distintos de {z}, ideales principales de un dominio de integri­dad ~. Entonces, J = K si, Ysolo si, sus generadores son elementos asociados en ~.

En el Problema lOse demuestra el

FACfORIZACJON UNICA

Vease Problema 5, Capitulo 5.

(para demostrar que esta definicion concuerda con la de maximo comun divisor de. dos enterostal como se dio en el Capitulo 5, supongase 'que x d son los maxirnos comunes divisores de a, h e Zy sea d' otro divisor eornun cualquiera. Como para n e Z, 8(n) = Inl se sigue que 8(d).= 6(-Ii) peroO(d) > 8(d').)

Para un domihio de integridad que sea a la vez anillo euclidiano se establece el

Algorltnw de Ia division. Sean a '" z y h elementos de ~ un dominio de integridad que tambienes ariillo euclidiano, Existen entonces q, r . e ~ unicos, tales que

b = q . a + r, 0 ::: 9(r) < 8(q)

J 17DOMINIOS P_E INTEGRIDAD, CUERPOSCAP. 11.]

De o· 0 = b : c se tiene o· e - b : c,= (0 - b)' C= z. Como !!d no tiene divisores de cero, es 0 - b = zY 0 = b, COIiJQse pedla.

2. Demostrar: Para todo dominio de integridad se verifica la ley.de cancelaci6n de la multiplicaci6n

Si a' C = b • eye =f z, es a = b

1. Demostrar : EI anillo Z/(m) es un dominic de integridad si, y solamente si, m es prime.Supongase Que m es un primo p. Si [7] Y [S].50n elementos de Z/(P) tales Que [r]' [s] = [0], entonces

r . S "" O(modp) y r "" O(modp) 0 bien S "" O(IiJodp). Luego [r] = [0] 0 bien [s] = [0)' y como Z/(P) carece dedivisores de oero es, pues, un dominio de integridad.

SUpOngasequemnoesprimo,esdecir,quem = ml 'm2con 1< mlom2 < m.Como [m] = [ml]' [m2] =[0], mientrasque ni [ml] = [0] ni [mz] = [0], es evidente Que Z/(m) tiene divisores de cero y, por tanto, no esun dominio de integridad.

Problemas resueltos

Teorema XIV. Sea /F un cuerpo primo. Si F tiene caracterlstica cero es iscmorfo' a Q; si , tienecaracteristica p, siendo p prime, es isomorfo a Z/(P).

En el Problema 13 se demuestra el

Teorema XV. Si!!J es un dominio de integridad e J es un ideal en !!J, entonces .!!JIJ es un cuerposi, y solo si, J es un ideal maximal en !!J.

EjaapIo 5: Q es un subcuerpo de los cuerpos R y C; y R es tambien subcuerpo de C.Vease tambien Problema 12.

Sea :F un cuerpo de caracteristica cero: Su minimo subdominio Z no es un subcuerpo. Pero comopara todo b -+ 0, b EZ. se tiene b-1 EF, se sigue que para cualesquiera a; b EZ con b =1= 0,a . b- 1 = alb E /F. Asi, pues, Q es el minimo subcuerpo de jF. Sea , un cuerpo de caracteristica p pri­ma. Entonces, ZI(P), el minimo subdominio de /F es el minima subcuerpo de.'.

Un cuerpo /F que carece de subcuerpos propios" se dice cuerpo primo. Q, por ejemplo, es el cuer­po primo de caracteristica cero y Z/(P) es el cuerpo prime de caracteristica p, con p primo.

Enunciamos sin demostraci6n el

Teorema XU. Todo cuerpo es un anillo simple.

Sup6ngase que J =1= {z} sea un ideal de un cuerpo f/'. Si a -+ Z EJ, se tiene a-I E f/' ya' a-I = u EJ. Entonees, para todo bEY, b· u = b EJ; luego J = f/'.

Segan ya se ha dicho, un cuerpo es conmutativo si los elementos no nulos forman grupo multipli­cativo abeliano; y como todo ouerpo conmutativo es dominio de integridad, se deduce del Teorerna IV,pagina 115, el

Teorema xm: La caracteristica de un cuerpo conmutativo es cero 0 es un numero primo.

Todo subconjunto /F' de un cuerpo /F', que es cuerpo a su vez, s.e·llciina.subcuerpo del :F.

Todo dominie de integridad con, un numero finito de elementos es un cuerpo con­mutative.

Demostremos ahora el

Teorema Xi.

{b' x: x E!!J} = fl}

pues si no b seria divisor de cero. Asi que b.: x = u para algun x E!!J Yb tiene inverso en !!J. Quedaasi demostrado el

Sea !!J un dominio de integridad con un numero finito de elementos. Para todo b =1= Z E fl}, setiene

[CAP. IIDOMINIOS DE fNTEGRIDAD. CUERPOS118

7. Demostrar que la cl).racteristica de un dominio de.integridad 9 es cero 0 es prima.

En los Ejemplos I(a) y I(d) es evidente que hay dominios de inlegridad de caracteristica cero y dominiosde integridad de caracleristiea m > O.

Sup6nga~ H.l.Ie@'ti.c;ne:c;tra~teristicam·= ml ~m, "en I < 111" ml < 111., Entonces mIl = (m,'I)(m211) = =y entonces 0 bien 111111 = Z 0 bien 1Il2U - z. (jue es un;! contradiccion. Luego m e$ primo.

y para cada ru e q;' exislc un simclrico aditivQ - ru e <$'. Por ultimo (m)(.lll) = z implica ru = z 0 bien SII ~ z,Asi que w' es un dominio de inlegridad. subdominio de f)/.

Iu = uEf!'yOu = = E 9)'

luego 9}' es cerrado con respecto a las operacioncs de anillo sobre f)/, Asimismo.

(ru)(su) = rSII j:::11'y

Para todo ru, SU Eft' se ueneru + SII = (I' + s)ue 9:

6. Demostrar que ~' = {nu: n EZ} donde u es la unidad de un dominic de integridad ~, es un sub­dominic de .f7).

S. En el dominio de integridad ~ = {r + sJ?i: r, s E?} verificar : (a) 9 - 2fo es un elementoprime, (b) i' = LS -+ tfo es reducible. '(q) Supongase .:x. fI Eq hiles que a' /i = 9 - 2ji7. Por el Problema 4.

Nt«: II) = N(a) . NUl) = #(9 - 2fo) = 13

Como 13es un cntero prime, 0 bien divide a N(a) 0 bien.divide a N(p): luego 0 bien es P 0 bien es (f. elemen­to inversible de 9. y 9 - 2J17 cs elemento primo.

(h) Supongase e = II + hJl7. P = c + dJ17 E (/- tales que a . P = l' = 15 + 7fo; entonces N(a) . N(p) ".-608. DeN(a) = a2 - 17h2 = 19 y NIP) = e2 - 17d2 = -32, se obtiene e = 6 - jl7 y P = ] I + 3fo·Como ni a ni P son elementos invcrsibles de ~ ni asociados de v, 15+ 7fo es reducible.

4. Sea I un entero positive que no es cuadrado sperfeoto y considcresc el dominic de integridadf2 = {r + sj{: P, S E Z}. Para cada p =' r + sj{ E @ definase p = r - s./t y la normadep como N(p) = p : p. Dcl Ejemplo 2(h). pagina J 15, inferimos que II = (/+:h.j{ es invcrsibleen !!P si, Y solo si, N(p) = ± 1. Dernuestrcsc que para a = 1I + h./I E ~ y fi = c + dj{ E 9.N(a. . (J) = N(a)' N{fi).

Tenemos :x' P = (ae + hdt) + (ad + beJ./l y ;::P = (ac + hdl) - (ad + bcJ./l. Entonces Nio:>Pl ~(a' P)(;;:p) = (ac + mill' - (ad + bdl = (al - h)I)(C' - (/21) = N(a)' NilS), como se pedia.

.I = a . b + .I = (a + .f)(b + .f)

se sigue que a+ J = .f 0 bien que b + J = .f. Asi que a' h e.1 implica ya II E J. ya he .f. y. entonccs, .1 esun ideal primo en 9.

-Nota. Aunque $. no tiene divisorcs de cero, esta propiedad no se ha utilizado en la demostracion dad a. Demodo que en el tcorema se puede rernplazar «Sea f!) un dominic de intcgridad» por «Sea 9t un anillo unitario con­mutative».

3. Dernostrar: Sean ~ 'un dominio de integridad e .f un ideal de 9). Entonces, fd/.£ es un dominicde integridad si, y solamente si, ./ es un ideal primo en !i).

EI caso J = ~ es trivial; sea J C @.Supongase que.f es un ideal primo en ~. Como PA es un anillo ccnmutativo unitario, .entonces tambien 10

es rl)/.'. Para demosirar que '£A/~ no tiene divisores.de -cero, supongasc que a + .f. b + ./·E,!lj/.f son tales que

(a + ,I)(b + .1) = CI • ,; 4' f = .f

Pero a . be J y por definicion de ideal primo 0 bien« E.f 0 bien b e .f. AsI, pues, es a + .£.0 b + .1 el elemcn-10 cero de fA/J. Y no teniendo ~/./ divisores de eero -es un dominio de integridad.

Reciprocarnente, supongase que rl)/J es un dominic de integridad. Scan a + z v h '* = de .'3) tales quea·be.I. De

119DOMINIOS DE INTEGRlOAD. CUERPOSCAP. II)

n. Demostrar: EI teotema de factorizacion unica es valido en todo 'oominio de integridad @ que seatambien anillo el,lclidlano.

Tenemos que demostrar que todo elemento no nulo, no inversible-de ~, se puede expressr de manera unica(excepto en el orden de los factores y en la apaTicion de elementos inversibles como factores) como productode elementos primos de ~.

Pero entonces p 10, 10 cual es contradictorio: luego .r 1)0 es inversible.

(ii) Supongase que t es inversible; entonces c' c-· = U E J e J = gpo Ahora bien, existen s, t E ~ tales queu co P' s + l' a, donde u es la unidad de ~. Asi que

b = u . b = (p . s)b + (1'alb = pes • b) + 1(0' b}

y como p Ia . b se tiene p Ib, como se afirmaba.

para ciertos .g; hE ~

10. Demostrar: Sean a, b, p e@ un dominic de integridad que es tarnbien un anillo ideal principal,y supongase p Ia . b. Entonces, si p es elemento primo en ffl., p Ia 0 bien p Ib.

Si uno de los'a 0 b es inversible, 0 bien si a 0 b (0 ambos) es un elernento asociado de 'p, el teorerna es tri­vial. Sup6ngase 10 contrario y. ademas, supongase que P j a: Den6tcse por ~ el ideal en ~ que es intersecci6nde todos los ideales-dess que contienen tanto a p como a a. Como Ies un ideal principal. supongase que es ge­nerado por C EJ, de modo que P = c· x para algun x E~. Entonces 0 bien (i) x es inversible en ~ 0 bien,(ii) c es inversible en ~.

(i) Sup6ngase quex es un elemento inversible en ~; entonces, por el Teorema VIII, P Ysu asociado C generanel mismo ideal principal ~. Como a EJ, se tendra

a - alt· $) = o(u - t ' s) = zdonde u es el elemento unidad y z es el elemento cero de !'P. Como a.1 z, por hipotesis, se tiene u - t- s = z,de modo que I' S = u y S es un elernento inversible de~. Asi, pues, a y b son elementos asociados en 9 comose requeria.

de manera que

9. Demostrar: Sean J y K, cada uno distinto de [z}, ideales principaJes en un dominic de integri­dad @. Entonces, J = K si, y solamente si, sus generadores son elementos asociados en @.

Sean 0 y bios generadores de J y K, respectivamente.En primer 'Iug~r,supongase que a y b sen, asociados y que b = a' IIdonde v es un eJemento inversible en ~"

Para cualquier C EK existe algun s E~' tal que

c = b . S = (0' tI)s' = a(v' s) = o· s', con s' Efii)

Entonces, CE J y KCJ. Ahora bien, b = 0'11 implica a = b· v-'1, asi que, repitiendo el razonarniento concualquier d e 1, se Ilene J C K. Luego J = K como se pedia.

Reciprocamente, supongase que J = K Entonces, para ciettos s, t E~ se tiene a = b . S y, b = a : t. Pero

a = b-: s = (0 • t~f = o(t· s).

8. Demostrar: Si fj',es un dominio de integridad ordenado tal que @+ es bien ofdenado, entonces

(i) q;jl+ = {pu: peZ+} (ii) .@. = {mu: meZ}Ademas, la representacion de cualquier a E @ como a = mu es (mica.

Como U E ~+ se sigue, por la propiedad de clausura, que 2u = u + U E ~+ y, por induecion, que pu E ~+para todo P E Z+ .Den6tese por Eel conjunto de todos los elementos de,q+ que noentran en elconjunto {pu:p e Z+ Iy por e el elemento minimo de E.Ahora bien, u;' E,de modo que e > u y, por tanto, e - u E~+, pero e - U ¢ E.(i.Por que?). Entonces, e - u = PIU para algUn'Pl E Z+ y e = U + PIU = (I + PI)u = pzu, con Pl e Z·. Peroesto es una contradiccion: luego E =,0 y -queda establecido (I).

Sup6ngase a E~"pero 0 IIfii)+; entonces, 0 bien 0 = Z0 bien ':"0E~". Si 0 = z, es a = 'Ou.Si -0 Efii)+,entonces por (i), -0 = mu para algun mE Z,.· de modo que 0 = (-m)u y queda establecido Iii).

Es claro que si para cualquier 0 E~ se tiene a = ru y 0 - su, donde r, SEZ, entonces z = 0 - 0 = ru - su =(r - s)u y r = s. Asi que la representacion de todo 0 E ~ como a = mu es unica.

[CAP. IIDOMINIOS DE INTEGRIDAD. CUERPOS120

Ahow. a - p' S E J y.como ,I C.t, 0 - p' S E J. Pero P E J; Jucgo (/E J YJ ~ ;f!) ell contradiccion COliJ C .t!fi.ASi, piles, ,1 es, maximal en fJ.

La nola al Problema 3, pAgina 119, tambiim se apliea aqui.

sc sigue que}' + ,~es el simetrico multiplicalivo de q + J. Como q es un clemento cllalquiera oe ~ - .I, el anillode clases lalerales fP/J es un eucrpo.

Reciprocamentc. sup6ngasc que tf}/J es un etlerpo. Admitiremos que f no es maximal en 2J y IIcgarcmosa una eonlradicci6n_ Sea. pues J un ideal de fA tal que .f C J C ~.

Para cualquier (/ E!!d Y euaJquicr p E J - .1 definase (p + .!) I. ((I + J) = .\'+ .!; entonces,

a + f = (p + .1)' (s + ,I I

De

de f). Para cualesquiera y E ~ Y(I + q' XES. se liene (0 + q' X)· y = a' y + q(x' y) E S plIesto que (.I' y E.I;asimismo. y • {o + (/.xl ES. Asi que S t:s un ideal de.::Oy como.l C S. se liene S = ~.Dc modo que todo r e ~se pucde escribi.. r = a ~ q' e con r E tp. Supongase que para u. la unidad d.c f», se tiene

U = II + q''/; IE!!)

II + $ = «(/ + .1) + (q + JJ ' (I + $.) '" (q + J) . (f' + .1)

Primero supongase que .I es un ideal maximal de fi); luego .1 C. f2 y (vease Problema J) 9/.1 es un anillounitario conmutativo. Para demosirar que 9/f es un cuerpo, hay que demostrar que todo elemento no nulotiene simetrico multiplicativo.

Para cualquier q E!!d - J. considcrcse el subconjunto

S = (a + q> x: aE.I.xEfAF

13. Demostrar: Sean .q) un dominic de integridad e ;; un ideal de .~. Entonccs ~jJ es UD cuerpo si,y solo si, J es un ideal maximal de .O)J.

Por el Ejemplo 2. Capitulo 10. pagina 101. S es un subanillo del anillo R. Como la ley conrnutativa se verificaen R y 1 :: 1 + o~ + oV9 es el neutro multiplicative. es necesario unicamente verificar que para

~r;; ':Ir;;. x2 - 3yz 3z2 - xy 3r;; y2 - xz 3rnx+ y~" + ~;9 ... 0 E S, cl sirnetricomultiplicative e~ --D-- + --n--v3 + -D--v9. dondeD ,., x + 3y + 9zJ - 9xyz. esta en S.

12. Demostrar: S = {x + y.j3 + z19: x, y. Z E Q} es un subcuerpo de R.

Ahora aceptemos que cl tcorerna sea valido para todo "E fA tal que (J(h) < m y considerese C E!:t. para elcual O(d = m. Entonces, si·c es elemeruo primo en fJ. ·el teorema es valido para ·i·. Slip6rigase. por el contrario.que c no es un elemento prime y escrtbase c = 4' e, donde tanto d como e son divisores propios de c. Por elTeorerna [( se ilene. simultaneamente, Old) < m y /)(1') <!. m. POl' hipotesis, e) teorema de ' faciorizacion (micaes valido para 4 y para e. de modo que se verifica, por cjcmplo.

c = d· I'= P, •P~. P3 ... {"

Como.esta factorizacion de c rcsulta de la eleccion d, e de divisorcs propios, puede no ser (mica.Sup6ngasc que para otra eleecion de divisorcs propios se tuviera c - qI .ql . qJ ••• q,. Considerese el fac­

tor primo P, de c. Por el Teorema IX. pagina 117.PI Iql 0 bien P, I (ql • qJ ... q,): si P, 1q" entonces P, Iq2o bien P, I (q3 q,); si Supongase PI Iqj. Entonces. q, =F: P" donde f es un elernen to inversibleen fA porque si no qj.no stria un elcmcnto primo en fA. Repitiendo cl razonarniento con

PI' P3 ..• P. =.r I •ql •q2 ' .. q}-I . qj. I ... q,

sc encuentra, por ejernplo, que Pl I qk> de modo que qk = g . P2 con g clemente inversible ,en.,~. Continuandode este modo. SC'encuenrra, por ultimo. aparte el ordcn de los facto res y la aparicion de elementos inversibles,que la factorizacion de c es unica. Lo cual completa la dernostracion del teorerna por induccion sobre m (veaseProblema 27, Capitulo 3, pagina 37).' .

por cl Teorerna II. pagina 1150(0) = O(b' c] > Orb)

Suponiendo a j ()E ~ para el cual 0(0.) = I. escribase a = b· c no siendo b inversible ; entonees c es in­versible y a es un elernento prime en 'fA. pues si' no

121DOMINIOS DE INTEv.n1 DAD. CUERPOSCAP. 11]

26. Demostrar que para todo a 0/: z, b de cualquier cuerpo, la ecuacion ax = b tiene una solucicn.

25. Sean!!J un dominio de integridad de caracteristica p y !?P' = {xP: x E fJ}. Demostrar:(a) (a ± b'l - aP ± bP (b) La aplicacion !!J -+ ~': x -+ x, es un isomorfismo.

24. Dernostrar que el conjunto S de todos los elementos inversibles de un dominio de integridad es un grupo mul­tiplicarivo.

23. Demostrar el Teorema Il.Sugerencia. Si b. es inversible, entonces O(a) = 9[b-1(a' b)] "" e(a . b). Si b no es inversible, consideresea = q(a' b} + , donde 0 bien es , = Z 0 bien -B(,) < O(a' b} para a ". ZE~.

22. Sean~' - {[OJ,(5J} y fA" = {[OJ,[2], [4], [6]; (8]} subconjuntos de ~ = 2/(10). Demostrar:(a) ~'y fJ" son subdominios de ~.(b) !!J' y 2/(2) son isomorfos ; y asimismo fJ)" y Z/(5) son -isornorfos.(e) Todo a E ~ se puede escribir de manera unica como a = a' + a" donde a' E!!J' Y (I" € 1')".(d) Para a. bE!!J con a ~ a' + a" y b = b' + b", (0 + b) = (a' + b') + (a" + b") y a' b = a'> b' + a" b",

'21. Demostrar que un anillo fit dotado de la propiedad de que para cada a t z, befit existe un , € fit tal que a' , = b,es un cuerpo.

20, Demostrar que si para a E fJ, N(a) es un entero primo, entonces a es un elernento primo de ~.

19. Demostrar que la relaci6n de asociacion es una'relaci6n de equivalencia.

luego la factorizacion (mica en primos no es una propiedad de fJ.

18. En el dominic de integridad fJ del Ejemplo 2(b}, pagina 115. verificar que:

(a) 33:t SV17 y -33 ± 8V17 son inversibles.(b) 48 - 11Vl7 y 379 - 92V17 son asociados de 5 + 4..[17.(c) 8 = 2· 2· 2 = 2(8 + 2V17)(-8 + 2V17) = (5 + Vl7)(5 - Vl7), en donde cada factor es primo;

Demostrar que S no es un dominio de integridad.

.17, Definir S = {(alo az• a3. a4): a; E R} con adicion y multiplicacion definidas, respectivamente, por

(a" a2' a3' a.) + (b1,b2•hs• b.) = (al + 01> a2 + b2, as + bs, a4 + b.)(al,.a2, a~, a,)(b1, 02' 1>3. b.) = (a1' bl> a.~'02. a3' 03. a.' h.)y

16. Cornprobar para el conjunto G de enteros gaussianos (vease Problema 8, Capitulo 10, pagina I!O} que(a) G es un dominic de integridad,(b) ex= a + bi es inversible si, y solo si, N(a) = a2 + b2 = I.(c) Los unicos elementos inversibles son' ± I; ±;';

(e) {a+ bv'3~ a,b E Z}

(I) {r+sV3: r,$EQ}

(g) {a+ b..j2+ c..;s + dv'lQ: a,b,c.d E Z~

(a) (2a + 1: a E Z)

(b)' {2a: a E Z)

(c) (av'S: a E 2)

(d) (rv'S: r E Q}

15. Partiendo de la adici6n y la multiplicacion definidas como para R, icuales de los conjuntos que siguen SOD do­minios de integridad?

14, Enumerar las propiedades que requiere un conjunto para ser un dominic de integridad.

Problemas propuestos

[CAP. IIDOMINIOS DE INT£GRIDAD. CUERPOS122

'35. Demostrar que los Problemas 3 y 13 implican que si .f es un ideal maximalde un anillo unitario conmutativo !itentonces .f es un ideal primo de !it.

.34. Demostrar que un cuerpo no contiene ideales propios.

33. Considerense los ideales A = {2g:geG},B = {5g:geG},E= {7g:geG}yF= {(I + i)g:geG}deG,elaniliode los enteros gaussianos. (a) Demostrar que G/'A = G/(2).y que GIB == G/(5) no son dominios de integridad.(b) Demostrar que GIE es un cuerpo de caracteristica 7 y que OfF es un cuerpo de caracteristica 2.

32. (a) Demostrar que los subconjuntos S = {[OJ, [5], [IO]} y T = {[OJ, [3], [6], [9], [12]} del anillo 2/(15)son dorninios de integridad con respecto a las operaciones binarias sobre Z/(IS).

(b) Demostrar que S es isomorfo a 2/(3) Y'que, por tanto, es un cuerpo de caracteristica 3.(c) Demostrar que T es un cuerpo de caracteristica 5.

30. (a) Dernostrar que {a+ bVS: a,b E Q} Y {a+ bv'2+c.,16 +dVlO: o.,b,c,d E Q} SOD subcuerpos de R.

(b) Demostrar que {a + bW: 0.,6 E Q} no es un subcuerpo de R.

31. Demostrar que S = (a+ br: a,b E R, r = -l{l + V8 t)} es un subcuerpo de C.

Sugerencia. EI simetrico multiplicative de a + br- j '0 e S es 0.2~ ~ : b2 0..2_ :" + b2res.

es un cuerpo. Demostrar que P es isomorfo a C, el cnerpo de los numeros complejos.

(a, b, -b, a)(c,d, -d, c) = (ae - bd, ad+be, -ad - be, ee - bd)y

29. Demostrar que P = {(a, b, =b, a): a, b e R} con adicion y multiplicacion definidas por

(a, b,-b, a) + (c,.d, -d. c) :: (it + c. b'+d, -b - d, a+ c)

28. Demostrar que un cuerpo es un anillo conmutativo cuyes>'elemeniosno nulos poseen simetricos multiplicativos,

es un isomorfismo.(f) f}. es un cuerpo no conrnutativo (.vease·..Ejen;lplo .4; pagina 117).

• """ +

es un cuerpo no conmutativo. Demostrarlo. Comprobar que: .(a) Los subconjuntos Q. = {(q, + q2i + OJ + Ok)}, Q3 = {(q~ + 0; + q3i + Ok)} y Q. - {(q, + Oi + OJ+

q4k)} de Ii. se combinan como el conjunto C, de IQs numeros complejos: asi, ;2 = f = k2 == -1.(b) q" q2' qa, q. conrnutan con i.i,k.(c) ;j = k, ik = i, ki = j(d) ji = -k, kj = -i, ik= -j(e) Con Q definido como en el Problema 17, Capitulo to, pagina 111, la aplicacion

iJ ...~: (q,+Q2i,qs +q.i, -qs +qli, ql- qzi) ... (ql+. qzi + qsi+q,k)

27. El conjunto It = {(ql + q2i + q3i + qJ<): qt. qi, qJ. q. ~R} de cuatemios con adici6n y multiplicacion de­finidas por

(a, +~i + a:si+ 4.k) + (b, + b2~+ b:si+ b~k) = (a, + bl) + (~+ b2)i + (a3+ ba)i + (4. + b.)ky.(0., + a2;+ a:si+ a.k) • (b, + b2i+ b:si+ b.k) = (~b, - ~b2 - a.aba- a.b.) + (a,b2 +~b, + a3b. - a.b,);

+ (o.,ba -·42b. + a.ab,+ 0..b2)j + (a,b. +~b3 - 4ab2+ a.b,)k

123DOMINIOS DE IN::rEGRIDAD, CUERPOSCAP. II)

se dicen iguales, o:(x) = P(x), siernpre que «It = bk para todos los valores de k.

124

br·e'1{

en la que solarnente un numero finite de las a son diferentes de z, el elemento cero de tJt. Dos polinomiosen x sobre tJt, (l(x) tal como se acaba de definir,y

Sea9t un anillo y sea x, que se llamara una indeterminada, un simbolo cualquiera que no pertenecea 91. Se entiende por polinomio en x sobre tJt una expresion de la forma

FORMAS POLINOMICAS

El Ejemplo I sugiere que en nuestro estudio de los polinomios empecemos por considerarlos comoformas. '

Considerense 1.05 polinomios .!X(x)= [IJx Y Pix) = [IJxs, donde [1] EZ/(5), y supongaseque el dominic de definicion sea el cuerpo Z/(5) = {[OJ,[I], [2], [3], [4]}. Es patente que<x(x) y Pix) difieren en fonna (no son polinomios .iguales};pero, como facilmente se comprue­ba, las imagenes para cada x E2/(5) son .identicas.

EjempIo I:

Uamadas polinomios en :c. Los coeficientes en estos ejemplos son enteros, si bien no siempre es nece­sario que asi sea. En el calculo infinitesimal elemental, el dominie de definicion de la funcion es R. En el

algebra tal dominic es C; por ejemplo, los valeres de x para.los cuales 1 + 2.r + 3x2 es 0, son - i~V2.Tf.

Desde el punto de vista del Capitulo 2, un polinomio en -"se puede considerar como una aplicacionde un conjunto S (dominie de x) sobre un conjunto T (dominic de valores del polinomio), Considerese,por ojemplo, el polinomio I + fix - 3x2• Si S = Z, entonces TC R, y 10mismo ocurre si S = Qo si S = R; si S = C, es entonces TC C.

Como en los capitulos precedentes, igualdad implica «identico a»; asi dos polinomios en x soniguales si tienen identica forma. Por ejemplo, a + bx = c + dx si, y solamente si, a = c y b == d. (No­tese que a + bx = c + dx nunca se ha de considerar aqui como una ecuacion en x.)

Ya se sabe que las imagenes de-cada valor de XES son los mismos elementos de T cuando o:(x) =P(x) y que, en general, son eleme.ntos distintos de T cuando !X(x) =1= PVc.). Sin embargo, como se veraen el Ejemplo 1que sigue, esto depende en cierto modo del conjunto de x ..

1+ 2x + 3x2

INTRODUCCIONUna gran parte; del algebra elemental trata de ciertos tipos de funciones como

PolinomioSj

Capitulo 12

a(i) y,1WeJ de $rlldos fes~c.ti?,9Sm y n, Si 11l.=1= n, el grade de <;t(x) + P(x) es el mayer de losm =-n el grado de (l(x) + O(xjes a to mas m «(_porque?). EI grade de ix(x) . P(x) es a 10 masporque a",h. puede ser z, Sin embargo, si 9t 1:10. tiene divisores de cero, el grado del producto._ (Siempre que sea conveniente seguiremos la costumbre de escribir uu polinomio de grade mIBlis de m + 1 terminos.)

EI conjunto de tOdDSIDSpolinomios 9l[x] en 4" sobre'Ut es un anillo C.Dnrespecto a la adi­cion y multiplicacion definidas anteriormente,

zxo + zx1 + ZX2 + '" = kZXk E CJ([x]

d neutro aditioo 0. e/~m(lnto cera de ~[x] y

Es claro que tanto suma como producto de elementos de ~[xJ son elementos de 91[x], es decir,!!(II:mentetienen un numero finite determinos con coeficientes no nulos E fJt. Es facil verificar que la

sobre ri[x] es asociativa y conmutativa y que la multiplicacion es asociativa y distributiva cona Ja adici6n. Ademas, el polinomio cero

donde!±] y C!J son las nuevas operaciones definidas sobre ~[x], EEly 0 son operaciones binarias&it y + es como antes una conexion.

(ao 0 bo)xO + (~O b.J EEl al 0 bO)xl+ (ao0b2 e7 alObl EEl a20bo)x2,+ ... 9-"·b~"'c·b~"o~_",,,,.3

a{x) C!J f3(x)

a(~) !±] f3(x)

Puede ser util escribir completamente estas definiciones asl:

(Notese que Ia multiplicacion de elementos de Ut se indica aqui por yuxtaposicion.)

a(~j; f3(x) = a.;boxo,+ (aobl + a,bo)xl + (a'O~2 + alb, + G2bo)i2 + ...k - ,

= ~ CkXk, can Ck = L aj bk-jo

y

En todo pofinomio tal como el ,a(x), cada uno de ID.s componentes GoX°, a,xl, G2X2, ••. , se diceun termino ; en cada termino(~f\,l,fO['se llama coeficiente delAermi~o. ~qui se han ,escrito los te.rminDSde «(x) y de P(.x) en un deterrriinado orden (orden natural) y se hara aSIsiempre.De modo que I, el su­perindice de x, es apenas un indicader de la posicion del termino OIXI en el polinomio. Asimismo, layuxtaposicion de a, y de xl en el termino aixl no ba de interpretarse como indicacion de multiplicacion,y 10.5signos mas entre IDSterminos se han de interpretar como. medics de conexi6n mas que como ope­radores, De heche, bien pudieramos.haber escrito el polinomio a(x) anterior como.a = (00, a" 02, ... ).

Si en un polinornio CDmD a(x) el coeficicnte an =1= z, en tanto. que tDdDSIDScoeficientes de IDSter­minos que siguen SDnz, se dice que «(x) es de grado n y an se llama coeficiente dominante. En particular,el polinomio 'a,oi:° + zx' + zx2 + ... es de grade cero con coeficiente dominante ao cuando ao 'F z:y no tiene grac(q (ni coeficiente dominante) si ao = z.

Denotando por 9l[x] el conjunto de todos los polinomios en x sobre 9l y definiendo para cualesquie­ra a(x), P(x) E at[x] la adicion (+ ) 51la multiplicacion (.) sobre £l[x] por

a(X) + f3(x) = (~+ bo)xO + (al + bl)xl + (a2 + b2)X2 + ...L (ak +bk)Xk

125POLINOMJOSCAP. 12)

t La denctninacion «unit.ari($,>dada a un pclinomio de coeficiente dominante Q. ~ u puede prestarse a confusi6n; se hapreferldo mantener el ueologismo «monico». N. del T.

Ejemplos que ilustren los Teoremas II y IV cuando f1t no es conmutativo se postergan hasta el Ca­pitulo 15. Lo que queda de este capitulo se dedica al estudio de ciertos anillos de polinomios 9t[x] que -,se obtienen especializando cada vez mas e) anillo de coeficientes 91.

y

De 10 que se sigue el

Teorema IV. Un polinomio cx(x)tiene a x - b como divisor a la derecha (a 1a izquierda) si, y solo si,rR = z (rL'= z).

En (i) del Teoremall se dice que cx(x)se ha dividido a fa derecha por P(x) para obtener eLcocientea fa derecha'q~(x) y el resto a la derecha ri(x.). Analogamente .. en (ii) se dice que cx(x)se ha dividido a laizquierda pol: P(x) para obtener el cociente a fa izquierda qL(X) y el resto a ta izquierda rL(x), CuandorR(x) = z (rL(x) = z), se dice que P(x) es divisor a la derecha (Q la izquierda) de cx(x).

Para el caso especial P(x) = ux - b = x - b, el TeoremaII da (vease Problema 2) el

Teorema m. Los restos a la derecha-y a.la izquierda cuando cx(x) se divide por x - b, bEfit, sonrespectivamente

(ii)y

En el Problema 1 se demuestra la primera parte del

Teorema n. Sean fit un anillo con unid~ u, o:(x) = ao + a1x1 + a2x2 + ... + a/ c fIt[x] biene1 polinomio cero 0 bien un polinomio de grado m, y P(x) = bo + blXt + b2xl + ...+ u"x" E 9t[x] un polinomio monico de grado n. Existe un par de polinomios unicoqR(X), 'R(X); qL(X), rdx) E&it[x] con 'R(X), rL(x) polinomios cero 0 de.grado < n ta­les que

DMSION

(b) Los polinomios b, bx +f y bx'- + dx + e son polinomios m6nicos en Sex] sobre elanillo S del Ejemplo 1(d), Capitulo 11, pagina 114.

(a) Los polinomios I, x.+ 3, x'- - 5x + 4 son monicos, mientras que 2X2 - x + 5 no 10es, sobre Z (0 sobre cualquier anillo que tenga a Z como subanillo),

Ejemplo 2:

POLINOMIOS MONICOS (UNITARIOS)tSea &it un anillo con unidad u. Entonces-u = uxo es la unidad de 9t[x] puesto que uxo . o:(x) = o:(x)

para todo cx(x) e9t[x]. As! que escribiendo x = ux1 = zxo + UXl, se tiene x E9t[X]. Ahora bien,ak(x . X' x »- • con k factores) = a~ e.91[x] de modo que en cx(x)= ao + alx + a2x1 + ... pode­mos considerar el superindice i en alx' como un verdadero exponente, la yuxtaposiciou encualquiertermino al:x! como multiplicacion en el anillo (polin6mica) y la conexion + como adicion en el anillo(polinomica),

Todo polinomio o:(x) de grado m sobre fJl con coeficiente dominante u, Ia unidad de &it, se llamaramonica (0 unitario).

+ a"bn

Considerese el subconjuntoS = {rXO: 'E ~} de ~[x] que oonsiste en ef polinomio cero y en todoslos polinomios de grado cero. Se comptueba facilmente que Ia aplicacion .

'1{ ... S: r'" rxoes un isomorfismo. Por tanto, podemos escribir segun esto ao en vez de aexo en cuaIquier polinomiocx(x) E~[x].

[CAP. IiPOLlNO~1I0S126

EL ~OMINIO DE POLINOMIQS F [x]Los dominios polinomicos mas importantes se tienen cuando el anillo de los coeficientes es un

euerpo F. Recuerdese que todo elernento no nulo de un cuerpo !F es inversible en :F; y volveremosaenuneiar los principales resultados de las secciones anteriores para el dominic de integridad !F[ x] comosigue:

para todof(x) --+ f(b)

es un homomorfismo de 9t[x] sobre at.

(a) r = ao + alb + azb2 + ... + ambrnen el Teorema IV' se ve que se Ie puede obtener mecanicamente sin mas que remplazar x por b en el po­linomio a(x) y naturalmente interpretando lavyuxtaposicion de elementos como multiplicacion en Yf.Asi, pues, si se definef(b) como Ia expresion que se obtiene sustituyendo x por b en I(x), podemos rem­plazar (y asi se hara) r en (a) por a.(b). Cosa que no es mas que el proceso familiar de susiitucion del al­gebra elemental (evalor numerico») donde (observese) x se considera como una variable mas bien quecomo una indeterminada.

Se deja al euidado delleetor demostrar que el proeeso de sustitucion 0 de «dar valor numerico» noda lugar a difieultades posteriores, es decir, el demost~ar q}le para un b E 9l dado, la aplicacion

SUSTITUCION DE LA INDETERMINADAObservando el resto

a(X)· fJ(x) == aobo + (aobl +albo)x + ... + amb.xmh = zEntonees, cada coeficiente del produeto, yen particular a~., es z. Pero fit earece de divisores de cero;luego a~. = Z S1,.y solo si, am = z 0 si b. = z. Como esto contradice la hipotesis de que «(x) y P(x) erande gradosjn y n, entonees fit[xJ no tiene divisores de cero.

Y se sigue entonces elTeorema V. Un anillo de polinomios fit[x] es dominic de integridad si, y solo si, el anillo 91 de los

coeficientes es un anillo de integridad.

EjesIIpIo 3: (a) El polinomio r -4 sobre Z tiene 2 y -2 como ceros, puesto que (2)2 - 4 = 0 Ytam­bien (_2)2 - 4 = O.

(b) EI polinomio [3]X2 - [4] sobre el anillo Z/(8) tiene los ceros [2] y [6] mientras que elpolinomio [1]1'2 - [1] sobre Z/(8) tiene como ceros a ['1]. [3], [5], [7].

Si at no tiene divisores de eero, pasa igual con 9t[x]. Porque sup6ngase que a(x) y f3(x) son elementosde at[x] de grados respectivos m y n, y que

y en particular, se tiene el

Teorema IV'. En un anillo conmutativo unitario de polinomios, un polinomio ~(x) de .grado m tienea x - b eomo divisor si, y solo si, el resto

(a) f == ao + alb + a2bz + ... + ambm = zCuando como en el Teorema IV', r = z se dice que b es un cero (0 raiz) del polinomio a(x).

(iii) a(X) = q(x) • fJ(x) + r(x)

ANILWS C0NMuTATIVOS UNITARIOS DE POLINOMIOS

Sea 9t un anillo conmutativ.o. unitario. Entonees 9t[x] es un anillo conmutativo unitario (l.eu:11essu unidad 7) y los Teoremas II y IV'se pueden enunciar.sih. distinguir entre cocientes a la dereeha y eo­cientes a la izquierda (se remplazan)qR(x) = qt(x) por q(x», restos (se remplaza 'R(X) = rL(x) por rex»~y divisores. As! (i) y (ii) del Teorema Il se pueden remplazar por

127POLINOMIOSCAP. 12)

se deduce que (a) todo elemento inversible de § y todo asociado de o:(x) es divisor de.£l(x) y (b) sif3(x) I (l(x) 10mismo se verifica con todo asociado de fl(x), Los elementos inversibles de § y los asocia­dos qe o:(x) sellaman d~isores triviales de a(x). Otros divisores de a(x), si los hay, se dicen dioisores notriuiales.

Un polinomio £l(x) E F[x] de grado m ~ 1 se dice polinomio primo (irreducible) sobre § si solotiene divisores triviales,

~~ -_\ ~L1NOMlOS PRIM~--:.-=----------

No es dificil demostrar que las (micas unidades de un dominio polinomico &"[x] son-los.elementosno nulos (es decir, los inversibles) del anillo de coeficientes §, Asi, pues, 10S unicos asociados dea(x) E §[x] son los elementos Ii -a(x) de §[x] enque,v~s elemento inversible de jO.

Como para t04-6 Ii 1= Z E ~OdO et(x) e §[x], \

~_____ ) a(x) {V-1 -£l(x~- V }mientras que s\ a(x) = q(x) . fl(x) ,\

~[V-l q(x)] - [v' p(x)]

-~

Se ve ahora claro que los polinornios del Ejemplo 1son distintos, ya se consideren como funcio­nes 0 como formas, pues el numero de elementos de :F = Z/(5) no supera al grade de ambospolinomios. Lo que 'en el Ejemplo 1 parecia entonces 'set una contradiccion con 10que eJ lec­tor ya sabia, era debido naturalmente a que solo se tenia experiencia con cuerpos infinitos.,

Ejemplo 5:

Para una dernostracion, vease Problema 6.

Teorema VIll. Sean o:(x), P(x) E .~[x] tales que «(s) = P(s) para todo s E ff'. Entonces, si el numerode elementos de § supera los grados de et(x) y flex). se tiene necesariamente £l(x)= flex).

(a) EI polinomio 2X2 + 'lx - 15€ Q[x] tiene los ceros 3/2. -5, € Q.

(b) EI polinomio x2 + '2x + 3EC[xJ tiene los ceros - 1 + .ji i y -1 - .ji i en C, perox2 + 2x + 3 € Q[x] carece de ceres en Q.

Ejemplo 4:

De aqui se sigue

Teorema Vl. Sea (l(x) E §[x] de grado m > 0 y coeficiente dominante a. Si los elementos distin­tos bl, b2, .•. , Om de F son ceros de ~(x), entonces

ct(x) = a(.\: - hi )(x - b2) .•. (x - bm)

Para una demostraci6n, vease Problema 5.

Teorema VII.. Todo polinomio a(x) Eg~l~]de grade m > 0 tiene ajo.mas m ceros distintos en

AJgoritmo de Ja division. Si (l(x), fJ(x)E F[x] 'con P(x) 1= z existe un par de polinornios uni­co q(x), r(x) donde /"(x) es 0 bien el polinomio cero 0 de un grade menos que l1(x), tales que~

a(x) = q(x) • flex) + rex) 'Dr ( (' 6<) t:: e4')) , -.,. (,. . v {'("l' "<)= 6l- )Para demostracion, vease Problema 4.

Si rex) es el polinomio cero, P(x) se dice divisor de a(x) y se escribe f3(x) I«(x).Teorema del resto. Si (l(x). x - b EF[x], el resto de dividir o:(x) por x - b es (l(b).Teorema del factor. Si o:(x) E jO[ x] y b E F, x - b es un factor de IX(X) si, y solo si, 0:([J) = z, es

decir, x - b es factor de a(x) si, y solo si, b es un cero de «(x),

[CAP. 12POll NOM lOS128

Exceptuados los casos especiaJes arriba an'otados? el problema d(ha])ar los 'ceroSde.un polinomiodado es.dificil y 'de ehnctse trli'tata aquJ,.Ere 10',qUe .qh~Qade esta,se,~cionnos limitliremo'S'll. ciertos sub­'cpnjuntos de CCx] obteriidos por restric9.i6n g,el,anill9 dc:-'coeficientesi

T~ re_maX. Tod.o a(x) E 'C[x] de gnido m :., 1 6 bien ~s de~prilner grado p puede escr.ib.ir$~COnl0;proQU(,tQd'e pOliiromios de ptirii~r grado.

Teerema IX. Todo polinomio Ii(_'t') e CCx] de grade m "'" 1 ~i~ne preeisarnente m ceres en C, con­tando por n ceres todo cero de multiplicidad n.

De aqui Se sigue por induceion

Aqui se supondra come postulado el llamado

Teorema lund~me,Dta]del a'g~bra. Todo polinomio a(x) E C[x] de grade m~"'"i tiene porlo menosun cero en C.

,.(a) El polinomio x3 + ~\:2'_ 5x + '3 ="(x - 1ft,\: + 3) tiene -3 corno.cerosimpley 1 como.

cere dernultiplieidad 2,

(b) EI polirromio x" - x3 - 3xi., +-$x - 2 = ,(x - If(x,,+ i) tiene ~Lcero simple -,2 y elcere 'demultiplicrdad'tres. L .

EjempJo7:

Es bien-sabido'que 8i'm '= 1, .&(x) = ao + x tieiit; -'ao como ceroysi'i11 = 2, a'f,t) ="ao -+' q~ + .y2tiene t(-0 1- JUI - 4ao) y i( -;al + Ja~ - 4ao) como ceres. En el -Capitulo 8 se-vio c&mo:se !:la­llarr.lasnnrafces.de eualqui~tA 'F C'tiisi que: t9d~,ppliIiQmio~ - a Eq'*]:tiene,at menos n .~er<).s.gn C.Hay formulas (veanse.Problemas r6,19) que dan los.eeros de polinomios de grades :3 yA. Pero sesabetambien que no se pueden establecer formulas semejantes paracualesquierapotinomios'de grado m "'"S.

Porel Teorema VIJ, ning~n,p()lin2Ipi9 J.X(;~) ~e graQ911J."'"J p,\ie4ete,ner.mas de ~~ceros~di~HI'\~?s,En el parrafo anterior, a(x) = alJ+ (/'1''1; + ;(2 tehdta do'Sceres 'oi'stiritcissi, y~drosi, su disctimin1tiitea~ - 4ap 4= 0, Dirernos'entouces que cada uno es un cero simple'~dea(x). No obstante; si a:r - 4ao = 0,;~ada formula da - tal cOn,1ocero YeQIon<;esdiremos qlJ.e -1ql es un: eero .de,.,multipliddad dosede a(s\:)y enurneraremos los ceros asl: -.1(/1' -tal'

Siempte, que sea mils comedo trataremos de polinornios monicos.

de grade m'"," L En esta seccion nos referiremos a ciertos teoremas elementales acerca de los ceros-detales pelinomies.y en parti'cular acerca del subconjunto de todos los .poHoemiosde q.~]cuyos coefi­eientes soh racionales. La mayoria dj.~los teoremas SC( encuentran en cualquier te~t<;>.de~Igebra, sibienenunciado en terminos de ralces de eeuaciones en vez de ceros de polinomios.

Sup6llg~ 'que r'~EC es uil cere de p(:x), Efiidtices, p(r) = dy oomo!i;;"l«c, tambieh b;l . /3(1') = O.As! que los eeros de P(x) son precisamente los de su asociado monico . . ,

l!(x) = ,b:o+ b1x + b,2:li~+ ... + bmx"1 E 'C[x)

EL DOMINIO DE POLINOMIOS: C[x]Sea un polinomio

(a) El polinomio 3x2 + 2x +' l-E: R[x] es un polinomio prime 'sob're R.(b) To~o polinornio ax + b,eF[x] fon q =/',z! es primo so...bIe'~.

Ejemplo 6;

129PQIJIN0MIOSCAP.. Ii]

un polinomio de grado m ~ 1 con coeficientes enteros. Si sl: EQ, con (s, t) = 1, esun cero de IX(X), entonces s] ao y /.1 a.. ,

Teorema XIV. Sea

de modo que s Iao y I I am' Hemos dernostrado el

se sigue de inmediato que

(i) si r E Z~ entonces r Iao(ii) si r = sit, fraccionario irreducible, entonces,

da(x) = -' /1(x) = ao + alx + a'zx2+ .... + amxm E Qrx), ctiene coeficientes enteros cuyos unicos divisores comunes son ± 1, los,elementos inversibles de Z. Ade­mas, fJ(x) y c(x) tienen precisamente los mismos ceros,

Si r E Q es un cere de «(x), es decir, -si

Sea c eI maximo comun divisor de los numeradores de los b y del minima comun multiple de los deno­minadores de los 6; entonces,

Teor;emll xm. Un PJ~\inom~ode grade impar E'~[x] tiene necesariamente un cero real.

Sup6ngase ahora que

(3(x) = bo + b.x + bzx2 + .,, + bmx" E Q[x)

de modo que

Teorema Xl. Si r e C es un' cero de un polinomio cx(x) con coeficientes reales, f tarnbien es un cerode a(~).

Sea r = a + bi con b =1= 0 un cero de a(x), Por e1 Teorema XI i = a - bi tambien es \10 cero Ypodemos escribir '. ,

a(x) = [x - (a + bi»)[x - (a - bi») . aleX)= [X2 - 2a; + a2+ b2] • al(X)

. donde CCI (x) es un polinomio de grado inferior en dos al de ccCx) y tiene coeficientes reales. Como un po­linomio cuadratico con ooefieientes reales tiene ceros imaginaries si, y solo si, su discriminante es ne­gativo, tenemosTeorema~. Los polinornios de primer grade y los polinomios de segundo grado con discriminante

negative son los unicos polinomios E at(x] que son primos de at.

En primer lugar, supongamos que

O'(x) =:; ao+ alx + azx2 + ' , , + an,xm E R[xJde grade m::.. 1 tiene el cero r = a + bi, o' sea, que

a(r) = ao + aIr + a2r + ... + amrm. = 8 + ti = 0

Por el Problema 2. Capitulo 8, pagina 79. tenemos que

a(r) =' ao + aIr + a2f2 + .. , + a,.r"' = 8 + ti = 0

[CAP. 12POLiNOMIOS130

MAXIMO COMUN DIVISORSean a(x) y P(x) polinomios .no nulos de F[ x]. EI polinomio d(x) E§'[x] con las propiedades

(1) d(x) es m6nico,(2) d(x) Ia(x) y d(x) IP(x),(3) para todo cCx) E SF[x] tal' que cCx) Ia(x) y c(x) IP(x) se tiene cCx) Idtx); se llama maximo

comun divisor de a(x) y PIx).Es evidente (vease Problema 7) que el maximo comun divisor de dos polinomios de §'[x] puede

hallarse de la misma manera que eI maximo comun divisor de dos enteros expuesta en el Capitulo 5.Con el objeto de variar, demostramos en el Problema 8Teorema xv. Sean los polinomios no nulos «(x) y (lex) de ?[x]. EI polinomio monico

(b) d(x) = s(x)· «(x) + leX) • PIx), sex), I(X) EF[x]de minimo grado es el maximo cornun divisor de a(x) y P(x)

Se deduce que

Teorema XVI. Sean a(x) de grade m ~ 2 YP(x,) de grade n ~ 2 de §[x]. Hay polinornios no nulos{L(x) de grado n - 1 a 10mas y vex) de grado m - 1 a 10 mas. de F[x] tales que

(c) {L(x) . a(x) + v(x)' P(x) = z

si, y solamente si, !X(x) y {J(x) no. son primos entre si,

Para una dernostracion, vease Problema 9.

(a) Los ceres racionales posibles de

ex(~)= 3x3 + 2X2 - 7x + 2

son ±I, ±2, H, ±j. Como ex(I) .. 0, ex(-I) '" 0, ex(2) '* 0, ex{-2) '" 0, «H>= 0,ext-i) f O.«(t) '" 0, «(-i) =F 0 los ceros racionales son, pues, I, -2, t yes, entonces,ex(x) = 3(x - I)(x + 2)(x - i).

Nota: Por el Teorema. VII; ex(x) no puede tener mas de tres ceros distintos. Asique una ve,z hallados estes se pueden descartar todas las otras posibilidades no ensay'a­das. Aqui no era necesario ensayar las posibilidades -" j, - t.

(b) Los ceros racionales posibles de

ex(x) = 4X5 - 4x' - 5x3 + 5x2 + x-I

son ±l. if. ±t. Como d(lJ = 0, ex(-I) = 0; ex(,) = 0, ex(-f) = 0, so tiene

ex(x)= 4(x - 1)(x + I)(x - i)(x + !). (x - 1)

Ylos ceros racionales son 1,I, -I, !, - i.(c) Los ceros racionales posibles de

ex(x)= x" - 2x3 - ;Sx1 + 4x + 6

son ±I, ±2, ±3. ±6: Para estes, solo a(-I) = 0 y ex(3)= 0, as! quea(x) = (x + I)(x - 3j(x' - 2)

Como ninguno de los posibles ceros ± I, ±2 de x, - 2 es cero, resulta que x2 - 2 esun polinomio primo sobre Q y los unicos- ceres racionales de «(x) son -1, 3.

(d) De los posibles ceros racionales: :f I, ±!, ±l, it,de a(x) = 6.'C"- 5x3 + 7x2 - 5x + Isclamente ] y t son ceros. As.!,que a(x) = ~(,t - !)(x - t)(x' + J) con 10 que x2 + Ies un polinomio primo sobre Q y los ceros racionales de a(x) son ], i.

(eJ Los posibles ceres racionales de

«(x) = 3x· - 6r + 4r - lOx + 2son ± I, ±2, ±i. ±t. Pero como ninguno anula a <x(x). este es un polinornio primosobre Q.

131POUNOMIOS

Ejemplo 8:

CAP. 12]

Teorema xvm. EI anillo F[x]/(A.(x» contiene un subanillo isomorfo al cuerpo 9'.

En el Problema 12 dernostramos el

(a) La adicion y la muitiplicacion son operaciones bien definidas sobre '[x ]!(A{x».

(b) F[x]!(l(x» tiene [z] como elemento cero y [uJ como unidad, donde z y u respectivamenteson el cero y la unidad de F.

(c) F[X]!(A(x».es un anillo conmutativo unitario

respectivarnente, dejando a1 lector la demostracion

[(lex)] + [P(x)] = [(lex) + P(x)][a(x)]' [P(x)] = [a(x)' P(x)]y

Entonces, a(x) e [a (x)] , pues el elemento cero de § es tambien elemento de !F[x), y [(lex)] = [P(x)]si, y solo si, rx(x) ;: P(x) (mod A(X», es decir, si, y solo si, )..(x) I «(l(x) - P(x».

Definamos ahora la adicion y la muitiplicaci6n entre estas cJases de equivaJencia por

[a(x)] = {a(x) + ~(x)· A(X) : p{x)e 9P[x]}(i)

de c1ases de equivalencia asi como Z 10 es en el anillo Z/(m). Para cualesquiera «(x), P(x) E '[x] sedefine

F[x]!()..(x» = {[a(x)], [P(x)], ... }

PROPIEDADES DEL DOMINIO DE POLINOMlOS !F[x]

EI anillo de polinomios ,9O[x] sobre un cuerpo !F tiene ciertas propiedades que se correspondencon las del anillo Z de los enteros. Por ejemplo, ambos tienen elementos primos, ambos son anillos eucli­dianos (vease Problema 11) y ambos son anillos ideales principales (vease Teorema IX, Capitulo 10,pagina 108). Ademas, y de esto nos ocuparemos aqui principalmente, 9>[x] puede ser particionadopor cualquier polinomio A(X) E !F[x] de grade n ~ 1 en un anillo

a(z) :; 4z4 + 3:J:3 + 4%:1 + 4%+ 6 ::: 4z4 + 24:r + 4%2.+ 4%+ 20::: 4(2:. + 6z3 +%2+%+ 5) = 4(%+ 1)(%3+ 6%1+ 8%+ 6)_. 4(z + 1)(z + 8)(z? + 2%+ 4) ::: 4(%+ 1)(%+ 3)(%+ 8)(%+ 6)_ 4(%+ l)(z +3)2(% +6)

Descompongase a(x):: 4x· + 3~ + 4xl + 4x + 6 sobre 2/(7) en un producto de pol i­nomios primos.

Tenemos, sobrentendiendo que todos los coeficientes son clases residuales modulo 7.

Ejemplo 9:

yTeorema XVU. Si aIx). P(x), pIx) E !F[x] con a(x) y p(x) primos entre S1, entonces p(x) I«(x) •P(x)

implica p(x) IP(x).En el Problema lOse demuestra el

Teorema de factorizaciOn Unica. Todo polinomio a(x) de grade m ~ l Y de coeficiente dominante c,de §'[x], puede escribirse

o:(x) == It· [p,(x)]"" • [pz{:t)] ....... [Pj(x)]'"/

donde los. Pi(X) son polinomios primos m6nicos sobre , y los m;son enteros positives. Ademas, salvo el orden de los factores, lafactorizaci6n es unica,

(CAP. 12POLl NOMIQS132

Aqui .9"[.\']/O,(x)) = lao + a,~: ao.G, eY}= 10, I.2. ';,2';.1 + ~.I + 2e. 2 + e,2 + 2';}

Como A.(eJ = e + 1 = [0], ten'e'riys .i2 = [- 1] = [2] 9 2. Las tablas son:

+ 0 2 2< H'~ 1 + 2! 2+e 2+ 2~,0 0 2 2~ 1+~ 1 + 2; 2 + € 2 + 2€

1 2 0 .l+~ 1+ 2~ 2+~ 2 + 2; 2<

2 2 0 :2 +~ 2+2€ .~ 2~ l+~ 1 +.2~

1+ ~ 2+~ 2; 0 1 + 2~ 1 2+ 2~ 2

2€ 2' 1 + 2; 2 + 2~ 0 l+~ 2 2+E

1+£ l+{ 2+~ 1'+ 2~ 2 + 2€ 2 2f 0

1 + 2; 1 + 2~ 2+ 2~ 2{ 1 1 + € 2 2+~ 0

2+( 2+{ l+~ ~H2~ 2 2( 0 1+ 2e 1

2 + 2~ 2+2; 2; l,+2~ 2 2+e 0 1 1+(

Tabla 12-1

Sea § = Z/(3) = [0. 1.2) Y tornese A(x)= x2 + 1 un polinomio primo sobrc fF. Constru­yasc la tabla de adicion Y multiplicacion para el cuerpo jO[x ]/()..(x»).

Ejemplo 11:

El polinomio Xl - 3 del Ejemplo 10 es el polinomio monico sobre Q de grado minima que tiene.ficomo ralz. Siendo unico, se Ie llama el polinomio minima de j3 sobre Q. N6tese que el polinomiominima de j3 sobre R es x - j3.

Considerese A(x)= x2 - :\ e Q[x] un polinoniio primo sobre Q. De manera que

Q[i]/(X2 -,.3) = {ao + a:(: Qo,a, E Q}es un cuerpo con respecto a la adicion Yrnultiplicacion definidas como de ordinario exceptoen que en la muitipliGjlci6n hay que' rernplazar ,2 por 3. Es f;\eil hacer ver que la aplicacion

ao + al~ ~ ao + alva

es un isomorfismo de Q[xJf(x2 - 3) ,obre

Q[va] = {uo+a,va: ao,a,EQ},

el conjunto de todos los polinomios co J3 'sobre Q. Evidentementc, Q[J3] C R de modoque Q[/3] es el minimo cuerpo en que ...-2 - 3 se factoriza enteramente.

Ejemplo 10:

Como una ultima sirnplificacion, remplazando [x] por ~ tenemos

?[x]/(J..(x}) = {ao + ale + aiel + ... + Un_len-, : ajE?}En el Problema 13 se dernuestra el

Teorema XIX. EIanillo .&F[x J/("-(x)} es un cuerpo si, ,y'solamentesi, A(x) eSun polinomio primo sobre g;;.

[ao] + [at][x] + [az]- [X)2 + ... + [aft-'}- [x]"-'ao + a,[x] + az[XJ2 + ... + a,,-, [x)n-l

Si A(X) es de grado I. es claro que 9[x]/(J..(x» es el cuerpo 9; si J..(x} es de grado 2, 9[x]/(J..(x)ccnsta de 9 junto con todas las clases de equivalencia {[ao + a,x] : ao, 0, E 9, a, .;: z}; en general,si A(X) es de grade n, tenemos

?[x]/(,,-(x» = {[ao + a,x + a2x2 + ... + a._,x"-'] :aj EF}Ahora bien, las definieiones de adicion y .multiplicacion entre clases de equivalencia y el isomorfismo:Qj +-+ [a;] implican

133POUNOMIOSCAP. 12]

Vease Problema 15.

EI Ejemplo 13 ilustra el

Teorema XX.. Si rx~x) de grado m "" 2 es un elemento de SF[x], existe un cuerpo fT', con' C SF',en que a[x) tiene un cero.

Para una demostracion, vease Problema 14.Es de notar que sobre el cuerpo" del Teorema XX, (X(x)puede ono escribirse como producto de m

factores de grado uno. Sin embargo, si a(x) no se factoriza completamente sobre ", tiene un factorprimo de grade n.~ 2 que se puede utilizar para obtener un cuerpo ''', con' C §i' C §i", en el cuale(x) tiene otro cero. Como cx(x)tiene solamente un numero finito de ceros, el procedimiento se puedereiterar siempre un numero suficiente de veces para Ilegar aSLa un cuerpo ,(1) en que a(x) se factoricepor completo,

Dernostrar que el cuerpo R[xJl(x2 + 1) es isomorfo a C.

Tenemos R[X]/(X2' + I) = {ao + ate: ao, a, E R}. Como (2 = -1. la aplicacion

Qo + al~ -+ ao + a,i

es un isomorfismo de R[x]/(x-2 + 1) sobre C. Tenemos, pues, un segundo metodo para cons­truir el cuerpo de los mimeros cornplejos con el cuerpo de los numeros reales. No es posible,en cambio, utilizar tal procedimiento para construir el cuerpo de los numeros reales a Partirde los .racionales.

EjempIo 13:

y asi t(~2 - 2e + 2} es el simetrico pedido.

de modo que

1 = iW +E + 1)(1 - E} -+ 1«(2+ E+ 1}(e2 - 2e+ 2}

(E8+ ( + 1) I [1 - t({2 + t+ 1}(t2 - 2( + 2)J

1«(2+'E + 1)((2 - 2e + 2) = 1

Entonces,

Sea F = Q y tomese ).(x) = x2 + X + 1, un polinomio primo sobre F. Hallar el simetricomultiplicativo de (2 + ( + 1eF[x]/().(x».

Aqul F[x]!(),.(x)) = {ao + a1( + a2(2: Qo. a.. a. EQ} Y como ).(e) = e2 + e + I = 0,tenemos e3 = -1- (y ~4= -e - ,2.Un procedimiento para hallar el simetrico pedido es:

hacer (ao + aI' + a2,2)(1 + , + e) = 1,multiplicar susrituyendo C y ,\ .igualar los correspondientes coeficientes de ,0, ,. ey despejar ao, Q1> a2'

Por 10 general, esto resulta mas tedioso que seguir la demostracion de existencia del simetricoen el Problema iB. Asi, utilizando el algoritmo de la division, encontramos

EjempIo 11:

134 POLlNOMIOS [CAP. 12

0 1 2 2E I+E 1+ 2~ 2+( 2+ 2E

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

1 0 1 2 2~ I+E 1 +2E 2+( 2+ 2(

2 0 2 1 2( 2+2E 2.H 1 + 2E I+E

0 2E 2 1 2+E I+E 2+2E 1 + 2E

2{ 0 2e 1 2 1+ 2e 2+2E I+E 2+E

1+( 0 1 +E 2+ 2( 2+( 1+2E ~ 2 1

1 + 2( 0 1+2( 2+( 1+( 2+ 2e 2 2( 1

2+( 0 2+E 1+2( 2+2E 1+( 1 2E 2

2 + 2( 0 2+ 2E 1+( 1+ 2E 2+( 1 2 2E

Tabla 12-2

3. En eI anillo de polinomios S[x] sobre S, el a;niflodel Ejemplo I (d), Capitulo 11, pagina 114,

(a) Hallar el resto cuando cx(x)= ex" + dx3 +~ex2+ ~x + g se divide por P(x) = bx2 + [x + d.

(b) Comprobar que I es un cero de y(x) = cx4 + dx3 + cx2 + bx + d.I

a(z) - rR = "I(z - b) + "2(z2 - b2) + '" + a",(zm - b"')

= {a.1 + "2(Z + b) + ... + a.".(:l:m-I + 11:1:",-2+ ... + bm-I)} , {(II - 11)

= qa(z) • (z - 11)

Entonces, a(z) = qR(z)' (:.;- 11)+ rlt

Segun el Problema 1, el resto ala derecha es unico; Juego r~ es el resto u la derecha requerido.

2. Demostrar: EI resto a la derecha de dividir cx(.~)= ao + a1x + a2x2 + ... + a".x'" E 9t[x] porx - b, ,be9t, es ra = ao + alb + azb1- + ... + a",bm-,

Considerese

Pero ,~(x) - 'R(X) tiene un grade que es .n - 1 a 10 mas, mientras que, al menos que qR(X) - qR(X) = z,(qR(X) - q~(x» . fJ(x) tiene grado n por 10 menos, Asi que qR(x) - q~(x} = z y entonces r~(x) - 'R(X) == Z, 10eual demuestra la unicidad,

a{X) = qR(z) •P(z) + ra(z) q~ (z) • P(z) + ,.~(z)(qR(z) - q~(z»)' P{z) = r~{z) - ,rR(z)Entonces,

Para demostrar la unicidad, supongamos

con rex) de grado n - 1 a 10 sumo. Entonces,

a(z) = ),(z) + a.",zft-m. P(z) = (4(z) + a.",::tft-m) • P(z) + r(z)

= qR(z) • P(z) + rll(z)

donde qJl(x) = .s(x) + a,..x"-" Y 'R(X) == rex)' como se requeria.

Si «(x) es el polinomio nulo 0 si n > m, entonces (I) es valida con qR(X)= Z Y 'R(X) = «(x).Sea n .sm. EI teorema es trivial una vezmas si m =. 0 0 si m = I y n = O.Para el caso m == n = I, tome­

se «(x) = 00 + 0IX Y P(x) = bo + ux. Entonces,

a(<I) = ClO+ ClfZ. = ",(bo + 1/,z) + (11'0- Cllbo)

y el teorema es cierto con qR(X) == 01 Y rR'(x) == ao - rllbo.Vamos a emplear ahora el principio de induccion del Problema.27, Capitulo 3, pagina 37. Para ello supon­

gamos que el teorema es eierto para todo a(x} de grade .,; m - 1 Y consideremos «(x) de grade m. Ahora bien,)I(x) = a(x) - o..x": .. ·p(x)e f>t[x] y tiene grado ·<m. Por hipotesis,

)'(z) = 6{z)' P(z) + r(z)

a(x)(i)

1. Demostrar: Sea 9t un anillo con unidad u; sea

cx{x)= ao + a1x + QzXZ + ... + a".x'"E9t[x]bien el polinomio nulo 0 bien de grade m; y sea

P(x) = bo + b1x + bzx2 + ... + ux" E 9t[x]

un polinomio m6nico de grade n. Existe entonces un par de polinomios nnico qR(X), rR(x) E 9t[x]con rR(x) ya nulo, ya de grado < n tal que

Problemas resueltos

135POLfN0M10SCAP. 12]

Hagamos rex) = a(x) - Q(x), EntOFlCCS,}'(x) 0 esel polinomio nulo 0 es de grade p que con 'seguridad nosupcra al mayor de los grades de cc(x)y Ihx). Por hip6tcsis. Irs) = «(s) - II(~) para todo S E iF. Entonces, i'(X) = ztpues si no y(x) tendria mas ceres que su grade, en contra del Teorerna VII. pagina 128) y ~(x) - /1(x) como seafirma. "

6. Demostrar : Sean a.(c.h.j3(x): FIx] fal~s qu,~a:(~t=_P(:)..~ar,a todo s~ ff. Ep!QILqe~s_i.el numerode elementos de ,ff excede ael grado de a(xh~(xj. "senene necesanamente a(x) = J3(x~

_ _ ~ -.-... '.t~ • .- --:::,.'

y la demostracion por induccion queda completada,

Entonccs.

donde q(x)es de grado kcbn coeficiente dominante a,C:omo~tbJ)= q(bi)" tb, - bt) = z paraj = 2.3, ' , .• k + 1Ycomo b, - {II" 1= z para todoj ~ I, se sigue que bl• b3••••• bH I son k ceres distintos de q(:c)" Por hip6tcsis.

<>(x) = q(x)' (x - b,;

Supongase ahora que el teorema es cierto para In '" k Yconsiderese or(x)"degrado k + I con ceres b,• h2' . , , .hk+I' Como b, es un cero de or(,~),tenemos porrel teorcrna de factorizacion

= DX +~I :::. (IX - Dbl = a(x~ bl) .,._~

(-'(,.(:I( - ~Jt') = "'t"~~ '\

a(x)

EI tcorema es cierto par~ In = I.

5. Demostrar : Sea a(x) E jO[ x] de grado m > 0 y coeficiente dorninante' a. Si los elementos distintosb1• b2, ••• , bm de fF son ceros de a:(x), entonces «(x) = a(x - b,l)(X - b2). , , (x - bm),.

Supongase III = I de modo .que or(x)= IIX + II, tenga como cere a hi' por ejernplo. Entonccs, a(b.) =ab, + (II = Z, a, = ab, 'I

con rex) polinomio nulo 0 de grade inferior al de /1(.'1').

«(:x;) q'(x) • P'(x) + rex)

[b,~I q'(:x;)l • [b.· P'(x)1 + r(:x;)

q(:x;) • ,B(x) + -,,(x)

4. Demostrar el algoritrno de la division enunciado para el dominio de polinomios .~[x].

NO/(I, Era necesario que tUX) fuese monico en el Teorema IT.pagina 126. y en su nuevo enunciado para ani­llos conrnutativos uniiarios.

Sup6ngase ahcra que a(x). PIx) e F[.~] .con h. '" u por coeficienie dominante de fJ(x). Entonces. como h;; Isiernpre existe en fF y P'!x) = h; I • /1(.'1') es monico, podemos escribir

como sc pedia.

bx2 + 1%+ d) ex' + dx3 + c:r2+ h:x;+ gc:t4 + ex3 + 1:x;2

hz3 + h:x;2 + IIXhx3 + gx2 + ex

bx2 + d:x; + gbz2 + I:x; + d

ax + I

(b) Aqui P = c.P = cf = e y F = If. Entonces

y(f) ch. + de + 02 + b] + d

;= d"+ c+ h+l+d ::: a

cx2 + h» + b(a) Procederemos como en la division ordinaria con una va­riacion. Como Ses de caracteristica dos ..r + (- I) = S ;" Ipara todo s. I E S; luego, en el paso «carnbiar los signosy sumar», sumarernos simplemente.

EI resto es r(x) '" K:,x + j.

[CAP. 12POLINOMIOS136

y se tiene (c) con pIX) = Po(x) y v{.-.:)= -«o(:c),

Po(x)' a(X} + [-a1)(z)' P(x)] = zde modo que

Es claro que «0(.\") tiene grade ~ m - 1 Y Po(x) tiene grado ... n - I. Ademas,

Po(z) • O'(x) = Po(x)' "o(z) • a(x) = 'O'o(z) • [Po(x) • 8(x)) = O'o(z)' PIX)

PIx) = {Jo(Z)' a(z)«(2:) = «o(x)· a(.x) ,

Supongase que 0(-'1')de grado p ... 1 es el maximo comun divisor de «(x) y /llx) y escribase

si, y solo si, a(x) y P(x) no son primos entre si

(c) '_'(x)· a(x) + v(x)· f3(x) = z

9. Demostrar: Sean a(x') de grado m ~ 2 oj P(x) de grado n ~ 2 de jI'{x]. Hay entonces polinomiosno nulos /-lex) de grade n - 1 a 10 mas y v(x) de grado m - I a 10 mas en F[x] tales que

s = {s(x)· a(x) + I(X)' P(x): sex). {(xle g;[x]}

Es claro que esle es un subconjunto no vacio de '[x] y. por tanto. contiene un polinomio no nulo o5(x)de gradominimo. Para todo b(x) e S, tenemos, por el aJgoritmo de !a division, hex) = q(:c) . 6(x) + r(x) donde ,(x) e S(demostrar esto) 0 bien es el polinomio nulo 0 bien tiene grado rnenor que el de o(x). Entonces rex) = = y h(xl =q(x)' o(x) de modo que todo elernento de S es un multiple de o(x). Asl, pues, o(x)' I «(xl y o(xl IPIx). Ademas,como o(x) = so(x)' «(x) + lo(x)' PIx), cualquier divisor cornun cCx)de «(x) y (J(x) es divisor de o(x). Pero si olx)es monico, es el maximo comun divisor d(x) de «(x) y PI;.:); y si no, existiria un elemento inversible u tal que r . (~(x)es monico y d(:d - 1" o(x) es el maximo comun divisor buscado.

8. Demostrar: Sean los polinomios no nulos «(x) y I!(x) de.~[x]. EI polinomio m6nico

d(x) = so(x)' a(x} + lo(X)' P(x), 80(X), to(x) E '[x]de grado mlnimo es el maximo cornua divisor de a(;l') y P(x).

Considerese el conjunto

- _!__ (8x - 23) • aIr) + _1_ (8x2 - 7x -14) •PIx)·279 279

y asi, entonces.

...r2(x)· P(z) - .q~t~)··,)(%)

PIx) - q~(x)' a(X) + tll!Z)' 9;(it) • /3(x). ..··.1 '. . •

= -il2(x).<t(!!i) + (1+91(X)'92(X»)'P(z)

l' 1- ~ (8x'- 23) ... (:x) + 32 (8x2 - 7x - 14) • P(x)

De modo que

Com~:~x) no es m6nico. es un asociado del maximo comun divisor buscado d(:.:) = x2 + ~x+ 1-

o(x) = (z +2) • PIx) + (24.r'l+ 49x2 + 30x+11) 9.(z) •PIx) + rl(z)

PIx) 1 93= 32 (8x - ~~ :r1Ix) + 32 (Sx2 + 2x + 1) 92(z) • r1(z) + "2(Z)

r1(x)1 - -

= 93 (256x + 362) • r2(X)

- -... - ------ - - -=.-::... -

Procediendo como en el E_roblema·cotresPQtldiel'ftecon- enteros, e_nconlramos

d(J") sex) • a(X) + t(x)' ,8(x)

7. Hallar el maximo comun divisor de «(x) = .6xs + 7X4 - 5x3 - 2X2 - X + y PIx) = 6x4 _

5.'1'3 - J9.y2- 13x - 5 sobre Q y expresarlo en la forma

137CAP. 12)

Ahora bien, A.(x)Iu - cx(x)· P(x) de modo que [a(x)]' [PIx)] "" [u]. Luego, todo elemento no nulo [a{x)] EF[x]/(A.(x} tiene simetrico multiplicativo y F[x]/{A.(x)) es un cuerpo,

Supongase que A.(x) de grade m ;.."2 no es polinomio primo sobrs , 0 sea que A(X) = lJ(x)' vex) dondelJ(x), vex)E'[X] tienen grados positives s y ( tales que s + (~ m. Entonces, s < m de modo que A.(xH lJ(x)y [)i(x)] ", [z]; analogamente, [vex)] ", [z]. Pero [J.l(x}] • [v(x)] "" [J.l(x) • vex)] = [A.(x)] = [z]. Asi, pues, como[J.l.(x)], [vex)] e9"[x]/(A.(x)), se sigue que F[x]/(A;(x») tienen divisores de cero 'I no es un cuerpo. .

para ciertos P(x), )I(x) e F[ x]u = «(x) . P(X) + A.(x)• Y(X}

Sup6ngase que A(X) es un polinomio prime sobre F. Entonces para todo [a(x)) =F [2] de F[X]/(A(X}}tenemos por el Teorema XV, pagina 131,

13. Demostrar: El anilJo F[x]/(:A.(x» es un cuerpo si, y solo si, A(X) es un polinomio primo sobre IF.

Sean o. b elementos distintos de §'; entonces, [a], [b] son elementos diferentes de F[x]/(A.{x» puesto que[a] == [b] si, y solo si, A.(x)I (0 - b).

Entonces, la aplicaci6n a -+ [a] es un isomorfismo de , sobre un subconjunto de F[X]/(A(X», pues esbiyectiva y se preservan las operaciones de adicion y,multiplicaci6n. Se deja al lector el demostrar que.este sub-conjunto es un subanillo de F(x)/(A.(x)}. .

12. Demostrar: EI anillo ~TxJ/(A(X») contieae un subanille isomorfo al cuerpo IF.

donde rex) 0 bien es z 0 de grado inferior al de fI(x). Asi, pues, 0 bien. rex) = z 0. bien OCr}< OW},como seafirma,

a(x) == q(x) . PIx} + rex)

11. Demostrar: El aniUo de polinomios Y[x] sobre eI cuerpo §" es un anillo euclidiano.

Para todo polinomio no nulo a(x) E"9>[xJdefinase 9(\X) = m donde m es elgrado de a(x}. Sia(x). PIx) E '[x]'tienen, respectivamente, grades m y n. se sigue.que O(a)= m, (JW) = n, O(a' P) = m + n y, por consiguiente,9(a' P) ;.." 8(a}. Pero ya se .ha establecido el algoritmo de la division:

10. Demostrar : El teorema de factorizacion unica es valido en ~[x].Considerese un polinomio «(x) E~lx]' Si a(x) es prime, el teorema es trivial. Si a(x) es reducible, escri­

biendo a(x) = o· P(x)· y(x) donde Pix) y y(x) son polinomios monicos de grado positivo menor que e) de a(x},entonces 0 bien PIx)' y ")'(x) son polinornios primos, como seexige en el teorema, 0 uno 0 ambos son reduciblesy pueden escribirse como producto de dos polinomios monicos. Si todos los factores son primos. se tiene e) teore­ma; si no .. , . Este proceso no puede seguirse indefinidamente (pot ejemplo, en el caso extrema obtendriamosIX(X) eomo producto de m polinomios de primer grado), La. dernostracion de unicidad se deja al lector, quientambien puede usar el prooedimiento de induccion del Problema 27, Capitulo 3, pagina 37, en la primers partede la demostracion.

~ PIx) IJ.l(x).Pero esto es imposible; luego (c) no se verifica si a(x) y PIx) son primos entre si.

I'(xl = I'(x)' sex) • a(x) + p(x)· t(x) • ,8(x)

= sex) [-.(xl •P(x)J + p(x)' t(x) • p(x)

= PIx) [I'(x) • t(x)' - .(x)· '(x)1

Entonces,

para ciertos s(xl. f(xl e .?[;~]1< = 8(X)' o(x) + t(x)' ,8(x)

Reciprocamente, supongase que se verifica (c) con.a(x) y P(x) primos entre sl. Por el Teorema XV. pagina 131.tenernos

POLINOMIOS (CAP.U08

T6mese A =.y2; entonces los ceres de a(x) son

V'2 + V1- I, '"~ + ",2 t'4 - 1, ';'2 V2 + '"\!4 - 1EI lector dernostraraahora que, salvo el orden, 'estes ceres se obtienen tomando A = ,.y.4.

= (%3 - 2)(:z3 - 4)",3

z6 - 6z3+ 8:z3

y(z) = f(z + 2M = z'. + S/z3 - 6

A su vel. la sustitucion y = z + 2/z da

Ply} = a(y - I} = -6 - 6y + y3

La sustitucion x = y - I da

17, Hallar los ceros de a(x) = -II - 3x + 3x:~+ x3,

0(2) = '(:3 + t(q - yq2 + 4ps/27}j • (,23+ i(q + yq2 + 4p3/27)]

y denotense los ceros de,23 + ,\(q - Yq2 + 4ps/27) por A, «)A, «)2A. Los ceros de a(x) son entonces:A -'- p/3A - a~!3, (l)A - (l)2p/3A - a2/3, Y (1)2 A - wp/3A - a2/3.

(ii) Hagase y = z - p/3:: para tener

y(z) = P(z - 11/3%) = %~ + q _ p3/27z3 = z6 + qz3 - 113/27zS

Entonces, cualquier cero, s por ejemplo,deJpolinomio.5(z) = z6 + q=3 - pJ/27daelceros - p/3s-02!3de (X(x); los seis ceros de .5(z) dan, como se puede demostrar, cada cero de !X{x)dos veces. Escribase

Si q = 0, los ceros de Ply) son 0, FP. -FP y los ceros de (X(x) se obtienen disminuyendo cadacero de Ply) en 0]./3. Si q + 0 perc p = 0, los ceres de Ply) son las tres raices cubicas p, coo, (1)2p (vease Ca­pitulo g.) de -q, de donde los ceres de (X(x) se obtienea como antes. Para el caso pq '* O.

La deduccion se. basa en dos cambios a nuevas variabtes:

(i) Si 01 = 0, hagase x = y y procedase como en Iii) abajo; si 0l + 0, hagase x = y + vy elijase II de modoque la cubica que resulte carezca del termino en y2. Como eJ eoeficiente de este termino es 01 + 3v. la re­lacion apropiada es x = y - a.J3. Sea el potinomio resultante

J6. Derivar formulas para los ceros del polinernio cubico a(_\")= ao + atx + a2x2 + x3 sobre Csi ao +- O.

(b) Como los ceros de x3 - 3 son {/3, 13(I). 13(1)2, es claro que .'1'3 - 3 se factoriza enteramente enF" = F'[(I)J.

IS. Hallar un cuerpo en el cual x3 - 3 E Q[x] (0) Bene un factor, (b) se factoriza completarnente.

Considerese el cuerpo Q[x)/(x3 - 3) = lao + al~ + 0ze: °0.°1. a2 E Q}(a) EI cuerpo asi definido es isomorfo a

s: - {oo + 0113+ Ol~: ao, al• al EQ}en el cual Xl - 3 tiene un cero,

14. Demostrar: Si «(x) de grado m ~ 2 es un elemento de §[x], existe un cuerpo P" con SFC !/F' enque «(xl tiene un cero.

EI teorema es trivial si (X(x) tiene un cero en F; supongase que no es asi, Entonces existe un polinomio primomonico A(X) E ff[x] de grado n "" 2 tal que i.(x) I(X(x). Como A(X) es primo sobre jO, deflnase P" = ,~[x ]/()..(x)l.

Ahora, por el Teorema XVIII, pagina 132.Fe'?' de modo que «(x) E JOTx). Asi que existe e e?' talque )..(~)= [;). Con 10 cual e es un cero de a(x) y S;;' es un cuerpo que cumple 10 exigido por el tcorerna.

139POLiNOMIOSCAP. 12)

Resp. (a) 3x; 4 + 4x·+ xl + 2x3 + x'(e) x2' + Xl + X4; 2 + x + x2 + x'

21. Hallar la suma y producto de' cada par de polinomios sobre el anillo de coeficientes 'indicado. (para' comodidad,se han remplazado [c], [bJ, ... , por Q> b, .... )

(a) 4 + x + zr. 1 + 2x + 3x2; 2/(5)

(b) 1 + 5x + 2x~, 7 + 2x + 3x2 + 4xJ·; 2/(8)

(e) ~ + 2x + x3, • + X + x2 + X4; 2/(3)

20. Dar un ejemplo de dos :peli~mios .en x de grade 3 con coeficientes enteros Ycuya suma sea de grado. 2.

Problemas propuestos

con ceres - 2 ± 2i y 2 ± .j2. Los ceres de cclx) son -I ± 2i Y. 3 ± .j2.

64q8 - 192q4 - 112q2 - 576 = 16{q2 - 4){4q4 +4q2 +9) = 0

T6mese q = 2; entonces p = 8 y r ~ 2 de manera que

16 - 2411 - 6112 + 114 == (8 + 411+ 1I2){Z - 411+ 112)

Aqui, (i) del Problema. 18 se convierte en

16 - 24:1/ - 6y2 + y4Ply) = ..(y + 1)

Coo cc= y + J, obtenemos

19. Hallar los ceros de a(x) = 35 - 16x - 4x3 + X4.

Asl que considerando el primer miernbro de (i) como un polinomio de tercer grado en q2, cualquiera de sus cerosdistinto de 0 dara la factorizaci6n pedida. Entonces, con los euatro ceros de jJ(y), los ceres de «(x) se obtienendisminuyendo cada uno. de estes en a3/4.

Como 2p' 2r = 4bo, tenemos

(i) 64q6 + 821i2q4+ 4{hi - 4ho)q2 - b~ = 0

2ry

Si bl = 0, t6mese q = 0; si no, con q + O,.se balla

siernpre que existan p, q, r E C que verifiquen

(p + 2qy + y2){r - 2qy + y2)

pr + 2q(r - ply + (r +p - 4q2)y2 + ~Ply)Ahora bien,

si ao",," O.a(X) = Ilo + alx + a2x2 + asx3 + X4 E C[x),

Si a3 + 0, hagase x = y - a;}4 para obtener

18. Obtener un procedimiento para hallar los ceros del polinomio de cuarto grado

[CAP. 12POLlNOMJOS140

36. Demostrar: Si a + b.jC con a, b, c e Q y si no siendo C un cuadrado perfecto es un cero de a(x) e'Z[x),

tambien lo es a - b.jC.

35. Demostrar 1.05 Teoremas VII. IX y XIII.

34. Enumerar todos los polinomios de grade 4 primos sobre Z/(2).

33. Enumerar los polinomios de 1'1forma 3x2 + ('x + 4 que son primos sobre 2/(5).Resp. )x2 + 4. 3x1 + X + 4, 3Xl + 4x + 4

32. Hallar todos los ceres del polinomio del Problema 291M.

Resp, (lI) 2,3: (d) I.3. 331. Hallar todos los ceros de 1.05 polinomios del Problema 26.

30. Hallar lodes los ceres sobre C de los polinornios del Problema 25.

29. En el anillo de polinomios S[x] sobre S. cl anillo del Ejernplo I(d), Capitulo II. pagina 114.

(a) Demostrar que bx1 + ex + g y g.~ + dx + b son polinemios primes.(b) Factorizar hx" + ex3 + cx2 + h.

Resp, Ib) ib» + b)(cx + g)(gx + d)(ltx + d·

28. En (d) del Problema 26 obtener tambien 3xJ + 4:0:' + 3 = Ix + 2)(x + 4)(3x + I). Explicar por que esto nocontradice al teorema de factorizacion unica.

27. Factorizar x' - 1 sobre (lIl 2/(11). (h) 2/(131.

26. Factorizar en productos de polinomios primos sobre e] cuerpo indicado. (Vease nota al Problema 21.)

(a) x2 + I; Z/(5) (c) 2.-.;2 + 2x + 1: Z/(5)(b) x2 + x + I: Z/(3) (d) 3.-.;3 + 4x2 + 3: Z/(5)

Resp. (a) (x + 2)(.'( + 3). (d) (v + 212(3.\" + 2)

25. Factorizar en productos de pohnomios primes sobre (i) Q. (ii) R. (iii) C-(lI) x· - I Ie) 6x4 + 5X3 + 4x2. - '2x - I

(il) X4 - 4x2 - X + 2 (d) 4x5' +4x.4 - rll,'l - I Lr + lOx + 1\

Resp. (a) (x - I )(x + I )(xl + I ).sobre Q.R: (.'( - I)(x + I)(x - i)(x + i) sobre C(d) (x - I J(~x +' I )(2x + 3')(x1 - 2) sobr~ Q.; (x - J )(2x + 1)(2.\' + 3)(x - J2 )(x + J2) sobre R. C

24. Dernostrar que 9)[x] no es un cuerpo para cualquier dominic de integridad !?J.Sugerencia. Sea a(x) E fl?[x] de grado > 0 y supongase que /I(x) E fl?[x] es un simetrico multiplicative de a(x).Entonces 'X(x)' (t(x) tiene grado > O. una con trad iccion.

23. Dados «(x). P(x).;t(x) E jO[.>;] con coeficienies dorninantes respectivos a, b, c y supuesto (X(.\,) - P(x)· ,(xl. de­rnostrar que «(x) - a • P'(x)' i"(X) eon P'(x) y /(x) polinomios monicos.

22. En el anillo de poJinomios Sex] sobre S. el anillo del Problema 2, Capitulo 10. pagina 108, comprobar:(a) (b + gx + fy2) + (d + gx) = c + ('X +f,2

(b) (b + gx + Ix2)(d + ex) = b + ,IX + ("x2 + hx3

(c) (b + gx + f-.;2)(d + ex) = b + c.v + bx1

(dl 1+ bx y e + ex son divisores de cero(e) c es un cero de1+ r.r + ft2 + exl + dx",

141POLINOM.lOSCAP. 12)

44. Hallar el simetrico multiplicative de e + 2 en (a) Q[xJ/(x3 + x + 2), (by ff[x]/(r + x + I) si F = Z/(5).Resp. (a) i(1 - 2~ - ,z), (b) lIe + 2)

42. Demostrar que todo polinomio de grade 2 de §'[x] del Ejemplo 11, pagina 133, se descornpone completamenteen factores en fF.(x]/(x2 + I) dando los factores.

Respuesta parcial. a:2+ 1 = (:I: + E)(a:+ 2~); x2 + a: + 2 = (a:+(+ 2)(a: + 2(+ 2);2x2 + a: + 1 = (x + E+ 1)(2x + Et 2)

43. Estudiar el cuerpo Q[x]/(x' - 3). (Vease Ejemplo 10, pagina 133.)

41. Dernostrar el Teorema XVll, pagina 132.

(a) xS + :1;4 - ~ - 8x + 2, x3 + 2x2 - X - 2; Q(b) 3x4 - 6x:l + 12;c2 + 8x - 6, x3 -- ax? + 6x - 3; Q(e) x5 - 3i%3 - 2ix2 - 6, X2 - 2i; C(d) x5 + 3x3 + x2 + 2x + 2, 'x' + 3x3 + 3x2 + X + :2; Z/(5)

(e) :rs + xS + x, xi + 2xa + 2x; Z (3)

(I) cx4 t h:x;3+ ax2 + gx + e, gx3 + hx~ + clx + #; S del Ejcmplo 1(iI). Capitulo II. pagina 114

Res». (b) 4!7'(37x2 -108x ·ld7.7)· a(X) + 4!7 (-111x3 + 213x2 - 318:1:- 503)' .a(it)

(d) (x +2) • a(x) + (4:1;2 + x + 2) • .a(x)

(f) (ux + h)' a(x) + (ox2 + hx + e)· p(r)

40. Hallar el maximo cornun divisor de cada par «(x), P(x) sobre el anillo de coeficientes indicado y expresarlo enla forma s(x)' <x(x) + t(x)' P(x).

39. Verificar que cI polinomio minimo de j3 + '2; sobre fJl es de grade 2 y sobre Q es de grado 4.

• (d) - I + i y 2 - 3;(b) ; y 3

38. Forrnar polinornios «(x) E Z(x] de minimo grade que tengan entre sus ceros:

(a) j3 y 2 (e) I y 2 + 3}5 (e) 1 + ; de multiplicidad 2

37. Sea,at un anillo conmutativo unitario .. Demostrar que 9l[x] es un anillo ideal principal. ~Cuales son los idealesprimos?

[CAP. 12POLlNOMIOS142

Considerense los vectores ~ = (1,2), n = (f,0), a = (0, -3/2). Entonces,

(c) 3t = 3(1,2) = (3,6), 2v = (1, Q), y 3~ + 2~ = (3,6) + (1,0) = (4,6).

(b) ~+ 2v = (2,2), V + IT = (t- -3/2), y 5(~+2~)- 4('1+ e) = (8,16).

Ejemplo 1:

Denotese porF el conjunto de tQdQSlos vectores del plano. (es decir, V = R x ;R). Ya que V tieneun elemento neutro 0 cere' = (0,0) Y todo ~ = (a; b)E V tiene un simetrico aditivo U opuesto -{= (-a, -b) E V tal que ~ + (-~) = " Ves un grupo aditivo abeliano, Ademas, para cualesquiera .1',

t E Rye, '1E V, se verifican las propiedades siguientes:sa + 'I) = s~+ Srt (8+ t)t = St + t~

s(t~) = (st)~ 1~ = e

En el ejemplo anterior es evidente que todo escalar S ER y todo vector { ER x R. No. puede haberconfusion al utilizar (+ ) para denotar tanto. la adicion de vectores como. la de escalares.

Entre estos vectores se definen dQSoperaciones:

Multiplicacio'nescaldr. Sea e1vector e 1 =.(a~0) que representa una fuerza aplicada en O. £1 pro­ducto del escalar :3 yel vector {I definido PQr 3{1 = (30, 3b) representa una fuerza aplicada en 0 quetiene el sentido de. elY tres veces su magnitud. Analogamente, - 2e1 representa una fuerza aplicadaen 0 que tiene dQSveces la magnitud de {l' pero de sentido opuesto al de el'

Adicion vectorial. Si {l = (a, b) Y ez = (c, d) representan dQSfuerzas aplicadas en 0, su resul­tante { (Ia fuerza (mica aplicada en 0 que tiene el mismo efecto que :.ts dQSfuerzas {l Ye2) es dada PQr{ = {l + e2 = (a + c, b + d) obtenida por la ley del paralelogramo.

Fig. 13-1

(4 + c, b + d)/;/,/ /1

r'/ /./ /

(c,d) '" /P(a,b)

yEn este capitulo se define y estudia un tipo de sistemaalgebraico llamado espacio vectorial. Antes de hacer unadefinicion formal, recordemos que en la fisica elementalhay que tratar con dos tipos de cantidades: (a) escalares(tiempo, temperatura, rapidez) que tienen magnitud sola­mente y (b) vectores (fuerza, velocidad, aceleracion) quetienen magnitud 'If direccion, que se representan frecuente­mente por flechas. PQr ejemplo, considerese en la Fig. 13-1un plano dado. en el cual se ha establecido un sistema decoordenadas rectangulares y un vector {I = OP = (a, b)que una el origen al pun to pea, b). La magnitud de ~l (Ion­gitud de OP) viene dada por r = Jaz + b2 y la direccion(el angulo 0, siempre medido a partir del eje positive x)la determina cualquiera de las relaciones sen 6. = blr, cos6. = air, tg 6. = b]a.

INTRODUCCION

Espacios vectoriales

Capitulo 13

Un subconjunto no vacio U de un espacio vectorial V sobre !F'es un subespacio de V si U es a suvez un espacio vectorial sobre !F con respecto a las operaciones definidas sobre V.De aqui se sigue el

SUBESPACIO DE UN ESPACIO VECTORIAL

(1) s( =, para todo s € !F(2)zt;=, para todo ~ € V(3) (-s)e = s(-~) = -(s~) para todo SE§ y eE V(4) Si s~ -= C, es s = zoe = c

Luego, z~ = , y sC = (.Enunciamos estas propiedades junto con otras que establecera el lector, como

Teorema I. En un espacio vectorial V sobre 1F con z, el elemento cero de !F y t el elemento cero de V,tenemos

s~ + z~ (s + z)~ s~' = s~+ ,s~+ st; = s(~+~) == 8~ = s~ + {y

Entonces V. (R) cs un espacio vectorial sobre R.

(h) Sea!F = R Y V. (C) = {(a.., a2' ... , a.): a, EC} can adicion y multiplicacion escalarcomo en (a). V. (C) es un espacio vectorial sabre R.

(c] Sea!F un cuerpo cualquiera, V = F[x] el dominio de polinomios en x sobre F y de­finasela adicion y la multiplloacion escalar como la adici6n y multiplicacion ordinariesen '[x]. Entonces Ves WI espacio vectorial sobre ,.

Sean !F un cuerpo con elemento cero z y V un espacio vectorial sobre F. Como Ves un grupo adi­tivo abeliano,. tiene un elemerrto cero unico ( y para cada elemertto e E V, existe un simetrico aditivounico - ~ tal que ~ + (-~) = (. Por las leyesdistributivas (i) y (ii), encontramos para todo s E !i' y e E V,

E,~ e V.(R)

8 e R, E e V. (R)y

~+ ~ = (aI' ~, ... , a.•) + (bto b~, ... , bIt)

Ejemplo.2: (a) Sea Y = R Y V = V2 (R) = {(al>.a2): al> a2 E R} can adici6n y multiplicacion escalardefinidas como en la primera secci6n. Entonces, claro esta, Ves un espacio vectorialsobre !F; en verdad, citamos el ejemplo para indicar una senciJla generalizacicn: Sea!F - R Y V = V. (R) = {Ca,,~, ... , a.}: a, ER} con adicion y multiplicacion escalardefinidas par

para cualesquiera s, {€ § Y cualesquiera ~,t7 € V.Es evidente que para llegar a la definicion de espacio vectorial se ha utilizado como guia el conjunto

de todos los vectores pIanos de la seccion anterior. Pero, como se vera por los ejemplos que siguen, loselementos de un espacio vectorial, esto es los vectores, no son necesariamente cantidades que se puedanrepresentar por flechas.

. (iii) s(t~) = (st)~

(i.v) 1t~ = ~(i) s(~+ '1) = s~+ s1)

(ii) (s + t)~ = s~ + t~

Sea !i' un cuerpo y V un grupo aditivo abeliano tales que existe una multiplicacion escalar de Vpor .F que asocia a todo s € !F y todo ~ € Vel elemento s~ € V. Entonces, V se llama espacio vectorialsobre ff si, siendo u.:la unidad de §, se tiene,

ESPACIOS VECTORIALES

[CAP. 13ESPAGIOS VECTORJALES144

-- --- ---- ~ ~

Vease tambien Problema 2.

el espacio generado por S = {'., (~, ... , .<m}, un subconjunto de vectores de V sobre !FComo U con­ticne el vector cero 'E V (~por que?); entonces, si 'E S se Ie puede excluir de S, con 10que queda unsubconjunto propio que tarnbien genera a U. Ademas, como 10 indica el Ejernplo 4, si algun vector, ej,por ejemplo, de S se puede escribir como combinacion lineal de otros vcctores de S, entonces ~j puedeexcluirse tambien de S y los vectores que quedan tambien generan a U. Lo cual plantea el problemasobre el minimo numero de vectores necesarios para generar un espacio dado U y la propiedad carac-teristica de un tal conjunto. .

Sea

generado por ~.. e2 y ~3 = (3, -4,7)

Decirnos ahora que U y Iv. son subespacios Identicos de V. Pues como (3, -4,7) =-3(1,2, 1) + 2(3,1,5), podemos escribir

W {(a - 3c)(l, 2,1) + (b + 2c)(3, I, 5): a, b, c E R}

{t'(l, 2;'1) + /'(3,~, 5): s', t' E R}

U

W -= {a{l, 2,1} + b(3,l, 5) + c(3, -4, 7): a, b, c E R)y

y, para todo S E iF,tenemos, por el Teorema II,

Teorema m. EI conjunto U de todas las combiaaciones lineales de un conjunto arbitrario S de vee­tores de un espacio (vectorial) V, es un subespacio de V.

El subespacio U de V definido en el Teorema illse dice generado por S. A su vez, los vectores de Sse dicen generadores del espacio U.

Ejemplo 4: Considerese el espacio V3 (R) del Ejernplo 3 y los subespacios

U '" {s(l, 2, 1) + t(3, 1, 5}: 8, t E R}

generado por ~1 = (1,2,1) y e2 = (3, 1,5)

Consideremos ahora dos de tales 'combirraciones lineales ~ cie{ Y~ d'~i' Como

En el Ejemplo 3, V es eI conjunto de los vectores del espacio ordinario en tanto que U es el conjuntode dichos vectores que estan en el plano XQ'Y. ~nMogarnente, W = {(a, 0, 0): a ER} es eI conjuntode los vectores sobre el eje X. Evidentemente, Wes un subespacio tanto de U como de V.

Sea ~1, e2, ... , ~m E V un espacio vectorial sobre iF. Se entiende por combinacion lineal de estos Invectores eJ vector e E V dado por

s(a, b, 0) == (sa. sb, 0) E Uy

Para demostracion, vease Problema 1.

Considerese eL espacio vectorial V = VJ (R) = {(a, b, c): a, b. C f; R} sobre R. Por cl Teo­rema II, eJ subconjunto U = {(a, b, 0): a.b ER} es un subespacio de V puesto que para todoSf; R y (a, b, 0), (c, d, 0) E U tenemos

(a, b,0) -to (c, d, 0) = (a T c, b+ d, 0) E U

Ejemplo 3:

Teorema"n. Un subconjunto no vacio U de un espacio vectorial V sobre .F es un subespacio de V si,y solo si, U es cerrado con respecto a Ia multiplicacion escalar y la adicion vectorial de­finidas sobre V.

145ESPACJOS VEctORIALESCAP. 13]

Vease Problema 5.

Ejemplo 6: En el eonjunto S == {~J'~".~3} del Ejemplo 5(b), e', Y~2 son linealmente independientes,rnientras que '~3 = 2~z - :3.~1' AsI, pues, Tl = gt. ez} es un subconjunto maximo lineal­mente independiente de S. Pero como ';'-Y{3 son linealmente independientes (demostrarlo),en tanto que <" = t(~3+ 3~d,entonces Tz = {~" e3} es lambien un subconjunto maximolinealrnente independiente de S. Analogamente, T3 ,., {ez, e3} es otro subconjunto semejante.Por el Teorema VII, cada uno de los subconjuntos T1, T2, T3 genera el mismo espacio que S.

EI problema de determinar si un conjunto dado de vectores es linealmente dependiente 0 lineal­mente independiente (y dado el caso de dependencia lineal, el de.elegir un subconjunto maximo de vee­tores linealmente independientes) implica a 10 sumo estudiar ciertos sistemas de ecuaciones lineales,cosa que si no es diflcil, SI puede ser en extrema tediosa. Vamos a dejar los mas de estes problemas bastael Capitulo 14, cuando se expondra un procedimiento mas expeditivo.

Teorema IV. Si a1guno de los vectores del conjunto t1 = {~I' ~2' ... , ~m} de V sobre g;; es el vectornuIo Co S es necesariamente un conjunto linealmente dependiente.

Teorema V. EI conjunto de vectores no nulos S = {(1' c;z, ... , ~m} de V sobre §" es linealmentedependiente si, y solo si, alguno de ellos, por ejernplo, ejl se puede expresar como com­binacion lineal de Ios veetores ~ L> ~z, ... , {j_ I que le preceden,

Para una demostracion, vease Problema 3.

Teorema VI. Todo subconjunto no vacio de 1,10 conjunto de vectores linealmente independientes eslinealmente independiente.

Teorema VD. Todo conjunto finito S de vectores, no todos nulos, contiene un subconjunto lineal­mente independiente U que genera el mismo espacio vectorial que S.

Para una demostracion, vease Problema 4.

Ejemplo S: (a) Los vectores ~I = (1,2, 1) y ~l = (3,1,5) del Ejemplo 4 son linealmente independien­tes, ya que si

k,~, + k~t't := (k, + 3k2• 2k, + k2• kJ + 5k.al 0;=. 0 = (0,0,0)

entonees k , + 3kl = 0, 2kl + kl == 0, k, + 5kz ... O. Despejando de la 'primera rela­cion"k, = -3kz Y sustituyendo en la.segunda, se tiene -5kl == 0; enionces ~ = 0 Yki = -3k" = O.

(b) Los vectores ~i == (1,2, 1), ~2 = (3, 1,5) Y ~3 == (3, -4,7) son linealmente depen­dientes, pues 3~, - 2~2 + eJ = O.

Se tiene, en consecuencia,

implies que todo kj = z.Nota. Una vez fijado el cuerpo fF se ornitira en 10sucesivo la.frase «sobre g;;»; ademas, por «es­

pacio vectorial V.(Q)>>,entenderemos el espacio vectorial V.(Q) sobre Q, y analogarnente para Y.(R).Asimismo, si eJcuerpo es Q 0R,denotarernos eJ vector nulo por O.Si bien esto da a 0 otro sentido, siem­pre se entendera claramente por el contexte si se trata de un elemento del cuerpo 0 de un vector del es­pacio.

Un conjunto no vado S= {e l, el' ... , em} de vectores de V sobre §' se dice linea/mente indepen­diente sobre 1F si, y solo si,

Un conjunto no vaclo.S' = {el', c;2, ... , em} de vectores de un espacio vectorial V sobre §' se dicelinealmentedependiente sobre·§, si, y 0010si, existen elementos k" k2, ••• , km de §', no todos igualesa z, tales que .

DEPENDENCIA LINEAL

ESPACIOS VECTORIALES [CAP. 13146

(c) EI cspacio vectorial V de todos Io.S polinomios en x sobre R no.tiene base finita y, por tau­to, carece de dimension. Porque supongase que B, formado de II polinornios linealmenteindependientes de V de grados "" q, fuera una base. Como ningun polinornio de V degrado > q puede ser generado por B, no. es esta una base. Vease Problema 7.

Teorema X. Todas las bases de un espacio vectorial V sabre fF tienen el mismo numero de ele­mentos.

EI numero definido en eJ Teorema X se llama dimension de V. Es evidcnte que dimension, comose define aqui, implica dimensi6nfinita. No. todo espacio vectorial tiene dimension finita, como se ve en el

EjempJo 8: (a) Por el Ejemplo 7 se si~ue que V. (R) tiene dimension 4.

(b) Considerese V = tao'+ a,x + 02X2 + a3x3 + a.x4: 0, E R}Es claro que B = {I, X, x2, x3., X4} es una base y que V tienc dimension 5.

y

Asi que F es un conjunto lineaImente independiente (demuesrrese) y genera a V. (R).En el Problema 6 se demuestra el

Teorema VID_ Si S = {el' ~2"'" em} es una base del espacio vectorial V sobre IF y T = {til' tl2'.. , • 'In} es cualquier conjunto linealmente independiente de vectores de V, enton­ces n ~ m.

Como consecuencias tenemosTeorema IX. Si S = {e I. '2, ' "., em} es una base de V sobre :F, entonces cualesquiera m + 1 vee­

tores de V forman necesariamente un conjunto linealmente dependiente.

a. = (p + q + R - 2r)/S02 = (q + r +S - 2p)/3

( = a,(l,1, 1, 0) + 02(0,1,1,.1) + a3(l, D. 1, 1) + a.(1,l, 0,1)

== (al+a.3+04, oj+a2+04' al+a2+aa, 02+o3+a.); a,ER

Si , es un vector cualquiera (p, q,T,s) E V. (R), hallamos que

al = (p + q + r - 2s)/3 aa = {p + r + 8 - 2q)/3

Para dernostrar esto, considerese Iii combinacion lineal

I" {(T,1,1;0), (0,1, I, I), (1,0,1,1). (1,1,0,1)Otra base es

y considerese la combinaci6n lineale = alfl + a2f2 + .. , + q.E. == (a1, a2, ... , an), ai e .r' (I)

Si e = C"entonces a1 = a2 = ... = an = 7; d~t}lI!o.doq}le E. = {e, e,2' ... ' en} es un conjunto linear­mente independiente. As! que si e es "!l,n,vect()r_cu~rquierade V.(ff),entonces (I) 10.expresa como corn­binacion lineal de 10.5vectores unitarios. De'mo(to'que. E genera a Vn(ff) 'yes una base,

Ejemplo 7: Una base de V. (R) es 1a bas,e unitariaE - {(I, 0, O! 0), (0,.1,0,0), (0,0,1,0), (0,0, O,l)}

'n = (0, 0, 0, O.... , 0, u)

BASES DE UN ESPACIO VECTORIAL

Un conjunto S = {el> ~2' ... , en} de vectores de un espacio vectorial V sobre fF se dice unabase de V si:

(i) S es un conjunto linealmente independiente,(ii) los vectores de S generan a V.

Definanse los uectores unitarios de V.(ji':) como sigue:(I = (U, 0, 0, 0, . , ., 0, 0)(2 ~ (0, U, 0, 0, ' .. , 0, 0)':1 == (0, 0, U, 0, ... , 0, 0)

147ESPACIOS VECTOR,IALESCAP, 13]

(2)

En esta secciof lirnitaremos nuestra atencion a espaeios vectoriales V = V.(R) sobre R. Se haceesto PQr dos razones: (1) nuestro estudio tendra aplieaciones en geometria y (2) de todos 10.5 cuerposposibles, R presenta el minimo de dificultades, -

ESPACIOS VECTORIALES SOBRE R

Para una demostracion, vease Problema 9.

El Ejemplo 9 ilustra el

Teorema xm. Si U y W, de dimensiones r "" n y s ~ n respectivamente, son subespacios de un es­pacio vectorial V de dimension n y si U.n W y U + W son de dimensiones p y t res­peetivamente, entonces I = r + s - p.

J

u + W := {at') + 01<2 + aa'a + b1E2 + b2t3 + ba,.: aj, bj E R}'

{<llfl + d2(2 + d3t3.+ d 1'4: d, E R} = V

y

\

de dimension 2subespacios de dimension 3 de V. Es clare que

U () W = {Cl'~ + C~f;!: Cr E R} •

wy

Ej~lo 9: Considerese V = V. (R) sobre R con vectores unitarios E1, E2, E3. E4 como en el Ejemplo 7.Sean

y dejamos al lector la dernostracion de que cada uno de estes es un subespaeio de V.(~+ '7: ~ E V, '1E W)

UnW

V+W

{~: ~E U, (E W)

Sean U y W subespaeios de V. Definidos

Ahora bien, k = z; pues si no, con ·k.-I e~,'71 = k:' (-kl~1 - k~~2- ... - km~n.)

Y11E U en contra de 1adefinicion de '11.Con k = z, (2) exige que todo k, = z puesto que B es una base,y asi hemos dernostrado el .

Teorema XI. Si B = gl> ~2' ... , ~m} es una base de U C V Y si 111 e V pero '11 ¢ U. entoncesB U {Ih} es un eonjunto linealmente independiente.

Si en el Tcorerna XI, m + 1 = n,la'dimension de V, B1 = B U {tldes una base de V; sim + 1 < n,Bl. es una base de cierto subespaeio U1 de V. En este caso, hay un vector 112 de V pero no de VI tal quecl espacio u2 que tiene por base B U {'11> Ih.} 0 bien es V 0 esta propiamente contenido en V•..... ConJo que se obtiene el

Teorema xn. Si B = g I, {2' ... , ~m} es una base de U C V de dimension n, existen vectores 111.'11.' , .. , '1~-m en V tales que B U {'1, '1.2•.. , ,17n-m} es una base de V.

Vease Problema 8.

SUBESPj'\CIOS DE UN ESPACIO VECfORIAL

Sea V, de dimension n, un espacio vectorial sobre ff y U:de dimension m < n del cual B = gl,~1.' ... , em} es una base, un subespacio de V. Por el Teorerna VIII; solo m de los vectores unitarios de Vpueden expresarse como combinaciones lineales-de los elementos de B; luego existen veetores de V queno estan en U. Sea III uno de esos veetores y considerese

[CAP. 13ESPACIOS VECTORIALES148

Limitaremos nuestra atenci6n aqui al caso W,(ff) = V(st), es decir, al caso en qU9 T es una apli­caci6n de V(~) en ~fmismo. Como I~ aplicacien 'PJes~rva las operaciones de.adicion vectorial y multi-

para cualesquiera {t. ej e V(ff)

para cualesquiera C,I e V(.5F') y S EF

Transformacion lineal de un espacio vectorial V(.~) en un espacio vectorial W(.?') sobre el mismocuerpo Y, es una aplicacion T de V(S;;) en W(ff) tal que

= (ai + a~) + (bi+ b~) - [(al- b.)2 + (ci2 - 02)2)21~I'I'11

cos {}

de donde

Considerense en V = Vz(R) los vectores C, = (aI' 02)y '1 = (bl> b1)de la. Fig. 13-2. La longitud lei de f, vienedada por 1/',1= /a~+ a~y la longitud de '1 por, I'll =Jbi + b~.Por el teorema del coseno tenemos

De aqui se deduce

(1) Is~1= Isl'l~1 para todo ~ E V y todo S E R(2) If,I ~ 0, la igualdad se verifica solo cuand~ f, = 0(3) f, , '11~ 1/',1' I'll (Desigualdad de Schwarz)(4) ~ + '11= ,I + I'll (Desigualdad triangular)(5) C, y '1 son ortogonales si, y solo si, c, ''1 = O.

Para una demostracion de (3), vease Problema 10.

Veanse tambien Problemas 11-13.Supongase que en V.(R) el vector !1 es ortogonal a cada uno de los ~I, C,l' ... , f,,,,.Entonccs, como

'1' 'I = '1' ~l = ... = 1/' c'm = 0, tenemos '1' (CIC,l + C2C,2 + ... + c..c,m) = 0 para cualesquieract e R y hemos dernostrado el

Teorema XIV, Si en V.(R) un vector '1 es ortogonal a todo vector del conjunto {f,l, C,2' ...• /',.. }, '1esortogonal a todo vector del espacio generado por este conjunto.

Vease Problema 14.

(i) (~; + (ji)T = c,;T + e,T

(ii) (sOT = s(f,;T)

TRANSFORMACIONES LINEALES

En el espacio vectorial V = V.(R) definimos para todo , = (al• az •... , an) Y '1= (bl, h2' ... , b.),

t''1 = ~ a,b, = albl + a1i>2+ + anb.

Itl = vT-1 = Vai + a;+ + a!

/I

149ESPACIOS VECTORlALESCAP. 13]

La expresion para cos e sugiere la definicion del productoescalar (0 producto interno) de ~ Y '1 por

~'''I = alb, + a2bt Fig. 13·2

. ~''1Con 10.que I~I= vz:1, cos 0 = I~I'I..,I'Y los yectQ~es~ y ." son artogonales (es decir, perpendiculares

entre 51, de modo que cos e = 0) si, y solo si, ~''1 = 0,

define una transforrnaci6n lineal de V en si mismo.

T: ~i->'1I' (i=I,2, ... ,n)

En el Problema 16 se demuestra la propiedad mas general

Teorema XV. Si gl' ~2"'" ,;.} es cualquier base de V = V(§) Y si {Ill, 112,"" 'I.} es cualquierconjunto de n elementos de V, Ia aplicacion

T: (1,0,0) -+ (1, 1,0), _fO,1,0) -+ (1, 0, 2), (0, 0, 1) -+ (5,2,6)

De 10 que se infiere:

10 que sugiere que T puede darse como

a(l, 0, 0) + b(O, 1,0) + c{O,O, 1) ~ a(I, 1,0) + bel, 0, 2) + c(5, 2, 6)

T: (1, 0) -> (cos ex, sen a), (0, 1) '--+ (- sen ex, cos ex)

Asi tarnbien, T del Ejemplo 11 se puede escribir como

10 que sugiere que T puede darse como

La transforrnaci6n lineal T del Ejemplo 10 se puede escribir como

x(l, 0) + yeO, 1) ~ x(cos IX, sen ex) + y( - sen IX, cos ex)

Vease Problema 15.

Toda transformacion lineal de un -espacio vectorial en si mismo se puede describir completamenteexpresando el efecto que produce en los vectores unitarios de, base del espacio.

As! que T es una transformaci6n lineal sobre VJ (Q)

Como (0,0, I) Y (2,3,0) tienen la misma imagen (5,2,6), esta transformaci6n lineales ejemplo de un homomorfismo de V3 (Q) en si mismo,

es decir,

y

(ii) sea, b, c) = (sa, sb, sc),- (sa + sb + 5se, sa + 1se, 2sb + 6sc)

= sea + b + 5e, a + 2e, 2b + 6c)

[sea, b, enT = sEta, b, c)1]

(a, b, c) E V3 (Q)

Ejemplo 11: cn VJ (Q) considerese La aplicacion

T: (a, b, c) - (a + b + 5£", a + 2c; 2b + 6c),

Por (a, b, c), (d, e,!) E V3 (Q) Y SEQ, tenemos

(i) (a, b, c) + (d, e.T) = (a + d, b + e, C + f)-+(a + d + b + e + 5c + 5f, a + d + 2c + 2f, 2b + 2e + 6, + 6f)

= (a + b + 5c, a + 2e, 2b + 6c) + (d + e + 5f, d + '2/, 2e + 6/)es decir, na, b: c) + (d, e,f)]T = (a, b, e)T + (d, e,f)T

T: (x, y) -+ (x cos IX - Y sen «, x sen IX + y cos a)

de V2 (R) en si mismo. Como elementos distintos de V2 (R) tienen distintas irnagenes y todoelemento es una imagen (demostrarlo), T es un ejemplo de isomorfismo de VCR) sobre simismo.

plicacion escalar, una transformacion lineal de V($") en si mismo, 0 bien es un isomorfismo de V(§)sobre V($") 0 bien un homomorfismo de V(§) en V(§).

Ejemplo 10: En geometria analitica plana la conocida rotaci6n de ejes un lingulo IX es una transformaci6nlineal

ESPACIOS VECTORIALES150

para todo A e.sil y k E IF.kA: ~(kA) = (k,;)A, ~ E VW)

para todo A,BEd. Definase una rnultiplicacion escaJar sobre d pory

ALGEBRA DE LAS TRANSFORMACIONES LINEALESDenotese por .!if el conjunto de todas las transformaciones lineales de un espacio vectorial dado

V(~) sobre fF en sl mismo y por "I( el conjunto de todas las transformaciones lineales no singularesde d. Definanse adicion (+) y rnultiplicacion (: ) sobre d por

A + B: e(A +' B) = ';;4 + eB, e € V($")

A '.B: ~(A' B) = «A)B, e E V(ff)

Sea ~ = (a, b, c, d) un vector cualquiera de V. (Q).

(0) Hagamos eA = (atI + bE~ + eE3 + dt4)A = (a. a + b + d, b + c, c + d) = O. Comoesto exige que 0 = b = c = d = 0, es .decir. que. ~ = 0, A cs regular.

{b) Hagamos e8 = (0 + d, (J + b + d; b ~ c + d. C + d) = O. Como esto se cumple SIa = c = l, b = O.d = - I, tenemos (I, O.I, - t)8 = 0 y B es singular, cosa evidente asimple vista, es decir, EIB + E3.B = f4B. Entonces. como EIB. E~B. f3B son linealmenteindependientes como cs manifiesto, B tiene caracteristica 3 y es singular.

Dejaremos nuevamente (vease e1parrafo que sigue al Ejemplo 6) otros ejemplos y problemas parael Capitulo J 4. .

fl -> (1,1,0,0) r (1,1,0,0)

(a) A:'2 -> (0, 1, 1, 0)

(b) 8: '2 -> (0,1,1,0)l'3 .... (0,0, 1, I! • '3 -> (0,0,1,1)'4 -> (0,1,0,1) '4 .... (1,1,1,1)

Ejemplo 12: Para cada una de las siguientes transformaciones lineales de V.(Q) en si mismo, deterrninarsi es 0 no singular,

Entonces los vectores imagen <iT, (i = 1,2, ... , n) deben ser linealmente dependientes. Hemos de­mostrado asi el

Teorema XVII. Una transformacion lipeal T de un espacio vectorial V(,~) es singular si, y solo si,existe un vector ne nulo e e V(~) tal que ~T = C

En el Problema 17 demostramos el

Teorema XVI. Si T es una transforrnacion lineal de V(ji7) en sl mismo y si W es un subespacio deV(§), entonces Wi-= gT: < E W}. Ia imagen de W por T, es tarnbien un subes­patio de V(§).

Volviendo ahora al Ejemplo II, observamos que las imagerres de los vectorcs unitarios de basede V3(Q) son linealmentedependientes, es decir, que 2EtT + 3E2T - E3T = (0,0,0,). Asi, pues, VT C V;en efecto, como (I, 1,0) Y(1, 0, 2) son linealmente independientes, VT tiene dimension 2. Si definimosla caracterlstica (0 rango) de una transforrnacion lineal T de un espacio vectorial V como la dimensiondel espacio imagen VT de V por T, tenemos por el Teorema XVI,

'T = earacteristica de T",: dimension de VCuando vale la igualdad, dirernos que Ia transformation lineal T es regular; si no, que T cs singular.Asi que T del Ejemplo 11 es singular de caracteristica 2.

Considerese ahora la transformacion lineal T del Teorema XV y supongase T singular. Como losvectores imagen '1i son entonces linealmente dependientes, hay elementos Sf e~, no todos z, tales que

~ Stl. == ,. Entonces, para ~= ~ sli' tenemos ~T = C. Rcciprocamente, supongase ."=~ tJI ¥ ~ Y

151ESPACIOS VECTORJALESCAP. 13]

y

dimension de V(MB) = dimension de VA + dimension de VBEntonces,

es evidente queM + ~B~(A+B)

Si .!II es el conjunto de todas las transformaciones lineales de un espacio vectorialV(.Y) sabre .Y en sf mismo, entonces d es -a su vez un espacio vectorial sabre .Y,

Sean, A, BEd. Como para todo ~ E V,

Teorema XX.

Teorema xvm. EI conjunto .!II de todas las transformaciones lineales de un espacio vectorial ensi mismo forma un anillo con respecto a la adici6n y rnultiplicacion anteriormentedefinidas.

En el Ejercicio 19, demostramos el

Teorema XIX. El conjunto "I{ de todas las transformaciones lineales no singulares de un espaciovectorial en sl mismo forma un, grupo con respecto a la multiplicacion.

Dejamos al lector el demostrar el

En el Ejercicio 18 demostramos el

(ka,'kb)(kc. kd)

kA:y

(k~)A = (ks, kt)A = (k{sa + tel, k(sb + td»)

Por ultimo, para cualquier k € R, hallamos

{'I (ae + bg. af + bit)"2 (ee + dg. ef + dlt)

A·B:y

(8, t)A.)B = (sa + te, 8b + 'td)!J

= (sa+ te)· (B.1l + (8b + td)' (g, h)

= (s(ae + bg)+ t(ce + dg), s(af + bh) + t(ef + dh))

De igual modo.~(A 'B)

.Asi, pues, tenemos

(8, t)A + (a, t)B = (s(a +e) + tIc + 0), s(b+ f) + ted + It»)E(A +B)

{

"I ... (a + e, b + Il"2 -+ (e+g.d+h)

A.or B:

y

{A = (s, tjA ;: (S'I + t.z)A = s(a, b) + tIc, d)

= (,a.+ te, eb + td)

~B = (se + ta. s] + th)

transformaciones lineales de V2 (R) en 51mismo. Para cualquier vector , = (s, t) E V2 (R),encontramos

B: {.! -+, (e,!)'2 ... (y, h)

y

EjempIo 13: Sean

A: {fl'" (a, b.)<2 -+ (e, d)

[CAP. 13ESPACIOSVECTORlAtES152

Supongase que los m vectores son linealmente dependientcs de modo que existcn cscalares k,. kz ..... k",.no todos iguales a z, tales que ~ k,;, -,: I' Supongase ademas que-el coeficiente kJ no es z en tanto que los coefi­cientes k, .... kitl •...• k.. son z (sin excJuir naturalmente.el caso extreme j = m). Enronces. en cfeeto.

ktEt + k2~Z + .,. + kfij = r (I)

3. Demostrar: El conjunto de vectores no nulos S = {~1' " •... , ~..} de V sobre .~ es lineal mentedependiente si, y SO'IO'si, alguno de ellos, ~)' se puede expresar como combinacion lineal de IO'Svee­tores ~l' ~2.···. ej-l que Ie preceden.

U Y W no son identicos.Geornetricamente, U y W son planes difereniesque. pasan por O. el origcn de coordenadas en el cspacio or­

dinario. Tienen, desde luego, una recta de vectores en comun, siendo uno de estos vectorcs comunes el (7. O. I).

~(a -.5b), 11= t(7a- b). Como 2'1'- 311 "" a + b ~

para a, b e R cualesquiera.

De {X + 2y := 4a - 3b

obtenemos x-:I) + 21/ 3a + 2b

Encontramos que x = 3, y = 2. En rcalidad esto no dernuestra que U y W son identicos ; para eso tcncrnos quepoder encontrar x, Y E R tales que

(x+ 2y, 2'1' - 3y, -x + 21/) := (7, 0, 1)

'7 = :I'~t + Y{t = (x + 2y, 2'1'- ;Jy, _,..,+2y) E U

Entonces, ~ Y " SOnlos misrnos si existen x, Y ER tales que

Primero considerese el vector ~ = ~3 - ~4 = (7.0, 1)E H{ Y el vector

2. En el espacio vectorial V3(R) sobre R [Ejernplo 3, pagina 145),sean U generado PO'reJ = (1,2, - 1)Y<2 = (2, - 3,2) y W generado PO'r~3 = (4,1, 3) Y~4 = (- 3. 1, 2). ;,SO'n U y W identicos subes­pacios de V?

Supongase que U es un subespacio de V; entonces U es cerrado con respecto a la rnultiplicacion escalar ya la adici6n vectorial. Rcclprocamente, supongase que U cs un subconjunto no vacio de V, cerrado respecto dela multiplicacion escalar y adicion vectorial. ·Sea:.~e U; entonces (-11)<; = - (II~) = - ~e U y ~ + (-~) = (.E U.Asi, pues, U es un grupo aditivo abeliano. Como las propiedades (i)·(iv). pagina 144, SOil validas en V, tarnbien10son en U. De modo que U es un espacio vectorial sobre ff y, por consigulente, es un subespacio de V.

1. Demostrar : Un conjunto nO'vacio U de un espacio vectorial V sobre fF es un subespacio de V si,y solo si, U escerrado.con respecto a 1'l.'multiplic~pi611escalar Yala adicion vectorial definidas sobre V.

Problemas resueltos

De modo que

Como para cualquier transformacion lineal Te st,dimension de VT £ dimension de V

tenemos dimension de V(A-B) #= dimension de VA

Asi mismo, como VA <; V, dimension de V(A'S) £ dimension de Vs

153ESPACJOS VECTORJALESCAP. 13]

(2)

Como todo elemento de T se puede escribir como combinacion lineal de los elementos base, el conjunto

S" = {""E'" h; .. '" ~m}

generaP' y es linealmente dependiente. Ahora bien. '114: (; por tanto, alguno de los, debe ser combinacion linealde los elementos que Ie preceden en S'. Examinando sucesivamente los ~, supongase que. hallamos,que {I cumpleesta condicion. Excluyendo a ';; de S', tenemos el conjunto

S1 ::: hI> (I' (2•.. ,' {I-I, Ei+ I, ... , Em}

que es una base de V como vamos a demostrarlo, Es claro que St genera el misrno espacio que S', es decir, SIgenera V.Asi que solo necesitamos demostrar que SI es un conjunto linealmente independiente. Escribamos

6, Demostrar : Si S =gl' e2, .~... em} es una base de un espacio vectorial V sobre l' Y si T = {'T1''T2, .. , ,'Tn} es un conjunto linealmente independiente de vectores de V, entonces n ~ m.

s + 2t ::: 8, 28 + t = 7, -B + 3t = 7

EI lector verificara que ~4 = 2'1 + 3(;3; luego, U = g" e3) es el subconjunto pedido.

y buscamos una solucion en R, si existe, del sistema

B{J + ~a = 8(1,2,-1) + t(2,1,13) = (8,7,7) = (4

que genere el mismo espacio que S.

Primero, notamos que e, ,;, (y pasamos a ~l' ~omo,;~ = -3<1 (es decir, ~l es una combinacion lineal de ~d,Excluimos (2 y pasarnos a (3' Entonces, es ~3 -+ S'I' para todo $·ER; pasamos a (;4' Como e.. no es multiple es­calar de 'I ni de e3 (Y. por tanto, no queda excluido automaticamente), ponemos

e1 = (1,2,-1), t2 == (-3, -6, 3). ts = (2,I, 3), ~4 = (8,7,7) E R,

S. Hallar un subconjunto U linealmeote independiente del conjunto S = g" {2,~3.{4}, siendo

4. Demostrar: Todo conjunto finito S de vectores, no todos nulos, contiene un subconjunto U lineal­mente independiente que genera el mismo espacio que S.

Sea S ~ gl' el' ... , em}. La discusion hecha hasta ahora indica que U existe, en tanto que el Teorema Vsugiere el procedimiento siguieote para obtenerlo a partir de S. Considerando sucesivarnente cada vector de iz­quierda a derecha, convengamos en excluir todo vector que (I) sea el vector nulo, 0 (2) se pueda escribir comocombinacion lineal de todos los que Ie preceden. Supongase que hay n :5im vectores que quedan y denotemoslosahora de otra manera escribiendo U = {'I,; '12•... ,'1,;}:'Por su construccion, U esun subconjunto Iinealmenteindependiente de S que genera el mismo espaeio que S.

EI Ejemplo 6, pagina 146, rnuestra, como se hubiera podido anticipar, que habra usualrnente subconjuntosde S'tinealineilte'independientes. distintos de"il, que generaran el mismo espacio que S, Una ventaja del proce­dimiento. utilizado arriba es que, una vez puestos los elementos de S en un cierto orden, solo se puede formar unsubconjunto, el U, que sea linealmente independiente. .

Reciprocamente,. supongase que se verifiea (2). Entonces,

k,h + k2{2 + .,. + kj{j + :tl+1 + Z~J+2 + ... + z~m =COD k) .,. z y los vectores <" ~2' ••. ,~'" son linealmente dependiemes,

con alguno de los q, -+ z, Asi que. ~j es una combinacion lineal de los vectores que Ie preceden.

kitj -kl~1- k2h - - kj_ 1~;-I

tj ::: q,h + q2{2 + +·qj-I {J-lo bien

y como kJ~) -+ C. tenemos

(CAP. 13ESPACIOS VECTORIALES154

w,,- _

Asi. pues, '1 = t(3(t + 6E2- Ut.). <z = i(-~I- E2+St.). y '3 = -EL - 2b + 6E•.

Determinar, si es posible, una base .del espacio v.ectorial V4(Q} que incluya los vectores e I = (3,-2, o. 0) y ez = (0, 1,0, J).

Como ~I 1= C, ~2 1= , Y'~l -+ s~,.pa~a todo SEQ, sabernos que ~I y Cl pueden ser elementos de una basede Vol (Q). Como los veetores unitarios E" Ez. E3, E4 (veaseEjemplo 7, pagina 147)son una base de V.. (Q), el con-

{ .+20+, = 1 { .+20+, 0 { .+2b+, = 0-Sa + 46 + e = 0 -3(1. + 4b + c = 1 -3a + 411 + c = 02a+ 6+c = 0 2a+ 6+c = 0 2a+ b+c = 1

siendo las soluciones:

a = 3/2, b= 6/2. e = -11/2 a= II= -1/2, 0=3/2 a = -1. b = -2, 0=5

(b) Hagase a~l + b~2+ c~.. igual a los vectores unitarios EI• El, E3 sucesivamente obteniendo

aEI + bb + c(. = (a+ 2b+ e, -3d +4b+c. 2a +b+ c) = (0. 01 0)

implica a = b = c = O. Se deja esto al lector.

El mismo resultado se obtiene- demostrando-que

8Et + tb = E., .,tER

{

8 + 2t = 1es decir, que -38 + 4t': 1es imposible. Por ultimo, el lector familiarizado CODlos determinantes reo

211+t-l 121

cordara que estas ecuaciones tienen solucion si, y solo si, -3 4 1 = o.211

(b) Expresar los vectores unitarios de V3(R) como combinaciones lineales de los vectores de baseencontrados ell (aJ. . ~

(a) Si el problema tiene solucien, alguno de IQs~ debe ser combinacion linea] de los que le preceden. Se ve deinmediato que ~3= ~1+ ~z· Para dernostrar que {~" '2, ~4}es un conjunto linealmente independientey que, por tanto, es la base pedida, tenemos que demostrar que

7. (a) Elegir una base de V3(R} del conjunto

S = Ut, ~2' es' ~..} = {(I, -3, 2), (2,4, 1), (3, 1. 3), (1, 1,1)}

como base 'de V.Pero.este proceso se puede repetir hasta.agotar T con tal que n ..: m. Supongase n > my que hemos obtenido

S", = h..,."...,..t ••••• ~2. ~,}

como base de V.Considerese S~ == S U {'I..+ I}' Como S.. C;Suna base de V Y '1,,;+ lEV. entonces. 'I.. + I es com­binacion lineal de los vectores de SOl' Pero esto contradice la hipotesis sabre T.Luego n ..:m, como se requiere,

contra 10 supuesto de que S es un conjunto linealmente independiente.

Analogamente, .S; = hz, 'II, EI,·h •..• , (I-I' Ei+I' "', Em)

-esun conjunto linealrnente dependiente que genera a V:'Como 'I, y';2 son Iinealmenieindependientes, alguno delos ~ de S;, ~J' por ejemplo, es combinacion lineal de todos los vectores que le preceden, Reiterando el razona­miento anterior, se' obtiene (suponiendo j > i) el conjunto

de donde, sustituyendo "t,==Ej

Si SI fuera un conjunto linealmente dependiente, habria algun {r i > i. que 51!" podria expresar asi:

ESPACIOS VE€TORIALES J55CAP. 13)

(c) 15~1 = v'25 + 25'4 + 25.9 + 25'-16 =- 5\.130. 1-3'11 = v'.9~4 +-9'9 + 9'1 = 3Vl4(4) t+ 'I, = (3,2,P.5) y IH'I11 = \19 + 4 + 26 = v'8s

I'll = v'4 + 9 + ~ = v'i4(a) r'1] = 1- 2 + 2' 0 + 3(-3)+ 4'1 = -3

(b) lEI :: v'1 -1. + 2' 2 + 3' 3 + 4' 4 = v'3o.

11. Dados e = (1,2.3,4) y '1 = (2,0, -3, 1), hallar

(a) ~. 'I, (b) I~I Y I'll, (c) 15~1 y 1-3'11, (d) I~+ 'II

Luego

y

~ • 'I = 1,,12 = [k '1~\J2 = k 'IEI'I"I = k2 • 1~1~ :: k2(~ • ~)

o ~ (kC~ ,,) • (k~ ±..,) k2(~ • E) ± 2k(~' ,,) + 'I' '112k· I~i • I'll ± 2k(~' ,,)

± 2k(~' 'I) ~ 2k I~I • I'll± (~'1]) ~ I~I' 1,,1

I~' '111~ I~I'I'IIy

y tenemos

10. Demostrar: Ie· '11:=£lei' I'll para cualesquiera e, '1~ V.1R).

Para ~ = 0 0 'I = 0, tenemos 0 ~ O. Supongase e + 0 y 'I 0/: 0; entonces, I'll = kl<1 para algun k: ER+,

Como B es una base de U, eada at ~ z y. cadae, .. zen (1'). Entonces Des unconjunto .Iinealmente indepen­diente y, por tanto, es una base de U + W de dimension I= r + s - p.

(1')

Hagase 1C= c,l'-, + C1tIl + ... + c,-"Jl.-p' Como It E Wy por (I) 1CE U, cs It E Un W yes combinacionlineal de los vectores de A, sea 1C = d,e, + d2el + ... + dp<p. Entonces.

c,1'1 + C21'2 + ... + c._pl',._p - d,E, - i2h - .•• - dp~p :: t

y, como C es una base de W, cada cj = Z Ycada d, = z. Con cada Cj = z, (I) se'convierte en

al~' + a2h + , .. + Ilp~1>+ blAt + b2h2 + ... + br-pAT-p = !

Tomese A = (e" ~2' •.. ,<.p} como base de un W y, segun el Teorema XII, pagma 148, torncseB = A U {AI' A2' ... ,A,_p} como base de U y C = A U {,II,. ,112, ••• , tI.-p} como base de W. Entonces, pordefinicion, todo vector de U + W se puede expresar como cornbinacion lineal de los vectores de

D = {El, E2' .... ·E", 'XII'X2' ... , >-'-P' 1'1./"2, ... , It.-p},", , .Para demostrar que D es un conjunto linealmente independiente y que, por tanto, es una base de U + W, con-siderese

a~~l + a2E2 + ... + ap~" + blAt + b2Xz + ... + b,_pAr_p + C,I', + C21'2+ ... + c'-1/I',-" = r (1)

donde al>bj, c.EF.

junto S = g" <2, f" fl' E" E.} genera a V.(Q) Ycontiene seguramente una base del tipo que buscamos. Aho­ra bien, E, sera un elemento de la base dicha si, y solo si,

ah + b~2+ C', = (311;+ C, -2a + b, 0, b) = (0, 0, 0, 0)

irnplica a = b = c = O. Evidentemente, EI puede servir como elemenio de la base. Y nuevamente, E2 sera unelemento si, y solo si,

aEI + bh + Ctl +'d'2 .= (3a+ e, -2a + b+ d, 0, b) = (0, 0, 0, 0) (1)

implica 0 = b = c = d - O.Tenemos b = 6 = 30 + C = -2a + d; entonces, (I) se verifica para a = I, b ... 0,c = -3, d = 2, Yentonces leI' e2, E,., ~2} no es una base. Dejarnos al lector comprobar que {~,' <2' EI, El} esuna base,

9. Demostrar: Si U y W, de dimensiones r :=£ n y s :=£ n respectivamente son subespacios de un es­pacio vectorial V de dimension n y si U (\ W y U + W son de dimensiones p y t respectivamente,entonces l = r + s - p.

[CAP. 13ESPACIOS VECTORIALES156

Sumando la primera y ultima ecuaciones, tenemos 3a + c = 0, que_se cumple para a = I, c - -3. En­tonces b = -5, d = 7 Y v = (1, -5, -3,7), Por ultimo. y = 5" - 3Jl.

NOla. Tengase en cuenta que las soluciones obtenidas aqul no son unicas. En primer lugar, cualquiermultiple escalar no nulo de cualesquiera 0 de todos 105.A,11, v es Lambien una solucion. Y ademas, al determinarA. (y tambien Jl) hemos hecho arbitiariamente c ='0 (tambien b = 01; No obstante. examinese la solucion en(0) y veriflquese que v es unico salvo en un factor escalar.

2a-b-d = 0ya + 2b - 3c = 0a +- b + c + d = 0,

_(c) Si v :. (a, b, c, d) es ortogonal a e. 'I Y A, entonces

Tomese primero c = O.Entonces a + 2h = 0 se verifica para a = 2, b - -1; Ya + b + c + d = 0da ahora,d = -1. Tenemos A= (2, -1,0, -1).

Tomese despues b = O. Entonces a - 3c = 0 se cumple para-a = 3, c = I; Y i:l + b + c + d = 0da ahora (i = -4. Tenemos It = (3,0, I, -4)-. Evidentemente, t.. ~ 11 son linealmente independientes.

Como una solucion obvia de las ecuaciones (iJ cs a = b = c = d = 0, i.por que no se toma t.. =(0,0, 0, O)?

a + llb - So = 0y

(b) Supongase que (a, b, c, dIe V.dR) es ortogonal a ~ y a II; entonces,

(i)

(a.) ~. rJ = 1· 1+ I.: 2 + I' (-3) = 0; de modo que ~ y rJ son ortogonales.

(a) Demostrar que son ortogonales.

(h) Hallar dos vectores linealmente independientes 'A. Yu,que sean ortogonales tanto a e como a Yf.(c) Hallar un vector v no nulo ortogonal a los e,,_'1, 'A, y demostrar que escombinacion lineal de 'A,Yu.

14. Sean e = (1, 1, 1, 1) Y '1 = (1,2, -3,0) vectores dadcs de V;(R),

Ahora bien, 1).1 es minimo cuando 24 + lOO.r= O. LuegoA. = (7/25. 1/25, -1/5). Se encuentra Iacilmente que A -y rJson ortogonales. Hemos resuelto asi el problema de hallarla minima distancia del punto P(l, 1, I) del espacio ordinarioa la recta que va del origen a Q(3, 4, 5).

13. Para e = (aI' az, a3), 'I = (hI> h'?. h3) e V3(R), definase

t x J) = (a2b, - asb2, a3bl - alb" alb2 - ~b,)(a) Demostrar que e x '1 es ortogonal a e y a '1.

(h) Hallar un vector A ortogonal a e = (1, 11 1) Y a '1 = (L 2, - 3).

(a) E' (EX '1) = al(a2b3 - aab2) + a2(aabl- alba) + a3(a1b2 - u2bl) = 0 y analogamente para 7)' (Ex 7).

(b) A = EX~ = (1(-3)-2'1,1'1-1(-3),1'2-1'1) = (-5,4.1)

Fig. 13-3

y

12. Dados e = (1. 1, 1) Y 'I = (J, ZI,5) de /(;}(R) •. hallarel vector 'mas corto de la forma A -= e + sn.

Aqui es A = (1 + 8a, 1 + 4s, 1 + 58)

I-ii7ESPACIOS VECTORIALESCAP. 13]

= ({A)B + (,A)B = E(A • B) + '1{A • B)

(k{)(A +B)y (kE)A + (kdB = k(eA) + k(eB)

= k(eA + eB) = k{(A + B)

(t + '1)(A • B) = l(e+ '1)A)B = ({A + "A)BAsimismo,

eA + "A + eB + '1B

18. Demostrar: EI conjunto JJI de todas las transformaciones lineales de un espacio vectonat V(F)en si mismo, forma un anillo con respecto .a la adicion y multiplicaci6n definidas por

A + B; e(A + B) = eA + en, e € V(§)A' B: e(A' B) = (~A)B, e E V(§)

para cualesquiera A, B € ~.Sea C;, 'I e V('), k e' y :A~B,Ce d. Entonces,

(E + '1)(A +B) (E + .,,)A + (E+ '1)B

= E(A +B) + '1(A+B)

17. Demostrar: Si T es una transformacion lineal de V(F) en si mismo, y si Wes un subespacio deV(F). entonces WT = g-T: e E W}, la imagen de W por T, es tambien un subespacio de V{§").

Para cuaJesquiera ~T, '1Te WT, tenemos ~T + 'IT = (~+ '1)T.Como {, 'I e W implica ~.+ 'I e W, enton­ces es (~ + '1)Te WT' Asl que WT es cerrado respecto de la adicion. Aruilogamente, para cualesquiera ~T e WT,

S e' tenemos s({T) = (s~)T e WT puesto que ~EW implica sc;e W. De modo que WT es cerrado respectode la mu!tipljcaci6n escalar, 10 cual acaba la demostraeion.

(ii)de modo quesegiln se afirmaba

Asi, pues, para cualquier S E' Y cualquier ~EV,ET+ 'IT(E + ~)T(i)de manera que

Sean E = ~ S,~,Y , = ~ tiEi dos veciores' de V. Entonces

~+ ~ = ~ (s, + ti)Ei ... ~ (8i + t,hi

define una transformacion lineal de' V en si mismo.

(i = 1,2, ...• n)

16. Demostrar: Si {el, {2' ... , eft} es una base cualquiera de V = V(§') Ysi {'II' '12, ... , '1ft} es cual­quier conjunto de n elementos de V, la aplicacion

Tenemos

E = <1 + 2'2 + 3'3 + 4 ••(1,-2,0,4) + 2(2,4,1,-2·)+3(0,-1, 5, -1) + 4(1,3,2,0) = (9,15,25,-3)

de V.(Q) en si mismo.

A:

IS. Hallar la imagen de e = (1, 2, 3, 4) por Ja transformacion lineal

{

<I -+ (1, -2,0,4)£2 -+ (2,4, 1, -2)<3 -+ (0,-1,5,-1)<._ _. (1,3,2,0)

[CAP. 13ESPACIOS VECTORIAl-ES158

. se sigue que A - led. Pero, por definicion, A -1 es regular; de manera que A- I e .It. Asl, pues, todo elementode .I( tiene un simetrico muJtiplicativo 0 Inverse y .It es 'un grupo multiplicativo.

y

Para cualesquiera e, '1e V(3'), A e..l( y k: e'. tenemos ~A. '1Ae VI'). Entonces, como

Ahora bien. A. es una aplicacion biyectiva de d3') sobre-si-mismo; de modo que tiene una inversa A-I de­finida por

es el elemento neutro en la multiplicacion.

Evidentemente, Z es regular, pertenece a..l( y como

19. Demostrar: EI conjunto J( de todas las transformaciones lineales regulares de un espacio vecto­rial V(9") en si mismo, forma un grupo multiplicative.

Sean A. Be.lt. Como A. y B son regulares, apJican V(FJsobre V(3').es decir, VA = VY V.= V. EntoncesV(A'~ = (VA). = V.= Vy A. • B es regulae. Asi, pues, A ··B e..l y.lt es cerrado respecto de la multiplicaci6n.La ley asociativa se verifica en .I( pues se verifica en d.

Sea Z la aplicacion que transforma cada elemento de V(3')en si mismo, es decir,

dejando la otra al lector. Tenemos

~[A . (B + C)] = (~A)(B + (')= (eA)B + (eA)C

= e(A • BJ + ~(A - C) = ~(A . B + A • C)

Denotese Ia aplicaci6n que aplica cada elemento de VI') en Cpor 0; es decir,

0: ~O= C, ~e V(,}Entonces 0 e d (demuestrese), ~(A + 0) = ~A + ~O= ~A + C = eA

y 0 es el elemento neutro aditivo de d.

Para todo A e #, sea -A definido por

-A: ~(-A) = -(~A), ~e VI')Se sigue facilmente que - A e d y que es el simetrico aditivo de A ya que

,= (A = (~- ~}4= ~A+ [-(~A)] = ~[A+ (-A)] = e·OHemos demostrado que # es un grupo aditivo abeliano,

Lamultiplicaci6n es asociativa desde luego, pero, en general, no es conmutativa (vease Problema 55). Paraterminer la demostraci6n de que # es un anillo, demostremos una de las leyes distributivas

A'(B+C)=A'B+A'C

(A + EB + (C

E[A + (B + C»)

(A +B) + {C

fA +~(B+C)

(I(A +B)+ CJy

Asi, pues, A + B. A •Bed y d es cerrado con respecto a la adicion y a la multiplicacion.La adici6n es conmutativa y asociativa, pues

{(A+B) = (A + (B = EB + EA = (B+A)

159ESPACIOS YEC'fORIALESCAP. 13]

Resp. (a), (c) son linealrnente independientes.

30. Dado el conjunto S = {(I, 2, I), (2, 3, 2), (3,2,3), [L I, I)} de vectores de V(Z/(5» hallar un conjumo maximolinealmente independiente T y expresar cada-unode los' restantes vectores como cornbinacion lineal de los ele-

- ." mentos de' T. '

(c) {(O,1,1), (1,0,1), (3,3, 2)}(d) {(4,1,3), (2,3,I), (4,1,OJ)

VJ (Z/(5)) son linealmente dependientes 0 independientes29. Determinar si los siguientes conjuntos de vectores desobre Z/(5).

(a) {(I, 2, 4), (2,4, I)}(b) {(2, 3, 4), (3,2, 1)}

Resp. (c), (d) son linealmente independientes.

(e) {(O,2, -4), (I, -2, -1), (1,-4, a)}

(f) (Ck-1, -I), (2,3,1), (-1,4, -2), (3,10,an(d) {CO,1, -2), (I, -1,1), (1,2, I)}

28. Determinar cuales de los siguientes conjuntos de vectores de V) (Q) son linealrnente dependientes 0 indepen­dientes ~obre Q.(a) {(O,0,0), (1,I,1)}(b) {(I, -2, 3), (S';-6,9)}(c) {(l,-2, -3), (3,2,1)}

I

24. Sean c, IJ + (E V sobre ,. Demostrar que'; y " son linealmente dependientes si, y solo si, ~ = SIJ para algunSE'. '

25. (a) Sean ';,IJ E VIR). Si .; y n son Iinealmente dependientes sobre R, i.son linealmente dependientes sobre Qnecesariamente? 1.Y sobre C?(b) Considerese en (a) el cambio de linealmente dependiente por linealmente independieme,

26. Demostrar los Teoremas IV y VI, pagina 146.

it. Dado el espacio vectorial V = V4 (R) = {(a, b, c, d): a, b. c, de R} sobre R, i.cuales de los subconjuntos quesiguen s,qn subespacios de V? " .. ,

J1..

(a) U = {{a, a, a, a): a E R}(b) U = ({a,b,a,b): a,bEZ\(e) U = {(a, 20.,b, a-r b): 'a,b E R}

(d) U = {(aI' 02' 03' °4): (1.1E R, 202 + 3a.s = O}(c) U = {(aI' a..z, a., a4): aj E R, 2az + 30.3= 5}

21. Mediante definiciones naturales de multiplicacion escalar y de adicion vectorial, mostrar que los siguientes sonespacios vectoriales sobre el cuerpo indicado:(a) V = R; oF = Q (b) V = C; oF = R(c) V = {a+ hYi + e.ji a.b, CEQ}; 9F = Q(d) V = todos los polinomios de grade :!!E 4 sobre R, incluido el polinomio nulo;-' = Q(e) V = {cle" + C2l'3x: cl, c2 E R}; :F = R

(j) V = {(a" a2' a3): a, e Q. a. + 202 = 3al}; :F = Q(g) V = {a + bx : a, be Z/(3)}; :F = Z/(3)

22. (a) ~Por que el conjunto de los polinomros en x de grade > 4 sobre R no es un espacio vectorial sobrc R?(b) i.EI conjunto de los polinomios R[;c] es un espacio vectorial sobre Q'! i.Y sobre C?

23. Sean c, IIE V sobre .'1' y 8, I e:F. Demostrar:(a) Si~' f " entonces s~ = I~ irnplica s = t,

(b) Si sf z, entonces s~ = S'1 implica .; = n.

20. Utilizando la Fig. 13-1, pagina 143:(a) ldentificar los vectores (I. 0) y (0,1); asimismo, los (a, 0) y (0, hI.(b) Cornprobar que (a, b) = (Q,O)+ (0, bv= atl,.O) + b(O, I}.

Problemas propuestos

[CAP. 13ESPACIOS _VECTORIAlES160

45. Sea el primo pun elemento primo de G del Problema 8. Capitulo 10. Denotese por ~ el cuerpo G/(p) y por .F'el cuerpo prime Z/(P) de~. EI cuerpo··', considerado como espacio vectorial sobre iF'. tiene por base .:I. i;:luego' = {.a, • I + a2 ' i: a" a2 E "}. (a) Dernostrar que SF tiene a 10 mas pl elementos. (b) Demostrar que, tiene al menos.jr' elementos (esto es, at' I + a2 • i = PI . J + b2 • i si, '1, solo si. a, ....:hi = al - hl = 0)y que, por tanto, tiene exactamente p'2 elementos.

44. Demostrar que P = {(a, b, =b, a): a. hER} con adicion definida por(e,b,-b,a) + (c,d,-d,e) = (a+c, b+d, -(b+d), 11+ c)

ymultiplicacion escalar definida por kta. b. =b. a) = (ka. kb, -kb. ka) para todo (a, b. =b, a). (c, d. -d. cl e Py k E R, es un espacio vectorial de dimension dos.

respectivamente. Compr.obar el Teorema XIll, pagina 148. Encontrar una base de U + W que incluya los vee­teres de A; tambien una base que incluya los vectores de B. .

B = flO, 0,1,0), (0,I, 0,1), (4,-I, 5,2)}yA = {(~,-1,1, 0), (1,0,2,1)

43. Sean los subespacios U y W de V4 (Q) generados por

42. Demostrar: Si U Y W son subespacios de un espacio vectorial V, tambien 10 son U () W Y U + W.

41. Sea {~,. ~2' ... , ~.} una base de V. Demostrar que todo vector (,E V tiene una representacion unica como com­binacion lineal de los vectores de base.Sugerencia. Supongase ~ = ~ cfEf = ~ dfE, ;entonces ~ !liE; - ~ cl.;{, = !.

40. Sean (,,, (,2" ..• <.. E 'V Y S = {-!" ~2' ...• t,..} que gener-aun subespacio UC V. Dernostrar que el minimode vectores de V necesarios para generar U es el maximo de vectores Iinealmente independientes de S.

39. Demostrar: Si Ves un espacio vectorial de dimension n ~ O.eualquier conjunto linealmente independiente den vectores de V es una base.

38. Demostrar el Teorema X. pagina 147.Sugerencia: Sup6ngase que A y B. de III y n elementos, respectivamente,son bases de V. Primero as6ciese S con A y T con B. luego S con B y T con -'I y apliquese el Teorerna VIII.pagina 147.

37. Demostrar : Si {t,1o.~2' e3l es una base de VJ (Q), tambien 10 es ft" + ~2' t,l + <J' <) + c,,}. ~Es esto cierto enVJ (Z/(2»? i.En V3 (Z/(3»?

34. Demostrar que S= {{,. ~2' ~J}= {i, I + i, 2}. (2 + i, i, I). (3,3 + 2i, -II) es una base de VJ (C) y expresarJos vectores unitarios de V) (C) como combinaciones lineales de los elementos de S.

Resp. '1 [(-39 - 6i)~1+ (80- tlh + (2 - 13tlhln73'.2 = [(86-4~i)(, + (-101 + 61i)(2 + (71-29ll~31/346"3 = [(104+ I6iJE,+ (75- 55i)ez + (-63 - 23t)h]/346

35. Demostrar: Si kl<, + k2c,2 + k)c,) = , con k,k'2 * !, entonces g\. (,))y tel' ~3}generan el mismo espacio.

36. Dernostrar el Teorema IX, pagina 147.

33. En eada uno de los siguientes casos, hallar una base del.espacio vectorial que inc'uya los vectores indicados:(a) [(I, 1.0). (0, I, I)} en V3 (Q). '(b) ((2,I,-I,-.2),(2,3,-2,1).(4.2.-1.3)] en V.(Q).(c) {(2, I, 1,0), (1,2,0, III en V. (Z/(3)).(d) {(I,o, 1,0). (0, i, I, OJ) en V. (C).

32. Para el espaeio vectorial C sobre R. demostrar(a) { I. I} es una base(b) {a + bi, c + di} es una base si, y solo si, ad - b(' * O.

31. Hallar la dimension del subconjunto de VJ (Q) generado por cada uno de los eonjuntos de veetores del Problema 28.Resp. (a). (b) I; (c). (t') 2; (d). If) 3

161ESPACIOS VECTORlALESCAP. 13)

{

-fl (a+i, b+ k. e+ l)A + B : '2 (d+m, II+n, f + p)

's (g+ q, It.+ r, i+ 8)obtener

55. Calcular B· A de las transformaciones lineales del Ejemplo 13, pagina 152, para demostrar que, en general,A' B -+ B· A.

Resp. (a) regular; (b) singular, (1,1); (c) regular; (d) singular, (3, I,0); (e) singular, (-1,1, I): (j) singular,(2,2, -1).

54. Para cualesquiera A, Be.91 y k, leF demostrar

(a) kA E cA(ll) k(A +B) = kA + kB; (k+ l)A = kA + LA(c) k(A· B) = (kA)B = A(kB); (k ·l)A = k(tA)(d) O' A = kO == 0; uA = A

con 0 definido en Ia pag]na 159.'Junto con el Ejercicio 18, esto completa la demostracion del Teorema XX, pa­gina 152.

{.1'"U,k,!)

B : '2 (m, n, p).3 (q,r,8)

y

56. Para las transformaciones lineales sobre V3 (R)

{

<I (a, b,c)A : '2 (d, e,n

'3'" (g,h.,t)

'(4) A: '1 ... (2,1), t-2 ..... (1,2)(b) A: " ... (3,-4), '2 ... (-8,4)(c) A: " ... (1,1,2), '2 _. (2,1,3), 's ....(1,0,-2)(d) A: (, ... (1,-1, I), '2 ... (-3,3,-3), 's .....(2,3,4)(e) A: " ... (0,1,-1), '2 .... (-1,1, I), 's ~ (1,0,~2)(/) A: <, .... (1,0,3), '2 .... (0,1,1), £3 ... (2,2,8)

53. Para cada una de las transformaciones lineales A, estudiar la imagen de un vector arbitrario ~ para determinarla caracteristica de A y, si A es singular, determinar un vector no nulo cuya imagen sea O.

52. Demostrar que la aplicacion T: (a, b) - (0 + I, b + 1) de V1(R) en si mismo no es una transformacion lineal.Sugerencia. Comparese (E, + El)T con (E,T + EzT).

(c) a(x)'" aI-x)

(d) a(x) ... a(O)

(a) «(x) «(x)

(b) (>(x) - a(OX)

51. Para el espacio vectorial V de todos los polinomios en x sobre un cuerpo :F, comprobar que las siguientes apli­caciones de V en S1 mismo son transformaciones lineales de V.

SO. Sean <, 'I e V. (R) tales que I~I = 1,,1. Demostrar que ~ - " y ~ + " son ortogonales. ~Cual es Ia interpretaciongeometrica ?

49. Sup6ngase la longitud definida como eo V. (R). Demuestrese que (1, 1) e V2 (Q) carece de longitud en tanto que(1,i) e V1(C) es de loogitud O.~Es posible dar una definicion de ~." tal que todo vector no nulo de Vz (C) tengalongitud diferente de O?

47. Para~,,,, IJ e V. (R) y k e R demostrar

(a) (. 'I = '1'~, (b) «( + '1) • I' = (. I' + .".1', (c) (k(· 'I) = k«(· 'I).

48. De la desigualdad de Schwarz obtener -I ...«.")/<I~~. 1,,1) ::0:: 1 para demostrar que cos , = ..l.:...!.._ deter-mina un angulo unico entre 0" y 180'. 1(1'I~I

4(;. Generalizar el Problema 45 a un cuerpo finito § de caracteristica prima p, sobre su cuerpo primo con n elemen­tos como base.

[CAP. 13ESPACIOSVECTORlJ\LES1.62

/,Cual es la caracteristica de TI . T2?

60. Para TL del Problema 58 Y T2 del Problema 59, verificar que

{

'I = (1,0) (2;0,2,2)f2 = (0,.1) (2, -1,1,1)

comprobar que:(a) T2 es una transformaci6n lineal de Ven W.(b) La imagen de ~ "" (I, -I. -I)e Yes (O,O.O,O)e W.(c) VT, tiene dimension 2 Y 'T, = 2.

de V = Va (R). en W = V.(R){

'I = (1,0,0) :... (1,0,1,1)T2 : '2 = (0,1,0) -+ (0,1,1,1)

'3 = (0,0,1) -+ (I, -1, 0,0)

!9. Para la aplicaci6n

verificar que:(a) T, es una transformaci6n lineal de V en W.(b) La imagen de { = (2. I) eVes (2,3,4) e W.(c) EI vector (1.2.2) e W no es imagen.(d) YT, tiene dimension 2.

{'I = (1,0) +. (1, 1, 1)'2 = (0, 1) -+ (0, 1,2)

58. Para la aplicacion

S1. Calcular la inversa ,r I de A: {OI -+ (1,1) de V1 (R).'2 -+ (2,3-)

Sugerencia: T6mese A-I: {.I (p,q) y considerese (~A)A-l ee ~ donde e - (a, b).•2 (r,s)

R {'I~(3,-1)esp. '2 ....(-2,1)

{

'I -+ (ka,kb, kc)kA : E2 ~ (kd, ke, k/)

'3 ~ (kg,kit, ki)

Y. para todo k e R,

{

EI ~ (a.i + bm + cq, ak + bn + er, al +.bp + ce)A •B : 02 -+ (d;+ em + fq,dk + en+ [r, dl + ep +Ie)

E3 - (gj +hm+iq, gk+hfl,+ ir, gl + lip + i.)

163ESPACIOS VECTORIALESCAP. 13]

164

t 1que se obtienen poniendo los vectores imagen entre corchetes y eliminando parentesis y comas sobran­tes. El problema que se nos presenta es traducir las operaciones con transformaciones lineales a ope­raciones correspondientes con estos cuadros. Asi tenemos:

La suma A' + B de los cuadros A y B es el cuadro cuyos elementos son las sumas-de los ele­mentos correspondientes de A y B.

EI producto escalar kA de un escalar cualquiera k por A es el cuadro cuyos elementos son kveces los correspondientes elementos del A.

Al formar el producto A -1J piensese que A consiste en los vectores PI' Pl, P3 (los uectores filade A), cuyos componentes son loselementos de las filas de A y que B consiste en los vectores »1, ')12' ')13

(los veetores columna de B), cuyos componentes son los elementos de las columnas de B. Entonces,

(!)[

j -- k l]B = m n p• q' T' 8

yA=[~~~]9 h 'i

Con el objeto de simplificar, remplacese esta notacion de las transformaciones lineales A y B POf'

los cuadros

kER{

(1 -+ ika, kb, kc)kA : 'z -+ (kd, ke,k/) j

(8 -+ (kg, kh, let)

para las cuales (vease Problema 56, Capitulo 13, pagina 162)

{

(I -+ (a.+i,b + k, c + l)A+B: .,'" (d+m,f.1+n,/+p)

c, ... (g + q, h + r; i+ 8)

{

!I ....(o.j+ bm+cq, ak:+ bn+ cr, a.l+bp+ C8)

A·B: ~ -+ (dj + em+ /q, dk +-en + fr, dl+ ep+ /s)~ -+ (gj + hm + iq, gk +h1i+ir, gl+hp + is)

Considerense de nuevo las transformaciones lineales sobre V3 (R)

INTRODUCCION

Matrices

Capitulo 14

(1){

(I"" (j,k, l)B : fa -+ (m, n, p)

C, -+ (q, r,8)y

B = [bul,y

(i = 1,2,3; j = 1,2,3)

(i = 1,2,3,4; j = 1,2,3,4)

A = [ali].

Cualquier e1emento, qomo el b24, por ejemplo, se ha de considerar como b2•4, si bien, al menos que seanecesario (comoen b121, que pod ria ser_b12•10 b1,21),.no se pondra la coma, Una ventaja de esta no­tacion es que cada elemento indica su posicion en la matriz, Por ejemplo, el elemento bZ4 esta en la se­gunda fila ycuarta columna, el b)l en la tercera filay segunda columna, etc. Otra ventaja es que po­demos indicar las matrices A y 8 anteriores con solo escribir

(-----~---

{

b13b~bS3b.s[

bll_ b2i- b81

bu

ByA

Los cuadros de la seccion precedente, con los cuales se ha definido una adicion, una multiplica­ci6n y una multiplicacion escalar, se Jlaman matrices cuadradas; mas exactamente, son matrices CUIl­dradas de orden 3, pues tienen 3~elementos. (En el Ejemplo l(a) las matrices cuadradas son de orden 2.)

Para poder esoribir completamente matrices cuadradas de ordenes mayores vamos a introduciruna notacion mas uniforrne. En 10 que sigue, los elementos de una matriz cuadrada sederiotaran poruna sola letra afectada de subindices que varian, por ejemplo:

MATRICES CUADRADAS

= [: : -~J-2 -7 2

y ,8'4-

sabre Q, se tiene(b) Si A = [~ -~ -~Jy 8 = [-: -~ ~J2 1 0 0 2-1

;1.,8 = [ : -1~4 -fd2-1J = [: ~:. -l~J6-2 -2 3 4 -2 3

-'y

A'B[

Pl'Yl Pt'Y2 Pl'YaJPI' Y1 P2' Y2 Pi' Y,Ps'Yi PS'Y2 Ps'Ya

donde P,' 'Ii es el producto interno de P, Y '1J' N6tese cuidadosarnente que en A' B aparece el productointerno de cada vector fila de A por cada 'vector columna de B; asi como tambien que los elementos decualquier fila de A . B son los productos internos, cuyo primer factor es el vector fila correspondien-te de A. '

Ejemplo I;

((I) Si A ={~:] y B = [~ :] sobreQ,setiene

A +8 [~:~ :::J =, [1~ r:]' lOA = [~~:!~~:.!]= [!~~~]A'B - [~~?~l[;..t:r = [!::!::~_!::::::] = [:: :~]

8,A = [i~~J'[~j':J [~:~:~::::] = [: ::1

165MATRICESCAP. 141

respectivamente.

Existeuna matriz 1.0 I, la unidad de ~, que tiene por elementos de la diagonal principal la uni-

dad de , y en todos los otros lugares tiene por 'elementos el cero de ,. Por ejemplo, 12 == [~ ~]

e 1. = [~ !~]"'0 matrices unidad sobre R de 6,d,0" 2 Y3; respectivamente,

Para toda A = [aij] E ~ existe una simetrica aditiva -A = (...:l)[a,J] = [-aij] tal queA + (-A) = O. .

En 10 que queda. del libra utilizaremos 0 y 1, respectivamente, para denotar el elemento cero y elelemento unidad de todo cuerpo (pagina 118). Siempre que aparezcan z y u, originalmente reservadospara denotar estos elementos, tendran connotaciones diferentes. Asi, pues, se usaran 0 e !como seacaban de. definir sobre R para las matrices aula y unidad sobre cualquier cuerpo ,-.

Por el Teorema XX, Capitulo 13, pagina 152, tenemos

Teorema II. EI 'conjunto de las matrices cuadradas de orden n sobre , es un espacio vectorial.

[0 0 0]03 = 0 0 0 son matrices nulas sobre R de ordenes 2 y 3?000

Por ejemplo, O2 = [~ ~] y

l:42jCJ3 = aUCl3 + a22CU + a23C33, etc.Dos matrices cuadradas L y M se diran iguales, L = M, si, y solo si, una es duplicado de la otra,

esto es, si, y solo si, L y M son la misma transformacion lineal. De modo que dos matrices iguales tie,nen necesariamente el mismo orden.

En una matriz cuadrada se lJama diagonal principal la diagonal que va de la esquina superior iz­quierda a la inferior derecha. Los elementos de la diagonal principal son los que tienen igual indice defila y de columna y solamente elIos (por ejemplo, au, 0l2, a33 de A).

Por definici6n, hay una aplicacion biyectiva entre el conjunto de todas las transfonnaciones linea­les de un espacio vectorial sobre , de dimension n en sf mismo y el conjunto de todas las matrices cua­dradas sobre §I de orden n (el conjunto de todas Ias matrices cuadradas de orden n sobre '). Ademas,hemos definido con estas matrices una adicion y una multiplicacion, de tal modo que esta aplicaci6nes un isomorfismo. De modo que por los Teoremas XVIII y XIX del Capitulo 13, pagina 152, tenemos

Teorema I. EJ conjunto de las matrices cuadradas de orden n sobre , dotado de adici6n y multipli-cacion, es un anillo unitario ~.

En consecuencia:La adici6n es asociativa y conmutativa sobre ~.La multiplicacicn es asociativa, pero, en general, no es conmutativa sobre ~.La multiplicacion es distributiva a izquierda y a derecha con respecto a Ia adicion.

Existe una matriz nula, O. 0 0, elemento cero de ~, cada uno de cuyos elementos es el cero de'.

donde en cada casilla la sumaci6n se extiende a todos los valores de j; por ejemplo,

l:aliCn~ aljCJ2

~ aSjCj2

Bntonces, para la A definida y C = [Cij], (I,) = 1,2,3), el producto es

[CAP. 14MATRICES166

Una matriz semejante de m fiJas y n columnas se dira matriz de orden m x n.Para m y n dados, considerese el conjunto de las matrices sobre ., de.orden m x n..Con la adici6n

y multiplicacion escalar definidas exactamente como para las matrices cuadradas, tenemos elTeorema n. El conjunto de las matrices sobre , de orden m x n es un espacio vectorial sobre ~.

No puede defmirse la multiplicacion sobre este' conjunto aJ menos que m = n. N~ obstante, pode­mos defmir, como en el Problema 60, Capitulo 13, pagina 163, se sugiere, el producto de ciertos cua­dros rectangulares. Por ejemplo, utilizando las matrices A, B, C anteriores, podemos formar A 0 B,perc no B>A; B' C, pero no C' B; ni tampoco A . C ni C' A. La razon es clara: para formar L •M,el numero de columnas de L debe ser iguaJ al numero de filas de M. Para las Bye dadas, tenemos

[G"0,12 GOJ [b" b12 bla b"] ['" ''']A B btl bl2 bu bu , C = C%I C22= 0,21 0,22 al:l , = Cn Cn

an 432 au b81 bu baa bat C41 CU

o bien A = [atJ), (i,i = 1,2,8) B:: [bu], (i = 1,2,3; j = 1,2,3,4)

C = [c1J1, (i = 1,2,8,4; i= ~,2)

MATRIZ DE ORDEN m x n

Por matriz sobre: ~ se entiende toda disposici6n rectangular de elementos de ~; por ejemplo,

ALGEBRA MATRICIAL TOTALEI conjunto de todas las matrices cuadradas de orden n sobre ~ con las operaciones de adicion,

multiplicacion y multfplicaci6n escalar por elementos de ~ se Jlama algebra matrlcial total .,II.(~).Ahora bien, asi como hay subgrupos de grupos, subanillos de anillos, ... , asimismo hay subalgebras

de .,II,.(~). Por ejemplo, el conjunto de todas las matrices .,II de Ia forma [2: !~],donde a, b,2b 2c a

CEQ es una subAlgebra de J(3(Q). Todo 10 que hay que demostrar es que la adicion, la multiplica­cion y la multiplicacion escalar por elementos de Q sobre elementos de·.It producen elementos de Jt.La adicion y la multiplicacion escalar no presentan.dificultad, y asi .,II es un subespacio del espacio vee­torial.,ll 3(Q). Encuanto a la multiplicacion, notese que una base de.lt es elconjunto

{I. X = [Hn y = [~ ~m· Dejamos ~ lector el demos tra r quo PM' A.B.~.A •B = (a/ + bX +cY)(zl +yX +zY)

= (ax +2bz+ 2ey)/ + '(all+bx +2cz)X + (az +by + cx)Y E tM;asi que la multiplicaci6n es conmutativa sobre .,II.

Un conjunto de elementos de base para este espacio vectorial consiste en las n2 matrices

E1J, (i, j = 1,2,3, ... ,n)de orden n que tienen 1 como elemento en el lugar (i,j) y 0 en todos los otros. Por ejemplo,

{En.EI2, E2l, Eu} = {[~ ~J,[~ ~J,[~ ~],[~ ~]}es una base del espacio vectorial de las matrices cuadradas de orden 2 sobre ~; y para toda matriz

A = [: :] ~ tenemos A = aEll + bEi2 + CE21+ dE22•

167MATRICESCAP. 14]

Si ahora tomamos para z cualquier r E R arbitrario, tenemos como solucion del sistema:x = -13r/5, y = 7r/5, z = r.

(6)

(5)

Ox,+ y - 7z/5 0x + Oy + 13z/5-= 0

Ox + Oy + Oz = 0

0x,+·5y-7z = 0:I; - 11+ 4z = Q

Ox + Oy + Oz '= ()

i[(i) - 2(ii)]t[3(ii) + (i)1

(iii) +2(ii) - 3(i}

(i) - 2(ii)·. (il)

(iii) + 2(ii) - 8(i)

Por ultimo, en (5). rnultiplicarnos la -primera ecuaci6n por 1/5 y, poniendola de prirnera ecuacionen (6), la sumamos a la .segunda.. ifenemos

En (4), rnultiplicarnos la primera ecuacion por 3 y la restarnos de la tercera:

[0 5 -7]1 -1 4o 15 -21

ooo

y

Ox + 5y - Tzx- y+ 4z

Ox+ 15y - 21z

2x + 3y + Z = O}X - 11 .:p.4z = o .

4x + lly - 5~ = \0

(i) - 2(ii)(ii)

(iii) - 4(ii)

(i)(ii)(iii)

Lo que vamos a hacer aqui es derriostrar que una. matriz, corisiderada como matriz coeficiente deun sistema de ecuaciones hornogeneas, puede utilizarse (en lugar de las ecuaciones mismas) para ob­tener soluciones del sistema. En 10 que sigue expresamos nuestros «pasos», el resultado de nuestros«pasos», con las ecuaciones, y, por ultimo, en forma de matriz.

EI sistema (3) dado tiene la solucion trivial x = y = z = 0; tiene soluciones no triviales si, y solosi, una de las ecuaciones es una combinacion lineal de las otras dos, es decir, si, y solo si, los vectoresfila de la matriz de coeficientes son linealrnente dependientes. EI procedimiento para encontrar solu­ciones no triviales, si las hay, es bien conocido. EI conjunto de «pasos» no es unico: procederemos comosigue: muitiplicamos la segunda ecuacion por 2 y la restamos de III primera; luego multiplicamos lasegunda ecuacion por 4 y la restamos de la tercera, obteniendo asi

Hasta ahota el estudio de las matrices ha estado presidido por nuestro estudio previo de las trans­formaciones lineales de espacios vectoriales, Podriamos, sin embargo, haber comenzado el estudio delas matrices observando la aplicacion biyectiva entre todos los sistemas de ecuaciones lineales' homoge­neas sobre R y el conjunto de lQScuadros de sus coeficientes; por ejemplo,

SOLUCIONES DE UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES/

Asi, pues, el producto de una matriz de orden m x n- poe-una matriz de orden n x p, ambas sobre elmismo cuerpo ?, es una matriz de orden m X)!.

- Veanse Problemas 2-3.

168 MATRICES [CAP. 14

[::]: I"~"~I[p,.~, P, .,,] [~ b",,, ~ b"''']B-C = = P2' Y'I P2' Y2 = ~ b21cjJ ~ b2jCj2

Pa' YI P3' Y2 ~ b3lClI ~ b3jCj2

TRANSFORMACIONES ELEMENTALES DE UNA MATlUZ

Alresolver un sistema-de ecifacfones lineales hoinogeneas con coeficientes ·en !F se pueden realizarciertas operaciones con los elementos (ecuaciones] de'!sistema sin que cambie su solucion 0 soluciones:

S~ pueden permutar do~ ecuaciones cualesquiera.Toda ecuacion se puede multiplicar por un escalar cualquiera k =F 0 de $1".

Vease Problema 4.

Nota. EIvector (3, -2, -I) puede considerarse como una matriz i x 3; con 10que el productoindicado es valido.

de modo que la imagen de cualquier vector de V es una cornbinacion lineal de los vectoresPI YP2' Luego VT tiene dimension :2 y T es singular, cosa que, desde luego. implica la ma­triz (5), que tiene una sola fila de ceros.

Como 3p1 - 2Pl - p) = 0, Ia imagen de 'I = (3, - 2, - 1) es 0, eSIO es.

(3,-2,-1) .[: .: !] = Q4 11 -5

Se escribe T' =

Resuimendo: del sistema d. .ecuaciones dado (3) "",mo, 1. matriz A ~ [~ - ~ ~J o"-,,",odo

sobre las frlasde A lIegamos a la matriz B = [~ ~ ~~~:], '?",id,,,ndo B ~:: ~:a matriz '0'·o 0 0

ficiente eo las mismas incognitas, Ieemos la solucion del sistema original. Damos ahora tres problemasde espacios vectoriales cuyas soluciones se siguen facilmente:

'EJemplo2: ~Es ei = (~,1,4), ez = (3~-1,11), e3 = (1,4, -5) una base de V3 (R)?

Hacemos xc, + Y~2 + ze) = (2x + 3y + z,x - y + 4z,4x + Ily -'5z) = 6 = to, 0, 0)y obtenemos el sistema de ecuaciones (3). Mediante 1a solucion x = -13/5, y =.7/5, Z = 1.encontramos que ~3 = (13/5lel - (7/5)ez. Asi que el conjunto dado no es una base, 10cualnaturalmente esta implicado por la matriz (5) que tiene una fila de ceros,

,EjempJo 3: ~EIconjunto PI = (2,3, I), P2 = (I, -1,4), P3 = (4,II, '-5) es una base de V) (R)?

Los vectores dados son los vectores fila de (3). De los pasos indicados en (5)' se deduce.(iii) + 2(ii)..- 3(i~ "" 0, 0 sea pj + 2P2 - 3PI = O.Asi que el conjunto dicho no es una base.

Nota. Los problemas resueltos en los Bjemplos 2 y 3 son del mismo IIp,?y los calculos son iden­ticos: los procedimientos iniciales, sin embargo, son bien diferentes. En el Ejemplo 2 los vectores da­dos constituyen las column as de la matriz y las operaciones con la matriz implican cornbinaciones linea­les de las componentes correspondieates de estos vectores. En el Ejcmplo 3 los vectores dados cons­tituyen las filas de la rnatriz y las operaciones con esta matriz implican combinaciones lineales de losvectores mismos. Seguiremos utilizando la notacion del Capitulo 13, en que un vector de Vh (§') seescribe como una fila de elerdentos y asi utilizarernos de ahora en adelante' e) procedimiento delEjemplo 3,

Ejemplo4: Demostrar que la transformaci6n lineal

{

" .... (2, s.u = PI .T: '2'" (1,-1,4) = P2

'a -+ (4,11,-5) = P3de V = V) (R) es singular y hallar un vector de V cuya imagen sea 0.

[: : !] - [PI] . Por eI Ejemplo 3, Pa+ 2P2 - 3PI = 0;4 ~l -5 - ::

169MATRICESCAP. 14]

Considerando las filas de una rnatriz dada A.como un sonjunto S de vectores fila de V.(F), inter­pretense las transformaciones elementales de filasobre A en terminos de los vectores de·S como:

(cl Revisando los pasos dados, se ve que no se ha agregado un multiple de la cuarta fila aninguna de las otras.tres. Asi que los tres primeros vectores del conjunto dado son com­binaciones lineales de los vectores fila no nulos de B. Losprimeros tres vectores del con­junto dado junto con.cualquier vector que no sea combinacion lineal de los vectores filano nulos de B. como '~l.0.E., por ejemplo, forman una base de V.(Q).

Y B tiene el mimero maximo de ceros posible en una matriz equivalente par fila a A (com­probarlo). Como B tiene 3 vectores fila no nulos, VT es efedimension 3 y rT = 3.

(b) Utilizando Hll(t),Hn(-I) en la matriz final obtenida en (a), tenemos

EI conjunto no es una base,

A l~!~!] l~~~~]l~~-1~] l~~-~~]1323 0111 011 0111o 3 1 3 0 3 3 0 0 -2 0 0 0 0 0

EjempIo S: (a) Dernostrar que el conjunto {(I, 2, 1,2), (2,4,3,4), (1, 3,2,1), (0,3, 1, 3)} no es una basede V. (Q). (b)Si T es Ia transfonnaci6n lineal que tiene los vectores de (a) por imagenes, ensu orden, de E.. El, E), E., icual es la caracteristiea de T? (cjHallar una base de V.(Q) quecontenga un subconjunto maximo linealmente independiente de vectores de (a).

(a) Utilizando sucesivainente H21(-2), H31(-I); HI3(-2),H43(-3); H.:(2), tenemos

La permutaci6n de las columnas i y j denotada por Kij.La multiplicaci6n de cada elemento de la columna i por un escalar no nulo k, denotada

por K, (k).L~ adicion a los elementos de la columna i de k (un escalar) veces los elementos correspon­

dientes de la columna L 10 cual se denota por Kij (k).Dos matrices A y B se 'diran equivalentes porfila (columna) si B 'puede obtenerse de A mediante

una sucesion de transformaciones e)em~nt~l~sde fila (coIWlIna).De igual rn~~ se dira que dos ma­trices A y B son equiualentes si B puede obtenerse de A mediante una sucesion de transformaciones defila y columna, Si B es equivalente por fila, por columna, 0 equivalente a A,' escribiremos B ~ A. De­james al lector la demostracion de que :.....es una relacion de equivalencia,

Se puede multiplicar cualquier ecuaci6n por cualquier escalar y sumarla a cualquier otraecuacion,Las operaciones que esto induce sobre la matriz coeficiente del sistema son las Ilamadas transfor-

maciones elementales de fila siguientes:

La permutacion de las filas i y j denctada por HiJ'La.multiplicacion de cada clemente de fa fila i por un cscalar no nulo k.y denotada por H, (k).La adicion de los elementos de.la fila ide k (un escalar) veces los correspondientes elementos

de la fila j, cosa que se denota por H,ik).Despues veremos la utilidad de las transformaetones elementales de columna sobre una matriz que

enumeramos ahora:

[CAP. 14MATRICES170

UNA FORMA CANONICAEn el Ejercicio 9 demostramos el

Teorema IV. Toda matriz no nula A sobre Y puede reducirse por sucesivas transformaciones ele­mentales de fila a una matriz canonicapor filas (rnatriz escalons C que tiene las propie­dades siguientes:(i) Cada una de las primeras r filas de C tiene al menos un elemento no nulo; las filas

restantes, si las hay, consisten ell elementos ceros unicamente.

(c) Con H21(-4), H31(-5)~H3~(-1); H)'J,(21/3); HI3(-1}, H2k_:6)

A - [~ -~ -:]. - [~ ~~ =!] [~-~ ~] 'que' es diagonal.o 0 -1 0 0 -1 0 0-1

Vease tambien Problema 8.

o~J que es triangular inferior.

(4) Con H2I(-4), H31(-5); H32(-1), obtcncmos

A [~ ::] [~-: -:J [~-: -:] que es triangular superior.5 7 8 0 -3 -7 0 0-1

Ejemplo6: [1 2 SJReducir A = 4 5 6 sobre Q a triangular superior. triangular inferior y diagonal.

578

Mediante transformaciones elementales, toda rnatriz cuadrada puede reducirse a una triangularsuperior. triangular inferior y diagonal.

son diagonales,lar inferior. pero

Una matriz cuadrada A = [au] se dice triangular superior si aij = 0 para i > l. y se dice triangu­lar inferior si au = 0 para i < j. Una matriz cuadrada que es simultanearnente triangular superior e

inferior se llama matriz diagonal. Por ejemplo, [~ ~'!]es triangular superior. [!~~]es triangu-002 345

[~~~Jy [-~ : ~]002 001

MATRICES TRIANGULARES SUPERIORES, TRIANGULARESINFERIORES Y DlAGONALES

Permutacion de dos vectores cualesquiera-de S.Sustitucion de cualquier vector ~ E S por un multiple escalar no nulo a~.Sustitucion de cualquier vector ~E S por una combinacion lineal ~ + bn de ~ y cualquier

otro vector '1E S.Los ejemplos anteriores ilustran elTeorema m. Las operaciones que preceden efeetuadas en un conjunto S de vectores de Vn (jO) no

aumentan ni disminuyen el numero de vectores Iinealmente independientes de S.Veanse Problemas 5-7.

171MAT·Rre:esCAP. 14]

Partiendo de una matriz A y utilizando solamente transforrnaciones elementales de columna, po­demos obtener matrices llamadas equivalentes por columna de A. Entre estas hay una matriz canonicapor columnas D cuyas propiedades son 'precisamente las obtenidas al intercarnbiar «fila» y «columna»en las propiedades enumoradas para laimatriz canonica por filas C. Se define como caracteristica decolumna de A el nurnero de columnas de D que tienen al menos un elemento distinto de cero. Lo unico'que aqui nos interesa es elTeorema V. La caracteristica de 111ay la earacteristica de columna de toda matriz A son iguales,

Para una demostraci6n, vease el Problema 10.

TRANSFORMACIONES ELEMENT ALES DE' COLUMNA

Como consecuencia, definimosLa caracteristica de una mairiz es su caracteristica de fila (columna).

r....."',Sea una matriz A sobre iF de orden m x 71 y caracteristica r reducida i'su forma canonica por

filas C. Entonces, utilizando el elemento 1que aparece en cada una de las primeras r filas de C y me­diante transformaciones apropiadas del tipo Kij(k), C puede reducirse a una matriz cuyos unicos ele-

que es una matr.j"z"·canonicapor filas, mediante las transformacioncs elementales de' filaH12• H13·

En el Problema 5, pagina 186, Ia:matriz. B es una matriz can6nica por filas; es tarnbien la matrizunidad de orden 3. La transformacion lineal A es regular y as! tambien llamaremos regular la matriz A.Asi, pues,

Una rnatriz cuadrada de orden n es regular si, y solo si, es equivalente por fila a la matrizunidad In'

Toda matriz cuadrada de orden n no regular se dira singular. Los terminos singular y regular jamas seemplean si la matriz es de orden m x n con m + n.

La caracteristica de una transformation lineal A es el numero de vectores linealmente indepen­dientes en el conjunto de vectores imagen. La caracteristica de la transformaei6n lineal A la llamare­mos caracteristica de fila de la matriz A. Asi que

La caracterlstica de fila de una matriz m x n es el numero de filas no nulas en su matriz ca-nonica por filas equivalente.

Desde luego no se precisa reducir una matriz a forma can6nica por filas para determinar su caracteris­tica. Por ejemplo, la caracteristica de la matriz A del Problema 7 se puede obtener tan facilmente deB como de la matriz canonica por filas C del Ejemplo 7(b).

[10 0

-;]0una matriz canonica por filas. Pero se la puede reducir a 0 1 C,

0 00 0

[ii) En la fila i (i = 1,2, ... , r) de C, el primer elemento no nulo es 1. Numerese j,la columna' -en que esta este elemento.

(iii) EI unico elemento no nulo en la columna numeradaj, (i = 1,2 .... , r) es el elemen­to I de la fila i.

(iv) l, < J2 < ... < i:Ejem.plo7: (a) Lamatrfz B del Problema 6, pagina 187,es una matrizcanonicapor filas. EIprimer ele­

memo no nulo de la primera fila es 1 y se encuentra en la primera columna, el primer ele­mento no nulo de la segunda fila es 1 y se encuentra en la segunda columna, el primerelernento no nulo de la tercera fila es 1 y se encuentra en la quinta columna. Asi, pues,i, = I, i2 = 2,h .:5 y se cumple jl < j2 < .i3·

(b) La matriz B del Problema 7, pagina 187, no curnple la condicion (iv) y no es.por tanto,

[CAP. 14MATRICES172

.'

yTeorema VII. El producto de dos 0 mas matrices elementales es regular.

De aqui se deduce facilmenteTeorema vm, Para hacer. una transformacion elemental de fila (columna) H (K) sobre una rnatriz A

de orden m x n, hagase el producto H' A (A •K) donde H (K) es Ja matriz que seobtiene por la transfohnaci6n H (K) sobre I.

Teorema VI. Toda rnatriz elemental es ieg~Jar:,Por el Teorema III tenemos

Ksz(k)[ 1 0 0]o 1 k =001

Kz(k).[~~~]=001

MATRlCFS ELEMENTALESLa matriz que resulta de aplicar una transformacion elemental de fila (columna) a Ia matriz uni­

dad. In se llama matriz fila (columna) elemental. Toda matriz fila (columna) elemental se denotara porel mismo simbolo que se emplea para denotar la transformacion elemental que produce la matriz.

EjempIo 9:

S; es '" [: : n te... os

HIS = [~ ~ ~] = K13• H2(k)1 0 .0

Vease Problema 11.

NOla. Por estos ejemplos se podria pensar que al reducir A a su forma normal hay que aplicarprimero transformaciones de fila y luego exclusivarnente transformaciones de columna. Pero este or­den no es necesario.

[Is 0]o 4 01 -1 ·2000

A - [:

(b) La .matriz B es 'la forma nonnal de A en el Problema5.(c) Para la matriz del Problema6 obtenemos, mediantelas transformaciones elementalesde columnaapli­

cadas a B, K31(-4). K32(1},K42(-2); Kn

[ 1 OJ02 0 • la fonna'normal[

~ ~ _~ -~] _ [~ ~ ~~ ~] _ [~ 0 ~ ~] =0000 0000 00000000 0000 0000

A -

[12 20] [1

0 4 -~]A 6 3 1 1 -1C=8 4 2 0 0

7 1 3 0 0

Usando K31( -4), K41(2}; K32(1},K.2( -1) sobre C, obtenemos

mentos distintos de cero son estes 1. Por ultimo, por transformaciones del tipo Kij, estos 1 se puedenllevar a ocupar las posiciones diagonales en las primeras r filas y r columnas. La matriz que resulta,denotada por N. se lIama/orma normal de A.

Ejemplo 8:(a) En el Problema 4 teaemos

173MATRICESOJ\.P. 14)

se dara en la secci6n siguiente.Como consecuencia del Teorema IX, tenemos

Teorema IX'. Para toda matriz A existen matrices regulares S y T tales que S' A • T = N, 1a formanormal de A.

Ejemplo 11: Hallar matrices regulares S y T sobre Q tales que

S • A • T = S ..[~ !-~].T = N, la forma normal de A.4 9-1

Con

o 1

1 Asi,'pues,o

H32(-I)' H23(-I)' H31(-4)' H21(-3)' A •K21(-2)· K3t(1) •K32(-2)

= [~ ~ ~].[~ ~ _~].[ ~ i~].[_~~~].A .[~ -: ~].[~ ~ ~].[~ 0 _~]o -1 1 0 0 1 -4 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1

Con 10 que A y B son matrices equivalentes. La demostraci6n del reciproco

Teorema IX. Si A Y B son matrices equivalentes, existen matrices regulares S y T tales queS'A' T= B.

Supongase ahora que H1> H2, ... , H. YXl> X2, ••• , K, son sucesiones de transformaciones ele­mentales que, realizadas en el orden de sus subindices sobre una matriz A, la reducen a B, es decir,

H.' .... Hz' H, . A •K, •K2• •••• K, = BEntonces, defmiendo S = H." ...• H2 • HI Y T = Kl • K2 •.... X, tenemos

S·A·T == B

4 (

3 0]7 -126 0

26

-9 -12]7 86 8

Las matrices H y K del Teorema-VIII no Ilevan indicaci6n de su orden. Si A es de orden m x n,un producto tal como el H13' A' K23(k) ha de implicar que H13 es de orden m en tanto que K23(k) esde orden n, ya que de otra manera el producto indicado no tendrla sentido.

Ejemplo 10: Dada A = [!!~:]sobre Q. calcular2 4 6 8

(c) H,s' A [~ ~ ~]. [~ : ~ :] [: : : :]1002468 1 284

(b) H,H)·A [-1 : :JD : : :] [-;-;(,) A-K..(-.) [n::H~11-1J = [:

[CAP. 14MAT-RICES174

y

Teorema XI. La inversa de una matriz fila (columna) elemental es regular.

En el Ejercicio 13 demostramosTeorema XU. La inversa del producto de dos matrices A y B, cada una de las cuales tiene inversa,

es el producto de las inversas en orden inverso, es decir,

(A'B)-l = B-1. A-I

Teorema X. La inversa de una transformaci6n elemental de fila (columna) es una transformacionelemental de fila (columna) de igual orden.

'K,jt ;; KijKi-I(k) = K,(l/k)

Kijl'(k) = KiJ(-k)

Hi'il = H.!H,-l(k) = H,(l/k)

u;' (k) = H'J(-k)Asi, pues,

Para cada una de las transformaciones elementales hay una transformaci6n inversa, es decir, una.transformaci6n que deshace 10hecho por la transformaci6n elemental. Expresadas por transformacio-nes elementales 0 por matrices elementales, hallamos .

1 0 0 1 0 0 1 -2 10 1 0 0 1 0 0 1 00 0 1 0 0 1 0 0 11 2 -1 1 0 0 1 2 -1 1 0 0 1 0 0 1 0 03 8 2 0 1 0 0 2 6 -3 1 0 0 2 5 -3 1 04 9 -1 0 0 1 .... 0 1 8 -4 0 1 ... 0 1 3 -4 0

1 -2 1 1 -2 1 -2 6

0 1 0 0 1 0 0 1 -20 0 1 0 0 1 0 0 1

0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 00 1 2 1 1 -1 0 1 2 1 1 -1 0 1 0 1 -1 T

... 0 1 3 -4 0 1 0 0 1 -5 -1 2 ... 0 0 1 -6 -1 2 = I S

y S . A . T = I, comoantes,Vease tambien Problema 12.

INVERSAS DE MATRICES ELEMENTALFS

y procedemosa reducirA a I. AIhaceresto, cada transfonnaci6nde filase aplicaa las filasde seiselemen­tosy cadatransfonnaci6ndecolumni'Seaplicaa lascolumnasdeseiselementos.MedianteH21 ( - 3),HJ1(-4);K2L(-2),K31(1);H23(-1); Hd-]); Kd-2) obtenemos

[-: 0 -!}[: 2 -I] [, -2 ,] [, 0 OJ1 8 2 • 0 1-2 = 010-1 9 -1 0 0 ~ 001

He aqul otro procedimiento: empezamos con el cuadro1 0 00 I. 00 0 1

1 2 -1 1 0 013 3 8 2 0 0A 13 4 9 -1 0 0 1

=

175MATRIGESCAP. 14]

La inversa A-I. si existe, de una matriz cuadrada A tiene la propiedad

A·A-I = A-'·A = 1

Como la caracteristica de un producto de dos matrices no puede exceder la caracteristica de ningunode los factores (vease Capitulo 13), tenemos

Teorema XV. La inversa de una matriz A existe si, y solo si, A es regular.

Sea A regular. Por el Teorema IX' existenmatrices regulates S y T tales que S . A • T = l. Enton-ces, A = S-1 . T-1, y por el Teorema XII, '

A-I = (S-I'T-I)-' = T'S

INVERSA DE UNA MATRIZ REGULAR

Supongase que A y B sobre !F de orden rn x n tienen la misma caracteristica. Tienen entonces lamisma forma normal N y existen matrices regulares SI' T1; S2, T2 tales que S,AT, = N = S2BT2,'Mediante las inversas SII y TJI de SI y T, obtenemos

A = S'j'·S,AT,·T'j' = Si'l'SiBTz'T'I1 = (S'I"S2)B(Tz'T;1) = S·B·TAsi que A y B son equivalentes. Dejamos la reciproca al lector y enunciamos elTeorema XIV. Dos matrices A y B sobre .9I".deorden rn x n son equivalentes si, y solo si, tienen la

misma caracteristica.

y

= [to ,] [, : ,] [to ,] [to ,] [10 ,]~0 ~ . ~ 0 ~ . ~ ~[},"]~ ~[,: '=_']! [:,: 2'O]~ [1 2 -1]

K32(2) • Ka,(-l) • K21(2) = 0 1 2 • 0 1 0 • 0 1 0 = 0 1 200,1 001 001 001

A = 8-1• T-I = [!~~J'[~~-~]= [~ : -~J'4 I I 0 0 1 4 9-1

T-I

Entonces,8-1 = H;1(-3)" H;tI(-4) •H2;'(-l). H:i21(-1) = H21(3)' H31(4)' H23(1)' H32(1)

y

Ejemplo 12: En eJ ejempJo 11 tenemos

8 = H32(-1)' H23(-I) • H31(-4) • H21(-3)

En particular tenemos

Teorema xm. Si A es regular y si S· A . T = I, entoncesA = S-J· T-I

esto es, toda matriz regular de orden n se puede expresar como producto de matriceselementales del mismo orden.

El Teorema XII se puede generalizar ,de inmediato a la inversa del producto de cualquier numerode matrices. En particular tenemos: -

si S:: H.' .... Hz' HI es 8-1 = n;: .n;' ..... H;' ,si T = KI •Ks : .... K, es T-l = s:: ..... K;I •K'jl .

Supongase A de orden m x n. Por el Teorema IX' existen matrices regulares S de orden m y T deorden 11 tales que S· A . T = N, la forma' normal de A. Entonces,

A = S-I(,S'A'T)T-I = S-l·N·T-l

[CAP, 14MATRICES176

Despues de .verificar cada termino, concluimos que A~ = 4A + 51 y el poJinomio rninimo es ,,-2 - 4"- - 5.vease tambien Problema 15.

Como A f Qol para todo QoEQ,

[ 9 8 8] [1 2 2] [1 0 0] [a, + aoA2 = 8 9 8 = 0.1 2 1 2 + 0.0 0 1 0 = 20.1

8 8 9 2 2 1 0 0 1 20.1

[ 1 2 2]= 2 1 2 sobre Q.221

Hallar el polinomlo minirno de A

Ejemplo 15:

(/>(Ji) = aol + alA + 4~2+ ... + an2An2 = 0

En esta seccion nos ocuparemos del polinomio monico m().) e F[)'] de grade minima tal quem(A) = O.Es claro que 0 bien m().) = ¢>('}..) 0;bien m().) es un divisor propio de ¢>'().). En uno u otro casom().) se dira polinomio minima de A.

El procedimiente mas elemental de obtener el polinomio minimo de A -+ 0 es el siguiente :

(1) Si A = ao/, tzoeF, entonces m().) = ). _ ao. '

(2) SiA -+ al,paratodoae!F,peroA2 = alA + aolconao,al e.?',entoncesm(A.) = A.2 _ alA. _ ao.(3) Si A2 -+ aA + bl para todo a, be!F, pero ;43 = a2A2 + alA + aol con ao, QltQ2 e!F, entonces

mO..) = A.3,_ d1)·.z _ alA. _ ao·

y asi sucesivamente.

POLINOMIO MINIMO DE UNA MATRIZ CUADRADASea A =F 0 una matriz de orden n sobre ~. Como A e "".(!F), el conjunto {l,A, A2, ••• ,A"}

es Iinealmente dependiente y existen escalares ao,aFGz, ...• a•• no todos nulos tales que

Vease tambien Problema 14,

2 -1 \ 1 08 2 I 0 19 -1 \ 0 0

[A IJ :]0] r[t 2 -11 1 0 0] [1 2 -1 \ 1 0o -I 0', 2 5 -3 0 - 0 t 3 1'-4 01 \ 0 1 3.(-4 I 0 1 0 I ,2 5-:-3

o ~2-J:' [1 \0 01-26 -7 ~'z]; Io 1 0 0 I 11 3 -5 -== [I A -'I·-2 0 0 i :-5 -1 2

Io -7 I 91 3 r-4

Io -1 5-D

2 -1]8 2 del EjempJo 11 utilizando solamente transformaciones ele-9 -1

Ejemplo 14: [Hallar la inversa de A = !

mentales de fila. 4

Tenemos

AI calcular la inversa de 'una matriz regular, es mas simple utilizar solamente transformacioneselementales de fila.

[1 -2 5] [1 0 0] [-2~-7 12]A -I :; T' S = 0, 1 -2 ~ 1 1 -1 = 11 3-5o 0 1 -5 -1 2 -5 -1 2

EjempIo 13.:Mediante los resultados del Ejemplo 11" hallamos que

177MATRICESCAP. 14]

racteristica de fila de la matriz aumentada [A H)

YXl = 'L' Xl = r2 •••• , X. = '. es una solution de (7) si, y solo si, en (8) cada hi es la misma combi­nacion lineal de hi, hz, ... , h, que es ~i del conjunto el' ~2' . , . , e.. es decir, si, y solamente si, la ca-

(8)

la matriz coeficiente de (7) y por S = {~l' ~2' ... , ~..} el conjunto de vectores fila de A, Como los ~Ison vectores de V.('), el numero de vectores linealmente independientes en S es T ,..; n, Sin perdergeneralidad, podemos (y asi.lo haremos) suponer que estos T vectores linealmente independientes cons­tituyen las primeras r filas '<IeA. 10 cual, en efecto, 10 mas que exige es escribir las ecuaciones de (7)en orden diferente.

Supongase ahora que hemos hallado un vector p = (,}> '2' .. '.' Tft)E v. (§') tal' que~1• P == h,l' ~2" P == h2, •••• ~r' P = h.,

Como cada ~, (i = r + 1, r + 2, ... ,m)'es combinaci6n lineal con coeficientes en §' de los r vectoreslinealmente independientes de A, se sigue que .

(7){

aLIXI + 0.12X2"} + al.x. hi

"" .'. ~~.~2. ~ .• '. '•• ~, ~~'~.' •• ~ • ,~2,

a ••,xl + am2X2 + .. ' + am.x. = hm

en el que tanto los coeficientes aij como los terminos constantes hi son.elementos de IF. Es de notar queel signo de igualdad en (7) no se puede interpretar como en los capitulos anteriores, ya que en cadaecuacion el segundo miembro esta en F, pero el primero no, Siguiendo la practica corriente, escribi­mos (7) para indicar que se buscan elementos '1> '2, ' .. , r. EF tales que al remplazar los XI por los'j (i = 1,2, ... , n) el sistema se compondra de igualdades entre elementos de IF. Un conjunto semejantede elementos r, se dice solucion de (7). .

Den6tese por A = (ail]. (i= 1,2, . , ,,111.; i= 1.2, ...• n)

SISTEMAS DE ECUACIONESLINEAQ:SSean F un cuerpo dado y las indeterminadas Xi, X2, ..• , x •. Por forma lineal sobre F en las n in­

determinadas, se entiende un polinomio del tipo .

(LXI +. f.t.2 + ... + px."en que a, b, ... ,p EF. Considerese ahora un sistema de m ecuaciones lineales

lucgo A - I = l(A - 41} = [-:~:- -~~: ~~:] .'2/5 2/5 -3/5

Como Al - 4& - 51 = 0,.. tenemos, tras multiplicar por A - I, A - 41 - 5A -1 = 0;

EI Ejemplo 15 yel Problema 15 sugieren que el termino constante del polinomio mlnimo de A + 0es distinto de cero si, y solo si, A es regular. Un' segundo procedimiento para calcular la inversa de una

niatri, ":: ",:,"::::~::::~ A~:.::... que el polinomio minimo de A · [~ ~~J(vease Ejem-plo 15) es )..2 - 4).. - 5. 2 2 1

[CAP. 14MATRICES178

sobre Q.

EjempIo 18:

{

ZI + 2~.-:. Za = -1Considerese el sistema. 3xI + 8x2+ 2X3 :;: 28

4x1 + 9%'2- X3 = .1~

Si bien esta no es la forma canonica de- fila, vemos, en seguida, que

1'A = 2 < 3 = 1'[,\ III

Y el sistema es incompatible, es decir, carece de soluci6n.

-3 1

8 -38 -3

2 -3 1-1 2-13 -4 1 -~J-1

2 -3 1-5 8-3000

-~][~-2 0

iJ ['1 21 0 '-52 j) -5

[A H[ = [:

sobre Q.

Sistemas de ecuaciooes lineales DO bomogeneas.EI sistema (7) se llama de ecuaciones lineales no-homogeneas sobre ff si no todos los hi = O.Para

saber si un tal sistema tiene 0 no una solucion y com~ se halla la solucion (soluciones), si existe, proce­demos a reducir la matriz aumentada [A H] del sistema a su formacanonica de fila. Las distintas po­sibilidades se ilustran en los ejemplos que siguen.

Ejemplo 17:

{

ZI + 2x2 - 3x3 + x~ = 1Considerese eJ sistema 2xI - X2 + 2X3 - x4 1

4xI + 3x2 - 4x~+. x~ = 2

Tenemos

quedan univocamente determinadas. Tenemos

Teorema XVI'. En un sistema (7) en el cual Ia caracteristica comun de fila de A y [A H] es r < n,se pueden dar vaIores arbitrarios en 9' a n - r incognitas y entonces las restantes rinc6gnitas quedan univocamente determinadas eri' funci6n de estas.

Cl •.,.+1·8,,+ 1 Cln' e,Dense valores arbitrarios $,+ h S,+2' I •• , $.E.!7 a x,+1,X,+l, .... , x.; entonces,

o 0oo 0 0 ... 0 o

1 0 0 0 CI.T+I CI.r+2 Cln kl0 1 0 0 CZ.r+! C2•.T+.2 C2" k2... .. .. .. .. ..0 0 0 1 C.,.,1' +1 Cr,Y+2 Cr. kr

0 0 0 0 0 0 0 0.. .. .. ..

Hemos demostrado asi el

Teorema XVI. Un sistema (7) de m ecuaciones lineales en n incognitas tiene solucion si, y solo si,la caracteristica de fila de Is matriz coeficiente A y 1ade la matriz aumentada [A H]del sistema son iguales.

Supongase que A y [A H] tienen iguaI caracteristica de fila r < n y que [A H] se ha reducido asu forma eanonica de fila

179CAP. 14)

1--

Estos ejempJos y problemas Human e1Teorema KVn. Un sistema de ecuacioneslineales no hornogeneas sobre §' en n inc6gnitas tiene una

soluci6n en fF si, y solo si.fa caracterlstica de su matriz coeficiente es igual a la carac­teristica de su matriz aumentada. Si Ja caracteristica comun es n, el sistema tiene unasoluci6n (mica. Si I~ caracteristica comun es r < n, se pueden dar valores arbitrarios

Veanse tambien Problemas 16-18.

Aqui A,y [A H) tienen ambas caracteristica 4; el sistema es compatible, es decir, tiene una.0 mas soluciones,A diferencia del sistema del Ejemplo 1.8,la caracteristica es menor que el numero de incognitas, Ahora bien,

{

X, + ~xs = '31/18, , Xz - Hxs = -31/13 .

cl sistema dado es equivalente a , 3, _, y es clare que si damos a x~ cualquier valorX3 +,i3X5 - -4/18;1:4 +'RX5 = 43/13 \

I

reQ, entonces x, = (31 - 6r}/13, X2 = (-31 + 19f)/I3, x) = (-4..!. 3r}/13, x4 = (43 - 23r}/13, Xs = res una solucion. Por ejemplo, Xi = 1, Xl = 2, X3 =' -I, X4 = -2, Xs = 3 y x, - 31/13, Xl = -31/13,x, = -4/13, X4 = 43/13, Xs = 0 son soluciones particulares del sistema.

Ejemplo 19: {"+"+<'+<'+ :I:~ 3. , 2z+b+3z+:I:-x 0Considerese el sistema 1 2 S 4 5 sobre Q.

-X, + 2:1:2- 6z3 + 2'%.- x5 1/' " 3x, - Xz + 2X3 - 3x. - 2:1:s= -1

Tenemos

[-11 1- 1 jJ [' 1 1 1 '][A H] 3 3 1 -1 0 1 1 -1 -s -6= 2 -5 2 -1 0, 3 -4 3 0

-1~-1 2 -:-3 -2 o -4 -1 -6 -5

[10 0 2 4 '] [~

0 0 2 4 ']1 ..., -1 -3 -6 1 1 -1 -3 -60 -7 6 9 22 0 -1 -14 -26 -46

0 3 -10 -17 -34 , 0 3 -10 -17 -34

-[l 0 0 2 4 -:] [l 0 0 2 4 ']1 1 -1 -3 1 o -15 -28 -520 1 14 25 46 0 1 14 25 46

0 3 -10 -17 -34 0 o -62 -92 -172

-[1 0 0 2 4 ,] [10 0 0 6/13 nil']1 o -15 -28 -52 1 0 o -19/13 -31/13

0 1 14 25 46 0 1 0 3/13 -4/130 0 1 23/13 43/13 0 0 23/13 43/13

Aqul, rA = '(All] = 3 = numero de incognitas. Hay una unica soluci6n: x, - -2, X2 = 3, X3 = 5.

/'

,/

( 180 MA'fRICES [CAP. 14

[l 2 -1 -1J [' 2 -1 -1J [, 2 -1 -1J[A HI = 8 2 28 _' 0 2 5 31 - 0 1 S 18

9 -1 14 0 1 3 18 0 2 5 31

[: 0 -7 -37J [, 0 0 -:J1 3 18 _ 0 1 00 -1 -5 0 0 6 .

Vease tambien Problema 19..Haciendo x, = s, X~ = t con S, t E Q, obtenemos las soluciones pedidas asl: X I = - s - 21,~=4~=~~~~ .

sobre Q.{XI+ :1:2 + :1:3 + X. = 0

EjempIo 22: Resolver el sistema 22:1 + 3%2 + 2<1:3+ x. = 0. 3x, + 4x2 + 3:t3 + 2x4 = 0

Tenemos

A = [!t~!~]_[~1 ~ _~] _ [~ 0 ~ _~] dccaracterlstica 23 4. 3 2 0 1 0 -1 0 0 0 0

Por el Ejemplo IS, A - I). Asi, pues, XI = X2 = x, = 0 es la <mica soluci6n.

sobre Q.,{

2:1 + 2%2 - "'3 ee " 0EjaDpIo 21: Resolver el sistema 3%, + 8%2 + 22:3 = 0

4%, + 9X2 - 2:3 = 0

_ Sistemas de ecuacioD.eS lineales bomogeoeas.

El sistema (7) se llama de ecuaciones lineales homogeneas si 'todo hi = O.Como entonces la carac­teristica de la matriz coeficiente es la misma que Ia de la matriz aumentada, el sistema tiene siempreuna 0 mas soluciones, Si la caracteristica es n. entonces la solucion trivial XI = X2 = ... = X. = 0es hi (mica solucion; si la caracteristica es r < n. el Teorema XVI' asegura la existencia de .solucionesno triviales. Tenemos elTeorema xvm. Un sistema de ecuaciones lineales homogeneas sobre § en n incognitas tiene siempre

la solucion trivial Xl = X2 = ... = X. = O. Si la caracteristica de -la matriz coefi­eiente es n. la soluci6n trivial es la unica solucion: si la caracteristica es r < n, sepueden dar valores·arbitrarios en Fall - r deslas incognitas y las restantes r in­cognitas quedan univocamente determinadas en funci6n de estas,

antes.

x =[:lEjernplo 1.S tenemos, por el Ejemplo 14, A -, = [-~~ -; ~:]; entonces

-5 -1 2

[ -26 -7 12] lr--1] [-2]~~ _~ -: . ~ = : y obtenemos la soluci6n (mica como

Para el sistema del

mas compacta, A' X = H donde Xes la rnatriz n x t de incognitas y H es la matriz n x 1 de ter­minos co tantes.Procedase n la matriz A como al calcular A-I ..Si durante el proceso se obtieneuna fila 0 co­lumna de ele entes nulos, A es singular y bay que comenzar de nuevo con la matriz fA H] comoen el primer procedimiento. Pero si A es regular con inversa A-I, entonces A - I(A . X) = A - I •H.y X= A-I·H.

EjaDpIo 20:

(li)

[

all a'2 aln] lXI] lhl]Escribase el sistema en forma matricial a21 aZ2 ••• a2n • X2 = hz 0 bien en formaI ''f •

ani an2 ••• an.::tn h.

<, (i)

en § .a n - r d~ las incognitas y entonces las restantes r. incognitas: quedan unfvoca­mente determinadas en funcion de estas.

-Si m = n en el sistema (7) podemos proceder como sigue:

181MATRICESCAP. 14]

lIamado desarrollo del determinante con tespecto a su primera fila. Se deja aJ lector hacer eldesarrollo eon respecto a cada fila y cada columna.

= '12i411!l;2a33 + 'lajtGlldza<42 + .2'3a.~.a3S+ '23.aljtG2JG31 + '31jtG.s42.an + ·32latSa22lL:J.

(ii)

Asl, pues, el determinante de una matriz de orden 2 es el producto de los elementos diagonalesde la matriz menos .el producto de los elementos que no estan en la diagonal.

Ejemplo 23:

(i) I all4f1

de los digitos 1,2,3, ... , n..Para esta permutaeion, definase fp = +1 0 -I, segUn que p sea par 0impar, y f6rmese el producto provisto de signo

(a) (p ali, a2J2a3iS ..• ani.

EI conjunto Sn de todas las pennutaciones de n simbolos contiene n! elementos; de modo que se pue­den formar n! produetos distintos del tipo (a). EI determinante de A se define como la suma de estosn! productos dotados de signo (l1amados terminos de IAI), es decir,

(b) IAI = ~ (p allt ~j2 a3ia ... a,.i."

de n de sus elementos tomados de tal manera que de cada fila hay uno, y solo uno, y de cada columnauno, y solo uno. N6tese que los factores en este producto estan ordenados de modo que los indices defila (primeros subindices) aparecen en el orden natural, 1,2.3, ...• n. La sucesion de los indices decolumna (segundos subindices) es una pennutaci6n .

p ::::: ti; i2, i; ...,in)

y un producto

[::::~::~: :~:l~~I•• ~~2•• ~~ .• : : : ••a.3~ant an2 an3 ••• au

=A

DETERMINAmE DE UNA.MATRIZ CUADRADAA cada matriz cuadrada A sobre !F se puede asociar un elemento linieo aE'. Este elemento a,

llamado determinante de A, se denota bien por det A 0 bien por IAI. Considerese la matrix euadradade orden n

[CAP. 14MATRICES182

IBI = IHi(k) -AI = klAI

es por (b") un termino de IAI. Como esto es cierto para toda p E Sn. queda demostrado el

Teorema XXII. Si AT es la transpuesta de hi. matriz euadrada .4., entonces IATI = IAI.Sea ahora A una matriz cuadrada y sea B la matriz obtenida multiplicando la fila ide A por un es­

calar no nulo k. Expresada por matrices elementalesB = H,(k)' A; y, por el Teorema XXI,

T T T T'/> a1.1142.i2 aa,is ... a.,i" = ff) ail' t aJ2.2 aia.S •.• ain.n

'p alp,l a2•. 2 asp,3 ... a"p,n

Escribamos, pues, AT = [11~1 donde a~ = aji para todo i y j. Entonces el termino de IATI

[

all al2 a13] [all aZI a31]A = a~l 422 a23 entonces AT = al2 0". 22 a32

aSI a32 ass a13 <f23 a33si

Y (b) como (b") IAI = l: fp-I (tip-I.I a·2p-I,2a3,,-1.3 ... a",,-I,.s" .

Para toda matriz cuadrada A = [al)] se define la transpuesta de A, denotada por AT como la ma­triz que se obtiene intercambiando las filas y columnas de A. Por ejemplo,

y despues de .reordenar los factores para que los indices de columna queden en orden natural, como

P: Ip = i; 2p = 12, 3p = i.. . ... np = i,Con esta notaci6n, (a) toma la forma

, (a') fp al.111 a2,2p aa,at> •.. an,"py (b) toma la 'forma

(b') IAI = l:ff) al.IP aUf) a3,3p ... a",'IPs.

Como S. es un grupo, eontiene 1a inversa-I. . 1 1 . j 2 . -I - 3 . -1_P • 'IP- = . 1zP- = .•13,p - •••• , l"p - n

de p. Ademas, 'p y p-l son ambas impares 0 ambaspares. Asi, pues, (a) se puede escribir como

PR,OPIEDADFS DE ·LOS DEfERMINANTESEn toda esta secci6n, A :es.la matriz cuadrada de orden n cuyo determinante IA I viene dado por (b)

de la seccion precedente.De (b) se sigue facilmente

Teorema XIX. Si cada elemento de una fila (columna) de una matriz cuadrada A es cero, entoncesIAI = O.

Teorema XX. Si A es triangular superior (inferior) 0 diagonal, entonces IAI = alla22a33' .. ann,producto de los elementos diagonales,

Teorema XXI. Si B se obtiene de A multiplicando su fila i (columna i) por un escalar no nulo k, esIBI = klAI·

Veamos ahora (a) con mas detalle. Como p es una aplicaci6n de S = {l. 2, 3, ... ,n} en si mismo,se puede expresar (vease Capitulo 1) como

183MATRICESCAP. 14]

Y entonces, pOTaplicaciones reiteradas del Teorema XXVI, se obtiene

Por el Teorema IX', toda matriz cuadrada A se puede expresar como

Y ahora queda demostrado el

Teorema XXVI. Si A es una matriz cuadrada de orden n y H(K) es una matriz elemental cuadrada porfila (columna) de orden 'n, entonces

Como en el Teorema XXV, B = Hij(k)' A y IHiik;)I = III = 1, se tiene

lHi/k)' AI = IHij(k>!' IAI y IA. Kjj(k) I = IAI· IKij(k)1

Queda demost.rado (el caso ) > j se deja al Iector) elTeorema XXV. Si B resulta de A por adicion a su fila j del producto por k (un escalar) de su fila},

es IBI = IAI. Teorema que tambien es valido si se cambia «fila» por «columna».

(con (b') y Teoremas XXI y XXIV)= IAI + 0 :::; IAI

181 :::;

=

Queda demostrado elTeorema XXIll. Si B se obtiene de A intercambiando dos cualesquiera de sus filas (columnas); en­

tonces IBI = -IA I·Como en el Teorema XXIII B = A' Kij Y IKul = ~1, tenemos IA' Kul = IAI'!Kul y, por sime­

tria, IHI)' A I = IHul . lA!-De aqui se sigue de inmediato, excluyendo todo cuerpo de caracterfstica dos,

Teorema XXIV. Si dos filas (columnas) de A son identicas, entonces !AI = o.Por ultimo, sea B obtenida de A sumando a su fila i el producto por k (un escalar) de su fila j.

Suponiendo } < j,

=; -IAI'IBI :::;

Pero (J = pf E S. es par si p es impar e impar si p es par; de modo que E" = -Ep. Ademas, con ffijo, bagase describir S. a p; entonces (J describe S. y asi

IBI =por tanto.

Den6tese ahora por B la matriz que se obtiene de la A intercambiando sus columnas j y1 y denote­se por t la transposici6n correspondiente (i,l). EI efecto de t sobre (a') es producir

IA· Ki(k) I =. IAI' IKi(k)1

Pero IH,(k)! = k; luego !H,(k)' AI = IHj(k)!'IAI- Por una demostraci6n independiente 0 bien per elTeorema XXII, tambien tenemos

[CAP .. 14MATRICES184

~A - ~[Yl Y2 13 }'4] = (~.y" (. 12, ~. 13, ~ . Y.)~ (9,15,25,-3) (Vcase Problema 15, Capitulo 13, pagina 158.)

~ -:] de5 -12 0

[

1 -2

~= (1,2,3,4) por la transforrnacion lineal 4. = 2 4. . Q -11 3

1. Hallar la imagen deV4 (Q) en si mismo.

Problemas resueltos

1 2 311 2 3

= j!' -: 3~

IAI :;0 4 5 6 = 0 -3 -6 -6 = (1)(-3)(-1) = 3

578 o -3 -7 o 0 -1Vease tambien Problema 20.

EjempJo 24: Observando las formas triangulares obtenidas en el EjempJo 6 y en el Problema 8, se ve' quemientras que los elementos diagonales no SOl) unicos, el producto de los elementos diagonales10 es. 'En ~1':Ejemplo 6(0), pagina 171, tenemos

El procedimiento mas practice' para calcular IA I de orden n ~ 3 corisiste en reducir A a formatriangular mediante transforrnaciones elernentales de los tipos HIj(k) y ~j(k) exclusivamente (no al­teran el valor de IA I) y luego aplicando el Teorema XX. <Sise usan otras transformaciones elementales,deben hacerse anotaciones cuidadosas, pues el efecto de Hi} 0 de KIj es cambiar el signo de IAI en tantoque el de Hi(k) 0 de Kik) es multiplicar IAI por k.

(40 - 42) - 2(32 - 30) + 3(28 - 25)

-2 - 4 + 9 = 3

CALCULO DE DETERMINANTES

. Utilizando el resultado del Ejemplo 23 (ii), tenemos

Si A es regular, entonces N = 1 Y INI = 1; si A es singular, entonces uno 0 mas de los elementos dia­gonales de N es 0 Y INI = O. Asi, pues,Teorema XXVII. Una matriz cuadrada A es re~lar si, y solo si, IAI =fo O.y

Teorema XXVIII. Si A Y B son matrices cuadradas de orden n, entonces IA' BI = IAI . IBI.

= • t-, •••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••

IAI = IH-'] IB-1 H-' N K-1 K-' K-11.1 • .2 ••• .t • • t ••• 2 • 1

= IH-II IH-'I Ir.r~' B-1 N K-1 17:-' K-'I'1.:0 • - 2 • a~a ... oS • • t ••• nf2 • I

185MATRiCESCAP. 14)

Los vectores fila de A son iineaJmente independientes; 1a transformacion lineal A es regular.

A = [~ ~ :] _ [~ -: -:] - [~ ~ :] - [!.: ~]-[!.~~]_[!~~] B3 2 1 0 -4 -8 0 -4 -8 0 0 -4 0 0 1 0 0 1

Ast, pues, la imagen de e = (1, -2,1, G) es 0.; tambien la imagen de '1 = (4, - 3,0, i) es 0.. Dernostrar que losvectores cuya imagen es 0. Ilenan un subespacio de dimension 2 en V.(R).

S. Demostrar que la transformacion lineal ,A. = [~ ~ !] es regular.~ \~ "W~VI';-'l- '~W.t'I\~\.3 2 1

Encontramos

P~ = P2 -2Pl' P; = PS- 3Pt, P~ = P4 - 2PI

P;' = PI - 2p~, P;' = P; - 2p~, P;' = P~- Sl2

P; = P; - 2p~ = (P3 - 3pt) - 2(P2 - 2PI) Ps - 2pz + PI = 0

P~' = P~ - 3~ = (P4 - 2PI) - 3(P2 - 2PI) = P+ - SP2+ 4pI = 0

Ahora bien,

mientras que

La transfonnaci6n es singular, de caracteristica 2.Designense las matrices equivalentes por A, B, C"respectivamente, y denotense por Pt, Pl' P3' P4 los vectores

fila de A, por PI, P2' Pl' p~ los vectores fila de By por pi', PI, p;', P4 los vectores fila de C. Aplicando en ordenlos pasos, tenemos

[~: : ~]- [~ ~-~~]- [~ ~-~-~J3 8 .. 2 0 2 -2 2 0 0 0 02 7 1 3 0 3 -3 3 0 0 0 0

Utilizando sucesivamente HZt(-2),H31(-J),H'11(-2);'H1Z(-2), Hn(-2), H.u(-3), se tiene

4. ~mostrar que la transformaci6n lineal [i :'!~Jen V. (R) es singular y hallar un vector cuyaImagen sea O. 2 7 1 3

5 -2 1]4 '-1 -4[:=

Hallar A •B.1 0 -1]3 -2 0 ,1 :-1 -1

A = [~ . ~ -~] Y B =,[!\-1.h \ l

A.B = [2+6.2 i+6-2 -=-4+2 -1+2]3+1 -1 -3-1

3. Si

yB=[456].

['04 '0' 'o'J [" I:]2-. 2-5 2-6 = 8 103-. 3-5 3-6 12 15 18

(4-I + 5·2 + 6· 3J = 132J

2. Calcular A·B y B·A dadas A = [~]

A-B = [:J 0 I' "J =

y BoA 1455JO[:] =

[CAP. 14MATRICES186

Con K21(-2), Ks1(-3). K32(-2); ,Ku(II), K23(-3); KI2(4/3) obteneinos

A - [! -~~]-[~-:~J-[~-~~Jque elidiagonal.,~-8 -1 0 q -1 0 0-1

Con K21(-2), KSI(-a); K12(-2) obtenemos

A [! : :]- [! -~-~]-[~-~:] que es triangular inferior.5 7 8 . 5 -3 -!( 5 -3 -1

Con K1k-'2/3), K2S(-S/6); KI2(1), K23(-1/24), obtenemos

A = [~ : :] _ F -~ -1~Z :] _ [-3~2 =~~::] que es triangular superior.S 7 8 L-1/8 118 8 0 0 8

a triangular[128]456578

8. Mediante transformaciones elementales de columna, reducir Asuperior, triangular inferior y diagonal.

Examinando lospasos dados, es clare que los primeros tees vectores de A son combinaciones lineales de los teesvectores Iinealmente independientes de B (compruebese esto), Asi,. {(2,5, 0, -3), (3.2,1,2), (1.,2, 1"O)} es unsubconjunto maximo Iinealmente.independiente de A.lSe puede concluir que eualesquiera tees vectores de A sonnecesariamente linealmentetindependientes? Compruebese considerando el subconjunto {_(I,2,1.,0), (5, 6,3,2),(1, -2, -1, 2)}.

[;6 0

-!J [j 1 -2 -'] [01 -2 -]2 1 -4 -2 2 0 0 -10 -1~A = 2 1 2 o - 1 0 5

6 3 -4 -2 2 0 0 -10 -10-2 -1 -4 -2 2 0 0 -10 -10

-111 -2 -'] [l

-1 0

-;]0 1

-1~'

0 10 5 0 0 Bo -10 0 0

LO o -10 -10 0 0

7. De1 conjunto {(2,5,0, -3), (3,2,1,2), (1,2,1,0), (5,6,3,2), (1, -2, -1, 2)} de vectores deV4 (R), elegir un subconjunto linealmente independiente maximo.

EI conjunto dado es linealmente dependiente (lpor que"), Hallamos.

Los vectores imagen son Iinealmente independientes; r" = 3.

Bo2o

o 41 -1o 0

o 4-1

o 0~ -:] -[~o 1 0 :]~]_[~~.: : !l_[~

4 0.-1 -2 -~J 0[

1:2246 3 106 7 10

2 2 4 2]5 3 10 7 de V3 (R) en Vs (R).5 7 10 4

6. Hallar la caracteristica -de la transformacion lineal A = [~- 3

Hallamos

187MATRICESCAP. I~J

(f·aJJ ~·a2' ... , ~·a,) =donde , = (0,0, ... ,0) ... 0 es el vector n1,110 de' V. '(F) y 'e = (hI, hi, ... ,b.+,). Entonces,

y ", = (111"~I' .... 11.+1•1)' "2 = (aJ2,a~2'" :,(1,&+1.2)' ...• "n == (a,,,,ct"2n'" .,a,+I.,,)

Como los p estan en un espacio V,(F), cualesquiera s + 1 de ellos forman un conjunto linealmente dependien­te. Asi, pues, existen escalares b" b2, .•• ,b,+, de sr no todos nulos, tales que

(bll1lf + b2ctzi + ... + b.+1(l..+1.I, bll112 + b2ct22 + ...+ b •..+1a.+1.2' •.. , blCL,. + b2ctZs + ... + b.+1a.+I .•)

b,PI + b2Pz + ... + b.+ IP,+ 1

son linealmente independientes los primeros s vectores columna ,)/" ')/2' ••• ,y., en ·tanto que cada uno de Losrestantes n - s vectores columna es combinacion lineal de estes, por ejernplo,

Y,+t = celYl + Ci~Yz+ .... + Ce.Y" (t = 1.2, ... , n.-s)

con e'j E§f. Definanse los siguientes vectores:PI = (1111'a12 ••.. , (111)' pz = (1121,1122' ... ,112'), ... , Pm = (ami' 11m2' .•. , a'm.)

ah 41.s+ 1. ... ain~ 112•• + 1 ctZn

G-" a,.•• lA =

10. Demostrar: La caracteristica de fila y la caracteristica de columna de una matriz A sobre F soniguales.

Considerese una matriz m x n y supongase que tiene caracteristicas r de fila y s de columna. Asi que unsubconjunto maximo devectores columna linealmente independientes de esta -matriz, consiste en s vectores.Intercambiando columnas, si es precise, dispongase de modo' que las primeras s columnas sean linealmente in­dependientes. Se deja al'cuidado del lector dem'Ostrarque tales permutaciones d~ columnas no aumentan ni dis­minuyen Ja caracteristica de fila de la matriz dada. Sin que se pierda generalidad, pedemos suponer que en

Considerese 1a primera columna no nula, numerada i..de A:

(a) Si a'il + 0, empleese H,(a~J!) para reducirla a I, sies precise.

(b) Si a,}, = 0, pero apj, '" 0, empleese H,p y procedase como en (a).

(c) Utilicense transformaciones del tipo HIl(k) para obtener ceres en todos los otros lugares de la celurnna j,si es preciso.

Si solamente en la prirnera fila de la matriz B que resulta aparecen elementos nonulos, entonces B = C;si no, hay un elemento no nulo en otro lugar de la.columna numerada j, > it- Si b2h '" 0, utilicese H2(b2j!)como en (a) y procedase como en (c); si biH= D, pero bqj, '" 0, utilicese H2q y procedase como en (a) y (c).

Si se presentan elementos no nulos solamente en las primeras dos filas de la matriz que resulta, hemos lle­gado a C; si no, bay una columna numerada j, > i2 que tiene elementos no nulos en otro lugar de la columna.Si ... i asi sucesivamente; al final debemos lJegar a C.

(iii)

(i) Cada una de las primeras r filas de C tiene por 10menos un elemento distinto de cero ; lasotras filas, si las hay, consisten enteramente en elementos cero.

En la fila i (i = 1,2, ... , r) de C, su primer elemento no nulo es 1, la.unidad de fF. Nume-rese i, .la columna en que esta este elemento. .

EI unico elemento no nulo en la columna nurnerada i. (i = 1,2, ... , r) es el elementoen la fila i.

(iv) i, < i2 < ... < j,.

(ii)

9. Demostrar: Toda matriz no nula A sobre :F se puede reducir por sucesivas transfonnaciones ele­mentales de fila a una matriz canonica por filas (matriz escalon) C con las propieda'treSsiguientes:

[CAP. 14MATRICES188

y, por ultimo, con H3(-1), ~3{-1), KS3{-12),

A - [~ ~ ~ ~ ~]00100

~ ~ ~ ~]o -1 -1 -12

A .: [~.0

Utilizando, entonces, H32(-1), K2{-1/7), K'2(-9), K42{-7). Ksz(7), tcnernos

56A o 0]7 -7

6 -19

otenemosCon

-~-~-~~]5 2 -3[~-~! :~] [!

4 5 1 2 -3 4:::A

A = [:2 3 4 :]Wb~n. Reducir -1 4 5 R a forma normal.5 1 2 -3

·1

Primero utilizamos H12( - I) para tener el elemento 1 en la primera fila y primera columna; as!

cuyas filas son las columnas correspondientes de A. Entonees, la caracteristica de fila de AT es s, la carac­teristica de columna ,4e A, y la caracteristica de columna de AT es r, que es la caracteristica de 'fila de A.Por el razonamiento anterior, la caracteristica de columna de AT no puedc superar su caracterlstica de fila;es decir, r "" s.

En cualquier caso, tenemos r = s, como se requeria.

[

a'l) a21 .•. amI ]

~:~..~2~.. ::: .. ~:".2~al" a2n ... amn

(ii) Conslderese la traspuesta de A

(i) Repitiendo el razonarniento anterior comenzando con las filas linealmentc independientes (las primeras r)en A, y deduciendo que sus.primeras r + I columnas son linealmente dependientes,

.Asi que cualquier conjunto de s + I filas de A es linealmentc dependiente ; luego s e. r este es,

la caracteristica de columna de una matriz no puede exceder su caracterisrica de fila.

Para completar la demostracion hemos de demostrar que r 6 s. V. esto puede hacerse de una de dos mancras:

Entonces,

Considerese cualquiera de los restantes 11, por ejemplo,

189MATRICESCAP: 14J

Como (A' B)- 1 es unjco (v~se: Problema ~j), tenemos (A • iW 1 ". 8-1 ".14.-I •

[12'4]

14. Calcular III.inversa de A = .3 1. 0 sobre Z/(5),221

Tenemos [1 2 4 'I 0 0] [1 2 4 1 0] [ ][A 131.3 1 0 .(j 1 0 -- '0 0 3 2 1 ~ ~ ~ : ~ ~ ~

.2,2 1 I) 0 1 0 3 3 3.. 0 1 0 0 3 2 1 0

- [l : : : ::] [:: 1:I:]-D : ; : : :Jy A" = [; d]

y

13. Demostrar: El inv~Ilo del producto de dos matrices A y B, ambas dotadas de inversa, es el pro­ducto de las inversas en. orden inverse, esto es,

(A"B)-l =B-l'A~1Por definicion, (A • 11)'- I.(.4. •B) ee (;4" B)(A . B)- i -ee I. Ahora bien,

(0-1 • [I) , (A •H) ". B-1 ([ I •A,)B"" B-1• I' B = Ii-I..•B = 1

(A' '8)(B-1 'A-i) = A(B' B-I)A-I = .A· [I = 1

TNS

i 0 0-1112"':1 S/2,

8/2' 0 ....,1/2 =

o1 O' 0o 1 -2:Ii 0 1o O' 01 (j' I)010

1-1 -1ooi)1oo

-1 -1 -2100010o 0 1,000.1.001 I) 0 -11/2 -I' 5/2o 1 2 8/2 0 -112 ...

1oI)o1o

.. 0

1. I) 02 -1 03/2 0 -'1/-2

1-1 -1 -2o 1 O· 0'I) 0 1 0o 0 0 11 0 0 0o 1 5 10Q 0 1 2

o .01 IIo ·1 ...

-1 -2.o O·1 0o 1o 0 1

-5 ""-10-2-2 -4,-3

1-1o 10' QI) 01 O.o -1

... Q' 0

1 0o 1o 0

o 01 0o 1

1 0 0 0o tOOo (j 1 06 !) 0 1

o 1 1 1 2 1o 0 -1 -5 '-10 -21 ... 0 i) ~2 -4-3

Hallamos1 000o 1 o· 0o (j 1 O·(I 0 0 11 1 1 2'

I. 2 '1 -3 -6.41.8,=3812

S'A' T= N.

1 1 2J1 -3 -6 sobre R ~ forma normal N y hallar matrices S y or tales que312

A =

[CAP. 14MATRItESi90

Tanto A como [A H] tienen caracteristica 4, el numero.de incognitas ..Hay una solucion unica: x, ;: I, X2 = 2,x3 = -2" X4 = I.

Nota. El primer paso en la reduccion rue H14• Fue para tener el elernento 1 en la primera fila y primeracolumna, cosa que tambien se habria podido lograr con H1H).

Tenemos[" . ,1] [" H '] [' . 8 -8

-:l3 -1 1 8 3 -1 1 3 2 0 -16 -8 12(A H) = -2 8 -1 -2 -2 3 -1 -2 4 - 0 13 5 -8

1 5 3-3 223 1 1 0-8 -3 7 -82 7 3-2 2 7 8-2 8 0-3 -3 4 4J

[16 8 -3 , ] [10 ,/2 '" 81'] [' 0 '/2 8/' ''']o 1 1/2 -8/4 1/4 0 1 1/2 -8/4 1/4 o 1 1/2 -8/4 1/4

- 0 13 5 -8 8 - 0 0 -8/2 7/4 19/4 o 0 1 1 -1o -8 -3 7 -8 0 9 1 1 -1 o 0 -8/2 7/4 19~4o -3 -3 4 4 0 0 -8/2 7/4 19/4 o 0 0 0

[" 0 '" '''] [" 0 '" '''] [' 00 "]o 1 0 -6/4 3/4 0 1 0 -5/4 3/4 0 1 0 0 2

- 0 0 1 1 -1 - 0 0 1 1 -1 -lo 0 i 0-2o 0 0 13/4 13/4 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1o 0 0 0 o 0 0 0 0 o 00000

2z, + 2Z2 + 3zs + z. = 13z,- X2 + :1:3+ 3x. = 2

16. Hallar todas las soluciones, si las hay, del sistema -2Xl + 3X2- :1:3- 2x. = 4 sobre R.x, + 5xs + 3xs - 3x. = 2

2Xl + 7X2 :+ 3:1:3- 2:1:. = 8

obtenemos ao = 0, a, = -4. "2 = 4. Despues de comprobar para todo{

' 202 + 4, + ao = 4De 4a2 + a, = 12,

2a, + al = 4

elemento de A3 y rio antes, concluimos que m()..) = )..3 - 4)..2+ 4)".

4a2+ al4a, + 2a,+ ao

4a2+4,

[111] [100]a, 0 2 0 + ao '0 1 011100 1

que es imposible. P6ngase ahora

AS = [~1: 4~] =4,12

Es claro que A -+ ,aol para todo ,ao e R. Pongase

sobre R.[ 1 1 1]020111

15. Hallar el polinomio minima de A =

191MATRJCESCAP. 14)

Otra alternativa en el calculo es la siguiente:

= -(8 + 57) = -652 19

= -(1) -3 41 06 192 Ii.

o2

-3

Entonces haciendo XJ = S E 2/(3). obtenernos XI = 2s, Xl = X3 = S como solucion,

l po ~tl)- [-4 "i>,t-~Con cada matriz sobre Q. calcular : - 2t..1 /' \. t.f1 ro"J I_:'~~~~~~I=::~:I 1=:_:::1= I~U.:1 -60

Sc ernplea KI1(-I) para rernplazar all '= 0 par un elemento no nulo. El rnismo rcsultado se puede obtc­ner- utilizando K12; emonces,

20.

ATenemos

12X. + Xt + Xa = 0Xl + Xa :;:: 0 sobre Z/(3).

2X2 + Xa :;;: 019. Resolver el sistema

Xl = 1 + St. x; = 4 + 28 + 2t, :1:3= B. :1:.::: t

Como 2/(5) es un cuerpo finite, solamcnte hay un numero finite (halJarlo) de soluciones.

Aqui, 'A = 'rA HI = 2; el sistema es compatible. Haciendo X3 = S Yx• ." t, con S, t E 2/(5). todas las solucio­nes vienen dadas por

jA HI :

Tcnemos

Z/(5).

r XI + 2X2 + X3 + 3x~ = 4

12XI + X2 + 3x" + 2X'1 :;:: 1sobre

2X2 + x~+ X~ :;:: 33xI + Xt + 3x;; + 4x~ = 2

Hallar todas las soluciones, si las hay! del sistema18.

('011 H,(5); H2,(1), H~,(3i; H'2(4), H;12(3); f/;,(3); Hi3(1). R23(51. tenemos

[:::] D::] [:::] D::] [:::]-[::1]17. Reducir [: : !]sobre Z/(7) a forma normal.

425

[CAP. 14MATRICES192

~J d. V, 'R) en si mismo es singular Yhallar un vee-

2 34 32 1o 4

27. Demostrar que la transforrnacion lineaJ A = [32~tor c~ya imagen sea O.

26. Hallar la dimension del espacio vectorial generado por cada uno de los conjuntos de vectores sobre Q siguien­tes. Elegir una base para cada uno.

(a) {(I. 4, 2. 4). (1.3,1.2), (0•.1.1,2). (8.8.2. 4)}(b) {(I.2, 3,4, 5), (5,4.3.2, I), (1.0,I, 0.1), (3.2, -1. -2, -5)}(e) {(I.1,0.-1. I). (1•.0. I, 1.-I). (0,1.0,1,0), (1.0,o.1.II. u. -1,0,1. I)}Resp, (a) 2, (b) 3, (e) 4

25. Demostrar que el conjunto de todas las matrices de la forma. [~de .If3(R). e

b 0]a+ b 0 donde 0, h. CEQ es una subalgebrao c

24. Demostrar que el conjunto de todas las matrices de la forma [~de ..K3(Q)· 0

23. Para A = [Ojj]' Ii= 1,2.3; j = 1.2,3). calcular 13' A Y A • 13 (igualmente 03' A Y A •OJ) para comprobarque en el conjunto ffl de las matrices cuadradas de- orden n sabre F. la rnatriz nula y la matriz unidad con­mutan con todos los elementos de ffl.

ll. En el Problema 21 verificar: (a) (A + B)C = AC + BC, (b) (A' B)C = A(B' C).

(e) A· B =[: !:1:]6 14 20

(d) B-C = [-: .: ~Jlo 0-2

(f) A· C = [-: -! -~]-26 24 -6

(f) A2 = A • A = [: l~ !]4 6 10

(a) A + B = [~ !:]563

(lI) 3A = [ ~ ~ :]12 6 0

21. Dadas A = [~ : ~], B::: [~ ~ !]. c = [-: ~ =~]sabre Q calcular:4 2 0 1 4 3 1 -2 1

Problemas propuestos

-1 0 0 0 -1 0 0 0 -1 0 0 0-1 -] 3 3 -1 -1 0 0 -1 -1 0 0= = ;:

5 8 1 5 16 23 5 16 0-6 -14 12-19 -6 -1'1-30 -61 -I) -14 -30 -143/8

= (-1)(-1)(16)(-143/8) :: -286

CAP. 14] MATRICES 19)

2 3 -2 4 -1 3 -2 4 -1 0 0 0

(b)3 -2 1 2 5 -2 1 2 5 13 -9 22=3 2 3 4 1 2 3 4 1 5 8

-2 4 0 5 -6 4 0 5 -6 -14 12 -19

sobre Q.

(e) [: ; : :]232 3

(f) [~ ~ ~ -~]2 3 5-58 -4 -5 8

(e) [: : l](d) [~ ~ -!]

-1 2 1

,a)[:::]

[ 1 2: 3:J(b) :

36. Hallar la inversa de

35. Demostrar que si las matrices regulares A y B conmutan. tambien 10hacen (a) A -, y B, (b) A y:B-', (c.)A -, y B-1•Sugerencia: (a) A-I(A' B)A-' = A-I(B' A)A-'.

34. Dernostrar: Si A es regular, entonces A . B = A • C implica B = C.

33. Demostrar que si A es regular, su inversa A -, es unica.Sugerencia: Suponer A . B = C' A = I y considerar (C' A)' B = C' (A . 0).

'A'T= N.3 -: lsobre R a forma normal Ny determinar matrices S y T tal~ que4 IJ

32. Reducir A = [~ -~3 0

para. mostrar que las matrices regulares S y T tales que S' A . T = I no son (micas.

31. En el Ejemplo II, pagina 175, utilizar H:(!>, Hn(-J), H23(-5), K3(2) sobre

1 -2 10 ~ 00 0 11 0 0 1 0 0

-:J [; :]0 2 5 -3 1 0[ 1

0 -20 1 S -4 0 1 Y ohlcng;.lsc S 11 3 Y T = 1

-5/2 -1/2 0

1]o -1 -2 -3123 4000 0o 000

[1 0 0 OJ

(b) 0 1 0 0001 2

r~(e) U

[1 2 -2 3]

(d) _~ _; =! _;

[~ ~ ~ :](e) 0 0 1 0

o 0 0 0

(0) [; : -! -:]

30.

: : ~ ~ :]6789811 12 13 14 15

Reducir las siguientes matrices sobre R a su matriz canonica equivalente por filas:

!:;]7 4 6

2 -3]'5 -4

29. Dernostrar: Con respecto a la multiplicaci6n, el conjunto de las matrices cuadradas diagonales de orden n regula­res sobre P es un grupo conmutativo.

28. Demostrar: Las matrices cuadradas de orden.3·/, H,:, Nl3, H2J• H,:' H,), H,l' H2l con la multiplicacionforman un grupo isomorfo al grupo simetrico de 3 letras.

[CAP. 14MATRJCE~194

:~:,,' ::: :::I)

a" al~ al3 all 012

~I an a23 021 aZ2

y tachese 1a primera columna. Entonces,

( 141% (1,131.' al3PI x P2 = n_2-z a23 a23

(b) IAI = PI' (P2 X Pal = -P2' (PI X p~) = P3' (P'l x' P2)'

Sugerencia: Desarrollar por la primera fila 0 por' la primera columna.

Resp. (a) J,.3 - 7J,.~'- 6", + 42, (b) A.3 - lH ..2 - 61..+ 28

4!i. Den6tense los vectores fila de A = [OI)J, (i,i = 1,2,3) par PI' P2' Pl' Demostrar que

(a) PI x P2 (vease-Problema 13,Capitulo 13,pagina 157)se puede hallar como sigue: Escribase el cuadro

43. Calcular: cAvtI-~ 1 1 1 6

1~2

:16 -11 2 4 1 6

(a) 3 (cl 0 -1 (e)4 1 2 9

4 -2 12 4 2 7

1 0 2 I-; -1 : 13 5 7 2

(b) 0 3 (d) 2 (n2 4 1 1

4 2 0 0-2 0 0 01 1 3 4

Resp, (a) -2, (b) -26, (c) 4, (d) 27, (e) 41, <n 156,A-I 2 3 ~ I' I :>.-2 -1 -4\'i...

44. Calcular: (a) 1 A-3 4 • (b) -1 A-3 -51 4 :>'-3 -4 -5 >,-G

39. Hallar la inversa de cadi! matriz (a), (b). (d) del Problema 36, mediante su polinomio minimo.

40. Suponiendo que ",3 + a1..2 + bJ,. es el polinomio minimo de una matriz regular A, hacer ver una contradicci6n.

41. Dernostrar los Teoremas XIX, XX y XXI, pagina 183.

42. Demostrar el Teorema XXIV. (Sugerencia: Si las filas.J.y) son 'idenucas en A. IAI = IHol·IAI.) Y tambien elTeorema XXVII1.

("I:• 1L

Rcsp, (a) :>.3+ )-,2_ 2:>. - I, (b) >,2 - 3>, + 2,

38. Hallar el polinomio minima de ~ ~], .(b) [~ ~ ~], (c) [! ~~],(d) [~2 -1 0 0 1 '1 1 2 1

(e] >,2 - 4>" (Ii) ).,2 - 5:>.+ 4

[ 0 2- 1]RI'.lll. A -I = 2 1 O'

1 '1 2

_~]-2-1

RI'.IJ). (a) [-~ -! -~]. (b) [-~ -: -~], (c) 1[-~-: _~llJ-1 0 1 2·-1 0 2 0

(d) r'il [_~ -! ~:]. (e) ~-[=~~: =~..-~~]. (I) rlr [_~~ _:! -:~1 -1 -1 2 4 -13 6

37. H.n" I. inversa "A = [: : :J so bre Zm, ,Ti"" A inversa sobre 2/('11

195MATRIOESCAP. 14]

{ [

'11 '12-qz '11-'13 q.-'1. -'13(,Es S. un cuerpo ?

(c) Demostrar: A conmuta con B = [::: ::] si, y solo si, A conmuta con toda /'1 de (b).

Sugerencia : B = blllll + buIll + bZ1I1.l+ bz2In·

49. Definase 82 = {[_X 'II]: %,'11 E R} . Demuestrese que '(0) Sz es un espacio vectorial sobre R, (b) S2 es uncuerpo. II %

Sugerencia: En (b) muestrese que la aplicaci6n S2 -+ C : [ Z 11] .. % + 11; es un isomorfismo.-II :II

50. Demuestrese que el conjunto ~ = {(q, + qzi + q1i + q4k): q" qz, Q3,Q. E R} cOD la adici6n-y-multiplicaci6ndefinidas en el Problema 27, Capitulo 11. pagina 123, es isomerfo al conjunto

Resp. (a):I:, = 1+2r-3s+5t, :1:2=", X3=',. =.=t(h) Xl = 17/3 - '7r/3, X2 = -5/3 + 4r/3, %3= r(d) %1= 2, %2 == 1/5. x3 = 0, z. = 4/5(f) ZI = 1, %2= 2r, X3 ==,., %. = -ab, %$ = b(9) Z, := -11/5 - 4r/5, %2= 2, %3 = -1-r. %. := -l"/5 - ,./5. Z6:= r

48. (a) Demostrar que el conjunto M2 = {A, B, ... } de las matrices sobre Q de,orden 2 es isomorfo a1espacio vec-

torial V4 (Q). Sugerencia: Usar A = [all auJ ... (all> 0.12>42" an). Vease Problema 3, Capitulo 10,pagina 108. 421 4ts

(b) Demostrar que III = [1 0], 112== [0 ,1] , 12, := [1° ~], 122:= [0° 0] es una base del espaciovectorial. ° 0 ° 0 1

47. Hallar todas las soluciones de

r Xl + { " + " + " = '4x2 + x3 "(a) Xl - 2X2 + 3x3 - 5x. = 1 (b) (e) 2Xl + 5%2- 2x3 = 3

12x, + 5x: - 2%3 = 3Xl + 7z2 - 7x~ 5r" + " +5., + " == 5

{ ',+ ., + .. , + " = 5(d) Xl + x2 - 3x3 - 4x. -1

(6) 2:r:,+ 3X2 - X3 - 2x. 2=3xI + 6X2 - 2X3 + x. 84x, + 5:1)2+ 3x3 = 7

2x, + 2z2+ 2x3 - 3x. = 2

{ " + " - '., + " + "" { " + ... + " + " + ... 0= 1 2%,+ 5x, - 3:.1:3 + 2%. - x~ 3(f) 2Z1- 1:2 + 2%, + 2%. + 6zs = 2 (g) sobre Q.

-X. + =2 + ~ - X. + %5 53%1+ 20:2- 42:3 - 3%4- 9=6 = 3 3%, + %2+ %3 - 2x. + 3xs 0

es de caracteristica , < m. Asi, pues, (0) es necesariamente linealmeote dependieote si m > n.

es linealmente dependiente-si, y solo si, la matriz coeficiente

A = [aul. (i=1.2 ....• m; i==1.2 •...• "1

sobre .Y(CI)

46. Demostrar que el conjunto de. formas lineales

[I, = allx, + 4,2%2 + .,. + a,.x.12 = aui', + au%~ + ... + a2.x•l~~'.~.'a'~:~:~~~2;2'~"·'·'·.~.c:

[CAP. 14MATRICES196

58. Sean S. gt\nef,atlo P~I .(1,0;,1; -1), U"O.2;<J). ,(3,,0,4. :...[). (1,0.. -2,.-7) y__T Mlictado pgT {2,1;3,2),(6~4, -T, q), 't2:,·A·-4. 2); '(~14. - t, 2),subesp'apios de, V./~j. Hallar- bases para S, i. sr, r y s + T.

es un grupo multiplicative isomorfo .al grupo octal (Ie,uri,cuadrado.Suger'encfa; Sjruese el cuadradede.la Fig; 9-1, pagjnlJ, 92. en .un sistema de coordenadas rectangular de-modoque los' vertices 1, 2, 3;4 tengan coordenadas (1. - 1'). (1, 1). (- 1;.1), (- I, -I) respectivamente.

{ [ 0 1] [-1 0] [0 -1] [1 0] [-1 0] [0 1J r 0 -I]}.I, -1 0 " . 0 '-1' I 1 Q ; '0 -1 " . 0 1 • 1 0 • ~i 0_

57. Dernostrar :qu.e·el conjunto de malricEls cuadradas de ordcn 2

(b) Demostranqucel subcol1'juhto.{I"H'3. 1124•H, 2 • H34.HI'3 •H2o,111o • j'i2),H12 • lf13 • It.4•H,•. HI) •H12}

de ,J(( es un grupo isomorfo al grupo octal de un cuadrado. (En Ia Fig. 9-1, pagina <i2,.designar los vertices1,~, 3.4 por (1,O.0, QJ; (0, 1. 0, 0), (0. Q. 1,0) 'I (0,0, O. I) respectiv~merite.) ,. ,

de .,It en S. es un isomorfismo.

56. (a) Demostrar que el conju,nlo de matrices cuadradas de orden 4-

.II = {I, H12• H13• H14•H23• H24, H34• H12' Hlii., H12• H2.1. H'2' Hj.,H12 ·H24> HI3·• H14•

Hn' H13, H'23 ·...H2~. H24••H23: Hf12• H~i H';:(' H24• 1i;~··1l23. Ht'2'H13,'"HH.'If 12 •.Hi •• H;~.H13 ':HI2 ·:H:.. H'3 ''lI.~.iI '2.' HI1; H"2 • 'H13. Ii:•.H I~ • H.2.}

es un. grupo rriultiplicativol Sug'ereilcia:'Mosihir que 13' aplic.!ci6n

55. {i',onsiderense.lC;s vectoresC"X;y Y dei'lt cdinp'Qneriie.scomo matrices J. x n y compruebcse que

X • Y = X ~yT = Y" XT

como sus ideales propios. Escribir.el homorncrfismc.que.determina a cadaunocomo un ideal. (Vease Teorc­rna VI. Capitulo 10,. .pagina IO~:)

y

son linealmente independientes si, y solo si, [ai!] 1- ,0.

53. V,eiifi!;ar. que .el anillo 1'2 = {[: :J : a. b;.c Eli} 'Iiene los subanillos

ti= 1,2•...• n)

52. Demostrar: Si ~" ~.2' . -, , • ~",.son vectores linealmente independienies de V.(.~).los II. vectores

SOh. linealmente dependientes si. p > m 0 bien, ,cuatino p "" m, si [SiJ es: de caracteristica r < p.

ti = 1.2, .... p)

5J. Demostrar: Sj ~I; ~l' ... -.,("1 son m < II. vectores Iinealmente independientes de Vn (§). los p vecrores

197MAT~ICESCAP.14]

198

Se definen como sigue las transformaciones elementales de matrices )..:

EI intercambio de las filas i yi. denotado por Hil; el intercambio de las columnas i y i, deno-tado por K". - _ .

La rnultiplicacion de la fila i porun elemento k E.F diferente de cero, denotada por Hi(k);la multiplicacion de la columna i poi' un elemento -kE' diferente de cere, denotada por KI(k).

La adici6n a la fila i del producto de /(1..) E .F[A] por la fila j, denotada por H,)(/(').,»; la adi­don a Ia columna i del producto de (A.) E:F[)"] por la columna t. denotada por K,,(/(A)).

(Observese que las dos primeras transformaciones son identicas a las del Capitulo l4, en tanto que latercera permite multiplicar por todo elemento de .F[A].)

Se denotaran por el mismo simbolo una transformaci6n elemental y la matriz elemental obtenidaaplicando esa transformacion a [. As! una transformacion de fila de A()') se efectua multiplicandola ala izquierda por la H adecuada, y una transformacion de columna se efectua multiplicandola a la de­recha por la K adecuada.

TRANSFORMACIONES ELEMENT~

se dice una matriz A (lease matriz lambda),Como " C .F[),,], el conjunto de todas las matrices m x n sobre .F es un subconjunto del con­

junto de todas las matrices," sobre .F[A]. Es, pues, de esperar que gran parte de 10dicho en el Capi­tulo 14 se verifique aqui, con cambios ligeros a 10mas. Por ejemplo, con adicion y multiplicacion de­finidas sobre el conjunto de las matrices A cuadradas de orden n sobre '[).], se encuentra sin dificultadque este conjunto es tambien un anillo no conmutativo con unidad /., precisamente como ocurre con

el conjunto de todas lasmatrices cuadradas de orden n sobre'. Por otra parte, si bien A(A) = [A 0 Jo A+ 1

es regular, es decir, IA().)I = ).().+ 1) =fo 0, A(A.) no tiene inversa sobre '[?.]. La razon es, desde lue­go, que en general «(A.) no tiene simetrica multiplicativa en '[A]. As! que resulta imposible generalizar

la nocion de transformaciones elementalesa Jasmatrices A. de modo que, por ejemplo

MATRICES CON ELEMENTOS POLINOMIOS

Sea .F[).] el dominic de polinomios que consiste en todos los polinomios en ). con coeficientesen §. Una matriz m x n sobre .F[A.}, es decir, cuyos elementos son polinomios de .F[),,] ,

Polinomios de matrices

Capitulo 15

o ]X2- X).3,+ sx

oB(x)

sobre R(]"') a forma normal.EI maximo comun divisor de los elementos-de A(]...) es J; t6mesefl(]...) = 1.Valiendose ahora de K13( -1)

remplacese all(]...}por fl(]...) Yluego, mediante transformaciones adecuadas de fila y columna, obtengase unamatriz equivalente cuyas primeras fila y columna tienen nulos todos los elementos excepto el elemento co­mtin fl (]...); asi se Jlega a

[

1 X+ 1A (X) - X-1 Xl+).-1

X+ 1 2X2+ 2x + 1

X+2 ]2X2_2X3+ X2+ IiX+ 2 .

Ejemplo I:

Reducir A(x) =

No vamos a demostrar este teorema ni que la forma normal de una A('A.) dada es Unica. (La de­mostracion del teorema consiste en mostrar como se llega a N('A.) para una A(A) dada; la unicidad exigemayor estudio de los.determinantes.) Un procedimiento seneillo para obtener la forma normal se ilus­tra en el ejemplo y problemas que siguen.

en Ia que il('A.)./:z(A), •.. ,j,('A.) son polinomios monicos de fF['A.] y j;(''A.) divide a!t+ 1(A)para i = 1,2, ... .r - 1.

'I{'\) 0 0 0 0 0 00 '2{>") 0 0 0 0 0........................................

N(A) = 0 0 0 0 '.(A) 0 00 0 0 ... .,0 0 0 0............................ , ............0 0 0 0 0 0 0

FORMA NORMAL DE UNA MATRIZ - A.

En correspondencia con el Teorema IX', .C~pitul0 14, pagina 174, se tiene el

Teorema I. Todamatriz 'A.A('A.) m x n sobre.fF[k] .de caracterlstica r se puede reducir por transfer­maciones 'elementales a una forma canonica (forma normal}

En correspondencia con los resultados del Capitulo 14 enunciarnos:Toda matriz elemental es regular.EI determinante de roda matriz elemental es un elemento de fF.Toda matriz elemental tiene una inversa que, a su vez, es una matriz elemental.Dos matrices 'A:m x n A('A.) y B('A.) se dicen equivalentes si la una puede obtenerse de la otra

mediante sucesivas-transformaclones elementales de fila y columna, es decir, si existen matricesS('A.) = H•.... H2 • Hi y T(A) = K, . Kl ... K, tales que

S(A) • A(A} • T('\) :;:; B('\)La caracteristica de fila (columna) de una matriz A. es el numero de filas (columnas) lineal­

mente independientes de la matriz, La caracteristica de una matriz A. es su caracterlstica de fila(columna).

Matrices A equivalentes tienen igual earacterlstica; la reciproca no es cierta.

199P9lINOMiOS'DE MATRICESCAP. IS]

Las dos matrices A (polinornios de matrices) se dicen iguales si p = q Y Ai = B, para i = 0,1.2, ... ,po

La suma .4(A)+ B(')..) es una matriz A (polinornio de matrices) que resulta de la adici6n de los ele­mentos correspondientes (terminos) de las mattices '}."(polinomios de matrices). Si p > q, su grado es p:si p = q, SU grado es a 10 mas p,

EI producto A('}.,,) . B(A) es una matriz A (polinornio de matrices) de grado p + q a 10 mas. Si A(A)o Bo..) es regular (esto es, si IA{A)I =J: 0 0 IB(A)I =F 0). ernonces A 0.) . B(A)y B(A)' A(A) son de gradop + q. Como, en general, las matrices no conmutan, es de esperar que A(A) . B(A) =J: B(A) . A{A).

(1)

(2)

+ A.l'\ + Ao

-+ B;,\ + B«

A.,\. + Ap_I,\·-1 +BQ,\q + B9-,-.I,\q-1 +

A()\.)

B(~)y

Considerense ahora las matrices '" cuadradas de orden /1 0 polinomios de matrices

A{X) [2X2~+x3_ 3 A2 ~: ~ 1 2~2+_22]X3+;>.2+ 6X + 3 2>-2'+ 2;>.. -J: 1 X3+ )..2+5X +2

I'O;>.J+ O\~ + >.+ 3 0.\3 + 0>.2+ X+ 1 0;>.3+ OX2+ x + 2 ],I 'O}.3+2 X2+-x-:i' 0~;l+>:2-l:~-1 OA3~2X2+0;>'-2t X3+X2+ 6>-+ 3 01\3 + 2)..2 + 2x + 1 )..3+X2t Sx + 2

I'l~~ ~])"3+ [~.~ ~]X2 + [~ 1 !l" + [-! -~-~]1(11 121 ()25 3 2

POLINOMIOS CON C.OEFIClENTES MATRICIALES

'Ell 10 que queda <:ieeste capitulo nos limitaremos a matrices A cuadradas de orden n sobre F[A J.Sea AO-) una matriz semejante y supongase que el grado maximo de todos los elementos polinomiosGijO.) de A(A) es p. Por adicion, cuando fuere necesario, de terminos con coeficientes cero, A(A) puedeescribirse de modo que cada uno de sus elementos tenga p + 1 terminos. Entonces, AO.) se escribe comoun polinomio de grado p en A con matrices cuadradas AI sobre f7 como coeficientes y se llama enton­ces polinomio de matrices de grado p en A.

EjempJo 2:Para la matriz A. A(I.) del Ejemplo I, tenemos

Los elementos no nulos de N(A), la forma norma) de A(A) se Ilamanfactores tnuariantesce A(A).Suponiendo que la forma normal de una matriz A es umca, se tiene eITeorema II. Dos matrices Am x n sobre .~[A] son equivalentes si, y solo si, tienen los mismos faCIO·

res invariantes.

Veanse tarnbien Problemas 1-3.ya que A2 + 2A. es monico.

o 0]X 0 ::: N(X)

o }.2 + 2X[ 1 0 0] [1- o·}. ;>.2- X - 0o 0 }.2 + 2>. 0

nemos

hagase /2(A) = A. Como ./i(A) ocupa la posicion de b22O,.) en B(A) procedemos a eliminar de la segunda ftlay de la segunda columna los elementos no nulos, exceptuando, naturalmente, el elernento comim/2(A). y te-

Considerese ahora la subrnatriz [}. >.2- x ], EI maximo comun divisor de sus elementos ~s A;/\~ /\3 + 2/\

[CAP. ISPOUNOMIOS DE MATRICES200

hallar QI(A). RI(>.); Q2(>') , R2(A) tales que(It) A(A) = QI(A)' B(A) + R1(A), (b) A(A) = B(A)' Q2(A) + R2(A)

Aqul es B, = [~ ~] rOy B;-I == [_~ ~]

y

2A2+ 5A+ 4J)<2+ 1

DudasEjemplo 4:

Si en (4) RI(A) = 0, B(A.)se dice divisor a fa derecha de A(A); si en (4') Ri (A.) = 0, B(A) se dice di­visor a la izquierda de A (A.).

(4)

(4')

QI(>") • B(,\) + R1(A)

B(>..) • Q2(A) + R2(A)

A(>..)

A(>..)y

En el TeoremaIl.CapituloI2.paginaI26.yased.io.el algoritmo de la division de polinornios IX(X),P(x) en x sobre un anillo no conmutativo fJt unitario. Alii se suponia que el divisor P(x) era m6nico.Si el divisor no es monico, es decir, si cl divisor PC'!:) tiene coeficiente dominante b; =1= J, el teorema esvalido solamente si bn-I E!iIt. '.

En el aniUo de coeficientes que aqui se considera, toda rnatriz regular A tiene inversa "robre !F;asi que el algoritmo puede enunciarse asi:

Si A(iI.) y B(A) son polinomios de matrices (I) y (2) Y si Bq es regular. existen entonces paresunicos de polinomios de matrices Ql (1..),R,(A); Q;(A), R2(A) E :F[A] , siendo RdA) y R2(A) biencero 0 bien de grado menor que el de B(A), tales que

ALGORITMO DE LA DIVISION

Vease tarnbien Problema 4.

Ejemplo 3:

Si A(A) = [AZ x -11 [1 0]A2 . [0 -i.. [0 -1] Y C = [~~],A+ 3 A2+ 2 - ° 1 + 1 OJ 3 2entonces AR(C) = [~n·(~~r + [~.~].[~!]+ [~-~] = [1~10]

17

y AL(C) = [1 2r.[1 OJ + [1 2] .1'0 1] [0 -1J = [1: 1~]2301 231Q+32. ~

llamados respectivamente valores funcionales a derecha y ,a izquierda de A(A) cuando A = C.

(3)

(3')

+ AIC + Ao

+ CA. + Aoy

Pero si iI. se sustituye por una matriz cuadrada C sobre Y, de orden n, se obtienen dos resultados queson, por 10 general, distintos

La igualdad en (J) no se altera si A. se sustituye por cualquier k E :F. Por ejernplo,

A(k) = ApkP + ;;4,.-1kr:' + ... + Alk + Ao-_4 _

201POLIN@MIQS DEMAT<RICESC.AP. 15]

yDel Ejemplo 3. los TeStOS son

(X[_ B) [x+ 1 3] + [. 7· 8]• 3 X+ 3 14 1.7[1~~~] =

R) = AR(B) = [1~~~][ " + 1 3] (x1- B) +

3 X+3·A(X) =

y

(I. -1 -2]1./- B = -2 1.-3B = [~ ~]. tenemosy

[X2 X-I]

X+3 X2+ 2

Ejemplo 5:Con A(X) =

A('\') = (>..1 - B) . Q2('\') + Rz

en donde los restos R, y R2 no tienen ;... Puede demostrarse ademas queRl = AR(B) y Rz = AL(B)

y(5)

(5')

Con A(;") como en (1) y B{i..) = 'A.I - B, (4) Y (4') dan

A('\') = QI(A)' (AI - 8) + RI

A- bnn-b'l

A-bll -b12 -b13 -bl.-b21 -A_'- b22 -b23 -02.

Al-B = -b31 -b32 A- b33 -bsn.................................

Para la matriz cuadrada de orden n B = [blj] sobre fiF, definase su matriz caracteristica asi:Vease Problema 5.

E(X)- I 2 - 13 2] 2 [3 5-J [ 0 4JB(A)BI AsA - lS 1 A + 1 0 A + -1 1

E(A) - B(A)B;I E2A l~:r· + [_~ ;] = F(X)

F(X) - B(X)B~I FI = [=! !] R,(X)

B;I (A3X2+E2A+ Fj) = [_~ ~] X2 + [~ _~] x + [~ -::]

(b) Calculamos

A(A)

1] A + [? 211 3 -2J

etA)

[CAP. 15POLINOMIOS- DE MATRICES202

que, segun el Teorema XVIII, Capitulo 14, .,agina 1,81, tiene S91u~6n no trivial si, y solo si, el deter­miaante. de la matriz coeficiente

• • • • • • • • • ·0 • .. .. .. 10 • • • • .. • .. • , • • • • • • • • • • • • • • : ,. .. .. .. '\ • ',' • .. ~ • • I" .. • • .. •

(A - ~1I):t1 (lIIXa aSlx~ a"tx .. = 0-alaXI + (.\-au)x! auZa aRa.. = 0-(l13XI (luX, + (.\ - (lM)ZS a ..sz" = 0 (7)

para un I.e'.Utilizaremos ahora (6) para resolver el problema siguiente: Oada A, hallar todos los vectores no

nulos ~ tales que ~A = >.., con? e'. Despues de igualar las componentes correspondientes en (6),el sistema de ecuaciones resultante se puede escribir como sigue:

(6)(allXI +ailX2+ ... + a.lx •• al!Xl + aUX2 + ... + a ..2X~. • •• ,

Q."rl + 42..%2+ ... + a",,2'H) = (U., #\.\'~••.•• AZN)

vinculada a e 6nicamente por la transformaci6n A. Por otra parte, la imagen de el = (r, 2r, r) EYesSe1, esto es, la imagen de cualquier vector del subespacio yl C Y, generado por (1,2,1), es un vectorde yl. Analogamente, es facil comprobar que la imagen de cualquier vector d~l subespacio yl C Y,generado por (I, -1,0), es un vector de y2 y que la imagen de un vector de y3 C Y' generado por(1, 0, - 1), es un vector de y3.Asimismo,la imagen de un vector ($ + t, - s, -I) del subespacio rC y,generado por (1, -1,0) y (1,0, -1), CIS un vector del subespacio generadopor el mismo. Se deja allector haeer vcr que no ocurre 10 mismo ni para el subespacio yS, generado por (I, 2, 1) y (1, -I, 0),ni para el ~, generado por (1,2, 1) y (1,0, -'1). '

Resumiendo: La transformacion lineal A de Y3 (R) aplica un vector del subespacio yl, generadopor (1,2, I), en un vector de Vi, y un vector del subespacio r,generadopor (1, -1,0) y (1,0, -1),en un vector del subespacio generado por el mismo. Diremos que un vector no nulo de 'yl, 0 de r,es un vector propio (vector invariante 0, autoveclor) 'de la transformaci6n.

En general, sea una transformaci6n lineal de JI = y. (') referido a la base En E2' .•. , e,. dadapor una matriz cuadrada de orden n, A = [all] sobre ,. Todo vector no nulo ~ = (Xl' X2' X3, ...•x.) eYes un vector propio de A siempre que ,A = A~, es decir, si

V ....V': f'" AfPara la misma matriz A, las dos transformaciones son en general diferentes.)

La imagen de e = (1,2,3) EYes

'1 = (1'2'3)[~ : ~] = (7,14,9)E Y122

(Reeuerdese que en nuestra notaci6n las im8.genesde los vectores unitarios E" El' E) del espacio son losvectores fila de A y que la transformaci6n lineal viene dada por

y ....y: f ....EApues otros escriben los vectores imagen como vectores columna de A. En este caso, la transformaci6nesta dada por

(I (2,2,1)(2 (1,3,1)(3 (1,2,2)

o

IlAJCES Y VECI'ORES PIlOPIOS DE UNA MATlUZEstudiemos de nuevo una traD$formaci6n lineal dada de Y.(') en sl mismo. Considerese, por ejem­

plo, la ttansformaci6n de Y = Y) (R) dada por

203POLINOMIOSDE MATRICESCAP. IS]

.-\'1 =_1;'..~2 = -.1,. x3 = 0, As], pues, con el valer propio /cl.= I, ~sUia~9Ci~4,~.elespaciovectorial unidimensional generado PQtc•~, = (1, -,1,0) .. Todo y~tor (k, -k, PJ, k ;f; 0 deeste subespaeio es un vector propio de A. '

Si )" = ),,2 = 2, el sistema (0) se reduce al {,XI + 2:X3' : 00, cuya solucion es X,1 = 2,, "XI + X2 -

Xl = -t,.'X3 = -~2. Asi que con elvalor propio :>"2= 2, esta asociado .el espaci:o vectorialunidimensional generado por ~2 = (2, -1, -2), y todo vector (2k, -k, -2k'), k =F 0, es un'vector propio de' A. . J x + x. = O· ,

si.A .= J.:, "" 3, el sistema .50). se reduce al 1:2X: + x: = 0 '" que tiene per solucion

::1'1.= 1:::<'2= -1, "'3 = -2. As! que con el valor propio x, = 3 esta asociado el espacio vee". toria] unidimensional genetado por ,~,3= n', -1, - 2}, y todo vectpr (k, '- k, - 2k), k lO,es un vector propio de' A.

que tiene ,por solucional{

X, I + x2 = 0Si ,/c = ),I = 1" el sistema (0) se reduce = 0'X3

(a)

siendo los valores propios 'A.1 =T. ),,2 = ~, ;"3' =. 1.;,el sistema de ecuaciones lineales (7) es

[<>- - i)xI '. .' + . X3 0I -~1 + (A- 2)x2 - ,x3 = 0l. -ZitI - 2x2 + (A- 3)X3 ~ 0,

1 I-1A-3

o)\-2-2

)\-1....,r-'2

HI polinornio ~aracteristic6 ,'de:J es[i 1 2JIt 2 "2,~ .-l I 3

A =.dada

I]:jemp,lo 6:

siendo AT .la transpuesta.de A. Ahora bien, ",I - AT = (AI.- ::4)"" (compruebese); luego, por el Teo­r~mp.·~I, (:ap!11,lloJ4, If.! - 4TI = IA.]- AI, eIgetermiVan.~y.de la,matriz caracteristica de A.

Para toda matriz cuadrada de orden ..n sobre 3f, 1),1 - ~TI se llama. ..detetminante caracteristicode A y su desarrollo, que es un polinomio </i(A).'degrade n, se llama polinomio caracteristico de A. Losn ceros A.}., 1..2,13,... , An de <{J('A.) se llaman ralces propias (raices latentes 0 autopalores) de A y, mascomunmente, v~/ores propios de A., . '.

Ahora bien, siendo 4>(A.) E§p..]puede 0 no tener todos sus eeros en iF. (Por ejernplo, e.1polino­mio caracteristico de, una matriz cuadrada de orden '2 sobre R tiene ambos ceros en.R 0 bien ningunoen R; el de una matriz cuadrada de orden 3sobre R teridra uno 0 tres ceros.en R. :Se podrian consi­derarentonces solamente'I'6S"subespados;decV3'(R) aseciados a-los ceres 'reales, si los hay, pcbien ampliarel espacio a V3 (0), y hallar los subespacios asociados a todos Ies ceres ..) Para cualquier raiz 0 valorpropio x, la matriz"A.J - AT es singular.ide modo que el sistema de ecuaciones lineales (7)es linealmentedependiente y existe siempre un vector 'propio e. Tarnbien k{ es un vector propio asoC'iado a Ai paratodo escalar k. Ademas, segun el Teorema .xVIII~·Capitulo 14; pagina 181,. si i.i - AT tiene caracte­nstica r, (7) tiene entonces n - r soluciones linealmente independientes que generan un subespaciode dimension n - r. Todo vector no null) de este subespacio- es un vector ..'propio de A asociado a laTafi:'\ r;i valor propio AI' ';

A - all -a21 -a31 ,~a:nl

--a'12 A- U2~ -'(ta2 -an2

-al:i -aZ3 ,A-'a33 , -an3

[CAP. 15,Z04

Teorema V. Dos matrices sernejantes tienen los rnismos valores propios,y el

Teorema VI. "Si {I es un vector propio asociado con el valor propio Ai de B = PAP- I. entoncesei = {IP es un vector propio asociado con el mismo valor propio Aj de A.

Dos matrices cuadradas de orden n, A y B sobre oF~se dicen semejantes sobre oF si existe una ma­triz regular P sobre oF tal que B = PAP-l•

En los Problemas 9 y 10, pagina 213, demostramos el

MATRICES ~EMEJANTES

La matriz del Ejemplo 7 se estudio al comiertzo de esta seccion. Los Ejemplos 6 y 7, as! como elProblema 6, sugieren que con cada valor propio simple esta asociado un espacio vectorial unidimen­sional y que con cada valor propio de multiplicidad m > 1esta asociado un espacio vectorial m-dimen­sional. Lo primero es cierto, pero (vease Problema 7) 10 segundo no. No investigaremos aqui este asunto(el lector a quien interese puede consultar cualquier libro de matrices); enunciaremos simplemente

Si Aes una raiz 0 valor propio de multiplicidad, m:.. 1 de A, hay entonces un espacio vectorialasociado con A cuya dimension es al menos 1 y a 10mas m.En el Problema 8 demostramos el

Teorema Ill. Si AI>e 1; ).2, e2 son valores propios distintos y vectores propios asociados de una ma­triz cuadrada de orden n, entonces el y ez son linealmente independientes.

Se deja al lector la demostracion del

Teorema IV. La matriz diagonal D = diag(AI' A.2.' ••• , A.n) bene como valores propios AI' ).2' ... , Any como vectores propios asociadas· respectivamente COl> C;2•••• , €.'

x, es I, x2 = 2, X3 = 1. Asi, pues, asociado con AI = 5 esta el espacio vectorial unidimen­sional generado por ~I = (I, 2,1). Si A= A2 = I, el sistema (a) se reduce a XI + x2 + X3 = 0que tiene XI = I, X2 = 0, X3 = - J YXI = I, X2 = -I, X3 = 0 como soluciones linealmenteindependientes. De modo que asociado con A2 = J esta el espacio vectorial bidimensionalgenerado por (2 = (1,0, -1) Y ';3 = (I, -1,0).

. . . {Xl + :t2 - 3~~ = 0 .SI A = AI = 5., el Sistema (a) se reduce al .. que uene por solucion, XI - Xa = 0

(a)

los valores propios son Al = 5., A. = 1')..3 = I; Yel sistema de ecuaciones lineales (7) es

= >.3 - 7;>,.2+ 11>. - 5;

-1 -1;>"-3 -2-1 },-2

>'-2-2-1

1>.1- ATl =

Deterrninar los valores propios y-Ios vectores propios asociados de V3 (R),

donde • • [: : nEI polinomio caracteristico c:s.

Ejemplo 7:

205POLINOMlbs DE MATRICESCAP. 15]

Si AI, ~I; AZ. ~2 son valores propios distintos y vectores propios asociados de unamatriz cuadrada de orden 11 rea) simetrica, entonces elY e2 son mutuamente ortogo­nales.

Teorema IX.

MATRICES SIMETRICAS REALESUna matriz cuadrada A = [aij] de orden n sobre R se dice simetrica si AT = A, es decir, si

ajj = (lji para todo i y j. La matriz A del Problema 6, pagina 212, es simetrica ; las.matrices de los Ejem­plos 6 y 7 no 10 son.

En cl Problema 11. pagina 214, se demuestra el

Teorema VIII: Los valores propios de una. matriz real simetrica son reales.En el Problema 12, pagina 214, demostramos e)

No toda matriz cuadrada de orden 11 es semejante a una matriz diagonal. En el Problema 7, pa­gina 213, por ejernplo, la condicion del Teorema vn no se curnple, ya que el conjunto de los vectorespropios solamente genera un subespacio bidimensional de V3 (R).

o 0] .1 0 = diag (A" A2, A3)o 1

'A .__[2~2:l~JPara la matriz del Ejemplo 7. tornese P

Entonccs. P-I ::: [; !-!] y

'I' -~ 1-

PAP-I = [1~ ~ -~].[: ~ ~].[; !-:]= [~-1 0 1 2 2 .l_ _~ J 0

4- -s- 2

Ejemplo 8:

y A es scmcjante a D. Hemos demostrado el

Teorema VII. Una matriz cuadrada A de orden 11sobre!iF, que tiene por valores propios AI' A.2'... , A.nes semejante aD::::: diag(A.l' 'A.;, ... ,A.) si, y solo si, el conjunto S de todos los vecto­res propios de A generan a V. (!iF).

o bien[,,, 0 ... OJ

PA = ?.'>.::: ..~ Po 0 ... An

[ ~IJCon P = :~' encontramos

':,.

siendo AI' A2,' .. , A.n los valores propios de A.

Sea A una matriz cuadrada de orden n sobre !iF que tiene por valores propios AI, A2,... , A. se­mejante a D = diag(AI, A2,... , A.n} y sea Puna matriz regular tal que PAP-I = D. Segun el Teo­rema IV. EIes un vector propio asociado Con eLvalor propio AIde D, y segun el Teorema VI, el = EIPes un vector propio asociado con el mismo valor propio A.jde A. Ahora bien, E;Pes el vector fila i-esimode P; luego A tiene n vectores propios Iinealmente independientes EjP que forman una base de V. (§').

Reclprocarncnte, supongase que el conjunto S de todos los vectores propios de una matriz cua­drada A de orden 11, generan a V. (§'). Entonces, podemos elegir un subconjunto gh e2, ••• , e.} deS que es una base de V. (§'). Como cada (i es un vector propio,

[CAP. 15POLlN(}h-1I0S DE MATRICES206

Xl ' X2 =- 0, entonces Yt • Y2 = 0, es decir, los vectores imagen por una transformacion ortogo­nal de vectores ortogonales, son ortogonales.

cos 9, con 0 ~ 0, O' < n. es 0' = e. En particular, siX1'X2

IXd'IX21

Una matriz real H es ortogonal si H' HT = HT . H = I.

[::::: .• :::::.'::: .. :::::] == I

'TJ" ''71 '7" ' 'TJ2 • •• 'TJ•• '7.

s·sr :;;:

3. Considerese la transformacion ortogondl Y = XH de V. (R) cuya' matriz Ii es ortogonal y denotesepor Y" Y2' respectivamente, las imagenes de Xl. X2 E V. (R). Como

YI ' Y2 =. Y1 Yi :;;:{XIH)(X2H)T = XI(H .. HT)X.J = X, XI = XI •Xa,una transformacion ortogonal preserva los productos internos a escalares de vectores.

4, Como IY11= '(YI ' y2)112= (Xl' X1)1/1 = IXt!, una transformacion ortogonal preserva la 1011-

gitud de los vectores., Y.' Yt

5. Como cos 0 = IYd 'IY21 =

Y ST:;;:S-·.

2. Como 8' sr = 8T• S = I, los vectores columna de 8 son tarnbien vectores unitarios ortogonales.As!, pues,

La matriz 8 de,finida en la ~ccion pr~!;Cdentese Uama matriz ortogonal.Vamos a dar algunas desus propiedades especiales,

{1,Sii=j1. Como los vectores fila 'I, de 8 son vectores unitarios ortogonales, es decir, 'I, • 'Ii = 0, si i =F r

se deduce en seguida que

, se tiene 8A8-1 = diag{A.hA.2'...• A..).

MATRICFS ORTOGONALES

Por ultimo, con S =

'1..

Los vectores '11, '120' .. , '1. forman una base de V. (R). Estas bases, que consisten en vectores uni­tarios ortogonales entre sf, se lIaman ortogonales normales 0 bien bases ortonormales.

A tiene 1.1 valores propios teales y n vectores reales unitarios propios asociados ortogonales entre sf

(i= 1,2, ... ,n),Definiendo ahora

Si bien aqui no se da.r8 Ia demostracion, t04~/.-matrizreal simetrica A es semejante a una -matrizdiagonal cuyos elementos diagonaJes sonros valores propios de A. Entonces, A tiene n valores propiosreales. y n vectores propios asociados reaJes ortogonales entre si

207POl:INOMIOS DE MATRICESCAP. IS]

en donde el termino con producto cruzado. tieneecoeficiente O.

ax2+by~+2cxy = (~'11.).[: ~l(=)= X'E'XT

con X = (x,y). Como E es real y simetrica, existe una matriz ortogonal propia S = [::] tal que

S' E· S- 1 = diag(A1•A2)' siendo AI. 111; 1..2, 11·2los valores propios y vectores propios asociados uni­tarios de E. Asi que existe una transformacion ortogonal propia X = (x', y')S = X'S tal que

Recuerdese que las redueciones necesarias se efectuan por rotacion de ejes para eliminar terminos conproductos cruzados, y por traslacion de ejes para eJiminar, cuando ello es posible, terminos de gradeMenor que dos. Aqui nos proponemos esbozar un procedimiento general para tratar c6nieas y cua­dricas.

Considerese Ia conica general de ecuacion (8). Sus terminos de segundo grade, ax" + by2 + 2cxyse pueden escribir con notaci6n matricial asi:

(9)ax2 + by2 + cz2 + 2dxy + 2exz + 2/yz + 2gx + 2hy + 2kz +m = 0

y sea la ecuacion de una cuadrica referida a -ejes coordenados rectangulares OX, OY y 02

(8)ax2 + by2 + 2cxy + 2dx + 2ey + / = 0

CONICAS Y CUADRICASUno de los problemas de la geornetria analitica plana y del espacio ordinario es la reducci6n de

las ecuaciones de las conicas y de las cuadricas a fonnas canonicas que hagan aparente la naturalezade estas curvas y superficies.

Sea la ecuacion de una c6nica referida a ejes coordenados rectangulares OX, 0 Y

La matriz S del Ejemplo 9 es impropia, es decir, lSI = -I. Se puede comprobar facilmente quesi se hubiera utilizado el opuesto de cualquiera de los vectores "1> 112, 113para fonnar S, la matriz habriaside propia. D.emodo que, para toda matriz real simetrica A, siempre puede hallarse una matriz orto­gonal propia S. tal que ~ . A . S- 1 sea Una matriz diagonal cuyos elementos diagonales sean los valorespropios de A.

Entonces, con

S = l:J l'lv'i -liVe -liVeJ l uVe1/13

o ]= 1/13 1/..;3 11..;3. 8-1 = 8T =' -11'1/6 1/VS 1/..[2o 11../2 -1/../2 -1/-16 l/VS -1/../2

Y tenemos S' A . S-1 = diag (9, 3, -3).

Para la matriz A del Problema 6, se. tiene

Una transformacion ortogonal Y= XH (0 tarnbien la matriz ortogonal H) se dice propia 0 im­propia, segun que IHI = I 0 IHI = - 1.

Ejemplo 9:

[CAP. 15POLfNOMIOS DE MATRICES208

r

[i.;8 1 0J[ 5

X! ~t tVa 0 -Va0. 0. 1 10.:Vs

la asociadade (8').EjempIo 10: Identifi,*r.la.'~6nica 5i2 - zVa Xli + 7y2 + 20-/3~'X~ 44!( ,to 75 = O.

Para la-matriz E = [_~ -~JdelosternlinOSd~segunifogtadO'hallamoS4.(t-/3,;t);8'(-i'lva)

como valores pr.opios y veetores unitarios asociados propios y formamos s = [-rJ3 ~ ]

[

5 -Va 10va] -i t a .'Eiltonces, it = X' [~ ~] reduce X •F •XT = X -va 7 .-22 gT = '0 a

10-/3 -22 75

-~~:J'[t~~l:JXIT~22 75 0 0 1

[4 0 4 J (XI)= (X',II/,.U') O. 8, -16V3 • il = .1I\i:/2+ 8y'2 + "8~/U' - .32v'ill'U' + 7~u? = 04 -16V3 75 u~

los asociados de 4.c~2+ 8y'2 + 8~' - 32y'3iy' + 75 = -4(ii;'+ 1')2 + 801' - 2.:V3:)2- 25 = o.

{

'X" = X' + 1 . ...Por)a. traslacion y(i = _y' _ 2-/3 esta se convierte en la 4Xl/2 + 81/2 = 25 y.Ja eonica es una elipse,

P..tiliz a' nd.'0 {X':oJ iv'3:1;' - l~1 {Xi ;= x" - 1 n . fi., " y .' se ve acilmente Q.~e,.re riendonos aly = lz' + tv'3"yl iJ.' = y" + 2V3

Sistema.de.:ct:lordertadas qtiginai, el nuevo origen esta en 0"( -3J'3./2, 5/2) Y que los nuevos ejes Q"X" y0" Y" tienen-r~~P¢c:ti~ainentelas jiireccielles de tos vectores unitarios'propios (ivl, !) 'i (-t, ifi)·

Vease Problema 14.

'It.d XI- [! ~],X' = ~~',y', u'), para obtener

X, [~ ~], F' [~T ~] S'T == 0

(iii) Utilieese Ia 'imnsfomnad:6n

== (x,y,u) .[: :'d e

aw + btl'). +2cx1!+ 2dXtl +2~1I'1t+:tuz

dbnde g. = (~"il,W):.,

que mediante 'una tl'll~f~ci.§nIla'<de reqq9~ a fa. forma canonica,Otro pr~dimiento ,·para olltenpr' (8'). es como sigue;

(i) Obtengase la mairiz onog6nal propiil S.(Ii) Formese 1a as.6,¢ia~ de' t8) .

(8')

.Esta transformacipn T$s:e '&) a

~ia:~.f, x;.yr2 +2(!,d!]h, +,e''1J,2)X' +.2(d'l:h + e'12Z)Y' + f == 0

y tenemos

(x,y)

entonces['r,tj ,q]- .'1.11 ''1.22 '

=X:-=X'S~

Sea

209.CAR.15J

N(>.):.] - [: "~" :.] - [~ ~ ,.~,.] =[

>. >.'->.- _>.a 0

o 0

:.]B(:I.)

(b) EI mUimo coman divisor de "B(1) es A.-Se tiene

A(>.) = [>. 0 ] _o >.+ 1

N(:I.)

[~~:~J[-::1 ~~!]->.~->.J - [-~ ->.:->.] - [~ >.2::l.J -[

-1->.-1

(a) EI m~o coman divisor de los elementos de A(A) es 1. Asi,

g] a forma normal.\1

siendo necesario el IiItimo paso para que !l()") "'"A2 + A sea m6nico .

.y (b) B(.) = [g »~.1. Reducir (a) A(.\) = [.\ 0]o .\+1

- [~~ ~] - [~~ :] = N(>.)o 0 ->.1 - >. 0 0 ).1+ x

o 0]1 0>.+ 1 ->.1->.

o 0] [11 -1 - 0:I.+ 1 _>.2- 2>.- 1 0

A(,) - [:

o ]:1.2+2:1.-:1.'-2:1.-1[ 1 >. >.+2 J [1 0

A(>.) - 0 >.2+ >. >.1+ 2>. "- 0 >.1+ >.2>.-1 >.2- 2>. >.1+ >.- 8 2>.-1 _>.t - >.

[ 1 0 0]- 0 >.'+ >. >.2+ 2>. = B(>.)

o ->.' - >. -->.' - 2>.- 1

. [ >.2+ x >.' + 2>. ] -EI maximo comun divisor de los elementos de la submatriz es l ; h4gase f2(A) = 1.->"->. ->.1-2>'-1,

A B(1) apliquese "2](1) YK21(-I) Yluego eIiminese en las segundas fila y columna pan! obtener

EI mUimo eomun divisor de los elementos de A(A) es l ; hli.gase!I(1) = 1. Ahora utilicese K2,( -2) seguidade Ku Y proeedase luego a eliminar en la primera fila y columna para tener

a forma normal,\+2 ],\1+2,\,\1.+'\-8

2,\+ 12,\1+2,\

2,\1- 2,\ - 1_

Problemas resueltos

[CAP. ISPOLINOMIOSDE MATRICES210

A(A) =Tenemos

[,\4+,\3+3>..2+,\ ,\4+.\3+2,\2+,\+1J

5. Dadas A(>..) = ,\3 _ 2,\ + 1 2,\3_ 3,\2_ 2 y

hallar Qt('\), Rt('\)j Q2~'\)'R2(,\) tales que(0) A(A) = QI(A)' B(A) + RdA) y (b) A(X) = B(A)' Q2(A) + R2(A).

[ 5 2 8]o 4 5-3 -1 -5

riO -1]I ....4 -1 -10L 2 0 4

Como C2 = [-! ~~~l. tenemos1 0 2J

AR(C) = [~ ~ -~l[-!~~~]+ [~ ~ ~][-~ -~ -:] + [~ !:] =1 1 3 1 0 2 2 1 5 -1 0 -2 0 0 0

AL(C) [-! ~~~][~~-~]+ [-~ .: -!J[~~~]+ [~ !~]=1 0 2 1 1 3 -1 0""""2 2 1 6 0 .0 0

:l/l~~:]6..J 0 0 0

~Jl+ [~ !:] [-:=! -I!]5 000 02 2

y A(-2)

Obtenemos

[

,\+2 ,\+1 .\+3]4. ExpresarA('\) = ,\ >.. -3,\2+>.. como un polinomioen AycalcularA(-2),

>..2+2,\ ,\2+A, 8>..2+5'\

AR(C) Y AL(C) si C =- [-~ -~ -:].-1 0-2

El mliximo comun divisor de los elementos de A.Q..) es I. Utilizamos KIJ seguida de K, (-I) Yluego elimi­names en las primeras fila y columna para tener

A(),) - [~ A-=-\'A~2J - [~>'~1 2~2A ] = [01 0]2->. -1 -1 0 1-.A ),2-4A+3 8(A)

211POUNOMIOS'DE MATRICESCAP. is]

AI = 9 esta asociado el espacio vectorial unidimensional generado por ~I = (2, -I, -1).

Si A. ;" A2 = J, '(a),se' reduce a{'XI -:1:3 ';,;: O,quetiene por solu~on XL = I; Xz ;" 'I, X3 = L De'modo que.,:1:2 - X3 = 0 . .

con A.z = 3 esra -asociado el espacio vect~rial unidimensional generado Pot ~~= (1,), 1),

Si A = 1..3= -3, (a) se reduce a{' :1:1 = o que tiene pOTsolucion ~1 = 0, ,'102 = I, Xl = .~1.De modo. . . .zz + %3 = 0 . . . , . ,

que CO,n13 = - 3, esta asociado el espacio vectorial u.nidimension.algcwerado por ~g = (0, I, -1).

o cuya .solucion es x I = 2, ','102 = - 1, X'3. = - I, As! que cono .'

2xa .- O.4%3 = '0

(X-l)za == 0

+ 2X2 ++ (x -,1)xz

lix2 +(a)

-lores propios son Al = 9, '''2 = ~,).,~= - 3.1 y el 'sIstema: de ecuaciones lineales V) 'es

-: I = ).,3 - 9X2-9x + 81; los va­X-'1

X-722

El polinomio caracteristico de A es JXJ - ATJ =

-2 -2]1 4 sobreR.4 1

B;I (A~x~ + B-3'!!,.+ F2) - [2X2 +}.. 2X2+ 2J- -x? - X _X2 - 2

6. Hall" 10s"'10,", propios y los veeteres propios asoeiados deA ~ [:::~

y

(b) A(}.:) ~.. Bth) - B2-IA~X2 = [-~~] X~ + [1 0] , + [ 1 ~JX + [~ -!] E{h)1 _2.,X . '--'2

E(X) - 8(X).B;IE3h [0 0] 2 [-~~] X + [~ _~] = F(x)o -2 X! +

- B(X) -S;IEz [ 0 -1] [~-~] [-X: 1 -X-IJ .R2(X)F(X) -1 -2 X + = -2)\

= C(X)+ [? IJ1 ~2

D(X),

[

1.' iL3 + [2 2J)-.2 + [1 1] X1 .2j 0 -3 -2 0

[-~.-!] X2 + [_~ -iJ A, + [~ -~ JD(X) - D28;1- B(X) = 0 R,(A)

Y [X12 ~ +_12.JQI(~) (A4AZ + C3).. + V2)B;1 = 1\

Aqui, 80,) es divisor a la dcrecha de Aod,

(a)

212 POLINOMIOS: DE MAl'RI@ES [GAP: IS

[~ 1J [0 -1] [1 OJB(>-) = x2 + 1 0 x +2 o ,1

~2. [~,~] B-' [ 2 -1]Y '2. -1 1

10. Demostrar : Si~'I~es un vector propio asociado con el valor propio Ai de B = PAp-I, entonces~i = (iP es un vector propio asociado con el mismo valor propio Ai de A.

Por hipotesis, ~iiJ= Aie. y BP = (PAp-I) = P(l. Entonces. eiA = (IPA = (iDP = AielP = Ai~;Y ~i esun vector propio a$09i#~o con el valor propio Al de A.

Con 10que A y B, por tener cI mismo polinomio caracteristico. deben tener los mismos valores propios.

AI-B = AI-PAP-I = PA/P-I-PAP-I = P(II/-A)P-l

Ill/-BI = IP(AI-A)P-tl = IPI'IAI-AI'IP-'I = IAI-AIy

9. Demostrar que dos matrices semejantes tienen los mismos valores propios.

Sean A y B = PAP- I matrices semejantcs ; entonces,

11 1 I 'Y entonces (i) y (ii) securnplen si, y solo si, Al A2 = O. Pero, entonces, At = "2' en contradicci6n con 10

supuesto ; luego ~l y ~2 son linealmente independientes

Multiplicando (i) por A y teniendo en cuenta que ~iA = A.i~i' se tiene

Supongase, pOTel contrario, e, Yel linealmente dependientes: existen entonces escalares at Ya2 ambosno nulos, tales que

8. Demostrar : Si AI> e,; A2. ~l son valores propios distintos y vectores propios asociados a cllosde A, entonces ~l y ez son linealmente independientes ..

S' A' 1 I ~ ( ) d {Zl -:1;2 = 0 I .. lor<I = "I = - • e sistema a se re uce a cuya so ucion es XI = I,X2 = ,X3 = . Lie:1;3 = 0

modo que asociado -con Al = -I esta el espacio vectorial unidimensional generado por ~I = (I, 1,0).

Si A. = /'2 = 2, el sistema (a) se redlice al {,axi + 20.3 = 0 cuya soluci6" es XI = 1; X2'" I, X3 = -3.Xl - z~z= 0

Y el espacio vectorial unidimensional asociado a A.2 = '2 es generado por e2 = (I, I, -3)~

N6tese que aqui.un espacio vectorial de dimension urro esta asociado a una raiz 0 valor propio doble A2 = 2,mientras que en e1 Ejemplo 7 con la raiz 0 valor propio doble estaba asociado un espacio vectorial de dimen­sion dos.

ooo

=(4)

pios son A.I = -I., ~2 = ;2, A3'= 2; Y el sistema de ecuaciones lineales (7) es

A 12 A-12 -2

1 I1 -;\-2

A3 - 31.:2+ 4; los valores pro-EI polinomio caraeteristico de A es 1>.1 - ATI

-2 -2]1 2 sobreR.-1 2

Hallar losvalores propios y los vectores propiosasociados de A = [- ~-1

7.

213POLINOMIOS DE MATRICES,CAP. 15]

[3 -2 -4]Para la matriz E == -2 -2 -6 de los terminos de segundo .grado, tomese

-4 -6 -1

3, (2/3. -2/3.1/3); 6,(2/3.1/3, -2/8); -9. (1/8. 213.2/3)

14. Identificar la cuadrica

3x2 - 2y2 - Z2 - 4xy - 8xz - 12yz - 8x - 16y - 34z - 31 = 0

"3

11/14 3/...[14]lIVs -lIVs6/-142 11-142

~ = [::] = [ :;'1/P3 -4/-142

yPI

P2 = 1

13. (a) Demuestrese que a. = (2,1,3) Y P = (1,1, -1) son ortogonales.(b) Hallar un vector y ortogonal a los dos,(c) Utilizar 0(, p, 'I para formar una matriz ortogonal S tal que lSI = 1.(a) ex' fJ = 0; exy P son ortogonales.(b) "( = ..x fJ = (-4,6.1).

Ic) T6mese PI = ../lal = (2/Y14. 1IY14. 3/Y14), P2 = fJ/l.e1 = (l/V3, I/V3. -1/-/3) Y pa = "(Ihl =(-4/V42. 6/V42,1/V42). Entonces,

Ahorabien,{,A er = AIt;I~r = !...2~I~ry(A"- !...%gl~r= O.Como!..., - A2 '" O,sesigueque<,<i = <1'';2 = 0y <, y t;l son ortogonales.

E~ E[ = >-'2hE[

E,A Ei = >'2£' Ery

yEIA Ei = >'Itr Eir

bA ET = >"£2 Ery, tomando transpuestas,

[

2/3como valores propios y vectores unitarios propios asociados. Entonces, con S = 2/3

[8 OJ . [5 OJ 1/3X = (.:.lI,%,u) = (.:',lI',::',u') !I 1 = X' ° 1

12. Demostrar: Si A10 ~1; "'2'~z son valores propios distintos y vectores propios asociados de unamatriz cuadrada de orden n real y simetrica A, e t y ez son ortogonales.

con" = t;(hJ - A), Pero " . " ;;"0, en tanto que por ser ~ real Yno nulo, t; • ~ > O.Luego k = 0 y A tiene sola­mente valores propios reales,

(E(M - A)}{(hI - A)T ET) + k2E(T

II_II + k2£.£ = 0

Como B es real y singular, existe un vector teal no nulo ( tal que t;B = 0 Y.por tanto,

B = [(k+ik)/-AJ'[(k-ik)/-Aj = (h2+k2)I-2hA+A2 = (hl-A)2+k2J

11. Demostrar: Los valores propios de una matriz cuadrada de orden n real simetrica son reales.

Sea A una matriz real simetrica y supongase' que h + ik: es un valor propio complejo. Ahora bien.(h + ik)/ - A es singular como tambien 10 es

[CAP. 15POLINOMIOS DE MATRICES214

16. Para cada una de las siguientes matrices hallaLQ,(A.),RIO,,);Q2(A.), R2(A), siendo R,()",) YR2(A) bien 00 de grademenor que el de B(A) y tales que A(A)= QIP.)· B(I·.) + R,O.) Y A(A) .;. B(A)' Qz(A)+ Rz(A),

IS. Dadas A()..,) == [)..,2+).., )..,+1J B()..,) = [ )..,2 )..,2~~l hallary)..,2 + 2 x '~-1

(e) A()..,) + B(x) [ 2X2+ h. )..,2+2)..,+lJ (c) A(>-)' B(X) = [X4+ XS+ },,2-1 xi + Z)..,s+ 2~ +"AJ= >-2+ X+ 1 2)'" X4+ 3>-2_).., )..,4+>.8+3>-2+2)'"

(b) A(x) - B(>-)[>-2_: + 3

-x:+ 1J (d) B(x)· A(:>..)[2:>"'1+ 2)..,3+ 2>.2+ 2)'" 2)..,3+ 2)"'2J= 2)..,3+:>.. 2},,2-1

Problemas propuestos

{

ZIr = z'-1que por la traslaci6n 1/" = 'II' + 1 , se convierte en la 3X"2 + 6y"2 - 9Z"l = 4; la superficie es un hiper­

e" = z' + 2

boloide de una boja.Utilizando (x, y, z) = (x', y', z')S y las ecuaciones-de la traslacion, se tiene en seguida que, referido aI sis­

tema de coordenadas original, el nuevo origen es el punto (- 2/3, - 7/3, -1/3) y los nuevos ejes tienen Ladi­recci6n de los vectores propios unitarios (2/3, -2/3, 1/3,),(2/3,1/3, -2/3), (1/3,2/3,2/3),

el asociado8:1)'2+ 6'11'2- 9::'2 - 6",' + 12'11' - 362' - 31 == 3(x' - i)2 + 6(11' + 1)2 - 9(z' + 2)~ -" == 0

= 3~/2 + 6'11'2- ~z'2 - 6:l:!u' + 12'11'u' - 36z'u' - 81u'2 == 0

a

~p-2 -4 -']-2 -6 _~~ XTX·F·XT -6 -1-4 -'8 -17 -31

['IS -2/' 1/3 :}[-: -2 -, -'][ 2/' 2/3 1/3

} rtil' 2/3 1/3 -Z/8 -2 -6 -8 -2/3 113 2/3

1/3 2/3 2/3 o -4 -6 -1 '-17' 1/3 -2/3 2/3

o 0 0 1 -4 -8 -17 -31 0 0 0

(,.........{ : 0

o -']06 o 6 'II'= 0 -9 -18 z'

-3 6· -18 -31 .u'

reduce

215POLINOMJOS DE MATRICES::::AP. IS)

LCAP. IS

17. Reducir a su forma normal:

(e) [,.~"

2X 2>-1 ] [r 0 ,n210.2+ sx 2X2+ X-I (d) X+lX2-2X 3;>..2- 4X 4X2-5X + 2 °

["+1 ,,+> ,,-,.J [>-1 3-2 ](6) X-I X2+1 -2X (e) -2 x+l

X +°2X2- X3 X3-;>..~+ 1 _3 1

[ -, X+l

>+>J [H 2 ,n(c) -X2 X2+X - ~ X2+ 210.-1 (f) -3 10.+3X2+ ~ + 1 -X2-2X-I -X2-~X-2 2 0

[ xx ,+,] [-2 0 ,](d) QI(X) = X+l X2+1 X . RI(h) = 2 -3 -2

X-2 X-l x2-1 -2 3 8

[ xX+2 'HJ [62 0]Q2(X) = X-2 X2 X-2 ; R2(h) = 8 --2 7

X-2 X+l X2 -5 -2 -6

__ [X2_2Q2(X)X-5

(c) Qi(X) = [X2 + 2. X-I]; RI(h) = °X + 1 10.2+ X

X2~: : 4} Rz(X) = [l~=:]

Q (X) = [-2 X2-1] ; R2(x) = [2XX ~]2 Xl 1

(b) Q (x) = [2X+2 -2J: RI(X) :::: [~-~]1 X+ 1 I

Q2(X) = [X+2 X-I} R2(X) ;:::: °X X+ 1 •

(c) A(X) = [X' - 2X2+ X- 3 4X2+2X+S ] B(X) = [X-2X!S]-2X-2 X3+4X2+6X+3 • -1

["-"+>+0 2X2+X "H'-2 ] [>-1 1(d) A(X) = 2x ).3 + X2+ 2X-l 4X2-21,+1 . B(X)::: -~ X+l

3X2-4X-l X2+X x3-2x2+2X+2°

(b) A(X) = [2X2 + ax 2X2 J. B x - fX X]X2+X+ 2 X2+ 2;>..- t ! ' ( ) - 1 X

POLINOMIOS DE MATRICES216

[~-~] [ 1 -6] [ a -2 -2](9) [-:

-1 -:](a) (c)-6 -4

(e) -2 8-2 2-2 -2 3 -1 0

[ " -S] (d) [_~ -:] sn [-:-5 -:] (.{-:

-2 -;](b)-3 -4 -1 1

3 -2

[ 2/V5 1I~ [a/ViS -2/~ [1/'Vi -."J,. l/3ViJResp. (a)

-lIVs 2/Vs(c)

2/ViS 3/ViS(e) 1/...[2 0 -11...[2

213 1/3 2/3

(6) [3/v'lO-l/v'IO] [1/VS -2/isj [",/42 -<,,/42 -1/"-"](d) (I) 1/y'l4 2/y'l4 -3//14

l/VTIi S/v'IO 2/y5 l/y5I/vf:3 l/y(:i l/vr:i

21. Para cada una de las siguientes matrices reales simetricas A hallar una rnatriz ortogonal propia S tal que SAS-Isea diagonal.

con Ip()..)I·IS(J..)1 = 1.

Sugerencia. De P(J..)· (A./ - A)' S(A.)= diag if,(J..)'/2(A), ... ,j.{)..)} obtener

Ip()..)j· ISO..)I· I/>(J..)=IICA.) ·/l()..) ... f.(J..)

20. Demostrar: El polinomio caracteristico de una matriz cuadrada A de orden n es el producto de los factores in­variantes de AI - A.

19. 'Para una matriz cuadrada A de' -orden n, demostrar que

(a) el termino constante de 5U polinomio caracteristico C5 (- Ir IA I.(b) ci producto de sus valores propios es IAI.(c) uno 0 mas de sus valores propios es 0 si, y solo si, IAI = o.

Resp, (a) 6,(k, -k); -1, (5k,2k)(b) 0, (41" k); 6, (2k,-k)(c) 2, (k,k)(d) 0, (2k, k); 5, (k, -2k)donde k"t.O y [ .. 0.

[ 1 -2](d) -2 "[ 2 -1]

(6) -8 "

(e) [~ ~ =~J1 -1 2

(n[: ~:]" 2 3

(e) 1, (k,-k. -k); 2. (2k,-k. 0); 3, (k,-k, k)(I) -1, (k,21, -k-l); 8,(2k,k,2k)

(g) 1,(3k,2k,k); 2,(k,Sk,k); -I,(k,O,k}

(c) [_~ ~](a) [_~ -:]

-1 ol2 IJ1 -1

(u) I~L-2

18. Hallar los valores propios y los vectores propios asociados de cada una de las siguientes matrices A sobre R.

CAP. J5] POUNOMIOS DE MATRICES m

D0 :,J [: 0 :] [:

0 0Resp. (a) x (c) 1 (e) 1 0

0 0 0 ).3+ 2),.2+11).+ 20

(.) [: 0 ,LJ (~ [: 0

"LJ UI D 0

"+2}-" -2J>.+1 ).+1 10 0 0

n. Demostrar por sustituci6n directa que A = [: !] es un cero de su poIinomio caracteristico.

2:11. i.Ell que condiciones la matriz real A = [: !] tiene(a) valores propios iguaJes,

(b) los vaJores propios ± 1?

26. Demostrar: Toda matriz real cuadrada de orden 2, A, para la cuaI IAI < 0 es semejanle a una matriz diagonal.

25. Demostrar: Si Q es ortenormal, QT= Q-'.

Demostrar 41ue$AT $-1= D si S = S-I. Asi que toda matriz A semejante a una matriz diagonal es semejantea su transpuesta AT.

S • A •8-1 = diag (A" A2, ••• , A.) = D

24. Sean A con vaJores propios A.1• A.l, ••• , A." y S tales que

l3. Identificar las siguientcs cuAdricas:

(4) sst + 8.,s + S.a - 4q - 42:. - 411.- 42:- 211-·4. + 12 = 0(b) 2:1:1- II' - 6.' - 102:" + 6112+ 1502:- 74. + 42. +.107 = 0(c) 4~ + II'+ ,I - 4q - 42:2+ 2112- 6" + 6:r,+ 2 = 0(d) 2:1:" + b2 + 211'+ 1 = 0

Resp. (a) Paraboloide eliptico. (b) Hiperboloide de .dos hojas, (c) Cilindro parabOlico.

ll. Identi1icar las c6nicas siguienles:

(4) 4si + 24ZW+ U.,s + ISs + 42" + 16 = 0

(b) 9~ - 1~ + 4r + SV1a 2:+ 12v'1a II+ 62 = 0

(e) b' + ~ + 3r + 4-./22: + 12ViII - 4 = 0

Resp. (a) Hiperbola. (b) Parabola, (c) EJipse.

[CAP. ISPOUNOMIOS DE MATRIC£S218

219y

para cualesquiera X', Y.i:jt y k'E!F. Luego Ta es u.na transformaeion lineal del espacio vectorial !£(fF),Ademas, las.transformaciones lineales T« y T6 asociadas eon los elementos distintos a y P' de ~"SOlldistimas, Puts si <X =1= p, U o.a. + u 0 P con u; Ia unidad de ~, implica Ti. =1= T~.

Ahora bien, por (iii) y (v}, . .

xTa + X Til. = Xoa + xof3 = X(a+f3) x'Ta+/J

(x Ta.) Til = (x'a)f3 = :t;(a·f3) = x Ta..{l

~k'X)T<i = (kx)a = k(xoa) :::;; ·xolea = XTka

T",: ~ TI1 = x:o~, x E.t:.,x'T", + y T« Xoa + ,yo"" = (i +y)a = (x+y) T«

(kx) Tilt = (kx)a = k(x 0 a) = 'k(x T«)

Por (iii),

y por (v),

UN ISOMO.RFlSl\JO

EI algebra lineal din Ejempld 2 desempefia aqul' uri papel parecido al del grupo simetrico S. en leonade grupos. En el Capitulo 9. se vio que todo .grupo abstracto de orden ~,~s~soniQrfo>aun subgrupo de S•.Ahora vamosa, ver que i<xia_.;ilg~br:alineal de orden.» sobre fF es.isomorfa a una sJ.l~lgebra de M.('§!).

Sea g un .ilgebra Iilieal de' orden ·n.~sobrejO que'tiene pot base'{Xlt.'X2, x~; , : , ,.~.}, 'Con cada« E f£ aSQ~iesela aplic8,i<i6n .' e • .

Ejemplo 2:

(q) EI cuerpo C de los numeros complejos es un algebra.lineal de dimension (ordenlz sobre~lcuerpo conmutativo R de los numeros reales, piles (vease Capitulo 13)C(R) esun espa­do vectorial de dimension 2 y cumpleIos. postulados (ii)-(v).

(b) En general, si !£ es un cuerpo del que!F es 1,1n s'pbcu~n>o,!£ es un Algebralineal sobre F.

Es clare que el algebra de todas I~s transformaciones.Iineales del .espacto vectorial V.(F) es,un 3Jg~t>ralineal de .orden n2, Luego ef algebra isomorfa M~(!Fl de todas las matrices cua­dradas de orden n -sobre Y es ta"?-bien un algebra lineal.

Ejemplo 1:

Un conjunto ,Ii' dotado de his operaciones binarias de adicion y multiplicacion y de una multi­plicacion esealar por elementos de un cuerpo conrnutativo IF, se llama dlMbtaIineal sobre-:F si(i) lR. es un espacio vectorial :sf(Y) sobre ~ con respecto a la adici6n y a Ia multiplicacion esoalar.(ii) La multiplicacion 'es as0ciativa.(iii) La multiplicacion es distributiva a la Izquierda y a la derecha con respecto ~ la adicion.(iv) !£. tiene un elemento neutro multiplicative (unidad).(v) (karp = d(kP) = k(11.0 f1) para cualesquiera (1., f1 E,ff Y k; €:$.'.

ALGEBRA LINEAL

Algebta.~lineales

Capitulo 16

as]o .a.

(b) Para cualquier a = a, . I + a2a + a3P, tenernos

1.a = all + a2'" + aspa'a = (al +a'2)a

p·a = , a,(3 [alLuego 2 es isomorfa al algebra de todas las matrices M3{R) de la forma ~

asJ-as y es un alge-a.

,(3 '0 ,= a,(3 [a,

Luego 2. es isomorfa al algebra de todas las matrices M3(R) de la forma 0bra lineal sobre R. 0

1' a all + ~..+ asfJa ',a = ("al+ a2)" + as(3

son algebras ~ineales sobre R.Podemos verificar simplemente para cada caso que los postulados (i)-(v) se cumplen. En vez de eso es pre­

ferible mostrar q~e en cada caso ~ es .isomorfa a una subalgebra de M3(R).

(a) Para cualquier a = a, . 1 + a:a + a3P! tenemos

(b)y(a)

1. Mostrar que It' = {a, . 1 + ala + a3{J: Q,E R} con multiplicaci6n definida de modo que 1 es Iaunidad, 0 = 0 . I + 0 . a + 0 . {J es el neutro aditivo, y

rtHProblemas resueltos

Yease tambien Problema 1.[

r 8

de Ia forma 2t r28 2t

es un isomorfismo del algebra lineal Q[.y2J sobre el algebra de todas las matrices de M.(Q)

Entonces, la aplicacion

a,'1 + 02~ + as~ -+ [2::202

De modo que la aplicacion IX --+ T", es un .isomorfismo de It' sobre una subalgebra del algebra de todaslas transformaciones lineales del espacio vectorial ft'(~). Como este a su vez es isomorfo a una sub­algebra de M.(F), queda demostrado el

Teorema I. Toda algebra lineal de orden n sobre fF es isomorfa a una subalgebra de M.(/F).

EjempJo 3: Considerese el algebra lineal Q[..,0/2] de orden 3 con base {l, ..,0/2, 14}. Para un elementocualquiera a = a, 1 + a2..,0/2 + a314 de Q[..,0/2], tenemos

I' a. = a,1 + 42V2+ as~

Tz·a 2031+ 0,~+a2~

~'a 2a21 + 2a3~ + o.~

[CAP. 16ALGEPRAS LINEALES,220

-1-i

kj

-ik-1

(e) fJ. = {QI + a2i + Q)j + a4k: a, ,f R} con tabla de multiplicacion i -1j -kk j

S. Demostrar que cada una de las siguientes es UI) algebra lineal sobre R. Obtener el conjunto de matrices isomorfasde' cada una,

(a) f# = {aJ + b« + ca2: a, b, c E R}, siendo G = {a, «2, a3 = I} el grupo ciclico de orden 3,

(b) f# ~ {all + a1x + a3)': aj E R}, con multiplication definida de modo que 1 es la unidad, 0 = O· I + O· x

4. Demostrar que el algebra lineal C sobre R es isomorfa al algebra de todas las matrices de M2(R) de la forma

ra bJlas matrices de M2(Q) de la forma l .tb a

3. Demostrar que el algebra lineal !i' = Q[jf], no siendo (EN un cuadrado perfecto, es isomorfa al algebra de

2. Comprobar que cada una de las siguiemes, con adicion y multiplicaci6n definidas como sobre R, es un algebratineal sobee Q.

(a) Q[.fiJ = {aJ + b.fi: a,be!?}

(b) f# = {at + b.fi + cJ5 .,. djl5: a, b, C, de Q}

Problemas propuestos

221ALGEBRAS LINEALESCAP: 16]

222

a. n 0 = 0 U (4 n 0) = (4 n 4') U (a. n 0) = a n (a' U 0) = 4 n a.' = 0

(Vease 1.5-1.5', Capitulo 1, pagina 5.)Utilizando sucesivamente (ii), (iv), (iii), (ii), (iv):

(')an 0 = 0ya,u1=1

a U 4 = (a U a) n 1 = (a U a) n (a U a') = 4 U (a,n a') = a U 0 =. CI

E~ 2: Demostrar: Para todo aedl,

(Vease 1.6-1.6', Capitulo 1, pagina 5.)Utilizando sucesivamente (ii), (iv), (iii), (iv), (ii):

(1)y4Ua=a

E;e.pIo 1: Demostrar: Para todo a E~,

Con frecuencia se emplean los slmbolos mas familiares + y . en vez de U y n. Utilizaremos losultimos porque si el conjunto vacio 0 se denotara abora por '0 y el conjunto universal U por I, es claroque las identidades 1.9-1.9', 1.4-104', 1.10-1.10', 1.7-1.7', cuya vaJidez se demostro en el Capitulo 1 parael algebra de los subconjuntos de un conjunto dado, serian precisameote los postulados (i)-(iv) para uoalgebra booliana. Lo primero que hemos de 'hacer, pues, sera demostrar, sin recurrir a los subconjuntosde un conjunto dado, que las identidades 1.1, 1.2-1.2', 1.5-1.5', 1.6-1.6', 1.8-1.8', 1.11-1.11' del Capi­tulo 1 son tambien validas para toda algebra booliana, es decir, que estas identidades son consecuen­cias de los postulados (i)-(iv). Es de notar que bay completa simetrla en los postulados con respectoa las operaciones U y n y tambien en las identidades de (iv). Se deduce, por tanto, para toda algebrabooliana, el

PriDdpIo de daaJidad. Todo teorema deducible de ]05 postulados (i)-(iv) de un Algebrabooliana sigue siendo valido si se intercambian los simbolos de operacion U y n y los elementosneutros 0 y 1 entre sf.

Coosecuencia del principio de dualidad es que basta con demostrar solo uno de los enunciados de cadapareja de duales.

a na' = 0ya U a' = 1

(iv) Para todo a E!M existe un a' E!M tal que

a U (b n c) = (a u b) n (a U c)a ri('b U c) = (a n b) U (a n c)':I

ALGEBRA BOOLIANAUn conjunto ~ sobre el cual se han definido operaciones binarias U y n, se llama tUgebra boo­

liana si se cumplen los postulados siguientes:

(i) U y n son conmutativas.(ii) ~ contiene un elemento neuiro 0 con respecto a U y un elemento neutro 1 con respec­

to a n.(iii) Cada operacion es distributiva con respecto a la otra, es decir, para cualesquiera a, b;

CE~

Algebras boolianas

Capitulo 17

E,kmplo 5: Para comprobar la idcnti4ad propuesta (vease Ejemplo 4(0»

(:z: () If) U [(z U_y') () Ill' = 1

se forma la siguiente Tabfa H-1.

(por el Ejemplo 3)

Vease tarnbien Problema 5.

Como (vease Problema 15, pagina 234) existe un algebra booliana con los solos elementos 0 y 1,cualquier id~ntidad se puede comprooar dando a las variables los valores 0 y 1 de todas las rnanerasposibles.

(e) {[(:t' n 11')' U .z] () (x U z)}' = [(x' n .1/')' LJ .z)' U (z·u :z)'

::: (z' n 11' n s') U (;t' n .,') = x·' () z·'

[(x u V') n (a: n 11' n %)'1' = (x' n 1/) U (z n II' n s)= (x' U e) () (z' U II') n (z' U z) n (ll' U II) () (11 U Il) n (v U z)

= 1;n (x' U II') () (:;e' U z) n (z U'II) n 1 n hi U z)

= (:z: LJ v) () (II U z) () (z' U :z) n (x' U 1/'). una interseccion de uniones

(b) I(x u y') n (x () v' n z)']' = (ll' U II')' u I<z() II' n z)1'

= (x' n 11) U (x n 11' n z), una uni6n de intersecciones

(x n II) u [(:e U 11')' U 1/') = (0\' n 1I)'U [(:e' n II) U II')

= (x n 11) u [(x' U y') n (11 u v'») = (x () II) u [(x' u 11') () 1)

= (x n 1/) U ,(z' U .If') = (% n II.)U (x () 11)' ::: 1

(a) (x n 11) u [(:t U II') n Ill'

Sea 11 = {a, b, c, ... } un algebra booliana. Por constante se entendera cualquier simbolo, comoo y 1, que represente un elernento particular de 11; por variable se entendera un simbolo que representeun elemento cualquiera de 11. Si en la expresi6n x' U (y () z) remplazamos U por + y () por . paraobtener x' + Y' z, parece natural llamar a x' y Y () z monomios y toda la expresion x' U (y () z) po­linomio,

Toda expresion como x U x', a () b', [a () (b U c')] U (a' ()"b' () c) que consiste en cornbi­naciones por U e () de urr nnmero finito de elementos de un algebra booliana "11 se dirafunci6n boolia­na. EI numero de variables en una funcion es el numero de letras distintas que aparezcan, tomandoseuna letra con tilde como si no la tuviera. Asi, x U x' es una funci6n de una variable, x, pero anb': esuna funci6n de dos variables, a y b.

En el algebra ordinaria toda funcion entera de varias variables se puede expresar siempre como unpolinomio (incluso 0), pero no siempre se puede expresar como producto de factores lineales. En cam­bio, 'en el algebra booliana las funciones boolianas se pueden expresar en general en forma polinomica(incluso ,0 y 1), es decir, como union de intersecciones distintas, yen forma factorizada, es decir, comointerseccion de uniones distintas.

£jemplo 4:

Simplificar(a) (z n 1/) U [(:t U 11') rr II)', (b) [(:t U II') 'n (~n 11' () z)'I', (c) {«x' n 1/')' U :;) () (z u z)}'

FUNCIONES BOOLlANAS

Utilizando sucesivamente (ii), (iii), (Z), (ii):

a u (a n b) ::; (an.n u (a n bJ = 0. () (I ubI = a () 1 = Cl

Veanse tambien Problemas 1-4.

y (3)a n (a U 01 = a

EjempIo 3: Demostrar: 'Para cualesquiera, a, b e dI,

0. U (a n bJ = a

ALGEBRAS. BOOLIANAS 223CAP. f7]

Expresion que se llama forma canonica dual 0 forma normal conjuntiua de la funcion. Notese que noes la dual de la forma canonica de aquella funcion.

(x U y) n (y U z) n (z: U z) n (X'I U y')

= [(x U y) U (z n t')] n [(y u z) U (x n :1:')1 ri [(x' U z) U (y n y')Jn I(x' U y') U (z n z')]= (x U y U z) n (x U y U z') n (x' Uy.uz) n (x' U y' U z) n (x' u y' u z')

":ITeorema (I. Dos funciones boolianas son iguales si, y solo si, sus forrnas canonicas respectivas son

identicas, es decir, constan de- los misrnos terrninos.

La funcion booliana en tres variables del EjempJo 4(b), expresada como interseccion de unionesen que eada union contiene todas las variables, es -

En los Problemas 8 y 9 se demuestran

Teorema I. Si en la forma canonica completa en n variables se da a cada variable el valor 0 0 el 1,solo un termino tendra el valor 1 y todos los demas tendran el valor O.

Vease tambien Problema 6.

Es facil mostrar que la forma canonica de una funcion booliana en tees variables puede tener 23terminos distintos a 10 mas. Pues si x, y, z son las variables, se obtiene un terrnino eligiendo x 0 'x',)' 0 y'. Z 0 z' y formando suinterseccion. En general, la forma canonica de una funcion booliana en nvariables puede contener a 10 mas 2" terrninos distintos. La forma canonica que contiene todos estos2" terminus se dice forma.canonica completa 0 forma normal disyuntioa completa en n variables.

La forma canonica completa en n variables es identicamente 1, cosa que se muestra para el cason = 3 en el Problema 7, pagina 231; pero el caso general se puede demostrar por induccion. Se siguede inmediato que el complcmento F' de una funcion booliana F exprcsada en forma canonica es la unionde todos los terminos de la forma canonica completa que no aparecen en forma canonica de F. Porejernplo, si F = (x (\ y) U ~x' (\ y) U (x' ny'), F' = (x n y').

(x' n y) u (x. n y' n z) = (x' n y n 1) U (:r n y' n z]

= [(x' n y) n (z u z')] U (x ny' n z)

= (x.' n y n z) u (x' n y n z') U (x ny' n z)

FORMAS NORMALESLa funcion booliana en tres variables del-Ejemplo 4(h) cuando se expresa como union de inter­

secciones {x' (\ y) U (x (\ y' (\ z) contienc un termino en el cual solo apareccn dos de las variables.En Ia seccion siguiente vereglOsque a veces hay buenas razones para sustituir esta expresion por una me­nos simple en quecada ter'mlno tenga todas las variables. Como ia variable z falta en.el primer terrninode la expresion anterior se obtiene la forma requerida, Hamada forma canonica 0 forma normal disyun­tioa de la funcion dada, de la manera siguiente:

Tabla 17-1

x 11 a,=x(')y I XU s' b _. (x U 1/')n 11 au b'

1 1 1 I I 1 11 0 0 1 0 10 1 0 I 0

,0 1

0 0 0 1 0 1

[CAP. 17ALGEBRAS BOOLIANAS224

F' = (:I: n ·y.n zr u (x' n y' n z) U (x' n .'1/ n Zl)

~Ls"e~ liDa IiIKiDa b66ll;l,na se« forma gin6.niCa 0. carionica dual, para pasar a la otra formase empJea:ru~ ... las da$;r~gt~spara..ha!laT~1cqmplemento ; si bien eJorden en que esto sehagapuede ser culllquica, a veces iin-cierto orden 'e*igemenescatculo que el otto.

Vease Problema roo

~ .... - (;1:' \J,Y' U z) n (x I.J 'y' U z') n (if u. 11 U z) n,(x U y' Ut)= (z' ,\J .z) n (it u y')

tabla 17-2

tr n y A'i) lJ (~ n y' n~)lJ. (x' n v' n z) u (X' ny' n'~')nz;) l::J. (X' n1/')

:r. .'I z F(x,y.z)

1 1 1 11 1 0 • 01 0 1 16 1 i o. ,.} 0 (j 0Q 1 0 O·0 O. 1 i0 0 0 f

.

silgiere que 16s tei-minds"iIIjI~';~e".f(x,y, z). SqD precisa-

eenmleta en tres variables que~o.r ej~inplo, la ptimeratCF,ipino y la t~n;,eJa.fila. Asi,

"13s>!,stll1",j'lmales' si, Ysolo si, .SUS.·formas canonicas duales respec­eonsisten en 19S mismos factores.

• anios·· estos teoremas para determinar la funcion booliana cuando'_"""'l';;C'; posibles de dar valores 0 y 1a las variables.

y

fQrma canonica de una funcion booliana es -un enunciado va­(t:jncion. (Notesb que 'el dual de termino es factor.v La forma

en n variables puede tener a 10.rna!!.)" factores distintos, La for­IGil()!l;ta.ctc)resse llama forma canonico.dual completaotorma 1101'­

valor, es identicamenie ,.0,EI complemento F' de una tun-lCIllI61!,l)G;i!:,.d'es Ia .i~teI'Se9CiQnd~ tqdos.los factores..de la forma

en la eanonica dual de F. Se tiene, asimismo,dual completa en n variables cada variable toma el valor 0 6 i,

o y''.\;{odos Io.S dernas valdran 1 f "

225AIl.G:EBRAS BOO(V\:NAS

Fig. 17.1

F

A

RELACION DE ORDEN DE UN ALGEBRA BOOLIANASean U = {a, b, c} y S = {0, A, B, C, D, E, F, U} con A = {a}, B = {b}, C = {c}, D = {a, b},

E = {a, c}, F = {b, c}. La relacion <;: definida en el Capitulo 1, aplicada a S, satisface las leyes si­guientes:

Para cualquier X. Y,Z EO S,

(a) X <;: X(b) Si X ~ y y y ~ X, X = Y.(c) Si X <;: Y y Y <;: Z, X <;: Z.(d) Si X <;: Y y X <;: z. X'<;: (Y () Z).(e) Si X <;: Y; X <;: (Y U Z).(j) X <;: Y si, y solo si, Y' <;: X'.(g) X<;: Y si, y solo si, XU Y = Y 0 la equivalente X () Y' = 0.

Las tres primeras leyes dicen (vease CapituloZ) que <;: efectua un orden parcial en S que se ilustra por

U

FJ n F~= ,(x U 'I/·.uz) n (x U 11' U :t') n (a:' U 1/ U z) n (x' u 1/ U .II')

n (x' U v' U z) n (x' U v' U z')

F' = (x U 11' U %) n (a: u 11 U z')

(x' n y n.z') U (x' n 11' ,:) z) = x' n [(11 r'I z') U (1/' n :t})F

(x: n 11n z) U (x' n 1/ n z') ,u (x' n 1/' n z) U (x n 1/' n %')

(~' n 1/' n z') U (x n 1/ n z)U (x n 1/' n .II) U (x n II n .t')

(x u'y \) z) n (x' U 11' U :t') n (x' U 11 U z') n (x' U 1/' U :t)

y

Pero entonces

Con 10que F

y

Asimismo. F2

F~

Y F, = (x U y' U z') n (x U 11U z) n (x' u 1/' U z') n (x' U 11 U z)

(x n y n :t') U (x' n y n z') U (x n y' n z) U (x' n y' n z)

(x' n 11n i) U (x' n 11' n z') U (:e n 11 n a) U (x n 11' n :t')

(la uni6n de todos los terminos de Laforma canonica completa que no apareccn en F) y

F = (F'Y = (x ~ II U z') () (x U 1/' U z) n (x' U v' U z') (por cl Problema 4)

Vease tambien Problema It.

EI procedimiento para cambiar de la forma canonica a la forma can6nica dual y viceversa puedeutilizarse lambien ventajosamente para sirnplificar ciertas funciones boolianas.

Ejemplo 7: Simplificar: F = «y n .t') U {y' n z)1 n [(x' n y) U (x' n %) U (x n y' n %'»)

Hagase F} = (1/ n %')1.) (y' n z) and F& = (x' n 1/) U (x' n z) U (x n 1/' n z').

[CAP. 17Al."GEBRAS BOOLJANAS226

Fla. 17-3

Tabla 17-3

1'. S F

1 1 1

1 0 .0

0 1 00 0 0

es claro que la red tiene valor lsi, y solo si, r y s tienenvalor 1, en tantoque la red tiene valor 0 para todo otro valor 0 0 1dado a r y s. Asi que esta,red se puede representar por Ia funci6n F = F(r, s) que sigue la Tabla 17-3.Se halla facilmente F = rns. Si se conectan en para/elo:

Fig, 17.2

r 8

AI cerrar el interrupter, con 10que la corriente f1uyepor el hilo, damos ~I valor Ia r; si el interrupteresta abierto y no f1uyecorriente por el hilo, dames el valor 0 a r. Asimismo, daremos e1 valor 1 0 0 atoda red segun que la corriente fluya 0 no por ella. En este caso sencillo la red tiene valor lsi, y solo si,r tiene valor 1 y la red tiene valor 0 si, y solo si, r tiene valor O.

Considerese ahora una red que consiste en dos·interruptores r y s. Si se conectan en serie:

r

ALGEBRADE UDES ELECfRICASEI algebra de las redes dectricas es un ejemplo interesante y de mucha importancia del algebra

booliana (vease Problema 15) de los dos elementos 0 y 1. Aqui nos limitaremos a estudiar el tipo massencillo de redes, que es una red con solo interruptores. La red mas simple de esta clase consiste en unhilo con un solo interruptor r:

Teorema IV. 0 ~ b ~ 1 para todo bE ffI.

De 10 que se deduce facilmente

Teoremaill.Paracualesquieraa.bE!!d. a U b es el extrerno superior ya n b es el extreme inferiorde a y b.

En el Problema 12 demostramos el

(d!) Si a C b y a C c, entonces a C (b () c).(ed Si a C b, entonces a C (bU cf para todo c E!!d,lfd a ~ b si, y solo si, b;-~ a'.

as! que ~ define un orden parcial en t1I. Se deja al lector demostrar que

(ad a C a(bd Si"a C b y b C a, a = o.(c.) Si a ~ b y .b ~ c, a ~ c.

Vamos a definir ahora Ia relacion ~ (lease «bajo» en un algebra booliana ffI pora ~ b si, .x-solo si, aU b = b 0 su equivalente an b,' = 0

para cualesquiera a, b E tJ.. (Notese que esto no es mas que otro enunciado de (g) en funcion de los ele­mentos de £It.) De 10 que se sigue de inmediato

227ALGEBRAS BOOLIANASCAP. 17]

Tabla -17-5.

r 8, t , rTl'S/n t. (t. lJ.'8) nf F)

1 r 1 0 0 0,{I O·

.,O·1 1 0

1 0 1 1 '0 1.0 1 1 0 1 11 0 .0 Q. '0 Q

-'. 0 1 0 0 I- I 10 O. 1 0 1 1.0 0 Q 0 0 0

consiste-en tres'Par~s de interruptores: Un par, en que cada hiterrtJptot est.adenotado pot t; abre y'cierrasimultaneamente, y-los otros dog'pares, con los interrupteres denotados.por r·, r' Y'S, -s', son 'tales que encada par el cierre de tin interrupter abre el otro. La funci6n·correspondlente:.es·basicamente una-unionde dos terminos cada uno con las tres 'variables. 'Para el tillo superior tenemos r f\ s' n t y'para el in­ferior .(t Us)' n r', Nsi -que Ill:funcien que corresponde a 'Ia red es

F = (r. n s' n t) u [(t Us) n r'ly la tabla que da los valores (pr~piediides de cierre) de la funcion es

Fig. 17-5

La funcion correspondiente a esta red consiste en la interseceion de tres factores:

(r u s) n t.n (u u'v u w)Hasta aqui todos los interruptores de' .una red se han supuesto actuar independieatemente unos

de otros. Dos 0 mas interruptores pueden; no obstante, estar conectados de modo que (a) se abren y.cierran simultaneamente 0 (ti) el cierre (apertura) de uno abra (cierre) todos los demas. Enel caso (a)denoraremos todos los interruptores por la rnisma letra y en el caso (b) denotaremos uno de los inte­.cruptores por r;P9r ejemplo, y todos los. otros pOTr'. En este caso, toCj~letra COl} tildetiene valor 0 si ialetra no tildada tiene valor 1 y viceversa, Asi Ia red

Fig. 17-4

Tabla·.174

r s F1 1 11 0 10 r 10 Q 0

e~claro que I:ued tendravalor t si, y solo si, al menos uno-de Ids ry s tienevalor' 1, y la red tendra valor Q si,;YsJ>.16si; li~bos r y s tienen valor O.Estared se puede representar por la funeion F = F(r, s) que sigue la TaQla i7-4.Eneontramos facilmente F·= ;U s, Para Ias- varias redes con. tres interrup-tores, vease Problema 13, .

Empleando. mas interruptores, pueden componetse redes dt: natura­leza mas complicada; por ejemplo,

[CAP. 17A'LGEBR.lA~BOOLl.b>NAS228

Fig, 17-7

.... ...aon (red) de Ia cual sc originoIa red de la Fig. 17-5 es innecesa- -puede cambiarsc pot la red mas17-7.

S~_REDESSup' a &I fIDe las tres prirneras y la ultima columna de la Tabla 17-5 son dadas y que se

pide ciisci.r_rl.-eaga lasipropiedades de cierre.dadas. Mediante las filas en que F = 1,obtenemos

y la CCOO)llwlC'__ • .-e el algebra de redes es un algebra booliana

an (b u c) = (a n b) u (a it c)

que las ralls _ ~biables.Se deja ~ .... cI eumen'del caso de la identidad booliana

Tabl. 17~

a b c aU Ib n c) (a U b) {l «(I. U c)

I 1 1 1 11 1 0 1 11 '0 1 1 1-0 1 1 1 11 0 0 1 10 1 0 0 00 0 1 0 00 0 0 0 0

Fig. 17~

que corresponden a Ia entidad booliana aU (bn c) = (a U b) n (a U c). Es claro entonces por latabla de propiedades de cierre

Es claro que la corriente fluira por la red solamente en los siguientes casos: (I) r y r cerrados, s abier­to; (2) s y r cerrados, r abierto ; (3) s cerrado, r y t abiertos: (4) r cerrado, r y s abiertos.

Para un analisismas detenido.de las redes serie-paralelo seratuil saber qu'e el algebra de- tales redeses un algebra booliana. En terminos de unared dada, el problema es este : Supongase que F es la funcion(de interrupci6n) asociada a la red y supongase que mediante las leyes del algebra booliana esta funci6nse cambia en su forma a G asociada con una red distinta. (,$on intercarnbiables las dos redes? 0, en otraspalabras, (.tienen las mismas propiedades de cierre (la mismatabla)? Para decidir esto, consideremesprimero las Tablas 17-3 y 17-4junto con sus cedes asociadas y funciones asociadas r n s y r U s res­pectivamente. AI formar estas tablas hemos comprobado que los postulados (i), (ii), (iv) para un algebrabooliana valen tambien para_un algebra de redes. Para el caso del postulado (iii) considerense las redes

229AlGEBRAS B00L1ANAS(}AP~ IU

«(I. U b) U (a' n b') = [(aU b) U a'] n [(a U b) U b') = [(a U a') U hJ n [a U (b U h')]

= (1U h) n (a u 1) = 1 n 1 = 1

Como seglin el Problema 2 existe para todo x E £f un unico x' tal que x U x' = 1 y x (\ x' = 0, solo nece­sitamos comprobar que

(Vease 1.11-1.11', Capitulo 1, pagina 5.)

3. Demostrar: Para cualesquiera a, b e rJi

y Q' es unico.

a' = 1 n a" = (a U an) n a' = (a n a') U (a" n a')

= (a n a.") U (a" n aI) = a" n (a U:a') = a" n 1 = a"

Entonces.

ana" = 0y

a U a" = 1

ana' = 01

Sup6ngase 10 contrario, es decir, que. para todo Q E£f existan dos elementos a', a" E iii tales que

2. Demostrar: Para todo a E 11, en elemento a' definido en (iv) es unico.

(5)(a n b)' = a' U b'y(a U b)' = a' n b!

Sedeja al lector mostrar que, en consecuencia, se pueden insertar parentesis a voluntad en aI U Q2 U ... U a.y a, n Q2 n ... n Q••

y

fa U x) n (a' u x) = (a U 1/) n (a' U 1/)

(a n a') U x = (an a') U 11

x = 1/

Luego

a: U [a n (b n e)] = a' U II= (a' U a) n (a' U (b n e)]

(Vease 1.8-1.8', Capitulo 1, pagina 5.)

Sean x = (an b) n c y y = a (\ (bn c). Vamos a demostrar que x = y. Por (iii) y (3),a U x = aU [«(1\ n b) n e] = [a (; (a n b)] n «(I. U e)

= a n (0 U e) = 0 = a U [a n (b n e)] = a U II

Y a' U x = a' U [(a n b) n e] = [a' U (a. n b)] n (a' U e) = ((a' U a.) n (a' U b)] n (a' U e)= [1 n (a' U b)] n «(I.' U e) (a' u b) n (a' U 0) = a' U (b n 0)

(4)(a n b) n c = a n (b n c)y(a U b) U c = aU (b U c)

1. Demostrar: U y n son asociativos., es .decir, que para cualesquiera a, b, C E 11

Problemas .resueltos

Yease Problema 14.Fie. 17-8

~1"_8J-~8'_t

Nota. EI que uno de los interruptores de la Fig. 17-7·este denotado por r', no habiendo interruptordenotado pOT r, no tiene aqui irnportancia. Si le queda al lector alguna duda en esto, intercambie r y r'en la Fig. 17-5 y obtenga F = (rns)u (s'n t) con el diagrama

[CAP. 17ALGEBRAS BOOLlANAS230

----_ Ila5 fimciones boolianas son iguales si, y solo si, sus formas canonicas respectivas sonlUC_ _ 6I:i£. consisten en los mismos terminos,

Ea fimciones son iguales si sus formas caJ!onicas consisten .en los mismes terminos. Recipro-CIUIIICIIR"."_ iIac:iOiies son iguales deben tener el mismo valor para cada una de las 2" posibilidades de darvalor •• I ... ..abIes. Ademas, cada una de las 2" posibilidades para las cuales la funci6n tiene valor 1 de­tenm.a _ .._.. & IIIforma c.an6nica de esa funcion. Luego las dos formas normales conti~nen ios mismos.terDI8aL

9.

8. lJemo48M _Si CD 1a forma canonica completa en n variables, a cada variable se Je da arbitraria-DlCIIIe cI 0 0 1,eiitonces solo un termino tendra valor 1 y todos los otros tendran valor O.

s- loS'vBlO~·a las variables XI> Xl' ... ,X •• EI terrnino cuyo valor es I contiene XI si XI tiene elvalor I.......,0 bien~ si a XI se ha dado el valor 0, Xl si Xl tiene valor 1 0 X2 si Xl tiene el valor O•... , x,si x. __ 1IIIIar I 0 ~ si X. tiene valor O. Todo otro termino de Ia forma canonica completa tendra, pues, 0at factOr y, por tanto, tendra 0 como valor;

[(z n yn :z:) U (x n 1/ n z'») U [(z n y' n z)U (x ny' n z'»)U (z' n y n ,,)U (z' n II n %'») U (z' n 1/' n z) U (x' n II' n z')l

= f(z n 1/) U (z n 1/') U (x' n 11)U (x' n y')J n (z U z') = 1 n 1 = 1

(zn w) u (x n y') U (%' n y) U (x' n y') [(z n 1/) U (x n 11'») U [(z' n II) U (z' n y'»)

:, [x n (y u:y')J U (x' n (II U y'»)

(x U :1;') n (y U y') = 1 n 1 = 1

Euu.a, fa lonna cancnica completa en 3 variables

PriIIIao, mostrainOs que la forma can6nica completa en 2 variables

7. Demostrar: La forma canonica completa en 3 variables es identicamente 1.

6. Obtener la forma cari6Iiica de [x U (x' U y)'] n [x U (y' n a')'].

UtilizaDdo Ja identiaa'd del Problema 5,

(z u (z' U If)'] n [% U (1/' n "')'J = % = x n (11U 1/') n (z U %')

= (% n 11n ;I) U (% n 11' n e) U (z n 11n z') u (x n y' n z')

5. Simplificar: [z U (x' U y)/J n [x U (y' n z'),J.(z U {Zl uJ/)1 n [z U (11' n z')') :; (x U (x n y')) n [x U (y u z)1 = % n (% U (li U z)1 x

4. Demostrar: (a/)' = a para todo a e~. (Vease i.i, Capitulo 1, pagina 5.)

(a')' 1 n (a')' = (a U a') n (a')' = (a n (ai)'1 U (a' n (a')') = (a n (a')'] U 0

o U (4 n (a')') = (a n a') U [a. n (a.'}') = a n [a' U (el')') = e n t = a

y

a; n a; n n a~

a; U a~u U a:

Utilizando los resultados del Problema 2, se sigue facilmente que

(aU b) () (a' () b') = 0y que (10 dejamos al lector)

231ALGEBRAS BOOtiANASCAP. 17J

y la funcion es ,n s n I.

(i) Los inrerruptores estan en serie. EI diagrama es

13. Estudiar las posibles redes de tres interruptores r, s, t.Hay cuatro casos:

(a. U b) v e :: a. V (b v c) = aVe = c

As! que (0 Ub) ~ c y aU b es el. minimo mayorante 0 extreme superior como se pedia.

Analogamente, anb es un minorante de a y b. pues(a. n b) u a :: a. y (a n b.) u b :: b

Sea ccualquier otro minorante de a y b. Entonces. c Cay c C b, de modo que c U a = aye U b = b. Ahorabien, - -

c U (a n b) :: (c V a.) n (c u b) = a n b

Asi que c ~ (a n b) yan b es el maximo ·ininorante 0 extreme inferior como se pedia.

bien,

12. Demostrar : Para cualesquiera a, bE ffl, aU b es el extremo superior ya n b es el extreme inferiorde a y b.

Que aUb es un mayorante de a y h resulta de

4 u (4 U b) = 4 V b = b u «(I, u b)

Sea c cualquier otro mayorante de a y h. Entonces, a ~c y b ~ c, de modo que a U c = 'c y b U c = c. Ahora

(por Ja identidad del Problema M.yF = (F')' = (x n 11n z)u (x ny' n z) U (x n y' n s') U (x' n 11n z)V (z' n 1/'n z) U (x' 111/ n z')

(la union de los terminos de 1a forma canonica completa que no aparecen en P).

F' = (x' n v' n %') u (x n 11 n z')Aqui

11. Hallar la forma canonica de !.= (x U y U z) n (x' U y' U z).

F = (x' u v' u z')'n (:t u'y' u z') n (x u 11 U'z')

(y' v z') n (x v v u z') = Iy' n (x u y») u z' = (x n y') v z'

Es clare que la forma can6nlca de F tendra 5 terminos y la forma canonica dual tendra 3 factores. Emplea­remos 1a ultima forma. Entonces,

Tabla 17-7

z y z F

1 1 1 0

1 1 0 1

1 0 1 10 1 1 0

1 0 0 I0 1 0 10 ·0 1 0

0 0 0 1

10. Hallar la funcion booliana F definida por

[CAP. 17ALGEBRAS BOQUANAS

Fig. 17-9(h)

-C:J--La red mas simple es

por una mas simple.

La funcion booliana para la red dada es

F = (r () t) U {8 n.(8' u t) nIT' U (8 n t'm(r n t) U {II n [(B' u t) n (r' U t'l])

= (r n t) ,u Ir' n (s n tIl = (r U 8) n t

Fig. 17-9(a}

14. Si es posible, remplazar la red

con funcion rU (5 () r).

con funcion r () (s U r).

(iv) La combinacion serie-paralelo

y la funcion es r U sUI.(iii) La combinacion serie-paralelo

(ii) Los interruptores estan en paralelo. EI diagrama es

233ALGEBRAS B00LIANASCAP. 17]

(a) 2:' U v'. (b) (2: n y') U (x' n 1/), (c) (2: u y) n (x' U z'), (d) z n e, (e):II n <II' U :)

32. Hallar a simple vista el complemento de cada una de las siguientes expresiones, de dos maneras:(a) (:r: n y) u (z n y') (c) (z U 1/' U z) n (x U y U z') n (z u 1/' U z')(b) (z n 1/' n s) U (x'.n y n z') (d) (x U y' u z) n (~' U 11U %)

33. Expresar 10 que sigue en forma canonica y en forma can6nica dual en-tres variables:

31. Demostrar: (a u b) n (a' u 0) = (a' n b) U (a n c) u (b n c)::: (a U b) n (a' U c) n (Ii u c) = (a n 0) U (a.' n b)

(e) [(z' n y')' u z) II (z U 1/')''(f) (a U b') n (a' U b) n (a' U b')(g) I(au b) n (c U b')] u [b n (a' U e'»)

30. Simplificar (a) (a. U Ii) II a' n Ii'(Ii) (a n Ii n c) u ai u b' u e'(e) (a n Ii) u [en (a' U h'»(d) [a. u (a' n Ii)] n Ib u (b he)]

Resp, (a) 0, (Ii) I, (c) (0 n b) u c, (d) b, (e) x' ny, (f) a.' n b', (g) a. u b

es un algebra booliana,

17. Mostrar que el algebra booliana del Problema 16 es isomorfa al algebra de todos los subconjuntos de un coo­junto de dos elementos.

18. i,Por que no hay algebra booliana que. tenga 'solamente tres elementos distlntos?

19. Sea S un subconjunto de N. y para cualesquiera a; b E.·Sdefinase aU by a n b. respectivamente, como el mi­nimo comun multiple y el maximo comun divisor de a y b. Mostrar que(a) a es algebra booliana si S = {I, 2, ~; 6,7,1'4,21, 42}.(b) flI no es algebra booliana si S = {I, 2, 3,4,6,8,12, 24}.

20. Mostrar que a U (an b) = a n (aU b) sin utilizar el Ejemplo 3, pagina 223. Establecer la dual de la identi-dad y demostrarla.

21. Demostrar: Para cualesquiera a, bE flI, a U (a' n b) = aU b. Establecer la dual y demostrarla.

22. Obtener las identidades del Ejemplo I, pagina 222, haciendo b = a en las identidades del Problema 21.

23. Obtener como en el Problema 22 las identidades del Ejemplo 2, pagina 222.

24. Demostrar: 0' = I Y I' = O. (Vease 1.2-1.2', Capitulo I, pagina 5.). Sugerencia. Hagase a = 0 y b = 1 en la identidad del Problema 21.

25. Demostrar: (an b') U (bn a')= (aU b) n (a'U h'). Escribir la dual.

26. Dernostrar: (aU b) n (b U c) n (c U a)= (a n b) U (b n c) U (c n a). i,Cual es la dual?

27. Demostrar: Si a U x = b U x y aU x' = b U x' es a = b.Sugerencia. Considerese (a U x) n (a U x') = (b U x) n (b U x'),

28. Establecer la dual del Problema 27 y dernostrarla.

29. Demostrar : Si an b = an c y aU b "" aU c para cualesquiera a,b, c E flI, entonces b = c.

16. Mostrar que el conjumo {a.b. c. d} con las operaciones definidas en

u a Ii e d n a- li c da. a. Ii e d a. a- a. a. (l

Ii Ii Ii d d y. Ii a. Ii a. Iic c d c d c a. a c e

d d d d d d a Ii e d

y15. Mostrar que el conjunto {O,I} junto con las operaciones delinidas entl::01

es un algebra booliana, 0 0 1111

Problemas propuestos

[CAP. 17ALGEBRAS BOOLIANAS234

1 0 1 0 0 01 0 1 1 1 1 1 11 0 1 1 1 0 0 0 10 1 .0· 0 0 1 0 1 00 0 1 1 1 0' 0 0 01 0 1 1 1 1 1 1 10 1 1 0 0 1 1 0

Fs z' U (1" n z) U (1/ n i'), Fs = (lI: U :) () Itl' U (x n I)], F1 = 1/'

IRS variables, cuyo valor es 0de las variables son 0 y la otra es I,de una variable es O.cI Problema }9 .

.as simple las funciones booJianas FH F2, ••• ,F8 definidas como sigue:

040.

.. tres variables cuyo valor es Ide las variables son I y la otra es 0,de una variable es 1.

.., u (% n 1/' n %) U (11:' () l' () .), (b) [II: n (II U z)] U (1/ n 21)

39.

• Ia fonna 'canonica dual completa en ~,y, z, W, que tiene valor 0 cuando:_~O; (b) %='II=w=O, %=1; (c) %=0, 1/=.=10=1 .• u_, (c) % U 1" U Zl U W'

38.

• Ia forma canoiIica dual completa en x~y, z, que tiene valor 0 cuando:

1; (II) %= II = 1, 21= 0; (c) % = 0, l' =21= 1 •

37.

41.

36. EIaMr ...... de Ia fonna canonica completa en x, y, Z, W, que liene el valon ] cuando:

".~1".=_=0; .(b) %=y=1O=O, 21=1; (c) %=O,1/=z=to=1.

35. ~ ........ deja forma canonica completa en x,y,z, que tiene valor I cuando:(... =.=".=1; (b) %=1/=1, 21=0; (c) z=O, 11=21=1.... ~n.na'. (b) %n1lnz!

(d) (z n 11n %) U (z U 1/) n (z U a)](e) (x U 11) n (% U 21'\n (z' U 1/') n (z' U :Ii)(f) (% n 11) u (x n 2:') U (Zl n .I)

(II) ~ u fa"n.,(II) ~n «'Ua)} u [% n (y u z')](el "U .ull) n 1($n 11) u (Zl n 21)]

~,.,o.L(a) .. n u Ea n .') U (z' 'n 1/) (d) (:II Uy'U z) n (% 1.:J'1/ U z') n (z U II' U .II,)~l .. un .. u ", (6) (zn v' n %) U (Zl n 11n .tI')(el .. n.n., u (s n 1/ n 21/) U (Zl n 11n z) U (Zl n 'II' n z) (f) (zU 'II U %) n (z' U 1/ U ,,') n (zU 1/' U 21)

34. E.--" 1ixma canonica y fonna can6nica dual en el minima numero de variables:

~1Il parcial.

(~) (z n y' n c) u (z n 1/' (\ 21')U (z' n 1/ n 21)U (z' (\ '/I' n :) U '(%' n 11 n :1:') U (x' n 1/' n t')(b) (z u • u z) n (z U 1/ U I') n (x' U 1/' U 2) n (X' U '/I' U .zl)(.e) (z n • n z') U (z n 1/' n 21') U (%' n 11n %) u (X' n 1/ n Z')(d) (z U • U 1) n (:I: U '¥' U 21)n (X U 1/ U 21')n (% U '1/' U 21') n (:1:' U 'II U Z) (\ (%' U '1/' U :1:)(e) (s u " u z) n (z IJ J/ U 21)n (z U y U 21')n (x u 11' U 21')n (:II' U '1/' u e)

235ALGEBRAS BOOLIANASCAP. "11)

/ 1

____j "8' J-.R('.~pu('s{irp.arci(ll.(i) y (ii) ~

Para adquirir practica y tambien para cornprobar los resultados, se sugiere que (iii) y (iv) se resuelvan formandola tabla de propiedades de cierre y tambien pot el procedirniento del Ejernplo 7, pagina 226.

J-f ~-'1/~11 _: -

(iv) -[ % _:'

1/' ...... z'%_11_:

r - t'J-E--'-3-(iii) -[ r' _ t8 - t . 11'_ t' .

(ii)

F2 -[:']-

sz, :~PI{,~2l-SO. Hacer el diagrama.de las redes (r Us') n (r' u..s) y (r n s) U (r' n s') ymostrar que tienen las mismas propie-

dades de cierre. I

51. Hacer el diagrama de la red mas simple que tenga las propiedades de cierrede cada una de las F)"F6 del Problema 41.Respuesta parcial.

(ii)

~a}-[u']-{a'L_ _u'---.b'_--:L v b . b'..J •

(i)

Mediante. Jos resultados del Problema 30, hiicer el diagrama de la red mas simple en cada caso.Respuesta parcial.

(iii) [(a u b) n (e U b')] U (b n (a' U c')](iv) (u n b n c) U ai u b' u c'

(i) (a U b'). n (a' u b) n (a' u b')(ii) (a n b) u [en (II' u b')]

42. Mostrar que F1 Y F8 del Problema 41 se pueden hallar a simple vista.

43. Demostrar: (dl) Si a C b y aCe, entonces a C (bn c).(e,} Si a C b entonces a C (b U c)-para todo c e 91.ifl) a ~ bsi, y solo si, b7(, a'.

44. Demostrar: Si a. b € 91 tales que 0 (,'h, entonces, para 1000 C e 91, aU (i? n c). = b n (a U c).

45. Dernostrar: Para todo be (/I, 0 (, b §: I.4(). Construir un diagrama parecido a la Fig. 17-1para el atgebra booliana de todos los subconjuntos deB = {a, b,c, d}.47. Hacer el diagrama de las rcdes representadas por a U (a' n b') yoU by hacer ver con tablas que tienen las mis­

mas propiedades de cierre.

48. Hacer diagramas de las redes (i) (a U b) n 0' n b' y (ii) (a n b n c) U (a' U b' U c'). Construir tablas de pro­piedades de cierre para cada una. <-Quese puede concluir?

49. Harer diagramas de cada una de las redes siguientes:

[CAP. 17ALG~BRAS BOOLIANAS236

57. Disefiar una red que permita accionar una luz desde uno cualquiera de cuatro interruptores,

t,J-L_::J-f--C"-C:,=r'-C 8 __

,'-

56. Desde su garaje, M puede ernrar a una de dos alcobas. Obtener la red que permita a M apagar 0 encenderla Iuz del garaje, bien desde el garaje 0 bien desde una de las alcobas independientemente de las posiciones delos. otros dos interruptores,Resp.

55. Mostrar que la red del Problema SOperrnite apagar 0 encender la luz de una escalera desde arriba 0 desde abajode la misma.

54. Simplificar:(l -- b -- e -- d'

a-0' -- e -- d'

~ -- 6' -- o' -- d

a/ -- 6 -- e -- d'

a' -- b -- c' -' d

a' -- 6' -- e' -- d

(c)

(.)-.-[~J--c-qJ'Resp. (a)

\

....._-- q ...... -----'

t---~ q ...... " -----I(c) --+-.........l' - r' ....... '_--t__

V ...... q' .......

·p ...... q_r·

'1'-9-'(0)

p_,_r

1'-C.:

~-(:1'J-[', "

(a)

53. Sirnplificar:

TIlALGEBRAS BOOUANASCAP. 17]

Ecuaciones (vease lamb;en Polino­mios)

"'" lineales homogeneas, 181"lineales no homogeneas, 179lineales simultaneas, 178sistema de, lineales, 178

Electricas, redes, 227Elemental, matriz, 173Elemento, asociado, 115

De Moiv.re, teorema de, 77, 79De Morgan, leyes de, 5Densidad, propiedad de, de los nu­

meros racionales, 62de los n(Jme~osreales, 69, 71

Dependencia lineal, 146Desarrollo de un determinante, 182Desigualdad, de Schwarz, 149triangular, 149

Determinante, 182caracteristica, 204

Diagrama, de un orden parcial, 17de Venn, 3

Diferencia de conjuntos, 4Dimension, de un espacio vectorial,

147finita, 147

Disjuntos, ciclos, 24subconjuntos, 3

Divisi6n, 61, 69, 76algoritmo de la, 50, 117, 128,201anillo de, 117

Divisor, 49, 115, 128comun (vease tambien Maximo

comun divisor), 49, 117normal,87

Divisores de cere, 103Dominic, de integridad,.114, 127de imagenes de una aplicacion, 6de integridad ordenado, 116de polinomios C[x], 129de una aplicacion, 6

operacion, 19Conmutativo, anilJo, 103grupo,82

Correspondencia biunivoca, 8ComidUIa de Dedek.ind, 66Corte, 66Cuadrado, grupo octal de un, 92Cuadricas, 208

239

Caracteristica, de columna, 172de fila, 172de un anillo, 103de un dominio de integridad, 115de una matriz., 172, 199de una transformaci6n lineal, 151

Cayley, teorema de, 86Cero, 40, 60 .de un polinomio,-127de un polinomio de cuarto gra­

do, 140de un polinomio de tercer gra­

slo, IJ9divisores de, 103polinomio, 1,2~

Cicio, 23Clase lateral, 86Clases residuales, 53Clausura, 19Cociente, anillo, 1.06grup6,88

Codominio, 6Coeficiente, 125

dominante, 135Complemento de un conjunto, 2Componentes, de un numero com­

plejo,75de un vector, 143

Compuesto, 49Congruencia modulo m, 52Conicas, 208Conjunto,lenumerable; 8finito,8infinite, 8nulo,2vacio, 2

Conmutativa, iey, en Algebras boo-Iianas, 222' .

en anillos, rot, 103en CUerpos;117., 1.18'en grupos, 82en los enteros, 42en los nameros; naturales, 30,

31 'racionales, 60,..61reales, 67, 69, 71

en matrices, 166en numeros complejos, 75en polinomios, 125en union e intersecci6n de con­

juntos, ,5general,19

INDICE

Base, de un espacio vectorial, 147normal ortogonal, 207ortonormal, 207

Bien definido (a), conjunto, 1operaci6n, 20

Bien ordenado, conjunto, 18Biyectiva, aplicaci6n, 8

A la derecha, clase lateral, 86ideal, 104

A la izquierda, clase lateral, 86ideal, 104

Absoluto, de un numero complejo,77

valor, 42Adici6n, de enteros, 39de matrices, 164de numeros, complejos, 75naturales, 30'racionales, 60reales, 67, 68

de polinomios, 125de.polinomios de matrices, 200de subespacio, 148de transformaciones lineales, 151de vectores, 143, 144

Algebra, booliana, 222de clases residuales, 53de matrices, 167de transformaciones lineales, 151lineal,219matricial total, 167

Amplitud de un numero complejo,77

Angulo, de dos vectores, 149de un numero complejo, 77

Anillo, 101booliano, 112cociente, 106conmutativo, 103de division, 117euclidiano, 107ideal principal, 106

Aplicaci6n, 6biyectiva, 8myectiva, 8reciproca, 9sobreyectiva, 6

Argumento de un numero comple­jo,77

Autovalor, 204Autovector, 203

Matrices. equivalentes, 170. 200semejantes. 205

Lagrange. teorema de, 87Ley. asociauva. en algebras bootia-

nas.230en algebras lineales, 219en los anillos, 101en los grupos. 82general, 19para los enteros. 42para los nurneros cornplejos, 75para los numeros naturales, 30

31para los numeros racionalcs,

60,61para los numeros, reales, 67.

69, 71para matrices, 166para permutaciones, 23para polinornios, 125.para union e interseccion de

ccnjuntos, 5de cancelacicn, para grupos, 83para Ios enteros, 41, 42 [31para los numeros naturales, 30.para los oiimeros racionales, 60para los niimeros reales, 69, 71

distributiva (a la izquierda, a laderecha), 20

en algebras boolianas, 222en algebras lineales, 219en anillos, 101en espacios vectoriales, 144en los enteros, 42en los numeros naturales, 3 Ien los numeros racionales, 60,

61en los numeros reales, 67, 69. 71en matrices, 166en niimcros complejos, 75en polinomios, 125en uni6n e interseccion de con­

juntos, 5general,20

Leyesde los exponentes (vease tam­bien Exponentes), 33

Lineal, algebra. 219combinacion, 49. 145congruencia. 54dependencia. 146ecuacion, J 78forma. 178independencia, 146transformacion, 149

Longitud de un vector: 143. 149

Jordan-Hdlder, teorema de. 90

Ideal (a la izquierda, a la derecha I.104

bilatero, 104maximal. 1Q6prime. 106.principal. 105anillo, 106

propio.I04ldentica, aplicacion, 9Imagen, 6Impropio. ideal. 104subanillo, 102subconjunio. 2subgrupo. 83

Inclusi6n. en algebras boolianas,226

en conjuntos, 2Independencia lineal, 146Indeterminada, 124Indice de subgrupo. 87Induccion, 31, 37. matematica, 31,.37Interseccion, de conjuntos, 3de subespacios, 148de subgrupos, 84

lnvariantes, factor. 200subanillo. 104subgrupo. 87vector, 203

Inverso.60lnyectiva, aplicacion, 8lsomorfismo, 21entre anillos, 103entre espacios vectoriales. 150entre grupos, 85

Homogcneas, ecuaciones lineales.181

Homomorfismo. entre anillos. 103entre espacios vectoriales. 150entre grupos. 84

de un grupo. ciclico, 84Grado. lis'Grupo.82abeliano, 82alternante, 84clclico, 84. 86cocienie. 88cuaternario de Klein. 97de cuaternios. 100. 111. 196de permutacidn, 84de transformaciones, 152diMrico.92octal,92simetrico, 84regular de pcrmutacion, 96

INDICE

Generador, de un espacio vecto­rial. l45

Factor, 49, 128grupo. 88teorema del. 128

Factorizacion unica, teorema de. 52.117, 132

Fila. caracteristica de, 172, f99equivalente por, 170transformaci6n de, 170, 198vector, 164

Forma, canonica dual, 224normal, conjuntiva, 224de una marriz A. 199'de una matriz sobrc .~, [71disyuntiva, 224

polar, 76.polinornica, 124

Formas eanonicas, de conicas y cua­dricas, 208

de matrices, 171, 199de polinomios boolianos. 224

Fracciones, 60Funcion (veasetambien Aplicacion ;

Transformacionj, 7booliana, 223

Elernento. de un conjunto. Iinversible, 115maximal, minimal, 18neutro, 19primero, ultimo. 18

Entero gaussiano, 110Enteros.38gaussianos. 110negativos, 40positivos (vta,/, tambien Numeros

naturales),39 .primos·relativos, 52

Enumerables, 8Equivalencia, clase de. 16

relacion de. 16Equivalente. por colurnnas. 170por filas, 170

Escalar. 143rnultiplicacion, 143

. producto, 149, 164Espacio vectorial. 144base de un, 147.207de dimension infinita, 147

Exponentes, en un grupo. 83enlerOS.43numeros naturales, 33reales, 70

Extreme, inferior. 70superior, 70

240

Schwarz, desigualdad 'de, 149Series de cornposicion, 89Siguiente, 30Simetrica, matriz, 206relacion, 16

Simetrico, aditivo, 40, 60, 68, 75,101, 125, 166

de un elemento, 20en un cuerpo, U8grupo,84multiplicative, 60, 68, 75unicidad del, 20

Simple, anillo, 104cero, 129grupo,88

Singular, matriz, 172transformacion, 151

Sistemas, algebraicos, 22de ccuaciones lineales, 178

hornogeneos, 181no hornogeneos, '179

Ralces, de la unidad, 78de polinomios.Tz?de polinomios 'de cuarto grade.

140de polinorniosdetercer grado, 139latentes, 204primitivas de la unidad, 78propias, 203, 204

Redes electricas, 227Regular, rnatriz, 172transformacion, 151

Relacion, t5antisimetrica, 17binaria, 15de equivalencia, 16de orden, 32, 40, 61, 226

Relacioncs reflexivas, 15Representacion, decimal de nume­

ros racionales, 62trigonometrica de numeros com­

plcjos, 76, 77

de matrices, 165de polinomios, 125de subgrupos, 89de transformaciones lineales, 151escalar, 149, lSI, 164interne, 149

Propiedad arquimediana, de los nu­meros racionales, 62de los numeros reales, 69, 71

Propio, ideal, 104subanillo, 102subconjunto, 2subgrupo, 83

Pseudocuerpo, 117

24J

Par ordenado, 5Parte, imaginaria (de un numero

complejo), 76real (de un numero complejo), 76

Particion, 17Peano, postulado de, 30Permutacion, 22grupo de, 84impar, 24, 27par, 24, 27

Perpendiculares, vectores, 149Plano complejo, 76Plenitud, propiedad de, 70Polinomio, 124anillo de, 125,booliano, 223cero de un, 127de matrices, 198de tercer grado, 139grado de un, 125irreducible, 128minimo, 133, 177monico, 126primo, 128ralces de un, 127

Positiva, cortadura, 67Positivos, enteros (vease tambien

Numeros naturales), 39Potencias (vease tambien Exponen­

tes), 33, 43Primo, 49cuerpo, 118.eotero,49factor, 52ideal,106polinomio, 128relativo, 52

Producto, de clases laterales, 88de composicion.B.de eomposicion de.aplicaciones, 2

Operacion binaria, f8Operaciones, 18bien definidas, '20binarias, 19

Orden, de on elemento de un gru-po, 83

de un grupo, 83parcial, 17relaciones de, 3;2,40, 61, 226

Ortogonal, base normal, 207malriz,207uansformacion"207vector, 149

Ortonormal, base, 201

primos, 49racionales, 60reales, 65

fNDICE

Neutro, elemento, 19unicidad del, 20

Norma, 119Normal ortogonal, 'base, 207Notacion ciclica para permutacio-

nes, 23Nucleo de un homomorfismo, 88Nulo (0), matriz, 166vector, 40, 60

Numero, complejo, 75, 76conjugado, 75

irracional, 69racional, 60real,65

Numeros, complejos, 75imaginarios, 75puros,75

irracionales, 69naturales, 30

Matriz, 165, 167aumentada, 178caracteristica de columna de una,

172,199caracteristica de fila de una, 112caracteristica de una, 172diagonal, 171elemental, 1'73escalon, 171lambda, 198forma normal de una, 1-99

nula, 166ortogonal, 207producto, 165escalar, 164

real simetrica, 406regular, 172simetrica, 206singular, 172sobre fF., 166suma,l64triangular, 171unidad,166

MAximocomun divisor, 49, 117,131Mayorante, 70Mlnimo comun multiple, 59Minorante, 70 ,MOdulo de un namero complejo, TlMultiplicacion, de enteros, 39de matrices, 165de mimeros complejos, 75de numeros racionales, 60de numeros reales, 61de polinomios, 125de polinomios de matrices, 200de transformaciones lineales, 151

Multiplicative, simetrico, 60, 68, 75Multiplicidad de una raiz, 129Multiples, 33, 43

Valor absolute, 42de un numero complejo, 77

Valores propios, 203Vector(es), 143columna, 164,fila, 164invariantes, 203longitud de un, 143, 149ortogonales, 149propios, 203unitarios, 147

. "

del simetrico, 20Unidad,19imaginari1t,,76

Union, 3Universal, conjunto, "2

Unicidad, del neutro, 20

Teorema fundamental del algebra,129 .

Transformacion, de columna, .I70,198 -

de fila. 170, 198lineal, 149ortogonal, 207impropia, 20propia, 208

singular; 151Transitiva, relacion, 16Transposicion, 24Transpuesta, 183Triangular, matriz, 171Tricotomia, ley de, 32, 40. 61, 68

INDICE

Teorema del resto, 128

Sobreyectiva, aplicacion, 6Subalgebra, 167Subanillo, 102invariante, 104propio, 102

Subconjunto, 2Subcuerpo, 118Subdominio, 115Subespacio, 144Subgrupo, 83invariante, 87normal,87propio.83

Suma (vease Adicion)Sustraccion, 41,61,69,76

242

Iodice de simbolos

fA. AniUo,101

~[xJ Conjunto de los polinomios en x con roe-ficientes en £It, 125

S. Conjunto de todas las perrnutaciones-den simbolos, 22, 84

.~ Cuerpo, 117

T Transforrnacion lineal. 149

u Elemento neutro de un grupo, 82Elemento unidad de un anillo unitario, 103

V,V. (.9") Espacio vectorial, 144

Z Conjunto de los enteros, 1,38

Z· Conjunto de los enteros positives, 39

Z- Conjunto de los enieros negatives. 40

ZJ(m) Enteros modulo tn, S3

z Numero complejo, 7SElemento cero de un .anillo, -102

i Conjugado de un nlimero complejo z, 7S

rx,{I Aplicaciones, 6

:x(r)·fJ(x) Polinomios, 124

E Es elernento de, pertenece a, 1

Ej Vectores unitarios, 147

e." Vectores, 143

C Vector nulo. 143

{a, b. c} Conjunto, J

C~ EsLJiincluido en, 2

0 Conjunto vaclo, 2

() J nterseccion, 3

U Union, 3

.... Aplicacion, 6

..... Aplicacion biyectiva, 8

s Congruente con, 52

245

los numeros negativos, 61, 67

de los numeros racionales, I, 60

de los numeros naturales, I, 30

matricial total (conjunto de lasII l( n sobre F), 167

-..oz..16S

[-J c:..: de equivalencia, 16

.... absoluto de a, 42

I' c....pemento de un conjunto A. 3

, Tt.spuesta de una matriz A, 183

Iodice de simbolos

\ .~

....•

ISBN:968·422·917·8

• Los capftulos 10 Y 11 tratan de los anillos, dominios de integridatiy cuerpos. A continuaci6n, en eI capftulo 12 sa estudian los polinomiossobre aninos y cUerpQSa la vez que algunos conceptos de la teor~elemental de 8Cuaciones. En eI capftulo 13 sa trata el tema de los especios... _ales, en at 14 sa treta el41gebra de las transformaciones lineales en11ft L .... vectorial de dimensi6n figita, que conduce naturalmente, al.... bra .. matrices. en el 15 sa tratan los polinomios de matB:8S comoun ejamplo de anillo de polinomios no conmutativo. En el 16 s~ definenformalmente las 61gebras lineales. En el capftulo final sa exponen las6Igebral booIianas y sa indican las importantes aplicaciones que tienen encircUitos elKtricos simples.

~. . .• 8 primer sistema algebnfico -81 grupo - sa estudie en al cepftule

9; sa examinen las ctases laterales segUn un subgrupo, los subgrupo'Sinvariantes y SUB grupot! cocientes; y eI cap~ulo termina con el Teorema .de Nordan~Hc51derpara grupos finitos. •

• En los dos primeros capftulos, sa trata de los componentes-fundamental. de los sistemas algebr4icos -conjuntos de elementos,ntlaciones, operaciones, ~plicacioneS-. En eI~pftulo 3, comienza con105postuladoa de Peano para los nllmeros naturales y se oompleta con ladedued6n de sus propiedades mti!t sobresatiemes. •

• Este libro, dedicado II estuOlO de sistemas a1gebnlicos, tiens parfin, servir de complemento a los textos corrientBS, 0 bien sar utilizadocomo texto, por sf solo, en cursos de 61gebr8 abstracta' moderna a nivalmedio superior .

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